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Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Método de Newton-Raphson
(Tangentes)
Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Iniciais
Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo
método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre
converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial
dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não
muda de sinal, a raiz não é encontrada.
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Considerações Iniciais
Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson.
Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e
encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas
desvantagens:
• Nem sempre converge;
• Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre
é uma tarefa fácil.
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Definição
Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:
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Definição
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Definição
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Definição
Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de
iteração. Veja:
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Interpretação Geométrica do método de Newton
Vejam que a cada
iteração a raiz se
aproxima mais da raiz
real ξ.
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Critérios de Convergência
As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):
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Exemplo
12
6
12
62
12
6
2
1
22
2
1
0
001
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
xf
xfxx
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Exemplo
Portanto, temos que:
12
62
1x
xx
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Exemplo
Desta forma, temos:
12
62
1x
xx
132
632
1x 1429,21x
6²3|)(| 0xf Portanto, continua!
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Exemplo
Tomando a nova iteração:
12
6
1
1
2
112
x
xxxx
11429,22
61429,21429,21429,2
2
2x
1429,21x
7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua!
0039,22x
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Exemplo
Continuando...
0039,22x
Quadro!
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Exemplo
Generalizando, temos:
xn xn f(xn) f(x1)
X0 3 6 2,1429
X1 2,1429 0,7349 2,0039
x2 2,0039 0,0195
0039,2x
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Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
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Exemplo
Então, se:
Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3,
podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua
proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.
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Exemplo
Calcula o erro...
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Exemplo
Calcula o erro...
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Exemplo
Calcula o erro...
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Calcula o erro...
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Exemplo
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Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:
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Exemplo
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Exemplo
Quadro!
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Quando o Método de Newton pode não Convergir?
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A não convergência do método pode ocorrer nos pontos
de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a
concavidade.
Quando o Método de Newton pode não Convergir?
O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não
converge.
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Quando o Método de Newton pode não Convergir?
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Considerações Finais
No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior
da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um
valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método
converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a
função no ponto inicial não representa bem a função naquele
ponto.
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Considerações Finais
O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a
convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número
mínimo de iterações.
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Exercícios
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