Transcript
Page 1: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

������������ ���

�����������������

���

����������� ������������

������� ��� ������!""#

������������������� �����

������$���%� ���������������

Page 2: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 3: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� ����

��&���� &������ � � ���� ���������$�����'����������� �������������(�������

%� ������������� �� ��)�������������� ��������������'������!""!*!""+,

%��������$�����-����� � �'����' ����������������������� �������� ����������*

���� �������������!+������������������,

.'��������$� ������ ������������� �� ����' � ���� ���������������/��� ��

��� ��$� ��,0 � �� ������'������'����� ����/-��&�������������� ������������ ���$� *

��1��� �� � ���'�� ����'����������������������$� ��������� ���������,

� ��� 1���$ !""#

������

����� �����������,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�

��2��.).�*������������������,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3

0 ��$� ��,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+

��2��.).��*����������������������� ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,34

0 ��$� �� ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!3

��2��.).���*������������ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,��

0 ��$� �� ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,�+

��2��.).�5*������������������ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,67

0 ��$� �� ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+3

��2��.).5*������ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7�

0 ��$� �� ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7+

Page 4: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

��

Page 5: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ��

������������������������������� ������������

������������

�������������������

3,3*���� ���$� ���� ����������������������&��������� ����������������� ���� �*

����� ����$� ��1� � ������ �� �������:

;3<

∈�=1�>

3=

�" ;!<

∈− �=1�>

==�

"�,

����&����?� �� ���$� ���� ���������������������=���,

3,!*�����������'������������- ���� ���=�������@

�A B3<CD31!1"A1D!131�AEF

��A B!<CD31!1!A1D"1"1"A1D 31�13AEF

���A B�<CD31!13A1D"1!1+A1D31 31"A1D#1"1!AEF

��A B6<CD!131 3A1D#1�1 �A1D3131+AEF

�A B+<CD31 !13A1D!131 �A1D�1�1"AE,

3,�*���� ���$� ���� �����������������������!1!���������������?��� ��� �� �������

;������������������ =��"

=�

+:

�A ����-������G�?� �� ���$� ���� �������� ��������=���F

��A � ������������������6"

!!

−1

!"

!3 −����&������������������������;��

����������� ��� �=���$� ��������������=���������,

3,6*���� ���$� ���� ����������������� ���� ������ ����$� ����� �������� ����� ��:

D31"1−!AD−31�1"AD"131!AD!1316A,�A ������� � �����������������������,

��A ������������������ ��� ����������=�������,

���A ��������������� ��D31"13A�����=���������,

3,+*���� ���$� ���� ����������������� ���� ������ ����$� ��� � ������ �� ���$�

���� �����:

�A ;3<{D�31 �31�31"A>�3∈�}F��A ;!<{D�31�!1��1�6A>�3H�!H��<"1�!H!��<"}F���A ;�<�ID"1!131 3A1D31*!1313A1D31"1!1"AJ,

0�����������=�������������������������� ��,

3,#*���� ���$� ���� ������!K�L���� ��� ����'��� ��� �� ��'�����!�� �--�������

��������� ���� ������ ����$� ����� �������� ���'������ �� �������:

�A �<C3H�1!�H�!13H��H�

!EF

��A B<C3H!�1�H�!13H�H�

!EF

���A �<C�H!� �!1! �H�

!EF

��A �<C� !�H�!1+H�1!H�� �

!1!H6�

!E,

��������� �������(�������?- ���� ������ �������������������������1��?�������*

����'������ ��1��?���=������!K�L,

Page 6: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

3,7*���� ���$� ���� �����������!1!������������&��������� �����!�� �--������������

� ���� ������ ����$� ����� �������� �� �� �������:

�<

∈+ �=1�>

=!�=

"� B<

∈+ �M1N>

!M"

MN,

��������� ������?� �� ���$� ���� ����� ����������� ��1 �� ������ 1���=���� ����*

����� ��,

3,�*���� ���$� ���� �����������!1!������������&��������� �����!�� �--������������

� ���� ������ ����$� ����� ���������� �� ���$� :

�<�I!3

3"1

!�

3"1

33

!"1

�!

3" −

J:

�A ��������������=������������� �����F

��A ����-������G�����������33

�"

+����������������������������=���������,

3,4*���� ���$� ���� ������������K�L���� ��� ����'��� ��� �� ��'����������O��*

������������� ���� ������ ����$� ����� ���������� �� �������:

�<C�D�A<�"H�3�HD!�3H�"A��>�"1�3∈�E,

�A 5���-������G��?� �� ���$� ���� ���������K�L,

��A ��������������=������,

3,3" *���� ���$� ���� ����� ������!1! ������������ &��������� �����! � � �--�������

������ ���� ������ ����$� ����� ���������� �� ���$� :�<�I!"

!"1

3"

3!1

3"

�!

J,

�A ��������������=������������� �����,

��A � ������������������!"

3�

−������������������������������=����� ����,

3,33*���� ���$� ���� ����������������� ���� ������ ����$� ��1� � ������ �� ���$�

���� �����:

;<{D�31�!1��1�6A>!�3 ��<"}FP<�ID31"1!1"A1D"131"1 3A1D"1"131"A1D�131#1 3AJ,

�A ��������������=������������� ����;���P,

��A �(� ���=����''���'�������=�����P������ ����;��� � ����������=�����

�6@

3,3!*���� ���$� ���� ����������������� ���� ������ ����$� ��1� � ���� �� �� ��*

�����:

�A ;3<{D�31�!1��1�6A>�! ��H�6<"}F��A ;!<{D�31�!1��1�6A>�3H�6H3<"},����&����?� �� ���$� ���� ���������������������=���,

3,3�*0��5�� ���$� ���� �����:

�A ��������-���$� ����������������� �������������������������F

��A ��������-���$� �������������'������ ��F

���A ��������-���$� ����=������� ���$� ���� �����F

��A ��� �������G��� '������ ����5������������ � ���� � ��� �=���$� ��

Page 7: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ��

������������������������������� ������������

���������{�31Q1��}��� ��{�31Q1��}?���=�����5F�A ��� �������G���{�31Q1��}?���=�����51 '������ ����5������������ �

���� � ��� �=���$� �����������{�31Q1��},

3,36*0��5�� ���$� ���� ��������,�8����������� ����51�31�!1Q1��1������������

� ��I��31�!1Q1��J�(������������� � � �=���$� ���������,

��� �������G��I��31�!1Q1��J?��� �� ���$� ���� �������5,

3,3+*0��5�� ���$� ���� �������������� ;�P����� �� �� ���$����� �����,��� �*

� �������0 ������������ � � ��� ��� �H�� �������� ��;�������� ��P������

� �����;�P,

��� �������G�0?��� �� ���$� ���� �������5,

3,3#*��������������������������=���������� �� �������� ��� � ���� ���$� ���� *

�����?��� �� ���$� ���� ��������� ��������(�&�������$�,

3,37*0��� ������ ������� ���--���,����&�����������'������������� ��� � ����:

�A �∧D−−−−�A<�∧�F���A ��∧D��!� A<�D��∧��AH F���A ��∧!���<!D��∧��AF��A ��∧���••••� �<��••••���∧� F�A ��∧���••••� �<��∧���••••� F��A �

!�"���••••��,�

3,3�*���������=��� �� � �����D#1�$1�%A����� ��:��<!#� $�H�%�������<#�H�!$�H!%:�

�A ���� ����KD� ��A∧�L∧�F��A �� ���������� ���������� �� �� ��������� ������� ��� � ���������� ���

� ��� ���,

3,34*���� ���$� 0�������� �� �������1������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<!#� $�H!

3%1�������<

!

3#�H�$�H%1 �<!#� 6$� !%,�

�A 5���-��������1�1 - ���� ���=�����0�F

��A � ������������� �� �� ' ��������&

���A �� ���������� ���������� ��1� �� ���� ������ ����,

3,!"*���� ���$� 0�������� �� �������1������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<!#� �$�H%1�������<��$�H%1 �<#�H$� �%�

�A ���� ����DD� !�A∧�A∧ F��A � ������������� �� �� ' ��������F

���A �������������� ��� � �����������������������,

3,!3*���� ���$� 0�������� �� �������1������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<!#� $� %1�������<#�H��$�%1 �<$�H�%,

�A ����&����� � �� ' ����-��� � F

��A � ���������������� �� �� ' ����� �������������$ ��� � ��- ��������=���

�� ' ����,

Page 8: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

3,!!*���� ���$� 0�������� �� �������������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<!#�H$� �%1�<## $1� �<#�H$� %,

�A ������� � �����������������������F

��A ���� ����D!�−�A•D�H AF���A �� ���������� �� �� ' �������������������� ����� � ��� �� ,

3,!�*���� ���$� 0�������� �� �������������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<#�H$� %1�<�#H$�H�%,

�� ���������� ���������� ������������ ����� � ��� ����∧��,

3,!6*���� ���$� 0�������� �� �������������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<#�H!$� %1�<�# $�H�%1��� <# $�H�%,

�A ���� ����D� ��A•, F

��A �������������� ��������������� ���������� ���1��1� ,

3,!+*���� ���$� 0�������� �� �������1������� ����=��� �� � �����D#1�$1�%A� � �����

���� ��:

��<#� !$1�������<�#�H6%1 �<#�−$�H%,�A 5���-������G�- ���� ���=���BO��0������������������ ��%�����=���BOF

��A ���� ������� ��� ������� ��D��∧��A∧ ,

Page 9: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� '�

������������������������������� ������������

�()�*#(+#�

3,3

���� ���$� ���� �������������������� ���� ������ ����$� ����� �� �������� ��� �

;?� �� ���$� ���� �������� ����-�1�������� 1������ ������� ���� �� ���$�1�� ?:

3A��� '��������������������;���G���!��������������;F

!A��� '�����������������;�� '���������G�������������;,�A ��� �� �������;3<

∈�=1�>

3=

�"?- ���� �����������������������33<"�

�!!<3,���+(+�,�-(..(-/0*#(��&���� 1�������� 1� �� ������������ ������ 1�� ?��

������������""

""1�G�G���������!!<"1 ����G�����GR� ����� ������������;3

�� �����������������G�G���������!!<!�&������ �������������;3,

��A �� � �� ������� ;! <

∈− �=1�>

==�

"� ? - ���� �� ������� ������ �������

�!3<�33−�!!,���,�-(..(-/0*#(��&���� :3A� �������������� ����������<

333

3

==�

"�

���<!!!

!

==�

"�

���G���!��

������������;!,�������:

��!��<!3!!33

!3

==A=�DA=�D

"��

+−+−

+<

!3!3!3

!3

==A==DA��D

"��

++−+

+ �G� ��*

����������;!��&���� ����������!3?������ � ��� ,

!A� �������� ���� ������� �<==�

"�

−��������� �����α���G�α������*

�������;,�������α�<α==�

"�

−<

=SA=�DS

"�S

−<

=S=S�S

"�S

−�G������*

�������;!��&���� ����������!3?������ � ��� ,

)�������������;! �G��� ����' � � ���� ���� ����<3�=<"� �(������<"�

=<31"3

"3�

33

""

1��� �������� � ���=�����&���� � � �����������������������

D����GR�� � �������� �� � ���� � �$� ��A�� '������ ��&���� '�����������;

�������� � � �=���$� ���������:==�

"�

−<�

"3

"3H=

33

""

,

3,!

) ���$� ���� �������G�������� ���&����� '�����=���?- �������������� �� ��*

���������������������,

�A )(�������1��+(+�,��+0�20-3����GR� ������� � ������� ��,

��A )(�������1��+(+�,��+0�20-3����GR�������� ��� �� � �����������������������

��&���� �� ������?������ ������ ,

Page 10: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

4

���A )(�������1��+(+�,��+0�20-3����GR� ������&����� ���� ���G����� ���$� ��

������� ���� � ���������������������������,

��A )(�������B6?- ���� ��������� ��1��&������ �� � �����������������������

��&���� D#1�1 �A<�D!131 3A,������1��+(+�,��+0�20-3����,

�A )(�������B+ ? - ���� �� ��� ���� ��: ������ �� � � ����������� ������������

�� ?���(������ � � �=���$� ����������G�������� ������ ?&������� �--������������

�����,

0��ND31 !13AHMD!131 �AH$D�1�1"A<DNH!MH�$1 !NHMH�$1N �MA<D"1"1"A,

�������N1M1$� � ��� ��$� ������������ � '���

=−=++−=++

"M�N

"$�MN!

"$�M!N

�G�G�� � ��

� ��$� ���������&���� ������������������ �--�������?����<

"�3

�3!

�!3

−− <�"T",

���� ���$� ���� ���������������� ���������� �������������������������� � ���G�

'������ ��&�����1'�,��+0�20-3,

3,�

�A � �������� ��� �� �������;������������������ =��"

=�

+�������-������G�?

��� �� ���$� ���� ����� �� ����� �����G�:

3A ��� ���������������&�����&����;������������� ����;,��-����:

=��"

=�

+H

O=�O�"

O=O�

+<

AO=�O�DA=��D"

O==O��

+++

++<

AO==D�AO��D"

O==O��

+++

++

���������� �� ; �� &���� 1 �������� � ������� � � � ���= �� ��������1 �������

�!!<�33H��3!,

!A ���� � �� ��������� �������������������;������������� ����;,��-��*

�� λ=��"

=�

+ <

A=��DU"

=U�U

+ <

=U��U"

=U�U

+ ? ������� �� ; �� &����

�!!<�33H��3!,

���=�����;?- �����1�������� 1������������3"

"3�

�"

3"�G���������' � ��;,

����� � �����������������������1��-����N3"

"3HM

�"

3"<

""

""���� � ��N<M<"

�'������ ;��&���� '�����������;����V��������� ��� � � �=���$� ���������:

=��"

=�

+<�

3"

"3H=

�"

3",

��A )��������6"

!!

−0//05.#3+3� 06�� �� &���� �� ������� �!! ? ��� ��� � ��� :

6<!H�D !A,

Page 11: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 7�

������������������������������� ������������

�����=������������A������������������� ��6"

!!

−<!

3"

"3−!

�"

3",

)��������!"

!3 −+(+�0//05.#3+3�06����&���� ����������!!� �?������ � ��� :

!T3H�D !A,

3,6

�A ) ���$� ���� �������G�������� ���&�����&����� �� ����� ��� �� �� � ��*

���������������������������,

��A 2� ���� ��������&����� ���� ������� � �����������������������,

� ��������� �������� ������������� ��D31"1 !A1D 31�1"A1D"131!A:� � ���������*

����������������ND31"1 !AHMD 31�1"AH$D"131!A<D"1"1"A�������N<M<$<",

�--������� ����� ���������DN M1�MH$1 !NH!$A<D"1"1"A�����

=+−=+=−

"$!N!

"$M�

"MN

,

0�G���������� � '��� ������&��$� ������������� '����N1M1$�G�G���������� *

��$� ���������G�� � ����� ��$� ����&����

!"!

3�"

"33

<#H!<�T",

�������� ��� � &�����������������������������- ���� ���=�������,

���A 2����������� ������ �� D31"13A�����=�������������� � ����������� �� �--�*

������N1M1$�����G�:

D31"13A<ND31"1 !AHMD 31�1"AH$D"131!A<DN M1�MH$1 !NH!$A,

0� ���������������

=+−=+=−

3$!N!

"$M�

3MN

�G�G�� ��$� ��N<�

+1M<

�1$<

4,

3,+

�A � �������� ���� ���$� ���� ������6���� �� ���$� ���� �����:

;3<{D�31 �31�31"A>�3∈�}�� �������G���'������ ������� ��;3����V��������� ���3D31 3131"A&�����?� �*

=���$� ���������������� ��D31 3131"A�G�� �����������=����������,����������;3<3,

��A � �������� ���� ���$� ���� ������6��� �� ���$� ���� �����

;!<{D�31�!1��1�6A>�3H�!H��<"1�!H!��<"} �������� �G������� �� ��������'������ ������� ����������$� ���!< !��1�����

� �������� ����(������ ���$� ���� �������3H�!H��<�3 !��H��<" �����3<��,

�� '������ ������� �� ;! ? &����� ��� ��� D�31 !�31 �31 �6A � �� ��V �������� � ��

�3D31 !131"AH�6D"1"1"13A,2 ��GR����� ��D31 !131"A��D"1"1"13A� � �����������

������������D��&���� ��� � � �� ������ �� � ���� � �$� ��A�'������ ;!� ���*

����� � ��=���������������������;!<!,

���A � �������� ���� ���$� ���� ������6��� �� ���$� ���� �����

Page 12: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

8

;�<�ID"1!131 3A1D31 !1313A1D31"1!1"AJ

�������� ������� �������� � �����������'������ ����;�,���=�����;�?� ����������

&��������&������ � �����������������������,D"1!131 3A1D31−!1313A� � �����������

������������ ��&���� �� � � � �� ������ �� � ���� � �$� ��1 D31"1!1"A? ������*

�����������������'������������&���� �������D31"1!1"A<D"1!131 3AHD31 !1313A,

���=�����;�?&�����CD"1!131 3A1D31 !1313AE�����������;�<!,

3,#

.�������� ��$����� �G�� ���$� ���� �����������!K�L���� ��� ����'��� ��� �� �

�'�����!�� �--������������G�������� �������GR��=�����������?:C31�1�!E,

��� ����� �G�W���� ��� � ��������������������������(������ � � �=���$� ������*

����G�������� ������ ?&������� �--�����������������,�������� ����� ������ ����*

������������������������� ���$� ���� ������ ������� ���������� ������ ���$� ,

W���� ��- ���� �����������'������ ������ ���$� ���� �����5�� '������ ����5��

��V���������� ��� � � �=���$� �� �������, ������� ����� ��'������ ��� ������

� ���������� ������ ���$� ,

���=�����5?��������������� ��������������������������G�'������ 5,�������

������� �������=���?��������� ������ ���$� ,

�A � ��������� ���(��������<C3H�1!�H�!13H��H�

!E,

����� ��� � ���������������������������������D3H�AH=D!�H�!AH�D3H��H�

!A<"��

�� ����� ���<=<�<",�--������� ����� ����G�D�H�AHD�H!=H��A�HD=H�A�!<"

������� ��������������� � '���

=+=++

=+

"�=

"��=!�

"��

�G�G���������� ��$� �������FG�

������ ��$� ���������������������� �--�������?�'�����$�� ,

���� ��� ���

33"

�!3

3"3

<!H3 �<"&���������� � � �=���$� ������������������*

� ���G����� ������ ������ �� �--�������� �����������,

����'���G��������� ��� � )#+30593+.3�6#/3+63+.#,

� ���� �G�����V���G������������� ���������G�3H��H�!?��� �����3H����

!�H�!F&���������� ��� ��� � ���������������������,

� ������� �� � � - ���� �� ���������'������ ������GR ������ � � ��� ������������

�(������������� � � �=���$� ���������?��� �� ���$� ��������� ��!�� �� ������

� ��!K�L�G�G�������� ���,������� �- ���� ���=���,

��A � ��������� ���(�������B<C3H!�1�H�!13H�H�

!E,

����� ��� � ���������������������������������D3H!�AH=D�H�!AH�D3H�H�

!A<"���

� ����� ���<=<�<",�--������� ����� ����G�D�H�=H�AHD!�H�A�HD=H�A�!<"

������� ��������������� � '���

=+=+=++

"�=

"��!

"�=��

�G�G���������� ��$� �������,2 �*

�GR������������������ �--�������

33"

3"!

3�3

<! 3 #T"&�����?�(������ ��$� �����

���� ��� � )#+30593+.3�#+6#/3+63+.#:��������������� ���������������������������

Page 13: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ;�

������������������������������� ������������

����� �'��������������� ������ ���$� ?���G������������'������ �������=���,

���A � ��������� ���(��������<C�H!� �!1! �H�

!E,

� ��� ���� �� � � )#+30593+.3� #+6#/3+63+.# �� &���� �� � � � �� ����� � � � � ��

�� � �$� ��,�������� ��� �� �� � '������������$� ��������� ���&������ �� �

�����������'������ �����!K�L�����������=���,

��A � ��������� ���(��������<C� !�H�!1+H�1!H�� �

!1!H6�

!E,

���!K�L��������� ���&����� ���� ��� � ������)#+30593+.3�6#/3+63+.#,0������G�

D� !�H �!AH D!H�� �

!A<+H �&����� � ���$� '������ ���?'������ ���G���

C� !�H�!1!H�� �

!1!H6�

!E,� �������������B������ ��&������������ ��'���*

��� �!K�L1�� ?�� '��� ��� �� �H=�H��!����V���������� ��:

ND� !�H�!AHMD!H�� �

!AH$D!H6�

!A,

�--������� ����� ����G�D�NH!MH!$A D!NH�MA�HDN MH6$A�!<�H=�H��

!�����

�� ���������������

=+−=+=++

�$6MN

=M�N!

�$!M!N�

�G�G���������������� ��� ��$� ��� ��GR��

���������������� �--�������

633

"�!

!!�

−<�# 6 # 3#T",�

���������� �?��������������� ���G�'������ �!K�L��� � ���������������������

�&�����+(+�<(590+(��+0�20-3,

3,7

2���� �����G���� �� ��������?��� �� ���$� ���� ��������!1!1��������� ������

������� ���� �� ���$�� ==��� ������:

3A ��� �������������������X��Y������G����������XHY�������������F

!A ��� �������� ������� �����λ������������X������G����������λX�����*��������,

3A)��������X��Y���� � ������ X<=!�=

"�

+��Y<

O=!O�O=

"O�

+� ��1=1

�O1=O�����,�������XHY<=!�=

"�

+H

O=!O�O=

"O�

+<

AO=!O�DA=!�DO==

"O��

++++

+

�������-���$� ����� ������������,

�� ��� D� H !=A H D�O H !=OA < D� H �OA H !D= H =OA &����� ���������X HY ?

AO==D!AO��DO==

"O��

++++

+ ��G� �� ���������� ��� �!! �G�? � ������ �������

�33����� ��� �����������!3���������������(��������,

!A � �������� ������� ����������������X<=!�=

"�

+����������:

λX<λ=!�=

"�

+<

A=!�DU=U

"�U

+�������-���$� ������ � �� ������������

����������<=U!�U=U

"�U

+��&���� ���λD�H!=A<λ�H!λ=,������λXG���

Page 14: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

�=

������������� �!!�G�?� ��������������33����� ��� �����������!3����*

�����������(��������,��,��+�-(..(-/0*#(��3..(5#0)3,

2�� ����������� ��� =��� ��� �� � �� � � ��������� �� ��� ����������)<3"

"3 ��

�<!3

"",����� � �������������������������&���� �� � ��������� �� � ���� *

� �$� ���'������ ���&���� ��� '���������X����������:

X<=!�=

"�

+<�

3"

"3H=

!3

""&�����C)1�E?���=���������G�������� ��!,

� ��������� ����� �� �������B<

∈+ �M1N>

!M"

MN,�(�������� ����-������G�

1�+(+�,��+�-(..(-/0*#(��3..(5#0)3��&���� 1�������� 1� �� �������(������� �����

�G�?��������������,0��'����� ��-����N<M<"�� �����������������B!""

""

+,

3,�

�A 2�� � ����$� ���?'������ �����&����� �������!3

3"1

!�

3"1

33

!"1

�!

3" −

:

������� �������� � &����������������'������ ��,���=�������� ����������������*

� �� ������ ����� �� ������� ����������� ������������ ��� &����� ����, 0� ���� �G�

!�

3" −<

�!

3"−

33

!"

&����������$��������?� �=���$� ���������������,

� ��������� ��������������!3

3"1

33

!"1

�!

3"

:����� � �����������������������

���(������ � � �=���$� ����������G����������������?&������� �--���������������*

��,����G��� ���������N1M1$�����G�""

""

!3

3"$

33

!"M

�!

3"N =+

−+ ,0��������*

� ����� ���� ��������������� � '���

=++=+−=++

"$!MN�

"$MN!

"$M!N

,��� G�� � ��� ��$� �������

N < M < $ < " �� � � � �� �� ������������ ��� � �--������� ? ������ �� $�� , �������

!3�

33!

3!3

− <−!H#H!H�−3−�<"&����� �� ��������������� ��$� ��� ������

−===

W+$

WM

W�N

���G�:!3

3"+

33

!"

�!

3"� =

−+ ,

��� �� &����� ������� � � ��� � � ����������� ������������: ���'���� 1 �� ������ 1

�!

3"�

33

!"

,����� � ��������������&���� �� � �������� �� � ���� � �$� ��

�&�����- ���� ��=����������,��� � ���� ' ���&�����&��-���������������� *

Page 15: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

���==�� ���������������- ��������=��������������6#9���"��,

��A � ��������� ������������33

�"

+�������-�������������������������� ��

?� ���=������������������=����������� ?������������ �--������� ��� '����N��M���

����������:�33

�"

+<N

�!

3"HM

33

!"

<MN�MN!

M!N"

+−

+�����

+=+=−=+

�3MN�

3MN!

�M!N

,

�� ��������� ��� �&��$� �� ����� ��� '���� ? � �����=��� ��&���� �� ���$��&��$� ��?

� ������������������G�� ��$� ��:'

����

'

���

−=

+= 1 :

3,4

�A ����K�L��� �� ��������<C�D�A<�"H�3�HD!�3H�"A��>�"1�3∈�E?- ���� ��

� ��� ���D�A<�"H�3�H�!�!H���

�� ��!<"���<!�3H�",��� ?� �� ���$� ���� ���*

����� ����-��������� ���$� ������������ ���� �� ���$�:

3A ∀�D�A∈��∀&D�A∈�⇒�D�AH&D�A∈�,� ������������� ��� �����:�D�A<�"H�3�HD!�3H�"A�

��&D�A<="H=3�HD!=3H="A�

�������:�D�AH&D�A<�"H�3�HD!�3H�"A��H="H=3�HD!=3H="A�

�<D�"H="AHD�3H=3A�H

HK!D�3H=3AHD�"H="AL��∈���&���� ��������!<"���<!�3H�",

!A∀�D�A∈��∀G∈�⇒G�D�A∈�,� ���������G∈���D�A<�"H�3�HD!�3H�"A��∈��������G�D�A<GK�"H�3�HD!�3H�"A��L<G�"HG�3�HGD!�3H�"A�

�<G�"HG�3�HD!G�3HG�"A�

�∈���&���� ���������<!�3H�"

��!<"

��A 5���-��G��� �G��� ��� �����13H����H!�

�1 ��������������������������"<3

��3<"�����"<"��3<3- ���� ���=������,

����� ��� ��� � ����������� ����������������GR � � � � �--�������� �� � ���� *

� �$� ���'������ �����GR��� '��� ��� �� �D�A����������:

�D�A<�"H�3�HD!�3H�"A��<�"D3H�

�AH�3D�H!�

�A,

3,3"

� �������� ��� �� ���$� �<�I!"

!"1

3"

3!1

3"

�!

J���!1!:

�A ���� ����$� ����� �� ���$� �?'������ ���������������!"

!"1

3"

3!1

3"

�!

:

������� �������� � &����������������'������ ��,���=�������� ����������������*

� �������� ����� ��������������������������������������������,0�����-�������*

���G�!"

!"<

3"

3!

3"

�!

− &������������������ �� � �����������������������,

)��������3"

3!�

3"

�!

� � �������������������������&���� �� � �������� �� *

� ���� � �$� ���&�����- ���� ��=����������,��� � ���� ' ���&�����&��-����

����������� ���==�� ���������������- ��������=��������������6#9���"��,

Page 16: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

��

��A � ��������� �� ���������!"

3�

��������� �� ����� =��� ������ �� ? �������*

���� � �--���������� '����N��M�������������:

!"

3�

<N3"

�!HM

3"

3!

<MN"

MN�M!N!

++�����

−=−=+=+

!MN

3MN�

�M!N!

,

���������������&��$� ���������� '����?� �����=�����&���� ����� ����&��$� ��?

� ������������������G�� ��$� ��:��"���>�����"�7>�:

3,33

�A � �������� ���6��� �� ���$� ���� �����;<{D�31�!1��1�6A>!�3 ��<"}����*

���� ������ ���$� ���G�� ��-��������<!�3� ����� ����������'������ ������� ��

;� ��D�31�!1!�31�6A,2 ��GR��� � ������������������ ��'������ ����V �������� *

��� �=���$� ���������������� ����;:D31"1!1"A1D"131"1"A1D"1"1"13A�G��� ����*

' � � ���� �� ���������������'������3�'�����������'�����$�� :

D�31�!1!�31�6A<�3D31"1!1"AH�!D"131"1"AH�6D"1"1"13A,

�������� ��� � �������������������������&����

�3D31"1!1"AH�!D"131"1"AH�6D"1"1"13A<D"1"1"1"A���� � ���3<�!<�6<"

�&������ �������� � ���=�����;��������6#9���"��,

� �������� �� � �� ���$� ���� �����P'������ ��D31"1!1"A1 D"131"1 3A1 D"1"131"A1

D�131#1 3A������=���?- �������������� ����� ������ �����������������������*

������'������ ��,

�������D�131#1 3A<�D31"1!1"AHD"131"1 3A&��������� ���=���=���?- �������

D31"1!1"A1D"131"1 3A1D"1"131"A��� � �����������������������,

�������ND31"1!1"AHMD"131"1 3AH$D"1"131"A<DN1M1!NH$1−MA<D"1"1"1"A���� � ��N<M<$<"&������������� ��� � ����������������������������=�����P?:

CD31"1!1"A1D"131"1 3A1D"1"131"AE�6#9�?�"��,

��A �6 G�������� ��6: '�� ���=���� ������&����� ���� ��&�����1���� ��������

����������������=�����P�������''���'���1��� ���=���1������ �������=�����;��*

�����������������������'�������,��������� ���������������:

D31"1!1"A��������������=�����P�&������ ���V�����������$$�� ,

� ��������� ��D"131"1"A��� ���� ������� ��D31"1!1"A1D"131"1 3A1D"1"131"A�

D"131"1"A� � �����������������������,�������:

ND31"1!1"AHMD"131"1 3AH$D"1"131"AH�D"131"1"A<DN1MH�1!NH$1 MA<D"1"1"1"A

���� � ��N<"1MH�<"1!NH$<"1 M<"&��������� � ��N<M<$<�<",

������ ���� �� ����������� ������������ �� �� ���$� �� ������� �� 6 �� � �������� �

���=���,���� ���=���=���?:@A���=�����=B��A=�����=���B��A=��=�����=B��A=�����=��=BC:�

3,3!

������G��� 1�������� 1 �� ��� �� ������� ��� � �� ���$�:;? � �� ���$� �6 �� ������

� ���&��������������������;��α�β��������G�α��!�β�������������;,�A ��� �� �������;3<{D�31�!1��1�6A>�! ��H�6<"}?- ���� ��&������������

&������ �� �����?������ �6<�� �!,

5���-��G��� �����?��� �� ���$� �� ?��� �������������� ���������:

�<D�31�!1��1�� �!A���<D=31=!1=�1=� =!A��������������α�β���G�α��!�β���*����������;,

Page 17: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

��������α��!�β�<αD�31�!1��1�� �!AHβD=31=!1=�1=� =!A<Dα�3Hβ=31α�!Hβ=!1α��Hβ=�1αD�� �!AHβD=� =!AA<<Dα�3Hβ=31α�!Hβ=!1α��Hβ=�1Dα��Hβ=�A Dα�!Hβ=!AA�G�������������;��&���� ��&������ �� �����?��--����$���������$���������� �*

��,

����� ����;3CD31"1"1"A1D"131"1 3A1D"1"1313AE��- ���� ���=�����&���� � �

������������������������� '������ � ��GR�������:

�<D�31�!1��1�� �!A<�3D31"1"1"AH�!D"131"1 3AH��D"1"1313A,

��A ��� �� �������;!<{D�31�!1��1�6A>�3H�6 3<"}� �?��� �� ���$� ���� �������&���� 1�������� 1� �� ������������ ������ D"1"1"1"A� ��GR������ �� �����

� �� ����-�� ��� ���$� ���3H�6H3<",

3,3�

�A 0������G������ ���31�!1Q1������ ���$� ���� �����5�������� P� � ��

-#-.390�6#�D3+350.(5#��5�� '������ ����5����V���������� ��� � � �=���$� ��

�������,�����= ��∀�∈51∃�3��!�Q1���∈�P������G��<�3�3H�!�!HQH����,

��A 0������G������ ���31�!1Q1������ ���$� ���� �����5�������� P� � )#�

+30593+.3� #+6#/3+63+.# �� �(����� � � � �=���$� �� ������� �G� � �� ���� �� ���� ?

&������G�G��� �--�����������������,

�����= ��:�3�3H�!�!HQH����<=⇔�3<�!<Q<���"",

���A 0������G������ ���31�!1Q1������ ���$� ���� �����5�������� P- ����

���20-3��5��� � ������������������������- ���� �����������'������ ��,

��A 0� '�� ���� �� � �� 5 �� ������ �� � � ���� � �� � �=���$� �� ������� ��

C�31Q,1��E?�������� �G�C�31Q,1��E��������������'������ ��,

�� ������������� ������ ������ ��������C�31Q,1��E��G�:

=<N3�3HN!�!HQHN���<"�3HQ,H"��,

2���(������������������������������N3<"1N!<"1QN�<"�&���������� ��� � ����*

�������������������,�����������'������ �������������������������?���=�����5,

�A 0��� ���� �G�C�31Q1��E������=�����5��� ���� �G� '������ �����5��

��������� � ���� � ��� �=���$� �����������C�31Q1��E,

0��������������������:�<N3�3HN!�!HQHN���<NO3 �3HN

O! �!HQ,HN O

� ��������==�

DN3−N O3A�3HDN!−N O

! A�!HQHDN�−N O� A��<=,

2 ��GR�31Q1��� � ������������������������(������ � � �=���$� ����������G����

���� ������ ?&������� �--�����������������,����'���G�N3<NO3 1N!<N

O! 1,,,1N�<N

O� ,

3,36

0��5�� ���$� ���� ��������,�8����������� ����51�31�!1Q1��1������������ � �

)<�I��31�!1Q1��J�(������������� � � �=���$� ���������1�� ?������� �������� :

�<�3�3H�!�!HQH����

� ���31Q1��� � �����������,

5 '���� ��� �������G��I��31�!1Q1��J?��� �� ���$� ���� �������5,��� �� � ��*

������� �������� ������ ������� ���� �� ���$�� ==��� �� �����G�:

3, ���� �� � ���� ����)���G��H ������������)F

Page 18: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

��

!, ��������� �����&�����&���������� ����)1���G�������������),

3 0��� ��������' � ��)� � ������ �<�3�3HQH����� <=3�3HQH=���,

��������H <D�3�3HQH����AHD=3�3HQH=���A<

<�3�3HQH����H=3�3HQH=���D������� �������� �������A<

<�3�3H=3�3HQH����H=���D������� ������ ���������A<

<D�3H=3A�3HQHD��H=�A��D����(���� ����!�������-���$� �������$� ���� �����A

�&���� ?��������� ��)��&���� � �=���$� ������������31�!1Q1���� �--�������

�����1������ ��H=�������� ���������<31Q�,

! 0�λ?������� �����&�����&����<�3�3HQH���������� ������������:λ�<λD�3�3HQH����A<

<λD�3�3AHQHλD����AD����(���� ����3�������-���$� �������$� ���� �����A<

<Dλ�3A�3HQHDλ��A��D����(���� ������������-���$� �������$� ���� �����A

�&���� ?��������� �����&���� � �=���$� ������������31�!1Q1���� �--�������

�����1������ �������� ���������<31Q�,

3,3+

0��5�� ���$� ���� �������������� ;�P����� �� �� ���$�,5 '���� ��� ������

�G���� �� �������0- ���� ������� �������� �H�� ����������;����������P?

��� �� ���$� ���� �������5,��� �� � ��������� �������� ������ ������� ���� �*

� ���$�� ==��� �� �����G�:

3, ���� �� � ���� ����0���G��H ������������0F

!, ��������� �����&�����&���������� ����01���G�������������0,

3 0��� ��������' � ��0� � ������ �<�H�� <�EH�E�� ����E∈;�����E�∈P,��������H <D�H�AHD�EH�EA<�H�H�EH�ED������� �������� �������A<

<�H�EH�H�ED������� ������ ���������A<�D�H�EAHD�H�EAD������� �������� *

�������A,

.��� ��GR���E∈;��;?� �� ���$� ���� ��������G��H�E������������;�� ��GR����E�∈P�P?� �� ���$� ���� ��������G��H�E�����������PF&������H ?� ���

�������� ����;����� ��P�&�����?��������� ��0,

! 0�λ?������� �����&�����&����<�H������� ����0�������:λ�<λD��H�A<<λ�Hλ�D����(���� ����3�������-���$� �������$� ���� �����A,

2 ��GR��������������� �� ���$� ;���G��������������;1� ��GR��������������� �*� ���$� P���G�������������P&������� ����������� ����;����� ��P�

�����V?��������� ��0,

3,3#

������ ������� ����� �� ���$����� ������--�����G�:

������������ ������������������������������������� ������������

3A ∀��∈�������∀���∈����⇒�������∈�����!A ∀��∈�������∀α�∈���⇒�α��∈��������� �� ������� �--�����G�:

������������ �����������∀��∈�����∀��∈������∀α�∈����∀β�∈���⇒�α�����β���∈���,��� ������ �� ���(�&�������$�,

Page 19: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �'�

������������������������������� ������������

0��� ���� �G���� �� �������5O� ����-������� ������� ���� ������ �G�� ����-���

��� �� ,� �������������� ����� ��������������������α�β��������� ��� ���*$� ��!������� ������� ��������G����G�α��β����������' � �5O,��������� ��������� ����� ���$� ��3������� ������� ��������G����G�α�Hβ������������5O,5���������� ���� �G������ �� �������5O� ����-������ �� ������� � ����-����G���

���� ,

� �������������� ����� �����&�����&�����'���� � �������������α<β<3:����(���� ����6�������-���$� �������$� ���� ���������������� ����� �� ������� ���G���

���� ��3�H3�<�H������������5O,

� �������������� ����� �����&�����&�����'���� � �������������α&�����&���β<":��� ����� �G�"�<=����������� ����� �� ������� 1���G������� ��α�H"�<α�H=<α������������5O,

3,37

�A �∧D−−−−�A<�∧�F 5���:?����� ���������� � �� ������ ,�

��A ��∧D��!� A<�D��∧��AH F 8����:���������∧D��!� A<�D��∧��AHD��∧ A,���A ��∧!���<!D��∧��AF 5���:?����� ������ ��������∧Dλ�A�<λD��∧��A,��A ��∧���••••� �<��••••���∧� F 5���,

�A ��∧���••••� �<��∧���••••� F 8����:���������∧���••••� �<−��∧���••••� :��A �

!�"���••••��F 5���,�

3,3�

�A � �������������� ����<!#� $�H�%1�<#H!$�!�!%���� ���� :

� ��<!#� $�H�%���D#H!$�!�!%A< # 7$���%�

D� ��A∧��<!!3

�73 −−−

%$#

< �# $�!�+%,

0���V���G� ��������1��� ����� ���� �����������=���������� � �� ���� �����1�G�:

D� ��A∧��<D�∧�B� �D�∧�B�<�∧��<!!3

�3! −

%$#

< �# $�!�+%�&�����:

KD� ��A∧�L�∧�<�3!

+3�

−−

%$#

<!#H�6$�!�3"%,

��A ������ ���������� �� �� ������?������ �E<�D!#� $�H�%A� �������� ��*

��� ,

��� ��� ���?!

� < 663 ++ <�,�������!O� <�

!D6H3H4A<36�

!<

!� <4��

�� � ���<36

�,�������E<

36

�D!#� $�H�%A,

Page 20: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �*���� � 5��� �����

������������ ���

�4

3,34

�A �������� ����<!#� $�H!

3%1�<

!

3#H$�!�%1� �<!#� 6$� !%���� ���$� 0�

- ���� ���=�����0�D��������� ���A��� � ������������������������&���������

� � �� � �� ���� ?������ ��",

!6!

33!

3!

33!

−−

< 6 ! 3 3H� 3< 3T",�(590+(��+0�20-3,

��A ������ �� �� ' �����������?�������� ���∧�<33

!

3!

33! −

%$#

<

< !

�#

6

7$H

!

+%,������ �������� ?&����������� �<αD

!

�#

6

7$H

!

+%A,

���A ������ ���������� ���� �� ���� ���?������ �<α��<α�D!

3#H$�!�%A� �

αJ",�--���GR��==��� �������������� � < A33

6

3DS! ++ < S

!

�<������ S <!,

� ���� ������α� ����� �������α<!��<!D!

3#H$�!�%A,

3,!"

�A 2������ ����DD� !�A∧�A∧ ������G��� ���� �����������=�����,

DD� !�A∧�A∧ <D�∧�∧ B��D!�∧�∧ A<�∧�∧ ��&���� ���� � �� ������ ��������� �����������?���� ,

� ��������� �������� ����<!#� �$�H%�����<��$�H%�1 �<#�H$� �%�������:

�∧�<3�"

3�! −

%$#

< ##� !$�H#%���∧�∧ �"��33

#!#

−−−

%$#

<� 3!$� 6%,

��A ������ �� �� ' �����������?�������� ���∧�< ##� !$�H#%,������ �������� ?&����������� �<αD ##� !$�H#%A,

���A �������� ������� � ���������������������������� � �� � �� ���� ?������ ��

$�� ,���� ���� �•�∧ �"�33

3�"

3�!

−�"� 3�−�−� !< !#T",�1�1 �-(+(�)#+3�

0593+.3�#+6#/3+63+.#:

Page 21: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �7�

������������������������������� ������������

3,!3

� ��������� �������� ���������� ���$� 0�:��<!#� $� %1����<#�H��$� %1 �<$�H�%:

�A ������� ����0�� � �� ' ��������� � �� � �� �������?���� ,���� ���� :

�•��"�! �H3<" ����� ������� � �� ' ����F

�• �< 3 ��F�" ����� ���� �� �� � �� ' ����F

�• <� �<" ����� ���� � � �� ' ����,

��A � ��������� �� ������ � ���� �� �� ' ���� � � �� �� ������ ��� =��� �� ' ����

� ������� � �����$ ���� ����� � �� � �� ������ ,

�∧�<3�3

33!

−−−%$#

<6#�!�$�!�7%�

C�1�1�∧�E- ���� ���=�����0�����GR� � ������� �'��������������� ������

���$� �� � �������������������������&���� � �� �������������� �������� �*

� ' ����,

3,!!

�A �������� ����<!#�H$� �%1�<## $1� �<#�H$� %���� ���$� 0�� � ������*

���������������������� � �� � �� ���� ?������ ��",

333

"3#

�3!

<! 3� �H#< 3�T",�(+(�)#+30593+.3�#+6#/3+63+.#,

��A �������D!� �A:D�H A<D !#H�$ #%A:D7#� %A< 36H#< �,

���A ������ �� �� ' �����������?�������� ���∧�<"3#

�3!

%$#

<

< �# 3�$ �%,

������ �������� ?&����������� N<αD �# 3�$ �%A,����������� α��� � �G����

� < � ,������� � < #6�!64S ++ < � ��α<�47

�± ,

3,!�

� ��������� � ���� ����< #�H $� % ��<�#H $H%1 ������ ���������� ��� ?��� ���

<ND#�H$� %B,2����� ����G��==��� ����� � ��� ���∧����� ���� ������������

���� ��:�∧�<33�

333 −%$#

<!# 6$ !%,������� �� ∧ < 63#6 ++ < !6 < <

< !!! NNN ++ ���N!<!6�����N<±! ! ,������ <±� � D#�H$� %B,

3,!6

Page 22: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 23: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �;�

������������������������������� ������������

�������������

������������������������

!,3 *��� ���� ��������� � � ���� �� ����� �: 6N H �M 3" < "1 �: N H +M H # < " �

�:�N !MH3<",�����������:

�A �������� ��������������' � ���������������� F

��A �(�&��$� ������������� ��������1�������1��(����$$���������' � ,

!,!*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ���������*

� �-����$�Z3�Z!���&��$� �����������������:

Z3:N!HM

! !M 4<"�Z!:N

!HM

!H�N M 3"<",

���-���� ������ �-����$����������� ��Z3�Z!�����������:

�A �(�&��$� ������(������������F

��A ��� ���������'����������������=���F

���A �(�&��$� ������(������������F

��A �(�&��$� ����������� �-����$����-���� ��������''� ����� ,

!,�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ���������*

� �-����$�:σ3:N!HM

! !N 6M +<"�σ!:N

!HM

! 3!NH!�<":

�A ����-������G�� � �������F

��A �������� �(�&��$� �� ����� ���� �-����$� �������� ��� � � � ����� � ���� � ���

�( ��'��������-������� F

���A ���������(�&��$� ���������������'�����σ3����� ���� �D61�A,

!,6*8�������� �-����$�������������D31"A��������'�������������NHM 3<"���� *

��� &���������''� !!

3,

!,+*���������� �-����$�σ:N!HM!H!N !M �<"������ ���� �D"1�A�����������:

�A ����� ���''� ��σF��A �����'�����σ���F���A '�����������������&������ �������� ��σ������������������,

!,#*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ����������

2D31 !A���D!1"A,�����������:

�A �(�&��$� ����������� �-����$������ 2�������������F��A �(�&��$� ���������������'������F���A �(�&��$� ����������� �-����$����'������������������� ����������!NH�M<"F

��A �(�&��$� ������� �����B�� ���B�? �� �����' � �&������� �������� ���*�����������������,

!,7*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ��� ������� ��

-���� ������ �-����$�:λDN!HM! +N �MH#AHµDN!HM! �NHMA<",����������:

�A �(������������1�(��������������������=������O���-���� F

��A �(�&��$� ����������� �-����$��-���� ��������''� ����� F

Page 24: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

�=

���A �(�&��$� �� ����� ����� B� � �� �B� ? �� �����' � �&������� �������� ��σ ��������������������,

!,�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ����������

�D31"A1BD�16A��D!1�A,�����������:

�A �(������������' � ����������1B1�F

��A �(�&��$� �������'����������� �-����$��������������BF

���A �(�&��$� ����������� �-����$����� ��������������' � ,

!,4 *������� ��-���� ���� ���������������� �� � ������ � ������ �� ��'���.1

� � ���������� �-����$��&��$� ��N!HM! !NH6M<"������ ���� �D!1"A,�����������:

�A �(�&��$� ���������������'������F��A �(�������������' � ������' � �������� ��������� ������� .�F

���A �(�&��$� �������'����������� �-����$����'������F��A �(�&��$� ����������� �-����$������������ ����������N M<"����'������,

!,3" *��� ���� ��-���� �� �� ������� ��������� �� � ������ � ������ � � ���� �

������D!13A1BD�1 !A,�����������:

�A �(�&��$� ��������������� �-����$��������������BF

��A �(�&��$� ����������� �-����$�σ�� ��''� ����� ��� ����� ������ �-����$����*

����������BF

���A �(�&��$� ���������������'������,

!,33 *������� ��-���� ���� ���������������� �� � ������ � ������ �����������

�(�&��$� ����������� �-����$�������������������D31−!A�BD−316A��G�����������

����(����N���� ��������'G�$$��,

��� �� ��� ���� �-����$� �� ����1 ���G� ����� �D�1 !A: ����������� �(������� �����' �

�B�,

!,3! *������� ��-���� ���� ���������������� �� � ������ � ������ � � ���� ��

���� �-����$�Z���&��$� ��:N!HM

!<+������ ���� 2D!13A,�����������:

�A �(�&��$� ����������� �-����$�ZO������������( ��'�������'�����Z��2F

��A �(�&��$� ����������'������2� �����Z�ZOF

���A �(�&��$� ������������� ����������������&������ ���� ������ �Z������������*

� �����������2,

!,3�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �������������

�&��$� �����������= �������������������&��$� ��N−M<"1���������������������*&��$� ��NHMH!<"������������������ �D"1�A1��������� ��-� � ��������,

!,36*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ����: ��

���� �-����$�σ���&��$� ��:N!HM!−!N−!M−!<"1���� ���� 2D�13A������������&��$� ��:NHM<",�����������:

�A �(�&��$� ����������� �-����$���'������2��������������� �����������F��A �(�&��$� ����������������'������2F���A �(�&��$� ��������� ������ ����������-� � ��21�������������������2���������

������������������ �D!1!AF

��A �(������������' � ����������� ���1�� ������� ������ �'���'����2� ���

����� ���γ,

Page 25: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 26: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 27: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 28: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

��

�����������N���M����(�&��$� ��� �������������� �-����$�D�G��� ?G��� �--�������

��N!���M

!�'������3A,

����''� ��������< ^_S !! −+ � ��α�β� � ��� ��������������� �γ?���������

� � ����(�&��$� ����������� �-����$�,���� ��� ��� �< +�33 =++ ,

��A )(�&��$� ����������'������������ �-����$������� ���� ����V��������� ���

��' ����'���� ������������ ������NHD�−3ADM−�A<"�������!����−−−−�4�"�=,

���A �����������&������ �������� ��������� �-����$���������������������� � :

�1����������� �O���������� ������� ��'������������������� BBO��������� ����

�����������O ���� �������� �������'�������,2���������������� �������N1M���O

��� ���� �G����������� ���� �����'���� ��O,

−3<!

N"+�����N<−!�3<

!

M�+�����M<−3��EA−−−−���−−−−�B,

��������� �������� �������'����?DNH3AH!DM−3A<" ����NH!M−3<",)� � ������� ��B �BO � � �� �������$� �� ��

���������� ������� �-����$���� ����' � ��*

� ����� �� �������

=−−++=−+

"�M!N!MN

"3M!N!!

�����

=−−=

"M3"M+

M!3N! �G�G�� ��$� ��

==3N

"M

−==

�N

!M,������1A���=B11EA−−−−����B,

!,#

�A � ���������������2D31 !A���D!1"A������ �-����$������ 2�������������G���''� �2< 63+ < + ,

)�����&��$� ��?&�����DN 3A!HDMH!A

!<+������

��!��

������!����"�=,

��A )(�&��$� ���������������'����������V �������� �����' ����'���� �*��������:!N DNH!AH!M<"�������!�������"�=,��� ����� �������� ��������������*

���� �(�&��$� �������������������������� ���������� ��� 2<D31!A,

���A ����������� �-����$����'������G��� ������� �����������������������*� �����������'������D�&�������������������� ��� 2A,���������G��&��$� ��:N !<

!

M ����!N M 6<",������� ��������� �-����$����'����������������

����� ����������!NH�M<"���� ��� ���������$� ���������������

=+=−−"M�N!

"6MN!�

��������

−31!

�,����''� ���������< 3

6

3+ <

!

+,

)(�&��$� ����������� �-����$��������?

!

!

�N

− HDMH3A

!<

6

+�����:

���!��

������!����!���"�=,

BO

B

�O

Page 29: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �'�

������������������������������� ������������

��A �������' � �&������� �B��������� ����������������� ���G� �� ��� B��������� ���� ���'���� �������������������� ���� ;�����''� 2�O1D� ����O?��

������� ������������A,�O?������ ��������������2��*

�� �G� 2 ��� �� ���� ���� ���� ���O, )� ��� � �������

� ����-�� ����� ���$� ��3<!

N! O�+ �����N�O<"�

!<!

M" O�+ �����M�O< 61&������OD"1 6A,

������ ���� ;���2���OG�� �������

−�1!

3�����������;����������������'����

NH!M !<"G��&��$� ��N !

3H!DMH�A<" ������!����!�

���"�=,

5����� ���� ���� ��� � �������������� �(�&��$� ������� �����B�,)� �����B�?

�(���������������-���� ���������� ��������� �-����$��������� �-����$�������� �O���''� �< + , ��-����� �������� �� �����' � �B�O������' � ��B1 �(��' � B��O

�������"`D������ �������' � �B��&������� A1�(��' � B�O�������#"`�&�����B�O

?����� ����(���' � �������� ������� + ,

)����� �-����$�������� �O���''� + G�

�&��$� ��N!HDMH6A

!<+1��-���� ���������*

� ������������ �-����$�G��&��$� ��:

λDN!HM!−!NH6MAHµDN!HM!H�MH33A<",)(�&��$� �� ����(���� �������� B� �� ������

� ���� λHµ<"�����������!����!����"�=,

!,7

�A � �������� ��-���� ������ �-����$�:

λDN!HM! +N �MH#AHµDN!HM! �NHMA<"�(�&��$� ������(�������������� ������� ���� λHµ<"����������!�������"�=,)(����������������-���� ������ �-����$�?������������������' � �����������������

���� �-����$����-���� ��?��������� �������(������������,�(&�������--���������������

�(�&��$� �� ����� ����� ��� �� ����� �� ��� ����� ���� �-����$� ��� -���� 1 �� ������

�3

!

�1

!

+����� ��N

!HM

! +N �MH#<"1���������� �������(��������������� ������

!

−−

−!

�M

!

+N <"�����:�������

7�"�=,

%����������������=������-���� � � ������� ���������������� �-����$����-���� 1

&��������G��������������� �-����$������(������������F�� ����' � &�������� �����

�� �������:

=−+=+−−+

"�M!N

"#M�N+MN !!

�� ���:

=+−+−++−−=

"#M�M3"3+MM6M3!4

M!�N!!

1

=−−=

"M+M+

M!�N!

�G�G�� ��$� ��

==�N

"M�

==3N

3M,

������=���� � &������A���=B��EA����B,

�•

B

;�O

2

B

�O••

Page 30: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

�4

��A )����� �-����$���''� ����� ���-���� ?&������������������ ��O,����

����� ?������ ���� �������O&������"

!

31! ������ ��''� ?��������$����"��

�:!

+,)(�&��$� ���������:���!�����������!���"�=,

���A �� �����' � �&������� �B� �������� ��σ ��������������������G������ B���������� ������

������� ��O������������������ ���� ;�����'*

'� �"�O,������ ���� ;����"

!

31! ���OD313AG�

� �������

6

�1

!

������������;��������� ��������

��O1�G�?�(������������1G��&��$� ��!

−−

−6

�M

!

�N <" �����������

;�"�=,

!,�

�����������D31"A1BD�16A��D!1�A:

�A ���������������(������������' � ����������1B1�����V�� ������������� ��,

�������� �����$$�����- ������G���������(������������' � � ��������� ���

����� � �� ������ ������� ��� ��B �,

�������� �<#H�$1B �<!#H6$��&�����:D� �A∧DB �A<"6!

"�3

%$#

< !%�����:

0530�A�1�B< A�BDA��D!

3−∧− <

!

3!<�,

������ ��� � 1��/���' 1� ���==�������&���� ������ ���������'G�$$�=������ �B1

������������(����$$�G������������� �B� ��������$�������� ��������������������

��B�� ����� �����(����� ��!

G=×,

��A ����� ������ �-����$��������������B��������' � �� -���� ������ �-����$�

������� �������=�����B,����-���� ����V��������������������(������������1�� ?

��������B1�����'����������� �-����$��������������B1�������� ������ �-����$�

��������� �B,

)� ������BG� �&��$� ��6

M

!

3N=

− ����!N M !<",)����� �-����$����������

�B< +!!"3#6 ==+ G���''� + ������ ������� ���� ���B:�D!1!AF�����

�&��$� ��?&�����DN !A!HDM !A

!<+ ����N

!HM

! 6N 6MH�<",

��-���� ������ �-����$������� G�&������&��$� ��:

λλλλA���!������������!��B�!�µµµµA��������B�"�=,

���A )� ���� �-����$� ���� ������� �� �����' � ? �� ���� �-����$�������������1B1�

&�����? ������ �-����$����-���� �� ��� ������ �����������G��������������� �,

0 �������� ����(�&��$� �����-���� ��N��M��� �������������� ��� ������:

λD6H4 � 3!H�AHµD6 � !A<"����� 6λ µ<",2 ����� � ���λ<3�µ< 6,)����� �-����$��������G��&��$� ��:�

��!��

�������!����"�=,

�•

B

;�O

�"

Page 31: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �7�

������������������������������� ������������

!,4

� ��������������� �-����$��&��$� ��N!HM! !NH6M<"������ ���� �D!1"A �������� ��$����� �G�������� ��������� �-����$�?�D31 !A,

�A 2��������������(�&��$� ���������������'����������V�� ������������� ��,�������� �����$$�������' ����'���� ������������ ������:

!NH"M 3DNH!AH!DMH"A<"�������!�������"�=,

������ ��� � 1��/���' 1� ���==�������&���� ������������������'������������ ��

������������������ ��������''� ��,

)��������G��&��$� ��!

M

!3

!N

−=

−1 ����!N M 6<"������'����1� ����������� *

��������1�������DN !AH!M<",

��A � ���� ���$�������� �G� ����� � ��� �����' �� ������' �� ��������� ��σ �� ����� .����� ����G��(��' � ���� �����. ��������,���������' ��G��� 1 ���������1��

����������,

.�������� �G�������� .����1���� ����$� ��1����(����N�(���� ����� ���������������

���(����M,0��'����� 1�������� 1�������' � ������' � �������(��' � ���� ��.������*

� 1������ .B1�������(����M�B?���������������$� ������(����M� ������� �-����$�,

=+−+=

"M6N!MN

"N!!

������BD"1 6A,

������������������ &�����.�<!��.B<6�:0530A��1B<!

!6×"��,

��� ����� �������� ����V������������ ���� �(������������' � � ��������� ���

����� � �� ������ ������� ����������������������,������ ��� � � ������������� *

���� �� ���'G�$$�����(�� �������'�����!��� �(����$$� �����������(�� ������� ����*

����$���.������������,

���A ����������� �-����$����'��������������' � ��-���� ������ �-����$���*�������� 1�������� 1�����(�������������G�?����������'�������� ���������� D�A,��-���� ������ �-����$������� G�&������&��$� ��:

λλλλA���!��������!���B�!�µµµµA��!������B�"�=,

��A ����� ������ �-����$� ���'�����σ ����&������������������� -���� �� ��� ������ D���AG��� ������� ����(���������������-���� �G�?�������������������� ����

�������'����1�� ?���������������&��$� ��1���� ���������� D�A?!N M 6<",

�� ����� ����� ���� �-����$� ������� ? &����� �(�������$� �� ����� ����� �� � ����� �����

B

. �

B

.

Page 32: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

�8

N M<":

==−−

MN

"6MN!,

0� ������2D616A,����''� ?2�< 3#6+ < !" ,

)����� �-����$�G��&��$� ��:DN 6A!HDM 6A

!<!" ����:�

��!��

���8���8��!����"�=,

!,3"

�A ����������� �-����$����������������������B��������' � ��-���� ������*

���� �����������B���������� �-����$��������������B1�������� &�����������

�B� ��������� ,)�������BG��&��$� ��3!

3M

!�

!N

−−

−=

− �����NHM−7<",

)����� �-����$���������� �BG������ ������� ���� ����B

−!

31

!

+� ��''�

��<6

4

6

3+ <

!

3",

)�����&��$� ��?&�����6

3"

!

3M

!

+N

!!

=

++

− �����N!HM

!−+NHMH6<",

)�'����������� �-����$�����1BG�&������&��$� ��:

λλλλA���!����−−−−�'��!���!��B�!�µµµµA���!���−−−−�7B�"�=,

��A )����� �-����$���''� ����� ������������1B?&�������������� �B,

)�����&��$� ��D�������� �AA?&��������!��

��−−−−�'��!���!���"�=,

���A )(�&��$� �� ����� ����� ���'���� �σ ��� �� ��V ���� ���� � � �� ��' �� ��'���� ��������� ������ ���������������������� ������������� �B,

��������

!N −<M−3�����:��−−−−����!��"�=,

!,33

����������� ������ �-����$����G������������������ ��,

)����� �-����$����������������������BG��� ����� ����(���������'���� �B�� ?

�������������� �������B����� ���� ���� �D"13A,)�������BG���������������� ��

�� � �$� ��������� �� ������������ ��B−�1&�����D−!1#A ����D31−�AF����������� *�����������������G��&��$� ��N−�DM−3A<" ����N−�MH�<",)� � ������� ��� ����� � ����� '�������

���� �-����$� �������� ��� � � B ��� �

� ����-����(�&��$� �����&������ � ���

��� D��− �1 �A �� ������� �� � ���, �� ��'*���� ����������� �����;������(����N

��������� � � �(���� N � � � �� ��''� ���*

���������������� 2������ ����������*

' � ������' � �;2,

� ==��� ��������������������� ��--��*

�GR �� ���� �-����$� ��������� ����(���� N

���� ���2������'G�$$��:�������' �

�;2���������������� ;2�����'G�$$�6,�

B

σ

; 2�

Page 33: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �;�

������������������������������� ������������

����''� ��������� �-����$�'�������?�2<��< !! A!�DA6��D ++− 1�����'G�$$����

��'���� �;?]�]D�� ?��������$��������(����NA����������� ���� ������2���' ����*

������2!<�;

!H;2

! ����D��−6A!HD�H!A!<�!H3#�����4�!−!"�H6<"�G�G���*

�����3<!��!<4

!,

0� ����' � ��������3D�1!A��!

−4

!1

7�����''��3< !" ���!<

4

3�3",

)��&��$� �������������� �-����$�� � :

σ3:DN−�A!HDM−!A!<!" �������!�����4��−−−−����−−−−�7�"�=�σ!:

�3

3�""

4

!M

7N

!!

=

−+

+ �������!��

��!�

����−−−−�

;

���−−−−�

;

;'�"�=,

����� ����������� � ���-����������� �G������� �-����$���������������������

�B��������' � ��-���� ������� ����������������������B�� �������=�������

�����,����-���� ��V���������������� ���������(�����������������&�����&������ �*

-����$��������������B1�������� &��������������� �B,

)�������BG��&��$� ���NHM−3<",)����� �-����$�σ��������� �BG������ ���

���� ���� �D"13A�����B���''� �<��< 43+ < 3" :������&��$� ��?&���*

��:N!HDM−3A!<3" ����N!HM!−!M−4<",����(�&��$� �����-���� ������ �-����$�

�����B� ����� �������� � �������� ��&���� � �� '���� ������������(������*

������:�����&��$� ��?&�����N!HM

!−!M−4HWD�NHM−3A<",

2�� ����������� �� ���� �-����$� ��� -���� �G� � ����-�� ���(������ �� � ���$� �� ����

���� ���� ��� ������������������������$� ������������ �-����$����-���� ��(����N

��� ����� ���������: =

=−++−−+"M

"A3MN�DW4M!MN !!

,0� �������(�&��$� ����� ����*

��:N!H�WN−4−W<",)�� ��$� ������������� � N<

!

W6�#W4W� ! ++±−1M<",

����������� ������ ����W��������������$�������������� ����1�� ?�����'G�$$�

������ ���1����,

!

W6�#W4W�

!

W6�#W4W� !! ++−−−

+++−<������4W

!H6WH�#<#6,

)(�&��$� ��4W!H6W−!�<"G�

������ W3 <−! � W! <4

36,2�� ����

��� �� �� ����' � ��� �� �� ���*

� �-����$�

σ3:���!��

���4��−−−−����−−−−�7�"�=����

σ�:����!����!��

����−−−−�

;

���−−−−�

;

;'�"�=,

2��������������(������������*

' � �B� � ����� ���� �����

��=����B< �#6+ <! 3"

� �(����$$� � �� ������$� �� �

�����������B,

B

�3

σσ!

σ3

Page 34: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

�=

�������:G<�D�1�A<3"

3!4 −+<

3"

3"< 3" �&�����:�A�1�B< 3"3"!

!

3×× <�=,

!,3!

�A ����������� �-����$����'�����σ����� ���� 2��������' � ��-���� ������*���� ��σ���������� �-����$�������� 2���''� ���� ���&��$� ��:DN−!A!HDM−3A!<",��-���� G�&������&��$� ��λDN!HM!−+AHµDN!HM!−6N−!MH+A<",)����� �-����*$����-���� ������������( ��'������� ��������� ����λ�µ�G��� ����' � � �������*� ����(�&��$� �����-���� ��N��M��� ���������.,�������−+λH+µ<"�����λ<µ��(�&��$� ����������� �-����$�σO?!N!H!M!−6N−!M<"�1������-����� :

���!��

��−−−−����−−−−���"�=,

��A )(�&��$� ������� ���'����� �����σ�σO����V������������ �����'������

��������������� �-����$�1�������� σ1 ��2����� ����' ����'���� ������������

������:���!���−−−−�'�"�=,�������'����?�(���������������-���� � �������� ���A�&�����������&��$� ������V

���G� �����������(�&��$� �����-���� � ���� λ<−µ ������� ��� ��:���!���−−−−�'�"�=,

���A .�������� ��$����� �G������ �-����$�������� �( ��'������''� + ,�����

���&������ ���� ������ ������������ �����������2��������' � ���������������

�������'������σ��21������������������������ 2O��������� ��2������� ������� .

�����������������O��������� ����������������.������$��'��������''� ,

������ 2OG�� �������D−!1−3A���������OG��&��$� ��:!DNH!A− DMH3A<" �������!���!�'�"�=,

)��������������� ������G��� �&��$� ��

N−!MHW<"�����������W���,�����*������ ���&������� ����W�������G���

������$� + ����( ��'���,

�D�1.A<+

W< + �����W<±+��������

���OG��� �&��$� ��:��−−−−����±±±±�'�"�=,

!,3�

)�����= ��?1�����-���$� ��1���� ' ���������&������������������ -��� 1���� -� *

� 1�����������-����1���������������,������������������ =��������G��� ��� ���*

����Dα1βA���-� � ,��-� � �������������(�������������= ��F&����������� ���������� � � ����-�����(�&��$� ��:α−β<"F����'���G�α<β,�--���GR������ ��� ���������'���������= ����������$�������-� � �8< !! AS�DS −+ �����������'����

����������$��������������������� ?33

!�

+

+,������� ��&������ �� ������������$� ��

2O

2

�O

�O

.

Page 35: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

!α!−3#αH#6<+" ����!α!

−3#αH36<"�G�G�������:α<!

!�#6� −±<

!

#�±,

�-� �G�������������= ��� � ��A����B����A7��7B,

����������� �� �� �&��$� �� ����� ��� ����= �� � �� �� ' ��� ����� 2 ���� �G�

28<�D21�A,

� ��������� ��-� � 83�� ������DN−3A!HDM−3A!<!

!MN!

++����������� ����� ��:

���!��

��−−−−�����−−−−�8��−−−−�8��"�=:�

���������?������ ���������$� �����������= ��� ����� ����,)�� �������� � ��� *

��$� ������������ =−

=−−−+"MN

"M�N�NM!MN !!

&�������A=��=B,

� ��������� �� -� � 8! �� ������

DN−7A!H DM−7A!<!

!MN!

++�1

���������� ����� ��:

���!��

��−−−−�����−−−−�����−−−−�����!��;��"�=:�

)�� ������������������ � ��� *

��$� ������������:

=−

=+−−−+"MN

"34!M�!N�!NM!MN !!

&�������A����B,

!,36

�A ����������� �(�&��$� ����������� �-����$������������� ��,

�����$$��� ������� ����� � ���-���������� �-����$�,

����������� �-����$����'�����σ������ ���� 2��������' � ��-���� ���������� ��σ���������� �-����$�������� 2���''� ���� �G�G��&��$� ��DN−�A!HDM−3A!<" ����N

!HM

!−#N−!MH3"<",

)(�&��$� �����-���� �������λDN!HM!−!N−!M−!AHµDN!HM!−#N−!MH3"A<",2 ����� ���� ���λ≠"1��&���� ������ �-����$��������γ� �?��� ������ � ���� 21&������ ����� �����������λ�� ���W<

U

a,

)(�&��$� �������'����������� �-����$����-���� �������:

N!HM

!−!N−!M−!HWDN!HM!−#N−!MH3"A<" ����

D3HWADN!HM

!A−!D3H�WAN−!D3HWAM−!H3"W<",

������� �����'����������� �-����$�?�W

++

31W3

W�3F����������� ����� ����W�--���GR

�W��������'�������������� ���� �G���� �������������� ��� ����-�� �(�&��$� ��,

W3

W�3

+

+H3<"�����3H�WH3HW<"��������W<

!

3− ,)����� �-����$�γG��&��$� ��:

!

3DN

!HM

!AHN−M−7<" ����:���!����!����−−−−����−−−−����"�=,

� ������ ��� � � ����� ��� ������G������� �-����$����'�������� ���� 2

83

8!

53

5!

Page 36: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �� %� ���������������2����

������������ ���

��

G��� ��2�����������'������σ��G��� ����� ����������������������2����������� 0D313A��σ,���������G��&��$� ��M<3��&���� ���������G��� �������� �������3,������� ���������� �-����$�γ�����������������������������������������,)����� �������� � &�������� ��$� ������������

=+

="MN

3M&������D−313A,

����''� ��γ?�2< 3# <6������� �-����$�γG��&��$� ��DNH3A!HDM−3A!<3# �*���:�

��!��

��!����−−−−����−−−−����"�=,

��A )(�&��$� �� ����� ���'���� � γ �� 2 �� ��V ���� ���� � � �� ��' �� ��'���� ��������� �� ��V ������� ��� ����� �G� ? �� ����� ��� 2 ��������� ���� ���(����

��������M<3���������� ������ ����������,)�����&��$� ��?��"��,

���A ��� ����?���� ' �������� �������� B�G��������� � �G������������$�

���-� � 2������������������ ������� ������ �� � �������1���� �����������,

���� ���� ����� ����������� �G������� ��� �D!1!A��������������� ����:

�<A�1�D�

�2<

!

!!

33

+

+<

!

3,������ �(�������������� ����3��� ����?��(�������,

����������� ���(�&��$� ������(���������������� ��'������ ���� BDN1MA����-���*

$� ����� ����:!

3

A�1BD�

B2= ����DB2A

!<

6

3K�DB1�AL

!,

N!−#NH4HM!−!MH3<

6

3

!

AMND !+�����:7�

��!�7�

��−−−−�����−−−−��8��−−−−��4��!�8=�"�=,

��A )����������������� �'���'����2� �������� ���γ� � ������������������*� ����N<���M<3����������������������������,�������' � 2��1� ���?������ ��

�������$� ������ ��1?������' � ��2,

2���������������(�������� ���� ���������,

�2 ? �� ��''� �� γ &����� ���� 6, )�� ����������� � ��� ��$� ������������

==+�N

"MN&������D�1−�A�2�<6,

��������A��IB<!

3×6×6<8,

2

γ

Page 37: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

��������������

�������������

�,3*������������:

+==+=

��$

�M

3�N

���:

=+−=+−+"!MN!

"+$MN�������� 2D31"1−!A�����������

������ ���2��������� ��������=��������,

�,!*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������:

�A ���������������� ���������������&��$� ��

=+−=++−"!$N!

"#$!MN6F

��A �(�&��$� ��������� �������� ������ ��:��<!#� $�H�%1�����<#�H�!$�H!%�������*

����������� �D31!13A

���A ��� �� ������������� �� �� ' ������������� ,

�,�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���� 2D31 31!A������������&��$� ��:

=+−=+++"$MN

"3$!MN,�����������:

�A ���������������� �����F

��A ����������2������������F

���A �(�&��$� ��������� ����������������� 2������������F

��A �(�&��$� ��������� ����������������� 2�� �� ' ������F

�A �(�&��$� ��������� ���2�������� ������������� ���������� NH$<",

�,6

���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������������

�D31313A1BD 3131 3A1�D31 31 3A1�D 31 313A������������ ��' ���������������:

�A ��� ��������������� �B��F

��A �������-��������������� F

���A �(�&��$� ��������� �����������������B1�1�F

��A ���&��$� ����������������G�� ����' � �������' ������������,

�,+*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���� 2D�1"1"A������������&��$� ��:

+−=+=3M$

3MN,�����������:

�A ���&��$� ���������������2������������F

��A ��������$���2���F

���A ��� �������������� 2O��������� ��2������� ���,

�,#*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?�����������

����&��$� ��

=+−=−+"!$M�

"$M!N,�����������:

�A ���&��$� ������������������������F

��A �(�&��$� ��������� �������������� 2D31!13AF

Page 38: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

��

���A �(�&��$� ��������� ������������D"1313A�� �� ' �������F

��A ���������$� ������ �������� �������,

�,7*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������:

�:

=−−=−

"$!MN

"M!N1�:

=−−−

=+−"3$!MN

"$MN1�:

=−−−

=−−"�$!MN

"3$6N:

����������� � ������ ��$� ��1�� ?������� � ���� � �'G��=�1��������� ����������,

�,�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

������������&��$� ��:�:�

+−=−=3$M

3$!N���:�

+−=−=�$!M

+$6N:

�A ����&������������?������������������2D�1−31!A1������������������ π���&��$� ��NHM−$<"�����������������������&��$� ��:�

+−=−=!N$

3NMF

��A �� ������������$���2���,

�,4*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���� 2D3131!A���������

=+=$!M

3$N,�����������:

�A ��������$���2���F

��A ���&��$� ���������������2������������F

���A ��� ������������������������$� ������ �������� �������F

��A �� �&��$� �� ����� ����� ��� 21 �� ' ���� �� � � ��������� �� ���� �� �&��$� ��

NHM 3<",

�,3"*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

������:

=−+=−−"$MN

"3MN���:

=−=+−"$N

"!NM:

�A �� �������������������� ����������=��������F

��A ����-������G�� � �'G��=�F

���A �� ������������ ������������ ���G�� �������������������� �D31!1!A,

�,33*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

������&��$� ��:

=−+−=++

"3$MN!

"$MN,�����������:

�A ���&��$� ���������������������������������'������� �������,

��A �(�&��$� ��������� ����������������������������� 2D31"13A,

���A �(�&��$� ��������� ���������������������������� �������������&��$� ����*

��������G�:N<�H31M<!�H!1$<��H3,

��A ����������������������&��$� ��

=−−=+

"3M�N

"$M� � �'G��=�,

�A ����������?� �������������� �NH!MH!$ 3<",

Page 39: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �'�

������������������������������� ������������

�()�*#(+#�

�,3

2�����������(�&��$� ��������� ���2�������� ������������������������ ��$����� �

��������������� �������������,)�������?���������- ��������������1���������������� ��

� � �� � �$� ������� �--����������������&��$� ��&�����5D31313A,

���������������� ������ � �� � �$� ��������� �� ������������ ��+∧�+E� ��+���+E�� � ������� �� �� ' ������������G����������� �&�����+D3131−3A��+ED!1−31"A,�������-<

"3!

333

−−%$#

<−#�−!$−�%��(�&��$� ��������� ���2��������� ������ ��5

��-�������

�!3

333

!$M3N +−

<"�����N−3−!MH$H!<" ������−−−−����!�*�!���"�=:

�,!

�A 2����������������������������� ����������������V�� ����������/� ��,

�`� � *�������������� ���������$� �������������?������������� � �� ������ ��

��� ���� �� �� ' ���� �� ����� �G� �� ���������� , ��� ��� ����� ����� � ����

=+−=++−"!$N!

"#$!MN6����� �� �� ' ��������������� � +3D61 31!A1+!D!1"1 3A&�������

�����?��������������� ��5�<+�∧+�<3"!

!36

−−

%$#

<#H�$H!%������������������ ��

� � �� � �$� �����A���8���B,

��&���� ��'� ������ ��'� � �� - ����� �<O�O=

�=1�<

O�O�

��1�<

O=O�

=��G��*

����� � � ��������� ������ �� �� ��� ����� '��������� �&��$� ��

=+++=+++

"O�$O�MO=NO�

"��$=M�N,

���� ��� ��� �������:�<3"

!3

<31�<!3

6!

− <�1�<"!

36 −<!,

��`� � *2������ �����1�1������ �� � ���������������������B���:������ ��

�������� ���?B−�,�������� � ���� $<"������&��$� ������� ���������������

+−=−=

=

#6M

3N

"$

�G���������������� �D−31!1"A1� ���� N<"������&��$� ������� ������

���������

+===

#6M

!$

"N

�G���������������� BD"13"1!A,���������������� ��� � �� � �*

$� ��������� �� ������������ ��B−�<D31�1!A,���`� � *����������������������� ���������$� ������������������� ����- ���

�����������:���������������� ��� � �� � �$� ������� �--�������������������&��$� ��,

Page 40: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

�4

���� ��� ��� �(�&��$� �������� �� ���� � ������� ����� N�$:� ���� N<��� �*

�����$<!�H!F� �������� ������������ ������(�&��$� ��������� ���� �� ������M��

-��$� �����,6�−MH6�H6H#<"�����M<��H3",)��&��$� ������������G����� �

+=+=

=

!�!$

3"��M

�N

������������������ ��� � A���8���B,

��A ������ ������������D31!13A��������� ������ ����<!#� $�H�%1�<#H!$�!�!%

G��&��$� ��:

!!3

�3!

3$!M3N

−−−−

<"����� �DN 3A DM !AH+D$ 3A<" ����:

−−−−�8�����!�'*�!�'�"�=,

���A )�� �� ������������� �� �� ' ������������ � � �� �--���������N1M1$

���������&��$� ������������&�����:+D �1 31+A,

�,�

�A 2����������������������������� �������������

=+−=+++"$MN

"3$!MN��� ����� �G�

� ? ��������� �� �� � �� ������ �� ��� ���� �� �� ' ���� �� ����� �G� �� ����������

D3131!A1D31 313A&�����5�<

333

!33

%$#

<�#H$ !%������������������ ��� � �� � �*

$� �����D�131 !A,

��A )����������������������� 2D31 31!A���������������� ��5D�131 !AG��&��*

$� ��:�

�*

��

��

−=

+=

−,

���A ������������ ������������������������' � ��-���� ��������G�G��&��$� ��

λDNHMH!$H3AHµDN MH$A<",������ ���-���� ����������������� 2�� ������������� ����λ�µ�G��������� � �������� ��N1M�$��� �������������� ����(�&��$� ��������� '������ :λD3 3H6H3AHµD3H3H!A<"�����+λH6µ<"�G�?� ����-�������λ<6�µ< +,)(�&��$� ��������� �������&�����:��!�;��!��*�!���"�=,

��A )(�&��$� ��������� ���2�� �� ' �������������������������������� ����*

� �G��� �--���������N1M�$����(�&��$� ������������������� � � ��� �� ��������

���� ��5 �� ' ���������� :�DN 3AHDMH3A !D$ !A<"�����:���!�����*�!���"�=,

�A �� ���� ��� 2 �������� �� � � ��������� ���� �� ���� α: N H $ < " ���� �������������� ������ ��5D�������� ���A��+D31"13AD��������� ���������� αA,)�����&��$� ��?:

3"3

!3�

!$3M3N

−−+−

<" ����DN 3A +DMH3A D$ !A<"�����:

���'���*����"�=,

Page 41: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �7�

������������������������������� ������������

�,6

��� ���������� ��' ��������������D31313A1BD 3131 3A1�D31 31 3A1�D 31 313A:

�A ��� ��������������� �B��?3>#������ ����� ��� ����� � �� ���� ������

���� ��B �1� �1� �,

�������:B �< !# !%��� �<�!$ !%��� ��"� !# !$�&�����:

�()A�1��B�"

"!!

!!"

!"!

#

3

−−

−−

−−

<#

3#−<�

8,

��A 2 ��GR���������� ?��' ��������������-���������� ��� ���������� ���&�����

�O���������-�����,�������� �(������������' � �B�?��������� ��� ����� � �*

� ������ ������� ��B ��� �,

DB �A∧D� �A<!!"

!"!

−−

−−

%$#

< 6#H6$��6%�&���������D�B�A< �6!

3��(����

� ��������������� �������:6D! � A<8 � ,

���A 2��������������(�&��$� ��������� �����������������B1�1�� ����� �� ��*

����������� ��,

�`� � *�������- ������������ �����������:

B�B�B�

B�B�B�

BBB

$$MMNN

$$MMNN

$$MMNN

−−−

−−−

−−−

<",

0 �������� �� � ������� ��� ����� ���� �(�&��$� �� ��� ���� ?:

!!"

"!!

3$3M3N

+−+

< "

���� 6DNH3A 6DM 3A 6D$H3A<"�����:��!���!�*�!���"�=,

��`� � 2� ���������� ���$� ��:� ����������(�&��$� ���NH=MH�$H�<"������*

� '������ ����������� ���� �--��������1=1�1�D�������� ����� �--����������� *

� �$� �����A��� ���� �������''� ������������,0 �������� ����(�&��$� ����� ���*

������B1���1������ ���������������:

=++−−=+−−=+−+−

"��=�

"��=�

"��=�

,.������ ���� �����$� ��

�� �������<=<�<���(�&��$� ��������� ?�DNHMH$H3A<",

0��'����� �<3���� ������:��!���!�*�!���"�=,�

���`� � 2 ����� � �����������-���� �������������� �������������������������

�����1�������� B��1������������� ������� ���-���� ������������,

)������B�G��&��$� ��!

3M

!

3N −=

+�$<−3D� ��G?���������G��� ��������&� ��A,

��-���� �������������B�G��&��$� ��λDNHMAHµD$H3A<",������ ���-���� ������������G�����������λ�µ�G��� ����' � � �������� ����O�*&��$� �����-���� ��N1M1$��� ����������:λD−3−3AHµD3H3A<"�����λ<µ,0� �������� �������:��!���!�*�!���"�=,

Page 42: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

�8

��A ����������� �����&��$� �������������G�� ����' � �������' ������������,

0�?���� ��� ������ �A������ ��B �< !#� �!%�&�������������BG���������������� *

��D !1"1 !A ���G�D31"13A��� ����� �G����������������� ��� � ���������������

����� �--����������� � �$� �����,

)�������BG�&������&��$� ������������G�:

+==+=

�3$

3M

�3N

,

��������� ���������� ��� �������������� ���������$� ������������

==3M

$N,

� ���� �G�&���� �� ������������������ ������������?$�� � �?����� �������- �*

�����B

�B

�B

$$

$$

MM

MM

NN

NN

−=

−=

−����GR������==��� $�� ����� ����� ��,

��� � ���� ' ���������G��&��$� ��

==$M

3N����������G��&��$� ��

==MN

3$,

�,+

�A )�������

+−=+=3M$

3MN����������- ��������������� ���� M<�:

+−==+=

3�$

�M

3�N

,

����?&�������������������� ��5D3131−3A,)���������2������������5G��&��$� ��:

3

$

3

M

3

�N

−==

− ����

=++="$M

�MN,

��A 2������ ������������$��������� 2���������������V�� ������������� ��

�G��������� ��/ ��� �'�� ������ ��������- ��������?�����������:�����������*

� ��������-������'���������������$����,

�*2 ����� �����$$�������-���$� ����������$���2���� ��������$���2������� ;

������������������2��������� ������������������,

2���������������� �������������� ;� ����� �� ������������ ��,

����������� ;� ���������$� ������ ������� ���2���������� �������,

������ ���2��������� ���������������&����������� ��5G��&��$� ��DN−�AHM−$<",

)�� ���������;� � ��� ��$� ������������

+−=+=

=−−+

3M$

3MN

"�$MN

,0 �������� ����� ���

������$��&��$� �������������� ������MH3HMHM−3−�<"�����M<3,���������G�&������ ��$� ��

===

"$

3M

!N

�����;D!131"A,

�������:6A���5B�"2;< 33+ < � ,

)�� ���������;��� �� � ���G� �������� ��

� ��������������� ��G���������������G���

����������������2�������� �� ' �������,

••

2

;2O

Page 43: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �;�

������������������������������� ������������

�����$$��� �� �&��$� �� ����������G� �� � �� '������ ���� � �� � G� � �������

D�H31�1−�H3A,)���������2���G���������������� ���� � �$� ��������� �� �����

������� ���−2 ����D�−!1�1−�H3A,���������? �� ' ����������������� ��5����−−−−���� � �� ' ����1�� ?��D�−!AH�−D−�H3A<" �����<3����� ������������ ;D!131"A,

��*������ ��� � ������� ������������$���2���� ���������� �����������������

��=��������B���1������������(������������' � �B2����� ������-�����������$���2

���� ������$$�������������=����B��������' � �B�:�D21�A<�B

A�B�D0!,

)�� ��������������� ���������- ���������������� ����' � ����'���� ����� ��

��=������ �� �������� �, 2 ���� � < " �� ������ �D31 "1 3A1 � ���� � < 3 �� ������

BD!131"A,)(������������' � �B2?��������� ��� ����� � �� ������ ������� ��

�−B<D−31−313A�2−�<D!1"1−3A,D�−BA∧D2−�A<

3"!

333

−−−

%$#

<#−$H!%���0D�B2A< #!

3,

������ ]�−B]< � �� �������D21�A<�

4< � ,

���*�������� ����� � ������� ������������$����� *��������� ���$� � �����������*

��������������� π� �������������� ������������������������������ πO���������������������� �����π,)�������$���2���?��������$���2������� πO,

�����$$��� ������� � ���� ��� ��� ,������������ ������������������������' � ��

-���� ��������G�G��&��$� ��λDN−M−3AHµDMH$−3A<",)(�&��$� ��������� π�����������2�� ������������� ����λ�µ�G��������� � �������� ��N1M�$��� ���*����������� :λD�−3AHµD−3A<"�����!λ−µ<"�G�?� ����-�������λ<3�µ<!,������ πG�&������&��$� ��NHMH!$−�<",������ πO� ����������� �� ' �����π�� ������������������(�&��$� ��������� '���*��� ���-���� �G�����V��������λNHD−λHµAMHµ$−λ−µ<"������� ����λ�µ����&������ �--�����������(�&��$� ��������� '������ � ����-�� ����� ���$� ����������*

��� ������ ��� �--�����������(�&��$� ����π:λ−λHµH!µ<"�����µ<",)(�&��$� ��������� πO?&�����N−M−3<"���������$���2���?:�D21πOA<

��−< � ,

π 2

πO

Page 44: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

�=

���A ����������� 2ODN1M1$A��2������� ���?������ �������������2��;�����G�;

��������� ���� �����'���� 22O,

�������!<!

N�+�����N<313<

!

M�����M<!�"<

!

$�����$<"1&������EA������=B,

�,#

�A � ��������������������&��$� ��

=+−=−+"!$M�

"$M!N����������� ����$����� ���*

������������� ��,��� ����� �G��� �--�����������(�&��$� ���������� � � ��� �� *

������������� ������� �� ' ����1������ ��-�������� ���1?���� � �� ������ ���

������� �� �� ' ���������������G����������� �1�� ?-<

3�"

3!3

−−%$#

<#H$H�%�� �*

���� ���'������ ����������������� �����:�<31�<31�<�,�

������������������������G��� ��������������� ���� � �$� �����D3131�A,

�������� ��������������������������������( ��'���G��&��$� ��N<M<�

$,

������ ��� � ��� �������������� ������������������ ����������� ���������$� ����

��������α�β� ���������� �������������������������������������������α���β,�������� ������ NH!M−$−�<"?�������� ��α�������� �M−$H7<"?�������*� �β&���������������&��$� ��

=+−=−−+"7$M�

"�$M!N?�������������������,

��A .'������ ����������������-���� �����������������&��$� ��?��� �=���*

$� �����������������������,���� ��� ��� λDNH!M−$AHµD�M−$H!A<"F������ ���-���� ����������������� 2�� ������������� ����λ�µ�G��������� ����(�&��$� �����-���� � �������� ��N1M�$��� ���������2,�

0�G�:λD3H6−3AHµD#−3H!A<"1�����6λH7µ<"��(�&��$� ��������� �������:7��!����−−−−��*�−−−−�8�"�=,

���A .'������ �� ' �������G����� ��� ������������� ���&������� �--��������1

=1����������&��$� ������������� � �� � �$� ������3131�,������ ���� �� ' ����

���G��&��$� ��:NHM−3H�D$−3A<" ����:��!���!��*�−−−−���"�=,

��A 2����������������������$� ������ ������������ � ������ ��������� �������

�O

β

α

Page 45: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

�������- ���� ������&��$� ����������(�&��$� ��������� ,

�������$� ��� ������� NM:

==+−=−+

"$

"!$M�

"$M!N

�G�G�� ��$� ��

=−==

6N

!M

"$

&�����9

− "1�

!1

6,

�������$� ��� ������� N$:

==+−=−+

"M

"!$M�

"$M!N

�G�G�� ��$� ��

===

!N

!$

"M

&�����YD!1"1!A,

�������$� ��� ������� M$:

==+−=−+

"N

"!$M�

"$M!N

�G�G�� ��$� ��

−=−=

=

6$

!M

"N

&�����XD"1−!1−6A,

�,7

� ��������� �� �����: �:

=−−=−

"$!MN

"M!N1 �:

=−−−

=+−"3$!MN

"$MN1 �:

=−−−

=−−"�$!MN

"3$6N ���

��������� �������� ��$� ����V�������������������� ��- ��������������:

===

!

�$

�M

�!N

��

����� ����' � ������������������������������ �����D!131!

3A,

���� ���� ������������������ �������� ����� �G��?������������� � �� ������ ��

������� �� �� ' ���������������G������������� D31 313A�D31 31 !A&�����

-<

!33

333

−−

%$#

<�#H�$�<D�1�1"A,

2 ��GR���������������� ���������� �� � ���� � �$� ������� �� � ���������,

5����� �� � � ��������� ��� ����� �� ������� - ���� ����� � � �&��$� ��:

=−−−=+−=−−

=−

"3$!MN

"$MN

"$!MN

"M!N

�(�������� ����-������G������������?��� �����=�����&���� � ������� ��&������*

&��$� ���������� ����� ������3<"&���������� �G��� �������� ����1� ���*

���� ����������������5�36�-�-(+(�-DJ3923,

����������� ���������������� �����,.<

!33

6"3

−−

%$#

< 6# !$� �%�<D 61 !1 3A,

������������������� ��� � ���� � �$� ��� �&��������&������5�3�.�-(+(�/050))3)3,

2 ����� ��� �� ���������G����� � ��������������� �� �����������&���� �����*

Page 46: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

��

���' � ����������������N M !$<"�N M !$ �<",

� ��������� ��-��� �� ����� � � �:� � � � ��������� ��&���� � � � ��������������� ��

D�1� 1"A� D 61 !1 3A� �� � ���� � �$� ���� �� � ������� ��������� ��&����

����� ����������������:���N−M−!$−3<"����N−M−!$−�<",0�� ���==����G�����-������ ��������G�� �G��� ������ ������&���� ���������

- ���� ������ � �&��$� ��?��� �����=���,������-�3�.�-(+(�-DJ3923,

�,�

�A 5���-��G��� &������������������ ����-���������� ���$� ��� ���,

�--���GR������ ��������'����������� ������ ���������� � � ����-�������&��*

$� ��,� �������� 2D�1−31!A��� ���������������&���� � �������� ������ ���������N1M1$���������&��$� ������� ����' � ���������:�<6−3�−3<−!H3�������*����������&���� �<�−+�−3<−6H�,5���-��G��� ��� ����� ����������������������� ���$� ��� � � ����-����,

������������������������� π��������������������������������������� ��������*��$� �� ��π � � �1 �� ��� � ������� � � �� � ��$� �� ��� �������:

+−=−==−+

!N$

3NM

"$MN

����

+−=−=

=−+−+

!N$

3NM

"!N3NN

�����

===

3$

"M

3N

��D31"13A,

��0//05.#3+3�06�5��&���� � �������� ������ �������������&��$� ������� ����' �

���������3<!−3�"<−3H3��������+(+�0//05.#3+3�06�-��&���� 1�� ������ ���

����� � � 1�� ������3<6−+1���G�?������ ,

��A )�������$���2���?1�����-���$� ��1��������$���2������� ;���������������

���2��������� �����������������,

2������������� ��� �������������� ;� ����� �� ������ ��������� ��'������,

����������� ;� ���������$� ������ ������� ���2���������� �������,

0������� ���&��$� ���� � �� - ��������������

+−=−=

=

!�$

3�M

�N

�� ���������������� ���� �

� � �� � �$� �����D3131−3A,������ ���2��������� ���������������&�����

������ ��.D3131−3AG��&��$� ��:N−�HMH3−D$−!A<" ����NHM−$<"�&������ ������� ������� π,������ ;?&����������� �D31"13A���������� ���A,

�������:6A���.B�"2;< 336 ++ < 4 ,

)�� ���������;��� �� � ���G� �������� ��

� ��������������� ��G���������������G���

����������������2�������� �� ' ������,

�����$$��� �� �&��$� �� ����������G� �� � �� '������ ���� � �� � G� � �������

D�1�−31−�H!A,)���������2���G���������������� ���� � �$� ��������� �� �����

������� ���−2 ����D�−�1�1−�A,���������? �� ' ���������������� ��.���−−−−���� *

•2

;

�•

Page 47: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ���

������������������������������� ������������

� �� ' ����1�� ?���−�H�H�<" �����<3,������ ;G�&������ �������D31"13A�&�����1� ��� ���1�������:6A���.B�"2;< 336 ++ < 4 ,

�,4

�A )�������$���2���?1�����-���$� ��1��������$���2������� ;���������������

���2��������� ������������������,

2���������������� �������������� ;� ����� �� ������������ ��,

����������� ;� ���������$� ������ ������� ���2���������� �������,

2����������������������������� ������������� ���������- ��������������

==+=

�$

�!M

3�N

1

���������������� ��� � �� � �$� �����D31!13A,������ ���2��������� ��������������

G��&��$� ��DN−3AH!DM−3AHD$−!A<" ����NH!MH$−+<",)�� ���������;� � ��� ��$� ����� �������

=+=

=−++

$!M

3$N

"+$M!N

,0 �������� ����� ���� �� ���$��&��*

$� �������������� ������$H3H6$H$−+<"�����$<�

!,

���������G�&������ ��$� ��

===

!$

6M

+N

�����;

!1

61

+,

�������:6A���5B�"2;<

!!!

!!

63

+3

−+

−+

− <

;

�4

;

;

�++ <

7,

)�� ���������;��� �� � ���G� �������� ��� ��������������� ��G���������

������G�������������������2�������� �� ' �������,

�����$$��� �� �&��$� �� ����������G� �� � �� '������ ���� � �� � G� � �������

D�H31!�1 �A,)���������2���G���������������� ���� � �$� ��������� �� ��������

���� ���−2 ����D�1!�−31�−!A,���������? �� ' ����������������� ��5����−−−−���� � �� ' ����1�� ?���H!D!�−3AH�−!<"������<

!����� ������;

!1

61

+,

��A ��� ����� �G������� ��5�������� ���?D31!13A1�������$$��� ��- ��������*

�� �������������� ������������������ ��1 �� ��������2����������� �G��&��$� ��:

�*

��

�� −=

−=

−,

���A ���� ���� ��� �������������� ��������$� ������ ������� NM���&��$� ��

$<"��� ����� ���������

==

+=

"$

$!M

3$N

�G�G�� ��$� ��

===

"$

"M

3N

1��������A���=��=B,

Page 48: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

��

���� ���� ��� �������������� B�������$� ������ ������� $M���&��$� ��N<"

��� ����� ���������

==

+=

"N

$!M

3$N

�G�G�� ��$� ��

−=−=

=

3$

!M

"N

F�������1A=��−−−−���−−−−�B,

���� ���� ��� �������������� ��������$� ������ ������� N$���&��$� ��M<"

��� ����� �� �������

==

+=

"M

$!M

3$N

�G�G� � ��$� ��

===

"$

"M

3N

F ��������A���=��=B��G�� ������

� ��1� ���� ������������������,

��A )����������2 �� ' ����������������������� π���&��$� ��NHM−3<"����V ������ � �� �������$� �� ��� ���� ��� 2 �� �� ' ���� �� �1 �G� G� �&��$� ��

NH!MH$H+<"D� ������ ��� ������ �AA�������� πO���2�������� �π,2 ��GR��-���� �����������������πG��&��$� ��NHMHW<"������ ���-���� �����������2�� ��������� ���� �G���� ���������2��� ����-�� �(�&��$� ��3H3HW<"�����

W<−!��(�&��$� ����πO?NHM−!<",)��&��$� ������ � :

=−+=−++=���

='*���,

������ � � ��� ���������������������� ����������( ���������G����������� �� ' *

���������� ��5D31!13A�� �� ' ���������� ��+D3131"A �� ' ���������� π,)��������������&�������������������� ��5∧+<

"33

3!3

%$#

<−#H$−%���G��&��$� ��:

�*

��

��

−=

−=

−,

� ���� �G���������������������������������� ���������$� �����������������������

����� ��$� ������������1�� ������������������������ ����� -���� �������,

�������� � ��������� 3

3M

3

3N −=

−�

3

!$

3

3N

−=

−��������?����� ���������$� ��

��������

=+−=−+"3$N

"!MN�������� N−$H3<"������������-���� �������� ��� �=�*

��$� ��!DNHM−!A−DNH!MH$−+A<"������������(����������������$� ��,

�,3"

�A 2���� �������������������� ����������������V�� ������������� ��1���� �*

�������� �������������$� �������������,

� �����������������

=−+=−−"$MN

"3MN����� ���������$� ������������1������ ���������*

� ����������� ������� ���� � �� ������ ������� �� �� ' ��������������1�&����G��*

� � ��� �� ������� �--���������N1M�$����(�&��$� ��������� ,

������5�"�

333

"33

%$#

�"�#�!�$�!�!%� ���� 5�"�D3131!A,

Page 49: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �'�

������������������������������� ������������

������ �����������

=−=+−"$N

"!NM����V ���������G�������&��$� ����������� ����*

' � � � ����������������=���N1M1$,�(&������������� ������������������- �����*

���������� ��:

=−=

=

�$

!�M

�N

,���������������� ������ � ����������������� � �$� ������

� �--������������������ ����������&��$� ��:-�"�D31313A,

��A ��������� � �'G��=���� �� � ����������� �G��� �������� ����,)����*

�� ����� �� � ��������� ��&���� � � � ��������������� ��� �� � ���� � �$� ��,

5����� ��G��� ����������� ������� ����� ���������- ���� ������ � �&��$� ��,

=−=+−=−+=−−

"$N

"!NM

"$MN

"3MN

:�����������?��� �����=�����&���� � ����� ��������&��$� ��� ���

���$��� ������3<"1&���������������� �G��� �������� �����1� ������� �������*

��1� � �'G��=�,

���A )������� ������������ �5��G�� ��-������������������ �D31!1!A?�O�������*

$� ��������� � �������������������� � ������������,

��'������ ���� � ����������������������������-���� λDN M 3AHµDNHM $A<",������ ���-���� �������������� ������������� �����λ�µ�G��������� � �������� ����O�&��$� ��������� '������ ��� �������������� ��� �� ��N1M�$:

��G�λD3 ! 3AHµD3H! !A<"�����!λ<µ��(�&��$� ��������� ?:�NHM !$ 3<",

2� ������ ��� � ���� ' ������ ��������-���� αDM NH!AHβDN $A<",��� ���� �� �����''� ��� � �������:αD! 3 H !A H βD3 !A < " �� ��� �α < β ��(�&��$� ��������� ?!NHM �$H!<",

)�������������G��&��$� ��

=+−+=−−+=�*����

=�*����,

�,33

�A �������������������������������' � ��-���� λDNHMH$AHµD!N−MH$−3A<" ����DλH!µANHDλ−µAMHDλHµA$−µ<",������ �� �� ' ���������� ?+DDλH!µA1Dλ−µA1DλHµAA,������ ���-���� ?�������� ���(����N��+�••••#<"�� ?λH!µ<",0��'����� λ<!�µ<−3�� ������������ ���!�*�!���"�=,������ ���-���� ?�������� ���(����M��+�••••$<"�� ?λ−µ<",0��'����� λ<µ<3�� ������������ ���!��*�−−−−���"�=,������ ���-���� ?�������� ���(����$��+�••••%<"�� ?λHµ<",0��'����� λ<3�µ<−3�� ������������ ��−−−−����−−−−���"�=,

��A )(�&��$� ��������� �������������� 2�� ������� ��������� ��-���� �������

������������ ���� �������''� ���2�� ?����������� ���� ����λ�µ����&������� �������������� � ����-�� �(�&��$� ��������� :λD3H"H3AHµD!−"H3−3A<"�����!λH!µ<",

Page 50: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � ��� 2����������

������������ ���

�4

Page 51: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �7�

������������������������������� ������������

�������������

�������������������

6,3*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

�-���Σ:N!HM!H$!−!N−6M−3<"����-���� ���������������� ���������� ��+D31313A,�����������:

�A ���&��$� �������������-���� �G��������� ���'���������-���F

��A ������ ���-���� �G������������� �� ������� �-����$��������F

���A ���������$� ����� �'������� �������,

6,!*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

� �-����$�Z������� �D3131�A���''� !������������������ N M<",�����������:

�A �(�&��$� ������������-�����-�����b� �������������� �-����$���������������

���� �D31!1!AF

��A �(�&��$� ��������� ���'�����b���,

6,�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

� �-����$���������$� ��������� :NHM<"� ��������-�����-�����b���&��$� ��:

N!HM

!H$

! !N !M !$<",�����������:

�A �(�&��$� ��������� ���'�����b����( ��'���F

��A �(�&��$� ������������-�����-������������� ������ �-����$��������F

���A �(�&��$� ������������-�����-������ ��������������'�������������

==

"$

M!N,

6,6*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

� �-����$���������$� ��������� :NHM 6<"� ��������-�����-�����b���&��$� ��:

N!HM

!H$

! !N 6MH3<",�����������:

�A �(�&��$� ��������� ���'�����b������� 2D31"1"AF

��A ����� ���''� ��������� �-����$��F

���A �(�&��$� ������������-�����-���������������������� �-����$�������( ��'���,

6,+*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���� 2D31613A��������-�����-�����b���&��$� ��N!HM

!H$

! !N !M !$<",

�����������:

�A ��������$�������� 2������� �&��$� ��NHM $ !<"F��A �(�&��$� �� ����� ���� �-����$� �� ����� 2 � ���'���� ���� ����� � �� �&��$� ��:

N<M<$F

���A ������ ����������-�����-�����b��/����� �2F

��A �(�&��$� ������������-�����-��������'�����b����( ��'���������������2,

6,#*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

� �-����$�σ���&��$� ��: =−

=+−−++"$N

"3M!N!$MN !!!

,�����������:�

�A �(�&��$� ������� �����-���� �-����� �������� ���σ � ������ ����� ������� π ���&��$� ��M $<"F�

��A ���&��$� ���������������'�������� ���� 2D31313AF

Page 52: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

�8

���A ���&��$� ������������������������� α:NHMH$ 7<"���G���������G�� �������-�����-�����N

!HM

!H$

! !N−!MH3<"��� �� ���� �-����$�����''�

�,

6,7*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������:

�A ���&��$� ����������� �-����$������ M$����������� ������� �D"1313A���''� !F

��A ���&��$� ���������������'�������� ���� 2D"131�AF���A ���&��$� ������������-�����-����G������������������ �-����$���'�����������������&��$� ��$<"1M 6<",

6,�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

�����-�����-����G�Σ3�Σ!���&��$� �����������������:N!HM

!H$

!H�M 4$H

!

37<"�

N!HM

!H$

! 6NHMH$

!

34<",�����������:

�A �(�&��$� ��������� �G�� ������������ �-����$�σ�������$� ����Σ3�Σ!F

��A �(�&��$� ������������-�����-������G���������σ��G������ ������� MH!<",

6,4*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

������

−==+=

�!$

�M

3�N

������� �-����$�Z =−+++++

=++"�$!M!N!$MN

3$MN!!!

!!!

:

�A ����-������G��������?� �������������� ��������� �-����$�ZF

��A �� ��������������G������� �

!�������� ��������� �-����$�ZF

���A ������������(�����������G� Z,

6,3"*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ����:��

�����-�����-�����N!HM

!H$

! !N !M !$<"�������� N M $<",�����������:

�A ����� ���''� ��������� �-����$�Z� � �������$� ��F

��A ���&��$� �������������' �������&������ ��������� ��Z�����������������

����( ��'���,

6,33*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?��� ��-�*

��� �������-�����-����G�:N!HM

!H$

! D! WAN D6HWAMHW$H6<",�����������:

�A �(�&��$� ������������-�����-��������-���� ������������D31313AF

��A ����������������-�����-��������-���� � ������ D31"1!AF

���A ����������������-�����-��������-���� � ������ D!1313A���� ���� ������''� F�

��A ��������������������-�����-����G����-���� ����''� 3,�

6,3!*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���� �-����$� γ �� �&��$� ��: =++−

=−−−++"�$!M!N

"�$!N�$MN !!!

� �� �����-���� �-�����Σ ���&��$� ��N

!HM

!H$

!−7N−!M−+<",

���������������� ���''� ��γ�����-������G������� �-����$�γ?� ���������Σ,

Page 53: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� �;�

������������������������������� ������������

6,3�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

��5���&��$� ��!N M<�N $H�<":

�A ���������(�&��$� ������ � '������ ������ ��$� ����5��� �� ���(����$F

��A �����&���������'�������������������������������:

NHM $H�<"F NHMH$H�<"F !$ !N !MH+<",

6,36 *���� ���$� ��-���� ���� ������� ��������� �� � ������ � ������ ? ���� ��

���������&��$� ��N<�!1M<! �1$<3H!�:

�A ���������(�&��$� ������ � ���������5D"1"1!A������������F

��A ���������?�����:�����&���������'��������������������:

!MH$ +<"F NHMH$−�<"F N−MH$H+<",

6,3+ *���� ���$� ��-���� ���� ������� ��������� �� � ������ � ������ ? ���� ��

���� �-����$��&��$� ��:

=+−−++=−−−++"3$!M!$MN

"3M!N!$MN!!!

!!!

,�����������:�

�A �(�&��$� ��������� � ��������ZF�

��A �(�&��$� ������������-�����-�����������σ� ������ �-����$��������F

���A �(�&��$� ���������������� � ������� ������������Z���������( ��'���,�

6,3# *���� ���$� ��-���� ���� ������� ��������� �� � ������ � ������ ? ���� ��

���� �-����$��&��$� ��:

==+−+

"$

"M!N6MN !!

,�����������:�

�A �(�&��$� ������������-�����-����G�����''� ��G���'���� ������ NM��� �� ��

���� �-����$�ZF�

��A �(�&��$� ���������������� � ������� ������������������5D"1"1+A,�

6,37*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ���������*

��:

�A �(�&��$� ������ � � � �� ���������5D 31�1"A� ������������� ���(����M�

����������������� �D"1!13AF�

��A ������������ � ��������� ��������������� ��&����� ���G���������,�

6,3�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

������&��$� ��N MH$H3<"1!NHM $ 3<",�����������:�

�A �O�&��$� ������������-����b'������������� ��$� �������� �� ���O����MF�

��A ����''� ��������� �-����$��������$� ����b� ������� ���&��$� ��M<�,

6,34*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

���

=−++=−+

"�$!

�M!N

"#$�N!,�����������:

�A ��� �������������� ���������$� ������ ��(����$F

��A �O�&��$� ������������-����Σ'������������� ��$� �������� �� ���O����$F���A �����'G�$$������''� ��������� �-����$���Σ�������������� $<",

6,!" *���� ���$� ��-���� �� �� ������� ��������� �� � ������ � ������ ? ��� ��

���� π���&��$� ��NHM−!$H6<",�����������:

�A �(�&��$� ������������-�����-�����Σ������� �( ��'�������'�����πF

Page 54: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

'=

��A �(�&��$� ���������������� � ���������5D"1"1�A���'�������������-�����-�����

�� ���������� ����������,

6,!3*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������

�A �(�&��$� ������������ ��'������������������������� ����<�#�H$�H%����� �����*

� ���������-�����-��������&��$� ��N!HM

!H$

!<6F

��A �(�&��$� ��������� ����D31"13A�������� ��������������N<M<$F

���A ��� ��$� ��������� �� ��� ������� ���������-�����-�����,

6,!!*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

�����-���� �-����G�Σ3�Σ!���&��$� �� ���������������N!HM

!H$

!−�N−!$−�<"��

N!HM

!H$

!−7N−!M +<",�����������:

�A �(�&��$� ����� ���� ����������� -���� �� � � ���������� �����-����� �G� ����

���� ?�����������������-�����-����G�F

��A �(�&��$� ������������ ���� ������ ���������-�����-�����Σ3��������'����������

������������(����$,

6,!�*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������

�(�&��$� �� ���������� ��� ������� ������ � �� ���������� �� ���� �-����$�

=++=

3#$MN

"N!!! �'����������������������������

=+=!$

3NM,

6,!6*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

������&��$� ��:

=−−=−−"3M!$

"3M�N:�

�A ����-������G��������?�'G��=�� ��(����NF�

��A ���������(�&��$� ������������-����'������������� ��$� �������� �� ���(����N,�

6,!+*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ������

���������&��$� ��

==M$

MN������&��$� ��

=−=+=

�$

�3M

3�N

:

�A ����-������G�� � �'G��=�F

��A ���������(�&��$� ����������������������-����'������������� ��$� �������� ��

���,

6,!#*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?���������*

�� �

=+=$!M

3$N,����������� �(�&��$� ������������-������ � ��$� ��'������������� ��*

$� ���������������� �� ����������

==3M

"N,

6,!7*���� ���$� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������

�(�&��$� ������������ � � �� ����������

=+=!$

N3M�������������D!1316A,

Page 55: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� '��

������������������������������� ������������

�()�*#(+#�

6,3

�A )� � �� ����� �� �� ���� �� � ����� �������� � � � � �--������� �1 =1 � ���*

�(�&��$� ������������������� ,��'������ ���� �� ' ���������� ��+G�&������&��*

$� ��NHMH$HW<"�������������W���������-���� ����������������,)��-������&��$� ��N

!HM

!H$

! !N−6M 3<"G������ �D31!1"A���''� �< 363 ++ < # ,�

���������'���������-���G��� �������� ������$��'��������''� ,����������� ���� ��

��W�������D�1πWA<�

W!3 ++< # �����4HW

!H#W<3� ����W

!H#W 4<"�G�G�

������%�"���±±±±�� � �����&��$� ����������� � :��!���!�*���±±±±�� � �"�=,�

��A )����� �-����$����������������� ������� ���������$� ����� ������� ���-���� �������� ��� �� ����� �, �� ���� � ������� �� �� � ������� ��� �� � ����-��

�(�&��$� ��:3H!HW<"�����W<−��������� G��&��$� ��:��!���!�*�−−−−���"�=:�

���A )(�&��$� ��������-���Σ����V��������DN−3A!HDM−!A!H$!<#����� �����*�� ������''� �� ���������� �A,%�������������������������$� ����Σ� ��(����N� �

��� ��$� ������������- ���� ������ � �&��$� ��:

==

=+−+−

"$

"M

#$A!MDA3ND"

Page 56: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

'�

��� ������������� ���������������� ���� �G���� ����������� ����-�� �O�*

&��$� �����-���� :λD3H6H6−!−6−3!H7AHµD3−!A<"�����−!λ−µ<",0��'����� λ<3�µ<−!�� �������(�&��$� ����Σ:���!����!�*��−−−−����−−−−�4*�!�7�"�=,

��A )(�&��$� ��������� ���'�����Σ�������V���� ����� �����' ����'���� �*��������:NH!MH!$−!DNH3A−�D$H!AH7<"�������−−−−����!�*�!���"�=,������ ���'�����Σ�������V���G� �������� ������ ������������� ���������� ��

�−�� ���?������� ��Σ��� �������D!1"1�A,��������−�<D31−!13A�������� ���'����G��&��$� ��DN−3A−!DM−!AHD$−!A<"�������−−−−����!�*�!���"�=,

6,�

)(�&��$� ��������� ���'�������������-�����-�����b����( ��'���.������ ��� �����*

' ����'���� ���������1����� ������� �G�.�����������b��&���� ������ �������

��� ����-�� �O�&��$� ��,0� ������:��!���!�*�"�=,

�A )������-�����-������������� ������ �-����$��������������������-���� ��*

�������� ��b�������� �&��$� ��NHM<"�G�G��� ������ �-����$�=���,

)������-�����-���������������������������� ��π,��-���� G��&��$� ��N

!HM

!H$

! !N !M !$HWDNHMA<" ����

N!HM

!H$

! !D3

!

WAN !D3

!

WAM !$<"

������� �����'������������-�����-��������-���� ?2D3 !

W13

!

W13A�������������π

�������� ���������� ����-�� �(�&��$� ��,0� ������:3 !

WH3

!

W<"�����W<!

��������-�����-������������G��&��$� ��:���!��

��!�*

����*�"�=:

��A ������������-�����-����G�� ��������G��ΣG��� �&��$� ��:N!HM

!H$

! !N !M !$HG<"�����������G���,)������-�����-��������'��������

����������� ������ ����������� �������-�����-�����'�������� � �� ������� ��� ����

�G�������������$� ��� �������

=+−−−++==

"G$!M!N!$MN

"$

M!N

!!!

,

0 �������� �����������&��$� ����������$��� ������6M!HM

! 6M !MHG<" ����:

+M! #MHG<",�����&��$� ������� �� '��� G����������� ��������������� ��*

�����������?���� :6

c<4 +G<"���G<

'

;,

)������-�����-������������G��&��$� ��:���!��

��!�*

������������*�!�

'

;�"�=�

6,6

�A )(�&��$� ��������� ���'�������������-�����-�����bN!HM

!H$

! !N 6MH3<"

������� 2D31"1"A������ ��� �����' ����'���� ���������1����� ������� �G�2��*

���������b��&���� ������ ���������� ����-�� �(�&��$� ��,

0� ������:N DNH3A !MH3<"�������"�=,

Page 57: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� '��

������������������������������� ������������

��A .�������� ��$����� �G�bG������ 0D31!1"A���''� �< 363 −+ <!,

������� ���������� �-����$��?������ �������$� *

��������� π���&��$� ��NHM 6<"�������������� 0 � ��������� ���� � π, ���� ����� ? ��������� ������ ��D3131"A��������� �����π&�����������&��*$� ��� � $<"1N 3<M !,)�� ����������� �

&�������� ��$� ������������:

=−+−=

=

"6MN

3MN

"$

�����:

=�

'��

�,

����''� ��������� �������������� ������2���' ��:�!<�

! D0�A

!<6

+

6

3

6

3<

!

7

�����5�"�

7,

���A ����� �������-�����-����G������������ ������ �-����$����������' � ��-����

���������� ������&��$� ��N!HM!H$! !N 6MH3HWDNHM 6A<",)� �����-���� �-����� ��� -���� �������� ��� �( ��'��� �� ������ ��� 3 6W< " �� ? ���

W<6

3��G��&��$� ��: =�

�'��

7*����� =−−++ ,

6,+

�A 2���������������������$�������� 2"DN"1M"1$"A������� π���&��$� ���NH=MH�$H�<"�������- ������D2"1πA<

!!!

"""

�=�

��$=M�N

++

+++,

���� ��� ��� 1������ 2D31613A�π���&��$� ��NHM $ !<"1�������:�D21πA<

333

!363

++

−−+<

!<

��,

��A )� ���� �-����$� �� ����� 2 � ���'���� ���� ����� � �� �&��$� ��: N < M < $ ?

�(�������$� ��������� α���������� ��2�����������������������-�����-�����ΣO�����*�� 2����'���������������&������ ����''� ��������$���2����������,

2��������������(�&��$� ��������� α��� ���������-���� ������������������:λDN MAHµDM $A<"������������� λ�µ��� � �G������� 2��������'�������

λD �AHµD�A<"�����λ<µ,������ αG��&��$� ��:���*�"�=,2�� ����������� �(�&��$� �� ����� �����-���� �-�����ΣO ���� ���� �� �� ��''� �� ? �� ��*

����$���2�����������,��'������ ���� ����G�� �������D�1�1�A�����������2���

�������:3�

3$

6�

6M

3�

3N

−=

−=

−,

������ ���������� ���?5<D31313AF��� ?��������� �������������2������� � ��

���������5���� 2?�'�����$�� 1 ����D� 3AHD� 6AHD� 3A<"������� #<"

�� ?�<!,��������������������� ������2���?������ �"D!1!1!A� ����� ����������*

� �� ��� �������� � �� ��� �� �� ��''� ������ ? �� ���'G�$$� ��� ��'����

�0

Σ

π •

Page 58: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

'�

2�"<!!! A!3DA!6DA!3D −+−+− < # ,

)(�&��$� ������������-�����-�����ΣO?DN 3A!HDM 6A!HD$ 3A!<# ����N!HM

!H$

! !N �M !$H3!<"������� �-����$��������G��&��$� ��:

====++++−−−−−−−−−−−−++++++++====−−−−

=��*��8��*��

=*����

,

������ � � ���������������(�&��$� ������������-�����-�����ΣO������� 2����'�������� ����� � ? &���� �� �������� �(�&��$� �� ����� '������� �����-���� �-����� �� ����� 2:

DN 3A!HDM 6A

!HD$ 3A

!<�

!��������������� ����� � �G����������==��� ���

�����-�����-�����'�����������������$� ��� ���������,0�� ����������������:

==

=−+−+−

$N

MN

�A3$DA6MDA3ND !!!!

������&��$� ����� ������?!DN 3A!HDN 6A

!<�

!1

����:�N! 3!NH3� �

!<",

)��������������(�&��$� ��� � � ������������������������������(�&��$� �����������,

6

c<�# +6H��

!<"�������

!<3�1�

!<#,)������-�����-�����ΣOG��&��$� ��:

DN 3A!HDM 6A

!HD$ 3A

!<# ���� N

!HM

!H$

! !N �M !$H3!<",

)����� �-����$��������G��&��$� ��:

=+−−−++=−

=��*��8��*��

=*���� ,

���A 2������������������� ����������-�����-�����b��/����� �2��� ��������������

������������2����������� �D31313A����������-�����-�����,)��������������������*

���-�����-�����������������BF�� ��&�����?������ ����/����� �2,)�������G� �&��$� ��:

==3$

3N �� � ������ � B G��� � �� � ������� �� � ��$� �� ��� �������:

=−−−++==

"$!M!N!$MN

3$

3N

!!!

�� ���

=−−−++==

"!M!!3M3

3$

3N

!

±=+±===

�3!33M

3$

3N

&�����:

�D313H � 13A�������2< !A�36D −− < ��− ,

BD313 � 13A������B2< !A�36D +− < ��+ ,

������ ��/����� ?�A�����! � ���B,

��A ������������-�����-����G����'�����b����( ��'���.��������' � ��-���� ����*

������ ��b�����������-�����-������������ .���''� ���� ���&��$� ��N!HM

!H$

!<",

����-���� G��&��$� ��:λDN!HM!H$! !N !M !$AHµDN!HM!H$!A<",���-���� �������-�����-����������������2�� ��������� ���� �G���� ����������

���� � ����-�� �(�&��$� ��:λD3H3#H3 ! � !AHµD3H3#H3A<"�����#λH3�µ<",2 ����� ���'�����λ< ��µ<3,0 �������� ������� ������(�&��$� �����-���� �� �������(�&��$� ������������-�����-�*

�����������: �DN!HM

!H$

! !N !M !$AHDN

!HM

!H$

!A<"�����:

���!��

��!�*

�����������*�"�=:

Page 59: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ''�

������������������������������� ������������

6,#

�A ����� �� �����-���� �-����G� �������� ��� �� ���� �-����$� σ �� �&��$� ��

=−=+−−++

"$N

"3M!N!$MN !!!

��G�?����� ���������$� ������������-�����-�����Σ��������� 1 ��������' � �� -���� ���������� ��Σ �������� �&�����G��� �&��$� ��N!HM

!H$

! !N !MH3HWDN $A<",� ���� �G�� ����� �������������������� *

� �������� ��&���� ����G��� ��������-�����-������� ������� ��������,�

���������� �(�&��$� �����-���� � ��N!HM

!H$

!HDW !AN !M W$H3<"�������

�G�������� �����'������������-�����-�����?�

−!

W131

!

W!,�

��� ���������������� M $<"��!

W3− <"�����W<!,�

)������-�����-������������G�&������&��$� ��:���!��

��!�*

��������*�!���"�=,

��A )���������'�����σ����� ���� 2D31313A?�(�������$� ��������� � ��������σ�G�G��&��$� ��N $<"�������� ���'������2����������-�����-������ ��������σ1�������� Σ�G�G��&��$� ��:N!HM!H$! !N !MH3<",2������������� �(�&��$� ��������� ���'���� �Σ ��2 �� ��V��������� �� ��' ����'���� ���������:NHMH$−DNH3A−DMH3AH3<" ����$−3<",)��������&��$� ���� ���������G� �������� �G�������� ��Σ?�D3131"A1������ ��2 �G�� �� �����D"1"13A�������� ���'�����Σ��2?������ ���2 �� ' ���������� ��2 �,)���������'������������������:

=−=−=*�

=�*,

���A 2����������������&��$� ������������������������� �G���������G�� ����*���-�����-�������� �� ���� �-����$�����''�

� �������� �G�������� � �����

�������� ������������$��;�G�?���������������� ���������' � ������' � ��

������� ����� ?����''� ��������� �-����$�����'����1�� ?�

�1��(�� ������?����''�

���Σ,��������< 333 −+ <3����������� ��

�� ������2���' ����G��;< !! �� − <

<�

33− <

!,

� ��������� �� '������ ���� αW ��� -�*

��� ���������������������� ��&��$� *��:NHMH$HW<"� ==��� �����������

W��� � �G���������$�������� �����

!,

�DαW1�A<�

W33 ++<

!�����D!HWA

!<!�G�G�������W< !± ! ,

�������������G��� &������&��$� ����!���!�*� ���±±±±� � �"�=,

;

��

Σ

αW•

Page 60: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

'4

6,7

�A )����� �-����$������ M$����������� ������� �D"1313A���''� !?�O��*�����$� ��������� M$���&��$� ��N<"�����������-�����-������������ ����''� !�G�G��&��$� ��N

!HDM 3A

!HD$ 3A

!<6&�����σG��&��$� ��:

==−−−++

=�

=�*���*�����

,

��A )���������'�����σ����� ���� 2D"131�A?�(�������$� ��������� � ��������σ�G�G��&��$� ��N<"�������� ���'������2������-���� ��������σ1�������� Σ,)(�&��$� ��������� ���'�����Σ��2����V �������� �����' ����'���� ���������:

MH�$−DMH3A−D$H�A−!<" ����!$−#<",)��������&��$� ������V ������� �������� �G� ������� ��Σ?�D"1313A1 ������ ��2 �G�� �� �����D"1"1!A�������� ���'�����Σ��2?������ ���2 �� ' ���������� ��2 �,)���������'�����������G��&��$� ��:

==−=�

=�*,

���A ����� �������-�����-����G������������ ������ �-����$�σ��������' � �� -���� ���������� 1�������� 1��Σ�������� M$� ��������σ,�����$$��� ��� � �������� 1

� ����� ����������(�&��$� ��� ��N!HM

!H$

! !M !$ !HWN<",2�������������

�������-�����-����G����-���� ���'����������������������G��� �������-�����-�����'�*

������� �������������������� ����� ����W�����&�������������G����� ��� ��$� ��

� ����,

=−=

=−−−+++

"6M

"$

"!$!M!WN$MN !!!

� �������� �� ������ �(�&��$� �� ��� ������

N!HWNH#<",�����&��$� ��G����������� ��������������� ����������������������:

∆<W! !6<"�����W<± !6 <±! # ,)������-�����-����G��������G��� &������*

&��$� ��:���!��

��!�*

��±±±±� 4 ��������*����"�=,

6,�

�A � ��������� �� �����-���� �-����G� Σ3 � Σ! � � � ������ � � �3

−!

41

!

�1" �

�!

−−!

31

!

31! �����''�������=� 36 ,������ �3�!< �" I! 36 ��������� �-�*

���$�� � �������,)����� �-����$��������$� ��?������ �-����$�=������-���� ����*

���-�����-����G����������� ��Σ3�Σ!��?� �������������� ��������,�

������ ����������-�����-����G����������- ���� ������(�&��$� ��������� ��������

�� ������-����� ����--����$�-�����&��$� ����Σ3�Σ!��������:���!����'*�!�;�"�=:�

��A .'�������-�����-������G�� ������������ �-����$�σ������������-���� ������*���� ��Σ3�Σ! ����G���Σ3�������� ������������������ ������ �A,�

)(�&��$� �������'������������-�����-��������-���� ����V&�������������:�

N!HM

!H$

!H�M 4$H

!

37HWD!NHM +$H4A<",

Page 61: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� '7�

������������������������������� ������������

�--���GR���� ����� ��������'������� MH!<"�( ��������������� !

W�+− D�G���

����������(�&��$� �����-���� A���������� !�&������� ������W<3,

)������-�����-������������G��&��$� ��:���!��

��!�*

��!����!�������*�!�

�'�"�=,�

6,4

� �����������������:

−==+=

�!$

�M

3�N

������� �-����$�σ:

=−+++++=++

"�$!M!N!$MN

3$MN!!!

!!!

:

�A �������-������G���������?� �������������� ��������� �-����$�Z����������*

� ���������(�&��$� ������������ �������� �G�?������ �����������-���� ����*

���-�����-����G����������� ����������-�����-����G��G������������� ��σ,2 ��GR��� *� �&��$� ��� � ������- ���� ������������������������� ��������?��--�������-��*

������--����$���������NHMH$ 3<",)�������?� �������������� ���������� �

�����2D�H31 �1 !�A����������� � ���� ����-�� �(�&��$� ��������� F� �������� ��

� �����������(�&��$� �����������-����3H�H� !� 3<"1�G�?��(�������,

��A 2���� ��������������G������� �

!�������� ��������� �-����$�Z����������*

� ��$����� ��� ��������������� ���σ,�? �(�������$� ��������� ��������π� ��(���������������-���� �� ?� �������������������������� �����&�����&�������-����

�-��������-���� D�������� N!HM

!H$

!<3������� �( ��'���A���������� �����π,

)�� �� ������������� ����������� �����π �&������������� ���(������������ � � D31313A�&������(������������G��&��$� ��N<M<$,

)�� ����������� � ��� ��$� ������������

==

=−++

$N

MN

"3$MN

�&�����:�

31

31

3,

������2D�H31�1 !�A������������G������� �

!����� ����' � � ���� :

2�<

!!!

3�!

3�

33�

−−+

−+

−+ <

!, ������� �� &������ �� �--������� �

���� ���� �������(�&��$� ��#�!H!�<"�G�G�� ��$� ���<"��<

3,

�������������� � &�����A���=��=B�

−�

�11 ,

���A 2��������������(�����������G� Z� ==��� ����������������''� ,� ��������*

� �������� ���-������-���� N!HM

!H$

!<3������� �( ��'������''� �<3����''�

���σ�� ���������������$� ������' �����!<�! D.�A

!,

������ D.�A!<

4

3H

4

3H

4

3<

3��������

!<3

3<

!��(������σ?π�!<

K�,

Page 62: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

'8

6,3"

�A )� ���� �-����$� σ �� �&��$� ��: =−−

=−−−++"$MN

"$!M!N!$MN !!!

? ���� � ��

�������$� ������������-�����-������������ �"D31313A���''� �< 333 ++ < � �

������� π���&��$� ��N−M−$<",������� ��σ?�(�������$� ��������� π���������������"���������� �����π�G�G�

�&��$� ��

−=−=+=

�3$

�3M

�3N

F������ ��������� ����' � ��� ����� ���������

=−−−=−=+=

"$MN

�3$

�3M

�3N

,

��������<�

3�&������

�11 ,

����''� ������� �������������� ������2���' ��:�!<�

!−D�"�A

!,

������ �"�<4

3

4

3

4

3++ <

���������<

�� − <

8:�

��A )����' �������&������ ��������� ���������������������( ��'���� � ��������3�����������.�����D��&���� �����' ���������������� �������� �������G�

���� ������ A������������ �����!��.�������������,

)�������3?������������������&�����G��&��$� ���!

$

�!

M

�6

N == ����:

==*�

���,

)� ����� �! �� ��V �������������

� ���������$� ��������� π� �*������� �� ���� �-����$� � ��� ���*

� πO������������� �����������*�� �3 � ��� ��������� ������ �� ���

&���� ���� � � �� � �$� ���� �

D!1313A,

)(�&��$� �� ��� ���� πO ? &�����!

!$

!M

6N −+−+

− <" ����

!NHMH$−6<"&�������������!G��&��$� ��

=−++

=−−=�*���

=*��,

6,33

�A � �������� ��-���� N!HM

!H$

! D!−WAN−D6HWAMHW$H6<"�(�&��$� �����*

�������-�����-��������-���� ������������D31313A�� �������������� ����W�G��������

��� ���� �G���� ����������� ����-�� �(�&��$� �����-���� :

3H3H3−!HW−6−WHWH6<", ����3HW<"1W<−3��(�&��$� ���������?:���!��

��!�*

������−−−−����−−−−�*�!���"�=:�

�.

�"

Σ

�3

�!

Page 63: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� ';�

������������������������������� ������������

��A ������� �����'������������-�����-��������-���� ?

−+−!

W1

!

W61

!

W!,5�����

������������� ����W�������������� ����� ����������: !!

W1"

!

W613

!

W!=

−=

+=

−,

)� �&��$� �� � � ��� �����=��� &�����+(+� 3-#-.3� +3)� <0-H#(� �+0� -�/35<#H#3� -<35#H0� 6#�

H3+.5(�A���=���B,

���A � �� ����� ��� � ������� ��A������ ����������������-�����-��������-�*

��� � ������ D!1313A�� ?������������� ����W�������������� ����� ����������:

3!

W13

!

W61!

!

W!=

−=

+=

−,

0� ������W<−!1�������-�����-�����G��&��$� ��N!HM!H$! 6N−!M−!$H6<"������ ��''� ?�5< 6336 −++ < � ,

��A ��������� ����''� �����'������������-�����-��������-���� ��-��$� ����W�

������ ���&������� ����W����3:�< 6!

W

!

W6

!

W!!!!

−+

++

−<3,

0��������� ����� ��������� W6

W

6

W

6

W !!!

−++ H!WH3H6−6<3 ����6

�W!HW<"��

���W<"�W<−�

6,

0�W<"������� ����������-�����-�����?A������=B1��W<−�

6������� ����������-�����-�*

����?

'11 ,

6,3!

)����� �-����$�γ���&��$� ��: =++−

=−−−++"�$!M!N

"�$!N�$MN !!!

?����� ���������$� ��

����������-�����-�����Σ"������� �"D61"13A���''� �< �33# ++ <+�������� π���&��$� ��N−!MH!$H�<",������� ��γ?�(�������$� ��������� π���������������"���������� �����π���&��*

$� ��

+=−=+=

3�!$

�!M

6�N

F ������ ��������� ����' � ��� ����� ���������

=++−+=

−=+=

"�$!M!N

3�!$

�!M

6�N

,

��������<−3�&������γγγγA������−−−−�B,����''� ���γ������ �������������� ������2���' ��:�

!<�

!−D�"�γA

!,

������ �"�γ< 663 ++ <���������< 4!+ − <�,

)����� �-����$������� �-����$�=������-���� �������-�����-����G����������� ��

Σ"���πF����?� ���������Σ�����������-�����-�����������������-���� Φ���&��$� *

��λDN!HM!H$!−�N−!$−�AHµDN−!MH!$H�A<",2 ��GR����������-�����-����G���Φ�������λ≠"����V� ���W<µ>λ����������(�&��$� �������'������������-�����-�*�������-���� � ���� � �������� DN

!HM

!H$

!−�N−!$−�AHWDN−!MH!$H�A<"

Page 64: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)
Page 65: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 4��

������������������������������� ������������

6,36

�A ��� � ���������5������������?���� ' ����������52"� ��2"?��'������

���� ����&����������� �������� � D�!1! �13H!�A,

)��&��$� ������������G����� � � � &�����:!�!3

!$

�!

M

N! −+

−=

−= ���� :

−−−=−=−

A!$D�A!$D!M�M!

M�NA�!D !

������ �����(�&��$� ���������������������������������*

���� �,

−+=−+=−

A!$D!MA!$M!D�

M�NA�!D !

�������� � �����

��� ��� �&��$� ��: � <A!$DM!

A!$D!M

−+

−+ � � ���*

����� � ����������:!

A!$DM!

A!$D!MM

A!$DM!

A!$D!M!N

−+−+=

−+−+− ,

���'���� ����� ���� ������:

��A���!�*���B�"�A��!��*���B�,�

��A 2�����������&����������������������������������������- ��������������

������ &�������� � ���������� '������ ���� 2"D�!1! �13H!�A,

)�������?� �������������� !MH$ +<"����� ������������ '������ ���� 2"

��� ����-�� ��������������(�&��$� ��,0 �������� :6 !�H3H!� +<"�� ?"<"

�G�?��(��������)0�H�5�0�,H(+.3+�.0�+3)�/#0+(,

)�������?� �������������� NHMH$ �<"����� ������������ '������ ����

2"��� ����-�� ��������������(�&��$� ��,0 �������� :�!H! �H3H!� �<" ����

�!H�<"�G�?��(�&��$� ������� �� '��� ������ ��$� ������������ 6�3�/�+.#�6#�

#+.35-3*#(+3�.50�)0�H�5�0�36�#)�/#0+(,

)�������?� �������������� N MH$H+<"����� ������������ '������ ����

2"��� ����-�� ��������������(�&��$� ��,0 �������� :�! !H�H3H!�H+<" ����

�!H��H6<"�G�?��(�&��$� ������� �� '��� � ��������������∆<4 3#< 7I"1

&�����+(+�3-#-.(+(�/�+.#�6#�#+.35-3*#(+3�.50�)0�H�5�0�36�#)�/#0+(,�

6,3+

�A � ��������������� �-����$��&��$� ��:

=+−−++=−−−++"3$!M!$MN

"3M!N!$MN!!!

!!!

�����*

� π�G���� ������?������ �����������-���� Φ�������-�����-����G����������� �����

��������-�����-����G�����������,)(�&��$� ��������� ���������� ������-����� ����-*

-����$�������&��$� ���������������-�����-����G��G����������� ��-���� 1� ��GR����

�&��$� ��� � ��- ���� �����,����������*�!���"�=,

��A )������-�����-�����������σ� ������ �-����$��������? �������-�����-�����

���-���� Φ����������� ������� π,��-���� Φ��V���������������� ������������������-�����-����G�������&��$� ����σ���� ���$�������� 1 ��/ �������������1�������� ��� ����� ��� �����-���� �-����G� �� ��

���� πF �� ����&��$� ��?&�����:N!HM!H$! !N !M 3HWDN $H3A<" ����N!HM

!H$

! D! WAN !M W$ 3HW<",������� �����'������������-�����-�������Φ?

2"��

5

Page 66: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

4�

Page 67: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 4��

������������������������������� ������������

��� �� ��''� �<������ �����-���� �-����G�

������������''� �����������$� ��:�!<�

!HD��OA

!

&�����D��OA!<�

! �

!<4 +<6,

� ������ �O ����� �����-���� �-����G� �������

��� � �����������$�!���������� W <!

���������� � �OD!1 31!A��OOD!1 31−!A,)� �&��$� �� ����� �����-���� �-����G� � � :

���!��

��!�*

������!����±±±±��*�"�=:

��A ��� � ������� ���������5D"1"1+A�������������� ' ����������52"����*

�������2"��σ,��'������ ���� 2"DN"1M"1$"A��σG�� ��������G���� ����-�� ���&��$� ��:

=

=−−+"$

"M!N6MN

"

""!

"!

" ,

)��&��$� ������������G�����������52"� �

−+===

�A+$D+$

�MM

�NN

"

"

"

,

������ ���� � ����&������ ����-������&��$� ��

−+====

=−−+

�A+$D+$

�MM

�NN

"$

"M!N6MN

"

"

"

"

""!

"!

"

��O�&��*

$� ���������������� � �� ��������������� ����������N"1M"1$"1�-�������&���&��*

$� ��,�������$"<"1�<+

$+ −�&�����N"<

$+

N+

��M"<$+

M+

,0 �������� ������� ��

������������������&���&��$� ���� ������:�'���!��'�

����=�A'��*B�!��=�A'��*B�"�=,

6,37

�A ��� � � � �� ���������5D 31�1"A� ������������� ���(����M��������������

���� �D"1!13AG�� ����������������5������������(����M:N< 31$<"��������

'����������?��������5���&��$� ��:3

$

�!

�M

3

3N=

−=

+,������� � �2D�1! �1�H3A��

'������ ���� �����������5���&��$� ������������G����� � � � �(�������$� �����

���� ���2��������� �������(����D���&��$� ��M<! �A�����������-�����-����������*

�� 5���''� 52&������

++−−++=+−++−=

!!!!!! A3�DA��!DA3�D$A�MDA3ND

�!M

��

�O

•�OO

Page 68: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

4�

+=+−++−=

!!!! A3�D�$A�MDA3ND

M!�� �������� ����� ������� ��� �� ������:

DNH3A!HDM �A

!H$

!<�D! MH3A

!�����A��!��B

����A����B

��!�*

��"�=,

��A � ��������� �������������� � ��������� �������,

=+−−+=

"$A�MD!A3ND

"N!!!

�� ��������� ����������� M$:�3 !DM �A!H$

!<" ����

!DM �A! $

!<3�G�?��(#/352()3,

=+−−+=

"$A�MD!A3ND

"M!!!

�� ��������� ����������� N$:�DNH3A!H$

!<3��G�?���

H#5H(+<353+*0������� D 31"1"A,

=+−−+=

"$A�MD!A3ND

"$!!!

�� ��������� ����������� NM:�DNH3A! !DM �A

!<" �*

��� KDNH3AH ! DM �ALKDNH3A ! DM �AL<"�G�?���H(+#H0�-39/)#H393+.3�63�

D3+353,�

6,3�

� ��������� �� ����� �:

=−−+=++−

"3$MN!

"3$MN � ����� �� ����� ��� �����������$� �� ��/

������������������� ����������������-���� ������ �������,0 ����� ���&��$� ��

������������� �������(�&��$� ��������� �N<" ����N<",8����� ����--����$����

&����(�������&��$� ���&������������ ���� ��� �� ������M−$−3<",)���������������V���G��������������� ��

=−−

="3$M

"N,

�A 2��������������(�&��$� ������������-����Σ'������������� ��$� �������� �� ���(���� M

=="$

"N������ ��$����� �� � ��������� �(����M,)� � ������� ����(���������

���� � ����� � ��� ��$� ������������- ���� ������ � �&��$� ��

==

=−−=

"$

"N

"3$M

"N

,

0� ������

===

"$

3M

"N

&���������������� � �����������5D"131"A,

)������-����Σ?&�������� � ���������5,����� � ?���� ' 1���������������1���*������ �-����$��������$� ��������� ������������� �������(����M�������-��������*

�� 5���''� �5,)�� �����������������G��������� ���� �� � �������������*

&��$� ������ ���� $<���������� D"13H�1�AF������ ������������� �������(����M

G��&��$� ��M<�H3��������-�����-������������ 5���''� �5< !! �A3�3D +−+ G�

�&��$� ��N!HDM−3A!H$!<!�!,

Page 69: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 4'�

������������������������������� ������������

)��&��$� ������������G���� � &�����

=+−++=

!!!! �!$A3MDN

3�M,

� ==��� ������������������� ����������&��$� ������������,

������������ �������<M−3�� �������� �������� �����G��(�&��$� ������������-�*���Σ:���−−−−�A��−−−−��B��!�*��"�=:�

��A )����� �-����$��������$� ������������-����� ������� M<�G�� ���&��*

$� ��: =

=+−−�M

"$A3MDN !!!

,0 �������� ����(�&��$� ����ΣM<�����V�������������

������ �-����$����� � ��/��������:

=−+=

"6$N

�M!! � ���������$� ��������� M<�

������������ � ������������� ���(����M�G�G�� ����$� ������������� �-����$���

����� D"1W1"A���''� !,

������� M<��� �������G�������� ��������� �-����$�?�A=�����=B��5�"��:

6,34

�A � ��������� �� ����� �:

=−++=−+

"�$!

�M!N

"#$�N! � �(����$

=="M

"N ��� �����������O�*

�������� ���� � ���� � � �� � ��$� �� ��� ������� - ���� ����� � � �&��$� ��

==

=−++=−+

"M

"N

"�$!

�M!N

"#$�N!

,0� ������

===

!$

"M

"N

&���������������� � �����������5D"1"1!A,

��A )������-����� � ���'������������� ��$� �������� �� ���(����$?&�������� *

� ���������5,����� � ?���� ' 1���������������1��������� �-����$��������$� ��

������� ������������� �������(����$�����������-�����-������������ 5���''� �5,

)�� �����������������G��������� ���� �� � ��������������� N��M��-��$� ��

��$������&��$� ������� ���� $<����������

−�1"1

!

��#F������ ������������*

� �������(����$G��&��$� ��$<���������-�����-������������ 5���''� �5G��&��*

$� ��N!HM

!HD$−!A!<

!

!

��#

−HD�−!A!,

� ==��� &������������������������ ����������&��$� ������������,

������������ ������$<���������-����ΣG��&��$� ��:���!����−−−−��

*�4

−"�=:

���A )����� �-����$��������$� ������������-����� ������� $<"G�� ���&��*

$� ��

==

−−+

"$

"!

$�#MN

!!!

,

0 �������� ����(�&��$� ����Σ$<"����V������������������� �-����$����� � ��/

Page 70: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

44

��������: =

=−+"$

"4MN !!

� ���������$� ��������� � ���������� ,

������� $<"�� �������G�������� ��������� �-����$�?�( ��'���D"1"1"A��5�"��,

6,!"

�A )������-�����-������������ �( ��'�������'�����πG�� ����''� ��������$���

.��π �����<�D.1πA<#

6

633

6=

++�������&��$� ��?N

!HM

!H$

!<

#

3# ���*

�G�:�A���!��

��!�*

�B�−−−−�8�"�=,

��A ��� � ���������5����� ������ ���������-�����-�����Σ?���� ' �������������5����'�����Σ,2���������������(�&��$� ������������� ����� �����������&��$� ����*

��������G������'���������������5����� ����G�������'�������������-�����-�����Σ1�� ?�G���������G�Σ����������� ���������,

)��&��$� ������������G������'�����������������������5� � :

+===

���$

��M

��N

,

8����� ������������&������&��$� ����(�&��$� ������������-�����-������� �������O�*

&��$� ����� ������:��!�!H��

!�!H�D�H��A

!−�<" ������!D�!H�!

H�!A−3���H34<",

�����&��$� ��- ���������� ����������������������$� �������*�����-�����-�����:�--��*

�GR���������� ������� ����������∆>6<"�� ?:�3�!−+7D�!H�!H�

!A<" ����

��!−34�!−34�!

<",

�������� �1����������&��$� ������������G������������� �������G��1����� �

��������������� �� � �$� ���� �� N1 M1 $ − � � � �������� ����� ����$� �� ������������������������ �������(�&��$� ������ � :�;�

��!��;�

��−−−−�8A*�−−−−��B��"�=:�

6,!3

�A 2������������� �(�&��$� ������������ ���� ������ ����������-�����-������ �

'����������������$� ������'��������V�� ������������� ��,

�`��� � , 0������� ���&��$� ������������G������'������������������������$� ��

����'��������� ����G�������'�������������-�����-�����Σ1�� ?�G���������G�Σ����������� ���������,

2 ��GR������ ���� �?�������� ������ NM '��'������������������������� NM����

���� 2D�1 &1 "A,0������� �� �&��$� ������������G������ �������������� �� ���� ��� �

�����������2:

=+=+=

�$

�&M

���N

,8����� ������������&������&��$� ����(�&��$� ���������*

���-���� �-����� �� ������ �(�&��$� �� ��� ������: D� H �$A! H D& H $A

! H $

!−6 < " ����33$

!H!$D��H&AH�

!H&

!−6<",�����&��$� ��- ���������� ����$�����������������$� �������*�����-�����-�����:�--��*

�GR���������� ������� ����������∆>6<"�� ?:D��H&A!−33D�!H&!−6A<",�������� ��&������&��$� ������������G������������� �������<N−�$�&<M−$�� �������� ���������$� �� ������������������������ �������(�&��$� ������������ :

D�N−4$HM−$A!−33KDN−�$A!HDM−$A!−6L<",

Page 71: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 47�

������������������������������� ������������

�����1���������� ����� ��1��G�:���!�'�

��!�'*

��−−−−�����−−−−���*�−−−−��*�−−−−����"�=:�

��`��� � ��������������&��$� ������������������� ?��������� �-����$��������$� ��

����������-�����-�����Σ� ������� π������������������ .D"1"1"A��Σ���������� *���������� ���,�������� πG��&��$� ���NHMH$<"D��� ����� �G��� �--���������N1M1$����(�&��$� ��������� � � ��� �� ������������� ������� � �����A�����*

��������G�&������&��$� �� =++

=++"$MN�

6$MN !!!

,

��������� ?���� ' ���������������������������������������� DX1Y19A����������*

�����,

0������� ���&��$� ������������G���������������� ���$� ���--���GRDX1Y19A�����*

���'����������������� ��������������������&���&��$� �������������X1Y191������*

������ ����������������������(�&��$� ������������ ,

=++=++

+=+=+=

69YX

"9YX�

�9$

�YM

��XN

!!!

�����

=++=−+−+−

−=−=−=

69YX

"�$�M�4N�

�$9

�MY

��NX

!!!

=++

++−=

++−=

++−=

++=

69YX

33

$MN�$9

33

$MN�MY

33

$MN��NX

33

$MN��

!!!

!!!

33

MN�$3"

33

$N�M3"

33

$�M�N!

−−+

−−+

−−<6,

0��������� ����� ���� ������:���!�'�

��!�'*

��−−−−�����−−−−���*�−−−−��*�−−−−����"�=:�

���`��� � 0���V��-���� ������������������ ������ � ��������� ���� �������� �*

������������ �� ��������� ������� .����������-�����-�����Σ�����$� ����������������� ������''� �'��������''� ��Σ1�� ?!,)�������G��&��$� ��

3

$

3

M

N== ����

==

$M

$�N,������ 2DX1Y19A�����������������*

�� ����������$���2���?!,2����� �������� ���$� ������������� ��� ���������

������ ;�������$� ������ ������� α���2��������� �������:��������$���2���?��������$�2;,������ αG��&��$� ���DN−XAHDM−YAHD$−9A<"F����������� �

� ����������� ������:

==

=−−−++

$M

$�N

"9YX�$MN�

==

++=

$M

$�N

9YX�$33

&�����:

;( )

++++++

33

9YX�1

33

9YX�1

33

9YX��,

��� ���� ���D21;A<!:!

X33

A9YX�D�

−++H

!

Y33

9YX�

−++H

!

933

9YX�

−++ < 6 �G� ? ����������� ��

� ���$� �� �� ���� � � �� ��� �� ��� � , 0��������� � ���� �� �� ������ �� �������

�(�&��$� �����!�'�

��!�'*

��−−−−�����−−−−���*�−−−−��*�−−−−����"�=:

Page 72: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

48

��A )������N<M<$G���������������� ���� � �$� �����D31313A��?�����������

���� �� 5D31 31 3A,� �� ���� α �������� �� ���� ��� �� 5 � �������� ���� G� �&��$� ��

333

33�

3$M3N −−

<" ����:��−−−−�*�!���"�=:�

���A 2���������� ��� ��$� ��������� α ������� ���������-�����-������G�G������ ����O ��'������''� !���� ���� ��������$�������� α��.:�Dα1.A<

!

3,

�������!

3I!&�����#)�/#0+(�αααα�,�-3H0+.3�)0�-�/35<#H#3�-<35#H0,

6,!!

�A )���������-�����-����G��������������� ��-���� :

λDN!HM!H$! �N !$−�AHµDN!HM!H$! 7N !M−+A<",������ ��������π���-�*��� �� ������-����� ����--����$�������&��$� ���������������-�����-����G��G�� �

������- ���� �����F��� G��&��$� ��:��−−−−����!��*�!���"�=,2������-�������π?��������������-�����-����G�� ����� ����������� �������������1

�� ������ Σ31 � � �-� ����� �� ������$� ��π ��� ����� �3D61 "1 3A ��Σ3 � � �� ��''�

�3< �33# ++ <+,

��������D�31πA<663

�!6

++

++<

4<�I+<�3&������������������-�����-����G�,

��A 5����� ����������� ����� ���������������� ���� ������ ����������-�����-�*

������ �'������������������������� ��%1�� ?���(����$,

�`��� � *2 ����� � �������������������� � ���� ' ����������������������(����$�

���'�������������-�����-�����,���'������������������������(����$G��&��$� ��

==&M

�N

�����������'�����Σ3��G�� �Σ3����������$� ��� ����,

)� �������$� ��� � ��� ��$� ������������

=−−−++==

"�$!N�$MN

&M

�N

!!!

�G�G��&��*

$� ����� ������$!−!$H�!H&!−��−�<",

)�����������$� ��� ����� � ���������������������(�&��$� ������� �� '��� ����*

������� ?3−�!−&!H��H�<",0 �������� �� �N�&� �M�� �������(�&��$� ������������ :�

��!��

��−−−−�8��−−−−�;�"�=:�

��`��� � 2 ����� ��������������&��$� ������������������� ?��������� �-����$���*

�����$� ������������-�����-�����Σ3� ������� α������������������ .D61"13A��Σ���������� ���������� ��%,�������� G��&��$� ��$<3D��� ����� �G��� �--���������

N1M1$����(�&��$� ��������� � � ��� �� ������������� ������� � �����A�����*

��������G�&������&��$� �� =

=−−−++3$

"�$!N�$MN !!!

,

Page 73: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 4;�

������������������������������� ������������

��������� ?���� ' ��������������������%������������������ DX1Y19A�������������*

��,���������G��� �&��$� ��N<X1M<Y,

0������� ��� ���$� ���--���GRDX1Y19A��������'����������������� �����������������

&����� �&��$� �������������X1Y19����������� ����������������������(�&��$� ��

��� �������

=−−−++===

"�9!X�9YX

39

YM

XN

!!!

�� ��� N! H M

! H 3− �N− !− � < " ����

���!��

��−−−−�8��−−−−�;�"�=:�

6,!�

��������� ������� ������������������ �-����$�γ

=++=

3#$MN

"N!!! �'���������������*

��������������

=+=!$

3NM?���� ' ��������������������������� 2�G����������*

�����������������,

.������� �G����������������� ������ � �� � �$� �����D3131"A������������� ���*

������2� �D�1=1�A���&��$� ������������G����������� � � ����������&��$� ����*

��������G������������������ ���$� ���--���GR2��������'��γ:

=++==+=+=

3#�=�

"�

�$

�=M

��N

!!!

,

�������� ����������:�<"1�<N1=<M−N1�<$�� �������� ������(�������&��$� ����

�������(�&��$� ���������������������� :A−−−−��!��B��!�*��"��4:�

6,!6

�A ��� ����� �G�������������� � �'G��=���� �� � �R����������R���������,

)���������������V����������- ��������������� ���� ���������&��$� ��M<����*

�����

+==+=

3�!$

�M

3��N

,��� ���������������� ��� � &������� � �$� �����D�131!A�� �� �

&��������� � �$� ��� ����������������� ��D31"1"A����(����N,)���������� �� �

&��������������,)(������������� ���������$� ��������(����NG�� ��� ���������� *

��$� ������������- ���� ������&��$� ���������������:

==

=−−=−−

"$

"M

"3M!$

"3M�N

,

2 ��GR� �������� �����$����&������&��$� ���������� ����� ������−3<"���������?

��� ���=��������������� �G��� �������� ����,

��A )������-����Σ'������������� ��$� �������� �� ���(����N?���� ' ��������*� �-����$������������������ �D��H31�1!�H3A���� ��������������� ��������� *

Page 74: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

7=

�������(����N�� �������� ����(����,����������� �-����$�����V�������������� ��

�������$� ��������� �������������� �������(����N1���&��$� ��N<��H31������

�����-�����-���������������� �������� -��� ����(����N1�������� �( ��'���1����*

���������,���������-�����-�����G��&��$� ��N!HM

!H$

!<D��H3A

!H�

!HD!�H3A

!,

)��&��$� ����������� �-����$�����������������&������������������������� �� *

� ���&��$� ������������G�����������-������� ��$� ��:

++++=+++=

!!!!!! A3�!D�A3��D$MN

3��N,

��������� ���������� ��� �������(�&��$� ��������������Σ,0��������<�

3N −�� ���*

����� :N!HM

!H$

!<N

!H

!!

�!N!

3N

+−+

−�����1���������� ����� ��:

'���−−−−�;���−−−−�;*��!����!���"�=,�

6,!+

�A ��� ����� �G�������������� � �'G��=���� �� � �R����������R���������,

)�������:

==M$

MN����������- ��������������

===

�$

�M

�N

��G���������������� ���� � �*

$� �����D31313A,)�������?������- ����������������G���������������� ���� � �*

$� �����D31−313A,2 ��GR���������������� ���������������� �� � ���� � �$� ��5�36�

-�+(+�-(+(�/050))3)3:�)�� ������������������������ ���������$� ����������� �*

���' � ��� ����� ���������- ���� ������ � �&��$� ��:

=−=+=

==

�$

�3M

3�N

M$

MN

,

�(�������� ����-������G������������?��� �����=�����&���� � �������� �����$����

&������&��$� �������������� �������H3<3−�������<"�N<M<3�G�?��� ���*

��=���� ������ ���$<M<3������� ����&�����$<�<",����������� �G��� �����

��� ������ ������� ����������������5�36�-�-(+(�-DJ3923,

��A 2�����������(�&��$� ������������-����� � ���'������������� ��$� �������� �*

� �������������� �������������� ���1�������� �( ��'���1� ���'������ ����

0D�H313−�1�A�G���������D��� ����� ���&��$� ������������G����A,

)������-�����������?���� ' 1�����������01��������� �-����$��������$� ��������� π���0��������� ������������������-�����-�����Σ������� .���''� .0,������ πG��&��$� ��DN−�−3AHDM−3H�AHD$−�A<" ����NHMH$−!<���������-�����-�����ΣG��&��$� ��N!HM!H$!<3H!�H�!H3−!�H�!H�!,� ==��� ������������������� ����������&��$� ������������,0 �������� ����� ����

������������������� ����� ������:N!HM

!H$

!<�DNHMH$−!A!H!,

0��������� ����� ��:���!��

��!�*

��!�����!���*�!���*�−−−−�4A��!���!�*B�!�7�"�=,

Page 75: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 7��

������������������������������� ������������

6,!#

2�����������(�&��$� ������������-����� � ���'������������� ��$� �������� �� ���

����������� �������������� ���1�������� 0<D"1313A� ������� �D�H31!�1�A

�G���������,

)������-�����������?���� ' 1������������1��������� �-����$��������$� ���������

������������� ����������&��$� ��$<������������-�����-������������ 0���''�

�0���&��$� ��N!HDM 3A

!HD$−3A!<D�H3A!HD!� 3A!HD�−3A!,� ==��� &�����

��������� ���������� ���� �������

−+−++=−+−+=

!!!!!! A3�DA3�!DA3�DA3$DA3MDN

�$

��������-����G��&��$� ��N!HDM 3A

!HD$−3A!<D$H3A!HD!$ 3A!HD$−3A!�� ?:

���!��

���'*

������!��*����"�=,

6,!7

����������� ��������� ������������� ��,

�� � ,

���'����������'���������� ?�����������������������(�����,���������������� �����

� � �� � �$� �����D3131"A���'����������G��&��$� ��

=+=+=

6$

�3M

�!N

,��������� ?����*

���-����'������������� ��$� ����'��� �� ���,

2������������(�&��$� ������������� �������������� ���1�������� �<D"131!A�

� ������� %D!H�13H�16A�G��������',

)������-�����������?���� ' 1�����������%1��������� �-����$��������$� ���������

���%��������� ����������&��$� ��N−!−�HM−3−�<" ����NHM−�<!������������-�����-������������ ����''� �%���&��$� ��

N!HDM 3A

!HD$−!A!<D!H�A!HD3H� 3A!HD6−!A! ����

N!HDM 3A

!HD$−!A!<!�!H6�H�,

� ==��� &������������������������ �����������

++=−+−+=−+

��6�!A!$DA3MDN

�!�MN!!!! ,�����������&��$� �����������<

!

�MN −+F� ���*

����� �������� ����������N!HDM 3A

!HD$−!A!< �

!

�MN6

!

�MN!

!

+

−++

−+,

0��������� ����� ���������:���!��

��!��*

�������!����−−−−����−−−−�8*����"�=,

��� � ,

��������� ������ G�� ������������������� �-����$�������� π������������� �������1����������� ������� ;���������$� ����π� ���������������,�������� �-�*���$�����V�������������� ���������$� ��������� π���&��$� ��NHM �<"������&�����&�������-�����-���������������� ����������������,

0���� �D"131!A� ������ ���1����''� ����������-�����-������������ ����������

����?�<��< 66+ < � ��������-�����-�����G��&��$� ��N!HDM−3A!HD$−!A!<�

)������������G��&��$� �� =−+

=−−−++"�MN

"�$6M!$MN !!!

1����� ��������� ����� ��,

��������� ?���� ' ����������������������(������&����������� ��D3131"A������������

Page 76: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � �5 0����-����� ��� ��

������������ ���

7�

������ DX1Y19A�G���������������������:���������G��� �&��$� ��

=−=−

9$

YMXN,

0������� ��� ���$� ���--���GRDX1Y19A��������'����������������� �����������������

&����� �&��$� �������������X1Y19����������� ����������������������(�&��$� ��

����������

=−−−++=−+

=−=−

"�96Y!9YX

"�YX

9$

YMXN

!!!

�������������������$��&��$� ����� �� �

��������X<!

�MN +−���Y<

!

�MN ++−F� �������� ���� ����X1Y�9�����&������*

&��$� ���� ���������!��

��!��*

�������!����−−−−����−−−−�8*����"�=:�

���� � ,

��������� ����V�������� ���� ' ����������DX1Y19A����������-�����-����G����'��*

���������������''� ��������$��������(�����,2������ ��������������$�� ��������*

� ������ �D�13H�1!A�G��������������������� ���&������� ����������� ���−�D!−�1−�1!A?��������� ������������������������ ��D3131"A,��� ���� ��� ���$� ��

����������� ������� ������!−�−�<"������<3����������������������� ����������?�"D31!1!A,)�������$�������?��������$�������"�� ? #633 =++ ,

����������� ���(�&��$� ������������ � ���� ' �������������������-�����-����G�

DN−XA!HDM−YA!HD$−9A!<#���'�������,)� �������$� �� ����� �����-���� �-����G� � � � � � �� � ��$� �� ��� �������

=+=

=−+−+−

!$

N3M

#A9$DAYMDAXND !!!

������&��$� ����� ������?

DN−XA!HD3HN−YA!HD!−9A!<# ����!N

!−!DXHY−3ANHX!

HY!H9

!−!Y−69−3<",)�����������������&��$� ��� *

� � �����������∆>6<DXHY−3A!−!DX!HY

!H9

!−!Y−69−3A<",

�--������� ����� ���� ������−X!−Y!

−!9!H!XY−!XH!YH�9H�<",

���� ' �������������������-�����-����G�����''� # ����'�������?&�����

���!��

��!��*

�������!����−−−−����−−−−�8*����"�=:

• •

'�

�;

��

Page 77: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 7��

������������������������������� ������������

������������

�������

+,3*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �����������:

�A �(�&��$� ������(�������������-� �G���������83D"1"A��8!D!1!A�����������'*

'� �����' �F

��A ������� �'�������������������F

���A �(�&��$� ����� �����������������,

+,!*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����:

N! 6NM M

! �NH3"M<",��������������� 1�&��$� ����� ����1����� 1����������� ��,

+,�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����

σ:!N! �M!H#N !MH�<",�����������:

�A ��� 1�&��$� ����� ����1����� 1�������������������� ����σF��A �(�&��$� ������������� ����������� �D31!A������� �σ,

+,6*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ���������*

� �-����$��&��$� ��N!HM!<6������ ���� 2D!1"A,�����������:

�A �(�&��$� �����-���� ��� ���G����'������������ �-����$�σ��2���������������������$� ����σ� ��(����MF��A ��� ���G���'��������-���� ����������������= ��F

���A ���������������������= ��� ���'��������-���� ,

+,+*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����:

!N!H�NMHM

! 3"N 7MH3!<":

�A ����-������G�?��'�����F

��A �������������������������� ���������$$����� �������������� � ��� ,

+,#*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����

�:�N! !NMH�M

!H!NH!M<",�����������:

�A ��� 1�&��$� ����� ����1����� 1�������������������� ��F

��A �(�&��$� ������(����= ���&�����������'����������� ���������������$� ��� �

�O����MF

���A �O�&��$� ����������� �-����$����'��������D"1"A������������������ D31!A,

+,7*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ �������1����*

���������������� �����W1��� �������&��$� ��N! NMHWM

! D!HWANH�M �−W<":

�A �������&������� ����W�� �������������= ��F

��A ����������������= ����- ������ ����,

+,�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����

�����&��$� ��N!HM

! !NM !N !M<",�����������:

�A �(�&��$� �����-���� ��� ���G����'����������( ��'����������� �D!1"A1����*

������� ����� ���G���'�����F

��A �(�&��$� ������(����= ����������������-���� ��������������� � �������� ����

�����N +MH3<",

Page 78: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

7�

+,4*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ����

�:N! !NM !M

!HNH!M<",�����������:

�A ��� ������ �������&��$� ����� ����F

��A �(�&��$� �����������= ����� ������ � ������������ � �����O�� �&��$� ��

DN MADNH3A<",

+,3" *������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ � � ���� ��

���� �-����$����&��$� ��:N!HM! !<"������������&��$� ��NHM 3<",�����������:

�A �O�&��$� ����������� �-����$�������������O ��'�������������� ���������F��A �(�&��$� �� ����� ����= �� � � ��'����� =����'���� ���� ���� �-����$�à ��� �� ���������������$� ��� ���������F

���A ����1����������&��$� ����� ��������������= ��,

+,33*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ���������� *

������&��$� ��:N! !NMHM!H6DNHM 3A<",�����������:�

�A ��� ������ �������&��$� ����� ����F

��A �(�&��$� �����-���� ��� ���G����������� ����������� �-����$��&��*$� ��N

!HM

!H!NH!M !<"����������������� ���G���'�����,

+,3!*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ��*

�����&��$� ��:!N! !NM !M 3<":�A ������?��'�����1����������������� 1����� 1�������������������� ��F

��A ����� � ����� ����������� �� à ����������� �� ������� � ���'�� ���� ����$� ��

�∞D31!1"A,

+,3�*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?������� ��*

�����&��$� ��:!N! !NMHM!H!M<":�A ������?��'�����1����������������� 1����� 1�������������������� ��F

��A ������ ���������������������������������&��$� ��NHM !<"����������*

����� � D������?��� ����A,

+,36*������� ��-���� �������������������� �� � ������ � ������ ?��� ��-����

��� ���G�:λDN!HNMHM! NHM !AHµM!<",�����������:

�A ��� ���G���'��������-���� �������������������� ���� � �� ����������F

��A ��� ���������������=�����B���-���� F

���A ������= ��� ���'��������-���� ,

+,3+*������� �����+N!H6NMH!M

! #NH3<":

�A ����-������G���� ����� �?��'�������?����� �������� F

��A ������������������� �'������F

���A ����-������G�������23D!1"A12!D�1 6A12�D7>+1 #>+A- ���� �������' � ��� � *

����,

+,3# *������� ��-���� ���� ���������������� �� � ������ � ������ �����������

�(�&��$� �����-���� ��� ���G������������������������������� '������������������*

�������������������:N M<"FN MH+<"FNH3<"FN 6<",

������������(�&��$� ������(����= ����������������-���� ��������������� � �������*

� ���������NHM !<",

Page 79: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 7'�

������������������������������� ������������

�()�*#(+#�

+,3

�A )(�������?���� ' �����������������-� �G�������$�� �� ���� �������'����

��� ��� ��������'G�$$��������������''� ��1�� ?��������2�����G�:

283H28!<!�<#,

���� ���� ����������$�������� #A!MDA!NDMN !!!! =−+−++ ,

������� ��&������ 1� � ������ ��� ����������1�� ������:

N! 6NH6HM

! 6MH6<�#HN

!HM

! 3! !! MN + �����3! !! MN + <!�H6NH6M,

0�����-����� ���6��������� ��&������ �� ������:

4N!H4M

!<64H36NH36MH!NMHN

!HM

!,

)(��������������G��&��$� ��:8���!�8�

�������������������;�"�=:�

��A ������� ����(�������?������ ���� ��-� �G�&�������"�A����B,

)(����- ����?�����������-� �G�&�����G��&��$� ����"����(������������ ?�����*

������ �������(����- �������������� �,

)�����&��$� ���������N 3HM 3<" ������!������"�=,

���A )(�&��$� ����� ��������(�����������������������'�������������������,

�<

6477

7�3

73�

−−−

−−

−−

< �4#4 ���<�3

3�

<#� �<�H�<3#,

�������� � �)X!H�Y

!H�<"��- ������ �����������1�� �--�������)1�1���� *

� � ����-������ ���$� ��

=+=−=

3#�)

#�)�

�4#4)��

������< #�

�4#4< #���)��� � ��� *

��$� ������(�&��$� ������������$! 3#$H#�<"�G�G�������$<4�$<7,

��(�&��$� ����� �����������&�����:7L��!�;M

���4��"�=D �����;L

��!�7M

���4��"�=A,

� ���� �G���&���� ��� ��� �������������������������(�&��$� ����� ��������O�����*

�������� � �� �G������-������� ��� ��� ����?������ 3=

Y

X!

!

!

!

=+ � ���?�����*

'G�$$��������������''� �����������! =

!<�

!��?����������������$�-���-� �G�,

���� ��� ��� �<�1�< !33 =+ 1&�����=!<4 !<7� �(�&��$� ����� ����?:

�7

M

;

L��

=+ ,

+,!

2��������������� ��� ��(�&��$� ����� ���������� ����N! 6NM M

! �NH3"M<"

���� ���� ��'�������������������,�������:

�<

"+6

+3!

6!3

−−

−−

<6"H6"H3# !+<73T"F�)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353:�

���<3!

!3

−−−

< 3 6< +I":)0�H(+#H0�,��+N#/352()3,

Page 80: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

74

�<3 3<":��� ����?��(����= ��3O�#)0.350,

)(�&��$� ����� ���������� ���������� ?������ )X!H�Y

!H�<"1� ���� �--�*

������)1�1������� ��� ��������'������������:

=+==

��)

�)�

�)��

�� 1���� ��� ��� �������

=+−==

"�)

+)�

73)��

1������<+

73− ��������������������

=+−="�)

+)�G�� ��$� ��)< +± ���< +m ,

��(�&��$� ����� ��������(����= ���&������������?: ='

7�M'L'��

====−−−−−−−− ,

)�� ��������������� ������ ���������� � � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33 ����G�

=∂∂

=∂∂

"M

-

"N

-

,

���� ��� ���

=+−−=−−

"3"M!N6

"�M6N!�G�G�� ��$� ��

−==

+

�M

+

36N

�������

−'

'

��1 ,

%������������ ���������� � � ����������������� ���������$� ��� ����-�� ��� �*

��$� ��

�3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<"

���� ��� ��� :−!�!−!��H!�!<",

������ � ≠ " � ����� �������� ��� � �� ������� �(�&��$� �� �� ��� �� '���

"!�

�!

�!

!

=+−

− �G�G�� ��$� ���

�<

!

633 +±−<

!

+3±−,

2 ����� ���'������<!

+3+−���<3 ������<

!

+3−−���<3

%������G��� &������&��$� ��

���'

��<

++++

−−−−−−−−

'

��

'�����

'

��<

++++

++++−−−−

'

��

'�,

%������� ������(����= ��� � �������������� ����� ������������$� ������� ���G�,����

����$� ���� ����' � ��� ����� �(�&��$� ��:

0��)��!��0��)9�!�0��9

��"�=:�

���� ��� ��� :�! 6�� �

!<",

������� 36!�

� +±= <!± + ����&��$� ����'������� ��� � :

��'

��< (((( ))))

++++++++

'

��'� ���

'

��< (((( ))))

++++−−−−

'

��'� ,

.�������� �G� '�� ����� �� � � ��������� ���� �� &���� D! + AD! H + A H 3 < "

� ������������ ���-��� �G��(����= ��?�&��������,

Page 81: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 77�

������������������������������� ������������

+,�

�A 2������������������ ��(�&��$� ����� ���������� ����!N! �M

!H#N !MH�<"

���� ���� ��'�������������������,�������:

�<

�3�

3�"

�"!

−− < 3�H!7 !<7T"F)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353:�

���<�"

"!

< #I":�)0�H(+#H0�,��+N#/352()3:�

�<! �< 3,

)(�&��$� ����� ���������� ���������� ?������ )X!H�Y

!H�<"1� ���� �--�*

������)1�1������� ��� ��������'������������:

=+==

��)

�)�

�)��

�� 1���� ��� ��� �������

−=+−==

3�)

#)�

7)��

1������<#

7− ��������������������

−=+−=

3�)

#)�G�� ��� ��$� ��������������(�&��$� ������������9

!H9 #<",

�������9<!

!633 +±−<

−!

�,

��(�&��$� ����� ��������(����= ������?: =4

7M�L��� =−+ ,

)�� ��������������� ������ ���������� � � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33 ����G�

=∂∂

=∂∂

"M

-

"N

-

,

���� ��� ���

=−−=+

"3M�

"�N!�G�G�� ��$� ��

−=−=

3M

!

�N

�������

−−�

�1 ,

2��������������(�&��$� ����'����������V�� ������������ ��:

�`� � *)(�&��$� ��� �����������'������?

�3!DN N�A! D�33 �!!ADN N�ADM M�A �3!DM M�A

!<"

�1���� ��� ��� :

+

+�

��

�� <",

%������G��� &������&��$� ��:��!�

��"�=����!

�"�=,

��`� � *)�����$� ����'������� ����-�� ��� ���$� ���3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<

"1���� ��� ��� ��<",2 ����� ���'������<"���<3 ������<3���<",

%������� � ����������������� ��������������$� ��1G��� &������&��$� ��:

��!�

��"�=���!

�"�=,

Page 82: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

78

%������� ������(����= ��� � ����������������� ������������$� �������� ���G��G���

���� ��� ��� ����� �(�&��$� ��0��)��!��0��)9�!�0��9

��"�=

Page 83: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 7;�

������������������������������� ������������

+,+

2 ����� �� ������������ ��,

�`� � ,

�A ���� ����?��'����������� ��������������?���� ,

2����� ����!N!HM

!H�NM−3"N−7MH3!<"��������<

3!!

7+

!

73

!

+!

�!

−−

<

<!6H6

3"+H

6

3"+−!+−

!

64−!7<",�0�H(+#H0�,�63D3+353,

��A 2����������������&��$� ����������������������� ���������$$�� ����� ���*

�- �������(�&��$� ����:!N!HND�M−3"AHM!−7MH3!<",

� ���������� ����(�&��$� ������� �� '��� ��N��������:

N<6

4#M+#M�M#"3""M43"M� !! ++−−+±+−<

6

A!MD3"M� −±+−�����N<

!

M6−�

N<�−M,)(�&��$� �������� ������������V��������A���!���−−−−��B�A��!���−−−−��B�"�=,2���������������� �������������� ���������$� �������������1�G�?������ � ���

������ ����1����� ������������:

=−+=−+"�MN

"6MN!�G�G�� ��$� ��

==!M

3N,�������A����B,

��`� � ,

�A ��� � ���� ? ��'����� �� G� ����� �� ���� � ��� D�-�, ������� �!+ ��-,

7,!,3A������ �������1���������� ������� ������� � '����1� � ��� ��$� �������*

�����

=++=++=++

"N�N�N�

"N�N�N�

"N�N�N�

���!!�33�

�!�!!!33!

�3�!3!333

1���� ��� ���

=+−−=−+=−+

"N3!N!

7N+

"N!

7NN

!

"N+N!

�N!

�!3

�!3

�!3

,

������������������ �--��������������������?�<

3!!

7+

!

73

!

+!

�!

−−

<"&��������������

���������-������ ��$� ���)0�H(+#H0�,�63D3+353,

2 ����� ���������G������$��&��$� ��?�( �� �� ������ ������������������ �*

�� �������� ���&�����������������������:

=−+=−+"N

!

7NN

!

"N+N!

�N!

�!3

�!3�G�G�� ��$� ��:

Page 84: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

8=

N3<

3!

�!

�!

3N!

7!

�N+

<N��N!<

3!

�!

�!

N!

7

!

N+!

<!N�,������ � ��� 2������ ����G�&������ *

������� � '����D31!13A�� �����������������A����B,

2����������������&��$� ����������������������� ���������$$�1�G������� ����*

��������21� ��������� �(�&��$� �������'���������������2����������G��� ��� �

��� ����:

=+−−+++=+=

"3!M7N3"MNM�N!

��!M

��3N

!!

,

)(�&��$� ����� �������������������?D!�!H���H�

!A�!<"�������������� �����<"

� ������������ �-��� �G���'���������������2���� ����G��� �������$� ��� ������

2F�(�&��$� �����������-������ ��$� ����������?� �� ����������� ��������� �--�*

������ �� �! �� �������1 �� ? �� !�

! H ��� H �

! < ", �������� ��� �

! �� ������

! "3�

��

�!

=++

�G�G�������

�<−

!

3��

�<−3,

)����������������G��� �&��$� ������������G�

−=+=

�!!M

�3N�

−=+=�!M

�3N���&��$� ��

�������������!��−−−−���"�=���!���−−−−���"�=,

+,#

�A 2������������������ ������ �����N!−!NMH�M!H!NH!M<"���� ���� ��'��

�����������������,�������:

�<

"33

3�3

33�

< 3−3−�−�<−�T":)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<�3

3�

<4 3<�J":)0�H(+#H0�,��+N3))#--3,

�<�H�<#,

)(�&��$� ����� ��������(�������?������ )X!H�Y

!H�<"���� �--�������)1�1�

��� � � ����-������ ���$� ��

=+=−=

#�)

�)�

�)��

������< 3��)��� � ��� ��$� �����*

�O�&��$� ������������$! #$H�<"�G�G�������$<!�$<6,

����&��$� ����� �����������&�����:�L��!��M

�����"�=:�

)�� ��������������� ������ ���������� � � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33,

Page 85: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 8��

������������������������������� ������������

���� ��� ���

=++−=+−

"!M#N!

"!M!N#�G�G�� ��$� ��

−=−=

!

3M

!

3N

�������

−−�

�1 ,

%����������(�������� � ����������������� ������������������� ������� ����-�� �O�*

&��$� ��:�3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<"�1���� ��� ��� :−�!H�!

<"������<±�,

%������G��� &������&��$� ��:NH!

3<±

+

!

3M ����:��−−−−���"�=���!���!���"�=,

2 ��GR��� ����?��(�������� ���� � ����� ��,

��A ����� �� � ���G� ���'���� �� ��� �� � �����1 ������ � �B1 �� �������$� �� � �

�(����M��������' � ��-���� ��� ���G�=����'�����G�G�� ��� ���G���'�����&�����

���$$��������������'����������������������������B�&������ �����������'�����

�����������B1�� ?����(����M1� ��������� ���,

2���������������-���� � ����� �������&����(������� ������'�����N!<",

��-���� G�&������&��$� ��λD�N!−!NMH�M!H!NH!MAHµN!<",)�� ���$� ���G�����������(����= ���&��������?:�33H�!!<",

���� ��� ��� �λHµH�λ<":���'����� λ<3�µ<−#�� �������(����= ���&��������:−−−−��

��−−−−�����!���

��!����!����"�=:�

���A .�������� �G� ��� ���� �-����$� ? ���'���� � � ����( ��'��� �� G� ����( ��'���

� �����'���������'��������.,)(�&��$� �����������'����������������� �����' *

����'���� ��������� ������� NHM<",

����� �� ���� �-����$� ���'���� � � ����( ��'��� ��������' � �� -���� ���������� �� � �

��������� �-����$�������� .���''� ���� :N!HM

!<",

)(�&��$� �����-���� ?&�����:λDN!HM!AHµDNHMA<",2�� ������������� �-����$����-���� �����������2��� ���� �G������� ���������

� ����-�� �(�&��$� ��:λD3H6AHµD3H!A<"�����+λH�µ<",0��'����� λ<��µ<−+�� ������:����!�����−−−−�'��−−−−�'��"�=,

+,7

�A )�����= ��� � ���������$$��������� ���$� �����<",

����������� ���� ����W����(�&��$� �������� �����--���GR����� ���$� ������ ���*

�-����:���<

W!

3!

33

<"�����W−6

3<" �����%�"�

�,

)(�&��$� �����������= ���������:N!−NMH

6

M!−

6

4NH�M−

6

3�<" ����

6N!−6NMHM!−4NH3!M−3�<",

��������= ��?� ���'��������(�����������?������ ��$�� ,�������:

�<

3�#!

4#3!!

4!6

−−

−−

<−+!H+6H+6−6

�3H+!−366<−

6

!!+≠",

)�����= ��� �?��'�����,

Page 86: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

8�

��A ����������� ����- ������ �������������= ��1�G�?������ 2Y!H�X<"1

�����$$��� '�������������������:�==��� '����� ��� �<−6

!!+���������<6H3<+,

�������

=−=−+2

6

!!+

6

2�!

����� =

=+2

!!+2�!

±==

+��

+2,

���- ������ �������������= ��?:'M��!�� ' L�"�=�� �����'M

��−−−−�� ' L�"�=,

+,�

�A � ������������ ��������&��$� ��N!HM

! !NM !N !M<"����� ������

.D"1"A���D!1"A1��-���� ��� ���G����'��������.�����1G����������� �������

=���,

)����� ���G���'������ � ��� ���������'��������������������������.� �����

���� ���,�����(������� ������'�����G�&������&��$� �����"�=,

2�����������(�&��$� �����-���� ����� ����� �������� ���������,

)(�&��$� �����-���� ?&�����:GDN!HM

! !NM !N !MAHWM

!<"1 ���� :

GN! !GNMHDGHWAM

! !GN !GM<",

� ��'����� ��� ���G���'������ � �������.�� ��������� ������&��$� ��M!<"

���� ������'���������� � �� �������������'��������.�����������&��$� ����

� �� � ������������ �����' ����'���� ���������,

�������:

�&��$� ���������������'��������.:NHM<"F

�&��$� ���������������'���������:N �M !<"F

�&��$� �������� ������'����������������'����:A��!��BA���������B�"�=,

������ ��� � ����������������� ���G���'����������$$���������������������� ����

�,)�� ���G���'���������-���� �� ����' � ������� ���������������G��������� ��

������������������� ����:

�<

"GG

GWGG

GGG

−−

−+−

−−

< GD6G!HGWA<"1�G�G�������:G<"D� ����A�W< 6G,

2��G<"���� ��M!<",

2��W< 6G1���'����� G<3�W< 6���� ��:N! �M

! !NM !N !M<"�G������$$�

����� � �� �������������DNHMADN �M !A<",

��A 2��������������(�&��$� ������(����= ����������������-���� ��������������*

� � �������� ���������N +MH3<"��� ����� �G��(����= �������������������O��-����

����� ������ ��,

)(����� � ���&��$� ��N +MH3<"G���������������� ���<+1�<3:���� ���� ��*

�O��-���� ?�∞D+131"A,

0������� �(�&��$� �����-���� �� ��� ��� ������� � '����:

GN3! !GN3N!HDGHWAN!

! !GN3N� !GN!N�<",

)(����= ���������?��� �������-���� ����������������� �∞,

0 �������� ��� ����������∞����(�&��$� �����-���� �� ������:!+G 3"GHGHW<"1

�����3#GHW<"�G�?� ����-�������G<3�W< 3#��(�&��$� ������(����= ��?:�

����������'�

����������"�=:

Page 87: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 8��

������������������������������� ������������

+,4

�A 2������������������ ������ ����N! !NM !M

!HNH!M<"���� ���� ��'����*

���������������,�������:

�<

"3!

33!3!

333

−−−

< !

3

!

3H

!

3−3<

!

�T":)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<!3

33

−−

<−! 3<−�I":)0�H(+#H0�,��+N#/352()3,�<3−!<−3,)(�&��$� ����� ���������� ���������� ?������ )X

!H�Y

!H�<"1� ���� �--�*

������)1�1������� ��� ��������'������������:

=+==

��)

�)�

�)��

�� 1���� ��� ��� �������

−=+−=−=

3�)

�)�!

�)��

1������<!

3��������������������

−=+−=

3�)

�)�G��&��$� ����� ������9

!H9 �<"�G�G�� ��$� ��9<

���±−,

��(�&��$� ����� ��������(����= ������?: =��������� =+−−++− YADXAD ,

��A �������� ���G������������������� ������������ ���G����O��������' �

��-���� ���������������� :λDN! !NM !M!HNH!MAHµDN!−NMHN−MA<" ����DλHµAN!−D!λHµANM−!λM!HDλHµANHD!λ−µAM<",���-���� ������= ��� � ����������������� ���$� �����<",

5����� ���&������� ���������� ���$� ��?� ����-����:���<

U!!

aU

!

aUaU

−−−

−−+<"

����−!λDλHµA−

++

6

aUaU

!! <"�����µ!

H3!λµH3!λ!<",

��� ����� �� ������:µ<−#λ± !! U3!U�# − �����µ<D−#± #! Aλ,)�����= ���������G��� &������&��$� ��:

A−−−−'�−−−− 4� B���!�A��! 4� B���−−−−���

��!�A−−−−'�−−−− 4� B��!�A8�! 4� B��"�=�

A−−−−'�! 4� B���!�A��−−−− 4� B���−−−−���

��!�A−−−−'�! 4� B��!�A8�−−−− 4� B�"�=:

+,3"

�A ����� �� ���� �-����$��������� ��� � ����� � ���� ����� ���� �-����$� � �����

����� ��������' � �� -���� ���������� ����� ���� �-����$� � ����� ����� D���� ��������A,

���� ��� ��� G��� &������&��$� ��λDN!HM!−!AHµDNHM−3A<",)����� �-����$����-���� �G����������( ��'����� ������������� ����λ�µ�G�����*����� ����O�&��$� �� ��� -���� � �������� �� N �� M �� � ������� �� ., �������

−!λ−µ<"�����µ<−!λ������� �-����$��������G��&��$� ��:���!����−−−−����−−−−����"�=,� ���� �G�1� ������� ���G�������� ������������������������$� �����Γ���1����*

Page 88: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

8�

� � ������������������ ������������������� ��(�&��$� ����������� �-����$�������

������ �������� ����/���'G�,

��A �������� ���G�=����'������������ �-����$������ ���������������$� ��� �����������������' � ��-���� ���������� ������ ���G�� ����-������ ����� ���$� ��: ��

���� �-����$����������� ����� �����������'����������������� ��������� ������*

&��$� ��DNHM−3A!<",����-���� G��&��$� ��GDNHM−3A!HWDN!HM!−!A<" ���*� :DGHWADN

!HM

!AH!GNM−!GN−GMHG−!W<",

���-���� ������= ��� � ����������������� ���$� �����<"� �����?�� ��'������*

������������������� ����,��&���� ��� ����������<WGG

GWG

+

+<G

!H!GWHW

!−G!<"

�����WD!GHWA<",0�G��� &���������= �����W<"����W<−!G,2��W<"��G�������= ��� �����������'����������������� ��������� ���1���W<−!G�� ����������*��= ��� ���'������������1���&��$� ��:�

��!��

��−−−−�����!����!����−−−−�'�"�=,

���A 2�� �������� �� ����= �� �� - ��� ��� ����2Y! H�X<" �� ���� '�� ����������

�������,�<

+33

333

333

<−+−3−3−3−3H+<−61���<"1�<3H3<!,

2��� � &�������� ��$� ������������

==!2

66

2�!

�����

±==

!!�

!2,

���- ������ �������������= ��?:�M��−−−−�� � L�"�=:�

2��������������(�������������= ������������$����� ��� ������ ��������������� ��

'��� ���������&��$� ��� ����&������ D�NH=MA!���������� ��=:��&���� ��� ��

&������ ?DN−MA!������<3�=<−3,������ ���(��-���� ���������= ��?D=1−�1"A1���� ��� ��� D−31−31"A,)(�������������= ��?��� ����������� ���� ��� D�1=1"A���*

������ ���������� ���(��-���� ���������= ��1���� ��� ��� ��� ������D31−31"A,)(�&��$� ������(�������������= ��?D!N−!MH!A−D!M−!NH!A<"�����:��−−−−���"�=,���������?�(�������$� �����������= ��� ����� ����:������ �������� � ��� ��$� ��

����������: =−

=−++−"MN

"+AMND!AMND !

�����

==

6

+M

6

+N

�5

'

'1 ,

+,33

�A 2������������������ ������ ����N! !NMHM

!H6DNHM−3A<"���� ���� ��

'�������������������,�������:

�<

6!!

!33

!33

<−6−6−6−6−6H6<−3#:)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<33

33

<3 3<":)0�H(+#H0�,��+0�/0502()0,

�<!,

Page 89: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 8'�

������������������������������� ������������

����������� ����- ������ �������������= ��1�G�?������ 2Y!H�X<",

�������

=−=−

!2

3#6

2�!

����� =

=!2

#62�!

±==

!6�

!2,

���- ������ �������������= ��?:�M��!�� � L�"�=�D ������M

��−−−−�� � L�"�=A,

��A ��-���� ��� ���G����������� ��γ���σG�� ���&��$� ����� � � �=���$� *

���������:GDN! !NMHM

!H6DNHM−3AAHWDN!HM!H!NH!M−!A<" ����:

AJ�!�%BA���!��

�B�−−−−��J���!��A�J�!�%BA��!��B�−−−−��J�−−−−��%�"�=,

)�� ���G���'��������-���� �� ����' � ������� ����G�W�G��� ����' � ��� ���*

� �G����������������������� ����������� ,

�<

W!G6WG!WG!

WG!WGG

WG!GWG

−−++

++−

+−+

<" ����D!GHWA

!WG!WG!

3WGG

3GWG

−++

+−

−+

<",

�--������� ����� ���� ������:−!D!GHWAD!G!H�GWHW!A<"�����:�A!GHW<" ����W<−!G����� ����� ������ ������'��������!����!�����"�=F��A!G

!H�GWHW

!<",

�������� ���W!�� �������(�&��$� ������� �� '��� "3

W

G�

W

G!

!

=++

�G�G�������

W

G<−3�

W

G<−

!

3 ����G<−W�W<−!G,

0 �������� ������� ������(�&��$� �����-���� �� ����' � ������ ���G���'�����:

��W<−!G N!HM!H!NM<" ����A��!��B��"�=�D'� ����������������������AF

��W<−G −!NMH!NH!M−!<" ����−NDM−3AHM−3<"�����A��−−−−��BA��−−−−��B�"�=,

+,3!

�A 2������������������ ������ ����!N! !NM !M 3<"���� ���� ��'������*

�������������,�������:

�<

33"

3"3

"3!

−−

−−

< !H3< 3T":)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<"3

3!

< 3I":)0�H(+#H0�,��+N#/352()3,

)�� ��������������� ������ ���������� � � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33,

���� ��� ���

=−−=−"!N!

"M!N6�G�G�� ��$� ��

−=−=!M

3N�������A����B:

���������������� ���1���'������� ����-�� �(�&��$� ��:�3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<"

�1���� ��� ��� : �! !��H�

!<"�����

�< 3 !± ,%������� � ������������

����� ���������������������� ���� ����&�����G��� �&��$� ��:

Page 90: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

84

��!�< ( )��+− A��!��B������!�< ( )��−− A��!��B:

%������� ������(����= ��� � ����������������� ������������$� �������� ���G�,�

)�����$� ������� ���G�� � ��� ��$� ������(�&��$� ��:�33�!H!�3!��H�!!�

!<"1���

� ��� ��� !�! !��<"��������������<"���<�,

)��&��$� ����'������� ��� � :��!���"�=������"���!��,

��A ��������� � ���'�� ��∞D31!1"A?�������� ����������� �∞������� �Γ,)�����&��$� ���� ������� �����' ����'���� ���������� � ��������������� ���*

���� � '���������� ������ ���� ��� ,0��������� ����!N3! !N3N! !N!N� N�

!<"

��� ����G��&��$� ��!N3 D!N3HN!A !N�<" ���� ��!���"�=,

+,3�

�A 2������������������ ������ ����!N! !NMHM

!H!M<"���� ���� ��'������*

�������������,�������:

�<

"3"

333

"3!

−−

< !T":)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<33

3!

<3J":)0�H(+#H0�,��+N3))#--3,

)�� ��������������� ������ ���������� � � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33,

���� ��� ���

=++−=−

"3MN

"MN!�G�G�� ��$� ��

−=−=!M

3N�������A����B,

���������������� ���1���'������� ����-�� �(�&��$� ��:�3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<"

�1���� ��� ��� : �! ��H�

!<"�����

�<

!

+3±−,%������� � ���������������*

�� ���������������������� ���� ����&�����G��� �&��$� ��:�A��!�B< ( )'�±− A��!��B:

�������� ������(�������+(+�H#�-(+(�0-#+.(.#,

��A 2���������������� � ��������������&��$� ��NHM !<"����V�� ��������

���� ��,

�`� � *�����$$������� ������������ ����G������G��������� ���������������� *

������2��� ����� ���������������2,

0�� �� � &��������'���������������B����� ����������� ������=,��� � 2���?

������ ���������$� ��������������=,

0��'���� � ����������:

�D"1!A������ ����������� �� D!NAH!MHDMH!A<"�� ? !NH�MH!<"�BD!1"A������ ����������� ��!D!NA !MHM<"�� ?6N M<",)�� ����������� � 2� � ��� ��$� ������������

=−

=++−"MN6

"!M�N!�� ?�

−−

'

'

�1 ,

��`� � *� ���������� ����������� ��������� ��� '��� 2"DN"1M"1$"A������������

Page 91: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 87�

������������������������������� ������������

���&������� �������� ���������� ����?������������,

0��������� ������� ������� � '����!N3! !N3N!HN!

!H!N!N�<"��� ������2"?:

N3D!N" M"AHN!D N"HM"H$"AHN�M"<"F�--���GR����� ������� ���������������&��*

$� �� �� � ������� � '���� ? N3 H N! !N� < " D������ �������� �G� �� � �������

� '����� � �������� ����� �--����������� � �$� �����A����������:

−==++−

=−

d!M

d$MN

dMN!

"

"""

""

�G�G�� ��$� ��

=−=−=

!

d+$

d!M!

dN

"

"

"

&�����2"<

−−!

d+1d!1

!

d,

0��'����� ρ<+

!����V���������2" ��� ������� � '����� ��

−− 31

+

61

+

3����

� �����������������

−−+

61

+

3�G�?������ �� ��� ���������������,

+,36

�A ��-���� ��� ���G���� ����V��������λN!HλNMHDλHµAM! λNHλM !λ<",����� '�������������������1��� ���G���'������� ����' � ������� ����λ�µ�G���*

������ ���������������������� �����<

U!!

U

!

U!

UaU

!

U!

U

!

UU

−−

+

<",�--������� ����� ����

������: !λ!DλHµA

3 λ�

3 λ�

6

3 λ!DλHµA

6

3 λ�H

!

3 λ�<

6

4 λ!DλHµA<"�G�G�

������:λ<"� �����λ< µ,2��λ<"�� ��������� �������"�=�G�?� �����������'���������(����N� ���� ���

� ���,

2��λ< µ�� ��������� ������'�����N!HNM NHM !<",2���������������������*

���G���� �� �' � � ��������� ���(�&��$� ��� ��-��$� �������N���� ����� ��:

N!HNDM 3AHM !<"�����N<

!

�M6MM!3M3 ! +−+−±−<

!

AM�DM3 −±−,

)���������� � NHM !<"�NH3<"���� ������'���������V��������� ��:

A��!�����B�A��!��B�"�=,

��A ������=������-���� � � ������� ������������� ���G����-���� ,)�� � � *

�������� � ��� ��$� ������������- ���� �����&�����&��� ���G����-���� 1���*

����� &�������'�����: =+−+

="A3NAD!MND

"M!�G�G�� ��$� ��

=="M

!N�

=−="M

3N,

������=���� � &������A���=B�3�1A���=B,

���A )�����= �����-���� �� ����' � ������� ������G��������� �(������������������� ����'����������-���� ,

Page 92: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

����� � 5*� ���G�

������������ ���

88

���<

aU!

U!

UU

+<"�����λDλHµA

6

3 λ!<"�G�G�� ��$� ��λ<"��λH6µ<",

������� ��� �� ������������= ��� �����������'�����M!<"1����(���� �� ��������

����= ��� ���'���������!�����!��

������!�����8�"�=,

+,3+

�A 2��������������� ������ ����+N!H6NMH!M

! #NH3<"������ '������������

������������,�������:

�<

3"�

"!!

�!+

<3" 3� 6< 3!T":)0�H(+#H0�+(+�,�63D3+353,

���<!!

!+<3" 6<#J":)0�H(+#H0�,�6#�.#/(�3))#..#H(,

��A )�� ��������������� ����(�������� � ��� ��$� ������������:

=++=++"�M�N�

"�M�N�

!�!!3!

3�3!33,

���� ��� ���

=+=−+"M6N6

"#M6N3"�G�G�� ��$� ��N<31M< 31�������A����B,

%����������(�������� � ����������������� ���������$� ��� ����-�� ������$� ��:

�3!�! D�33 �!!A�� �3!�

!<"

�1���� ��� ��� :!�! ��� !�

!<" ����G�! !

��

�!

−−

<"� ��GR�≠",

�������:�

�<

6

3#4� +±<

6

+�±,

2 ����� ���'������<!���<3 ������<−3���<!,

%������G��� &������&��$� ��:

DN 3A<!DMH3A �������������"�=��DN 3A< !

3DMH3A �������!������"�=,

���A ������23D!1"A12!D�1 6A12�D7>+1 #>+A- ���� �������' � ��� � �����������

������������' � ����� ����������$ 1��������� ��� ���=���,

��� ����� �G��(�&��$� �������� ����������� 2"DN"1M"A?:

ND�33N"H�3!M"H�3�AHMD�3!N"H�!!M"H�!�AHD�3�N"H�!�M"H���A<",

)�� �����3��23G��&��$� ��7NH6M +<",2!������������3��&���� � ��������

����(�&��$� ����N��M������ ��������� ������!3 3# +<"�G�?��(�������,

2�������������3��&���� � �������� ����(�&��$� ����N��M������ ��������� ����*

��: "++

!6

+

64=−− �G�?��(�������,

)�� �����!��2!G��&��$� ��!N M 6<",23������������!��&���� � �������� ���*

�(�&��$� ����N��M������ ��������� ������:6 6<"�G�?��(�������,

Page 93: (Matematica Generale)Esercizi Svolti Di Geometria Analitica Con Impostazione Dall'Algebra Lineare(1)

8��� *9��� 1������$���%� ��������������� 8;�

������������������������������� ������������

2�������������!��&���� � �������� ����(�&��$� ����N��M������ ��������� ����*

��: "6+

#

+

36=−+ �G�?��(�������,

)����$�����-���� �?������������&���� 1���-��� �G�2���������������� ������23�

2!1������� ������������ �����'���G�23�2!��������' � ����� ��������2�,

5 ���� � ���&���--������������$�����-�����G��G��(�&��$� �������� ��������2�?

6NHM �<"���� ���������23�2!��� ����-�� ,

+,3#

��-���� ��� ���G������������������������������� '��������������������������������

�����:N M<"FN MH+<"FNH3<"FN 6<"G���������� �������=���,

)����� ���G���'������ � ��� ����������������������� ������������' ����,

2�����������(�&��$� �����-���� ����� ������ ���G���'����������� ������������*

��������G�G��� �&��$� ��:DN MADN MH+A<"�DNH3ADN 6A<",

)(�&��$� �����-���� ?&�����:GDN MADN MH+AHWDNH3ADN 6A<"1 ���� :

AJ�!�%B�����J���!�J�

��!�A'J���%B���'J����%�"�=:�

2��������������(�&��$� ������(����= ����������������-���� ��������������� � ��*

������ ���������NHM !<"��� ����� �G� �(����= ���������� ���������(��-���� ���

�� ������ ��,

)(����� � ���&��$� ��NHM !<"G���������������� ���<31�< 3:���� ���� �����*

-���� ?�∞D31 31"A,

0������� �(�&��$� �����-���� �� ��� ��� ������� � '����:

DGHWAN3! !GN3N!HGN!

!HD+G �WAN3N� +GN!N� 6WN�

!<",

)(����= ���������?��� �������-���� ����������������� �∞,0 �������� ��� �������

���∞����(�&��$� �����-���� �� ������:GHWH!GHG<"1�����6GHW<"�G�?� ���*

�-�������G<3�W< 6��(�&��$� ����������= ��?:�

���������!��

��!��7���'��!��4�"�=:


Top Related