Download - La Integral Definida. Área Bajo La Curva

Cálculo IntegralLa Integral Definida. Área Bajo LaCurva.

M. en C. Juliho Castillo31 de enero de 2017

Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana

1

https://www.youtube.com/channel/UCb1i-EtybaWWX5urFfmMUWQ

1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva.

Notación “Sigma”

Área bajo la curva

Propiedades de la Integral Definida

Ejercicios Resueltos

2

La Integral Definida. Área BajoLa Curva.

3


Notación “Sigma”

4

La letra griega Σ denota adición repetida:

b∑i=a

f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),

siempre que a ≤ b.

5

Ejemplo 1.1.

1∑5

j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152∑3

i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 73∑10

i=2 i2 = 22 + 32 + ... + 102

4∑4

j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.

6

Linealidad

Proposición 1.1.

b∑i=a

cf(i) = cb∑

i=a

f(i) (1.1)

b∑i=a

f(i) + g(i) =b∑

i=a

f(i) +b∑

i=a

g(i) (1.2)

7


Área bajo la curva

8

Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].

9

Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva

10

Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).

1 Dividimos el intervalo en N subintervalos

a = x0 < x1 < ... < xN = b.

2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como

δxi = xi+1 − xi.

3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por

N∑i=1

f(ξi)δxi,

donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11

Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:

1 Definimos h = b − a

N;

2 Escogemos

ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;

3 La suma de Riemann correspondiente será

N∑k=1

f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .

12

Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derechode cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemosescoger por ejemplo:

el extremo izquierdo:

ξk = a + (k − 1) ∗ h;

o el punto medio de cada intervalo:

ξk = a +(

k − 12

)∗ h;

13

Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterioraproxima el área sobre la curva.


14

Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambiade signo en un intervalo, hablamos del área con signo.


15

Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por

∫ b

af(x)dx = lım

N→∞

(N∑

i=1f(ξi)δxi

),

siempre y cuando el límite exista.

Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).

La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.

16

Ejemplo 1.2.Calcule ∫ 5

11dx.

17

Ejemplo 1.3.

Calcule ∫ 5

0xdx.

18

Ejemplo 1.4.

Calcule ∫ 5

1xdx.

19

Proposición 1.2.

∫ b

a1dx = b − a (1.3)∫ b

axdx = b2

2 − a2

2 (1.4)

20

Ejemplo 1.5.

Aproxime la integral ∫ b

a

1√2π

e− 12 x2

dx

utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, cona = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cadaintervalo.

21

Evaluación Continua 1.Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando:

1 a = 0, b = 3, N = 4;2 a = −2, b = 2, N = 8;3 a = −3, b = 3, N = 16.

22


Propiedades de la Integral Definida

23

Propiedades: Linealidad

∫ b

acf(x)dx = c

∫ b

af(x)dx (1.5)∫ b

a(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx (1.6)

24

Propiedades: Límites

∫ c

af(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ c

bf(x)dx (1.7)∫ a

af(x)dx = 0 (1.8)∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx (1.9)

25


Ejercicios Resueltos

26

Ejercicio Resuelto 1.Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrarque:

(a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ b

a f(x)dx ≥ 0.

(b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

(c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces

m (b − a) ≤∫ b

af(x)dx ≤ M (b − a) .

27

Ejercicio Resuelto 2.Evalue ∫ 1

0x2dx

a partir de la definición.

28

Ejercicio Resuelto 3.

Demuestre la fórmulan∑

k=1k = n (n + 1)

2 .

29

Bibliografía

Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``TheDefinite Integral. Area Under a Curve'' de nuestrolibro de texto ``Ayres, F. and Mendelson,E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;5th Edition.''

30

Download - La Integral Definida. Área Bajo La Curva

Top Related