(b)

x

0,2 m

1-0,4m 30°

(c)

Figura 4.20

110 ESTÁTICA

OU

Mo = { —98,6k} N • m Resposta

SOLUÇÃO II (ANÁLISE VETORIAL)

Utilizando a aproximação de vetor cartesiano, os vetores força e posição mostrados na Figura 4.20c podem ser representados como:

r = {0,4i — 0,2j} m

F = {400 sen 30°i — 400 cos 30°j} N

= {200i — 346,4j} N

O momento é, portanto:

j k Mo = r x F = 0,4 —0,2 0

200 —346,4 O

= Oi — Oj + [0,4( —346,4) — (-0,2)(200)]k

= { —98,6k} N • In Resposta

Comparando, percebe-se que a análise escalar (solução I) forneceu um procedimento mais conveniente para análise do que a solução II, uma vez que a direção e o sentido do momento, bem como os braços de momento para cada componente de força, foram facilmente determinados. Por isso, esse método costuma ser recomendado para a resolução de problemas que envolvem duas dimensões. Já a análise de vetores cartesianos em geral é recomendada somente para a solução de problemas tridimensionais, uma vez que os braços de momento e os componentes das forças são freqüentemen-te mais difíceis de determinar.

PROBLEMAS

4.1. Sendo A, B e D vetores conhecidos, prove a proprieda-de distributiva para o produto vetorial, isto é, A x (B + D) = (A x B) + (A X D).

4.2. Prove a identidade com o produto vetorial tríplice A x (B x C) = (A x B)•C.

4.3. Dados três vetores não-nulos A, B e C, mostre que se A • (B X C) = 0, então os três vetores devem ser coplanares.

*4.4. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação ao ponto O.

4.5. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação a um ponto P.

4.6. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação ao ponto O.

4.7. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação a um ponto P. Problemas 4.4/5

H— 250 mm

E3= 1601b

Problema 4.11

Problemas 4.12/13

Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 111

Problemas 4.6/7

*4.8. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto O.

4.9. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto P

Problemas 4.8/9

4.10. A chave de boca é usada para soltar o parafuso. Determine o momento de cada força em relação ao eixo do parafuso que passa através do ponto O.

15°

F1 = 100 N

Problema 4.10

4.11. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto O.

*4.12. Determine o momento em relação ao ponto A de cada uma das três forças agindo sobre a viga.

4.13. Determine o momento em relação ao ponto B de cada uma das três forças que atuam na viga.

4.14. Determine o momento de cada força em relação ao parafuso localizado em A. Considere FB = 40 lb e Fc = 50 lb.

4.15. Se FB = 30 lb e Fc = 45 lb, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A.

Problemas 4.14/15

*4.16. O poste de energia elétrica suporta as três linhas. Cada linha exerce uma força vertical sobre o poste devi-do ao próprio peso, conforme mostra a figura. Determine o momento resultante na base D provocado por todas essas forças. Supondo que seja possível que o vento ou o gelo sejam capazes de romper as linhas, determine qual ou quais linhas, quando rompidas, criariam a condição para o máxi-mo momento em relação à base. Qual será esse momento resultante?

200 min—.

65°

F2 = 80 N

4 Ic.N 4 leN

0,4m 0.4m

ii SOO N

1 — 0.05 m

800 ti

112 ESTÁTICA

Problema 4.16

Caso 1

Caso 2

4.17. Uma força de 80 N atua sobre o cabo de um cortador de papel em A. Determine o momento criado por essa força em relação à dobradiça em O, se O = 60°. Em que ângulo O a força deve ser aplicada para que o momento criado em rela-ção ao ponto O (no sentido horário) seja o máximo? Qual é esse máximo momento?

Problema 4.17

4.18. Determine a direção O (0° O s 180°) da força F = 40 lb de modo que ela crie (a) o máximo momento em rela-ção ao ponto A e (b) o mínimo momento em relação a esse mesmo ponto. Calcule o momento em cada caso.

Problema 4.18

4.19. O cubo de roda na figura pode ser fixado ao eixo tanto com um afastamento negativo (para a esquerda) como com um afastamento positivo (para a direita). Se o pneu está sujei-to às cargas normal e radial, como mostrado, determine o momento resultante dessas cargas em relação ao eixo no ponto O em ambos os casos.

Problema 4.19

*4.20. O braço da grua tem comprimento de 30 pés, peso de 800 lb e centro de massa em G. Se o máximo momento que pode ser desenvolvido pelo motor em A é M = 20 x 103 lb • pés, determine a máxima carga W, com centro de massa em G', que pode ser elevada. Considere O = 30°.

Problema 4.20

4.21. A ferramenta em A é usada para prender uma lâmi-na estacionária de cortador de grama, enquanto a porca é solta com uma chave. Se a força de 50 N é aplicada à chave em B na direção e no sentido mostrados na figura, determi-ne o momento criado em relação à porca em C. Qual é a intensidade da força F em A de modo a gerar o momento oposto em relação a C?

Problema 4.21

Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 113

4.22. Determine o momento de cada uma das três forças em relação ao ponto A. Resolva o problema primeiro utili-zando cada força como um todo e, depois, o princípio dos momentos.

F3 = 500N

Problema 4.22

4.23. Como parte de uma manobra acrobática, um homem sustenta uma garota que pesa 120 lb e está sentada em uma cadeira no alto de um mastro. Estando o centro de gravida-de da garota localizado em G e sendo de 250 lb • pés o máximo momento no sentido horário que o homem pode exercer sobre o mastro no ponto A, determine o ângulo máximo de inclinação, O, que não permite que a garota caia, isto é, que seu momento anti-horário em relação ao ponto A não seja maior do que 250 lb pés.

Problema 4.23

*4.24. Os dois garotos empurram o portão com forças de FA = 30 lb e F8 = 50 lb, como mostra a figura. Determine o momento de cada força em relação a C. O portão sofrerá uma rotação no sentido horário ou anti-horário? Despreze a espessura do portão.

4.25. Se o garoto aplica em B uma força Fi3 = 30 lb, deter-mine a intensidade da força FA que ele deve aplicar em A a fim de evitar que o portão gire. Despreze a espessura do portão.

Problemas 4.24/25

4.26. O cabo do reboque exerce uma força P = 4 kN na extremidade do guindaste de 20 m de comprimento. Se O = 30°, determine o valor de x do gancho preso em A, de forma que essa força crie um momento máximo em relação ao ponto O. Nessa condição, qual é esse momento?

4.27. O cabo do reboque aplica uma força P = 4 kN na extremidade do guindaste de 20 m de comprimento. Sendo x = 25 m, determine a posição O do guindaste, de modo que a força crie um momento máximo em relação ao ponto O. Qual é esse momento?

Problemas 4.26/27

*4.28. Determine a direção O, com O° O 180°, da força F, de maneira que ela produza (a) o máximo momento em relação ao ponto A e (b) o mínimo momento em relação ao ponto A. Calcule o momento em cada caso.

4.29. Determine o momento da força F em relação ao ponto A como uma função de O. Faça um gráfico do resultado com M (na ordenada) e O (na abscissa) para 0° 5 O 180°.

F= 400 N

Problemas 4.28/29

114 ESTÁTICA

4.30. A prótese do quadril está sujeita à força F = 120 N. Determine o momento dessa força em relação ao pescoço em A e à haste em B.

Problema 4.30

4.31. O guindaste pode ser ajustado para qualquer ângulo O° 5 O 90° e qualquer extensão O < x 5 5 m. Para uma massa suspensa de 120 kg, determine o momento desenvol-vido em A como função de x e O. Quais valores de x e O conduzem ao máximo momento possível em A? Calcule esse momento. Despreze as dimensões da polia em B.

Problema 4.31

*432. Determine o ângulo O para o qual a força de 500 N deve atuar em A para que o momento dessa força em rela-ção ao ponto B seja igual a zero.

Problema 4.32

4.33. Segmentos de um tubo D para perfuração de um poço de petróleo estão ajustados por meio de uma pinça regula-dora T que aperta o tubo e de um cilindro hidráulico (não mostrado na figura), para regular a força F aplicada à pinça. Essa força atua ao longo do cabo que passa ao redor de uma pequena polia P. Estando o cabo originalmente perpendicu-lar à pinça, como mostrado na figura, determine a intensidade da força F que deve ser aplicada de modo que o momento em relação ao tubo seja M = 2.000 lb • pés. Com o intuito de manter esse mesmo momento, qual intensidade de F é neces-sária quando a pinça é ajustada em 30°, como na posição esboçada com tonalidade mais clara? Nota: o ângulo DAP não é 90° nessa posição.

Problema 4.33

4.34. Determine o momento de uma força no ponto A em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

4.35. Determine o momento da força em A em relação ao ponto P. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Problemas 4.34/35

*4.36. Determine o momento da força F em A relativamen-te ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

4.37. Determine o momento da força F no ponto A em rela-ção ao ponto P. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 115

1,2 m

0,4 m

0,2 m

Problema 4.40

4.41. O bastão curvado tem raio de curvatura de 5 pés. Se uma força de 60 lb atua em sua extremidade, como mostrado na figura, determine o momento dessa força em relação a C.

8m

Problemas 4.36/37

4.38. O bastão curvado se estende no plano x—y e tem um raio de curvatura de 3 m. Se a força F = 80 N atua em sua extremidade, como é mostrado na figura, determine o momento dessa força em relação ao ponto O.

4.39. O bastão curvado se estende no plano x—y e tem um raio de curvatura de 3 m. Se a força F = 80 N atua em sua extremidade, como é mostrado na figura, determine o momento dessa força em relação ao ponto B.

Problemas 4.38/39

*4.40. A força F = (600i + 300j — 600k1 N atua na extre-midade da viga. Determine o momento da força em relação ao ponto A.

Problema 4.41

4.42. Uma força F com intensidade F = 100 N atua ao longo da diagonal do paralelepípedo. Determine o momen-to de F em relação ao ponto A, utilizando MA = rB X F e MA = rc X F.

Problema 4.42

4.43. Determine a menor força F que deve ser aplicada na corda para envergar o bastão, o qual tem raio de 5 pés, até que ele quebre no suporte C. Isso requer que o ponto C sofra uni momento M = 80 lb • pés.

B •

r F = 1 3kN

8m

6 m

2,5 In O

A3 m 3 m—,/

F =80N

Problemas 4.44/45

F2= 11001- 100j - 60k}N

116 ESTÁTICA

Problema 4.43

*4.44. A estrutura tubular da figura está sujeita à força de 80 N. Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.

4.45. Agora, determine o momento dessa força em relação ao ponto B.

4.46. A escora AB de uma comporta de 1 m de diâmetro exerce uma força de 450 N no ponto B. Determine o momen-to dessa força em relação ao ponto O.

x

Problema 4.46

4.47. Usando a análise vetorial cartesiana, determine o momento resultante das três forças em relação à base da colu-na em A, dado: F1 = (400i + 300j + 120k} N.

Problema 4.47

*4.48. Uma força F = (6i —2j +1k} kN produz um momento Mo = {4i +5j — 1410 kN • m em relação à origem das coordenadas no ponto O. Considerando que a força atua em um ponto com coordenadas x = 1 m, determine as demais coordenadas y e z.

Problema 4.48

4.49. A força F = {6i +8j +10k} N dá origem a um momen-to em relação ao ponto O de Mo = {-14i + 8j + 2k} N • tn. Considerando que a força atua em um ponto com coordena-da x igual a 1 m, determine as coordenadas y e z desse ponto. Além disso, considere que Ma = Fd e encontre a distância perpendicular d do ponto O até a linha de ação da força F.

Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 117

Problema 4.49

.4.50. Usando uma peça anelar, a força de 75 N pode ser aplicada no plano vertical para vários ângulos O. Determine a intensidade do momento produzido em relação ao ponto A. Faça um gráfico do resultado de M (na ordenada) versus O (na abscissa) para 0° 5 O 180° e especifique os ângulos que fornecem os momentos máximo e mínimo. Problema 4.50

4.5 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO ESPECÍFICO

Lembre-se de que, quando o momento de uma força é calculado em rela-ção a um ponto, seu eixo é sempre perpendicular ao plano contendo a força e o braço do momento. Em alguns problemas, é importante encontrar o compo-nente desse momento ao longo de um eixo específico que passa pelo ponto. Na resolução desses problemas, pode ser usada a análise escalar ou a vetorial.

(a)

Figura 4.21

Análise Escalar. Para mostrar a resolução numérica desse tipo de problema, considere a estrutura tubular apresentada na Figura 4.21a, que se estende no plano horizontal e está sujeita à força vertical F = 20 N aplicada no ponto A. O momento dessa força em relação ao ponto O tem a intensidade dada por Mo = (20 N) (0,5 m) = 10 N • m, com direção e sentido definidos pela regra da mão direita, como mostra a Figura 4.21a. Esse momento tende a girar o con-junto em relação ao eixo Ob. Por razões práticas, no entanto, pode ser necessário determinar o componente de Mo em relação ao eixo y, My, uma vez que esse

RESPOSTAS 517

3.15. F = 158 N

3.17. W = 76,61b

3.18. e = 78,7°, FcD = 1271b

3.19. e = 78,7°, W = 51,0 lb

3.21. d = 2,42 m

3.22. e = 60°, T AB = 34,61b

3.23. e = 60°, W = 46,2 lb

3.25. s = 5,33 pés

3.26. W = 61b

3.27. FAC = FAB = F = {2,45 cosec O} kN, 1 = 1,72 m

3.29. 1 = 19,1 pol

3.30. Em C e D, T = 106 lb

3.31. O = 35,0°

3.33. W g = 18,31b

3.34. 1 = 2,65 pés

3.35. FBD = 171 N, Fgc = 145 N

3.37. O = 43,0°

3.38. y = 6,59 m

3.39. mB = 3,58 kg, N = 19,7 N

3.41. F1 = 608 N, a = 79,2°, /3 = 16,4°, y = 77,8°

3.42. F1 = 800 N, F2 = 147 N, F3 = 564 N

3.43. F1 = 5,60 kN, F2 = 8,55 kN, F3 = 9,44 kN

3.45. FAD = 1,20 kN, FAC = 0,40 kN, FAB = 0,80 kN

3.46. FAC = 130 N, FAD = 510 N, F = 1,06 kN

3.47. soR = 327 mm, SOA = 218 mm

3.49. FAB = 0,980 kN, FAC = 0,463 kN, FAD = 1,55 kN

3.50. FAO = 319 N, FAB = 110 N, FAC = 85,8 N

3.51. W = 138 N

3.53. FAE = FAD = 1,42 kN FAB = 1,32 kN

3.54. FAB AB = FAC = 16,6 kN, FAD = 55,2 kN

3.55. FB = 19,2 kN, Fc = 10,4 kN, FD = 6,32 kN

3.57. FAB = 520 N, FAC = FAD = 260 N, d = 3,61 m

3.58. FAB = 35,91b, FAC = FAD = 25,41b

3.59. W = 2671b

3.61. FAB = 469 lb, FAC = FAD = 331 lb

3.62. x = 0,190 m, y = 0,0123 m

3.63. FAD = 1,42 kip, FAC = 0,914 kip, FAB = 1,47 kip

3.65. F0B = 120 N, Foc = 150 N, FOD = 480 N

3.66. FA = 34,61b, Fg = 57,3 lb

3.67. F = 40,81b

3.69. Romeu pode subir pela corda.

Romeu e Julieta podem descer pela corda.

3.70. F1 = 8,26 kN, F2 = 3,84 kN, F3 = 12,2 kN

3.71. O = 900, FAC = 160 Ib, e = 120°, FAB = 160 lb

3.73. W = 240 Ib

3.74. FcD = 625 lb, FCA = FCB = 198 lb

3.75. F1 = 0, F2 = 311 lb, F3 = 2381b

Capítulo 4

4.3. Se A • (B x C) = O, então o volume é igual a zero, de modo que A, B e C são coplanares.

4.5. Mp = 2,37 kN • m

4.6. Mo = 2,88 kN • m

4.7. Mp = 3,15 kN • rn

4.9. Mp = 3,15 kN • m 5

4.10. (Mp,)0 = 24,1 N • m

(MF2)o = 14,5 N • nt

4.11. Mo = 2,42 kip • pés

4.13. (MF,)B = 4,125 kip • pés i„

(MF2) B = 2,00 kip • pés t,

(MF,)B = 40,0 lb • pés 1,

4.14. MB = 90,6 lb • pés MC = 141 lb • pésil

4.15. MA = 195 lb • pés1

4.17. Mo = 28,1 N • m = 88,6°,

(Mo)max = 32,0 N • m j

4.18. a) (Mat).th, = 330 lb • pés, O = 76,0°,

b) (MA)min = 0, e = 166°

4.19. -Mo = 120 N • m +Mo = 520 N • m

4.21. a) M A = 13,0 N • m 1, b) F = 35,2 N

4.22. (Mp,),4 = 433 N • m J,

(M FZ) A = 1,30 kN • rn

(MF,),4 = 800 N • m 4.23. O = 7,48°

4.25. FA = 28,9 Ib

4.26. (M0)ma„ = 80 kN • m, x = 24,0 m

4.27. (Mo)máx = 80,0 kN • m, O = 33,6°

4.29. MA = 1200 sen O + 800 cos o

4.30. MA = 0,418 N •111 L,

MB = 4,92 N • m j

4.31. MA = {1,18 cos 0(7,5 + x)} kN m J,

(MA)„,a), = 14,7 kN • m

4.33. F = 1,33 kip, F' = 1,63 kip

4.34. Mo = {2601 + 180j + 510k} N • m

4.35. Mo = {4401 + 220j + 990k} N • m

4.37. Mp = { -1161 + 16j - 135k} kN • m

4.38. Mo = { -1281 + 128j - 257k} N • m

4.39. MB = { -37,61 + 90,7j - 155k} N • m

4.41. Mc = { -35,4i - 128j - 222k} lb • pés

4.42. M A = { -16,01 - 32,1k} N • m

4.43. FAB = 18,6 lb

4.45. M B = {10,6i + 13,1j + 29,2k} N • m

4.46. Mo = {373i - 99,9j + 173k} N • m

4.47. M B = { -1,901 + 6,00j} kN • m

4.49. y= 1m, z = 3 m, d = 1,15 m

4.50. MA = N712 656,25 sen2 O + 22 500,

M.a, em O = 90°, Mmin em O = 0°, 180°

4.51. (Moa)p = {218j + 163k} N • m

4.53. (MR )oa = {26,11 - 15,1j} lb • pés

4.54. (MAB)1 = 72,0 N • tn, (MAB)2 = (Mm3)3 = 0

4.55. Mx = 44,41b pés

4.57. My = 0,277 N • m

4.58. My = { -78,4j} lb • pés

4.59. Ai, = 15,0 lb pés, My = 4,00 lb • pés,

M, = 36,0 lb • pés

Comida. the three vectors; with A verticaL

Note obd is perpendicular to A.

od = IA x + D)I = IAI(IB+ Dl) sin03

ob = IA x 16 I = IAIIBI sinei o

1,

1:

ã -7

The three vector anu - products siso forma closed %Magic o'b'd'Iwhich is similar to triangleobd. Thus

from the figure,

1,41jk A,

11. + 4

D. 4

D

k 4

Ds

A x (D + D) A x 13 +A x D (QED) ( A x + (A x D) (QED)

4-1. 1f A, 13, and D are given vectors, prove the distributive law for the vector cross product, i.e., A x (0 + D) = (A x Et) + (A x D).

tt ;.;

Noas algo, A 3. + + Ac k

e + B,J+ Et it

D D11 + Dyj + Dt k

bd = sin02 0 RA% + IN) —'At(By + Dy)11

—(A(& + 4) — MAI+ Dia Algo, dane three cross products all lie in the plane + [A, (8, +4)— 4(8, + D.)111c obd sino der areia perpaidicular m A. As noted

a RA, 8t — 4 8, X "" (Mis — AcBa + (Ag Bi — A, B. )k) the magnitude Of eachcross product is proportional to the length of each sitie of the triangle. + MA. — At Dr X — (A.A — Arpa + (AtA — A, D; )k)

IA Dl IAIIDI x =

i J k

A x (B + D) .. 4 B.+D.

A, 4+4

A, B.+D.

4-2. Prove the triple scatar product identity A•13 x C = A x B. C.

Also.

As shown in the figure LHS A•BxC

k Arca = B(Csin O) = 111 x Cl + Ari + 110•

By

Thus.

Volume of parallelepiped is IB x Cl Ihl

But,

xCl Ihl = IA • 141x

(D A 7 a

Titus,

Volume = IA x Cl

MBA — 114) — 4(BA — BA) + 4(13.c — ig,Q)

me 49A —484 AyBA + 484 + 411=Cy AcBra

RHS A X • C

141. j k

4 4 • (ai + +

Bx By C(SR. — A.4)— Ç(A.14 48.)+ Ç(.By —48.) 1487 Ç ArBsCr 41)4 ArBzCz Ataxç "" Al C.

Siem IA x B • Cl represem, dar same volume dee Thus, LHS = RHS

A•BxC =AxB•C (QED) A•BxC nAxit•C (QUI)

Q. AI, = 520(1312)(6+4sin 30°) -520(-35 )(4cos 30°)

= 3147 N • al .-- 3,15 kN • na (C ounterclockw ise) Ans

260 N

2

--"1 8

5m

4-9. Determine the magnitude and directional sense of the resultant moment of the forces about point P.

4-6. Determine the magnitude and directional sense of the moment of the force at A about point O.

12 (4, A40,= 520(5)(6)

(Counterclockw is e) = 2880 N • m= 2.88 kN • m

Ans

4-7. Determine the magnitude and directional sense of the moment of the force at A about point P.

*48. Determine the magnitude and directional sense of the resultant moment of the forces about point O.

12 3, +Mo = 40083.'330*(2) + 40066630*(5) + 260()(6) 13

= 3572.1 N•m = 3.57 kN•m) Mas

+m, = 260(-5-)(3) + 260(13)(2) - 40081'130*(2) + 40066830*(8) 13

=3151 N•m = 3.15 kNin Ans

3

2501b 10 ft

30°

4 ft

4 ft—IP

300 lb 3

e +Mo = 250(5.4)(1011n30°) + 250()(10cos30°) + 300(sin30°)(6) — 300(cos30°)(3)

Mo = 2419.62 lb•ft = 2.42 kip•ft Ans

4-10. The wrench is used to loosen the bolt. Determine the moment of each force about the boles axis passing through point O.

(+ ( Fi ) = 100cos 15°(0.25)

=24.1 N • sn (Counterclockw ise) Ans

C+ (411/4) 0 =80sin 65*(0.2)

= 14.5 N • m (Counterclockwise) Ana

4-11. Determine the magnitude and directional sense of the re-sultant moment of the forces about point O.

*4-12. Determine the moment about point A of each of

the three forces acting on the beam.

‘4. = —375(8)

= —30001b • ft = 3.00 kip • ft (Clockwise) e) Ana

C+ (Mn = —500(3)(14)

= —5600 lb • ti = 5.60 kip ft (Clockwise) Ana

F3 = 160 lb

(+ (Mn = —160(cos 30°) (19) + 160sin 30*(0.5)

= —2593 lb • ft = 2.59 kip • ft (Clockwise) Ans

F1 =375 lb F2 = 500 lb

F3= 1601b

(34" = 375(11)

= 4125 lb- ft= 4.125 kip ft (Counterclockw is e) Ans

4 (+ (MN = 500(s)(5)-

= 2000 Ib • ft = 2.00 kip • ft (Coanterclockw is e) Ans

Ç+ (Mn ) 8 = 160sin 30° (0.5) -160cas 30° (0)

=40.0 lb- ft (Counterelockw is e) Aos

+34 = 40 cos25°(2•5) = 90.6 lb-ft 5 Aos

ç +Mc = 50 cos30°(3.25) = 141 lb•ft.) Aos

+41/4 = 30 cos25*(2.5) + 45cos30*(3.25) 4-15. If FB = 30 lb and Fc = 451b, determine the resultant moment about the bolt located at A.

44-13. Determine the moment about point B of each of the three forces acting on the beam.

4-14. Determine the moment of each force about the boit located at A. Take FB = 40 Ib, Fc = 50 Ib.

= 195 lb. ft 5 Ans

*4-16. The power pole supports the three lines, each line exerting a vertical force on the pole due to its weight as shown. Determine the resultant moment at the base D due to all of these forces. If it is possible for wind or ice to snap the lines, determine which line(s) when removed create(s) a condition for the greatest moment about the base. What is this resultant moment?

(+ MR. =MI; MR.= 700(3.5) -450(3) -400(4)

= -500 lb • ft = 500 lb -ft (Clockw ase) Ans

When the cable at A is removed it will crente the greatest moment at point D. Ans

(+ (MR.) = EFd;

(M50)... = -450(3)-400(4)

= -2950 lb • ft =2.95 kip • ft (Clockw is e) Ans

3.5 ft 4 ft

B

450 Ib C

400 lb 700 Ib

h- 3 ft

A

F=40 lb

8 ft

(a) 't +(MA)... 40(./82 + 22) = 330 lb • ft Ans

0 = tan-1 (-2

) = (4.04°

447. A force of 80 N acts on the handie of the paper cutter at A. Determine the moment created hy this force about the hinge at O, if O = 60°. At what angle O should the force be applied so that the moment it creates about point O is a maximum (clockwise)? What is this maxi-mum moment?

= E Pd; M'o = -80 cos 0(0,01) - 80 sin 0(0.4)

= -(0.800 c:os + 32.0 sin O) N • In

= 0.800 cos O + 32.0 sin O) N • m (Clockwise)

:At = 60°, = 0.800 eos 60° + 32.0 sin 60°

= 28.1 N • m (Clockwise) Aras

In order to produce the maximum and minimum moment about polar dM„

A. f) = O d

d M„ = dO

0 = -0.800 sin H + 32.0 cos O

O = 88.568° = 88.6' Ans

(102 = -0.800 eos O - 32.0 sin

d- 231" = -0.800eos 88.568° - 32.0 sin 88.568' = Sinet_ df12 1.88.368•

-,-32.(X) is a negativo value, indeed at O = 88.568°. the 80 N produ- ees a maximum clockwise moment at O. This maximum clockwise moment is

(Mo = 0.800 cos 88.568° + 32.0 sin 88.568°

= 32.0 N • m (Clockwise) Ans

d2 Ma

418. Determine the direction 0(0° < ©< 180°) of the force F = 40 lb so that it produces (a) the maximum moment about point A and (b) the minimum moment about point A. Compute the moment in each case.

O = 90° - 14.04° = 76.0°

Ans 8 ft

(b) +(MA)„,h, = O

Ans

2 0= tan-I (-) = 14.040

8 = 180° - 14.04° = 166" Ans

4 kN

4 kN

Anã

(a) c+Ax, = 50 sin60°(0.3)

MA = 12.99 = 13.0 N.rn Ana

12 (b) +MA = 0; —12.99 + F(13)(0.4) = O

F . 35.2 N

*4-19. The hub of the wheel can be attached to the axle either with negative offset (left) or with positive offset (right). If the tire is subjected to both a normal and radial load as shown, determine the resultant moment of these loads about the axle, point O for both cases.

For case 1 with negative offset, we have

c+Afo = 800(0.4) —4000(0.05)

= 120 N- in (Counterelockwise)

For case 2 with positive offset. we have

‘4- Mo = 800(0.4) +4000(0.05)

= 520 N • tn (Counterelockw ise) Ana

Ana

*4-20. The boom has a length of 30 ft, a weight of 800 lb, and mass center at G. If the maximum moment that can be developed by the motor at A is M = 20(103) lb • ft, determine the maximum load W, havíng a mass center at G', that can be lifted. Take e = 30°.

20(103) = 800(16~30°) + W(30cos30° + 2)

W = 3191b Ana

4-21. The, tool at A is used to hold a power lawnmower blade stationary while the nut is being loosened with the wrench. 1f a force of 50 N is applied to the wrench at B in the direction shown, determine the moment it creates about the nut at C. What is the magnitude of force F at A so that it creates the opposite moment about C?

4-22. Determine the moment of each of the three forces about point A. Solve the problem first by using each force as a whole, and then by using the principie of moments.

The moment arm rneasured perpendicular to each force from pointA is

dt = 2sin 60° = 1.732 m

d2 = Ssin 60° = 4.330 m d, =2sin 53.13° = 1.60 m

Using each force where Ms = Fd, we have

(M,,) A = —250(1.732)

= —433 N • tu =433 N • m

( gin)

A

=-300(4.330)

= —1299 N.m=1.30kN•m

Mr, A =

-500(1.60)

=-800N•m=800N•m

Using principie of moments, we have

Ç+ hfn ) A = —250cos 30° (2)

=-433 N • rn = 433 N • rn (Clockwise) Ans

c+ ( A = —300sin 60°(5)

=-1299N•m=1.30kN•tn (Clockwise) Ana

3 4 ç-t• ( Mn) A =500 )( •-■ 500(3)(5)

= —800 N • m = 800 N • m (Clockwise) Ans

F3 = 500 N

c.eg,,s-ba,%1

(Clockwise) Ans

(Clockwise) Ans

(Clockwise) Ans

4-23. As part of an acrobatic stunt, a man supports a girl who has a weight of 120 lb and is seated on a chair on top of the pule. 1f her center of gravity is at G, and if the maximum counterclockwise moment the man can exert on the pote at A is 2.50 lb • ft, determine the maximum angle of tilt, O, which will not allow the girl to fali, i.e., so her clockwise moment about A does not exceed 250 lb• ft.

In order to prevent the girl from falling down, the clockwise moinem produced by the gires weight must not exceded 250 lb

MA = 120(16sin O) 5 250 sin 9S0.1302

8=7.48° Ans

4-24. The two boys push on the gate with forces of FA = 30 lb and FE = 50 Ib as shown. Determine the moment of each force about C. Which way will the gate rotate, clockwise or counterclockwise? Neglect the thickness of the gate.

ç+ (^) = —3°(5)(9) = —1621b • ft = 162 lb. ft (Clockwite) Ans

( )e, a= 50(sin 60P) (O

= 260 Ib. ft (Counterclockwise) Ana

Since mije> (Mn) c, the gare mil roeste Corrneerelocktrist. Ana

4-25. Two boys push on the gate as shown. If the boy at B exerts a force of FF = 30 Ib, determine the magnitude of the force FA the boy at A must exert in order to prevent the gate from turning. Neglect the thickness of the gate.

In order to prrivent the pie from nsming, the resultam moment about point C musa be Nua! to zero.

3 MR = Re, . O = 30sin 60° (6) — FA (.3)(9)

FA = 28.9 lb Ans

Ans

20y + Y2 = 25z + z2

z2) + 2.25 +z2 = 25z + z2

z = 2.259 m

y = 2.712 m

1 2.259 9 coa

(Eri) 316*

o .20.

3 4,000M

4-26. The towline exerts a force of P = 4 kN at the end of the 20-m-long crane boom. If O = 30°, determine the placement x of the hook at A so that this force creates a maximum moment about point O. What is this moment?

MaltIlllintl somem. OB 1 BA

+(M0). = 4000(20) = 80 kN•in Ans

4.1taisin60°(x) — 4 k‘lcos60°(1.5) = 80 kN.m

x = 24.0 m Ana

4-27. The towline exerts a force of P = 4 kN at the end of the 20-m-long crane boom. If x = 25 m, determine the position O of the boom so that this force creates a maximum moment about point O. What is this moment?

Maximum moment. OB 1 BA

= 4000(20) = 80 000 1,7•m = 80.0 1c1■1•na Ans

4000 sin.(25) — 4000 cos#(13) = 80 000

2581n0 — 1.5 cos# = 20 ./Om o

95 = 56.43°

9= 90° — 56.43° = 33.6° 1.5m L

25m

Also,

(1.5)2 z2 = y2

2.25 + z2 = y2

Similar triangles

20+y 25 + z z y

ItOooN

a)

(+MÁ = 4(101/(3)2 +(2)2 = 1442 N • m

MA = 1.44 kN • in Ans

0 = tan-1(32) - = 33.69°

e = 90° - 33.69° = 56.3° Ans

b)

C+4gt = 0 Mu

*4-28. Determine the direction O for 0° 5 95 180° of the force F so that F produces (a) the maximum moment about point A and (b) the minimum moment about point A. Calculate the moment in each case.

F= 400 N

= tan-i(a) = 33.69° ■3

e = 180° 33.69° = 146° Ana

4-29. Determine the moment of the force F about point A as a function of O. Piot the results of M (ordinate) versus O (abscissa) for 0° < O s 1800.

k. M4 = 400sine(3) + 400 cose(2)

= 1200 sine+ 800 cose Ans

de = 1200 cose - 800 sie° = O

1200

= un i = 56.3° 114:0

12,00 sin 56.3° + 800 cos 56.3° = 1442 N ItO

dMA

F= 400 N

4-30. The total hip.replacement is subjected to a force of F = 120 N. Determine the moment of this force about the neck at A and at the stem B.

120N 15°

40 \m

15 mm

150°

10°

Moment About Point A : Tbe angle between the line of action of the load and the neck axis is 20°— 15° = 5°.

c+ 120sin 5°(0.04) = 0.418 N • m (Counterelockwise) Ans

Moment About Point B : dimension /can be dctennined using the law of sins.'.

1 55 sin 150° sin 10° 1= 158.4 rum = 0.1584 In

That,

+ Af, = —120sin 15*(0.1584) = —4.92 1•1•m .= 4.92 N •fn (Cloeknise)

°4-3'1 a The crane can be adjusted for any angle 0° s os

90° and, any extension O s x 5 m. For a suspended mass

of 120 kg, determine the moment developed at A as a

function of x and O. What values of both x and O develop

the maximum possible moment at A? Compute this

moment. Neglect the size of the pulley at B.

15()°

ç+ AIA = —120(9.81)(7.5+ x) cos = {-1177.2cos 0(7.5+x)} N • m = {1.18cos 8(7.5+x)) kN • tn (elockwise) Ana

The maximum mordem at A occuts when e = 0° and x = 5 m.

(+ (MA )_.. {-1177.2cos 0°(7.5+5)) N • rn —14715 N-

= 14.7 kN • in (clockwise)

2m

0.3 m

500 N

*4-32. Determine the angle O at which the 500-NI force Must act at A so that the moment of this force about point

is equal to zero.

.This problern requires that the resultant moment about point B be equal to zero.

+Mi?, = Fd; 2148, =O= 500 cos "0.3) — 500 sin 0(2)

O = 8.53' Ans

Also note that if the line of action of the 500 N force passes through point B, it produces zero moment about

\.2

point B. Henee, from the geometry

= tan _ i 0.3) =8.53°

4-33. Segments of drill pipe D for an oií well are tight-ened a prescribed amount by using a set of tongs T, which grip the pipe, and a hydraulic cylinder (not shown) to regulate the force F applied to the tongs. This force acts along the cable which passes around the small pulley P. If the cable is originally perpendicular to the tongs as shown, determine the magnitude of force F which inust be applied s that the moment about the pipe is M = 2000 lb • ft. ln order to maintain this. same moment what magnitude cif F is required when the tongs rotate 300 to the dashed position? Note: The angle DAP is not 90° in this position.

This problem requires that the moment produced by F and F' about tile z axis is 2000 lb ft.

= 2000 = F(I.5)

F = 1333.3 lb = 1.33 kip

F = F' coso, where

= 30„ tan _ ( 1.5 — 1.5 cos 30° )

2.25

= 35.104'

1333.33 — 1.63 kip F = cos 35.104°

Ans

Ans

x

rAc = { —3j — 2k) m

rAo = r/(1)2 + (-3)2 + (-2)2 = 3.742 m

MB = rBA xF= 3cos45° (3— 3sin45°) rie-(80)

MB = {-37.61 + 90.7j — 155k} N.na Ans

4-38. The curved rod lies in the x-y plane and has a radius of 3 m. If a force of F = 80 N acts at its end as shown, determine the moment of this force about point O.

4-39. The curved rod lies in the x-y plane and has a radius

of 3 m. If a force of F = 80 N acts at its end as shown, determine the moment of this force about point B.

z

rAo = {11 — 3j — 21c} m

rAo = 1/(1)2 + (-3)2 + (-2)2 = 3.742 m

j k Mo = roo x F = 4 O —2

1"az(80 —Ei2(8°) —9 42(80)

Mo = {-1281 + 128j — 257k} N•zn Azas

*4-40. The force F = {600i + 300j — 600k} N acts at the end cif the beam. Determine the moment of the force about point A.

r {0.21 + 1.2J} m

J k MA = r43 x F = 0.2 1.2 O

600 300 —600

MA = {-720i + 120j — 660k} N•an Atas

&gement of Force FAB Abosst Point C : Applying Exi.4 - 7, we have

Position Vector and Force Vector :

rcA = {(5sin 60° -0)j+ (Scos 6C/' -5)k} m {4.330j-2.50k} tn

1. ( (6 - O) + (7 - 5sin 60°)j+ (O - Scos 60°) k

lb AH -60 r V(6-0)2 + (7 -5sin 60))2 + (0 - 5cos 60")2

= {51.2311+22.797j-21.346k} lb

Mc = rcA X FAB

j k =1 O 4.330 -2.50

51.231 22.797 -21.346

4-41. The curved rod has a radius of 5 ft. ff a force of 601b acts at its end as shown, determine the moment of this force about point C.

( 6i + (7- 5sin60°)j - 5cos60`k FAB = FAB

11(6)2 + (7- 5sin60°)2 + (-5 cos 60°)2)

rc.4 = {4.3301j - 2.5k} ft 4-43. Determine the smallest force F that must be applied „, along the rope in order to cause the curved rod, which has a radius of 5 ft, to fail at the support C. This requires a moment of. M = 80 lb • ft to be developed at C.

{-35.41 - 128j - 222k} lb•ft Ans

4-42. A force F having a magnitude of F= 100 N acts along the diagonal of the parallelepiped. Determine the moment of F about point A, using MA = In x F and MA =

x F.

F = too (-0.41 +0.6j + 0.2 k) 0.7483

F = {-53.5 + 80.2j + 26.7 k} N

1 J k MA = rs x F = O -0.6 O = {-16.01 - 32.110 N• m

- 53.5 80.2 26.

ALso,

1...i j k

MA = rC x F it -0.4 O 0.2 = {- 16.01 - 32.1 k} N• m Ama 53.5 80.2 26.

FAB = F4,9 (0.85381 + 0.3799j - 03558k)

Mc = IrcA X FAB

Mc = FAB I O 4.3301 -2k.5 I 0.8538 0.3799 -0.3558

Mc = Pis (-0.59091 + 2.135j - 3.697k)

Mc = F„, 14-0.5909)2 4 (2.135)2 + (-3.697)2

80 = FAB (4.310)

80 18.5618 lb

FAB 4.310 =

FAB = 18.6 lb Ans

Position Vector And Force Vector :

roa = {(0-0)1+(1cos 30°-0)j+(lsin 30°-0)k) m = {0.8660j + 0.5k } m

roA = ((0.5sin 30° -O) + (0.5 +0.5cos 30°-0)j+(0-0)k) m ={0.2501+0.9330j} m

F =450 (0-0.5sin 30°) + [ lcos 30° - (0.5 + 0.5cos 30°)Jj+ ( lsin 30° -0)k 1 ,

1/(0-0.5sin 30°)2 + [ lcos 30° - (03 + 0.5cos 30'112 isin 30° -0)2

= {-199.821 - 53.54j + 399.63k} N

y

F2= 00i - 100j - 60k}N

z

4-46. Strut AB of the 1-m-diameter hatch door exerts a force of 450 N on point B. Determine the moment of this force about point O.

Moment of Force F About Point O : Applying Eq.4 - 7, we have

x

Mo = ro, x F

= O 0.8660 0.5 -199.82 -53.54 399.63

= (3731- 99.9j+ 173k) N • rn Ans Or

Mo = roA x F

= 0.250 0.9330 O -199.82 -53.54 399.63

= (3731-99.9j + 173k} N. m

4-47. Cartesian vector analysis, determine the resuitant moment of the three forces about the base of the colurnn at A. Take F1 = {4001 + 300j + 120k} N.

x

(M,,),

(M4 )2

=

=

ii O

400

O i100

j O

300

O -100

ki 12 12

12 ,k501

= {-3.61 + 4.8j} kN•ns

= {1.21 + 1.2j} kN.rn

j 1:01 (n), = l

-

o -1 o = (0.50 leN•in O O 5

M4, = -3.6+ 1.2 + 0.5 = -1.90kN•m

MA, = 4.8 + 12 = 6.00 kN-rn

/1/4, = O

MR = {-1.901 ÷ 6.00j} kN•ns Ans

44

y

Mo = i(-14)2 + (8)2 + (2)2 = 16.25 14•331

F = i(6)2 + (8)2 +(10)2 = 14.14 N

16.25 d = = 1.15 m Aos 14.14

*4-48. A force of F = {6i — moment of Mo = {4i + 5j origin of coordinates, point O. having an x coordinate of x = Z coordinates.

Mo = ir x F

j 41 +5j —14k =

II 1 y z

6 —2 1

2j + lk} kN produces a — 14k} kN • m about the If the force acts at a point 1 m, determine the y and

4 = y 2,z

5= —1 + 6z

—14 = —2 —6y

y = 2 m

z = 1 m

Ans

Mis

4-49. The force F = {6i + 8j + 10k} N creates a moment about point O of Mo = { —14i + 8j + 2k} N • m. If the force passes through a point having an x coordinate of 1 m, determine the y and z coordinates of the point.Also, realizing that Mo = Fd, determine the perpendicular distance d from point O to the line of action of F.

—141 + +2k = 11 yi 1:1 6 8 10

—14= 10y-8z

8= —10 + 6z

2 = 8 —6y

Y = 1 m Aos

z=3m Aos