Ismétlés: definíció és a parciális derivált
Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós
értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).
Többváltozós függvények – p. 2/16
Ismétlés: definíció és a parciális derivált
Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós
értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).
Példa.Számítsuk ki azf(x, y, z) = (2x4 − 2x2yz + 3y2)5 függvény
elsorendu parciális deriváltjait!
Többváltozós függvények – p. 2/16
Ismétlés: definíció és a parciális derivált
Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós
értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).
Példa.Számítsuk ki azf(x, y, z) = (2x4 − 2x2yz + 3y2)5 függvény
elsorendu parciális deriváltjait!
Megoldás.
f ′x(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)
4 · (8x3 − 4xyz)
f ′y(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)
4 · (−2x2z + 6y)
f ′y(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)
4 · (−2x2y)
Többváltozós függvények – p. 2/16
Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +
√z
x3függvény elso- és másodrendu parciális
deriváltjait!
Többváltozós függvények – p. 3/16
Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +
√z
x3függvény elso- és másodrendu parciális
deriváltjait!
Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1
2 · x−3.
Többváltozós függvények – p. 3/16
Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +
√z
x3függvény elso- és másodrendu parciális
deriváltjait!
Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1
2 · x−3.
Ezek után az elsorendu deriváltak:
f ′x(x, y, z) = 2 · y2 + z
1
2 · (−3) · x−4,
f ′y(x, y, z) = 2 · x · 2 · y,
f ′z(x, y, z) =
1
2· z−
1
2 · x−3.
Többváltozós függvények – p. 3/16
Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +
√z
x3függvény elso- és másodrendu parciális
deriváltjait!
Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1
2 · x−3.
Ezek után az elsorendu deriváltak:
f ′x(x, y, z) = 2 · y2 + z
1
2 · (−3) · x−4,
f ′y(x, y, z) = 2 · x · 2 · y,
f ′z(x, y, z) =
1
2· z−
1
2 · x−3.
A másodrendu parciális deriváltakat az elsorenduek továbbderiválásával kapjuk:
f ′′xx = 12 · z
1
2 · x−5 f ′′xy = 4y f ′′
xz = −3
2· z−
1
2 · x−4
f ′′yx = 4y f ′′
yy = 4x f ′′yz = 0
f ′′zx = −
3
2· z−
1
2 · x−4 f ′′zy = 0 f ′′
xz = −1
4· z−
3
2 · x−3
Többváltozós függvények – p. 3/16
Ismétlés: gömbkörnyezet, szélsoérték
Definíció. Az x0 ∈ Rn pontr sugarú (nyílt gömb) környezete:
G(x0, r) ={
x ∈ Rn
∣
∣
∣|x − x0| < r
}
.
Definíció. Az f : D(⊂ Rn) → R n-változós valós függvénynek az
értelmezési tartományx0 pontjábanhelyi (lokális) maximumavan, ha az
x0-nak valamelyG(x0, r) környezetébenf(x0) ≥ f(x) minden
x ∈ D ∩ G(x0, r) esetén.Globális maximumról beszélünk, ha a fenti reláció
nemcsakx0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési
tartományon fennáll.
Definíció. Az f : D(⊂ Rn) → R n-változós valós függvénynek az
x0 ∈ D pontbanhelyi (lokális) minimumavan, ha azx0-nak valamely
G(x0, r) környezetébenf(x0) ≤ f(x) mindenx ∈ D ∩ G(x0, r) esetén.
Globális minimumról beszélünk, ha a fenti reláció nemcsakx0 valamely
környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennáll.
Többváltozós függvények – p. 4/16
A feltétel nélküli szélsoértékTétel (szükséges feltétel).Ha azf : D(⊂ R
n) → R n-változós
függvénynek aza ∈ D pontjában lokális szélsoértéke van, és itt
léteznek az elsorendu parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike
nulla, azaz
f ′xj
(a) = 0 (j = 1, 2, . . . , n).
A tétel alapján tehát a többváltozós függvények lehetséges
szélsoértékeinek a meghatározása úgy történhet, hogy a parciális
deriváltakat egyenlové tesszük nullával, majd a kapott
egyenletrendszert megoldjuk. Így a szélsoérték(ek) a megoldások
között lesz(nek).
Annak eldöntésére, hogy melyek lesznek azonban a valódi
szélsoértékhelyek, a következo tétel szolgál.
Többváltozós függvények – p. 5/16
A feltétel nélküli szélsoértékTétel (elégséges feltétel).Legyenf : D(⊂ R
n) → R. Tegyük fel, hogy azf
függvény aza ∈ D belso pont valamely környezetében kétszer folytonosan
differenciálható. Ha azf parciális deriváltjai aza-ban nullák, azaz:
f ′
xi(a) = 0 (i = 1, 2, . . . , n),
és a másodrendu parciális deriváltakból képzett
D(a) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f ′′
x1x1f ′′
x1x2. . . f ′′
x1xn
f ′′
x2x1f ′′
x2x2. . . f ′′
x2xn
......
......
f ′′
xnx1f ′′
xnx2. . . f ′′
xnxn
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
determinánsból eloállított
Többváltozós függvények – p. 6/16
A feltétel nélküli szélsoértékD1 =
∣
∣
∣f ′′
x1x1
∣
∣
∣,
D2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f ′′
x1x1f ′′
x1x2
f ′′
x2x1f ′′
x2x2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
D3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f ′′
x1x1f ′′
x1x2f ′′
x1x3
f ′′
x2x1f ′′
x2x2f ′′
x2x3
f ′′
x3x1f ′′
x3x2f ′′
x3x3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, . . .
sarokdeterminánsok elojele a vizsgált pontban
1. Dk > 0 (k = 1, . . . , n), akkora-ban minimuma van,
2. D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, azaz az adott sorrendben váltakozó
elojeluek, akkora-ban maximuma van,
3. egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség.
A szélsoértéket azf(a) adja. Többváltozós függvények – p. 7/16
PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!
Többváltozós függvények – p. 8/16
PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!
Megoldás.1. lépés:elkészítjük az elsorendu parciális deriváltakat:
f ′
x(x, y, z) = 3x2 + 12y
f ′
y(x, y, z) = 12x + 2y
f ′
z(x, y, z) = 2z + 2
Többváltozós függvények – p. 8/16
PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!
Megoldás.1. lépés:elkészítjük az elsorendu parciális deriváltakat:
f ′
x(x, y, z) = 3x2 + 12y
f ′
y(x, y, z) = 12x + 2y
f ′
z(x, y, z) = 2z + 2
2. lépés:a deriváltakat egyenlové teszzük 0-val és megoldjuk az
egyenletrendszert. A megoldások a lehetséges szélsoértékhelyeket adják.
3x2 + 12y = 0
12x + 2y = 0
2z + 2 = 0
=⇒ a harmadik egyenletbol: z = −1.
Többváltozós függvények – p. 8/16
PéldaAz utolsó egyenletet már felhasználtuk, így az elso ketto maradt:
3x2 + 12y = 0
12x + 2y = 0
Az második egyenletet−6-tal szorozzuk, és hozzáadjuk az elso egyenlethez.
Ekkor a következo másodfokú egyenlethez jutunk:
0 = 3x2 − 72x = 3x(x − 24).
Egy szorzat pontosan akkor0, ha valamelyik tényezoje0. Vagyis a
megoldások:x = 0, valamintx = 24. Az x-ekhez tartozóy értéket
legkönnyebben a második egyenletbol számíthatjuk ki. A lehetséges
szélsoértékhelyek tehát:(0, 0,−1), illetve (24,−144,−1).
Többváltozós függvények – p. 9/16
Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:
f ′′xx = 6x f ′′
xy = 12 f ′′xz = 0
f ′′yx = 12 f ′′
yy = 2 f ′′yz = 0
f ′′zx = 0 f ′′
zy = 0 f ′′zz = 2.
����������������
����������������
Többváltozós függvények – p. 10/16
Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:
f ′′xx = 6x f ′′
xy = 12 f ′′xz = 0
f ′′yx = 12 f ′′
yy = 2 f ′′yz = 0
f ′′zx = 0 f ′′
zy = 0 f ′′zz = 2.
4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0
12 2 0
0 0 2
�������� =⇒
D1 = 0 = 0
D2 = −144 < 0
D3 = −288 < 0
=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.
����������������
Többváltozós függvények – p. 10/16
Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:
f ′′xx = 6x f ′′
xy = 12 f ′′xz = 0
f ′′yx = 12 f ′′
yy = 2 f ′′yz = 0
f ′′zx = 0 f ′′
zy = 0 f ′′zz = 2.
4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0
12 2 0
0 0 2
�������� =⇒
D1 = 0 = 0
D2 = −144 < 0
D3 = −288 < 0
=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.
A (24,−144,−1) esetén a sarokdeterminánsok:��������144 12 0
12 2 0
0 0 2
�������� =⇒
D1 = 144 > 0
D2 = 144 > 0
D3 = 288 > 0
=⇒ a (24,−144,−1) minimumhely.
Többváltozós függvények – p. 10/16
Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:
f ′′xx = 6x f ′′
xy = 12 f ′′xz = 0
f ′′yx = 12 f ′′
yy = 2 f ′′yz = 0
f ′′zx = 0 f ′′
zy = 0 f ′′zz = 2.
4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0
12 2 0
0 0 2
�������� =⇒
D1 = 0 = 0
D2 = −144 < 0
D3 = −288 < 0
=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.
A (24,−144,−1) esetén a sarokdeterminánsok:��������144 12 0
12 2 0
0 0 2
�������� =⇒
D1 = 144 > 0
D2 = 144 > 0
D3 = 288 > 0
=⇒ a (24,−144,−1) minimumhely.
5. lépés:A minimum értéke:fmin(24,−144,−1) = −6913. Többváltozós függvények – p. 10/16
A feltételes szélsoértékDefiníció. Legyen adva azm, n két természetes szám(m ≤ n ∈ N), illetve a
gi : D(⊂ Rn) → R (i = 1, 2, 3, . . . , m)
f : D(⊂ Rn) → R
függvények. Legyen továbbáH =
�
x ∈ D
�� gi(x) = 0 i = 1, 2, 3, . . . , m
. Azt mondjuk,
hogy azf : D(⊂ Rn) → R n-változós függvénynek aza ∈ D-ben agi(x) = 0 feltételekre
vonatkozó lokális feltételes maximuma van, ha van aza-nak olyanr > 0 sugarú környezete,
hogy azx ∈ G(a, r) ∩ H pontokbanf(x) ≤ f(a).
Megjegyzések.
1. A globális feltételes maximum értelmezése ettol annyiban tér el, hogy a
gömbkörnyezettol el kell tekinteni, és mindenH-beli x-re meg kell követelni a fenti
egyenlotlenséget.
2. Hasonló módon értelmezheto a lokális, illetve globális feltételes minimum is.
3. A feladatunk ezúttal az, hogy úgy keressük azf : D(⊂ Rn) → R szélsoértékhelyeit,
hogy agi(x) = 0 (i = 1, 2, 3, . . . , m) formában felírt egyenleteknek is teljesülniük
kell.
Többváltozós függvények – p. 11/16
A feltételes szélsoértékTétel (szükséges feltétel, Lagrange-féle multiplikátor módszer)Tegyük fel, hogy
1. azf, gi : D(⊂ Rn) → R függvények folytonosan differenciálhatók,
2. azf függvénynek aza ∈ D pontban agi(x) = 0, (i = 1, 2, . . . , m) feltételekre
vonatkozó lokális feltételes szélsoértéke van,
3. ag′ix1
(a), . . . , g′ixn(a), i = 1, 2, . . . , m vektorok lineárisan függetlenek.
Ekkor vannak olyanλ1, λ2, . . . , λm ∈ R nem mind0 skalárok (az ún. Lagrange-féle
multiplikátorok), hogy az
L(x) = f(x) + λ1 · g1(x) + . . . + λm · gm(x) = f(x) +mX
i=1
λi · gi(x)
függvény összes parciális deriváltja eltunik aza pontban, azaz
L′xj
(a) = 0 (j = 1, 2, . . . , n).
Megjegyzés.Általában annak eldöntése, hogy a kapott megoldások valóban lokális feltételes
szélsoértékhelyek-e vagy sem, nem könnyu feladat, így ettol eltekintünk.
Többváltozós függvények – p. 12/16
Példa 1Feladat. Határozzuk meg azf(x, y) = x + y függvény szélsoértékhelyét, ha
x2 + y2 = 4.
A probléma szemléltetése:
3
2
1
0 y-1-6
-3 -2
-4
-1 -20
-2
1x 2 -33
0
2
4
6
Megoldás.Felírjuk a Lagrange-függvényt:
L(x, y, λ) = x + y + λ · (x2 + y2 − 4).
Többváltozós függvények – p. 13/16
Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:
L′
x = 1 + 2λx,
L′
y = 1 + 2λy,
L′
λ = x2 + y2 − 4.
Többváltozós függvények – p. 14/16
Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:
L′
x = 1 + 2λx,
L′
y = 1 + 2λy,
L′
λ = x2 + y2 − 4.
A deriváltakat egyenlové tesszük nullával:
1 + 2λx = 0,
1 + 2λy = 0,
x2 + y2 − 4 = 0.
Többváltozós függvények – p. 14/16
Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:
L′
x = 1 + 2λx,
L′
y = 1 + 2λy,
L′
λ = x2 + y2 − 4.
A deriváltakat egyenlové tesszük nullával:
1 + 2λx = 0,
1 + 2λy = 0,
x2 + y2 − 4 = 0.
Szorozzuk meg az elso egyenletety-nal, a másodikatx-szel, majd vonjuk ki
egymásból a két egyenletet. Az eredmény:x = y. Ezt helyettesítjük az utolsó
egyenletbe. A másodfokú egyenlet megoldásaként a(√
2,√
2) és
(−√
2,−√
2). A megfelelo szélsoértékek rendre:2√
2 és−2√
2.Többváltozós függvények – p. 14/16
Példa 2Feladat. Határozzuk meg azf(x, y, z) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 1
2z2 + 12
függvény szélsoértékhelyét az alábbi feltételek figyelembe vételével:
x + y + z = 4
x − z = 2
Többváltozós függvények – p. 15/16
Példa 2Feladat. Határozzuk meg azf(x, y, z) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 1
2z2 + 12
függvény szélsoértékhelyét az alábbi feltételek figyelembe vételével:
x + y + z = 4
x − z = 2
Megoldás.A két feltétel miatt két új változó vezetünk be,λ1-et ésλ2-t.
Segítségükkel a Lagrange-féle függvényt a következoképpen írhatjuk fel:
L(x, y, z, λ1, λ2) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x +1
2z2 + 12+
+ λ1 (x + y + z − 4) + λ2 (x − z − 2).
Többváltozós függvények – p. 15/16
Példa 2Képezzük a Lagrange függvény elsorendu parciális deriváltjait:
L′x = 2x + 3y + 4 + λ1 + λ2
L′y = 3x + 4y + λ1
L′z = z + λ1 − λ2
L′λ1
= x + y + z − 4
L′λ2
= x − z − 2
Tegyük ezeket egyenlové nullával:
2x + 3y + 4 + λ1 + λ2 = 0
3x + 4y + λ1 = 0
z + λ1 − λ2 = 0
x + y + z − 4 = 0
x − z − 2 = 0,
majd az így kapott egyenletrendszert oldjuk meg. Esetünkben a megoldásokx = 4, y = −2 és
z = 2.Többváltozós függvények – p. 16/16