metode newton raphson
DESCRIPTION
Metode Newton RaphsonTRANSCRIPT
![Page 1: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/2.jpg)
Misal diketahui suatu fungsi f yang terderensialkanpada suatu selang yang memuat akar. Ambilsebarang nilai awal x0. Karena f terderensial di x0,maka f mempunyai garis singgung di x0. Asumsikanbahwa gradiennya tidak sama dengan 0. Akibatnyagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x,sebut di x1. Dengan cara yang sama, f di x1 jugamempunyai garis singgung yang tidak nol, sehinggagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x dix2. Proses berlanjut sehingga titik potong-titikpotong tersebut akan konvergen ke akar f.
![Page 3: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/3.jpg)
Akar
x0 x1x2x3
![Page 4: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/4.jpg)
Perhatikan bahwa
)('
)(
)(0)('
0
001
01
00
xf
xfxx
xx
xfxf
Dengan cara yang sama diperoleh:
)('
)(
1
112
xf
xfxx
![Page 5: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/5.jpg)
Secara umum diperoleh model iterasi N-R sebagai berikut:
0)(',)('
)(1 i
i
iii xfdengan
xf
xfxx
Proses iterasi berhenti, bila:
ii xx 1
Atau
ex
xx
i
ii
1
1
![Page 6: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/6.jpg)
Perhatikan grafik berikut:
Proses iterasi akan divergen berosilasi.
akar
x0x1 x2
Agar metode N-R konvergen, maka harus dipenuhi syarat sbb:
0)(',1)('
)(")(2
xfdenganxf
xfxf
![Page 7: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/7.jpg)
)(1 ii xgx
Perhatikan kembali model iterasi titik tetap sebagai berikut:
Misalkan
)('
)()(
xf
xfxxg
2
2
)('
)(")(
)('
)(")()(')('1)('
xf
xfxf
xf
xfxfxfxfxg
Dengan demikian diperoleh syarat konvergensi metode N-R adalah :
1)('
)(")(2
xf
xfxf
![Page 8: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh :
Lakukan 6 langkah iterasi metode N-R untuk menghampirisalah akar dari persamaan :
xexf x 4)(Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!
![Page 9: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/10.jpg)
x0x1x2
Pada metode Newton-Raphson diperlukan perhitungan
turunan fungsi f, f’. Turunan tersebut dapat dihilangkan
dengan cara menggantinya dengan bentuk yang ekuivalen,
yakni gradien talibusur. Perhatikan gambar berikut:
Misalkan diberikan dua nilai awal, sebut x0 dan x1. Karena f
kontinyu, maka f0 dan f1 pasti ada. Kemudian dibuat tali busur
yang menghubungkan titik (x0, f0) dan (x1, f1).
akar
![Page 11: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/11.jpg)
Jika diasumsikan gradiennya tidak nol, maka talibusur
tersebut akan memotong sumbu x, katakan di x2.
Karena f kontinyu, maka f2 pasti ada. Kemudian dibuat
talibusur yang menghubungkan (x1, f1) dan (x2, f2),
yang memotong sumbu x di x3, proses berlanjut dan
pada akhirnya titik potong talibusur dengan sumbu x
akan konvergen ke akar.
Pandang model iterasi N-R
0)(',)('
)(1 i
i
iii xfdengan
xf
xfxx
1
1)()()('
ii
ii
xx
xfxf
x
yxf
Jika
![Page 12: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/12.jpg)
Maka diperoleh model iterasi secant sebagai berikut:
)()(
))((
1
11
ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
Proses iterasi berhenti , jika :
ex
xxatauxx
i
iiii
1
11
![Page 13: Metode Newton Raphson](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022033009/55cf99b7550346d0339ed5cf/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh :
Lakukan 6 langkah iterasi metode secant untukmenghampiri akar dari persamaan :
xexf x 4)(
Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!