Dla paskiego ciaa materialnego, ktrego konfiguracj pocztkow podaje Rys. 1, przy zaoeniu, e znane s rwnania deformacyjne ciaa w opisie materialnym:

+=

+=

212

211

22 XXxXXx

1. Wyznaczy: a) W opisie materialnym: EH,C,F, , u b) W opisie przestrzennym: e,Hc,,F 11 , u

2. Dokona biegunowego rozkadu F 3. Narysowa konfiguracj aktualn.

A

C

0 X 1

X 2

4

2

B

Rys. 1 Ciao w konfiguracji pocztkowej

Ad. 1 a) W opisie materialnym

Materialny gradient deformacji:

=

=

2211

XxiF

Tensor deformacji Greena:

=

==

5335

2211

2121

FFC T

Tensor odksztacenia Lagrangea-Greena:

( )

=

==

223

232

1001

5335

21

21 1CE

Pole przemieszcze:

+==

+===

221222

121111

)22()()()(

XXXXXxuXXXXXxu

u

+=

=

=

212

21

2 XXuXu

u

Materialny gradient przemieszczenia:

=

=

1210

XuiH

Sprawdzenie poprawnoci oblicze: 1FH =

H1F =

=

=

1210

1001

2211

( )HHHHE ++= TT21

( ) =

+

+

=++1210

1120

1120

1210

21

21 HHHH TT

E=

=

+

+

=

223

232

2224

1120

1210

21

b) W opisie przestrzennym

Rwnania deformacyjne ciaa w opisie przestrzennym:

+=

=

212

211

41

21

41

21

xxX

xxX

Przestrzenny gradient deformacji:

=

=

41

21

41

21

1

ix

X F

Tensor deformacji Cauchyego:

( )

=

==

810

021

41

21

41

21

41

41

21

21

11 FFc T

Tensor odksztacenia Eulera-Almansiego:

( )

=

==

1670

041

810

021

1001

21

21

c1e

Pole przemieszcze:

+==

==

=

)41

21()(

)41

21()(

212222

211111

xxxxXxu

xxxxXxuu

+=

+==

212

211

43

21

41

21

xxu

xxu

u

Przestrzenny gradient przemieszczenia:

=

=

43

21

41

21

1

ix

uH

Sprawdzenie poprawnoci oblicze:

11 = F1H

11

43

21

41

21

41

21

41

21

1001

=

=

= HF1

( ) ( )( )111121

+= HHHHe TT

( ) ( )( ) =

+

=+

43

21

41

21

43

41

21

21

43

41

21

21

43

21

41

21

21

21 1111 HHHH TT

e=

+

=

43

41

21

21

43

41

21

21

43

21

41

21

21

Ad. 2 Biegunowy rozkad materialnego gradientu deformacji F

Wykorzystujc twierdzenie Cauchyego o biegunowym rozkadzie tensora F , moemy zapisa: URF = , RVF =

Musimy wyznaczy tensor obrotu R , prawy tensor rozcignicia U oraz lewy tensor rozcignicia V . W tym celu wykorzystamy obliczenia wczeniejsze i znajomo tensora F i C :

=

2211

F ,

===

5335

FFUUC T

Z tensorem

=

5335

C przechodzimy do jego osi wasnych.

Wartoci wasne, macierz przejcia:

21 )3(2

)55(2

)55(+

++

= 81 =

21 )3(2

)55(2

)55(+

+= 22 =

==

= 45185

311 tg

=

=

22

22

22

22

cossinsincos

11

11

W ukadzie osi wasnych:

=

==

2008

00

2

1

UUC

=

20022U

Prawy tensor rozcignicia U w ukadzie wyjciowym: UU = T

=

==

223

22

22

223

22

22

22

22

20022

22

22

22

22

UU T

Sprawdzenie: UUC =

CUU =

=

5335

Tensor obrotu R : ( ) UFR = 1T

( )

=

1122

411TF

=

=

22

22

22

22

223

22

22

223

1122

41R

Sprawdzenie: 1RR =T

1RR =

=

1001T

URF =

FUR =

=

2211

Lewy tensor rozcignicia V : TRFV =

0 x1

x2

c(2,4)

b(6,-4)

a(4,-8)

=

=

22002

22

22

22

22

2211

V

Sprawdzenie: RVF =

FRV =

=

2211

TFFVV =

TFFVV =

=

8002

Ad. 3 Narysowa konfiguracj aktualn.

Rys. 2 Ciao w konfiguracji aktualnej