numerické metódy matematiky i -...

Prednáška č. 2

Numerické metódy matematiky I

Riešenie nelineárnych rovníc

Prednáška č. 2

OBSAH

1. Opakovanie2. Niečo z funkcionálnej analýzy3. Úvod4. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie5. Metóda bisekcie (polenie intervalu)6. Rýchlosť konvergencie7. Metóda regula falsi8. Metóda sečníc9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)11. Aitken-Steffensenove metódy12. Zopár poznámok 13. Literatúra

Opakovanie 1. prednášky

OBSAH

1. Zdroje a typy chýb

2. Definície chýb

3. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte

4. Reprezentácia čísel

5. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov

Zdroje a typy chýb

Ľudské chyby

Chyba matematického modelu

rozdiel medzi riešením matematického (často idealizovaného) problému

a riešením reálneho problému

Príklad: Výpočet povrchu Zeme pomocou vzorca S= 4 π r 2

Chyby vstupných dát

spôsobené nepresnosťami pri meraní fyzikálnych veličín

Zdroje a typy chýb

Chyby numerickej metódy

Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy

jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby

je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.

Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja

Je známe, že sčítaním prvých n členov postupnosti sa dopustíme chyby veľkosti najviac

3 5 7 9 2 1sin 1

3! 5! 7! 9! 2 1 !

nnx x x x xx x

n

1/ 2 1 !n

Zdroje a typy chýb

Zaokrúhľovacie chyby

Pri výpočtoch pracujeme s číslami zaokrúhlenými na určitý počet miest.

Tieto chyby sa môžu pri výpočte kumulovať alebo aj navzájom rušiť.

Príklad: Číslo π nevieme do počítača vložiť presne. Rovnako aj výsledok operácie 2/3 nebude v počítači

presný.

Pri riešení reálneho problému sa obvykle vyskytujú

všetky chyby súčasne.

Definície chýb

Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.

nazývame absolútna chyba aproximácie.

Relatívna chyba

x x x∆

x x xx x

∆

x

Definície chýb

Odhad chýb

Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí

t.j.

nazývame odhad absolútnej chyby.

Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí

nazývame odhad relatívnej chyby.

Často používame zápisy

x ε∆

x x ε

x x xε ε

xx

δ∆

1x x δ

ε

δ

Definície chýb

Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,

keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .

1 2, ,..., nf x x x fix

i i ix x x∆

Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆

1 1

x xx : x x

n n

i ii ii i

f ff f f x x

x x∆ ∆ ∆

(1)

1

xx

n

iii

ff x f x

x∆

Zaokrúhľovanie

Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení

Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.

Ak platí nerovnosť (3) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných cifier

a je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla na p platných cifier.

x

1 11 2 110 10 10 , 0.e e e k

kx d d d d

kd10,5 10e kx x

x

x x

(3)

k p 1k p x

x

Zaokrúhľovanie

Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak

t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.

Ak platí nerovnosť (4) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných desatinných miest.

0,5 10 kx x

x x

(4)

k p 1k p x

Zaokrúhľovanie

Niekoľko príkladov

platné cifry platné desatinné miesta

374 380 1 -

-27,6473 -27,598 3 1

100,002 99,9973 4 2

99,9973 100,002 5 2

-0,003728 -0,0041 1 3

1,841.10-6 2,5.10-6 0 5

xx

Reprezentácia čísel v počítači

základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu

βp

,L U

2β 1p

0L U

Každé číslo F má tvar

kde

x 32

1 2 1, pep

dddx m m dββ β β

m je normalizovaná mantisa,

sú cifry mantisy,

p je počet cifier mantisy a

je celočíselný exponent.

Normalizácia mantisy znamená, že pre je

0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ

,e L U

10 1.x d

Reprezentácia čísel v počítači

Príklad

Preskúmajte, aké čísla môžeme zobraziť

v modelovom binárnom systéme F v prípade,

že mantisa má p=4 cifry a exponent e je obmedzený zdola číslom L=-3 a zhora číslom U=2, t.j.

3 2e

Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov

Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú

malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.

Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát

priradí výsledok z množiny výstupných dát.

Hovoríme, že matematická úloha

je korektná, keď

y f xx D

y R

, , ,y f x x D y R

1. ku každému vstupu existuje jediné riešenie ,2. toto riešenie závisí spojito na vstupných dátach,

t.j. keď , potom .

x D y R

x a f x f a


Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach

vyvolá malú zmenu riešenia.

Číslo podmienenosti úlohy definujeme ako

Ak , je úloha dobre podmienená.

Pre veľké (>100) je úloha zle podmienená.

relatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupepC

1pC

pC


Hovoríme, že algoritmus je dobre podmienený, ak je málo citlivý na poruchy vo vstupných dátach.

Ak je vplyv zaokrúhľovacích chýb na výsledok malý, hovoríme o numericky stabilnom algoritme.

Dobre podmienený a numericky stabilný algoritmussa nazýva stabilný.


Príklady:

1. Korene kvadratickej rovnice

2. Výpočet integrálu

2 2 0x bx c

11

0

1,2,...n xnE x e dx n

Prednáška č. 2

OBSAH

1. Opakovanie2. Niečo z funkcionálnej analýzy3. Úvod4. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie5. Metóda bisekcie (polenie intervalu)6. Rýchlosť konvergencie7. Metóda regula falsi8. Metóda sečníc9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)11. Aitken-Steffensenove metódy12. Zopár poznámok 13. Literatúra

Niečo z funkcionálnej analýzy

Metrický priestor

Definícia: Nech X je množina (prvkov akéhokoľvek typu). Hovoríme, žena tejto množine je definovaná metrika d, ak každým dvom prvkom

je priradené reálne číslo tak, že

1) , 0 , , , 0

2) , , ,

3) , , , , ,

d x y x y X d x y x y

d x y d y x x y X

d x z d x y d y z x y z X

,x y X ,d x y

Množinu X s metrikou d potom nazývame metrický priestor.


Definícia: Nech X je metrický priestor s metrikou d a nech

je postupnosť prvkov z X. Hovoríme, že je limitou tejto

postupnosti, ak ku každému existuje prirodzené číslo N také,

že pre všetky platí .

x X

Postupnosť, ktorá ma limitu sa nazýva konvergentná.

1n nx

0ε n N ,nd x x ε


Definícia: Nech X je metrický priestor s metrikou d a nech

je postupnosť prvkov z X. Hovoríme, že táto postupnosť je

cauchyovská, ak ku každému existuje prirodzené číslo N také,

že pre všetky a každé prirodzené číslo k platí

Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská.

Definícia: Metrický priestor je úplný ak každá cauchyovská postupnosť v ňom má limitu.

1n nx

0ε n N

, .n n kd x x ε


Definícia: Hovoríme, že F je zobrazenie množiny X do množiny Y,

píšeme ,

ak každému prvku je pomocou F priradený

práve jeden prvok

:F X Yx X

,y Y y F x

Definícia: Prvok sa nazýva pevný bod zobrazenia , ak platí

:F X Xx X .F x x


Definícia: Nech X je metrický priestor. Hovoríme, že zobrazenie

je kontraktívne ak existuje také,že pre každé dva prvky platí

:F X X,x y X

, ,d F x F y d x yα

Číslo sa nazýva koeficient kontrakcie.α

0,1α


Veta: Nech X je úplný metrický priestor a

je kontraktívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia , pre ktorý platí

kde je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná:

:F X Xξ

lim ,nnxξ

1n nx





je ľubovoľný prvok X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom

:F X Xξ

lim ,nnxξ

1n nx

0x

1 , 0,1,...k kx F x k





je ľubovoľný prvok X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom

:F X Xξ

lim ,nnxξ

1n nx

0x

1 , 0,1,...k kx F x k

Ďalej pre všetky prirodzené čísla n platí:

1

1

, ,1

, ,1

n n n

n

n o

d x d x x

d x d x x

αξα

αξα

Prednáška č. 2

OBSAH

1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok 11. Literatúra

Úvod

Riešiť nelineárnu rovnicuf (x)=0

znamená, hľadať také body , že f (x*)=0.Takéto body budeme nazývať korene rovnice (1).

*x (1)

Úvod



Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnostinevieme vyjadriť explicitným vzorcom.

*x (1)

Úvod



Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnostinevieme vyjadriť explicitným vzorcom.

Iteračné metódy:z jednej alebo niekoľkých

počiatočných aproximácií hľadaného koreňa x*generujeme postupnosť ,

ktorá ku koreňu x* konverguje.0 1 2,, ,x x x

*x (1)

Úvod

Pre niektoré metódy stačí,keď zadáme interval ,

ktorý obsahuje hľadaný koreň,iné vyžadujú,

aby bola počiatočná aproximácia„dosť“ blízko k hľadanému koreňu.

Často začíname s „hrubou“, avšak spoľahlivou metódoua až keď sme dostatočne blízko koreňa

prejdeme na „jemnejšiu“, rýchlejšie konvergujúcu metódu.

,a b

Úvod

Pre jednoduchosť budeme uvažovať len problém určeniajednoduchého koreňa x* rovnice f (x)=0,

t.j. predpokladáme, že .

Budeme tiež predpokladať, žefunkcia f (x) je spojitá a

má toľko spojitých derivácií,koľko je v danej situácii potrebných.

* 0f x

Prednáška č. 2

OBSAH


Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie

Pri hľadaní koreňov rovnicef (x)=0

najskôr zistíme,koľko koreňov rovnica má

anájdeme intervaly obsahujúce práve jeden koreň rovnice.

Veta: Ak je funkcia spojitá na intervale a platí

potom na intervale leží aspoň jeden koreň rovnice f (x)=0.

,a b

,a b

0,f a f b


x*


Počiatočnú aproximáciu koreňov rovnicef (x)=0

môžeme zistiť z grafu funkcie f (x).

,a b

,i ix f x

0 1 1i i na x x x x x b

Inou možnosťou je zostavenie tabuľky pre nejaké delenie

zvoleného intervalu .


Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice f (x)=0, kde

34sin 1.f x x x


Príklad: Získajme hrubý odhad koreňov rovnice2 3 0xe x

23xe x

Riešenie: Zadanú funkciu upravíme na tvar

Prednáška č. 2

OBSAH


Metóda bisekcie (polenie intervalu)

Predpokladajme, že funkcia f (x) má v koncových bodoch intervalu opačné znamienka,

t.j. platí .

0 0,a b 0 0 0f a f b

Je založená na princípe znamienkových zmien.

0 0 1 1 2 2 3 3, , , , ,a b a b a b a b

1 1, , 0,1,k ka b k

Zostrojíme postupnosť intervalov

ktoré obsahujú koreň.

Intervaly určíme rekurzívne

nasledovným spôsobom:


Nájdeme stred intervalu a označíme ho .

Ak potom a končíme.

Ak potom

,k ka b 11 2k k kx a b

1 0kf x 1 0kf x

1* kx x

1 11 1

1 1

, , ak 0,,

, , ak 0.k k k k

k kk k k k

a x f a f xa b

x b f a f x


Nájdeme stred intervalu a označíme ho .


Ak potom

Z konštrukcie vyplýva, že , takže

každý interval obsahuje koreň.

,k ka b 11 2k k kx a b

1 0kf x 1 0kf x

1* kx x

1 11 1

1 1

, , ak 0,,

, , ak 0.k k k k

k kk k k k

a x f a f xa b

x b f a f x

1 1,k ka b 1 1 0k kf a f b ,k ka b


: ,k k kI a b

1 10 02 .

2kk k

k k kb aI b a b a

Po k krokoch je koreň v intervale dĺžky

Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou

Pre zrejme

1kx ,k ka b

111 0 02* 2 .k

k k kx x b a b a

k 0 a *.k kI x x

(2)

Príklad: Koľko iterácií metódou bisekcie musíme vykonať,aby sme spresnili koreň o jednu dekadickú cifru?


Metóda bisekcie konverguje pomaly, alekonverguje vždy.

Rýchlosť konvergencie (2) nezávisí na funkcii f (x), pretože sme využívali len znamienko funkčných hodnôt.

Keď tieto hodnoty (a prípadne hodnoty derivácií f‘(x) ) využijeme efektívnejšie,

môžeme dosiahnuť rýchlejšiu konvergenciu.

Takéto „spresňujúce“ metódy však konvergujú,len ak pre ne zvolíme

dostatočne dobrú počiatočnú aproximáciu.Najčastejšie práve určenú metódou bisekcie.

Prednáška č. 2

OBSAH


Rýchlosť konvergencie

potom sa nazýva rád konvergencie postupnosti aje chybová konštanta.

Špeciálne hovoríme, želineárna,

konvergencia je superlineárna, keďkvadratická,

Hovoríme, že daná metóda je rádu , ak všetky konvergentné postupnosti získané touto metódou majú rád konvergencie väčší alebo rovný anajmenej jedna z nich má rád konvergencie rovný presne .

Nech je postupnosť, ktorá konverguje k a

. Keď existuje číslo a konštanta taká, že0 1 2, , ,x x x *x

*k ke x x p 0C

1lim ,kpk

k

eC

e

p

1 a 1,p C 1,p2.p

p

pp

C

(3)


Príklad: Aká je rýchlosť konvergencie metódy bisekcie?



1lim ,kpk

k

eC

e

*k ke x x



111 0 02* 2 .k

k k kx x b a b a

Stred intervalu aproximuje koreň x* s chybou1kx ,k ka b



111 0 02* 2 .k

k k kx x b a b a


111 0 0

0 00 0

* 2 1 2lim2* 2

pk kk

p pk kk

x x b ab ax x b a



111 0 02* 2 .k

k k kx x b a b a


111 0 0

0 00 0

* 2 1 2lim2* 2

pk kk

p pk kk

x x b ab ax x b a

11,2

p C

Prednáška č. 2

OBSAH


Metóda regula falsi

Je veľmi podobná metóde bisekcie. Deliacim bodom však nie je polovica intervalu,

ale priesečník sečnice vedenej bodmi a s osou x. ,k ka f a ,k kb f b


Priesečník vypočítame podľa vzorca

1

k kk k k

k k

b ax b f bf b f a


Priesečník vypočítame podľa vzorca

1

k kk k k

k k

b ax b f bf b f a


Ak potom

Z konštrukcie vyplýva, že , takže

každý interval obsahuje koreň.

1 0kf x 1 0kf x

1* kx x

1 11 1

1 1

, , ak 0,,

, , ak 0.k k k k

k kk k k k

a x f a f xa b

x b f a f x

1 1,k ka b 1 1 0k kf a f b ,k ka b


Metóda regula falsi je vždy konvergentná.

Rýchlosť konvergencie je len (podobne ako metódy bisekcie)

lineárna.

: ,k k kI a b

kIPo k krokoch je koreň v intervale . Na rozdiel od

metódy bisekcie však dĺžka intervalu nekonverguje k nule.

Prednáška č. 2

OBSAH


Metóda sečníc

Je veľmi podobná metóde regula falsi.

Metóda sečníc


Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.

Označíme a .

Vedieme sečnicu bodmi a a

nájdeme jej priesečník s osou x.Ten označíme .

,a b

0x a 1x b

0 0,x f x 1 1,x f x

2x

Metóda sečníc


Vychádzame z intervalu obsahujúceho koreň rovnice.

Označíme a .

Vedieme sečnicu bodmi a a

nájdeme jej priesečník s osou x.Ten označíme .

Na rozdiel od metódy regula falsi však teraz nevyberáme interval obsahujúci koreň, alevedieme sečnicu bodmi ,

ich priesečník označíme .

Potom vedieme sečnicu bodmi a , atď.

,a b

0x a 1x b

0 0,x f x 1 1,x f x

2x

1 1 2 2, , ,x f x x f x 3x

2 2,x f x 3 3,x f x

Metóda sečníc

Metóda sečníc

V k-tom kroku metódy počítame aproximáciu koreňa podľa

1

11

,k kk k k

k k

x xx x f xf x f x

Kde 0 1, .x a x b

Metóda sečníc


1

11

,k kk k k

k k

x xx x f xf x f x

Kde

Výpočet ukončíme, keď je splnená podmienka – stop kritérium

prípadne

alebo

alebo keď narazíme priamo na koreň.

0 1, .x a x b

1 ,k kx x ε 1 ,k k kx x xε

1 ,kf x ε

Metóda sečníc


1

11

,k kk k k

k k

x xx x f xf x f x

Kde


prípadne

alebo


Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí

0 1, .x a x b

1 ,k kx x ε

1 * .kx x ε

1 ,k k kx x xε

1 ,kf x ε

Metóda sečníc


1

11

,k kk k k

k k

x xx x f xf x f x

Kde


prípadne

alebo


Pozor! Daná podmienka nezaručuje, že platí

Príklad: Ako sa presvedčíme, že je daná podmienka splnená?

0 1, .x a x b

1 ,k kx x ε

1 * .kx x ε

1 ,k k kx x xε

1 ,kf x ε

Metóda sečníc

Metóda sečníc môže aj divergovať !

Metóda sečníc

Metóda sečníc konverguje rýchlejšie než regula falsi,ale môže aj divergovať.

Metóda sečníc


Zaručene konverguje vtedy,ak zvolíme štartovacie body a dostatočne blízko koreňu .1x 2x *x

Metóda sečníc


Zaručene konverguje vtedy,ak zvolíme štartovacie body a dostatočne blízko koreňu .

Dá sa odvodiť, že rýchlosť konvergencie je rádu

t.j. je superlineárna.

1x 2x *x

1 1 5 1.618 ,2

p

Prednáška č. 2

OBSAH


Newtonova metóda (metóda dotyčníc)

Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami ku grafu funkcie f.

Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.


Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami ku grafu funkcie f.

Preto predpokladajme, že funkcia f má deriváciu.

Zvolíme počiatočnú aproximáciu koreňa .

Bodom vedieme dotyčnicu ku grafu funkcie f.

Jej priesečník s osou x označíme .

Potom vedieme dotyčnicu bodom ,

jej priesečník s osou x označíme ,

atď.

0x 0 0,x f x

1x 1 1,x f x

2x


Predpokladajme, že poznáme a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu .

kx1kx


Predpokladajme, že poznáme a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu .

Bodom vedieme dotyčnicu ku krivke .

Do rovnice dotyčnice

dosadíme a získame tak priesečník dotyčnice s osou :

,k kx f x

kx1kx

y f x

k k ky f x f x x x

: 0y x

1 .k

k kk

f xx x

f x

Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - konvergencia

Nech je chyba v k-tom kroku.

Urobme Taylorov rozvoj okolo

kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .

*k ke x x

*f x kx

210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ

ξ kx *x


Nech je chyba v k-tom kroku.

Urobme Taylorov rozvoj okolo

kde je nejaký bod intervalu, ktorého krajné hodnoty sú a .

Po úpravách dostaneme

*k ke x x

*f x kx

210 * * * ,2k k k kf x f x x x f x x x f ξ

ξ kx *x

2

21

21

1 * *2

1 * * *2

12

kk k

k k

kk k k

k k

k kk

f xfx x x x

f x f x

f xfx x x x x x

f x f x

fe e

f x

ξ

ξ

ξ


21

12 k k

k

fe e

f xξ

12lim 2 .k

k kk

fef xe

ξ

Keď urobíme limitu




*k ke x x p 0C

1lim ,kpk

k

eC

e

pC

Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:

Newtonova metóda konverguje kvadraticky.

(4)


Newtonova metóda môže aj divergovať


Otázka: Za akých podmienok je Newtonova metóda konvergentná?



Predpokladajme, že v nejakom okolí I koreňa platí

pre všetky

12

f ym

f x

, .x I y I




pre všetky

Ak , potom zo (4) vyplýva

alebo

12

f ym

f x

, .x I y I

kx I2

1k ke m e 21 .k kme me




pre všetky


alebo

Opakovaním tejto úvahy dostaneme

Ak platí , potom istotne a teda .

12

f ym

f x

, .x I y I

kx I2


2 4 8 2 11 1 2 0

kk k k kme me me me me

0 1me 1 0ke 1 *kx x




pre všetky


alebo

Opakovaním tejto úvahy dostaneme

Ak platí , potom istotne a teda .

Newtonova metóda vždy konverguje za predpokladu,že počiatočnú aproximáciu zvolíme dostatočne blízko koreňa.

12

f ym

f x

, .x I y I

kx I2


2 4 8 2 11 1 2 0

kk k k kme me me me me

0 1me 1 0ke 1 *kx x


Veta: (Fourierova podmienka)

Nech v intervale leží jediný koreň rovnice anech a sú spojité a nemenia znamienko na intervale .

Ak zvolíme za počiatočnú aproximáciu tak, aby bola splnená podmienka

Newtonova metóda bude konvergovať.

,a b,a b

0f x f x f x

0 ,x a b

0 0 0,f x f x

Praktický význam však Fourierova podmienka nemá,pretože pre veľké obvykle podmienka neplatí

alebo ju nevieme ľahko overiť.b a

Kombinovaná metóda

Dobrú počiatočnú aproximáciu môžeme získať napr. metódou bisekcie.

Vhodným spojením metódy bisekcie a Newtonovej metódy je možnézostrojiť kombinovanú metódu,

ktorá vždy konverguje.

napr. procedúra rtsafe v Numerical Recipes;v blízkosti koreňa sa uplatní len Newtonova metóda,

takže konvergencia je rýchla.

0x

Steffensenova metóda

Steffensenova metóda je modifikáciou Newtonovej metódy

v ktorej sa derivácia nahrádza výrazom

1 ,k

k kk

f xx x

f x

f

,k k k

k

f x h f xf x

h




kde je číslo, ktoré sa s rastúcim indexom blíži k nule.

1 ,k

k kk

f xx x

f x

f

,k k k

k

f x h f xf x

h

kh k





Volíme .

1 ,k

k kk

f xx x

f x

f

,k k k

k

f x h f xf x

h

kh k

k kh f x





Volíme .

Oproti metóde sečníc je tu jedno vyhodnotenie funkcie navyše.Na druhej strane sa dá ukázať, že

rýchlosť konvergencie Steffensenovej metódy je rovnakáako Newtonovej metódy, teda kvadratická.

1 ,k

k kk

f xx x

f x

f

,k k k

k

f x h f xf x

h

kh k

k kh f x

Prednáška č. 2

OBSAH


Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)

Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovniceje aplikáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií,

tak ako sme si ju popísali v krátkom úvode do funkcionálnej analýzy.




Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar

Funkcia g sa nazýva iteračná funkcia.

.x g x






Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadaťpevný bod funkcie g (x).

Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.

.x g x






Teraz budeme namiesto koreňov pôvodnej rovnice hľadaťpevný bod funkcie g (x).

Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.

Zvolíme počiatočnú aproximáciu a ďalšie aproximácie počítame ako

.x g x

0x 1 .k kx g x


Týmto spôsobom nemusíme prísť k pevnému bodu funkcie g.


Povedali sme si, že metóda postupných aproximácií konverguje,

ak je zobrazenie, ktorého pevný bod hľadáme,

kontraktívne.

Pri funkcii jednej premennej kontraktivita úzko súvisí

s rýchlosťou rastu funkcie.


Veta:Nech funkcia g zobrazuje interval do seba

a má na tomto intervale deriváciu.Ak existuje číslo také, že

potom v intervale existuje pevný bod funkcie ga postupnosť postupných aproximácií

k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .

1k kx g x

,a b

0,1α

, ,g x x a bα

,a b *x

0 ,x a b





k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .Ďalej platí

1k kx g x

,a b

0,1α

, ,g x x a bα

,a b *x

0 ,x a b

1* .1k k kx x x xα

α





k nemu konverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu .Ďalej platí

Potom sa dá ukázať, že rýchlosť konvergencie je lineárna.

1k kx g x

,a b

0,1α

, ,g x x a bα

,a b *x

0 ,x a b

1* .1k k kx x x xα

α


Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa. 0f x x


Spôsobov, ako z rovnice vyjadriť , je nekonečne veľa.

Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,

0f x x

0f x



Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funkcie f,potom rovnicu vynásobíme -1

0f x x

0f x




a nakoniec na obe strany pripočítame .

0f x x

0f x

x




a nakoniec na obe strany pripočítame .Dostaneme

0f x x

0f x

x

.f x

x xf x




a nakoniec na obe strany pripočítame .Dostaneme

0f x x

0f x

x

.f x

x xf x

Newtonova metóda je špeciálnym prípadommetódy jednoduchých iterácií.

Prednáška č. 2

OBSAH


Aitken-Steffensenove metódy




*k ke x x p 0C

1lim ,kpk

k

eC

e

pC

Pripomeňme definíciu rádu konvergencie:

Predpokladajme lineárnu konvergenciu iteračnej metódy

t.j. platí

1

*lim .

*k

k k

x xC

x x

1 ,k kx g x


1* * ,k kx x C x x

Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne:Predpokladajme, že . Potom platia približné rovnosti1k


1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x



z ktorých vypočítame koreň x*

1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x




1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x

1

12

1 1

2 2 21 1 1 1

21 1 1 1

21 1

1 1

* ** *

* * *

2 * * * *

* 2

*2

k k

k k

k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k

k k k

x x x xx x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x xx

x x x




1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x

2211 1

11 1 1 1

* ,2 2

k kk k kk

k k k k k k

x xx x xx x

x x x x x x




pričom .

1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x

2211 1

11 1 1 1

* ,2 2

k kk k kk

k k k k k k

x xx x xx x

x x x x x x


1 1 1,k k k k kx g x x g x g g x



pričom .

Takto môžeme definovať nový iteračný vzorec

1* * ,k kx x C x x

1 * * ,k kx x C x x

2211 1

11 1 1 1

* ,2 2

k kk k kk

k k k k k k

x xx x xx x

x x x x x x


1 1 1,k k k k kx g x x g x g g x

2

1 .2

k kk k

k k k

g x xx x

g g x g x x

*x x g xDostali sme Aitken-Steffensenovu iteračnú metódu

na výpočet koreňa rovnice .


Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x0dostatočne blízko koreňa x* a

ak ,Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.

* 1g x


Ak zvolíme počiatočnú aproximáciu x0dostatočne blízko koreňa x* a

ak ,Aitken-Steffensenova metóda konverguje kvadraticky.

Ak , konvergencia tejto metódy je pomalá.

* 1g x

* 1g x

Prednáška č. 2

OBSAH

1. Úvod2. Separácia koreňov a určenie počiatočnej aproximácie3. Metóda bisekcie (polenie intervalu)4. Rýchlosť konvergencie5. Metóda regula falsi6. Metóda sečníc7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc)8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)9. Aitken-Steffensenove metódy10. Zopár poznámok11. Literatúra

Zopár poznámok

Poznámka (O násobných koreňoch)

Hovoríme, že koreň rovnice má násobnosť q,

ak funkcia je v bode definovaná

a koreň v ňom už má, t.j. keď

*x 0f x / * qg x f x x x *x

0 * .g x

Zopár poznámok





Ak má funkcia v okolí koreňa

spojité derivácie až do rádu včítané, potom


0 * .g x

f xq

* 0, 0,1, , 1.jf x j q

*x

Niektoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenienásobných koreňov, konvergencia však býva pomalšia.

Zopár poznámok





Ak má funkcia v okolí koreňa

spojité derivácie až do rádu včítané, potom


0 * .g x

f xq

* 0, 0,1, , 1.jf x j q

*x

Niektoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenienásobných koreňov, konvergencia však býva pomalšia.

Keď očakávame, že rovnica môže mať násobné korene,je vhodné použiť to,

že funkcia má len jednoduchý koreň.

0f x

/u x f x f x

Zopár poznámok

Poznámka (O dosiahnuteľnej presnosti)

Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice . 0f x kx

Zopár poznámok


Nech je aproximácia jednoduchého koreňa rovnice .Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme

kde je nejaký bod ležiaci medzi a .

0f x

* * ,k k kf x f x f x f x xξ

kx

*xξ kx

Zopár poznámok



kde je nejaký bod ležiaci medzi a . Predpokladajme, že pri výpočtoch pracujeme

len s približnými hodnotami ,

pričom .

0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ

Zopár poznámok





pričom .Potom najlepší výsledok, aký môžeme dosiahnuť, je .

0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ 0kf x

Zopár poznámok






V tom prípade , takže

0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ 0kf x

kf x δ

Zopár poznámok







0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ 0kf x

kf x δ

** : ,*

kk x

k

f xx x

f f xf xδ δ εξ

Zopár poznámok







pokiaľ sa v blízkosti koreňa príliš nemení.

0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ 0kf x

kf x δ

** : ,*

kk x

k

f xx x

f f xf xδ δ εξ

f

Zopár poznámok







pokiaľ sa v blízkosti koreňa príliš nemení.

Vypočítať s menšou chybou než sa nedá.

0f x


kx

*xξ kx

k k kf x f x δ

kδ δ 0kf x

kf x δ

** : ,*

kk x

k

f xx x

f f xf xδ δ εξ

f *x *

xε

dosiahnuteľná presnosť koreňa x*

Zopár poznámok


Ak je smernica v koreni malá,potom je dosiahnuteľná presnosť veľmi veľká –

- zle podmienený problém

*f x *x

Zopár poznámok


Podobná úvaha pre koreň násobnosti qdáva dosiahnuteľnú presnosť

1

* ! .*

q

x qq

f xδε

Exponent je príčinou toho, ževýpočet násobného koreňa

je všeobecne zle podmienená úloha.

1/ q

Prednáška č. 2

OBSAH


Literatúra

numerické metódy matematiky i -...

Documents