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8/4/2019 Limit Est Rig on Om Tri Cos
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Coordinacin de Matemtica I
Instituto Universitario de TecnologaAlonso GameroI Semestre del 2006
Ctedra: Matemtica I
LIC. LILA V. LUGO G.
Lmites Trigonomtricos
De manera General los lmites trigonomtricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad
trigonomtrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizaralgunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o
aplicar las propiedades de los lmites.
A continuacin algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.
Los siguientes lmites son considerados como CASOS NOTABLES
1) 10
= x
senxLimx
2) 10
= senx
xLimx
3) 00
=
senxLimx
4)
10
= Kx
senKxLimx
5) 1cos0
=
xLimx
6) 0cos1
0=
x
xLimx
7)2
1cos120
=
x
xLimx
tan x
x
tan KxAlgunas IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS ms usadas son:
Identidades Bsicas
ecxsenx
cos
1=x
xsec
1cos =
anxx
cot
1tan =
x
senxx
costan =
senx
xanx
coscot =
Identidades Fundamentales de la Trigonometra
sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x
Identidades de la suma de ngulos
sen(xy)=senx cosy cosx seny senxsenycosxcosyy)cos(x =
2
2cos12 xxsen
=
2
2cos1cos 2
xx
+=
Identidades de ngulos Doble
sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x
Identidades de ngulos medio
2
cos1)2/(
xxsen
=
2
cos1)2/cos(
xx
+=
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Ejemplos:
1.
2.
3. si decimos que x-1 = y entonces tendremos:1lim
0=
y
seny
y
4. de igual manera
5.
6.
0
0
)0(3
0
3
2lim
0==
sen
x
xsen
x
3
2
2
2lim2
3
12lim
3
1
3
2lim
000
=== x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
7.0
0
2cot
2cos
cot
coslim
2
==
ananx
x
x
1
2lim
cos
coslim
cos
coslim
222
====
sensenxx
xsenx
senx
x
x
xxx
8.
recordando que sen2x + cos2x=1sen2x= 1-cos2x
9.
recordando quex
senxx
costan =
Para resolverloutilizaremos un procedimiento comn en algunoslmites trigonomtricos y que consiste en multiplicar por elconjugado de una expresin. Multiplicamos por el conjugado de
que es
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10. al evaluar resulta:
3
cos21
)33
(
sen
= 0
0
11
0
2
121
)0( =
=
sen
Desarrollemos : recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny
Luego:
11.
0
0
)11(2
11
)4ta n1(2
4tan1
)tan1(2
tan1lim
22
4
=
=
=
x
x
x
( ) ( )==
=
=
=
coslim
)cos1(
coscos1lim
cos
coscos1lim
cos
cos1lim
tan
cos1lim
00000 senx
x
xsenx
xx
xsenxsenx
xx
senxx
senx
x
senxx
x
xxxxx
12.0
0
)11(
0
0cos1
0tan
cos1
tanlim
22
0=
=
=
x
x
x
( ) ( )( )(
( )xx
xx
x
xx
xsen
x
x
senx
x
x
xxxxx 02
2
02
2
0
2
0
2
0 coscos1
c1cos1lim
coscos1
cos1lim
coscos1lim
cos1
coslim
cos1
tanlim
+
=
=
=
=
( ) ( )
21
11
0cos
0cos1
cos
cos1lim
2220=
+=
+=
+
x
x
x
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EJERCICIOS PROPUESTOS:
1)
2
1
2
lim0
=
xsen
x
x
2)2
3
2
3lim
0=
xsen
xsen
x
3) 2cos
2lim
20
=
x
xsen
x
4) = senx
x
x
tanlim
2
5) = 9
6) 0cos1tanlim
0=
x
xsenxx
7)2
2
tan1
coslim
4
=
x
xsenx
x
8) 0cos1
tanlim
0=
x
senxx
x
9) 0tan
lim0
= x
xsenx
x
10) = -2
11) 2tan1
tan1lim
2
4
=
x
x
x
12)4
1cos1lim
20=
x
x
x
13)2
1cos1lim
20=
xsen
x
x
14) = 2
15) = 3/5
16) = 3/5
17) 111
lim0
=+
x
senxsenx
x
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18)3
1
23
2cos1lim
4
=
xxsen
x
x