metode newton termodifikasi untuk pencarian … · bagai metode newton-raphson merupakan salah satu...
TRANSCRIPT
i
METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN
AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Juliani Sihotang
NIM: 123114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
A MODIFIED NEWTON’S METHOD FOR FINDING ROOTS
OF NONLINEAR EQUATIONS
FINAL ASSIGNMENT
Presented as a Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Juliani Sihotang
Student ID: 123114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Memperoleh hikmat sungguh jauh melebihi memperoleh
emas, dan mendapat pengertian jauh lebih berharga
dari pada mendapat perak”
~ Amsal 16:16 ~
Tugas akhir ini ku persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus
Ayahku, Kiman Sihotang
Ibuku, Lasmaria Pandiangan
Orang-orang terkasih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar dari
fungsi dengan satu variabel bebas yang didasarkan pada prinsip iterasi metode
Newton standar. Metode Newton (baik yang versi standar ataupun yang
termodifikasi) adalah suatu iterasi pendekatan fungsi tak linear dengan hampiran
linear. Metode Newton termodifikasi lebih cepat konvergen dibandingkan dengan
metode Newton standar. Sebagai catatan, tingkat konvergensi metode Newton
termodifikasi dan metode Newton standar secara berturut-turut adalah √ dan 2.
Metode Newton termodifikasi relatif sederhana dan robust. Hasil percobaan
menunjukkan bahwa jumlah iterasi dari metode Newton termodifikasi lebih
sedikit bila dibandingkan dengan metode Newton standar. Akan tetapi, satu kali
iterasi metode Newton termodifikasi membutuhkan waktu lebih lama, karena
metode Newton termodifikasi melakukan proses perhitungan yang lebih banyak.
Masalah aliran steady air dangkal telah diselesaikan dengan menggunakan
metode Newton termodifikasi. Dalam hal memecahkan masalah pencarian akar,
terlihat bahwa metode Newton termodifikasi lebih baik dari pada metode biseksi
dan metode Newton standar. Metode Newton termodifikasi memberikan cara
alternatif untuk mendapatkan akar fungsi nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Modified Newton’s method is a root finding method of a function with one
independent variable, based on the principal of standard Newton’s method
iteration. The Newton’s method (either the standard version or modified) iteration
is an approximation of nonlinear function by linear function. The modified
Newton’s method converges faster compared to the standard Newton’s method.
As a note, the convergence order of the modified Newton’s method and standard
Newton’s method are √ and 2 respectively.
Modified Newton’s method is relatively simple and robust. Numerical
examples show that the iteration number of the modified Newton’s method is less
than standard Newton’s method. However, one iteration of the modified Newton’s
method needs more time, because the process of this method does more
calculations.
The steady flow problem has been solved using the modified Newton’s
method. In terms of solving the problem of finding roots, it appears that the
modified Newton's method is better than the bisection method and standard
Newton’s method. The modified Newton’s method give an alternative way to get
the roots of a nonlinear function.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat
yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan
penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas akhir ini
dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan
sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan
tugas akhir ini.
2. Bapak Y. G Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program Studi
Matematika.
3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Kedua orang tuaku, Kiman Sihotang dan Lasmaria Pandiangan, serta
kedua kakakku Romauli Sihotang, Priskila Sihotang, dan adikku Legina
Sihotang yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan
masukkan positif kepadaku.
5. Saudara dan saudariku komsel Area Sanata Dharma yang telah
memberikan semangat dan dukungan kepadaku dengan penuh kasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi
ABSTRAK .......................................................................................................... vii
ABSTRACT ....................................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................... x
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ............................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................... 4
C. Batasan Masalah ....................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 4
E. Metode Penulisan ..................................................................................... 4
F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 5
BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................. 7
A. Metode Newton ......................................................................................... 7
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton .................................................... 10
C. Analisis Galat Metode Newton ............................................................... 12
D. Persamaan Diferensial ............................................................................. 13
E. Integral .................................................................................................... 18
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .......................................................... 22
G. Konvergensi Deret Taylor ....................................................................... 23
BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH
PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA ................... 29
A. Metode Newton Termodifikasi ............................................................... 29
B. Aliran Steady Air Dangkal ...................................................................... 39
C. Hasil Numeris ......................................................................................... 44
BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI ........ 47
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi .......................................... 47
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal............................................... 48
BAB V PENUTUP ............................................................................................. 51
A. Kesimpulan ............................................................................................ 51
B. Saran ........................................................................................................ 52
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 53
LAMPIRAN ....................................................................................................... 54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan
masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, serta sistema-
tika penulisan tugas akhir ini.
A. Latar Belakang
Masalah di dunia nyata dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan atau
sistem persamaan matematika. Penyelesaiannya dapat berupa penyelesaian ana-
litis maupun bukan analitis.
Untuk penyelesaian analitis, model matematika diselesaikan
menggunakan teori dan analisa matematika yang telah ada sedemikian rupa se-
hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk
penyelesaian bukan analitis, penyelesaian dari model matematika tersebut di-
peroleh dengan menggunakan metode pendekatan yang dikembangkan untuk
menangani model matematika tersebut sedemikian rupa sehingga penyelesaian
yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Dengan demikian,
penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut
selanjutnya disebut metode numerik.
Metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang diformulasikan
secara matematis dengan cara operasi hitungan atau aritmatika dan dilakukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
secara iteratif dengan bantuan komputer atau secara manual. Analisis suatu ma-
salah yang didekati dengan menggunakan metode numerik umumnya melibat-
kan angka-angka dalam jumlah banyak dan melewati proses perhitungan ma-
tematika yang cukup rumit.
Dalam analisis numerik, metode Newton standar yang juga dikenal se-
bagai metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode yang dikenal un-
tuk mencari hampiran terhadap akar fungsi real. Metode Newton standar yang
dibahas dalam tugas akhir ini adalah metode untuk mencari akar persamaan non-
linear 𝑓(𝑥) = 0 dengan satu titik 𝑥0 sebagai kondisi awalnya dan fungsi 𝑓(𝑥)
mempunyai turunan pertama. Metode ini dianggap lebih mudah dari metode
biseksi karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal.
Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka metode
Newton standar semakin cepat konvergen ke akarnya.
Metode Newton standar dapat dijelaskan secara geometris seperti tampak
pada Gambar 1 dan penjabarannya sebagai berikut. Dimulai dengan menetukan
𝑥0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang me-
nyinggung grafik fungsi f di titik (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Garis l memotong sumbu x dititik
𝑥1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang 𝑥1 dianggap sebagai
titik awalnya. Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik
𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dengan 𝑥𝑛 adalah bilangan real yang merupakan akar atau
mendekati akar sebenarnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Gambar 1.1: Ilustrasi iterasi metode Newton standar.
Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama 𝑓′. Barisan 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …
diperoleh dari iterasi
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛), untuk 𝑛 = 0,1,2 … (1)
Metode Newton standar di atas mempunyai tingkat konvergensi dua (kua-
dratik).Dalam perkembangannya, pada tahun 2014, metode ini telah dimodifi-
kasi sehingga diperoleh metode dengan tingkat konvergensi lebih tinggi yang
disebut metode Newton termodifikasi. Iterasi untuk metode Newton termodifi-
kasi adalah:
𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1
∗ ]), (2)
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′[12(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘
∗)]
(3)
dengan 𝑥𝑘∗ adalah iterasi ke-𝑘, untuk 𝑘 = 1,2,3, … .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Penelitian ini akan membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dari
metode Newton standar dengan metode Newton termodifikasi.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton standar?
2. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton termodifikasi?
3. Bagaimana menerapkan metode Newton termodifikasi dalam masalah
dinamika fluida?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada metode
Newton standar dan metode Newton termodifikasi untuk mencari akar real suatu
persamaan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk memodifikasi metode New-
ton standar sehingga menghasilkan metode numeris yang lebih akurat.
E. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku
atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan metode Newton standar, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
2. Simulasi numeris, yaitu dengan menggunakan komputer, akan dicari akar
real suatu persamaan.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah kita
dapat mengetahui suatu metode yang mirip dengan metode Newton standar
yang disebut metode Newton termodifikasi yang hasilnya lebih akurat daripada
hasil dari metode Newton standar.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Metode Newton
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton
C. Analisis Galat Metode Newton
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
D. Persamaan Diferensial
E. Integral
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
G. Konvergensi Deret Taylor
BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH
PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA
A. Metode Newton Termodifikasi
B. Aliran Steady Air Dangkal
C. Hasil Numeris
BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Landasan teori tugas akhir ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut
meliputi: metode Newton, konvergensi metode Newton, analisis galat metode
Newton standar, persamaan diferensial, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin,
dan konvergensi deret Taylor.
A. Metode Newton
Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton standar yang meliputi
definisi dan contoh dari metode Newton standar tersebut.
Definisi 2.1
Metode Newton standar adalah salah satu metode numerik yang dapat
digunakan untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan 𝑓(𝑥) = 0. Dengan
f dapat dideferensialkan sehingga grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai sebuah garis
singgung pada setiap titik. Jika dapat ditentukan hampiran pertama 𝑥1 untuk sebuah
akar 𝑟 yang diperoleh dengan cara menerka atau dari sketsa kasar grafik 𝑓, maka
hampiran 𝑥2 yang lebih mendekati akar 𝑟 diperoleh dari perpotongan garis
singgung di (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) dengan sumbu 𝑥. Dengan menggunakan 𝑥2 sebagai sebuah
hampiran, maka dapat ditentukan hampiran 𝑥3 yang lebih mendekati lagi dan
seterusnya. Proses tersebut dapat dirumuskan dengan mengingat persamaan garis
singgung di (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
𝑦 − 𝑓(𝑥1) = 𝑓′(𝑥1)(𝑥 − 𝑥1) dan titik potong sumbu 𝑥 di 𝑥2 dapat ditentukan
dengan 𝑦 = 0 dan 𝑓(𝑥1) ≠ 0 maka diperoleh
0 − 𝑓(𝑥1) = 𝑓′(𝑥1)(𝑥 − 𝑥1),
atau
𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1).
Lalu 𝑥2 digunakan untuk hampiran kedua untuk menghampiri 𝑟, yang akan
menghasilkan hampiran ketiga. Jika terus mengulang proses iterasi maka akan
diperoleh barisan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . Umumnya, jika hampiran ke-𝑛 adalah 𝑥𝑛 dan
𝑓(𝑥𝑛) ≠ 0, maka diperoleh skema untuk metode Newton standar yaitu
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛),
dengan 𝑛 = 0,1,2,3, … .
Untuk menghentikan proses iterasi, misalkan toleransi kesalahan 𝜀 > 0 sehingga
|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| < 𝜀 atau |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀.
Contoh 2.1
Gunakan metode Newton standar untuk menentukan akar real 𝑟 dari 𝑓(𝑥) =
𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1 dengan ketelitian sampai lima tempat desimal (dengan 𝜀 =
0.00001).
Penyelesaian :
Misal 𝑥0 =1 sebagai hampiran pertama untuk 𝑟. Dipandang
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1,
maka turunan pertamanya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥.
Menggunakan rumus iterasi Newton standar
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛),
diperoleh
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑥𝑛
4 + 3𝑥𝑛3 − 4𝑥𝑛
2 − 1
4𝑥𝑛3 + 9𝑥𝑛
2 − 8𝑥𝑛
.
Hasil iterasi Newton standar untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4 adalah sebagai berikut:
Untuk 𝑛 = 0, maka
𝑥1 = 1 −14 + 3(1)3 − 4(1)2 − 1
4(1)3 + 9(1)2 − 8(1)= 1.2,
sehingga
|𝑓(1.2)| = |0.4976| = 0.4976.
Untuk 𝑛 = 1, maka
𝑥2 = 1.2 −(1.2)4 + 3(1.2)3 − 4(1.2)2 − 1
4(1.2)3 + 9(1.2)2 − 8(1.2)= 1.15156,
sehingga
|𝑓(1.15156)| = |0.03537| = 0.03537.
Untuk 𝑛 = 2, maka
𝑥3 = 1.15156 −(1.15156)4 + 3(1.15156)3 − 4(1.15156)2 − 1
4(1.15156)3 + 9(1.15156)2 − 8(1.15156)= 1.14857,
sehingga
|𝑓(1.14857)| = |0.00909| = 0.00909.
Untuk 𝑛 = 3, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
𝑥4 = 1.14857 −(1.14857)4 + 3(1.14857)3 − 4(1.14857)2 − 1
4(1.14857)3 + 9(1.14857)2 − 8(1.14857)= 1.14753,
sehingga
|𝑓(1.14753)| = |0.00001| = 0.00001.
Untuk 𝑛 = 4, maka
𝑥5 = 1.14753 −(1.14753)4 + 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1
4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753)= 1.14753,
sehingga
|𝑓(1.14753)| = |0.00001| = 0.00001.
Setelah melewati empat langkah, akan dijumpai lima digit pertama yang sama,
dengan |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| < 𝜀. Jadi akar yang diperoleh adalah 𝑥 = 1.14753 dengan
jumlah iterasi sebanyak 4 kali.
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton
Akan dibahas tentang konvergensi dari metode Newton standar dan akan
ditunjukkan tingkat konvergensinya.
Definisi 2.2
Misalkan 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2, … merupakan barisan yang konvergen ke- 𝑝, dan 𝑒𝑛 =
𝑝 − 𝑝𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, … . Jika terdapat suatu bilangan 𝑅 > 0 dan konstanta 𝐶 ≠
0 sedemikian sehingga:
lim𝑛→∞
|𝑝 − 𝑝𝑛+1|
|𝑝 − 𝑝𝑛|𝑅= lim
𝑛→∞
|𝑒𝑛+1|
|𝑒𝑛|𝑅= 𝐶∗,
maka R disebut tingkat konvergensi dari barisan itu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Catatan: Jika 𝑅 = 1, maka barisan disebut konvergen secara linear.
Jika 𝑅 > 1, maka barisan disebut konvergen secara superlinear.
Jika 𝑅 = 2, maka barisan disebut konvergen secara kuadratik.
Jika 𝑅 = 3, maka barisan disebut konvergen secara kubik.
Misalkan 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … mendekati 𝑥∗, maka
a. Tingkat konvergensinya paling tidak adalah linear.
Jika berlaku
|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝐶|𝑥𝑛 − 𝑥∗|,
untuk suatu 0 < 𝐶 < 1 dan suatu bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁.
b. Tingkat konvergensi paling tidak adalah superlinear.
Jika terdapat barisan {𝑝𝑛} → 0 dan bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁 sehingga
berlaku
|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝑝𝑛|𝑥𝑛 − 𝑥∗|.
c. Tingkat konvergensi paling tidak adalah kuadratik.
Jika terdapat bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁 dan konstanta positif 𝐶 (tidak harus
< 1) sehingga berlaku
|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝐶|𝑥𝑛 − 𝑥∗|2.
Barisan {𝑥𝑘}𝑘=0∞ dapat dipandang sebagai suatu barisan yang memenuhi
Definisi 2.2. Misalkan 𝑥𝑟 akar sesungguhnya dari persamaan tak linear 𝑓(𝑥), maka
barisan itu konvergen ke 𝑥𝑟.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
C. Analisis Galat Metode Newton
Bagaimanakah galat metode Newton standar berubah dari satu langkah ke
langkah berikutnya?. Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret
Taylor, rumus galat dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat
langsung diperoleh. Tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus
galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.
Contoh 2.2
Tentukan rumus galat dan tingkat keakuratan dari rumus metode Newton standar :
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
Penyelesaian:
Misalkan 𝑒𝑛 = 𝑟 − 𝑥𝑛
dengan 𝑟 adalah akar eksak dan 𝑥𝑛 adalah hampiran 𝑟 pada langkah ke- 𝑛.
maka:
𝑒𝑛+1 = 𝑟 − 𝑥𝑛+1,
= 𝑟 − (𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)),
= 𝑟 − 𝑥𝑛 +𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛),
= 𝑒𝑛 +𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛),
=𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛).
Dengan deret Taylor menghasilkan :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
0 = 𝑓(𝑟) = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝑒𝑛),
= 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2
𝑓′′(𝑥𝑛)
2!+ ⋯
= 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2
𝑓′′(𝜉𝑛)
2!+ ⋯ untuk 𝑥𝑛 ≤ 𝜉 ≤ 𝑟
𝑓(𝑟) = 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2
𝑓′′(𝜉𝑛)
2,
diperoleh
𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) = −1
2𝑒𝑛
2𝑓′′(𝜉𝑛).
Dari persamaan 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛)+𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛) dan 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) = −
1
2𝑒𝑛
2𝑓′′(𝜉𝑛) menjadi
𝑒𝑛+1 = −𝑓′′(𝜉𝑛)𝑒𝑛
2
2𝑓′(𝑥𝑛)≈ −
𝑓′′(𝑟)𝑒𝑛2
2𝑓′(𝑟)= 𝐶𝑒𝑛
2,
untuk 𝑥𝑛 yang cukup dekat dengan 𝑟.
Karena 𝑒𝑛+1 ≈ 𝐶𝑒𝑛2 . Disimpulkan bahwa metode Newton standar konvergen
secara kuadratik untuk 𝑥𝑛 yang cukup dekat dengan 𝑟. Dengan kata lain, tingkat
keakuratan metode Newton standar adalah tingkat dua.
D. Persamaan Diferensial
Berikut ini dibahas tentang persamaan diferensial. Persamaan diferensial
yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan
diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, kelinearan suatu persamaan
diferensial, dan aturan rantai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.4
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan variabel-
variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0, (2.4)
𝑑5𝑥
𝑑𝑡5+ 6 (
𝑑𝑥
𝑑𝑡)
4
= cos (𝑡), (2.5)
𝜕𝑢
𝜕𝑠+
𝜕𝑢
𝜕𝑡= 0, (2.6)
𝜕2𝑠
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑠
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑠
𝜕𝑧2= 0. (2.7)
Definisi 2.5
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.4
Persamaan (2.4) dan (2.5) merupakan persamaan diferensial biasa. Pada
persamaan (2.4) variabel 𝑥 adalah suatu variabel bebas, dan variabel 𝑦 adalah
variabel tak bebas. Pada persamaan (2.5), variabel 𝑡 adalah variabel bebas, dengan
𝑥 adalah variabel tak bebasnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.6
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari
satu variabel bebas.
Contoh 2.5
Persamaan (2.6) dan (2.7) merupakan persamaan diferensial parsial. Pada
persamaan (2.6), variabel 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑢 adalah variabel tak
bebasnya. Pada persamaan (2.7) terdapat tiga variabel bebas yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧
dengan 𝑠 adalah variabel tak bebasnya.
Definisi 2.7
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
terkandung dalam persamaan diferensial.
Contoh 2.6
Persamaan diferensial biasa (2.4) adalah persamaan diferensial orde pertama,
karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah satu.
Persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial biasa orde kelima. Persamaan (2.6)
termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan (2.7) merupakan
persamaan diferensial parsial orde kedua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa orde ke- 𝑛
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0,
dikatakan linear jika F merupakan suatu fungsi linear dari variabel
𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛); definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial
parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde 𝑛 dituliskan sebagai
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥), (2.8)
dengan 𝑎0 tidak sama dengan nol.
Di sini 𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥, 𝑦′′ =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 , … , 𝑦𝑛 =𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan
berikut, variabel 𝑦 adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa 𝑦 dan turunan-
turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari 𝑦 dan atau
turunan dari 𝑦:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0, (2.9)
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ 5𝑥4
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 2𝑥4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 6𝑥. (2.10)
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.8)
dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 6
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 6𝑦3 = 0, (2.11)
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4+ 4 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
5
+ 8𝑦 = 0, (2.12)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 9𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 7𝑦 = 0. (2.13)
Persamaan (2.11) tak linear karena variabel tak bebas 𝑦 terdapat pada orde
kedua dalam bentuk 6𝑦3. Persamaan (2.12) juga tak linear karena terdapat bentuk
4 (𝑑𝑦
𝑑𝑥)
5
yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan (2.13) tak
linear karena pada bentuk 9𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥 melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan
turunan pertamanya.
Definisi 2.9
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan
fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 dan 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial,
maka secara tidak langsung 𝑦 adalah fungsi terdiferensial dari 𝑥 dan
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Aturan rantai kasus 2
Andaikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑦 yang terdiferensial, dengan
𝑥 = 𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡) keduanya fungsi dari 𝑡 yang terdiferensial. Maka 𝑧 adalah
fungsi dari 𝑡 yang terdiferensial dan
𝑑𝑧
𝑑𝑡=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡.
E. Integral
Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh
dari integral tertentu dan tak tentu.
Definisi 2.10
Jika diberikan suatu fungsi 𝑓(𝑥) pada suatu interval 𝐼 dan berlaku 𝐹′(𝑥) =
𝑓(𝑥), untuk suatu 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑥) adalah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥). Dengan
kata lain 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Contoh 2.8
Carilah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 pada (−∞, ∞).
Penyelesaian:
Fungsi 𝐹(𝑥) = 5𝑥3 bukan anti turunannya karena turunan 5𝑥3 adalah 15𝑥2. Tetapi
hal ini menyarankan 𝐹(𝑥) =5
3𝑥3, yang memenuhi 𝐹′(𝑥) =
5
33𝑥2 = 5𝑥2. Dengan
demikian, suatu anti turunan dari 𝑓 adalah 5
3𝑥3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … 𝑑𝑥. Notasi tersebut menunjukkan anti
turunan terhadap 𝑥. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
Teorema 2.1
Jika 𝑟 adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1
𝑟 + 1+ 𝐶.
Bukti:
Untuk membuktikan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶,
cukup dengan membuktikan
𝐷𝑥[𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝑓(𝑥).
Dalam hal ini,
𝐷𝑥 [𝑥𝑟+1
𝑟 + 1+ 𝐶] =
1
𝑟 + 1(𝑟 + 1)𝑥𝑟 = 𝑥𝑟 .
Teorema terbukti.
Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. untuk mengaproksimasi luas dibawah
kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada selang [𝑎, 𝑏], dilakukan dengan cara aproksimasi yaitu
dengan membagi interval [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 subinterval.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel.
Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu 𝑏−𝑎
𝑛 untuk 𝑛 > 0. Setelah
membagi interval menjadi 𝑛 subinterval kemudian menghitung total jumlah luasan
dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-masing subinterval
tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dengan 𝑎 = 𝑥0, 𝑏 = 𝑥𝑛,
dan
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =𝑏 − 𝑎
𝑛,
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu 𝑏−𝑎
𝑛 dinotasikan dengan ∆𝑥,
maka
∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.
𝑦
𝑥
𝑎 𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.2: Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang
dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛. Artinya total luas tersebut dapat ditulis
𝑓(𝑢1)∆𝑥 + 𝑓(𝑢2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑢𝑛)∆𝑥 = ∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
yang disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval [a,b], sebagai pendekatan
luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan diatas sumbu 𝑥. Disini, 𝑢𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆𝑥 → 0 maka semakin
baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang
sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim∆𝑥→0
∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.
𝑖
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 = 𝑥0 𝑥1 𝑥2 ∆𝑥 𝑢𝑖 𝑥𝑛 = 𝑏
𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Definisi 2.11
Andaikan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada [𝑎, 𝑏]. Integral tentu 𝑓 dari 𝑎 sampai
𝑏 dinotasikan ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎, adalah
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim∆𝑥→0
∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.
𝑖
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini dibahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin beserta
contohnya.
Definisi 2.12
Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan-turunan dari semua
tingkat pada interval tertentu dengan 𝑎 adalah suatu titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh 𝑓 di sekitar 𝑥 = 𝑎 adalah:
∑𝑓(𝑘)(𝑎)
𝑘!
∞
𝑘=0
(𝑥 − 𝑎)𝑘 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + ⋯.
Deret Maclaurin yang diberikan oleh 𝑓 adalah:
∑𝑓(𝑘)(0)
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑥𝑘 = 𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +𝑓′′(0)
2!𝑥2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!𝑥𝑛 + ⋯,
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓 di sekitar 𝑥 = 0.
Contoh 2.9
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 di sekitar 𝑎 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Penyelesaian:
Diperoleh hasil:
𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥,
𝑓′(𝑥) = 2𝑒2𝑥,
𝑓′′(𝑥) = 4𝑒2𝑥,
𝑓′′′(𝑥) = 8𝑒2𝑥,
….
Akan dicari nilai 𝑓(0), 𝑓′(0), 𝑓′′(0), 𝑓′′′(0), ….
sehingga diperoleh:
𝑓(0) = 1,
𝑓′(0) = 2,
𝑓′′(0) = 4,
𝑓′′′(0) = 8,
…
Maka deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 saat 𝑎 = 0adalah:
𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +𝑓′′(0)
2!𝑥2 +
𝑓′′′(0)
3!𝑥3 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!𝑥𝑛 + ⋯
= 1 + 2𝑥 + 2𝑥2 +4
3𝑥3 + ⋯
G. Konvergensi Deret Taylor
Deret Taylor dapat digunakan untuk mengetahui kekonvergenan suatu fungsi.
Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Teorema 2.2 Teorema Taylor
Jika 𝑓 dan turunan-turunan pertama hingga ke-𝑛 𝑓′, 𝑓′′, … , 𝑓(𝑛) kontinu pada
interval tertutup antara 𝑎 dan 𝑏, dan 𝑓(𝑛) terdiferensial pada interval terbuka antara
𝑎 dan 𝑏, maka terdapat bilangan 𝑐 antara 𝑎 dan 𝑏 sedemikian sehingga:
𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑏 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!(𝑏 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑏 − 𝑎)𝑛
+𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!(𝑏 − 𝑎)𝑛+1.
Bukti:
Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏.
Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛,
dan turunan pertama 𝑛-nya sesuai dengan fungsi 𝑓 dan turunan pertama 𝑛-nya pada
𝑥 = 𝑎. Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku lain dari
bentuk 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1, dengan 𝑀 adalah suatu konstana, karena suku tersebut dan
turunan pertama 𝑛-nya semua sama dengan nol pada 𝑥 = 𝑎. Lalu, didefinisikan
fungsi baru yaitu:
𝜙𝑛(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1,
dengan turunan pertama 𝑛-nya masih sesuai dengan fungsi 𝑓 dan turunan pertama
𝑛-nya pada 𝑥 = 𝑎.
Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari 𝑀 yang membuat kurva 𝑦 =
𝜙𝑛(𝑥) sesuai dengan kurva asli 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑏, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
𝑓(𝑏) = 𝑃𝑛(𝑏) + 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑛+1, atau 𝑀 =𝑓(𝑏)−𝑃𝑛(𝑏)
(𝑏−𝑎)𝑛+1 , (2.14)
dengan 𝑀 didefinisikan oleh persamaan (2.14), maka fungsi:
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜙𝑛(𝑥),
yang merupakan selisih antara fungsi asli 𝑓 dan fungsi aproksimasi 𝜙𝑛(𝑥) untuk
setiap 𝑥 di [𝑎, 𝑏].
Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena 𝐹(𝑎) =
𝐹(𝑏) = 0 dan 𝐹 dan 𝐹′ keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka
𝐹′(𝑐1) = 0, untuk 𝑐1 di (𝑎, 𝑏).
Lalu, karena 𝐹′(𝑎) = 𝐹′(𝑐1) = 0 dan 𝐹′ dan 𝐹′′ keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑐1],
maka
𝐹′′(𝑐2) = 0, untuk 𝑐2 di (𝑎, 𝑐1).
Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada 𝐹′′, 𝐹′′′, ⋯ , 𝐹(𝑛−1)
yaitu:
𝑐3 pada (𝑎, 𝑐2) sedemikian sehingga 𝐹′′′(𝑐3) = 0,
𝑐4 pada (𝑎, 𝑐3) sedemikian sehingga 𝐹(4)(𝑐4) = 0,
⋮
𝑐𝑛 pada (𝑎, 𝑐𝑛−1) sedemikian sehingga 𝐹(𝑛)(𝑐𝑛) = 0.
Karena 𝐹(𝑛) kontinu pada [𝑎, 𝑐𝑛] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑐𝑛), dan 𝐹(𝑛)(𝑎) =
𝐹(𝑛)(𝑐𝑛) = 0, bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu
bilangan 𝑐𝑛+1 pada (𝑎, 𝑐𝑛) sedemikian sehingga
𝐹(𝑛+1)(𝑐𝑛+1) = 0. (2.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Jika diturunkan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑃𝑛(𝑥) − 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 total dari 𝑛 + 1 kali, maka
diperoleh:
𝐹(𝑛+1)(𝑥) = 𝑓(𝑛+1)(𝑥) − 0 − (𝑛 + 1)! 𝑀. (2.16)
Berdasarkan persamaan (2.15) dan (2.16), diperoleh:
𝑀 =𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!, dengan 𝑐 = 𝑐𝑛+1 pada (𝑎, 𝑏). (2.17)
Dan berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.17), diperoleh:
𝑓(𝑏) = 𝑃𝑛(𝑏) +𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!(𝑏 − 𝑎)𝑛+1.
Teorema terbukti.
Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan 𝑎 tetap dan 𝑏
adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti 𝑏 dengan
𝑥. Rumus dibawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah 𝑏
dengan 𝑥.
Rumus Taylor
Jika 𝑓 mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka
𝐼 yang memuat 𝑎, maka untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛 dan untuk setiap 𝑥 di
𝐼,
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯
+𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥),
(2.18)
dimana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1,
(2.19)
untuk 𝑐 antara 𝑎 dan 𝑥.
Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka:
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥).
Fungsi 𝑅𝑛(𝑥) ditentukan oleh nilai dari (𝑛 + 1) turunan ke 𝑓(𝑛+1) di titik 𝑐 yang
bergantung pada kedua 𝑎 dan 𝑥, dan terletak diantara mereka.
Persamaan (2.14) disebut rumus Taylor. Fungsi 𝑅𝑛(𝑥) disebut suku galat
untuk aproksimasi 𝑓 oleh 𝑃𝑛(𝑥) terhadap interval 𝐼.
Definisi 2.13
Jika 𝑅𝑛(𝑥) → 0, 𝑛 → ∞ untuk semua 𝑥 ∈ 𝐼 maka deret Taylor yang dibangun
oleh 𝑓 saat 𝑥 = 𝑎 pada interval 𝐼, ditulis sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)
𝑘!(𝑥 − 𝑎)𝑘.
∞
𝑘=0
𝑅𝑛(𝑥) dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai 𝑐, untuk mengetahuinya
dapat dilihat contoh sebagai berikut.
Contoh 2.10
Tunjukan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 saat 𝑥 = 0
konvergen ke 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Fungsi 𝑓(𝑥) mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval 𝐼 = (−∞, ∞).
Persamaan (2.14) dan (2.15) dengan 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 dan 𝑥 = 0, maka:
𝑒2𝑥 = 1 + 2𝑥 +4
2!𝑥2 + ⋯ +
2𝑛𝑥𝑛
𝑛!+ 𝑅𝑛(𝑥),
dan
𝑅𝑛(𝑥) =𝑒2𝑐
(𝑛 + 1)!𝑥𝑛+1,
untuk 𝑐 antara 0 dan 𝑥.
Karena 𝑒2𝑥 adalah fungsi naik, maka 𝑒2𝑥 berada diantara 𝑒0 = 1 dan 𝑒2𝑥. Ketika
nilai 𝑥 < 0 maka nilai 𝑐 < 0 dan 𝑒2𝑐 < 1. Ketika nilai 𝑥 = 0 maka nilai 𝑒2𝑥 = 1
dan 𝑅𝑛(𝑥) = 0. Ketika nilai 𝑥 > 0 maka 𝑐 > 0 dan 𝑒2𝑐 < 𝑒2𝑥. Maka
|𝑅𝑛(𝑥)| ≤|𝑥|𝑛+1
(𝑛 + 1)!,
saat 𝑥 ≤ 0, dan
|𝑅𝑛(𝑥)| < 𝑒2𝑥|𝑥|𝑛+1
(𝑛 + 1)!,
saat 𝑥 > 0.
Karena
lim𝑛→∞
𝑥𝑛+1
(𝑛 + 1)!= 0,
untuk setiap 𝑥, lim𝑛→∞
𝑅𝑛(𝑥) = 0 dan deret konvergensi untuk setiap 𝑥, maka:
𝑒2𝑥 = ∑2𝑘𝑥𝑘
𝑘!=
∞
𝑘=0
1 + 2𝑥 +4
2!𝑥2 + ⋯ +
2𝑘𝑥𝑘
𝑘!+ ⋯ (2.20)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
BAB III
METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH
PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA
Dalam bab ini akan dijelaskan metode Newton termodifikasi, konvergensi
metode Newton termodifikasi, karakteristik persamaan gelombang air dangkal, dan
hasil numeris yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan
persamaan gelombang air dangkal.
A. Metode Newton Termodifikasi
Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton termodifikasi yang
meliputi definisi dan contoh dari metode Newton termodifikasi tersebut.
Definisi 3.1
Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar yang
didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar, yaitu pendekatan fungsi tak
linear 𝑓(𝑥) dengan hampiran linear. Skema Newton termodifikasi diperoleh dengan
mempertinggi tingkat keakuratan metode Newton standar dengan memperhatikan
fungsi tak linear yang akan ditentukan akarnya.
Dengan menetukan 𝑥0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang
menyinggung grafik fungsi f di titik (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Garis tersebut memotong sumbu
x di titik 𝑥1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tetapi sekarang 𝑥1 dianggap
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
sebagai titik awalnya, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung garik
fungsi f di titik (𝑥1, 𝑓(𝑥1)). Garis tersebut memotong sumbu x dititik 𝑥1∗.
Keterangan: 𝑓(𝑥)dinyatakan saat 𝑥0 dan𝑥1.
𝑓′(𝑥) dinyatakan saat(𝑥0∗ = 𝑥0) dan
1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗).
Gambar 3.1: Gambar dari metode Newton termodifikasi.
Diambil titik tengah antara 𝑥1 dan 𝑥1∗ sehingga didapat
1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗). Dengan
1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗) sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung
grafik fungsi f di titik (1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗), 𝑓(1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗))). Garis tersebut memotong
sumbu x dititik 𝑥2. Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik
𝑥0, 𝑥1, 𝑥1∗,
1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗), 𝑥2, … , 𝑟 dengan 𝑟 adalah bilangan real yang merupakan akar
atau mendekati akar sebenarnya.
𝑥0 𝑥1 𝑥1∗
1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗)
𝑥2 r
𝑓(𝑥0)
𝒙
𝒇(𝒙)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Iterasi awal untuk menentukan 𝑥1 adalah skema Newton standar. Tetapi untuk
menentukan 𝑥2 turunan fungsi tidak dinyatakan saat 𝑥1. Sebaliknya, estimasi yang
ada dari turunan yang digunakan untuk menentukan nilai tengah, yaitu 𝑥1∗ dan
turunannya dinyatakan saat 1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗). Langkah untuk menetukan nilai tengah 𝑥1∗
disebut langkah “predictor”, sedangkan langkah untuk menentukan nilai
selanjutnya dari 𝑥, 𝑥2, (menggunakan turunan dinyatakan saat 1
2(𝑥1 + 𝑥1
∗)) yang
disebut langkah “corrector”.
Metode Newton untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan
nonlinear 𝑓(𝑥) = 0 lebih sederhana dan tingkat kecepatan menuju kekonvergenan
lebih cepat. Dengan menggunakan fungsi dan turunan pertama dari fungsi itu,
metode Newton dapat menghasilkan barisan dari aproksimasi yang konvergen
secara kuadratik untuk akar (solusi) persamaan.
Informasi turunan ini, dikombinasikan dengan pengamatan bahwa jika 𝑓(𝑥)
adalah fungsi kuadrat dengan akar (solusi) 𝑟, maka 𝑟 dapat diperoleh dengan cara
berikut, yaitu
𝑟 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(12[𝑥0 + 𝑟])
. (3.1)
Dipandang suatu aturan predictor-corrector dengan bentuk di bawah ini:
𝑥0∗ = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓0′ , (3.2)
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(12[𝑥0 + 𝑥0
∗]),
(3.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
dengan 𝑓0′ merupakan pendekatan ketika di titik 𝑥0. Langkah awal predictor itu
merupakan langkah dasar metode Newton untuk mengestimasi turunan, sementara
langkah corrector diperoleh dari hubungan implisit pada persamaan (3.1).
Pilih 𝑘 = 1,
𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1
∗ ]), (3.4)
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(12[𝑥𝑘 + 𝑥𝑘
∗]). (3.5)
Persamaan di atas digunakan ulang dalam persamaan (3.4) dari turunan yang
dihitung dalam iterasi sebelumnya sehingga aturan khusus dari langkah predictor-
corrector hanya membutuhkan satu fungsi dan satu nilai turunan.
Iterasi yang diperumum, diperoleh dari bentuk persamaan (3.4) dan (3.5) di
atas merupakan iterasi umum. Telah dibahas sebelumnya, bahwa aturan predictor-
corrector dengan langkah predictor didasarkan pada turunan yang dihitung dalam
iterasi sebelumnya, dan langkah corrector diperoleh dari relasi implisit. Kelebihan
dari skema di atas adalah menyisipkan dari fungsi dan nilai turunan, dengan
menyatakan bahwa fungsi dan turunannya diperoleh dari nilai 𝑥 yang berbeda (lihat
Gambar 3.1).
Untuk melakukan iterasi pada dasarnya membutuhkan dua nilai awal, yaitu
𝑥0 dan 𝑥0∗. Setelah itu gunakan langkah corrector pada persamaan (3.3). Diketahui
perkiraan awal 𝑥0 pada akar, terdapat dua metode yang jelas untuk memperoleh
nilai kedua dari 𝑥0∗ kedua yaitu:
𝑥0∗ diperoleh dari dengan metode Newton yaitu 𝑥0
∗ = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓0′ , atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Himpunan sederhana 𝑥0∗ = 𝑥0 dengan langkah bentuk corrector pada persamaan
(3.3) mengurangi metode Newton untuk memperoleh nilai 𝑥1.
Pada dua pilihan di atas ternyata efektif, dan selanjutnya 𝑥0∗ = 𝑥0.
Metode Newton termodifikasi secara umum akan diuji dengan secara berikut:
𝑥0∗ = 𝑥0, (3.6)
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(12[𝑥0 + 𝑥0
∗])= 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0). (3.7)
Diikuti oleh (untuk 𝑘 ≥ 1)
𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1
∗ ]), (3.8)
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(12[𝑥𝑘 + 𝑥𝑘
∗]). (3.9)
Langkah-langkah dalam prosedur metode Newton termodifikasi diilustrasikan pada
Gambar 3.1, dengan langkah-langkah yang ditampilkan untuk menentukan 𝑥2.
Kunci utama dari metode Newton termodifikasi dapat dilihat pada Gambar 3.1,
yaitu:
1. Nilai 𝑥2 dihitung dari 𝑥1 menggunakan 𝑓(𝑥1) dan nilai dari turunan saat 1
2(𝑥1 +
𝑥1∗) (adalah nilai hampiran dari turunan yang digunakan untuk menghitung
ketika 𝑥1), dan
2. 𝑥3∗ dapat diperoleh dengan cara nilai turunan yang sama ini digunakan kembali
pada berikutnya yaitu langkah predictor.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Contoh 3.1
Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar
penyelesaian persamaan 𝑓(𝑥) = 0, dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1 dengan
𝑥0 = 1 dan 𝜀 = 0.00001.
Penyelesaian:
Diketahui 𝑥0 = 1 dan 𝜀 = 0.00001. Dipandang
𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1
maka turunan pertamanya adalah
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥.
Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan (3.6)-(3.9) untuk 𝑘 =
0, 1, 2, 3,4 adalah sebagai berikut:
Untuk 𝑘 = 0, maka
𝑥0∗ = 𝑥0 = 1,
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0),
dengan
𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 14 + 3(1)3 − 4(1)2 − 1 = −1,
dan turunan pertamanya adalah
𝑓′(𝑥0) = 𝑓′(1) = 4(1)3 + 9(1)2 − 8(1) = 5.
Dengan demikian diperoleh
𝑥1 = 1 −−1
5=
6
5= 1.2,
dan
|𝑓(1.2)| = |0.4976| = 0.4976.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Untuk 𝑘 = 1, maka
𝑥1∗ = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′ (12
[𝑥0 + 𝑥0∗])
,
dengan
𝑓(𝑥1) = 𝑓(1.2) = (1.2)4 + 3(1.2)3 − 4(1.2)2 − 1 = 0.4976,
maka turunan pertamanya adalah
𝑓′ (1
2[𝑥0 + 𝑥0
∗]) = 𝑓′ (1
2[1 + 1]) = 𝑓′(1)
𝑓′(1) = 4(1)3 + 9(1)2 − 8(1) = 5.
diperoleh
𝑥1∗ = 1.2 − (
0.4976
5) = 1.10048,
sehingga
𝑓′ (1
2[𝑥1 + 𝑥1
∗]) = 𝑓′ (1
2[1.2 + 1.10048]) = 𝑓′(1.15024)
𝑓′(1.15024) = 4(1.15024)3 + 9(1.15024)2 − 8(1.15024) = 8.79.
Dengan demikian diperoleh
𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)
𝑓′(12[𝑥1 + 𝑥1
∗]),
𝑥2 = 1.2 −0.4976
8.79= 1.14339,
dan
|𝑓(1.14339)| = |−0.03582| = 0.03582.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Untuk 𝑘 = 2, maka
𝑥2∗ = 𝑥2 −
𝑓(𝑥2)
𝑓′ (12
[𝑥1 + 𝑥1∗])
,
dengan
𝑓(𝑥2) = 𝑓(1.14339) = (1.14339)4 + 3(1.14339)3 − 4(1.14339)2 − 1 = −0.03582,
dan turunan pertamanya adalah
𝑓′ (1
2[𝑥1 + 𝑥1
∗]) = 𝑓′ (1
2[1.2 + 1.10048]) = 𝑓′(1.15024),
𝑓′(1.15024) = 4(1.15024)3 + 9(1.15024)2 − 8(1.15024) = 8.79.
Diperoleh
𝑥2∗ = 1.14339 −
−0.03582
8.79= 1.14746,
sehingga
𝑓′ (1
2[𝑥2 + 𝑥2
∗]) = 𝑓′ (1
2[1.14339 + 1.14746]) = 𝑓′(1.14543),
𝑓′(1.14543) = 4(1.14543)3 + 9(1.14543)2 − 8(1.14543) = 8.65591.
Dengan demikian diperoleh
𝑥3 = 𝑥2 −𝑓(𝑥2)
𝑓′(12[𝑥2 + 𝑥2
∗]),
𝑥3 = 1.14339 −−0.03582
8.65591= 1.14753,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
dan
|𝑓(1.14753)| = |0.000017| = 0.000017.
Untuk 𝑘 = 3, maka
𝑥3∗ = 𝑥3 −
𝑓(𝑥3)
𝑓′ (12
[𝑥2 + 𝑥2∗])
,
dengan
𝑓(𝑥3) = 𝑓(1.14753) = (1.14753)4
+ 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1 = 0.000017,
dan turunan pertamanya adalah
𝑓′ (1
2[𝑥2 + 𝑥2
∗]) = (1
2[1.14339 + 1.14746]) = 𝑓′(1.14543),
𝑓′(1.14543) = 4(1.14543)3 + 9(1.14543)2 − 8(1.14543) = 8.65591.
Diperoleh
𝑥3∗ = 1.14753 −
0.000017
8.65591= 1.14753,
sehingga
𝑓′ (1
2[𝑥3 + 𝑥3
∗]) = 𝑓′ (1
2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753),
𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.
Dengan demikian diperoleh
𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)
𝑓′(12[𝑥3 + 𝑥3
∗]),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
𝑥4 = 1.14753 −0.000017
8.71557= 1.14753,
dan
|𝑓(1.14753)| = |0.000017| = 0.000017.
Untuk 𝑘 = 4, maka
𝑥4∗ = 𝑥4 −
𝑓(𝑥4)
𝑓′ (12
[𝑥3 + 𝑥3∗])
,
dengan
𝑓(𝑥4) = 𝑓(1.14753) = (1.14753)4 + 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1 = 0.000017
dan turunan pertamanya adalah
𝑓′ (1
2[𝑥3 + 𝑥3
∗]) = (1
2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753)
𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.
Diperoleh
𝑥4∗ = 1.14753 −
0.000017
8.71557= 1.14753,
sehingga
𝑓′ (1
2[𝑥4 + 𝑥4
∗]) = 𝑓′ (1
2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753),
𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.
Dengan demikian diperoleh
𝑥5 = 𝑥4 −𝑓(𝑥4)
𝑓′(12[𝑥4 + 𝑥4
∗]),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
𝑥5 = 1.14753 −0.000017
8.71557= 1.14753.
Jadi akar penyelesaiannya adalah 𝑥 = 1.14753 dengan jumlah iterasi sebanyak 4
kali.
B. Aliran Steady Air Dangkal
Persamaan (gelombang) air dangkal diklasifikasikan dari gerak fluida.
Sebagai contoh, aliran dapat digolongkan sebagai aliran steady dan unsteady, satu
dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, serta seragam dan tidak seragam. Aliran disebut
steady bila kondisi alirannya yaitu kecepatan, tekanan, densitas tidak berubah
terhadap waktu. Aliran dimana kondisi alirannya berubah terhadap waktu disebut
aliran unsteady. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat unsteady,
akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka atau sedang ditutup, maka
aliran itu tidak unsteady. Sebuah aliran mungkin saja dianggap steady oleh
pengamat yang satu, tetapi dianggap tidak steady oleh pengamat yang lain. Sebagai
contoh, aliran di sebelah hulu sebuah pilar jembatan tampak steady oleh pengamat
yang berdiri di jembatan, tetapi tampak tidak steady oleh pengamat yang berada di
sebuah perahu. Penggolongan air sebagai aliran steady atau bukan sering
didasarkan pada pertimbangan kemudahan semata. Sebagai contoh, penjalaran
gelombang di permukaan danau jelas unsteady. Walaupun begitu, gerak air akibat
gelombang dianggap tidak terlalu berperan dalam pengangkutan polutan di danau
itu sehingga dalam model yang digunakan untuk mempelajari perpindahan polutan
gerak gelombang boleh diabaikan, sehingga aliran air di situ dianggap steady.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Pendekatan seperti ini terutama diterapkan pada aliran-aliran turbulen, yang hampir
selalu dijumpai dalam dunia rekayasa. Disini, kondisi unsteady berlaku untuk
fluktuasi-fluktuasi dalam aliran yang ditinjau dalam skala waktu yang sangat
pendek.
Misalkan terdapat aliran air dangkal seperti pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2: Gambaran umum aliran steady dengan topografi gundukan
parabolik.
Misalkan 𝑥 adalah ruang titik, 𝑡 adalah waktu 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, ℎ =
ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman air, 𝑧 = 𝑧(𝑥) adalah ketinggian permukaan tanah.
Persamaan air dangkal yang bersesuaian dengan Gambar 3.2 adalah :
ℎ𝑐 h(x,t)
u(x,t)
z(x)
ℎ0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
ℎ𝑡 + (ℎ𝑢)𝑥 = 0,
(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1
2𝑔ℎ2)𝑥 = −𝑔ℎ𝑧𝑥.
(3.10)
Dengan asumsi bahwa turunan 𝑢 dan ℎ mulus, penjabaran persamaan kedua di atas
menjadi :
(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1
2𝑔ℎ2)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + (ℎ𝑢2)𝑥 +1
2(𝑔ℎ2)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + 𝑢𝑥2ℎ +
1
2𝑔(ℎℎ)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (𝑢𝑢𝑥 + 𝑢𝑢𝑥)ℎ +1
2𝑔(ℎℎ𝑥 + ℎℎ𝑥) + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (2𝑢𝑢𝑥)ℎ +1
2𝑔(2ℎℎ𝑥) + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (2𝑢𝑢𝑥)ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0.
Substitusikan ℎ𝑡 = −(ℎ𝑢)𝑥pada persamaan yang di atas, diperoleh
𝑢𝑡ℎ + 𝑢(−(ℎ𝑢)𝑥) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢(−ℎ𝑥𝑢 − 𝑢𝑥ℎ) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
atau
𝑢𝑡ℎ − 𝑢(𝑢ℎ𝑥) − 𝑢(𝑢𝑥ℎ) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
𝑢𝑡ℎ + 𝑢𝑢𝑥ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,
atau
ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔ℎ𝑥 + 𝑔𝑧𝑥) = 0,
atau
ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ𝑥 + 𝑧𝑥)) = 0,
atau
ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥) = 0,
atau
𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥 = 0.
Karena alirannya diasumsikan steady, kedalaman air dan kecepatan aliran tidak
berubah terhadap waktu, berarti 𝑢𝑡 = 0 dan ℎ𝑡 = 0, maka persamaan air dangkal
menjadi :
(𝑢ℎ)𝑥 = 0,𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥 = 0.
Setelah diintegralkan, persamaan air dangkal dapat ditulis kembali menjadi :
𝑢ℎ = 𝑞,1
2𝑢2 + 𝑔(ℎ + 𝑧) = 𝑐,
(3.11)
untuk 𝑞 dan 𝑐 adalah konstan. Sistem (3.11) berlaku untuk semua domain. Di
tempat yang jauh(𝑥 → ±∞), dasar ketinggian, kedalaman air dan kecepatan aliran
berturut-turut adalah 𝑧(𝑥, 0) = 0, ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ0 dan 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0. Dengan
demikian untuk semua domain, jelas bahwa :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
𝑢ℎ = 𝑢0ℎ0, (3.12)
dan
1
2𝑢2 + 𝑔(ℎ + 𝑧) =
𝑢02
2+ 𝑔(ℎ0 + 0) =
𝑢02
2+ 𝑔ℎ0. (3.13)
Jika 𝑢 dieliminasi dari persamaan (3.13) dengan menggunakan persamaan (3.12),
maka diperoleh :
𝑢 =𝑢0ℎ0
ℎ,
𝑢02ℎ0
2
2ℎ2+ 𝑔(ℎ + 𝑧) =
𝑢02
2+ 𝑔ℎ0.
Menggunakan bilangan Froude, yaitu 𝐹0 = 𝑢0/√𝑔ℎ0, maka diperoleh :
1
𝑔ℎ0[𝑢0
2ℎ02
2ℎ2+ 𝑔(ℎ + 𝑧)] =
1
𝑔ℎ0[𝑢0
2
2+ 𝑔ℎ0],
atau
𝑢02ℎ0
2
2ℎ2𝑔ℎ0+
𝑔ℎ
𝑔ℎ0+
𝑔𝑧
𝑔ℎ0=
𝑢02
2𝑔ℎ0+
𝑔ℎ0
𝑔ℎ0,
atau
𝑢02
2𝑔ℎ0
ℎ02
ℎ2+
ℎ
ℎ0+
𝑧
ℎ0=
𝑢02
2𝑔ℎ0+ 1,
atau
𝐹02
2
ℎ02
ℎ2+
ℎ
ℎ0+
𝑧
ℎ0=
𝐹02
2+ 1.
Dengan dimisalkan 𝑦 = ℎ/ℎ0 dan 𝐶 = 𝑧/ℎ0, persamaan terakhir disederhanakan
menjadi :
𝐹02
2(
1
𝑦)
2
+ 𝑦 + 𝐶 =𝐹0
2
2+ 1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
atau
𝑦2 [𝐹0
2
2(
1
𝑦)
2
+ 𝑦 + 𝐶] = 𝑦2 [𝐹0
2
2+ 1],
atau
𝐹02
2+ 𝑦3 + 𝐶𝑦2 = (
𝐹02
2+ 1) 𝑦2,
atau
𝐹02
2+ 𝑦3 + 𝐶𝑦2 −
𝐹02
2𝑦2 − 𝑦2 = 0,
sehingga
𝑦3 + (𝐶 −1
2𝐹0
2 − 1) 𝑦2 +1
2𝐹0
2 = 0. (3.13)
Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan
diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang steady, dengan kedalaman air
dihitung menggunakan ℎ = 𝑦ℎ0. Kecepatan air dihitung menggunakan formula
𝑢 = 𝑢0ℎ0/ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam
memecahkan persamaan (3.13) dalam menentukan nilai dari kedalaman air di
semua ruang titik.
C. Hasil Numeris
Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode
penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran steady. Masalah tersebut
diberikan sebagai berikut. Dipandang ruang domain [0,25]. Topografinya adalah :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
𝑧(𝑥) = {0.2 − 0.05(𝑥 − 10)2
0
jika 8 ≤ 𝑥 ≤ 12,
lainnya.
Diambil persamaan (3.13), yaitu 𝑦3 + (𝐶 −1
2𝐹0
2 − 1) 𝑦2 +1
2𝐹0
2 = 0. Percepataan
gravitasi 𝑔 = 9.81, galat toleransi untuk solusi eksak adalah 10−15, 𝐹0 =𝑢0
√𝑔ℎ0,
𝐶 =𝑧
ℎ0, ℎ = 𝑦ℎ0. Perhitungan dilakukan dengan menggukan aplikasi MATLAB
pada komputer. Dimisalkan 𝑢0 = 1 dan ℎ0 = 2. Domain ruang [0,25] didiskritkan
menggunakan panjang langkah seragam. Panjang langkah adalah 0.1.
Tabel 3.1 Perbandingan antara metode biseksi, metode Newton standar dan
metode Newton termodifikasi untuk menyelesaikan masalah aliran
steady.
Banyaknya
Iterasi Kedalaman air (𝒉)
Ketinggian
permukaan
tanah (𝒛)
Metode Biseksi 23 1.787135270153852 0.2
Metode Newton
Termodifikasi 4 1.787135270153852 0.2
Metode Newton
Standar 6 1.787135270153852 0.2
Hasil numerik diringkas dalam Tabel 3.1. Ruang titik yang diuji dengan
menggunakan aplikasi MATLAB yaitu 𝑥 = 10. Dengan mengamati metode
Newton termodifikasi, hanya membutuhkan 4 iterasi untuk menyelesaikan masalah
tersebut, dengan kedalaman air (ℎ) yaitu 1.787135270153852 dan ketinggian
permukaan tanah (𝑧) yaitu 1.787135270153852, yang mana banyaknya iterasi
dengan metode Newton standar yaitu 6 iterasi, dengan kedalaman air (ℎ) yaitu
1.787135270153852 dan ketinggian permukaan tanah (𝑧) yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
1.787135270153852. Jelas bahwa dalam hal banyaknya iterasi, metode Newton
termodifikasi lebih baik daripada metode biseksi dan metode Newton standar.
Perhatikan bahwa semua metode ini menghasilkan solusi yang sama, tetapi
banyaknya iterasinya bervariasi seperti yang ditampilkan dalam Tabel 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
BAB IV
KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI
Pada bagian ini akan dibahas tentang konvergensi metode Newton
termodifikasi dan percobaan dengan variasi tebakan awal.
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi
Metode Newton standar mempunyai orde kekonvergenan 2 yaitu konvergen
kuadratik, untuk akar sederhana. Metode Newton standar dapat dimodifikasi
sehingga orde kekonvergenannya dapat ditingkatkan.
Akan diperlihatkan hubungan antara suatu fungsi yang memenuhi beberapa
asumsi tentang nilai fungsi dan nilai fungsi-fungsi turunan di sekitar akar
sebenarnya, dengan kekonvergenan serta tentang derajat kekonvergenan. Asumsi
yang digunakan adalah :
1. Fungsi 𝑓 dapat diturunkan beberapa kali (sampai 𝑚 kali, 𝑚> 2).
2. Fungsi 𝑓 mempunyai akar sederhana pada 𝑥 = 𝑎.
3. Tebakan awal 𝑥0 cukup dekat ke 𝑎 sehingga iterasi dijamin konvergen.
Metode Newton termodifikasi memberikan penyelesaian dari persamaan
𝑓(𝑥) = 0 konvergen dengan orde 𝑅 = 1 + √2 ≈ 2.4142. Hal ini telah dibuktikan
oleh McDougall dan Waterspoon (2014).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal
Untuk mengetahui seberapa cepat proses iterasi yang dilakukan oleh metode
Newton termodifikasi bila dibandingkan dengan metode Newton standar maka akan
dilakukan percobaan. Percobaan dilakukan menggunakan program MATLAB. Dari
hasil percobaan dapat diketahui akar penyelesaian dan jumlah iterasi yang
dilakukan oleh kedua metode.
Berikut merupakan perbandingan hasil iterasi simulasi numeris untuk metode
Newton termodifikasi dengan metode Newton standar.
Tabel 4.1. Uji kasus penyelesaian persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 0 dengan error
(galat) 10−15.
Nilai
awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Akar
Numeris
Akar
Eksak
Eror
Numeris
Iterasi
Akar
Numeris
Akar
eksak
Eror
Numeris
Iterasi
-3
-1.66666666666
-1.13333333333
-1.00784313726
-1.00003051804
-1
-1
-0.6666667
-0.1333333
-0.0078431
-3.0518E-
05
-4.6566E-
10
1
2
3
4
5
-1.0813008130
-1.00098727188
-1.00000002448
-1.00000000000
-
-1
-1.0813008
-0.0009872
-0.0000002
0.00000000
-
1
2
3
4
-
-9
-4.55555555556
-2.38753387534
-1.40318805004
-1
-3.5555556
-1.3875339
-0.4031881
1
2
3
-2.09064627791
-1.19431460672
-1.00691203825
-1
-1.0906463
-0.1943146
-0.0069120
1
2
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Nilai
awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Akar
Numeris
Akar
Eksak
Eror
Numeris
Iterasi
Akar
Numeris
Akar
eksak
Eror
Numeris
Iterasi
-1.05792545186
-1.00158581967
-1.00000000000
-1
-0.0579255
-0.0015858
-7.80043E1
0
4
5
6
7
-1.00000280646
-1.00000000001
-1.00000000000
-
-0.0000028
-0.0000001
0
-
4
5
6
-
2
1.25
1.025
1.000304878
1.00000004646
1
1
0.25
0.025
0.00030488
0.00000005
0
1
2
3
4
5
1.01158940397
1.00000983397
1.00000000031
1
-
1
0.01158940
0.00000983
0.00000000
0.00000000
-
1
2
3
4
-
Tabel 4.1 menunjukkan hasil simulasi akar persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 0.
Dapat dilihat bahwa perbandingan hasil iterasi simulasi numeris menggunakan
metode Newton Standar dan metode Newton termodifikasi. Percobaan yang
dilakukan dengan data random yang berupa tebakan awal, yaitu -3, -9, -2. Dari
Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa akar numeris, akar eksak dari metode Newton standar
dan metode Newton termodifikasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -3,
maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton
standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
4 kali iterasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -9, maka banyaknya iterasi
yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton standar yaitu 7 kali iterasi,
sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu 6 kali iterasi. Ketika tebakan
awal yang diambil adalah 2, maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan
menggunakan metode Newton standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan
metode Newton termodifikasi yaitu 4 kali iterasi. Dengan demikian, dapat
disimpulkan bahwa proses iterasi dengan menggunakan metode Newton
termodifikasi lebih cepat dibandingkan metode Newton standar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran atas pembahasan bab-bab
sebelumnya sarta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Dari pembahasan dalam tugas akhir ini dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Metode Newton termodifikasi membutuhkan jumlah iterasi lebih sedikit,
namun waktu perhitungan lebih lama. Ini berarti dalam satu kali iterasi, metode
Newton termodifikasi membutuhkan lebih banyak perhitungan.
2. Metode Newton standar dan metode Newton termodifikasi dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah aliran air dangkal yang steady.
3. Metode Newton termodifikasi secara komputasi telah menunjukkan bahwa
dibutuhkan hanya beberapa iterasi untuk konvergen ke solusi yang tepat untuk
galat toleransi yang ditetapkan.
4. Dari banyaknya iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan
nonlinear dari akar-akar tersebut, metode Newton termodifikasi lebih baik
daripada metode Newton standar dan metode biseksi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam peyusunan tugas akhir ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis sangat mengharapkan kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas metode Newton
termodifikasi, penulis berharap kelak ada yang akan melakukan penelitian untuk
metode dengan orde kekonvergenan yang lebih tinggi lagi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
DAFTAR PUSTAKA
Burden, R. L. dan Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. Boston: Cengange
Learning.
Greenbaum, A. dan Chartier, T. P. (2012). Numerical Methods. Princeton, NJ:
Princeton University Press.
Kosasih, P. B. (2006). Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: ANDI
Yogyakarta.
McDougall, T. J. dan Wotherspoon, S. J. (2014). A simple modification of
Newton’s method to achieve convergence of order 1+√2. Applied
Mathematics Letters, 29: 20-25.
Mungkasi, S. dan Sihotang, J. (2016). A Modified Newton’s Method to Solve a
Steady Flow Problem Based on the Shallow Water Equations. International
Conference on Engineering, Science and Nanotechnology. To appear in AIP
Conference Proceedings.
Mungkasi, S. (2008). Finite Volume Methods for the One-Dimensional Shallow
Water Equations. Masters Thesis. Canberra: Australian National University.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson
Education.
Olson, R. M. dan Wright, S. J. (1993). Dasar-Dasar Mekanika Fluida Teknik.
Jakarta: Gramedia Pustaka Umum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
LAMPIRAN
Berikut ini adalah code program MATLAB untuk masing-masing metode
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah aliran steady pada persamaan air
dangkal.
1. Code untuk metode Newton
function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON_1 tic for j=1:10 clc format long syms h N = length(X); Z = zeros(1,N); H = zeros(1,N); g=9.81; u0=1; h0=2; F0=u0/sqrt(g*h0); for i= 1:N if X(i)>8 && X(i)<12 Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2; else Z(i)=0; end end plot(X,Z)
for i=1:N z=Z(i); y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2; yp=diff(y); % turunan dari y a =2; % nilai perkiraan awal
dari akar delta=10^-15; % toleransi error err=delta+1.0; % error k=0; % iterasi fa=subs(y,h,a); while abs(err) > delta df=diff(y,h); dfa=subs(df,h,a); dx=-(fa/dfa); err=abs(dx); a=a+dx; % update nilai dugaan fa=subs(y,h,a);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
k=k+1; end H(i) = a; end end k toc plot(X, H, X, Z) ylim([-0.5 2.5]) end
2. Code untuk metode Newton termodifikasi
function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON tic for j=1:10 clc format long syms h X=10;%0:5:25; N=length(X); Z=zeros(1,N); H=zeros(1,N); g=9.81; u0=1; h0=2; F0=u0/sqrt(g*h0); for i= 1:N if X(i)>8 && X(i)<12 Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2; else Z(i)=0; end end plot(X,Z)
for i=1:N z=Z(i); y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2; yp=diff(y); % turunan dari y x0=2; % nilai perkiraan awal dari akar delta=10^-15; % toleransi error err=delta+1.0; % error k=0; % iterasi
fx0=subs(y,h,x0); % fungsi awal df=diff(y,h); % turunan dfx0=subs(df,h,x0); % turunan dari x0 dx=-(fx0/dfx0); err=abs(dx); x0star=x0; % iterasi ke nol star x1=x0-fx0/dfx0; % iterasi ke-satu xk=x1; xkm1=x0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
xkm1star=x0;
while err > delta dx=subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xkm1+xkm1star)); err=abs(dx); xkstar=xk-dx; % iterasi ke satu star
xkp1=xk-(subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xk+xkstar)));
xkm1=xk; xk=xkp1; xkm1star=xkstar; k=k+1;
end H(i)=xkm1star; end end k toc plot(X, H, X, Z) ylim([-0.5 2.5]) end
3. Code untuk metode Biseksi
function S = coba(x) tic N = length(x); z = ones(1,N); g = 9.81; q = 4.42; h_0 = 2.0; u_0 = 2.21; Fr_0 = u_0/sqrt(g*h_0); k=0; for i=1:N z(i) = fungsiB1(x(i)); end
function xR = bisecting(xR,xL,H) while ((xR - xL) > 10^-14) xM = xL + (xR - xL) / 2.0; if (xL^3+xL^2*(H-1.0-Fr_0^2/2.0)+Fr_0^2/2.0) * (xM^3+xM^2*(H-
1.0-Fr_0^2/2.0)+Fr_0^2/2.0) > 0 xL = xM; else xR = xM; k=k+1; end end end
wA = zeros(1,N); uA = zeros(1,N); hA = zeros(1,N);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
H = zeros(1,N); for i=1:N H(i) = z(i)/h_0; y1 = bisecting(1.0,0.5,H(i)); hA(i) = y1*h_0; wA(i) = hA(i)+z(i); uA(i) = q/hA(i); k end QA = hA.*uA; S = [wA;QA;uA]; toc figure(1) plot(x,wA,'b*', x,z,'k.'); ylim([-0.5 2.5]) end
%fungsiB for Test case II from HE-43/97/016/B %Momentum equation source term calculation - 1D codes function B=fungsiB1(x) if x >8 && x<12 B=0.2-0.05*(x-10)^2; else B=0; end end
clc clear x=10%0:1:25; coba(x);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI