Download - INVESTIČNÍ MATEMATIKA
INVESTIČNÍ INVESTIČNÍ MATEMATIKAMATEMATIKA
VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. A SPRÁVNÍ, o.p.s.
DLUHOPISOVÉ PORTFOLIODLUHOPISOVÉ PORTFOLIO
DURACEDURACE
Je aritmetický průměr dob do Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise.plateb diskontovaných ke dni emise.
průměrná doba do splatnostiprůměrná doba do splatnosti
průměrná doba pro získání příjmů průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem spojených s dluhopisem (Macaulayova)(Macaulayova)
P
y
FCn
y
C
y
C
Dn
mac
112
11
2
P
PnPPD nmac
21 21
Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%
Doba doDoba do
splatnostsplatnost
ii
Kuponová sazba c: Kuponová sazba c: 5% 5% 10%10% 15%15%
11 1,0001,000 1,0001,000 1,0001,000
33 2,8492,849 2,73552,7355 2,6472,64722
55 4,16994,1699
1010 6,7596,759
2020 9,36499,3649
5050 10,90610,90633
100100 10,99910,99922
-- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosůdluhopisu opačným směrem při změně výnosů
y
P
PD
1
mod
Durace je tím nižší čím:Durace je tím nižší čím:
vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti do splatnosti
dříve platba z daného instrumentu dříve platba z daného instrumentu nastávánastává
kratší je celková doba do splatnostikratší je celková doba do splatnosti
čím menší hodnota durace, tím menší jsou čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazebzměnám tržních úrokových sazeb
vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem:
1. PV ↑ y↓2. PV ↓ y↑
Př:Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který
má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje
výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme
a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu,
jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive
zvýší o 1%.zvýší o 1%.
Při změně ve výnosech hrozí: Při změně ve výnosech hrozí:
a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy)výnosy)
b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy) se výnosy)
Investiční horizont: Investiční horizont:
krátký krátký utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta (kapitálová ztráta výnos z reinvestice) výnos z reinvestice)
dlouhý dlouhý utrpíme ztrátu při poklesu výnosů utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice (ztráta z reinvestice kapitálový výnos) kapitálový výnos)
Snaha o eliminaci obou uvedených rizik Snaha o eliminaci obou uvedených rizik
(imunizace):(imunizace):
Je-li investiční horizont roven Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů. vzestupu i poklesu výnosů.
Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr durací (dob do splatnosti) jednotlivých peněžních toků reprezentovaných kupóny a nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu jednotlivých diskontovaných peněžních toků na celkové ceně dluhopisu.
Durace kupónového dluhopisu je střední (průměrná) doba života tohoto dluhopisu.
n
nn
PPP
PDPDPDD
....
......
21
2211
Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený
průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.
D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn
Př: Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto:B, C takto:
A…A… n = 3, FV = 1.157.625 Kč n = 3, FV = 1.157.625 Kč
B…B… n = 2, FV = 551.250 Kč n = 2, FV = 551.250 Kč
n = 4, FV = 607.753 Kčn = 4, FV = 607.753 Kč
C…C… n = 1, FV = 525.000 Kčn = 1, FV = 525.000 Kč
n = 5, FV = 638.141 Kčn = 5, FV = 638.141 Kč
A
B
C
5%
1.000.000
P
Y (%)
Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.
CX =
n
nn
PPP
PCXPCXPCX
...
...
21
2211
Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%
Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry:
A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10%
Jak budeme investovat na 3 roky?
AKCIOVÉ PORTFOLIOAKCIOVÉ PORTFOLIO
Investiční strategie, kdy je optimalizován Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice.výnos vzhledem k riziku investice.
Akcie – A1, A2, A3, …Akcie – A1, A2, A3, …
Váhy – a1, a2, a3, …Váhy – a1, a2, a3, …
Výnosové procento – rVýnosové procento – rpp (průměrná míra (průměrná míra zisku)zisku)
Riziko – σRiziko – σpp směrodatná odchylka směrodatná odchylka
Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnýminebo více proměnnými
Kovariance – statistický pojem odvozený od Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrouměrou
n
kkkp rar
1
N
kkp krpr
1
)(
n
kpkp rkrp
1
22 ))((
N
kkjjkiikij prrrr
1
ji
ijij
Kovarianční koeficient – σKovarianční koeficient – σijij
Korelační koeficient – ρKorelační koeficient – ρijij
Rozptyl:Rozptyl: součet druhých mocnin součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σpočtem hodnot (σ22).).
Směrodatná odchylka:Směrodatná odchylka: druhá druhá odmocnina rozptylu (σ).odmocnina rozptylu (σ).
Př: Př: Je dáno portfolio P s vahami aJe dáno portfolio P s vahami a11 = 0,7 a a = 0,7 a a22 = 0,3 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry:a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry:
Varianta Pravděpodobnost Výnos A1 Výnos A2
1 0,1 1% 3%
2 0,2 12% 28%
3 0,3 6% 14%
4 0,4 -2% -5%
a) nalezněte výnos a riziko portfolia Pa) nalezněte výnos a riziko portfolia Pb) nalezněte kovarianční maticib) nalezněte kovarianční matici
Korelační koeficient:Korelační koeficient:
ρij = 1
ρij = - 1
ρij = 0
dokonalá pozitivní korelace
dokonalá negativní korelace
výnosová procenta nekorelují
Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty
akcií:akcií:
A1 2 4 -2 6 -1 2 8 -1 2 0
A2 0 -2 9 -3 7 -1 -2 9 -1 4
A1 2 4 -2 6 -1 2 8 -1 2 0
A2 3 3 -1 5 0 1 7 -2 3 1
A1 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3
A2 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1
Riziko portfolia : Riziko portfolia : Směrodatná Směrodatná odchylkaodchylka
22
221221
21
21
2 2 aaaap
Kovarianční matice:Kovarianční matice:
2221
1211
Př:Př: Jsou dány kovariance σ Jsou dány kovariance σ1212 = -3, σ = -3, σ2121 = 6 = 6
a rizika σa rizika σ11 = 5, σ = 5, σ2 2 = 10. Určete kovarianční = 10. Určete kovarianční
matici a riziko portfolia, jestliže amatici a riziko portfolia, jestliže a11 = 0,7 a = 0,7 a
aa22 = 0,3. = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy
prohodí?prohodí?
DERIVÁTYDERIVÁTY
Forvardové kontrakty – forvardy Forvardové kontrakty – forvardy
Opční kontrakty – opceOpční kontrakty – opce
termínované kontrakty – plnění termínované kontrakty – plnění v budoucnosti v budoucnosti
ForvardForvard – „ – „závazekzávazek“ koupit či “ koupit či prodatprodat
- - určitý počet akcií určitý počet akcií
- za určenou cenu- za určenou cenu
- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu
OpceOpce – – „„právoprávo“ koupit či prodat“ koupit či prodat
- určitý počet akcií - určitý počet akcií
- za určenou cenu - za určenou cenu
- k dohodnutému datu- k dohodnutému datu
Forvard:Forvard:
- mám závazek koupit – dlouhá pozice - mám závazek koupit – dlouhá pozice
( ( long positionlong position ) )
- mám závazek prodat – krátká pozice - mám závazek prodat – krátká pozice
( ( short positionshort position ) )
F – cena forvarduF – cena forvardu S – obchodní cenaS – obchodní cena T – okamžik uzavření kontraktu T – okamžik uzavření kontraktu t - okamžik uzavření obchodut - okamžik uzavření obchodu r – spojitá roční úroková mírar – spojitá roční úroková míra
FFtt = S = St t eerr (T-t)(T-t)
Př: Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční forwardová cena je rovnaroční forwardová cena je rovna Ft Ft = = 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci Jakým způsobem tuto situaci využijeme?využijeme?
Futures kontrakty:Futures kontrakty:
standardizovanéstandardizované – všichni nakupují – všichni nakupují (prodávají) (prodávají)
stejný kontrakt na předem stanovený počet stejný kontrakt na předem stanovený počet
akcií, vypořádaný ke stejnému datu a akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou většinou
garantovaný burzou či jinakgarantovaný burzou či jinak
Riziko ztráty:Riziko ztráty:
dlouhá pozicedlouhá pozice (koupit) – musím (koupit) – musím koupit,koupit,
i když cena akcií poklesne - ( Si když cena akcií poklesne - ( STT – F – Ftt ) )
krátká pozicekrátká pozice (prodat) – musím (prodat) – musím prodat, prodat,
i když cena akcií stoupne - ( Fi když cena akcií stoupne - ( Ftt – S – ST T ))
Ft
ST
DlouháKrátká
Zisk
OpceOpce – „ – „právoprávo“ koupit či prodat “ koupit či prodat
Call opceCall opce (nákupní) – právo koupit (nákupní) – právo koupit
- určitý počet akcií - určitý počet akcií
- za určenou cenu X- za určenou cenu X
- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu
Put opcePut opce (prodejní) – právo prodat (prodejní) – právo prodat
- určitý počet akcií - určitý počet akcií
- za určenou cenu X - za určenou cenu X
- k dohodnutému datu - k dohodnutému datu
dlouhá pozicedlouhá pozice – kupuje – kupuje
krátká pozicekrátká pozice – prodává – prodává
EvropskáEvropská – opce může být – opce může být uplatněna pouze v čase Tuplatněna pouze v čase T
AmerickáAmerická – opce může být – opce může být uplatněna i před časem Tuplatněna i před časem T
Call opceCall opce uplatněna právě tehdy když uplatněna právě tehdy když
STST > > XX – zisk = max – zisk = max { { ST ST - X- X ; 0} ; 0}
zisk
cenaX
call
Put opcePut opce uplatněna právě tehdy když uplatněna právě tehdy když
STST < < XX – zisk = max – zisk = max { X { X - ST; 0} - ST; 0}
zisk
cenaX
put
Platba za vstup do dlouhé pozice – „Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“c“
zisk
cenaX
Call long
-c
zisk
cena
X
Call short
c
zisk
cena
X
Put long
-c
ziskcena
XPut short
c