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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
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Conteúdo temático
● Zeros de Função
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Conteúdo específico
● Métodos iterativos
● Convergência dos métodos iterativos
Método de Newton-Raphson
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Métodos iterativos
Estes métodos tem a seguinte estrutura
é chamada de função de iteração
xi+1=Φ ( xi ) ; dado x0
Φ( x)
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Métodos iterativos
O que desejamos é que
limi→∞
xi=R
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Métodos iterativos
O que desejamos é que
o que significaria formalmente que a sequência
é uma sequência de Cachy.
limi→∞
xi=R
{x0, x1, x2,⋯, xn }
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Métodos iterativos
Mas pensemos isto no contexto de nosso problema. Se
então
que é uma forma de expressar o teorema do ponto fixo.
limi→∞
xi=R⇒R=Φ(R)
xi+1=Φ ( xi ) ; dado x0
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Métodos iterativos
Podemos entender isto como:
se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito.
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Métodos iterativos
Podemos entender isto como:
se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito.
Mas o infinito pode ser pequeno...
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Métodos iterativos – Convergência
Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R
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Métodos iterativos – Convergência
Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R
Se temos x0, podemos obter x1 pela função de iteração
Supondo a sequência é convergente podemos escrever
x1=Φ (x0 )
x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )
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Métodos iterativos – Convergência
Métodos Iterativos
Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x1 se encontra em relação a R.
Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é
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Métodos iterativos – Convergência
Métodos Iterativos
Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x1 se encontra em relação a R.
Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é
Teorema do Valor Médio para Derivadas
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Métodos iterativos – Convergência
Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM)
Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que
g'
(c)=g(b)−g(a)
b−a.
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Métodos iterativos – Convergência
Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM)
Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que
Usaremos este teorema como
g'(c)=
g(b)−g(a)
b−a.
g'(c)(b−a)=g(b)−g(a)
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Métodos iterativos – Convergência
Aplicamos este teorema na expressão
x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )
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Métodos iterativos – Convergência
Aplicamos este teorema na expressão
Teremos
e temos um efeito da aplicação da função de iteração
Façamos o mesmo com respeito a x2
x1−R=Φ ( x0 )−Φ ( R )
x1−R=( x0−R )Φ'(α1 ) ;α1∈[x0 , R ]
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Métodos iterativos – Convergência
Teremos
Aplicando o TVM
x2−R=Φ ( x1 )−Φ (R )
x2−R= ( x1−R ) Φ'(α2 ) ;α2∈[x1 , R ]
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Métodos iterativos – Convergência
Teremos
Aplicando o TVM
Usando a expressão obtida anteriormente...
x2−R=Φ ( x1 )−Φ (R )
x2−R=( x1−R ) Φ'(α2 ) ;α2∈[x1 , R ]
x2−R= ( x0−R )Φ'
(α1 )Φ'
(α2 ) ;α2∈[x1 , R ] ,α1∈[x0 , R ]
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Métodos iterativos – Convergência
Se fizermos este procedimento n vezes teremos
Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R
xn−R=( x0−R ) Φ'(α1 ) Φ
'(α2 )⋯Φ
'(αn )
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Métodos iterativos – Convergência
Se fizermos este procedimento n vezes teremos
Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R
É hora de examinarmos se há alguma condição que garanta a convergência
xn−R=( x0−R ) Φ'(α1 ) Φ
'(α2 )⋯Φ
'(αn )
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Métodos iterativos – Convergência
Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de , ou seja
M=maxi|Φ ' (αi)|
Φ ' (αi)
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Métodos iterativos – Convergência
Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de , ou seja
Vamos agora fazer uma suposição de pior caso possível:
Vamos supor que todos os valores de sejam muito próximos de M. Então seria uma boa aproximação escrever
Φ ' (αi)
M=maxi|Φ ' (αi)|
Φ ' (αi)
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Métodos iterativos – Convergência
Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária.
xn−R=( x0−R ) Mn
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Métodos iterativos – Convergência
Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária.
Para que haja a convergência, o lado esquerdo da expressão não pode ser maior que o lado direito
xn−R=( x0−R ) Mn
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Métodos iterativos – Convergência
Isto implica que
onde α está nas vizinhanças de R.
Temos a condição suficiente para um método iterativo convergir, não importa qual método seja este.
M≤1⇒|Φ' (α)|≤1
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Métodos iterativos – Convergência
Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis.
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Métodos iterativos – Convergência
Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis.
Não saber que poderão haver falhas não é vantagem mas problema...
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Zeros de função
Procurando um método iterativo
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Zeros de função
Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x)
Sabemos que
f (R)=0
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Zeros de função
Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x)
Sabemos que
Expandido f(x) para x = R em torno de x0 em série de Taylor teremos
f (R)=0
f (R)=f (x0)+ f '(x0)(R−x0)+
f ' ' (x0)
2!(R−x0)
2+⋯=0
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Zeros de função
Façamos h = R – x0. Ficaremos com
Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula.
f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+
f ' ' (x0)
2 !h2
+⋯=0
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Zeros de função
Façamos h = R – x0. Ficaremos com
Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar...
f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+
f ' ' (x0)
2 !h2
+⋯=0
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Zeros de função
Façamos h = R – x0. Ficaremos com
Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar...
Examinaremos o que podemos fazer nesta situação
f (R)=f (x0)+ f '(x0)h+
f ' ' (x0)
2 !h2
+⋯=0
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Zeros de função
Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor
temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x0 está próximo de R.
f (x0)≈0
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Zeros de função
Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor
temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x0 está próximo de R.
Vamos adicionar mais um termo para ver o que surge
f (x0)≈0
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Zeros de função
Com dois termos teremos
que se torna útil pois obtemos
f (x0)+ f ' (x0)h≈0
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Zeros de função
Com dois termos teremos
que se torna útil pois obtemos
f (x0)+ f ' (x0)h≈0
h≈−f (x0)
f ' (x0)
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Zeros de função
Como h = R - x0
R≈ x0−f (x0)
f ' (x0)
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Zeros de função
Como h = R - x0
Definiremos
Achemos agora a série de Taylor nas vizinhaças de x1
R≈ x0−f (x0)
f ' (x0)
x1=x0−f (x0)
f '( x0)
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Zeros de função
Teremos
definindo k = R – x1 teremos
f (R)=f (x1)+f '(x1)(R−x1)+
f ' ' (x1)
2 !(R−x1)
2+⋯=0
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Zeros de função
Teremos
definindo k = R – x1 teremos
como anteriormente, usaremos os dois primeiros termos da série de Taylor e obteremos
f (R)=f (x1)+f '(x1)(R−x1)+
f ' ' (x1)
2 !(R−x1)
2+⋯=0
f (R)=f (x1)+f '(x1)k+
f ' ' (x1)
2!k2
+⋯=0
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Zeros de função
e daí
que resulta em
e daremos a definição
f (x1)+ f ' (x1)k≈0 k≈−f (x1)
f ' (x1)
R≈x1−f (x1)
f ' (x1)
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Zeros de função
e daí
que resulta em
e daremos a definição
f (x1)+ f ' (x1)k≈0 k≈−f (x1)
f ' (x1)
R≈x1−f (x1)
f ' (x1)
x2=x1−f (x1)
f ' (x1)
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Zeros de função
Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R
x1=x0−f (x0)
f '( x0)x2=x1−
f (x1)
f ' (x1)
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Newton-Raphson
Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R
Fazendo o mesmo procedimento sucessivamente obteremos
que constitui o método de Newton-Raphson
x1=x0−f (x0)
f '( x0)x2=x1−
f (x1)
f ' (x1)
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)
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Newton-Raphson
Mas qual é a condição para este método convergir?
A condição geral é
xi+1=Φ(xi) ;|Φ'(α)|≤1
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Newton-Raphson
Mas qual é a condição para este método convergir?
A condição geral é
Observando a forma do método de Newton-Raphson identificamos
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)⇒Φ(x )=x−
f (x)
f ' (x )
xi+1=Φ(xi) ;|Φ'(α)|≤1
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Newton-Raphson
Derivemos
Φ
'(x )= [ x− f (x )
f '( x) ]
'
=1−f '(x)
f '(x)
+f ( x) f ' '
(x)
[ f '( x)]2
Φ(X )
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Newton-Raphson
Derivemos
Supondo que a derivada de f(x) não se anula nas vizinhanças de R teremos
Φ'(x )= [ x− f (x )
f '( x) ]
'
=1−f '(x)
f '(x)
+f ( x) f ' '
(x)
[ f '( x)]2
Φ(X )
Φ' (x )=f (x ) f ' '( x)
[ f ' (x )]2
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Newton-Raphson
Então a condição de convergência será
|f (α) f ' ' (α)
[ f ' (α)]2 |≤1
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Newton-Raphson
Então a condição de convergência será
● A suposição de que a derivada não se anule nas vizinhanças de R é um alerta para quando temos zeros múltiplos
|f (α) f ' ' (α)
[ f ' (α)]2 |≤1
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Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja xo nas vizinhanças de R. Então,
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)
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Newton-Raphson
Método de Newton-Raphson
Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja xo nas vizinhanças de R. Então,
convergirá se
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)
|f (α) f ' ' (α)
[ f ' (α)]2 |≤1
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Newton-Raphson – Critérios de parada
Método de Newton-Raphson, Critérios de parada
Observe que podemos usar os mesmos critérios de parada que aplicamos no Método da Regula-False, afinal aqui obteremos, se houver convergência, uma sequência de valores para nossa solução.
Assim aplicaremos os critérios
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Newton-Raphson – Critérios de parada
avaliando os valores obtidos para X
Seja tolx o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o módulo da diferença entre dois valores sucessivos de X dividido por um destes valores for menor que tolx, ou seja,
tolx<|x i+1−xi|
|x i|ou tolx<
|xi+1−x i||xi+1|
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Newton-Raphson – Critérios de parada
avaliando o valor de f(X)
Seja tolf o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o valor de f(X) for menor que tolf, ou seja,
tolf < f (x i)
![Page 58: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/58.jpg)
Newton-Raphson –Critérios de parada
O mais rigoroso está na utilização conjunta destes dois critérios
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando
Já que a derivada será
e x−3 cos x
f (x)=ex−3 cos x
tolx<10−3
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando
Já que a derivada será
e Newton-Raphson será
e x−3 cos x
f (x)=ex−3 cos x f '
(x)=e x+3 sen x
tolx<10−3
![Page 61: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/61.jpg)
Newton-Raphson – Um Exemplo
Mas e o valor de x0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R.
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)=xi−
ex i−3cos xi
ex i+3 sen x i
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Mas e o valor de x0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R.
Aqui usaremos ½ mas poderíamos usar outros valores.
xi+1=xi−f (x i)
f ' (xi)=xi−
ex i−3cos xi
ex i+3 sen x i
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Daí
x1=x0−ex0−3 cos x0
ex0+3 sen x0
=0,5−−0,9840263,086997
=0,5+0,318764=0,818764
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Daí
Façamos o teste de parada
x1=x0−ex0−3 cos x0
ex0+3 sen x0
=0,5−−0,9840263,086997
=0,5+0,318764=0,818764
x2=x1−ex1−3cos x1
ex1+3 sen x1
=0,818764−0,2183224,458601
=0,818764−0,048966=0,769797
![Page 65: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/65.jpg)
Newton-Raphson – Um Exemplo
Vamos ao próximo passo
|x2−x1||x1|
=0,818764−0,769797
0,769797≈0,0636
![Page 66: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/66.jpg)
Newton-Raphson – Um Exemplo
Verifiquemos a condição de parada
x3=x2−ex2−3 cos x2
ex2+3 sen x2
=0,769797−0,0051714,247296
=0,769797−0,001217=0,768680
![Page 67: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/67.jpg)
Newton-Raphson – Um Exemplo
Verifiquemos a condição de parada
Mais um passo?
x3=x2−ex2−3 cos x2
ex2+3 sen x2
=0,769797−0,0051714,247296
=0,769797−0,001217=0,768680
|x3−x2||x2|
=|0,768680−0,769797|
|0,769797|≈0,001580
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Verifiquemos a condição de parada
x4=x3−e x3−3 cos x3
ex3+3 sen x3
=0,768680−6,18959×10−6
4,242046=0,768680−1,4591×10−6
=0,768578
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Verifiquemos a condição de parada
x4=x3−e x3−3 cos x3
ex3+3 sen x3
=0,768680−6,18959×10−6
4,242046=0,768680−1,4591×10−6
=0,768578
|x4−x3||x3|
=|0,768578−0,768680|
|0,768680|≈1,326×10−6
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Newton-Raphson – Um Exemplo
Resumo dos resultados
Observe que o valor de f(x) tende a zero enquanto o valor de f '(x) vai se estabilizando
|x4−x3||x3|
≈1,326×10−6 ; x4=0,768680−6,18959×10−6
4,242046=0,768578
|x3−x2||x2|
≈0,001580 ; x3=0,769797−0,0051714,247296
=0,768680
|x2−x1||x1|
≈0,0636 ; x2=0,818764−0,2183224,458601
=0,769797
![Page 71: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/71.jpg)
Newton-Raphson – Um Exemplo
Este método se mostrou extremamente rápido neste exemplo.
Tal comportamento é típico dele mas lembre-se que ele tem um critério de convergência.
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use
x4+ x−10
tolx<10−3
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use
Se então a derivada será
daí...
x4+ x−10
f (x)=x4+x−10 f '
(x)=4 x3+1
tolx<10−3
![Page 74: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/74.jpg)
Newton-Raphson – Outro Exemplo
Usaremos 1,5 como valor inicial
e
xi+1=xi−f (x i)
f '(xi)
=xi−xi
4+ xi−10
4 xi3+1
x1=x0−x0
4+ x0−10
4 x03+1
=32−
−3,437514,5
=1,5+0,237068=1,737068
![Page 75: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/75.jpg)
Newton-Raphson – Outro Exemplo
Usaremos 1,5 como valor inicial
e
xi+1=xi−f (x i)
f '(xi)
=xi−xi
4+ xi−10
4 xi3+1
x1=x0−x0
4+ x0−10
4 x03+1
=32−
−3,437514,5
=1,5+0,237068=1,737068
x2=x1−x1
4+ x1−10
4 x13+1
=1,737068−0,841802
21,965752=1,737068−0,038323=1,698744
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
Vamos ao próximo passo
|x2−x1||x1|
=|1,698744−1,737068|
|1,737068|≈0,022062
x3=x2−x2
4+ x2−10
4 x23+1
=1,698744−0,026188
20,608474=1,698744−0,001270=1,697473
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
Vamos ao próximo passo
e ao teste
|x2−x1||x1|
=|1,698744−1,737068|
|1,737068|≈0,022062
x3=x2−x2
4+ x2−10
4 x23+1
=1,698744−0,026188
20,608474=1,698744−0,001270=1,697473
|x3−x2||x2|
=|1,697473−1,698744|
|1,698744|≈7,4819×10−4
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
Experimentemos usar como valor inicial x = 0,5 para o problema anterior
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Newton-Raphson – Outro Exemplo
com de valor inicial teremos
xi+1=xi−f (x i)
f '(xi)
=xi−xi
4+ xi−10
4 xi3+1
x1=6,791666 ; x2=5,09766 ; x3=3,834881 ; x4=2,9076008 ; x5=2.259424
x0=0,5
x6=1,870764 ; x7=1,719265 ; x8=1,697863 ; x9=1,697472 ; x10=1,697471
![Page 80: Introdução aos Métodos Numéricos€¦ · Newton-Raphson – Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050508/5f99962096013e6d7d2cbae3/html5/thumbnails/80.jpg)
Newton-Raphson – Outro Exemplo
Vimos que a escolha do valor inicial deve ser criteriosa e não ao sabor de nossos achismos
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.
Ficou enigmático?
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.
Ficou enigmático? Use o que você sabe...
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.
Ficou enigmático? Use o que você sabe...
x2=a
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.
Ficou enigmático? Use o que você sabe...
x2=a⇒ x2
−a=0
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Ache a raiz quadrada de um número aa usando Newton-Raphson.
Ficou enigmático? Use o que você sabe...
x2=a⇒ x2
−a=0⇒ f (x)=x2−a
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Assim teremos
e a fórmula de Newton-Raphson terá a forma
que pode ser simplificada
f (x)=x2−a⇒ f '
(x)=2 x
xi+1=xi−f (x i)
f '(xi)
=xi−xi
2−a
2 xi
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
xi+1=xi−xi
2−a
2 xi
=2 xi
2−x i2+a
2 x i
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
xi+1=xi−xi
2−a
2 xi
=2 xi
2−x i2+a
2 x i
=xi
2+a
2 xi
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
que tem um custo computacional baixo por passo.
xi+1=xi−xi
2−a
2 xi
=2 xi
2−x i2+a
2 x i
=xi
2+a
2 xi
=12 (x i+
axi
)
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
que tem um custo computacional baixo por passo.
Mas qual a condição de convergência?
xi+1=xi−xi
2−a
2 xi
=2 xi
2−x i2+a
2 x i
=xi
2+a
2 xi
=12 (x i+
axi
)
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Observe que
derivando:
xi+1=Φ( xi) ; x i+1=12 ( xi+
ax i
)⇒Φ( x)=12 ( x+ a
x )
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Observe que
derivando: o que resulta na condição
xi+1=Φ( xi); x i+1=12 ( xi+
ax i
)⇒Φ( x)=12 ( x+ a
x )Φ
'(x)=
12 (1− a
x2 )
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Observe que
derivando: o que resulta na condição
xi+1=Φ( xi) ; x i+1=12 ( xi+
ax i
)⇒Φ( x)=12 ( x+ a
x )Φ
'(x)=
12 (1− a
x2 )
|12 (1−
a
α2 )|≤1⇒|1− a
α2|≤2
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Observe que tanto a quanto α são positivos.
|1−a
α2|≤2
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Observe que tanto a quanto α são positivos. Assim, esta condição (lembre-se, apenas suficiente) se dará quando
|1−a
α2|≤2
aα
2 ≤3⇒a≤3α2
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Como supomos estarmos próximos do valor de a logo está próximo de a. Assim podemos ler a condição
como “subavalie o chute inicial“.
Assim...
a3≤α
2
α2
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Algoritmo de determinação de raizes quadradas
com a condição suficientea3≤α
2
xi+1=12 (xi+
axi
)
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Algoritmo de determinação de raizes quadradas
com a condição suficiente
Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular.
a3≤α
2
xi+1=12 (xi+
axi
)
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Algoritmo de determinação de raizes quadradas
com a condição suficiente
Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular.
O que difere são os algoritmos para o chute inicial...
a3≤α
2
xi+1=12 (xi+
axi
)
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Mais um exercício
Faça quatro passos da iteração de Newton-Raphson para determinar a raiz quadrada de 7.
calculemos...
xi+1=12 (xi+
7xi
) ; x0=2
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
x1=12 ( x0+
7x0
)=12 (2+
72 )=11
4=2,75
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
x1=12 ( x0+
7x0
)=12 (2+
72 )=11
4=2,75 ; x2=
12 ( x1+
7x1
)=12 ( 11
4+
711/4 )=2,647727
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
x1=12 ( x0+
7x0
)=12 (2+
72 )=11
4=2,75 ; x2=
12 ( x1+
7x1
)=12 ( 11
4+
711/4 )=2,647727
x3=12 (x2+
7x2
)=2,645752 x4=12 ( x3+
7x3
)=2,645751
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Newton-Raphson – Raiz quadrada
Mesmo chutando muito mal, temos seis algarismos significativos coincidentes
x1=12 ( x0+
7x0
)=12 (2+
72 )=11
4=2,75 ; x2=
12 ( x1+
7x1
)=12 ( 11
4+
711/4 )=2,647727
x3=12 (x2+
7x2
)=2,645752 x4=12 ( x3+
7x3
)=2,645751
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Newton-Raphson e suas sutilezas
Como qualquer criação humana, este método tem seus limites, sutilezas e fatos curiosos
Vejamos isto num exemplo que foi apresentado no artigo de Thomas Dence “Cubics, chaos and Newton‘s method na Mathematical Gazette 81, novembro de 1997, páginas 403-408
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Newton-Raphson e suas sutilezas
Determine as raizes do polinômio por
Newton-Raphson usando os seguintes valores iniciais:
● 2,35287527
● 2.35284172
● 2.35283735
● 2.352836327
● 2.352836323
x3−2 x2−11 x+12
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Newton-Raphson e suas sutilezas
Ao fazer isto você verificará que cada valor convergirá para raizes diferentes
● 2,35287527 convergirá para 4
● 2.35284172 convergirá para -3
● 2.35283735 convergirá para 4
● 2.352836327 convergirá para -3
● 2.352836323 convergirá para 1
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Newton-Raphson e suas sutilezas
Isto enfatiza ainda mais a necessidade de conhecer a natureza do problema com o qual estamos usando qualquer método numérico, incluindo Newton-Raphson
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Newton-Raphson
A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional
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Newton-Raphson
A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional
Em algumas situações pode ser de interesse calcular a derivada um passo sim, um passo não, já que o valor numérico do cálculo da derivada tende a estabilizar
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Zeros de função
Outra possibilidade está em calcular a derivada aproximadamente usando o
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Zeros de função
Teorema do Valor Médio para Derivadas
Seja f(x) diferenciável no intervalo [A,B]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo para o qual é válido
f '(c)=
f (B)− f (A)
B−A;c∈[ A ,B ]
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Zeros de função
Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton-Raphson como abaixo
Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e xi.
xi+1=x i−f (x i)
f '(xi)
⇒ X=A− f (x i)B−A
f (B)−f (A )
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Zeros de função
Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton-Raphson como abaixo
Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e xi.
Façamos xi=A
xi+1=x i−f (x i)
f '(xi)
⇒ X=A− f (x i)B−A
f (B)−f (A )
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Zeros de função
que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi.
xi+1=x i−f (x i)
f '(xi)
⇒ X=A− f (A )B−A
f (B)−f (A )=
Af (B)−Bf (A )
f (B)− f (A)
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Zeros de função
que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi.
Observe que com isto descobrimos que Regula-Falsi:
● pode funcionar mesmo que R inicialmente não esteja em [A,B];
● pode ter problemas de convergência com zeros múltiplos
xi+1=x i−f (x i)
f '(xi)
⇒ X=A− f (A )B−A
f (B)−f (A )=
Af (B)−Bf (A )
f (B)− f (A)
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Zeros de função
Resumindo: o Método Regula-Falsi pode ser uma boa alternativa para determinar zeros de função, agora que sabemos um pouco sobre suas limitações.