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Preparação para o ENA 2021Lista 4

Paulo Rodrigues

www.cadernosdematematica.com.br

09 de Outubro de 2020

Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat

Conteúdo

Neste arquivo:▶ Soluções completas da Lista 2▶ Dicas para a Lista 3▶ Problemas da Lista 4

Lista 02

Seguem as respostas e dicas dos problemas da lista 02.

Respostas das Questões da Lista 2

11 12 13 14 15B C C A B

A lebre e a tartaruga

(11) Uma tartaruga desafia uma lebre para uma corrida. A lebre concorda ansiosamentee rapidamente corre à frente, deixando para trás a lenta tartaruga. Confiante de quevai vencer, a lebre pára para tirar uma soneca. Enquanto isso, a tartaruga anda em umritmo lento e constante durante toda a corrida. A lebre acorda e corre para a linha dechegada, apenas para encontrar a tartaruga já lá. Qual dos seguintes gráficos correspondeà descrição da corrida, mostrando a distância d percorrida pelos dois animais ao longo dotempo t do início ao fim?

(a) tempo

distân

cia

(b) tempo

distân

cia

(c) tempo

distân

cia

(d) tempo

distân

cia

(e) tempo

distân

cia

Sugestões e Fatos que ajudam:

Em quais itens a lebre vence? Em quais ela vai num ritmo constante?

Solução – A lebre e a tartaruga

Solução: (1) Como a tartaruga mantém ritmo constante, o gráfico correspondente ao seutrajeto deve ser uma reta.(2) Já o gráfico da lebre, deve ter um trecho paralelo ao eixo do tempo, porque ela parou para tiraruma soneca.(3) Além disso, como a tartaruga ganhou, ela deve atingir a distância máxima num tempo menor.Analisando as alternativas, verificamos que (b) é o único que satisfaz essas condições.

Descontos Sucessivos

(12) Para o consumidor, um único desconto de n% é mais vantajoso do que qualquerum dos seguintes descontos:

(1) dois descontos sucessivos de 15%(2) três descontos sucessivos de 10%(3) um desconto de 25% seguido por um desconto de 5%

Qual é o menor valor inteiro positivo possível de n?(a) 27 (b) 28 (c) 29 (d) 31 (e) 33


Calcule os descontos nos três itens. Para facilitar os cálculos lembre, porexemplo, que dar um desconto de 15% é o mesmo que multiplicar por .85.

Solução – Descontos Sucessivos

Solução: (1) Dois descontos sucessivos de 15% correspondem a um único desconto de

1− 0, 85× 0, 85 = 27, 75%.

(2) Três descontos de 10% correspondem a um desconto de

1− 0, 9× 0, 9× 0, 9 = 27, 71%.

(3) Um desconto de 25% seguido por um de 5% corresponde a um único de

1− 0, 75× 0, 95 = 28, 75%.

Portanto, um único desconto de 29% é melhor que os descontos sucessivos acima.

Dados Diferentes

(13) As faces em cada um de dos dois dados justos são numeradas com 1, 2, 3, 5, 7 e8. Quando os dois dados são lançados, qual é a probabilidade de que sua soma seja umnúmero par?(a) 49 (b)

12 (c)

59 (d)

35 (e)

23


Faça uma tabela com todos os casos OU conte a quantidade de resultadospossíveis nos quais os resultados são do tipo PAR-PAR ou ÍMPAR-ÍMPAR.

Solução – Dados Diferentes

Solução:

Podemos fazer montando uma tabela de possi-bilidades. Paramelhor entender o que acontece,vamos colocar primeiro os pares e depois os ím-pares.O espaço amostral tem 6 × 6 = 36 elementose destes, um total de 2× = 42 corresponde asomas do tipo PAR + PAR e 4 × 4 = 16 corres-pondem a somas do tipo ÍMPAR + ÍMPAR.Portanto, a probabilidade procurada é 20/36 =5/9. (Observe que não é necessário preencher atabela)

2

2

8

8

1

1

3

3

5

5

7

7

4 10 3 5 7 9

10 16 9 11 13 15

3 9 2 4 6 8

5 11 4 6 8 10

7 13 6 8 10 12

9 15 8 10 12 14

Equação Irracional?

(14) Suponha que o número real x satisfaz√49− x2 −

√25− x2 = 3.

Qual o valor de√

49− x2 +√

25− x2?(a) 8 (b)

√33+ 8 (c) 9 (d) 2

√10+ 4 (e) 12


Faça√

49− x2 = a e√

25− x2 = b. Sabemos que a − b = 3. Calculea2 − b2 e, a partir daí, calcule a+ b.

Solução – Equação Irracional?

Solução: Fazendo√

49− x2 = a e√

25− x2 = b, temos a− b = 3 e

a2 − b2 = (49− x2) − (25− x2) = 24.

Portanto,

a+ b =a2 − b2

a− b=

243

= 8.

Cevianas e Áreas

(15) Em um triânguloABC, o pontoD divide o ladoAC de tal modo queAD : DC = 1 : 2.Seja E o ponto médio de BD e seja F o ponto de interseção das retas BC e AE. Sabendoque a área de △ABC é 360 cm2, determine a área do △EBF em cm2.

B F C

D

A

E

(a) 24 (b) 30 (c) 32 (d) 36 (e) 40


Construa por D um paralela a AF que intersecta BC emM. Use o teoremade Tales para determinar as razões nos quais M divide o lado BC.

Solução – Cevianas e Áreas

Solução:

B F C

D

A

E

M

x

2x

y y 2y

Construímos por D um reta paralela a AF, a qualintersecta BC em M. Como BE = ED, por Talesobtemos que BF = FM. Como AD : DC = 1 : 2,obtemos que FM : MC = 1 : 2. Deste modo,BF : BC = 1 : 4.Por outro lado, de AD : AC = 1 : 3, segue queS△ADBS△ABC

= 1/3 e, então, S△ADB = 120. Como AE émediana no △ABD, S△ABE = S△AED = 120/2 =60.Para concluir, como BF : BC = 1 : 4, S△ABF =S△ABC/4 = 90 e, então S△EBF = S△ABF−S△ABE =90− 60 = 30.

Desafio 3

Uma circunferência de raio r está inscrita em um setor circular de raio R. Ocomprimento da corda AB é igual a 2a.

R

2a

B

A

Prove que1r=

1R+

1a.

Sugestões e Fatos que Ajudam

Se duas circunferências são tangentes, então o ponto de tangência e os centros dascircunferências são colineares.Se uma reta é tangente a uma circunferência, então o segmento que une o centro dacircunferência ao ponto de tangência e perpendicular à reta.Utilize semelhança de triângulos.

Solução:

2a

B

A

a

R− r

Rr

CO

B

A

D

O1

Denotemos por D o ponto de tangência de AO com acircunferência. Então OD̂O1 = 90◦. Observe tambémque AC = AB/2 = a.Por outro lado, OĈA = 90◦. Os triângulos ODO1 e OCAsão semelhantes pois possuem um ângulo comum e umângulo reto. Portanto,

OO1OA

=O1DAC

,

isto é, R−rR =ra . Dividindo por r, chegamos a

R−rRr =

1a

donde1a+

1R=

1r.

Respostas das Questões da Lista 03

16 17 18 19 20 DesafioD B B A D 521

Soma dos quadrados das raízes

(16) A soma dos quadrados das raízes da equação x2 + 2hx = 3 é 10. O valor absolutode h é igual a(a) −1 (b) 1/2 (c) 3/2 (d) 1 (e) 2


A soma e o produto das raízes da equação quadrática ax2 + bx + c = 0são dados por −b/a e c/a.Use a identidade r2 + s2 = (r+ s)2 − 2rs.

Perímetro do Retângulo

(17) Se o perímetro de um retângulo ABCD é 20 cm, o menor valor para a diagonal AC,em cm, é(a) 0 (b)

√50 (c) 10 (d)

√200 (e) NDA


Lembre que se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valormínimo e este valor ocorre para x = −b/2a.Expresse o quadrado da diagonal em função de um dos lados

Inequação

(18) Se x2 − 5x+ 6 < 0 e P = x2 + 5x+ 6 então(a) P pode assumir qualquer valor real (b) 20 < P < 30 (c) 0 < P < 20(d) P < 0 (e) P > 30


Lembre que se a > 0, a inequação ax2 + bx+ c < 0 é satisfeita para todosos valores de x entre as raízes da equação.

Sistema do Segundo Grau

(19) Para quais valores reais de y o sistema

x2 + y2 − 16 = 0 e x2 − 3y+ 12 = 0

tem uma solução real comum?(a) Somente 4 (b) −7 e 4 (c) 0 e 4 (d) nenhum y (e) qualquer valor de y


(1) Substitua o valor de x2 na primeira equação a partir do valor encon-trado na segunda OU (2) Mostre que, da primeira equação temos y ⩽ 4e na segunda temos y ⩾ 4 OU (3) Interprete as curvas descritas pelasequações.

Correnteza

(20) A correnteza de um rio está fluindo continuamente a 3 quilômetros por hora. Umbarco amotor que viaja a uma velocidade constante em águas paradas desce 4 quilômetrosrio abaixo e então retorna ao seu ponto de partida. A viagem dura uma hora, excluindoo tempo gasto para fazer a volta do barco. A relação entre a velocidade de descida e desubida do rio é(a) 4 : 3 (b) 3 : 2 (c) 5 : 3 (d) 2 : 1 (e) 5 : 2


Seja v a velocidade que o barco viaja em águas paradas. Expresse o tempode descida em função de v. Faça omesmo para o tempo de subida e lembreque a soma destes é igual a 1 hora.

Desafio 4

Sejam a e b as raízes da equação x2 = x+ 1. Mostre que a13 + b13 é um inteiro edetermine seu valor.

Sugestão:

Seja cn = an + bn. A partir de a2 = a+ 1 e b2 = b+ 1, mostre que cn+2 = cn+1 + cn.


Lista 04

Nesta lista propomos problemas relacionados ao conteúdo da Aula 01 – Equação doSegundo Grau.


Produto das Raízes

(21) Qual o produto das raízes reais da equação

x2 + 18x+ 30 = 2√

x2 + 18x+ 45?

(a) 10 (b) 20 (c) 30 (d) 40 (e) 50


Produto de Consecutivos

(22) Calcule√(31)(30)(29)(28) + 1

(a) 859 (b) 869 (c) 879 (d) 889 (e) 899


Equacão Fracionária

(23) As raízes da equação

1x2 − 10x− 29

+1

x2 − 10x− 45−

2x2 − 10x− 69

= 0

são

(a) 13 e −3 (b) −13 e 3 (c) 13 e 3 (d) −13 e −3 (e) −13 e 13


Quinta Potência

(24) Seja r uma raiz da equação x2 + x = 1. Determine o valor de

r5 − 5r.

(a) −5 (b) −3 (c) 1 (d) 3 (e) 5


Frações e Radicais

(25) Sex+

√x2 − 1+

1

x−√x2 − 1

= 20

entãox2 +

√x4 − 1+

1

x2 +√x4 − 1

=

(a) 5, 05 (b) 20 (c) 51, 005 (d) 61, 25 (e) 400


Desafio 5

Mostre que, para todos a, b, c ∈ R com a ̸= 0 que a equação abaixo possui duas raízesreais distintas.

1x− b

+1

x− c=

1a2.

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