INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VALLES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

APUNTES

ING. ANTONIO MARBAN PAZ

AGOSTO DEL 2011

UNIDAD 3.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.CASO 1AREA BAJO UNA CURVA , EN UN INTERVALO CERRADO X Y EL EJE DE LAS XX.

EL AREA SE INTERPRETA COMO EL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA DE LA FUNCION, EVALUADA EN EL INTERVALO a, b.

CASO 2AREA BAJO LA CURVA , EN UN INTERVALO CERRADO Y EL EJE DE LAS YY.

EL AREA SE INTERPRETA COMO EL VALOR DE LA INTEGRAL NDEFINIDA DE LA FUNCION, EVALUADA EN EL INTERVALO c,d.

A

a b

A

d

c

2

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA BAJO LA CURVA EL EJE XX EN EL INTERVALO X .

EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS SE REQUIERE DE GRAFICAR Y PARA ESTO HAY QUE IDENTIFICAR LO QUE REPRESENTA LA ECUACION QUE TENEMOS,EN ESTE CASO LA X CUADRADA NEGATIVA NOS INDICA QUE ES UNA PARABOLA VERTICAL HACIA ABAJO, PARA DETERMINAR EL VERTICE SE PUEDE CALCULAR EL PUNTO MAXIMO UTILIZANDO EL METODO DE LA PRIMERA DERIVADA CON LO QUE OBTENEMOS

AHORA UTILIZANDO EL PRIMER FORMATO ENCONTRAMOS QUE:

1 4X

26 XXY

A

3

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA EN EL PRIMER CUADRANTE DE EL EJE XX Y X=2.

EN ESTE CASO TENEMOS UNA PARABOLA VERTICAL HACIA ARRIBA CON VERTICE EN EL ORIGEN Y EMPLEANDO EL FORMATO UNO:

UNIDADES CUADRADAS.

0 2

2XY

A

4

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA EN EL PRIMER CUADRANTE DE EL EJE YY Y Y=1 y Y=4

EN ESTE CASO TENEMOS UNA PARABOLA VERTICAL HACIA ARRIBA CON VERTICE EN EL ORIGEN.AQUÍ REQUERIMOS EL EMPLEO DEL FORMATO 2, LO CUAL EXIGE DESPEJAR LA VARIABLE “X” ENTONCES DE OBTENEMOS QUE

ENTONCES DE ESTA MANERA QUEDA LA INTEGRAL PLANTEADA ASI:

0

2XY

1

4

A

5

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA ENTRE EL EJE DE LAS YY Y LAS RECTAS HORIZONTALES Y=3 y Y=6

AQUÍ PARA GRAFICAR DEBEMOS SABER QUE TENEMOS UNA HOJA POSITIVA DE UNA PARABOLA HORIZONTAL CON VERTICE EN EL ORIGEN Y QUE SE ALARGA HACIA ARRIBA DEBIDO AL COEFICIENTE 4 QUE AFECTA EL RADICAL.

PARA EL PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL USAREMOS EL FORMATO 2

DEBIDO A QUE EL AREA ES CON RESPECTO AL EJE DE LAS YY Y LAS

RECTAS HORIZONTALES QUE LIMITAN EL AREA REPRESENTAN LOS

LIMITES “c” Y “d” DE INTEGRACION, ADEMAS ES NECESARIO EXPRESAR

X=F(Y) O SEA DESPEJAR LA “X”

EJERCICIO: CALCULAR EL AREA ENTRE EL EJE DE LAS XX Y LA FUNCION

3

6

A

6

AQUÍ TENEMOS UNA PARABOLA HACIA ABAJO POR EL SIGNO MENOS DE LA X CUADRADA Y DEBEMOS CALCULAR LOS CRUCES CON EL EJE DE LAS XX Y QUE SERAN LOS LIMITES DE INTEGRACION “a” Y “b” PARA EL FORMATO 1.ENTONCES EN LOS PUNTOS SOBRE EL EJE DE LAS XX LA “Y” ES IGUAL A CERO. DE DONDE OBTENEMOS LAS RAICES X=0 Y X=4

EJERCICIOS

CALCULAR EL AREA SEGÚN SE INDICA.

ARRIBA DEL EJE DE LAS XX.

AREA ENTRE CURVAS

0 4

A

7

SEAN Y=F(X) , Y=G(X) Y DOS FUNCIONES Y UN INTERVALO CERRADO EN EL EJE XX, QUE JUNTOS DELIMITAN UNA REGION PLANA.

SE GRAFICA Y SIEMPRE LA FUNCION QUE QUEDE ARRIBA SERA F(X) Y LA QUE QUEDE ABAJO SERA G(X).

POR LO TANTO EL AREA DE ESA REGION PLANA ESTA DADA POR:

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA EN EL PRIMER CUADRANTE, ENTRE LAS CURVAS Y EL EJE YY.

A

a b

)(XF

)(XG

8

LAS DOS SON PARABOLAS, UNA PARA ABAJO Y LA OTRA PARA ARRIBA.PARA ENCONTRAR EL PUNTO DONDE SE CRUZAN IGUALAMOS LAS “Y”

ENTONCES UTILIZANDO EL FORMATO SEÑALADO EN LA PÁGINA ANTERIOR:

EJEMPLO: CALCULAR EL AREA ENTRE Y AQUÍ TENEMOS DOS PARABOLAS CON VERTICE EN EL ORIGEN, LA PRIMERA VERTICAL Y LA SEGUNDA HORIZONTAL.

0 3

27

A

)(2 2 XGXY

)(27 2 XFXY

9

PARA ENCONTRAR EL PUNTO DE CRUCE ENTRE LAS DOS PARABOLAS QUE NECESARIAMENTE SE DA EN EL PRIMER CUADRANTE IGUALAMOS LAS“Y”.

ESTE PROBLEMA PUEDE RESOLVERSE CON LOS DOS FORMATOS. CON EL FORMATO 1:

CON EL FORMATO 2:

EJERCICIOS: CALCULAR EL AREA SEGÚN SE INDICA UTILIZANDO EL FORMATO QUE MAS LE CONVENGA.

1

1

YXoXY 2

2YXoXY

10

CALCULAR EL AREA ABAJO DEL EJE XX Y UN CIRCULO DE RADIO=3

11

12

13

14

15

16

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18

19

20

21

22

23

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25