![Page 1: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/1.jpg)
Prednáška č. 2
Numerické metódy matematiky I
Riešenie nelineárnych rovníc
![Page 2: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/2.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Opakovanie2. Niečo z funkcionálnej analýzy3. Úvod4. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie5. Metóda bisekcie (polenie intervalu)6. Rýchlosť konvergencie7. Metóda regula falsi8. Metóda sečníc9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)11. Aitken-Steffensenove metódy12. Zopár poznámok 13. Literatúra
![Page 3: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/3.jpg)
Opakovanie 1. prednášky
OBSAH
1. Zdroje a typy chýb
2. Definície chýb
3. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
4. Reprezentácia čísel
5. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
![Page 4: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/4.jpg)
Zdroje a typy chýb
Ľudské chyby
Chyba matematického modelu
rozdiel medzi riešením matematického (často idealizovaného) problému
a riešením reálneho problému
Príklad: Výpočet povrchu Zeme pomocou vzorca S= 4 π r 2
Chyby vstupných dát
spôsobené nepresnosťami pri meraní fyzikálnych veličín
![Page 5: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/5.jpg)
Zdroje a typy chýb
Chyby numerickej metódy
Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy
jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby
je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.
Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja
Je známe, že sčítaním prvých n členov postupnosti sa dopustíme chyby veľkosti najviac
3 5 7 9 2 1sin 1
3! 5! 7! 9! 2 1 !
nnx x x x xx x
n
1/ 2 1 !n
![Page 6: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/6.jpg)
Zdroje a typy chýb
Zaokrúhľovacie chyby
Pri výpočtoch pracujeme s číslami zaokrúhlenými na určitý počet miest.
Tieto chyby sa môžu pri výpočte kumulovať alebo aj navzájom rušiť.
Príklad: Číslo π nevieme do počítača vložiť presne. Rovnako aj výsledok operácie 2/3 nebude v počítači
presný.
Pri riešení reálneho problému sa obvykle vyskytujú
všetky chyby súčasne.
![Page 7: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/7.jpg)
Definície chýb
Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.
nazývame absolútna chyba aproximácie.
Relatívna chyba
x x x∆
x x xx x
∆
x
![Page 8: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/8.jpg)
Definície chýb
Odhad chýb
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
t.j.
nazývame odhad absolútnej chyby.
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
nazývame odhad relatívnej chyby.
Často používame zápisy
x ε∆
x x ε
x x xε ε
xx
δ∆
1x x δ
ε
δ
![Page 9: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/9.jpg)
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆
1 1
x xx : x x
n n
i ii ii i
f ff f f x x
x x∆ ∆ ∆
(1)
1
xx
n
iii
ff x f x
x∆
![Page 10: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/10.jpg)
Zaokrúhľovanie
Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení
Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.
Ak platí nerovnosť (3) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných cifier
a je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla na p platných cifier.
x
1 11 2 110 10 10 , 0.e e e k
kx d d d d
kd10,5 10e kx x
x
x x
(3)
k p 1k p x
x
![Page 11: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/11.jpg)
Zaokrúhľovanie
Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.
Ak platí nerovnosť (4) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných desatinných miest.
0,5 10 kx x
x x
(4)
k p 1k p x
![Page 12: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/12.jpg)
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973 4 2
99,9973 100,002 5 2
-0,003728 -0,0041 1 3
1,841.10-6 2,5.10-6 0 5
xx
![Page 13: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/13.jpg)
Reprezentácia čísel v počítači
základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu
βp
,L U
2β 1p
0L U
Každé číslo F má tvar
kde
x 32
1 2 1, pep
dddx m m dββ β β
m je normalizovaná mantisa,
sú cifry mantisy,
p je počet cifier mantisy a
je celočíselný exponent.
Normalizácia mantisy znamená, že pre je
0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ
,e L U
10 1.x d
![Page 14: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/14.jpg)
Reprezentácia čísel v počítači
Príklad
Preskúmajte, aké čísla môžeme zobraziť
v modelovom binárnom systéme F v prípade,
že mantisa má p=4 cifry a exponent e je obmedzený zdola číslom L=-3 a zhora číslom U=2, t.j.
3 2e
![Page 15: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/15.jpg)
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú
malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.
Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát
priradí výsledok z množiny výstupných dát.
Hovoríme, že matematická úloha
je korektná, keď
y f xx D
y R
, , ,y f x x D y R
1. ku každému vstupu existuje jediné riešenie ,2. toto riešenie závisí spojito na vstupných dátach,
t.j. keď , potom .
x D y R
x a f x f a
![Page 16: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/16.jpg)
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach
vyvolá malú zmenu riešenia.
Číslo podmienenosti úlohy definujeme ako
Ak , je úloha dobre podmienená.
Pre veľké (>100) je úloha zle podmienená.
relatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupepC
1pC
pC
![Page 17: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/17.jpg)
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že algoritmus je dobre podmienený, ak je málo citlivý na poruchy vo vstupných dátach.
Ak je vplyv zaokrúhľovacích chýb na výsledok malý, hovoríme o numericky stabilnom algoritme.
Dobre podmienený a numericky stabilný algoritmussa nazýva stabilný.
![Page 18: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/18.jpg)
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Príklady:
1. Korene kvadratickej rovnice
2. Výpočet integrálu
2 2 0x bx c
11
0
1,2,...n xnE x e dx n
![Page 19: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/19.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Opakovanie2. Niečo z funkcionálnej analýzy3. Úvod4. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie5. Metóda bisekcie (polenie intervalu)6. Rýchlosť konvergencie7. Metóda regula falsi8. Metóda sečníc9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)11. Aitken-Steffensenove metódy12. Zopár poznámok 13. Literatúra
![Page 20: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/20.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Metrický priestor
Definícia: Nech X je množina (prvkov akéhokoľvek typu). Hovoríme, žena tejto množine je definovaná metrika d, ak každým dvom prvkom
je priradené reálne číslo tak, že
1) , 0 , , , 0
2) , , ,
3) , , , , ,
d x y x y X d x y x y
d x y d y x x y X
d x z d x y d y z x y z X
,x y X ,d x y
Množinu X s metrikou d potom nazývame metrický priestor.
![Page 21: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/21.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Definícia: Nech X je metrický priestor s metrikou d a nech
je postupnosť prvkov z X. Hovoríme, že je limitou tejto
postupnosti, ak ku každému existuje prirodzené číslo N také,
že pre všetky platí .
x X
Postupnosť, ktorá ma limitu sa nazýva konvergentná.
1n nx
0ε n N ,nd x x ε
![Page 22: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/22.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Definícia: Nech X je metrický priestor s metrikou d a nech
je postupnosť prvkov z X. Hovoríme, že táto postupnosť je
cauchyovská, ak ku každému existuje prirodzené číslo N také,
že pre všetky a každé prirodzené číslo k platí
Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská.
Definícia: Metrický priestor je úplný ak každá cauchyovská postupnosť v ňom má limitu.
1n nx
0ε n N
, .n n kd x x ε
![Page 23: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/23.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Definícia: Hovoríme, že F je zobrazenie množiny X do množiny Y,
píšeme ,
ak každému prvku je pomocou F priradený
práve jeden prvok
:F X Yx X
,y Y y F x
Definícia: Prvok sa nazýva pevný bod zobrazenia , ak platí
:F X Xx X .F x x
![Page 24: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/24.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
![Page 25: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/25.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Definícia: Nech X je metrický priestor. Hovoríme, že zobrazenie
je kontraktívne ak existuje také,že pre každé dva prvky platí
:F X X,x y X
, ,d F x F y d x yα
Číslo sa nazýva koeficient kontrakcie.α
0,1α
![Page 26: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/26.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Veta: Nech X je úplný metrický priestor a
je kontraktívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia , pre ktorý platí
kde je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná:
:F X Xξ
lim ,nnxξ
1n nx
![Page 27: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/27.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Veta: Nech X je úplný metrický priestor a
je kontraktívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia , pre ktorý platí
kde je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná:
je ľubovoľný prvok X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom
:F X Xξ
lim ,nnxξ
1n nx
0x
1 , 0,1,...k kx F x k
![Page 28: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/28.jpg)
Niečo z funkcionálnej analýzy
Veta: Nech X je úplný metrický priestor a
je kontraktívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia , pre ktorý platí
kde je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná:
je ľubovoľný prvok X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom
:F X Xξ
lim ,nnxξ
1n nx
0x
1 , 0,1,...k kx F x k
Ďalej pre všetky prirodzené čísla n platí:
1
1
, ,1
, ,1
n n n
n
n o
d x d x x
d x d x x
αξα
αξα
![Page 29: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/29.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 30: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/30.jpg)
Úvod
Riešiť nelineárnu rovnicuf (x)=0
znamená, hľadať také body , že f (x*)=0.Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).
*x (1)
![Page 31: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/31.jpg)
Úvod
Riešiť nelineárnu rovnicuf (x)=0
znamená, hľadať také body , že f (x*)=0.Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).
Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnostinevieme vyjadriť explicitným vzorcom.
*x (1)
![Page 32: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/32.jpg)
Úvod
Riešiť nelineárnu rovnicuf (x)=0
znamená, hľadať také body , že f (x*)=0.Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).
Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnostinevieme vyjadriť explicitným vzorcom.
Iteračné metódy:z jednej alebo niekoľkých
počiatočných aproximácií hľadaného koreňa x*generujeme postupnosť ,
ktorá ku koreňu x* konverguje.0 1 2,, ,x x x
*x (1)
![Page 33: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/33.jpg)
Úvod
Pre niektoré metódy stačí,keď zadáme interval ,
ktorý obsahuje hľadaný koreň,iné vyžadujú,
aby bola počiatočná aproximácia„dosť“ blízko k hľadanému koreňu.
Často začíname s „hrubou“, avšak spoľahlivou metódoua až keď sme dostatočne blízko koreňa
prejdeme na „jemnejšiu“, rýchlejšie konvergujúcu metódu.
,a b
![Page 34: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/34.jpg)
Úvod
Pre jednoduchosť budeme uvažovať len problém určeniajednoduchého koreňa x* rovnice f (x)=0,
t.j. predpokladáme, že .
Budeme tiež predpokladať, žefunkcia f (x) je spojitá a
má toľko spojitých derivácií,koľko je v danej situácii potrebných.
* 0f x
![Page 35: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/35.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 36: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/36.jpg)
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie
Pri hľadaní koreňov rovnicef (x)=0
najskôr zistíme,koľko koreňov rovnica má
anájdeme intervaly obsahujúce práve jeden koreň rovnice.
Veta: Ak je funkcia spojitá na intervale a platí
potom na intervale leží aspoň jeden koreň rovnice f (x)=0.
,a b
,a b
0,f a f b
![Page 37: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/37.jpg)
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie
x*
![Page 38: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/38.jpg)
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie
Počiatočnú aproximáciu koreňov rovnicef (x)=0
môžeme zistiť z grafu funkcie f (x).
,a b
,i ix f x
0 1 1i i na x x x x x b
Inou možnosťou je zostavenie tabuľky pre nejaké delenie
zvoleného intervalu .
![Page 39: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/39.jpg)
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie
Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice f (x)=0, kde
34sin 1.f x x x
![Page 40: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/40.jpg)
Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie
Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice2 3 0xe x
23xe x
Riešenie: Zadanú funkciu upravíme na tvar
![Page 41: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/41.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 42: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/42.jpg)
Metóda bisekcie (polenie intervalu)
Predpokladajme, že funkcia f (x) má v koncových bodoch intervalu opačné znamienka,
t.j. platí .
0 0,a b 0 0 0f a f b
Je založená na princípe znamienkových zmien.
0 0 1 1 2 2 3 3, , , , ,a b a b a b a b
1 1, , 0,1,k ka b k
Zostrojíme postupnosť intervalov
ktoré obsahujú koreň.
Intervaly určíme rekurzívne
nasledovným spôsobom:
![Page 43: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/43.jpg)
Metóda bisekcie (polenie intervalu)
Nájdeme stred intervalu a označíme ho .
Ak potom a končíme.
Ak potom
,k ka b 11 2k k kx a b
1 0kf x 1 0kf x
1* kx x
1 11 1
1 1
, , ak 0,,
, , ak 0.k k k k
k kk k k k
a x f a f xa b
x b f a f x
![Page 44: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/44.jpg)
Metóda bisekcie (polenie intervalu)
Nájdeme stred intervalu a označíme ho .
Ak potom a končíme.
Ak potom
Z konštrukcie vyplýva, že , takže
každý interval obsahuje koreň.
,k ka b 11 2k k kx a b
1 0kf x 1 0kf x
1* kx x
1 11 1
1 1
, , ak 0,,
, , ak 0.k k k k
k kk k k k
a x f a f xa b
x b f a f x
1 1,k ka b 1 1 0k kf a f b ,k ka b
![Page 45: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/45.jpg)
Metóda bisekcie (polenie intervalu)
: ,k k kI a b
1 10 02 .
2kk k
k k kb aI b a b a
Po k krokoch je koreň v intervale dĺžky
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou
Pre zrejme
1kx ,k ka b
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
k 0 a *.k kI x x
(2)
Príklad: Koľko iterácií metódou bisekcie musíme vykonať,aby sme spresnili koreň o jednu dekadickú cifru?
![Page 46: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/46.jpg)
Metóda bisekcie (polenie intervalu)
Metóda bisekcie konverguje pomaly, alekonverguje vždy.
Rýchlosť konvergencie (2) nezávisí na funkcii f (x), pretože sme využívali len znamienko funkčných hodnôt.
Keď tieto hodnoty (a prípadne hodnoty derivácií f‘(x) ) využijeme efektívnejšie,
môžeme dosiahnuť rýchlejšiu konvergenciu.
Takéto „spresňujúce“ metódy však konvergujú,len ak pre ne zvolíme
dostatočne dobrú počiatočnú aproximáciu.Najčastejšie práve určenú metódou bisekcie.
![Page 47: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/47.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 48: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/48.jpg)
Rýchlosť konvergencie
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti aje chybová konštanta.
Špeciálne hovoríme, želineárna,
konvergencia je superlineárna, keďkvadratická,
Hovoríme, že daná metóda je rádu , ak všetky konvergentné postupnosti získané touto metódou majú rád konvergencie väčší alebo rovný anajmenej jedna z nich má rád konvergencie rovný presne .
Nech je postupnosť, ktorá konverguje k a
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že0 1 2, , ,x x x *x
*k ke x x p 0C
1lim ,kpk
k
eC
e
p
1 a 1,p C 1,p2.p
p
pp
C
(3)
![Page 49: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/49.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
![Page 50: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/50.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
1lim ,kpk
k
eC
e
*k ke x x
![Page 51: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/51.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
![Page 52: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/52.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
![Page 53: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/53.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
![Page 54: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/54.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
111 0 0
0 00 0
* 2 1 2lim2* 2
pk kk
p pk kk
x x b ab ax x b a
![Page 55: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/55.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
111 0 0
0 00 0
* 2 1 2lim2* 2
pk kk
p pk kk
x x b ab ax x b a
![Page 56: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/56.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
111 0 0
0 00 0
* 2 1 2lim2* 2
pk kk
p pk kk
x x b ab ax x b a
![Page 57: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/57.jpg)
Rýchlosť konvergencie
Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?
111 0 02* 2 .k
k k kx x b a b a
Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b
111 0 0
0 00 0
* 2 1 2lim2* 2
pk kk
p pk kk
x x b ab ax x b a
11,2
p C
![Page 58: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/58.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 59: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/59.jpg)
Metóda regula falsi
Je veľmi podobná metóde bisekcie. Deliacim bodom však nie je polovica intervalu,
ale priesečník sečnice vedenej bodmi a s osou x. ,k ka f a ,k kb f b
![Page 60: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/60.jpg)
Metóda regula falsi
Priesečník vypočítame podľa vzorca
1
k kk k k
k k
b ax b f bf b f a
![Page 61: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/61.jpg)
Metóda regula falsi
Priesečník vypočítame podľa vzorca
1
k kk k k
k k
b ax b f bf b f a
Ak potom a končíme.
Ak potom
Z konštrukcie vyplýva, že , takže
každý interval obsahuje koreň.
1 0kf x 1 0kf x
1* kx x
1 11 1
1 1
, , ak 0,,
, , ak 0.k k k k
k kk k k k
a x f a f xa b
x b f a f x
1 1,k ka b 1 1 0k kf a f b ,k ka b
![Page 62: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/62.jpg)
Metóda regula falsi
Metóda regula falsi je vždy konvergentná.
Rýchlosť konvergencie je len (podobne ako metódy bisekcie)
lineárna.
: ,k k kI a b
kIPo k krokoch je koreň v intervale . Na rozdiel od
metódy bisekcie však dĺžka intervalu nekonverguje k nule.
![Page 63: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/63.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 64: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/64.jpg)
Metóda sečníc
Je veľmi podobná metóde regula falsi.
![Page 65: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/65.jpg)
Metóda sečníc
Je veľmi podobná metóde regula falsi.
Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.
Označíme a .
Vedieme sečnicu bodmi a a
nájdeme jej priesečník s osou x.Ten označíme .
,a b
0x a 1x b
0 0,x f x 1 1,x f x
2x
![Page 66: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/66.jpg)
Metóda sečníc
Je veľmi podobná metóde regula falsi.
Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.
Označíme a .
Vedieme sečnicu bodmi a a
nájdeme jej priesečník s osou x.Ten označíme .
Na rozdiel od metódy regula falsi však teraz nevyberáme interval obsahujúci koreň, alevedieme sečnicu bodmi ,
ich priesečník označíme .
Potom vedieme sečnicu bodmi a , atď.
,a b
0x a 1x b
0 0,x f x 1 1,x f x
2x
1 1 2 2, , ,x f x x f x 3x
2 2,x f x 3 3,x f x
![Page 67: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/67.jpg)
Metóda sečníc
![Page 68: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/68.jpg)
Metóda sečníc
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa
1
11
,k kk k k
k k
x xx x f xf x f x
Kde 0 1, .x a x b
![Page 69: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/69.jpg)
Metóda sečníc
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa
1
11
,k kk k k
k k
x xx x f xf x f x
Kde
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium
prípadne
alebo
alebo keď narazíme priamo na koreň.
0 1, .x a x b
1 ,k kx x ε 1 ,k k kx x xε
1 ,kf x ε
![Page 70: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/70.jpg)
Metóda sečníc
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa
1
11
,k kk k k
k k
x xx x f xf x f x
Kde
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium
prípadne
alebo
alebo keď narazíme priamo na koreň.
Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí
0 1, .x a x b
1 ,k kx x ε
1 * .kx x ε
1 ,k k kx x xε
1 ,kf x ε
![Page 71: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/71.jpg)
Metóda sečníc
V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa
1
11
,k kk k k
k k
x xx x f xf x f x
Kde
Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium
prípadne
alebo
alebo keď narazíme priamo na koreň.
Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí
Príklad: Ako sa presvedčíme, že je daná podmienka splnená?
0 1, .x a x b
1 ,k kx x ε
1 * .kx x ε
1 ,k k kx x xε
1 ,kf x ε
![Page 72: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/72.jpg)
Metóda sečníc
Metóda sečníc môže aj divergovať !
![Page 73: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/73.jpg)
Metóda sečníc
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,ale môže aj divergovať.
![Page 74: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/74.jpg)
Metóda sečníc
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,ale môže aj divergovať.
Zaručene konverguje vtedy,ak zvolíme štartovacie body a dostatočne blízko koreňu .1x 2x *x
![Page 75: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/75.jpg)
Metóda sečníc
Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,ale môže aj divergovať.
Zaručene konverguje vtedy,ak zvolíme štartovacie body a dostatočne blízko koreňu .
Dá sa odvodiť, že rýchlosť konvergencie je rádu
t.j. je superlineárna.
1x 2x *x
1 1 5 1.618 ,2
p
![Page 76: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/76.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 77: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/77.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami ku grafu funkcie f.
Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.
![Page 78: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/78.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami ku grafu funkcie f.
Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.
Zvolíme počiatočnú aproximáciu koreňa .
Bodom vedieme dotyčnicu ku grafu funkcie f.
Jej priesečník s osou x označíme .
Potom vedieme dotyčnicu bodom ,
jej priesečník s osou x označíme ,
atď.
0x 0 0,x f x
1x 1 1,x f x
2x
![Page 79: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/79.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
![Page 80: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/80.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Predpokladajme, že poznáme a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu .
kx1kx
![Page 81: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/81.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Predpokladajme, že poznáme a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu .
Bodom vedieme dotyčnicu ku krivke .
Do rovnice dotyčnice
dosadíme a získame tak priesečník dotyčnice s osou :
,k kx f x
kx1kx
y f x
k k ky f x f x x x
: 0y x
1 .k
k kk
f xx x
f x
![Page 82: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/82.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Nech je chyba v k-tom kroku.
Urobme Taylorov rozvoj okolo
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .
*k ke x x
*f x kx
210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ
ξ kx *x
![Page 83: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/83.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Nech je chyba v k-tom kroku.
Urobme Taylorov rozvoj okolo
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .
Po úpravách dostaneme
*k ke x x
*f x kx
210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ
ξ kx *x
2
21
21
1 * *2
1 * * *2
12
kk k
k k
kk k k
k k
k kk
f xfx x x x
f x f x
f xfx x x x x x
f x f x
fe e
f x
ξ
ξ
ξ
![Page 84: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/84.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Nech je chyba v k-tom kroku.
Urobme Taylorov rozvoj okolo
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .
Po úpravách dostaneme
*k ke x x
*f x kx
210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ
ξ kx *x
2
21
21
1 * *2
1 * * *2
12
kk k
k k
kk k k
k k
k kk
f xfx x x x
f x f x
f xfx x x x x x
f x f x
fe e
f x
ξ
ξ
ξ
![Page 85: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/85.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Nech je chyba v k-tom kroku.
Urobme Taylorov rozvoj okolo
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .
Po úpravách dostaneme
*k ke x x
*f x kx
210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ
ξ kx *x
2
21
21
1 * *2
1 * * *2
12
kk k
k k
kk k k
k k
k kk
f xfx x x x
f x f x
f xfx x x x x x
f x f x
fe e
f x
ξ
ξ
ξ
![Page 86: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/86.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Nech je chyba v k-tom kroku.
Urobme Taylorov rozvoj okolo
kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .
Po úpravách dostaneme
*k ke x x
*f x kx
210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ
ξ kx *x
2
21
21
1 * *2
1 * * *2
12
kk k
k k
kk k k
k k
k kk
f xfx x x x
f x f x
f xfx x x x x x
f x f x
fe e
f x
ξ
ξ
ξ
![Page 87: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/87.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
21
12 k k
k
fe e
f xξ
12lim 2 .k
k kk
fef xe
ξ
Keď urobíme limitu
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti aje chybová konštanta.
Nech je postupnosť, ktorá konverguje k a
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že0 1 2, , ,x x x *x
*k ke x x p 0C
1lim ,kpk
k
eC
e
pC
Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:
Newtonova metóda konverguje kvadraticky.
(4)
![Page 88: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/88.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Newtonova metóda môže aj divergovať
![Page 89: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/89.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
![Page 90: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/90.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
12
f ym
f x
, .x I y I
![Page 91: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/91.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
![Page 92: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/92.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
Opakovaním tejto úvahy dostaneme
Ak platí , potom istotne a teda .
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
2 4 8 2 11 1 2 0
kk k k kme me me me me
0 1me 1 0ke 1 *kx x
![Page 93: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/93.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
Opakovaním tejto úvahy dostaneme
Ak platí , potom istotne a teda .
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
2 4 8 2 11 1 2 0
kk k k kme me me me me
0 1me 1 0ke 1 *kx x
![Page 94: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/94.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
Opakovaním tejto úvahy dostaneme
Ak platí , potom istotne a teda .
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
2 4 8 2 11 1 2 0
kk k k kme me me me me
0 1me 1 0ke 1 *kx x
![Page 95: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/95.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
Opakovaním tejto úvahy dostaneme
Ak platí , potom istotne a teda .
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
2 4 8 2 11 1 2 0
kk k k kme me me me me
0 1me 1 0ke 1 *kx x
![Page 96: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/96.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia
Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?
Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí
pre všetky
Ak , potom zo (4) vyplýva
alebo
Opakovaním tejto úvahy dostaneme
Ak platí , potom istotne a teda .
Newtonova metóda vždy konverguje za predpokladu,že počiatočnú aproximáciu zvolíme dostatočne blízko koreňa.
12
f ym
f x
, .x I y I
kx I2
1k ke m e 21 .k kme me
2 4 8 2 11 1 2 0
kk k k kme me me me me
0 1me 1 0ke 1 *kx x
![Page 97: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/97.jpg)
Newtonova metóda (metóda dotyčníc)
Veta: (Fourierova podmienka)
Nech v intervale leží jediný koreň rovnice anech a sú spojité a nemenia znamienko na intervale .
Ak zvolíme za počiatočnú aproximáciu tak, aby bola splnená podmienka
Newtonova metóda bude konvergovať.
,a b,a b
0f x f x f x
0 ,x a b
0 0 0,f x f x
Praktický význam však Fourierova podmienka nemá,pretože pre veľké obvykle podmienka neplatí
alebo ju nevieme ľahko overiť.b a
![Page 98: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/98.jpg)
Kombinovaná metóda
Dobrú počiatočnú aproximáciu môžeme získať napr. metódou bisekcie.
Vhodným spojením metódy bisekcie a Newtonovej metódy je možnézostrojiť kombinovanú metódu,
ktorá vždy konverguje.
napr. procedúra rtsafe v Numerical Recipes;v blízkosti koreňa sa uplatní len Newtonova metóda,
takže konvergencia je rýchla.
0x
![Page 99: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/99.jpg)
Steffensenova metóda
Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy
v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom
1 ,k
k kk
f xx x
f x
f
,k k k
k
f x h f xf x
h
![Page 100: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/100.jpg)
Steffensenova metóda
Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy
v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom
kde je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule.
1 ,k
k kk
f xx x
f x
f
,k k k
k
f x h f xf x
h
kh k
![Page 101: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/101.jpg)
Steffensenova metóda
Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy
v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom
kde je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule.
Volíme .
1 ,k
k kk
f xx x
f x
f
,k k k
k
f x h f xf x
h
kh k
k kh f x
![Page 102: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/102.jpg)
Steffensenova metóda
Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy
v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom
kde je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule.
Volíme .
Oproti metóde sečníc je tu jedno vyhodnotenie funkcie navyše.Na druhej strane sa dá ukázať, že
rýchlosť konvergencie Steffensenovej metódy je rovnakáako Newtonovej metódy, teda kvadratická.
1 ,k
k kk
f xx x
f x
f
,k k k
k
f x h f xf x
h
kh k
k kh f x
![Page 103: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/103.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 104: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/104.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovniceje aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.
![Page 105: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/105.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovniceje aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.
.x g x
![Page 106: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/106.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovniceje aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.
Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadaťpevný bod funkcie g (x).
Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.
.x g x
![Page 107: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/107.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovniceje aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,
tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.
Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar
Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.
Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadaťpevný bod funkcie g (x).
Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.
Zvolíme počiatočnú aproximáciu a ďalšie aproximácie počítame ako
.x g x
0x 1 .k kx g x
![Page 108: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/108.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
![Page 109: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/109.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Týmto spôsobom nemusíme prísť k pevnému bodu funkcie g.
![Page 110: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/110.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Povedali sme si, že metóda postupných aproximácií konverguje,
ak je zobrazenie, ktorého pevný bod hľadáme,
kontraktívne.
Pri funkcii jednej premennej kontraktivita úzko súvisí
s rýchlosťou rastu funkcie.
![Page 111: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/111.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Veta:Nech funkcia g zobrazuje interval do seba
a má na tomto intervale deriváciu.Ak existuje číslo také, že
potom v intervale existuje pevný bod funkcie ga postupnosť postupných aproximácií
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .
1k kx g x
,a b
0,1α
, ,g x x a bα
,a b *x
0 ,x a b
![Page 112: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/112.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Veta:Nech funkcia g zobrazuje interval do seba
a má na tomto intervale deriváciu.Ak existuje číslo také, že
potom v intervale existuje pevný bod funkcie ga postupnosť postupných aproximácií
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .Ďalej platí
1k kx g x
,a b
0,1α
, ,g x x a bα
,a b *x
0 ,x a b
1* .1k k kx x x xα
α
![Page 113: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/113.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Veta:Nech funkcia g zobrazuje interval do seba
a má na tomto intervale deriváciu.Ak existuje číslo také, že
potom v intervale existuje pevný bod funkcie ga postupnosť postupných aproximácií
k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .Ďalej platí
Potom sa dá ukázať, že rýchlosť konvergencie je lineárna.
1k kx g x
,a b
0,1α
, ,g x x a bα
,a b *x
0 ,x a b
1* .1k k kx x x xα
α
![Page 114: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/114.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa. 0f x x
![Page 115: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/115.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,
0f x x
0f x
![Page 116: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/116.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,potom rovnicu vynásobíme -1
0f x x
0f x
![Page 117: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/117.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,potom rovnicu vynásobíme -1
a nakoniec na obe strany pripočítame .
0f x x
0f x
x
![Page 118: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/118.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,potom rovnicu vynásobíme -1
a nakoniec na obe strany pripočítame .Dostaneme
0f x x
0f x
x
.f x
x xf x
![Page 119: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/119.jpg)
Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)
Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.
Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,potom rovnicu vynásobíme -1
a nakoniec na obe strany pripočítame .Dostaneme
0f x x
0f x
x
.f x
x xf x
Newtonova metóda je špeciálnym prípadommetódy jednoduchých iterácií.
![Page 120: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/120.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 121: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/121.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti aje chybová konštanta.
Nech je postupnosť, ktorá konverguje k a
. Keď existuje číslo a konštanta taká, že0 1 2, , ,x x x *x
*k ke x x p 0C
1lim ,kpk
k
eC
e
pC
Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:
Predpokladajme lineárnu konvergenciu iteračnej metódy
t.j. platí
1
*lim .
*k
k k
x xC
x x
1 ,k kx g x
![Page 122: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/122.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
1* * ,k kx x C x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
![Page 123: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/123.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
![Page 124: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/124.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
z ktorých vypočítame koreň x*
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
![Page 125: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/125.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
z ktorých vypočítame koreň x*
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
1
12
1 1
2 2 21 1 1 1
21 1 1 1
21 1
1 1
* ** *
* * *
2 * * * *
* 2
*2
k k
k k
k k k
k k k k k k
k k k k k k
k k k
k k k
x x x xx x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x xx
x x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
![Page 126: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/126.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
z ktorých vypočítame koreň x*
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
2211 1
11 1 1 1
* ,2 2
k kk k kk
k k k k k k
x xx x xx x
x x x x x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
![Page 127: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/127.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
z ktorých vypočítame koreň x*
pričom .
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
2211 1
11 1 1 1
* ,2 2
k kk k kk
k k k k k k
x xx x xx x
x x x x x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
1 1 1,k k k k kx g x x g x g g x
![Page 128: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/128.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
z ktorých vypočítame koreň x*
pričom .
Takto môžeme definovať nový iteračný vzorec
1* * ,k kx x C x x
1 * * ,k kx x C x x
2211 1
11 1 1 1
* ,2 2
k kk k kk
k k k k k k
x xx x xx x
x x x x x x
Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k
1 1 1,k k k k kx g x x g x g g x
2
1 .2
k kk k
k k k
g x xx x
g g x g x x
*x x g xDostali sme Aitken-Steffensenovu iteračnú metódu
na výpočet koreňa rovnice .
![Page 129: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/129.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x0dostatočne blízko koreňa x* a
ak ,Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.
* 1g x
![Page 130: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/130.jpg)
Aitken-Steffensenove metódy
Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x0dostatočne blízko koreňa x* a
ak ,Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.
Ak , konvergencia tejto metódy je pomalá.
* 1g x
* 1g x
![Page 131: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/131.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok11. Literatúra
![Page 132: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/132.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O násobných koreňoch)
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,
ak funkcia je v bode definovaná
a koreň v ňom už má, t.j. keď
*x 0f x / * qg x f x x x *x
0 * .g x
![Page 133: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/133.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O násobných koreňoch)
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,
ak funkcia je v bode definovaná
a koreň v ňom už má, t.j. keď
Ak má funkcia v okolí koreňa
spojité derivácie až do rádu včítané, potom
*x 0f x / * qg x f x x x *x
0 * .g x
f xq
* 0, 0,1, , 1.jf x j q
*x
Niektoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenienásobných koreňov, konvergencia však býva pomalšia.
![Page 134: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/134.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O násobných koreňoch)
Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,
ak funkcia je v bode definovaná
a koreň v ňom už má, t.j. keď
Ak má funkcia v okolí koreňa
spojité derivácie až do rádu včítané, potom
*x 0f x / * qg x f x x x *x
0 * .g x
f xq
* 0, 0,1, , 1.jf x j q
*x
Niektoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenienásobných koreňov, konvergencia však býva pomalšia.
Keď očakávame, že rovnica môže mať násobné korene,je vhodné použiť to,
že funkcia má len jednoduchý koreň.
0f x
/u x f x f x
![Page 135: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/135.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice . 0f x kx
![Page 136: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/136.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a .
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
![Page 137: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/137.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ
![Page 138: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/138.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
![Page 139: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/139.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
V tom prípade , takže
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
kf x δ
![Page 140: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/140.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
V tom prípade , takže
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
kf x δ
** : ,*
kk x
k
f xx x
f f xf xδ δ εξ
![Page 141: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/141.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
V tom prípade , takže
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
kf x δ
** : ,*
kk x
k
f xx x
f f xf xδ δ εξ
![Page 142: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/142.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
V tom prípade , takže
pokiaľ sa v blízkosti koreňa príliš nemení.
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
kf x δ
** : ,*
kk x
k
f xx x
f f xf xδ δ εξ
f
![Page 143: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/143.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme
kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme
len s približnými hodnotami ,
pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .
V tom prípade , takže
pokiaľ sa v blízkosti koreňa príliš nemení.
Vypočítať s menšou chybou než sa nedá.
0f x
* * ,k k kf x f x f x f x xξ
kx
*xξ kx
k k kf x f x δ
kδ δ 0kf x
kf x δ
** : ,*
kk x
k
f xx x
f f xf xδ δ εξ
f *x *
xε
dosiahnuteľná presnosť koreňa x*
![Page 144: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/144.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Ak je smernica v koreni malá,potom je dosiahnuteľná presnosť veľmi veľká –
- zle podmienený problém
*f x *x
![Page 145: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/145.jpg)
Zopár poznámok
Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)
Podobná úvaha pre koreň násobnosti qdáva dosiahnuteľnú presnosť
1
* ! .*
q
x qq
f xδε
Exponent je príčinou toho, ževýpočet násobného koreňa
je všeobecne zle podmienená úloha.
1/ q
![Page 146: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/146.jpg)
Prednáška č. 2
OBSAH
1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra
![Page 147: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/147.jpg)
Literatúra
![Page 148: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/148.jpg)
Literatúra
![Page 149: Numerické metódy matematiky I - fyzikazeme.skfyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska2.pdf · Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie , keď](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042412/5f2bea9676e8bb634c7971d1/html5/thumbnails/149.jpg)
Literatúra