la integral definida. Área bajo la curva
TRANSCRIPT
Cálculo IntegralLa Integral Definida. Área Bajo LaCurva.
M. en C. Juliho Castillo31 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1
1 La Integral Definida. Área Bajo La Curva.
Notación “Sigma”
Área bajo la curva
Propiedades de la Integral Definida
Ejercicios Resueltos
2
La Integral Definida. Área BajoLa Curva.
3
La Integral Definida. Área BajoLa Curva.
Notación “Sigma”
4
La letra griega Σ denota adición repetida:
b∑i=a
f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),
siempre que a ≤ b.
5
Ejemplo 1.1.
1∑5
j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152∑3
i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 73∑10
i=2 i2 = 22 + 32 + ... + 102
4∑4
j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.
6
Linealidad
Proposición 1.1.
b∑i=a
cf(i) = cb∑
i=a
f(i) (1.1)
b∑i=a
f(i) + g(i) =b∑
i=a
f(i) +b∑
i=a
g(i) (1.2)
7
La Integral Definida. Área BajoLa Curva.
Área bajo la curva
8
Sea f una función tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo [a, b].
9
Figura 1.1: Aproximación de área bajo la curva
10
Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N∑i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11
Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N∑i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11
Algoritmo 1.1 (Sumas de Riemman).
1 Dividimos el intervalo en N subintervalos
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
2 Definimos la longitud de cada intervalo [xi, xi+1] como
δxi = xi+1 − xi.
3 El área bajo la curva definida por f esta aproximada por
N∑i=1
f(ξi)δxi,
donde ξi es un punto en el intervalo [xi, xi+1].11
Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h = b − a
N;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N∑k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .
12
Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h = b − a
N;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N∑k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .
12
Una manera más concreta de construir una suma de Riemmanes fijando el tamaño del paso:
1 Definimos h = b − a
N;
2 Escogemos
ξk = a + k ∗ h, k = 1, 2, ..., N ;
3 La suma de Riemann correspondiente será
N∑k=1
f(ξk) ∗ h = h (f(ξ1) + ... + f(ξN)) .
12
Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derechode cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemosescoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a +(
k − 12
)∗ h;
13
Al fijar el tamaño del paso, hemos ocupado el extremo derechode cada intervalo: xk = a + k ∗ h, pero también podemosescoger por ejemplo:
el extremo izquierdo:
ξk = a + (k − 1) ∗ h;
o el punto medio de cada intervalo:
ξk = a +(
k − 12
)∗ h;
13
Si en un intervalo [a, b], f(x) < 0, entonces la suma anterioraproxima el área sobre la curva.
Figura 1.2: Aproximación de área bajo la curva
14
Por esta razón, cuando no distinguimos cuando f(x) cambiade signo en un intervalo, hablamos del área con signo.
Figura 1.3: Aproximación de área bajo la curva
15
Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
∫ b
af(x)dx = lım
N→∞
(N∑
i=1f(ξi)δxi
),
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.
16
Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
∫ b
af(x)dx = lım
N→∞
(N∑
i=1f(ξi)δxi
),
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.
16
Definición 1.1.La integral definida de f en el intervalo [a, b] está dada por por
∫ b
af(x)dx = lım
N→∞
(N∑
i=1f(ξi)δxi
),
siempre y cuando el límite exista.
Si el límite existe, diremos que f es integrable (en [a, b]).
La suma está definida como en el algoritmo 1.1 y se conocecomo suma de Riemman.
16
Ejemplo 1.2.Calcule ∫ 5
11dx.
17
Ejemplo 1.3.
Calcule ∫ 5
0xdx.
18
Ejemplo 1.4.
Calcule ∫ 5
1xdx.
19
Proposición 1.2.
∫ b
a1dx = b − a (1.3)∫ b
axdx = b2
2 − a2
2 (1.4)
20
Ejemplo 1.5.
Aproxime la integral ∫ b
a
1√2π
e− 12 x2
dx
utilizando el algoritmo 1.1 fijando el tamaño del paso, cona = −1, b = 1, N = 5 y usando el extremo derecho de cadaintervalo.
21
Evaluación Continua 1.Aproxime la integral del ejemplo 1.5 cuando:
1 a = 0, b = 3, N = 4;2 a = −2, b = 2, N = 8;3 a = −3, b = 3, N = 16.
22
La Integral Definida. Área BajoLa Curva.
Propiedades de la Integral Definida
23
Propiedades: Linealidad
∫ b
acf(x)dx = c
∫ b
af(x)dx (1.5)∫ b
a(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ b
ag(x)dx (1.6)
24
Propiedades: Linealidad
∫ b
acf(x)dx = c
∫ b
af(x)dx (1.5)∫ b
a(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ b
ag(x)dx (1.6)
24
Propiedades: Límites
∫ c
af(x)dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ c
bf(x)dx (1.7)∫ a
af(x)dx = 0 (1.8)∫ b
af(x)dx = −
∫ a
bf(x)dx (1.9)
25
Propiedades: Límites
∫ c
af(x)dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ c
bf(x)dx (1.7)∫ a
af(x)dx = 0 (1.8)∫ b
af(x)dx = −
∫ a
bf(x)dx (1.9)
25
Propiedades: Límites
∫ c
af(x)dx =
∫ b
af(x)dx +
∫ c
bf(x)dx (1.7)∫ a
af(x)dx = 0 (1.8)∫ b
af(x)dx = −
∫ a
bf(x)dx (1.9)
25
La Integral Definida. Área BajoLa Curva.
Ejercicios Resueltos
26
Ejercicio Resuelto 1.Supongamos que f y g son integrables en [a, b]. Demostrarque:
(a) Si f(x) ≥ 0 en [a, b], entonces∫ b
a f(x)dx ≥ 0.
(b) Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces∫ b
af(x)dx ≤
∫ b
ag(x)dx.
(c) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], entonces
m (b − a) ≤∫ b
af(x)dx ≤ M (b − a) .
27
Ejercicio Resuelto 2.Evalue ∫ 1
0x2dx
a partir de la definición.
28
Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre la fórmulan∑
k=1k = n (n + 1)
2 .
29
Bibliografía
Las notas de estas sección se basaron en el capítulo 23 ``TheDefinite Integral. Area Under a Curve'' de nuestrolibro de texto ``Ayres, F. and Mendelson,E.;``Calculus''; Schaum's Outlines, McGraw Hill;5th Edition.''
30