La costruzione di un indicatore tempestivo dell’attività economica italiana: ITACOIN
Bologna, 28 Novembre 2008
Dipartimento di Scienze Statistiche
Dott.ssa Valentina Aprigliano(Dottoranda in Statistica - Università La Sapienza di Roma)
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ObiettiviObiettivi
Costruire un indicatore che: Migliora la stima real-time della componente
comune di medio-lungo periodo del tasso di crescita del PIL;
Riassuma l’intera attività economica dell’Italia; Rispetti le caratteristiche di:
Tempestività: importante per avere aggiornamenti in tempi reali sulla dinamica dell’economia.
Smoothness.
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SoluzioneSoluzioneSTRUMENTO ATTUALESTRUMENTO ATTUALE SOLUZIONE PROPOSTASOLUZIONE PROPOSTA
PIL ITACOIN
Rappresentativo dell’attività economica italiana
Rappresentativo dell’attività economica italiana
Incorpora rumore Smooth
Rilevazione trimestrale (ISTAT)
Aggiornamento mensile
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ProblemaProblema
Per stimare il tasso di crescita di medio-lungo periodo del PIL la soluzione più immediata è applicare un filtro passa-banda al tasso di crescita del PIL (Baxter, A., King R.G., 1999 e Christiano L.J., Fitzgerald T.J., 2003).
Ma…trattandosi di un filtro simmetrico, provoca
problemi nella stima real time (al tempo finale T).
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SoluzioneSoluzione
Costruire un filtro che risolva il problema della stima real-time
Applicarlo al tasso di crescita del PIL
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Strumenti
Dominio delle frequenze;Dominio delle frequenze; Analisi fattoriale dinamica generalizzataAnalisi fattoriale dinamica generalizzata
(Forni, M., Hallin, M., Lippi, M., Reichlin, L., 2003, gruppo di ricerca del Center for Economic Policy Research: CEPR);
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Metodologia
Analisi spettrale:Analisi spettrale: per lo studio dei segnali economici nel dominio delle frequenze;
Modello fattoriale dinamico generalizzatoModello fattoriale dinamico generalizzato; Metodo New Eurocoin:Metodo New Eurocoin: applicazione ai dati
italiani del metodo elaborato dal gruppo di ricerca del CEPR per la costruzione dell’indicatore coincidente di attività economica dell’Unione europea, (Altissimo, F., Cristadoro R., Forni, M., Veronese, G., 2007).
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Perché il dominio delle frequenze…Perché il dominio delle frequenze…
Le serie economiche hanno una struttura oscillante e riproducono periodicamente lo stesso comportamento a meno di differenze casuali nell’ampiezza e nella frequenza delle oscillazioni (Slutzky, E., 1937).
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Perché il dominio delle frequenze…Perché il dominio delle frequenze…
Consente di trattare anche la relazione intertemporale fra le variabili, oltre che quella cross-sezionale: si inserisce un elemento di dinamicità;
La scomposizione del segnale in componenti di frequenza facilita la separazione del dato strutturale (bassa frequenza) dal rumore (alta frequenza).
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Strumenti
ANALISI DI FOURIERANALISI DI FOURIER
Teorema di Fourier:Teorema di Fourier:“Well behaved periodic functions can be
expressed as a (possibly infinite) sum of sine and cosine functions”.
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Strumenti
Espansione di Fourier:Espansione di Fourier:
consente di rappresentare la funzione del tempo f(t) rispetto alla base ordinata ortogonale
Quindi:),);(),(cos( NnmmtsenntB
0
)()cos()(n
nn ntsenbntatf
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Strumenti
Ovvero, utilizzando la formula di Eulero:
Con il coefficiente di Fourier:
0
int)(n
neAtf
dtetfAn
int)(2
1
13
Strumenti
L’analisi di Fourier può essere applicata a
Fenomeni stocasticiFenomeni deterministici
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Analisi spettraleAnalisi spettrale
ANALISI SPETTRALEANALISI SPETTRALE
Interpretazione statistica di caratteristiche fisiche:
ENERGIA VARIANZA
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Strumenti nel tempo continuo
Definizione Funzione di densità spettrale (spettro non
normalizzato):
La funzione di densità spettrale ( ) è il contributo medio alla potenza totale del processo che deriva dalle componenti di frequenza appartenenti all’intervallo infinitesimo .
Spettro integrato non normalizzato:
)(h
d,
dhH )()(
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Strumenti nel tempo continuo
TEOREMA
Sia un processo stocastico stazionario a media nulla e parametro t continuo, con funzione di densità spettrale che esiste per ogni , e funzione di autocovarianza .
Allora, è la trasformata di Fourier di :
ZttX
)(h
R)(h R
deRh i
2
1
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Strumenti nel tempo continuo
TEOREMARappresentazione spettrale del processo
stazionario a parametro t continuo(Wiener, 1930):
Con processo stocastico ad incrementi ortogonali.
ZttX
dZetX ti
Z
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Strumenti nel tempo discreto
Trasformata discreta di Fourier:
segnale digitale al tempo ; frequenza dell’intervallo discreto
itjiN
iijwetf
Nd
1
0
1
Nitf i ,...,1, itima
j j: Nj 0
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Strumenti nel tempo discreto
Matrice di Fourier: matrice ortogonale, il cui generico elemento è
Matrice di passaggio dal dominio del tempo al dominio delle frequenze:
NN
)1)(1(2
kjNe
yFN
d N
1
20
Strumenti nel tempo discreto
Diagonalizza la matrice circolante che approssima la matrice di varianza/covarianza
:
SPETTROSPETTRO
R
Insieme degli autovalori Insieme degli autovalori di una matricedi una matrice
Distribuzione dell’energiaDistribuzione dell’energiadi un segnaledi un segnale
per componenti di frequenzaper componenti di frequenza
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STIMA DELLA MATRICE DI DENSITÀ SPETTRALE Periodogramma: (1) Ma…La varianza dello stimatore è molto elevata, per la
presenza di troppe autocovarianze campionarie.Soluzione…Si limita la somma (1), applicando la lag window
)1(,...,1,0),cos()(2
1 )1(
)1(
NRIN
NN
)1(
)1(
)()(2
1)(
N
N
ieRh
)(
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ANALISIANALISI FATTORIALEFATTORIALE
Studio del ciclo economico
Burns-Mitchell (1946)
CRONOLOGIA
Stock-Watson (1989)
VARIABILI LATENTI
ANALISI FATTORIALE
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ANALISIANALISI FATTORIALE FATTORIALE DINAMICADINAMICA
(Stock-Watson) Ogni fattore comune evolve secondo un modello per i
processi stocastici; I fattori entrano nel modello a diversi lag temporali.
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) Si lavora nel dominio delle frequenze sulle matrici di
densità spettrale.
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Modello fattorialeModello fattoriale
Dato il processo vettoriale stazionario, a media nulla con momenti secondi finiti:
si definisce il modello fattoriale:
itititx
)',...,( ntntnt xxx
qtiqtiit fLbfLb )(...)( 11
ttufLA )(
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Metodo di stima dei fattoriMetodo di stima dei fattori
Definiti i fattori statici: esistono due metodi di stima attraverso le
componenti principali: Componenti principali staticheComponenti principali statiche: attraverso gli
autovalori/autovettori della matrice di varianza-covarianza: Stock e Watson, 1998;
Componenti principali dinamicheComponenti principali dinamiche: attraverso gli autovalori/autovettori della matrice di densità spettrale (Brillinger, 1981): Forni, Hallin, Lippi, Reichlin, 2000.
)'',...,','(1 stttt fffF
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Componenti principali Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1981).(Brillinger, 1981). Si tratta di trasmettere un segnale n-
dimensionale attraverso canali disponobili.Si trova l’approssimazione filtrata di
Si ricostruisce il segnale originario:
tXnq
tX
u
uXutbt )()()(
tu
t uutcX )()(*
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Componenti principali Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1989).(Brillinger, 1989).
La relazione fra e è data dalla funzione di trasferimento:
Si dimostra che la differenza fra i due segnali è minimizzata ponendo matrice dei primi autovettori della matrice di densità spettrale di
*tXtX
)()()( BCA
q
tX
B
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ANALISIANALISI FATTORIALEFATTORIALE DINAMICADINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)
Parte della correlazione fra le variabili è spiegata dai fattori specifici.
Si costruiscono le componenti principali:rjxZW nt
Tnj
jTnt ,...,1,
È l’autovettore generalizzato della matrice 1
00 )( Tn
Tn
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ANALISIANALISI FATTORIALE DINAMICA FATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) Two-sided estimation (2000):
Stima della matrice spettrale con la finestra di Bartlett;
Estrazione dell’autovalore e dell’autovettore ;
Si ottiene il filtro
)(Tnj
)(Tn
)(Tnjp
)()(~...)()(~)( ,1,1 Tnq
Tinq
Tn
Tin
Tni ppppK
M
Mk
kTkni
Tni LKLK ,)(
M
h
hikh
Tni eK
M
2
0
)(12
1
30
ANALISIANALISI FATTORIALE DINAMICA FATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATAGENERALIZZATA (Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)
Si ottiene la componente comune:
Ovvero:
)),,...,1,)((|(, ZtqjxLpspanxproiez ntnjitnit
ntninit xLK )(,
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Problema…
Si tratta di un filtro bilatero!
Soluzione… One-sided estimation (2003):
Obiettivi: Pesare le variabili osservate contemporanee; Conservare la dinamicità.
Strumenti: Stimare con il “metodo dinamico”“metodo dinamico” la Estrarre autovalori/autovettori dalla matrice
100 )( nn
Tn0
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Metodo dinamico
Si consideri l’esempio:
Riallineo le variabili: Costruisco la matrice di var/covar , quindi estraggo
l’autovettore normalizzato Ottengo il primo autovettore di come trasformata di
Fourier di Stimo Stima dinamica di
ittitiit ubuax 1
nmia
mib
i
i
,...,1,0
,...,1,0
',...,,,..., 1,1,11 tntmmttt xxxxyyn0
nc)()(~)()(ˆ
111 nnnn pp
nc)(n
)()(ˆ0 de n
ikn
33
METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN
È dato il modello fattoriale:
Eurocoin si ottiene proiettando sui fattori stimati (dalle componenti principali dinamiche generalizzate). Eurocoin è, quindi la componente comune del PIL che giace sulle frequenze cicliche.
CtPIL,
itititx
NCit
Cti ,
34
METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN
Lo spazio su cui proiettare per ottenere è quello generato dalle componenti principali contemporanee, ma anche ritardate e anticipate di m lag:
La stima è:
Cit
Cit
''' ,...,,..., mttmtt WWWZ
tCt XFMFFRF '1'ˆ
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METODOMETODO EUROCOINEUROCOIN
La matrice contiene il ;
La matrice è una matrice di matrici
diagonale. Le matrici della diagonale
contengono gli autovettori generalizzati;
La matrice è diagonale, con elementi
gli autovalori generalizzati.
R 'ttXE F
MFF '
36
METODO NEW-EUROCOINMETODO NEW-EUROCOINLa costruzione di ItacoinLa costruzione di Itacoin
L’indicatore non è più la stima di una variabile latente (non osservabile!), ma è la stima della componente di medio-lungo periodo del tasso di crescita del PIL.
CONSEGUENZA IMPORTANTE…CONSEGUENZA IMPORTANTE…
Esiste un target con cui confrontare Itacoin e valutarne la prestazione.
37
Procedura
VARIABILE DI VARIABILE DI RIFERIMENTO: RIFERIMENTO:
il tasso di crescita mensile del PIL
che filtrato diventa
approssimo con
tt yLc )(
3loglog ttt zzy
FILTRO LOW-PASS IDEALE
tc** )( tt yLc
Ttt
Ttyy tt ,1,ˆ
1,*
38
DATI CODICE TRATTAMENTO
Indici dei prezzi al consumo
IT CPI-energy ITOCP041F (1-L)log
IT CPI-all items (harmonized) ITEHARMF "
IT CPI-harmonized ITOCP049F "
IT CPI ITOCP009F "
IT CPI-food ITOCP019F "
IT CPI-services ITESCPSVF "
IT CPI-services (less housing) ITOCP064F "
IT CPI (overall indexe exc. Energy,food,alcohol,tobacco) ITESCPXFF "
IT CPI-(less food,energy) ITOCP042F "
Indici dei prezzi alla produzione
IT PPI-fabricated metal prod.(less machinery, equipment) ITPPFMPXF "
IT PPI-wood,wood prod.,cork (less furniture) ITPPWWPXF "
Procedura DATIDATI
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IT PPI-manifacture of basic metals ITESIP27F "
IT PPI-chemicals and chemicals prod. ITESIP24F "
IT PPI-coke,refined petroleum prod., nuclear fuel ITPPCRPNF "
IT PPI-manifacture of electrical machinery,apparatus nec ITESIP31F "
IT PPI-food,beverages ITESIP15F "
IT PPI-pulp,paper,paper prod. ITESIP21F "
IT PPI-rubber,plastic prod. ITESIP25F "
IT PPI-textiles ITESIP17F "
IT PPI-wearing apparel ITESIP18F "
IT PPI-tanning,dressing ITESIP19F "
IT PPI-furniture manifacturing ITPPMFURF "
IT PPI-other non metallic mineral prod. ITPPONMPF "
IT PPI-manifacturing ITESPPIMF "
IT PPI-capital goods ITESPPICF "
IT PPI-durable consumer goods ITESPPIDF "
IT PPI-non durable consumer goods ITESPPINF "
IT PPI-industry (less construction) ITESPPIIF "
IT PPI-intermediate goods ITESPPITF "
40
Tassi di cambio
IT REAL EFFECTIVE EXCHANGE RATE VOLN ITOCC011 (1-L)log
Produzione industraile
IT IP-investment goods ITPINVTH (1-L)log
IT IP-intermediate goods ITIPINTMG "
IT IP-consumer goods ITIPCNGDG "
IT IP-manifacture of basic metals ITESPI27G "
IT IP-manifacture of machinery and equipment (vola) ITESPI29G "
IT IP-manifacture of pulp,paper,paper prod. (vola) ITESPI21G "
IT IP-manifacturing (vola) ITESMNPRG "
IT IP-capital goods ITESPIESH "
IT IP-energy ITIPENGYG "
IT IP-(vola; less construction) ITESINXCG "
Ordini industriali
IT IO-capital goods (vola) ITESN004G (1-L)log
IT IO-consumer durable (vola) ITESN006G "
IT IO-manifacturing (vola) ITESN003G "
IT IO-total industry (vola; less construction and energy) ITESN011G "
IT NEW ORDERS TO MANIFACTURING ITNEWORDF "
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Salari
IT CONTRACTUAL HOURLY WAGE:ALL WORKERS ITWAGES.F (1-L)log
IT HOURLY WAGE RATE:INDUSTRY ITOLC007E "
Occupazione
IT EMPLOYEES: LARGE FIRMS VOLN ITEPLFS.H (1-L)log
IT HOURS WORKED PER EMPLOYEE VOLN ITEPHWE.H "
Disoccupazione
IT ENEMPLOYMENT ITESTUNPO (1-L)log
Finanza
IT SHARE PRICES-ISE MIB STORICO ITOSP001F (1-L)log
Tassi di interesse
IT TREASURY BILL RATE ITI60C.. (1-L)
IT MONEY MARKET RATE (Federal founds) ITI60B.. "
IT GOVERNMENT BOND YIELD-Longterm IT61.. "
IT GOVERNMENT BOND YIELD-medium term IT61B.. "
IT PRIME (AB)"DEAD"-middle rate ITPRIME "
IT TREASURY BOND NET YIELD-SECONDARY MARKET ITLNGYLD "
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Offerta di moneta
IT MONEY SUPPLY:M1 (Italian contribution to the euro area curn) ITM1…A (1-L)log
IT MONEY SUPPLY:M2 (Italian contribution to the euro area curn) ITM2…A "
IT MONEY SUPPLY:M3 (Italian contribution to the euro area curn) ITM3…A "
Industria
IT INDUSTRIAL TURNOVER ITSALTOTF (1-L)log
Indicatori di domanda
IT RETAIL SALES ITRETTOTF (1-L)log
IT SALES-consumer goods ITSLCNGDF "
IT SALES-domestic ITSALDOME "
IT SALES-foreign ITSALFORE "
IT SALES-intermediate goods ITSLINVMF "
IT SALES-investment goods ITSLINVTF "
IT NUMBER OF NEW CAR REGISTRATION ITESCAR.G "
Sondaggi
IT RETAIL SURVEY-future busness situation ITEUSREBQ log(log(•))
IT RETAIL SURVEY-current business situation ITEUSRPBQ "
IT ECONOMIC SENTIMENT INDICATOR ITEUSESIG "
43
IT CONSUMER CONFIDENCE INDICATOR ITEUCCIQ "
IT CONSUMER SURVEY-economic situation next 12 mth ITEUSCEYQ "
IT CONSUMER SURVEY-employment next 12 mth ITEUSCUNQ "
IT CONSUMER SURVEY-prices next 12 mth ITEUSCPYQ "
IT CONSUMER SURVEY-prices last 12 mth ITEUSCPRQ "
IT CONSUMER SURVEY-savings at present ITEUSCSAQ "
IT INDUSTRY SURVEY-prod. Expectation for mth. Ahead ITEUSIPAQ "
IT INDUSTRY SURVEY-stock of finished goods ITEUSIFPQ "
IT INDUSTRY SURVEY-order book position ITEUSIOBQ "
IT INDUSTRIAL CONFIDENCE INDICATOR ITEUSICIQ "
IT INDUSTRY SURVEY-expectation for mth. Ahead ITEUSIEMQ "
IT INDUSTRY SURVEY-export order book position ITEUSIEBQ "
IT INDUSTRY SURVEY-selling prices exp. Mth. Ahead ITEUSISPQ "
IT SERVICES SURVEY-evolution of demand exp. In mth. Ahead ITEUSVEMQ "
IT CONSTRUCTION CONFIDENCE INDICATOR ITEUSBCIQ "
IT CONSTRUCTION SURVEY-price exp. ITEUSBPRQ "
IT CONSTRUCTION SURVEY-order book position ITEUSBOBQ "
IT ISAE HOUSEHOLD CONFIDENCE INDEX (net of irregular components) ITCNFCNIQ "
IT ISAE BUSINESS SURVEY-selling price forecast ITPRCEXPR "
IT ISAE BUSINESS SURVEY-investment goods,order book forecast ITINVFOBR "
IT ISAE BUSINESS SURVEY-foreign order assessment ITFORORDR "
IT ISAE BUSINESS SURVEY-domestic orders assessment ITDOMORDR "
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Commercio con l'estero
IT EXPORT FOB ITEXPORTA (1-L)log
IT EXPORT VOLUME INDEX ITEXPVOLH "
IT IMPORTS CIF ITIMPORTA "
IT IMPORTS VOLUME INDEX ITIMPVOLH log(log(•))
Composite leading indicator
IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency ITOL0372Q log(log(•))
IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency ITOL0376Q "
PIL
GDP-SA GDPIT (1-L)log
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Procedura
TARGETTARGET
La variabile è una stima di :buona all’interno del campione;meno buona a fine serie: al tempo T.
*tc tc
46
Procedura TARGETTARGET
costituisce il target con cui confrontare Itacoin al tempo !
T T+h
c*tItacoin
*tc
hT
stima confronto
47
Procedura
COSTRUZIONECOSTRUZIONE DEI REGRESSORI:DEI REGRESSORI: Duplice sintesi:
Si estraggono le componenti comuni delle variabili del dataset;
Si estraggono le sole componenti comuni che giacciono sulle frequenze cicliche.1. Stimo la matrice di densità spettrale:
2. Estraggo i primi q autovettori/valori e costruisco:
M
Mk
kji
xkjx ekW
)(ˆ
2
1)(ˆ
)(~
)()(ˆ UU
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Procedura
COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:3. Applico la trasformata discreta inversa di Fourier:
4. Seleziono, in particolare, le frequenze basse: calcolo la media di sull’intervallo : ottengo
5. Estraggo gli autovettori/valori generalizzati dalla coppia di matrici con cui costruisco i regressori: le componenti principali
generalizzate (stime consistenti dei fattori comuni).
J
JjjJ)(ˆ
12
2ˆ
)(ˆ
6,
6
x ˆ,ˆ
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Procedura
COSTRUZIONECOSTRUZIONE DI ITACOINDI ITACOINIndicato con w lo spazio vettoriale delle componenti principali
generalizzate, Itacoin (al tempo T, real-time) si ottiene proiettando su w:Tc
TwcwTT wwcP 1|
PROBLEMA…Al tempo T non ho il valore di , quindi per calcolare bisogna usare una procedura particolare…
Tc cw
50
Procedura
Costruzione di Costruzione di Stimo la matrice di varianza/covarianza fra Stimo la matrice di varianza/covarianza fra
Quindi stimo la matrice di densità spettrale Quindi stimo la matrice di densità spettrale applicando la finestra di Bartlett, e applicando la finestra di Bartlett, e “tagliandola” “tagliandola” sulle alte frequenze: sulle alte frequenze:
Infine, applicando la trasformazione inversa di Infine, applicando la trasformazione inversa di Fourier ottengo la matrice :Fourier ottengo la matrice :
)(ˆjcw
tt wy ,cw
13//)(ˆ '1313 kTwyk
lkllyw
cw
J
Jjjywcw J)(ˆ
12
2ˆ
51
ItacoinItacoin
Fig. 1: Itacoin (linea blu) a confronto con il suo target (linea verde). Elaborazioni MATLAB, versione 7.6
52
ItacoinItacoin: coerenzacoerenza
Fig. 2: Misura di coerenza fra Itacoin e il target . Elaborazioni MATLAB, versione 7.6
tc
53
LE ULTIME SU EUROCOIN
54
55