ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН
Ю. П. Федоренко
МАТЕМАТИКАПовні розв’язки завдань
дляДЕРжАВНОї ПІДсуМКОВОї АТЕсТАцІї
9 клаС
узагальнення вивченого повні розв’язки усіх чотирьох частин детальні пояснення
УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 М34
Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва
2005000001031 © Навчальнакнига–Богдан,2013
ФедоренкоЮ.П.М34 Математика. Повні розв’язки завдань для державної підсумкової
атестації.9клас.—Тернопіль:Навчальнакнига–Богдан,2013.—160с.
2005000001031
У посібнику подано детальні розв’язання 50 варіантів завдань зі збірника, рекомендованого Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для проведення державної підсумкової атестації з математики в 9-х класах загаль-ноосвітніх навчальних закладів (Збірник завдань для державної підсумко-вої атестації з математики. 9 клас / О.І. Глобін, О.В. Єргіна, П.Б. Сидоренко, О.В. Комаренко. — К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2013).
Посібник покликаний допомогти вчителеві здійснювати оперативний контроль знань під час тематичних атестацій, заліків, опитувань, а також по-легшити перевірку виконання екзаменаційних завдань. Книга стане у при-годі учням 9-х класів, які готуються до державної підсумкової атестації (подані розв’язки мають рекомендаційний характер).
Для вчителів, учнів, абітурієнтів.УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72
Варіант 1 3
Варіант 1Частина перша
1.4. 5 · 1 – 3 · 2 = –1. Відповідь. В.
1.5. x yx y
xy
xy
8 3
2 9
8 2
9 3
6
6= =−
− . Відповідь. В.
1.6. –х2 + 3х + 4 = –(х2 – 3x – 4) = –(x – 4)(x + 1). Відповідь. Г.
1.8. b b q3 12= ; 45 = b1 · (–3)2; b1 = 45 : 9 = 5. Відповідь. А.
1.9. ∠СОВ = ∠АОВ – ∠АОС; ∠СОВ = 105° – 63° = 42°. Відповідь. Б.
1.12. 39
618
= . Відповідь. В.
Частина друга
2.1. ( ) ( )2 3 5 2 3 52 2− + + = 2 2 2 3 5 45 2 2 2 3 5 45− ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + = = 94. Відповідь. 94
2.2. Складемо систему рівнянь: y x xx y= − ++ =
2 2 44
,.
Розв’яжемо її:
y x xy x= − += −
2 2 44
,;
х2 – 2x + 4 = 4 – x; x2 – x = 0; x(x – 1) = 0; x1 = 0; x2 = 1.
Тому у1 = 4 – 0 = 4; у2 = 4 – 1 = 3. Відповідь. (0; 4); (1; 3).2.3. 1) 10 000 · 1,1 = 11 000 (грн.) — на рахунку після першого року. 2) 11 000 · 1,12 = 12 320 (грн.) — на рахунку після другого року. 3) 12 320 – 10 000 = 2 320 (грн.) — отриманий прибуток. Відповідь. 2 320 грн.2.4. Радуіс R кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною а,
обчислюється за формулою: R a=
33
. Маємо: R =⋅
=3 4 6
34 2 (см).
Сторона квадрата, вписаного у це ж коло: b R= 2 , b = ⋅ =4 2 2 8 (см). Відповідь. 8 см.
4 Варіант 1
Частина третя3.1. Нехай перше з невідомих чисел дорівнює х, а друге — у. Тоді, за умовою,
12
13
2x y− = . Після зменшення першого числа на його четверту частину
матимемо: x x x− =14
34
, а після збільшення другого на його шосту части-
ну отримаємо: y y y+ =16
76
. За умовою, 34
76
53x y+ = .
Отримали систему
12
13
2
34
76
53
x y
x y
− =
+ =
,
.
Розв’яжемо її. Після множення лівої і правої частин першого рівнян-
ня на 6, а другого — на 12, матимемо: 3 2 129 14 53 12x yx y− =+ = ⋅
,.
Домножимо перше рівняння системи на 7 і використаємо спосіб до-
давання: + − = ⋅+ = ⋅
21 14 12 79 14 53 12
x yx y
,.
30х = 60 · 12. Звідси х = 24, тоді 3 · 24 – 2у = 12; 2у = 60; у = 30. Отже, шукані числа — 24 і 30. Відповідь. 24 і 30.3.2. Виконаємо спрощення виразу за діями:
1) 12
24
122 2 2( ) ( )x x x+
−−
+−
= 12
22 2
122 2( ) ( )( ) ( )x x x x+
−− +
+−
=
= ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
x x x xx x
− − − + + +− +
2 2 2 2 22 2
2 2
2 2 = ( ( ))( ) ( )x xx x− − +− +2 22 2
2
2 2 = 162 22 2( ) ( )x x− +
.
2) ( )( ) ( )
xx x
+⋅
− +2
1616
2 2
4
2 2 = ( )( )xx+−
22
2
2 .
3) 82
222
2
2x
xxx( )
( )( )−
−+−
= 8 4 42
2
2x x x
x− + +
−( )( )
= 8 4 42
2
2x x x
x− − −
−( ) = − + −
−x x
x
2
24 42( )
=
= − − +− +
( )x xx x
2
24 4
4 4 = –1. Відповідь. –1.
3.3. Нехай ABCD — заданий паралелограм; ∠D : ∠A = 2 : 3. Позначимо ∠D = 2x і ∠A = 3x. Тоді 2х + 3х = 180°;
5х = 180°; х = 36°. Тому ∠D = 2 · 36° = 72°. З вершини гострого кута В паралелограма
ABCD проведено висоти ВK і BL. Тоді в чотирикут-нику DKBL відомі кути: ∠K = ∠L = 90° і ∠D = 72°.
Варіант 1 5
Тому ∠KBL = 360° – (2 · 90° + 72°) = 108°. Відповідь. 108°.
Частина четверта
4.1м. 7 1 2 1 922x
xx
x+
− +
= . Нехай x
x+
1 = t. Тоді t xx
2 222 1
= + + , а тому
xx
t22
21 2+ = − .
Маємо 7 2 2 92t t− − =( ) ; 2t2 – 7t + 5 = 0; t1 = 1; t2 = 2,5.
1) xx
+1 = 1. Оскільки відомо, що x
x+ ≥
1 2 , то рівняння xx
+1 = 1 не має
розв’язків.
2) xx
+1 = 2,5; x
x+
1 = 2 + 12
; х1 = 2; х2 = 12
. Відповідь. 2; 12
.
4.2м. Нехай у коло вписано рівнобедрений трикутник АВС, у якого бічна сторона удвічі більша за основу. Тому позначимо АВ = АС = 2х; СВ = х.
Проведемо АK — медіану і висоту трикутника.
Тоді СK = CB2
= x2
.
В ∆АСK (∠K = 90°): cos∠C = CKAC
; cos∠C = x
x2
2 = 1
4.
Тоді sin cos∠ = − ∠ = −
=! C1 1 1
4154
22
.
Відомо, що АВ = 2R sin ∠C; АВ = 2 8 154
⋅ ⋅ = 4 15 (см). Тоді СВ = 2 15 см.
Знайдемо добуток Rr abcS
Sp
abcp
= ⋅ =4 4
. Звідси r abcpR
=4
.
Маємо: p AB CB AB CB=
+= + = + =
22 2
4 15 15 5 15 (см).
Тоді r = 4 15 4 15 2 154 5 15 8⋅ ⋅⋅ ⋅
= 3 (см). Відповідь. 3 см.
Варіант 33 99
Варіант 33Частина перша
1.1. х = 910 · 65 = 59150. Відповідь. Б.
1.2. 5 35
10 285
10 56⋅ = ⋅ = . Відповідь. Г.
1.4. 3m + mk – 3n – kn = m(3 + k) – n(3 + k) = (m – n)(3 + k). Відповідь. А.
1.5. 80 2 23 2⋅ −− = 808
4− = 10 – 4 = 6. Відповідь. Г.
1.6. xx
xx
2
21
51− +: = ( )( )x x
xx
x− +
⋅+
1 15 1
2
= ( )x x−15
. Відповідь. В.
1.10. ∆OMN " ∆OKP (за трьома кутами): ∠MОN = ∠KOP як вертикальні, ∠NMO = ∠PKO як внутрішні різно-сторонні при паралельних прямих MN і PK та січній MK. Тому NO : OP = MN : PK; NO : OP = 4 : 6 = 2 : 3.
Відповідь. А.
1.11. l R=
°°
2360π α ; l = ⋅ ⋅ °
°=
2 3 60360π
π (см). Відповідь. В.
1.12. S AB BC B= ⋅ ⋅ ∠12
sin ; 20 3 12
8 10= ⋅ ⋅ ⋅ ∠sin ;B sin ;∠ =B 32
∠В = 60°.
Відповідь. Г.
Частина друга
2.1. aab b
bb a
ab a b
ba b
a bb a b
a b a bb a b
a2
2
2 2 2
−+
−=
−−
−=
−−
=− +
−=
+( ) ( )
( )( )( )
bbb
.
Відповідь. a bb+ .
2.2. xx x
xx x x
−− +
=−
− −=
−3
5 63
3 21
22 ( )( ). Якщо х = 2,001, то 1
21
2 001 2x −=
−=
,
= =1
0 0011000
,. Відповідь. 1000.
Варіант 50 151
2.3. 2 9 04 4 3 02
xx x− <
− − ≥
;;
2 9
4 12
32
0
x
x x
<
+
−
≥
;
;
x
x x
<
+
−
≥
4 5
4 12
32
0
, ;
;
х ∈ (–∞; –0,5] ∪ [1,5; 4,5). Натуральні розв’язки системи нерівностей: 2; 3; 4. Відповідь. 2; 3; 4.2.4. Нехай ABCD — задана трапеція, О — точка перетину
діагоналей. AD = 9 см, BC = 6 см, OD – BO = 2 см. ∆BOC " ∆DOA (за двома кутами). Нехай BO = x см, тоді OD = (x + 2) см. Якщо трикутники подібні, то їхні відповідні сторо-
ни пропорційні, тому
BOOD
BCAD
= ; xx +
=2
69
, або xx +
=2
23
;
3х = 2х + 4; х = 4. Якщо х = 4, то х + 2 = 4 + 2 = 6. Отже, ВО = 4 см, OD = 6 см. Відповідь. 4 см, 6 см.
Частина третя3.1. Нехай перший робітник самостійно виконує завдання за х год, тоді дру-
гий — за (х + 6) год. За 1 год перший робітник виконує 1x
частину роботи,
а другий — 16x +
. Оскільки всю роботу вони виконують за 4 год, то маємо
рівняння:
4 46
1 4 6 4 66
0 2 246
02
x xx x x x
x xx x
x x+
+=
+ + − ++
=− −
+=; ( ) ( )
( );
( ). ОДЗ для
змінної х: х ≠ 0, х ≠ –6. х2
– 2х – 24 = 0; D > 0; х1 = 6; х2 = –4. Корінь –4 не задовольняє умову задачі. Якщо х = 6, то х + 6 = 12. Отже, перший робітник самостійно може виконати завдання за 6 год, а другий — за 12 год.
Відповідь. 6 год, 12 год.
3.2. ( )( ) ( ) ( ) .a a aa a
a a a aa a
a a a− −+ +
+ =− + +
+ ++ = − +
1 11
1 11
12
Якщо а = 0,97, то a a a a− + = − + + =1 1 1. Відповідь. 1.
3.3. АВ і CD — хорди, СD = 32 см, АВ = 24 см, МK = 4 см. Оскільки МО⊥АВ, МО⊥ СD, то М і K — сере дини хорд.
Тому МА = 12
АВ = 12 см, KD = 12
CD = 16 см.
Нехай KО = х см, тоді з ∆МОА (∠М = 90°):
152 Варіант 50
AO AM MO2 2 2= + ; АО2 = 144 + (4 + х)2 (1). З ∆KOD (∠K = 90°): OD KD KO2 2 2= + ; OD2 = 256 + x2 (2). Оскільки АО2 = OD2, то з (1) і (2) маємо: 144 + 16 + 8х + x2 = 256 + x2; 8х = 96, х = 12. Тому OD = + = =256 144 400 20 (см). Отже, радіус кола — 20 см.
Відповідь. 20 см.
Частина четверта
4.1м. n n n n n n n n n n n n3 2 3 2 2
6 2 33 2
63 26
1 26
+ + =+ +
=+ +
=+ +( ) ( )( ) . Числа п, п + 1,
п + 2 — три послідовні натуральні числа, одне з яких ділиться на 2, а інше — на 3, або одне число ділиться і на 2, і на 3, а тому добуток трьох
послідовних натуральних чисел ділиться на 6. Отже, число n n n3 2
6 2 3+ + і
є натуральним числом.
4.2м. ∆АВС — заданий трикутник; АС = 15 см, ВА + ВС = 27 см. За формулою площі трикутника, маємо:
S rp S= = ⋅+
=; 4 15 272
84 (см2).
Нехай ВА = х см, тоді ВС = (27 – х) см. За формулою Герона: S p p AB p BC p AC= − − −( )( )( ); 84 21 21 15 21 21 27= − − − −( )( )( ( ));x x 21 6 21 6 7056⋅ ⋅ − − =( )( ) ;x x ( )( ) ,21 6 56− − =x x x x2 27 182 0− + = ; х1 = 13, х2 = 14. Отже, ВА = 13 см, ВС = 14 см. Косинус ∠В знаходимо за теоремою косинусів:
cos ;∠ =+ −⋅ ⋅
B AB BC ACAB AC
2 2 2
2 cos .∠ =
+ −⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=B 13 14 152 13 14
1402 13 14
513
2 2 2
Відповідь. 513
.
Óâàãà! -
-
158 Зміст
ЗмістВаріант 1 ................................................................................................................. 3Варіант 2 ................................................................................................................. 6Варіант 3 ................................................................................................................. 9Варіант 4 ............................................................................................................... 12Варіант 5 ............................................................................................................... 15Варіант 6 ............................................................................................................... 18Варіант 7 ............................................................................................................... 21Варіант 8 ............................................................................................................... 24Варіант 9 ............................................................................................................... 27Варіант 10 ............................................................................................................. 30Варіант 11 ............................................................................................................. 33Варіант 12 ............................................................................................................. 36Варіант 13 ............................................................................................................. 39Варіант 14 ............................................................................................................. 42Варіант 15 ............................................................................................................. 45Варіант 16 ............................................................................................................. 48Варіант 17 ............................................................................................................. 51Варіант 18 ............................................................................................................. 54Варіант 19 ............................................................................................................. 57Варіант 20 ............................................................................................................. 60Варіант 21 ............................................................................................................. 63Варіант 22 ............................................................................................................. 66Варіант 23 ............................................................................................................. 69Варіант 24 ............................................................................................................. 72Варіант 25 ............................................................................................................. 75Варіант 26 ............................................................................................................. 78Варіант 27 ............................................................................................................. 81Варіант 28 ............................................................................................................. 84Варіант 29 ............................................................................................................. 87Варіант 30 ............................................................................................................. 90Варіант 31 ............................................................................................................. 93Варіант 32 ............................................................................................................. 96Варіант 33 ............................................................................................................. 99Варіант 34 ........................................................................................................... 102Варіант 35 ........................................................................................................... 105Варіант 36 ........................................................................................................... 108Варіант 37 ........................................................................................................... 111Варіант 38 ........................................................................................................... 114Варіант 39 ........................................................................................................... 117Варіант 40 ........................................................................................................... 120Варіант 41 ........................................................................................................... 123 Варіант 42 .......................................................................................................... 126
Зміст 159
Варіант 43 ........................................................................................................... 129Варіант 44 ........................................................................................................... 132Варіант 45 ........................................................................................................... 135Варіант 46 ........................................................................................................... 138Варіант 47 ........................................................................................................... 141Варіант 48 ........................................................................................................... 144Варіант 49 ........................................................................................................... 147Варіант 50 ........................................................................................................... 150
Навчальне видання
ФеДОреНКОЮрійПетрович
Повні розв’язки завдань для державної ПідсуМкової атестації
МатеМатика9 клас
Підписано до друку 1.03.2013. Формат 60х84/64. Папір офсетний. Гарнітура �entury Schoolbook. Друк офсетний. Умовн. друк. арк. 2,33. Умовн. фарбо-відб. 2,33.
Видавництво «Навчальна книга — Богдан»Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців
ДК № 370 від 21.03.2001 р.
Навчальнакнига–Богдан,а/с529,м.Тернопіль,46008тел./факс(0352)52-06-07;52-05-48;52-19-66;(067)350-18-70
[email protected], [email protected] www.bohdan-books.com