Download - Miary_deformacji
-
Dla paskiego ciaa materialnego, ktrego konfiguracj pocztkow podaje Rys. 1, przy zaoeniu, e znane s rwnania deformacyjne ciaa w opisie materialnym:
+=
+=
212
211
22 XXxXXx
1. Wyznaczy: a) W opisie materialnym: EH,C,F, , u b) W opisie przestrzennym: e,Hc,,F 11 , u
2. Dokona biegunowego rozkadu F 3. Narysowa konfiguracj aktualn.
A
C
0 X 1
X 2
4
2
B
Rys. 1 Ciao w konfiguracji pocztkowej
Ad. 1 a) W opisie materialnym
Materialny gradient deformacji:
=
=
2211
XxiF
Tensor deformacji Greena:
=
==
5335
2211
2121
FFC T
Tensor odksztacenia Lagrangea-Greena:
( )
=
==
223
232
1001
5335
21
21 1CE
Pole przemieszcze:
+==
+===
221222
121111
)22()()()(
XXXXXxuXXXXXxu
u
+=
=
=
212
21
2 XXuXu
u
-
Materialny gradient przemieszczenia:
=
=
1210
XuiH
Sprawdzenie poprawnoci oblicze: 1FH =
H1F =
=
=
1210
1001
2211
( )HHHHE ++= TT21
( ) =
+
+
=++1210
1120
1120
1210
21
21 HHHH TT
E=
=
+
+
=
223
232
2224
1120
1210
21
b) W opisie przestrzennym
Rwnania deformacyjne ciaa w opisie przestrzennym:
+=
=
212
211
41
21
41
21
xxX
xxX
Przestrzenny gradient deformacji:
=
=
41
21
41
21
1
ix
X F
Tensor deformacji Cauchyego:
( )
=
==
810
021
41
21
41
21
41
41
21
21
11 FFc T
Tensor odksztacenia Eulera-Almansiego:
( )
=
==
1670
041
810
021
1001
21
21
c1e
Pole przemieszcze:
+==
==
=
)41
21()(
)41
21()(
212222
211111
xxxxXxu
xxxxXxuu
-
+=
+==
212
211
43
21
41
21
xxu
xxu
u
Przestrzenny gradient przemieszczenia:
=
=
43
21
41
21
1
ix
uH
Sprawdzenie poprawnoci oblicze:
11 = F1H
11
43
21
41
21
41
21
41
21
1001
=
=
= HF1
( ) ( )( )111121
+= HHHHe TT
( ) ( )( ) =
+
=+
43
21
41
21
43
41
21
21
43
41
21
21
43
21
41
21
21
21 1111 HHHH TT
e=
+
=
43
41
21
21
43
41
21
21
43
21
41
21
21
Ad. 2 Biegunowy rozkad materialnego gradientu deformacji F
Wykorzystujc twierdzenie Cauchyego o biegunowym rozkadzie tensora F , moemy zapisa: URF = , RVF =
Musimy wyznaczy tensor obrotu R , prawy tensor rozcignicia U oraz lewy tensor rozcignicia V . W tym celu wykorzystamy obliczenia wczeniejsze i znajomo tensora F i C :
=
2211
F ,
===
5335
FFUUC T
Z tensorem
=
5335
C przechodzimy do jego osi wasnych.
Wartoci wasne, macierz przejcia:
21 )3(2
)55(2
)55(+
++
= 81 =
21 )3(2
)55(2
)55(+
+= 22 =
-
==
= 45185
311 tg
=
=
22
22
22
22
cossinsincos
11
11
W ukadzie osi wasnych:
=
==
2008
00
2
1
UUC
=
20022U
Prawy tensor rozcignicia U w ukadzie wyjciowym: UU = T
=
==
223
22
22
223
22
22
22
22
20022
22
22
22
22
UU T
Sprawdzenie: UUC =
CUU =
=
5335
Tensor obrotu R : ( ) UFR = 1T
( )
=
1122
411TF
=
=
22
22
22
22
223
22
22
223
1122
41R
Sprawdzenie: 1RR =T
1RR =
=
1001T
URF =
FUR =
=
2211
Lewy tensor rozcignicia V : TRFV =
-
0 x1
x2
c(2,4)
b(6,-4)
a(4,-8)
=
=
22002
22
22
22
22
2211
V
Sprawdzenie: RVF =
FRV =
=
2211
TFFVV =
TFFVV =
=
8002
Ad. 3 Narysowa konfiguracj aktualn.
Rys. 2 Ciao w konfiguracji aktualnej