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CAPÍTULO 5
EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR
ONEWAY
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
SITUAÇÃO: UM FATOR FIXO - ONEWAY
Um experimento completamente aleatorizado com um
único fator (ONEWAY) é um planejamento experimental
que envolve apenas um fator com `a` níveis onde os
tratamentos são atribuídos as unidades experimentais
sem qualquer restrição, ou ainda, toda unidade
experimental tem a mesma probabilidade de receber
qualquer um dos tratamentos (níveis do fator) em estudo.
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2º SEMESTRE DE 2010
PROBLEMA:
Um experimento foi realizado para verificar a
produtividade de 4 tipos de variedade de milho. A
produção em cada unidade experimental (lotes
homogêneos) foi a seguinte:
HIPÓTESE CIENTÍFICA: Existe uma variedade que apresenta
produtividade melhor que as demais?
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DADOS:
Varie- Repetições
dade 1 2 3 4 5
A 25 26 20 23 21
B 31 25 28 27 24
C 22 26 28 25 29
D 33 29 31 34 28
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DADOS:
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
CARACTERÍSTICAS DO EXPERIMENTO:
•Completamente Aleatorizado
•Um único fator – Variedades de milho
•Efeitos Fixos (interesse em identificar qual das quatro variedades é a
melhor).
•Balanceado: todos os tratamentos foram aplicados ao mesmo número
de unidades experimentais;
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
PROBLEMA:
Como definir um teste para verificação da hipótese de existência
ou não de diferença entre os tratamentos?
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
CASO GERAL
Yij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésimaunidade experimental;
i = 1, 2, …, a (tratamentos)
j = 1, 2, ..., ni (número de unidades experimentais por
tratamento)
Número total de observações (u.e.)
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
NOTAÇÃO
Tratamentos Observações Totais Médias
1 y11 y12 ... y1n1 y1. 1.y
2 y21 y22 ... y2n2 y2. 2.y
a ya1 ya2 ... yan ya. a.y
y..
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
NOTAÇÃO
Varie- Repetições
dade 1 2 3 4 5
A 25 26 20 23 21
B 31 25 28 27 24
C 22 26 28 25 29
D 33 29 31 34 28
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
NOTAÇÃO
(TOTAL do i-ésimo tratamento)
(MÉDIA do i-ésimo tratamento)
(TOTAL GERAL)
(MÉDIA GERAL)
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
NOTAÇÃO:
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
MODELO LINEAR:
YN x 1 = vetor de variável resposta (variável dependente)
XN x a = matriz de planejamento
a x 1 = vetor de parâmetros do modelo, isto é, efeitos dos tratamentos
em estudo
N x 1 = vetor de erros aleatórios não observáveis
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
PARAMETRIZAÇÃO
yij = + i + ij (modelo de desvio médio)
Interpretação: A resposta yij é devida a um “efeito comum” maisum efeito específico do i-ésimo tratamento mais um efeito
aleatório.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
FORMA MATRICIAL
yij = + i + ij
a=3 ni = 3
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
PROBLEMAS:
Estimar os parâmetros
Teste de Hipótese
Verificar a adequabilidade do modelo
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:
Estimadores de Máxima Verossimilhança
Estimadores de Mínimos Quadrados
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÃO
MODELO DE DESVIOS MÉDIOS: Yij = + i + ij
(X’ X)-1 não existe
estimadores não são únicos
é uma inversa generalizada de X’X
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Equações Normais
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Problemas:
Como obter a solução do sistema acima se o
rank(X) não é completo.
Uso de inversa generalizada Impor restrições
ao sistema de equações
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
RESTRIÇÕES MAIS UTILIZADAS:
i = 0
ESTIMADORES
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ESTIMADORES
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Interpretação:
1. O efeito comum é estimado pela média geral dos dados
observados;
2. O efeito específico é estimado pela diferença entre a média das
observações do especifico tratamento em relação a média geral.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
No Exemplo:Estimativa dos Parâmetros:
Interpretação:1. O tratamento 1 (adubo A) tem em média um
rendimento médio 3.75 unidades a menosque o efeito comum (efeito obtidoindependente dos tratamentos).
2. O tratamento 2 (adubo B) tem em média umrendimento médio 0.25 unidades a mais que oefeito comum (efeito obtido independentedos tratamentos).
3. O tratamento 3 (adubo C) tem em média umrendimento médio 0.75 unidades a menosque o efeito comum (efeito obtidoindependente dos tratamentos).
4. O tratamento 4 (adubo D) tem em média umrendimento médio 4.25 unidades a mais queo efeito comum (efeito obtido independentedos tratamentos).
Observação:Alguns autores preferem o modelo estatístico dado por:
Yij= i + ijcom
i = + i
definido anteriormente.
Alguns resultados apresentam diferenças em relação ao
modelo apresentado, porém as conclusões obtidas usando qualquer
uma das alternativas são exatamente as mesmas.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
TESTE DE HIPÓTESES•O interesse no estudo é o de comparar três ou mais tratamentos, a
hipótese inicial a ser investigada é a de que se todos os tratamentos
são iguais, ou seja, se todos são igualmente “eficientes”.
•No caso de não rejeição desta hipótese, concluí-se pela igualdade dos
tratamentos envolvidos, ou ainda, que não existe um tratamento com
maior efeito que os demais.
•No caso de rejeição de hipótese de igualdade, conclui-se que pelo
menos dois tratamentos são diferentes e, nesse caso, novos
procedimentos devem ser realizado para se identificar os tratamentos
diferem, ou ainda, que tratamento ou tratamentos são mais eficientes.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
TESTE DE HIPÓTESES
Modelo de Médias
Modelo de Desvios Médios
Ho : i = 0 i = 1, ..., aH1 : i 0 para pelo menos um i.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Interpretação:
Se a hipótese Ho não é rejeitada todos os parâmetros i são
iguais a zero, ou seja, os efeitos específicos de todos os tratamentos são
iguais a zero (não existem), portanto o modelo (5.1) fica:
yij = + ij
que não depende dos tratamentos, ou ainda, mudança nos níveis do
fator não tem efeito sobre a resposta.
Se a hipótese Ho é rejeitada, pelo menos um i diferente de zero, ou
seja, os existe pelo menos um dos tratamentos com um efeito específico
que o torna melhor (ou pior) que os demais tratamentos.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Suposições:
E[ij] = 0
V[ij] = 2
E(Yi) = E ( + i + i) = + i + E(ij ) = + i
V(Yi) = V ( + i + i) = V(ij ) = 2
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ij ~ N (0, 2)
Yij ~ N ( +i , 2)
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
QUESTÃO : COMO TESTAR HO?
ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
Princípio : Estudo das Fontes Variabilidade
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
Proposta : Particionar a variabilidade total dos valores
observados para a medida de comparação Yij, em duas
componentes: uma devida ao modelo (parte não aleatória) e
outra devida aos erros aleatórios
VARIABILIDADE TOTAL =
VARIABILIDADE MODELO + VARIABILIDADE DOS ERROS
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
SQT = Soma de Quadrados Total
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
SQTr = SQM = Soma de Quadrados Tratamentos(modelo) : quantifica a variabilidade entretratamentos;
SQE = Soma quadrados dos erros: quantifica avariabilidade dos erros;
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Interpretando:
A medida que cresce a soma de quadrados de tratamentos temos uma
maior variabilidade entre os tratamentos, conseqüentemente temos
que existe diferença entre os tratamentos. Caso contrário, maior
variabilidade dentro dos tratamentos e menor variabilidade entre
tratamentos, temos a não existência de diferença entre tratamentos.
EXPRESSÕES:
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES
Ho : i = 0 i = 1, ..., aH1 : i 0 para pelo menos um i.
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES
Problema:
Como quantificar o quanto “pequeno” é a
soma de quadrados de tratamentos?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
TABELA - ANOVA
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Fonte de
Variação
Graus de
Liberdade
Soma de
Quadrados
Quadrados
Médios
E(QM)* F
Modelo
(Tratamentos)
a-1 SQTr SQ Tr/a-1
2
ii2
τn1a
1σ
QME
QMTr
Erro N-a SQE SQE/N-a 2σ
Total N-1 SQT - -
A tabela acima nos mostra que se a hipótese H0 é verdadeira ( todos i = 0) em
média(E(QM)) o quadrado médio de tratamentos e o quadrado médio de erros
são iguais a um mesmo valor (2 no caso!).
PORTANTO SOB HO:
QME e QMTr são estimadores não viciados de 2 e assim:
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
CONCLUSÃO:
Quanto mais a razão estiver próxima de 1, estamos sob a
hipótese H0. A medida que esta razão seja superior a 1, QMTr > QME,
ou seja, a cresce a variabilidade entre tratamentos e
conseqüentemente temos que H0 não é verdadeira.
PROBLEMA:
Como definir o quanto a razão acima está próxima de 1?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
SOB A HIPÓTESE DE NORMALIDADE DOS ERROS
QMTr a-1
QME N-a
LOGO:
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
REJEITA-SE HO :
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
TABELA ANOVA
Fonte de Variação
Graus de Liberdade
Soma de Quadrados
Quadrados Médios
F
Modelo (Tratamentos)
a-1 SQTr SQ Tr/a-1 QME
QMTr
Erro N-a SQE SQE/N-a
Total N-1 SQT -
P-Valor = P[ Fa-1,N-a > Fc] = c
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL
Source DFSum of
Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020
Error 16 112.0000000 7.0000000
CorrectedTotal
19 275.7500000
R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean
0.593835 9.890659 2.645751 26.75000
Source DF Type I SS Mean SquareF
Value Pr > F
F 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Temos Fc = 7.80
Considerando = 5% temos F3,16(5%) = 3.24
Logo:
Portanto REJEITA-SE Ho, isto é, pelo menos dois
tratamentos diferem, ou ainda existe pelo menos um
tratamento que é mais eficiente que outro (maior
produtividade no caso!).
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
De outra forma:
Da tabela da Anova (obtida através de um software estatístico) temos que:
Portanto REJEITA-SE Ho............................................
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DUAS QUESTÕES:
1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dados
observados nos diferentes grupos são independentes e podem ser
representados pelo modelo normal. Como verificar que estas
suposições são verdadeiras?
2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menos
dois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que grupos
diferem?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
CONSIDEREMOS O MODELO:
yij = + i + ij
Modelo estimado
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
IMPORTANTE:
Verificarmos a hipótese de independência e
normalidade dos dados é possível a partir da análise
da independência, normalidade e variância
constante dos resíduos.
PROBLEMA: ADEQUABILIDADE DO MODELO
Estatística de teste obtida a partir da hipótese deque i são iid N (0, 2)
Como verificar se a hipótese acima é verdadeira?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DIAGNÓSTICO DO MODELO
Objetivo:
Verificar se as suposições estabelecidas para
obtenção do ajuste e teste dos parâmetros, são satisfeitas.
i são iid N (0, 2)
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DIAGNÓSTICO DO MODELO
Questões:
•Presença de Valores Extremos (Dados aberrantes-discrepantes)
•Independência (Aleatoriedade)
•Normalidade
•Homocedasticidade (Variância Constante)
.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DIAGNÓSTICO DO MODELO
Instrumentos:
Histograma e Box-Plot dos resíduos
Gráfico normal probabilístico
Gráfico de resíduos em ordem temporal (para situações onde
existe uma seqüência temporal na coleta dos dados)
Gráfico de resíduos versus predito
Gráfico de resíduos versus fatores
Testes de Igualdade de Variâncias
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):
DADOS ORIGINAIS:
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):
RESÍDUOS “ORDINÁRIOS)
RESÍDUOS PADRONIZADOS
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
PROCEDIMENTO ALTERNATIVO;
Considerando que os erros têm distribuição N(0,2),
pode-se esperar que a média contém aproximadamente 68%
dos dados, a média 2 contém aproximadamente 95% dos
dados e a média 3 contém aproximadamente 99% dos dados.
Desta forma, podem ser considerados valores extremos aqueles
que forem superiores a 3.
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
CONCLUSÃO:Identificado um valor extremo, usualmente ele é
excluído da análise. Porém, na prática, é o pesquisador quemdeve determinar se um valor extremo pode realmente serassim considerado. Pois os valores extremos podem fornecerinformações importantes sobre o experimento eestatisticamente podem demonstrar que uma outradistribuição deve melhor representar o comportamento dosdados. Alternativas: Uso de métodos robustos ou modeloslineares generalizados, por exemplo.
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
NOTAS:
Existindo o registro da ordem de obtenção dos valores,
recomenda-se o uso do gráfico dos resíduos vs a ordem
de coleta de forma a verificar algum padrão na resposta
e, conseqüentemente uma dependência entre as
observações.
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
NOTAS:
Experimentos cujo processo de aleatorização é
adequadamente realizado dificilmente irão apresentar
problemas com a falta de independência.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
NÃO INDEPENDÊNCIA:
Não adequabilidade do modelo utilizado (falta de algum
componente do modelo, por exemplo) e necessidade de
procedimentos estatísticos que considerem a existência
de dependência entre observações (modelos de séries
temporais).
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A NORMALIDADE
TESTES:
Teste de Shapiro-Wilk
Anderson-Darling
Kolmogorov-Smirnov
Cramer-von Mises
Liliefors.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A NORMALIDADE
Gráfico Normal Probabilístico:
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Gráfico Normal Probabilístico:
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
O gráfico de probabilidade e um método para determinar se os dados da
amostra (erros estimados, nessa situação) seguem uma distribuição
hipotética, baseada no exame visual dos dados. O procedimento geral e
muito simples e pode ser feito rapidamente. Gráfico de probabilidade usa
tipicamente um papel gráfico especial, conhecido como papel de
probabilidade, que tem sido projetado para a distribuição hipotética. O
papel de probabilidade é largamente disponível para as distribuições
normal, lognormal, Weibull e várias distribuições quadrado e gama.
Softwares estatísticos atualmente substituem o uso destes papéis,
necessários durante longo tempo.
Gráfico Normal Probabilístico:
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Para construir um gráfico de probabilidade:1. As observações na amostra são primeiro ordenadas da menor para a
maior. Ou seja, a amostra X1., X2, .. .,Xn e arrumada como x(1),x(2), ...,x(n)em que x(I) é a menor observação, X(2) e a segunda menor observaçao eassim por diante, com x(n) sendo a maior.
2. As observações ordenadas X(U) são então grafadas contra suasfreqüências cumulativas observadas (j - 0,5)/n em um papel apropriadode probabilidade.
3. Se a distribuição hipotética descrever adequadamente os dados, ospontos picotados cairão, aproximadamente, ao longo de uma linha reta;
4. Se os pontos plotados desviarem significativamente de uma linha reta,então o modelo hipotético não será apropriado.
Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Dez observações sobre o tempo (em minutos) efetivo de vida de serviço de
baterias usadas em um computador pessoal são: 176,191,214,220,205,
192,201,190, 183,185. Imaginemos que a vida da bateria seja modelada
adequadamente por uma distribuição normal. Para usar o gráfico de
probabilidade de modo a investigar essa hipótese, arranje primeiro as
observações em ordem crescente e calcule suas freqüências cumulativas
(j- 0,5)/10 conforme segue.
Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
j X9i) (j - 0,5)/10
1 176 0,05
2 183 0,15 3 185 0,25 4 190 0,35 5 191 0,45 6 192 0,55 7 201 0,65 8 205 0,75 9 214 0,85 10 220 0,95
Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo
Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Os pares de valores x(i) e (j - 0,5)/10 são agora plotados em um papel de
probabilidade normal. Esse gráfico é mostrado na figura abaixo. A maioria
dos papeis de probabilidade normal plotam 100(j - 0,5)/n na escala vertical
da esquerda e 100[ 1 - (j - 0,5)/n] na escala vertical da direita, com o valor da
variável plotada na escala horizontal.
Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em um
papel gráfico normal, plotando os escores normais padrões Zj contra x(i), em
que os escores normais padrões satisfazem:
Por exemplo, se (j-0.5)/n = 0.05 então (zj) = 0.05 zj =-1.64. Para ilustrar,
consideremos os dados do exemplo acima.
Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
j X9i) (j - 0,5)/10 Zj
1 176 0,05 -1.64
2 183 0,15 -1.04
3 185 0,25 -0.67
4 190 0,35 -0.39
5 191 0,45 -0.13
6 192 0,55 0.13
7 201 0,65 0.39
8 205 0,75 0.67
9 214 0,85 1.04
10 220 0,95 1.64
Gráfico Normal Probabilístico: EXEMPLO VARIEDADES DE MILHOS
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A NORMALIDADE
Não Normalidade
Modelos Lineares Generalizados
Transformações
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Hipóteses:
Ho : 12 = 2
2 = ... = a2
H1 : i2 ≠ j
2 para pelo menos um i j
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Alguns Testes:
Teste de Hartley: Exige um mesmo número de repetições
entre os tratamentos.
Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer número de
repetições nos tratamentos.
Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer número de
repetições nos tratamentos.
Teste de Levene: Anova para resíduos “robustos”.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
TESTE DE HARTLETT
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
2maxS = maior variância dentre os “a” tratamentos;
2minS = menor variância dentre os “a” tratamentos;
Fmax é comparado com o valor tabelado para H(g,r-1) da tabela de Pearson e Hartley, onde
g=número de tratamentos e r= número de repetições (mesmo para todos os tratamentos).
Se Fmax > H(g,r-1) rejeita-se H0 e conclui-se que não existe homogeneidade de variância
entre os tratamentos. Caso contrário H0 não é rejeitada.
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Análise Gráfica
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Análise Gráfica
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Análise Gráfica
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Análise Gráfica
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VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Análise Gráfica
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
PROBLEMA:
O que fazer quando alguma das suposições ( normalidade
e/ou homocedasticidade) não são satisfeitas?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
O procedimento usualmente nestes casos é o uso detransformações na variável resposta. O uso de transformações éum artifício matemático com bons resultados quando existe umarelação entre média e variância (heterocedasticidade regular).
Atualmente, novos procedimentos estatísticos são propostoscomo alternativa ao uso de transformação dos dados. Além dos játradicionais procedimentos de métodos não paramétricos, hojeestão disponíveis, inclusive em todos os softwares maisconhecidos, os métodos de Modelos Lineares Generalizados, quelevam em conta a natureza da distribuição da variável em estudo.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
DUAS QUESTÕES:
1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dados
observados nos diferentes grupos são independentes e podem ser
representados pelo modelo normal. Como verificar que estas
suposições são verdadeiras?
2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menos
dois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que grupos
diferem?
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:
Objetivo:
Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, que
tratamentos diferem significativamente.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:
Objetivo:
Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, que
tratamentos diferem significativamente.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:
Proposta:
Estabelecer uma “diferença mínima
significativa(d.m.s)” entre duas médias. Toda vez que o valor
absoluto da diferença entre duas médias for maior ou igual
d.m.s., as médias são consideradas estatisticamente diferentes,
ao nível de significância estabelecido.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:
OBSERVAÇÃO:
Foram propostas diversas maneiras de estabelecer uma d.m.s. Cada
proposta é na realidade, um teste que, em geral, leva o nome do seu autor.
Não existe um procedimento para a comparação de médias que seja
definitivamente o “melhor”. Vários trabalhos são encontrados na literatura
fazendo estudos comparativos dos diferentes métodos que, incluindo-se
novas propostas que freqüentemente são apresentadas. Em geral é possível
mostrar a existência de procedimentos mais eficientes para situações
especificas, porém não se mostrou, até hoje, um método que seja mais
eficaz para um caso geral.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
TESTE T- TESTE LSD (LEAST SIGNIFICANT DIFFERENCE):
Rejeita-se a igualdade se:
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TESTE DE TUKEY:
q é chamada de amplitude total studentizada que depende do número de
tratamentos (a) e do número de graus de liberdade dos erros (f = N-p).
(tabela encontrada em Montogomery). O teste preserva o nível de
significância para todos os contrastes. É um teste mais conservador do que
o LSD em declarar um diferença como significativa.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS:
1. Ordena-se as médias de tratamentos em ordem crescente (oudecrescente).
2. Coloca-se uma letra do alfabeto na primeira média e em seguidacompara-se com as médias seguintes
3. Se a diferença for superior ao valor da d.m.s. a diferença éconsiderada significativa e portanto é atribuída uma outra letra amédia que foi comparada
Ao final temos que médias de tratamentos que não diferemsignificativamente têm em comum uma letra enquanto quemédias que diferem não tem nenhuma letra em comum.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS: EXEMPLO
Consideremos: (A > C > D > B):
Situações
1 2 3 4 5
A a a a a a
C a b b b a b
D a c c b c b c
B a d c c c
Caso 1: Situação onde não foi rejeitado H0
na tabela de ANOVA, ou seja, não existemdiferenças entre quaisquer doistratamentos.
Caso 2: Outra situação extrema, todos ostratamentos diferem entre si.Caso 3: Temos que A C diferem de todos
os tratamentos e D e B sãoestatisticamente iguais entre si.
Caso 4: A difere de todos os demaistratamentos, C e D são estatisticamenteiguais mas C difere de todos os demaisenquanto que D é tambémestatisticamente igual a B.
Caso 5: A é estatisticamente igual a C masdifere dos demais, enquanto que C éestatisticamente também igual a D ediferente de B. Por sua vez D éestatisticamente igual a B.
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EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
EXEMPLO: Produtividade de 4 diferentes variedades de milho
t Tests (LSD) for y
Means with the same letterare not significantly different.
t Grouping Mean N f
A 31.000 5 D
B 27.000 5 B
C B 26.000 5 C
C 23.000 5 A
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR
Tukey's Studentized Range (HSD) Test for y
Means with the same letterare not significantly different.
Tukey Grouping Mean N f
A 31.000 5 D
B A 27.000 5 B
B 26.000 5 C
B 23.000 5 A