Ismétlés: definíció és a parciális derivált

Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós

értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).

Többváltozós függvények – p. 2/16

Ismétlés: definíció és a parciális derivált

Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós

értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).

Példa.Számítsuk ki azf(x, y, z) = (2x4 − 2x2yz + 3y2)5 függvény

elsorendu parciális deriváltjait!

Többváltozós függvények – p. 2/16

Ismétlés: definíció és a parciális derivált

Definíció. Az f : R × R × . . . × R → R függvénytn-változós valós

értéku függvényneknevezzük. Jelölése:f(x1, x2, . . . , xn).

Példa.Számítsuk ki azf(x, y, z) = (2x4 − 2x2yz + 3y2)5 függvény

elsorendu parciális deriváltjait!

Megoldás.

f ′x(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)

4 · (8x3 − 4xyz)

f ′y(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)

4 · (−2x2z + 6y)

f ′y(x, y, z) = 5 (2x4 − 2x2yz + 3y2)

4 · (−2x2y)

Többváltozós függvények – p. 2/16

Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +

√z

x3függvény elso- és másodrendu parciális

deriváltjait!

Többváltozós függvények – p. 3/16

Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +

√z

x3függvény elso- és másodrendu parciális

deriváltjait!

Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1

2 · x−3.

Többváltozós függvények – p. 3/16

Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +

√z

x3függvény elso- és másodrendu parciális

deriváltjait!

Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1

2 · x−3.

Ezek után az elsorendu deriváltak:

f ′x(x, y, z) = 2 · y2 + z

1

2 · (−3) · x−4,

f ′y(x, y, z) = 2 · x · 2 · y,

f ′z(x, y, z) =

1

2· z−

1

2 · x−3.

Többváltozós függvények – p. 3/16

Ismétlés: a parciális deriváltPélda.Számítsuk ki azf(x, y, z) = 2 · x · y2 +

√z

x3függvény elso- és másodrendu parciális

deriváltjait!

Megoldás.Alakítsuk át a függvényt:f(x, y, z) = 2 · x · y2 + z1

2 · x−3.

Ezek után az elsorendu deriváltak:

f ′x(x, y, z) = 2 · y2 + z

1

2 · (−3) · x−4,

f ′y(x, y, z) = 2 · x · 2 · y,

f ′z(x, y, z) =

1

2· z−

1

2 · x−3.

A másodrendu parciális deriváltakat az elsorenduek továbbderiválásával kapjuk:

f ′′xx = 12 · z

1

2 · x−5 f ′′xy = 4y f ′′

xz = −3

2· z−

1

2 · x−4

f ′′yx = 4y f ′′

yy = 4x f ′′yz = 0

f ′′zx = −

3

2· z−

1

2 · x−4 f ′′zy = 0 f ′′

xz = −1

4· z−

3

2 · x−3

Többváltozós függvények – p. 3/16

Ismétlés: gömbkörnyezet, szélsoérték

Definíció. Az x0 ∈ Rn pontr sugarú (nyílt gömb) környezete:

G(x0, r) ={

x ∈ Rn

∣

∣

∣|x − x0| < r

}

.

Definíció. Az f : D(⊂ Rn) → R n-változós valós függvénynek az

értelmezési tartományx0 pontjábanhelyi (lokális) maximumavan, ha az

x0-nak valamelyG(x0, r) környezetébenf(x0) ≥ f(x) minden

x ∈ D ∩ G(x0, r) esetén.Globális maximumról beszélünk, ha a fenti reláció

nemcsakx0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési

tartományon fennáll.

Definíció. Az f : D(⊂ Rn) → R n-változós valós függvénynek az

x0 ∈ D pontbanhelyi (lokális) minimumavan, ha azx0-nak valamely

G(x0, r) környezetébenf(x0) ≤ f(x) mindenx ∈ D ∩ G(x0, r) esetén.

Globális minimumról beszélünk, ha a fenti reláció nemcsakx0 valamely

környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennáll.

Többváltozós függvények – p. 4/16

A feltétel nélküli szélsoértékTétel (szükséges feltétel).Ha azf : D(⊂ R

n) → R n-változós

függvénynek aza ∈ D pontjában lokális szélsoértéke van, és itt

léteznek az elsorendu parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike

nulla, azaz

f ′xj

(a) = 0 (j = 1, 2, . . . , n).

A tétel alapján tehát a többváltozós függvények lehetséges

szélsoértékeinek a meghatározása úgy történhet, hogy a parciális

deriváltakat egyenlové tesszük nullával, majd a kapott

egyenletrendszert megoldjuk. Így a szélsoérték(ek) a megoldások

között lesz(nek).

Annak eldöntésére, hogy melyek lesznek azonban a valódi

szélsoértékhelyek, a következo tétel szolgál.

Többváltozós függvények – p. 5/16

A feltétel nélküli szélsoértékTétel (elégséges feltétel).Legyenf : D(⊂ R

n) → R. Tegyük fel, hogy azf

függvény aza ∈ D belso pont valamely környezetében kétszer folytonosan

differenciálható. Ha azf parciális deriváltjai aza-ban nullák, azaz:

f ′

xi(a) = 0 (i = 1, 2, . . . , n),

és a másodrendu parciális deriváltakból képzett

D(a) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f ′′

x1x1f ′′

x1x2. . . f ′′

x1xn

f ′′

x2x1f ′′

x2x2. . . f ′′

x2xn

......

......

f ′′

xnx1f ′′

xnx2. . . f ′′

xnxn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

determinánsból eloállított

Többváltozós függvények – p. 6/16

A feltétel nélküli szélsoértékD1 =

∣

∣

∣f ′′

x1x1

∣

∣

∣,

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f ′′

x1x1f ′′

x1x2

f ′′

x2x1f ′′

x2x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f ′′

x1x1f ′′

x1x2f ′′

x1x3

f ′′

x2x1f ′′

x2x2f ′′

x2x3

f ′′

x3x1f ′′

x3x2f ′′

x3x3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, . . .

sarokdeterminánsok elojele a vizsgált pontban

1. Dk > 0 (k = 1, . . . , n), akkora-ban minimuma van,

2. D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, azaz az adott sorrendben váltakozó

elojeluek, akkora-ban maximuma van,

3. egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség.

A szélsoértéket azf(a) adja. Többváltozós függvények – p. 7/16

PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z

háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!

Többváltozós függvények – p. 8/16

PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z

háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!

Megoldás.1. lépés:elkészítjük az elsorendu parciális deriváltakat:

f ′

x(x, y, z) = 3x2 + 12y

f ′

y(x, y, z) = 12x + 2y

f ′

z(x, y, z) = 2z + 2

Többváltozós függvények – p. 8/16

PéldaMintapélda. Számítsa ki azf(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z

háromváltozós függvény lokális szélsoértékhelyeit, szélsoértékeit!

Megoldás.1. lépés:elkészítjük az elsorendu parciális deriváltakat:

f ′

x(x, y, z) = 3x2 + 12y

f ′

y(x, y, z) = 12x + 2y

f ′

z(x, y, z) = 2z + 2

2. lépés:a deriváltakat egyenlové teszzük 0-val és megoldjuk az

egyenletrendszert. A megoldások a lehetséges szélsoértékhelyeket adják.

3x2 + 12y = 0

12x + 2y = 0

2z + 2 = 0

=⇒ a harmadik egyenletbol: z = −1.

Többváltozós függvények – p. 8/16

PéldaAz utolsó egyenletet már felhasználtuk, így az elso ketto maradt:

3x2 + 12y = 0

12x + 2y = 0

Az második egyenletet−6-tal szorozzuk, és hozzáadjuk az elso egyenlethez.

Ekkor a következo másodfokú egyenlethez jutunk:

0 = 3x2 − 72x = 3x(x − 24).

Egy szorzat pontosan akkor0, ha valamelyik tényezoje0. Vagyis a

megoldások:x = 0, valamintx = 24. Az x-ekhez tartozóy értéket

legkönnyebben a második egyenletbol számíthatjuk ki. A lehetséges

szélsoértékhelyek tehát:(0, 0,−1), illetve (24,−144,−1).

Többváltozós függvények – p. 9/16

Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:

f ′′xx = 6x f ′′

xy = 12 f ′′xz = 0

f ′′yx = 12 f ′′

yy = 2 f ′′yz = 0

f ′′zx = 0 f ′′

zy = 0 f ′′zz = 2.

����������������

����������������

Többváltozós függvények – p. 10/16

Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:

f ′′xx = 6x f ′′

xy = 12 f ′′xz = 0

f ′′yx = 12 f ′′

yy = 2 f ′′yz = 0

f ′′zx = 0 f ′′

zy = 0 f ′′zz = 2.

4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0

12 2 0

0 0 2

�������� =⇒

D1 = 0 = 0

D2 = −144 < 0

D3 = −288 < 0

=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.

����������������

Többváltozós függvények – p. 10/16

Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:

f ′′xx = 6x f ′′

xy = 12 f ′′xz = 0

f ′′yx = 12 f ′′

yy = 2 f ′′yz = 0

f ′′zx = 0 f ′′

zy = 0 f ′′zz = 2.

4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0

12 2 0

0 0 2

�������� =⇒

D1 = 0 = 0

D2 = −144 < 0

D3 = −288 < 0

=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.

A (24,−144,−1) esetén a sarokdeterminánsok:��������144 12 0

12 2 0

0 0 2

�������� =⇒

D1 = 144 > 0

D2 = 144 > 0

D3 = 288 > 0

=⇒ a (24,−144,−1) minimumhely.

Többváltozós függvények – p. 10/16

Példa3. lépés:meghatározzuk a másodrendu parciális deriváltakat:

f ′′xx = 6x f ′′

xy = 12 f ′′xz = 0

f ′′yx = 12 f ′′

yy = 2 f ′′yz = 0

f ′′zx = 0 f ′′

zy = 0 f ′′zz = 2.

4. lépés:A (0, 0,−1) esetén a sarokdeterminánsok:�������� 0 12 0

12 2 0

0 0 2

�������� =⇒

D1 = 0 = 0

D2 = −144 < 0

D3 = −288 < 0

=⇒ a (0, 0,−1) nem szélsoértékhely.

A (24,−144,−1) esetén a sarokdeterminánsok:��������144 12 0

12 2 0

0 0 2

�������� =⇒

D1 = 144 > 0

D2 = 144 > 0

D3 = 288 > 0

=⇒ a (24,−144,−1) minimumhely.

5. lépés:A minimum értéke:fmin(24,−144,−1) = −6913. Többváltozós függvények – p. 10/16

A feltételes szélsoértékDefiníció. Legyen adva azm, n két természetes szám(m ≤ n ∈ N), illetve a

gi : D(⊂ Rn) → R (i = 1, 2, 3, . . . , m)

f : D(⊂ Rn) → R

függvények. Legyen továbbáH =

�

x ∈ D

�� gi(x) = 0 i = 1, 2, 3, . . . , m

. Azt mondjuk,

hogy azf : D(⊂ Rn) → R n-változós függvénynek aza ∈ D-ben agi(x) = 0 feltételekre

vonatkozó lokális feltételes maximuma van, ha van aza-nak olyanr > 0 sugarú környezete,

hogy azx ∈ G(a, r) ∩ H pontokbanf(x) ≤ f(a).

Megjegyzések.

1. A globális feltételes maximum értelmezése ettol annyiban tér el, hogy a

gömbkörnyezettol el kell tekinteni, és mindenH-beli x-re meg kell követelni a fenti

egyenlotlenséget.

2. Hasonló módon értelmezheto a lokális, illetve globális feltételes minimum is.

3. A feladatunk ezúttal az, hogy úgy keressük azf : D(⊂ Rn) → R szélsoértékhelyeit,

hogy agi(x) = 0 (i = 1, 2, 3, . . . , m) formában felírt egyenleteknek is teljesülniük

kell.

Többváltozós függvények – p. 11/16

A feltételes szélsoértékTétel (szükséges feltétel, Lagrange-féle multiplikátor módszer)Tegyük fel, hogy

1. azf, gi : D(⊂ Rn) → R függvények folytonosan differenciálhatók,

2. azf függvénynek aza ∈ D pontban agi(x) = 0, (i = 1, 2, . . . , m) feltételekre

vonatkozó lokális feltételes szélsoértéke van,

3. ag′ix1

(a), . . . , g′ixn(a), i = 1, 2, . . . , m vektorok lineárisan függetlenek.

Ekkor vannak olyanλ1, λ2, . . . , λm ∈ R nem mind0 skalárok (az ún. Lagrange-féle

multiplikátorok), hogy az

L(x) = f(x) + λ1 · g1(x) + . . . + λm · gm(x) = f(x) +mX

i=1

λi · gi(x)

függvény összes parciális deriváltja eltunik aza pontban, azaz

L′xj

(a) = 0 (j = 1, 2, . . . , n).

Megjegyzés.Általában annak eldöntése, hogy a kapott megoldások valóban lokális feltételes

szélsoértékhelyek-e vagy sem, nem könnyu feladat, így ettol eltekintünk.

Többváltozós függvények – p. 12/16

Példa 1Feladat. Határozzuk meg azf(x, y) = x + y függvény szélsoértékhelyét, ha

x2 + y2 = 4.

A probléma szemléltetése:

3

2

1

0 y-1-6

-3 -2

-4

-1 -20

-2

1x 2 -33

0

2

4

6

Megoldás.Felírjuk a Lagrange-függvényt:

L(x, y, λ) = x + y + λ · (x2 + y2 − 4).

Többváltozós függvények – p. 13/16

Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:

L′

x = 1 + 2λx,

L′

y = 1 + 2λy,

L′

λ = x2 + y2 − 4.

Többváltozós függvények – p. 14/16

Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:

L′

x = 1 + 2λx,

L′

y = 1 + 2λy,

L′

λ = x2 + y2 − 4.

A deriváltakat egyenlové tesszük nullával:

1 + 2λx = 0,

1 + 2λy = 0,

x2 + y2 − 4 = 0.

Többváltozós függvények – p. 14/16

Példa 1Ezek után az elsorendu parciális deriváltak:

L′

x = 1 + 2λx,

L′

y = 1 + 2λy,

L′

λ = x2 + y2 − 4.

A deriváltakat egyenlové tesszük nullával:

1 + 2λx = 0,

1 + 2λy = 0,

x2 + y2 − 4 = 0.

Szorozzuk meg az elso egyenletety-nal, a másodikatx-szel, majd vonjuk ki

egymásból a két egyenletet. Az eredmény:x = y. Ezt helyettesítjük az utolsó

egyenletbe. A másodfokú egyenlet megoldásaként a(√

2,√

2) és

(−√

2,−√

2). A megfelelo szélsoértékek rendre:2√

2 és−2√

2.Többváltozós függvények – p. 14/16

Példa 2Feladat. Határozzuk meg azf(x, y, z) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 1

2z2 + 12

függvény szélsoértékhelyét az alábbi feltételek figyelembe vételével:

x + y + z = 4

x − z = 2

Többváltozós függvények – p. 15/16

Példa 2Feladat. Határozzuk meg azf(x, y, z) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x + 1

2z2 + 12

függvény szélsoértékhelyét az alábbi feltételek figyelembe vételével:

x + y + z = 4

x − z = 2

Megoldás.A két feltétel miatt két új változó vezetünk be,λ1-et ésλ2-t.

Segítségükkel a Lagrange-féle függvényt a következoképpen írhatjuk fel:

L(x, y, z, λ1, λ2) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x +1

2z2 + 12+

+ λ1 (x + y + z − 4) + λ2 (x − z − 2).

Többváltozós függvények – p. 15/16

Példa 2Képezzük a Lagrange függvény elsorendu parciális deriváltjait:

L′x = 2x + 3y + 4 + λ1 + λ2

L′y = 3x + 4y + λ1

L′z = z + λ1 − λ2

L′λ1

= x + y + z − 4

L′λ2

= x − z − 2

Tegyük ezeket egyenlové nullával:

2x + 3y + 4 + λ1 + λ2 = 0

3x + 4y + λ1 = 0

z + λ1 − λ2 = 0

x + y + z − 4 = 0

x − z − 2 = 0,

majd az így kapott egyenletrendszert oldjuk meg. Esetünkben a megoldásokx = 4, y = −2 és

z = 2.Többváltozós függvények – p. 16/16