ТЕРНОПІЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА — БОГДАН

Ю. П. Федоренко

МАТЕМАТИКАПовні розв’язки завдань

дляДЕРжАВНОї ПІДсуМКОВОї АТЕсТАцІї

9 клаС

узагальнення вивченого повні розв’язки усіх чотирьох частин детальні пояснення

УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72 М34

Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

2005000001031 © Навчальнакнига–Богдан,2013

ФедоренкоЮ.П.М34 Математика. Повні розв’язки завдань для державної підсумкової

атестації.9клас.—Тернопіль:Навчальнакнига–Богдан,2013.—160с.

2005000001031

У посібнику подано детальні розв’язання 50 варіантів завдань зі збірника, рекомендованого Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для проведення державної підсумкової атестації з математики в 9-х класах загаль-ноосвітніх навчальних закладів (Збірник завдань для державної підсумко-вої атестації з математики. 9 клас / О.І. Глобін, О.В. Єргіна, П.Б. Сидоренко, О.В. Комаренко. — К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2013).

Посібник покликаний допомогти вчителеві здійснювати оперативний контроль знань під час тематичних атестацій, заліків, опитувань, а також по-легшити перевірку виконання екзаменаційних завдань. Книга стане у при-годі учням 9-х класів, які готуються до державної підсумкової атестації (подані розв’язки мають рекомендаційний характер).

Для вчителів, учнів, абітурієнтів.УДК 512.1(075.3)ББК 22.1я72

Варіант 1 3

Варіант 1Частина перша

1.4. 5 · 1 – 3 · 2 = –1. Відповідь. В.

1.5. x yx y

xy

xy

8 3

2 9

8 2

9 3

6

6= =−

− . Відповідь. В.

1.6. –х2 + 3х + 4 = –(х2 – 3x – 4) = –(x – 4)(x + 1). Відповідь. Г.

1.8. b b q3 12= ; 45 = b1 · (–3)2; b1 = 45 : 9 = 5. Відповідь. А.

1.9. ∠СОВ = ∠АОВ – ∠АОС; ∠СОВ = 105° – 63° = 42°. Відповідь. Б.

1.12. 39

618

= . Відповідь. В.

Частина друга

2.1. ( ) ( )2 3 5 2 3 52 2− + + = 2 2 2 3 5 45 2 2 2 3 5 45− ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + = = 94. Відповідь. 94

2.2. Складемо систему рівнянь: y x xx y= − ++ =

2 2 44

,.

Розв’яжемо її:

y x xy x= − += −

2 2 44

,;

х2 – 2x + 4 = 4 – x; x2 – x = 0; x(x – 1) = 0; x1 = 0; x2 = 1.

Тому у1 = 4 – 0 = 4; у2 = 4 – 1 = 3. Відповідь. (0; 4); (1; 3).2.3. 1) 10 000 · 1,1 = 11 000 (грн.) — на рахунку після першого року. 2) 11 000 · 1,12 = 12 320 (грн.) — на рахунку після другого року. 3) 12 320 – 10 000 = 2 320 (грн.) — отриманий прибуток. Відповідь. 2 320 грн.2.4. Радуіс R кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною а,

обчислюється за формулою: R a=

33

. Маємо: R =⋅

=3 4 6

34 2 (см).

Сторона квадрата, вписаного у це ж коло: b R= 2 , b = ⋅ =4 2 2 8 (см). Відповідь. 8 см.

4 Варіант 1

Частина третя3.1. Нехай перше з невідомих чисел дорівнює х, а друге — у. Тоді, за умовою,

12

13

2x y− = . Після зменшення першого числа на його четверту частину

матимемо: x x x− =14

34

, а після збільшення другого на його шосту части-

ну отримаємо: y y y+ =16

76

. За умовою, 34

76

53x y+ = .

Отримали систему

12

13

2

34

76

53

x y

x y

− =

+ =

,

.

Розв’яжемо її. Після множення лівої і правої частин першого рівнян-

ня на 6, а другого — на 12, матимемо: 3 2 129 14 53 12x yx y− =+ = ⋅

,.

Домножимо перше рівняння системи на 7 і використаємо спосіб до-

давання: + − = ⋅+ = ⋅

21 14 12 79 14 53 12

x yx y

,.

30х = 60 · 12. Звідси х = 24, тоді 3 · 24 – 2у = 12; 2у = 60; у = 30. Отже, шукані числа — 24 і 30. Відповідь. 24 і 30.3.2. Виконаємо спрощення виразу за діями:

1) 12

24

122 2 2( ) ( )x x x+

−−

+−

= 12

22 2

122 2( ) ( )( ) ( )x x x x+

−− +

+−

=

= ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x x x xx x

− − − + + +− +

2 2 2 2 22 2

2 2

2 2 = ( ( ))( ) ( )x xx x− − +− +2 22 2

2

2 2 = 162 22 2( ) ( )x x− +

.

2) ( )( ) ( )

xx x

+⋅

− +2

1616

2 2

4

2 2 = ( )( )xx+−

22

2

2 .

3) 82

222

2

2x

xxx( )

( )( )−

−+−

= 8 4 42

2

2x x x

x− + +

−( )( )

= 8 4 42

2

2x x x

x− − −

−( ) = − + −

−x x

x

2

24 42( )

=

= − − +− +

( )x xx x

2

24 4

4 4 = –1. Відповідь. –1.

3.3. Нехай ABCD — заданий паралелограм; ∠D : ∠A = 2 : 3. Позначимо ∠D = 2x і ∠A = 3x. Тоді 2х + 3х = 180°;

5х = 180°; х = 36°. Тому ∠D = 2 · 36° = 72°. З вершини гострого кута В паралелограма

ABCD проведено висоти ВK і BL. Тоді в чотирикут-нику DKBL відомі кути: ∠K = ∠L = 90° і ∠D = 72°.

Варіант 1 5

Тому ∠KBL = 360° – (2 · 90° + 72°) = 108°. Відповідь. 108°.

Частина четверта

4.1м. 7 1 2 1 922x

xx

x+

− +

= . Нехай x

x+

1 = t. Тоді t xx

2 222 1

= + + , а тому

xx

t22

21 2+ = − .

Маємо 7 2 2 92t t− − =( ) ; 2t2 – 7t + 5 = 0; t1 = 1; t2 = 2,5.

1) xx

+1 = 1. Оскільки відомо, що x

x+ ≥

1 2 , то рівняння xx

+1 = 1 не має

розв’язків.

2) xx

+1 = 2,5; x

x+

1 = 2 + 12

; х1 = 2; х2 = 12

. Відповідь. 2; 12

.

4.2м. Нехай у коло вписано рівнобедрений трикутник АВС, у якого бічна сторона удвічі більша за основу. Тому позначимо АВ = АС = 2х; СВ = х.

Проведемо АK — медіану і висоту трикутника.

Тоді СK = CB2

= x2

.

В ∆АСK (∠K = 90°): cos∠C = CKAC

; cos∠C = x

x2

2 = 1

4.

Тоді sin cos∠ = − ∠ = −

=! C1 1 1

4154

22

.

Відомо, що АВ = 2R sin ∠C; АВ = 2 8 154

⋅ ⋅ = 4 15 (см). Тоді СВ = 2 15 см.

Знайдемо добуток Rr abcS

Sp

abcp

= ⋅ =4 4

. Звідси r abcpR

=4

.

Маємо: p AB CB AB CB=

+= + = + =

22 2

4 15 15 5 15 (см).

Тоді r = 4 15 4 15 2 154 5 15 8⋅ ⋅⋅ ⋅

= 3 (см). Відповідь. 3 см.

Варіант 33 99

Варіант 33Частина перша

1.1. х = 910 · 65 = 59150. Відповідь. Б.

1.2. 5 35

10 285

10 56⋅ = ⋅ = . Відповідь. Г.

1.4. 3m + mk – 3n – kn = m(3 + k) – n(3 + k) = (m – n)(3 + k). Відповідь. А.

1.5. 80 2 23 2⋅ −− = 808

4− = 10 – 4 = 6. Відповідь. Г.

1.6. xx

xx

2

21

51− +: = ( )( )x x

xx

x− +

⋅+

1 15 1

2

= ( )x x−15

. Відповідь. В.

1.10. ∆OMN " ∆OKP (за трьома кутами): ∠MОN = ∠KOP як вертикальні, ∠NMO = ∠PKO як внутрішні різно-сторонні при паралельних прямих MN і PK та січній MK. Тому NO : OP = MN : PK; NO : OP = 4 : 6 = 2 : 3.

Відповідь. А.

1.11. l R=

°°

2360π α ; l = ⋅ ⋅ °

°=

2 3 60360π

π (см). Відповідь. В.

1.12. S AB BC B= ⋅ ⋅ ∠12

sin ; 20 3 12

8 10= ⋅ ⋅ ⋅ ∠sin ;B sin ;∠ =B 32

∠В = 60°.

Відповідь. Г.

Частина друга

2.1. aab b

bb a

ab a b

ba b

a bb a b

a b a bb a b

a2

2

2 2 2

−+

−=

−−

−=

−−

=− +

−=

+( ) ( )

( )( )( )

bbb

.

Відповідь. a bb+ .

2.2. xx x

xx x x

−− +

=−

− −=

−3

5 63

3 21

22 ( )( ). Якщо х = 2,001, то 1

21

2 001 2x −=

−=

,

= =1

0 0011000

,. Відповідь. 1000.

Варіант 50 151

2.3. 2 9 04 4 3 02

xx x− <

− − ≥

;;

2 9

4 12

32

0

x

x x

<

+

−

≥

;

;

x

x x

<

+

−

≥

4 5

4 12

32

0

, ;

;

х ∈ (–∞; –0,5] ∪ [1,5; 4,5). Натуральні розв’язки системи нерівностей: 2; 3; 4. Відповідь. 2; 3; 4.2.4. Нехай ABCD — задана трапеція, О — точка перетину

діагоналей. AD = 9 см, BC = 6 см, OD – BO = 2 см. ∆BOC " ∆DOA (за двома кутами). Нехай BO = x см, тоді OD = (x + 2) см. Якщо трикутники подібні, то їхні відповідні сторо-

ни пропорційні, тому

BOOD

BCAD

= ; xx +

=2

69

, або xx +

=2

23

;

3х = 2х + 4; х = 4. Якщо х = 4, то х + 2 = 4 + 2 = 6. Отже, ВО = 4 см, OD = 6 см. Відповідь. 4 см, 6 см.

Частина третя3.1. Нехай перший робітник самостійно виконує завдання за х год, тоді дру-

гий — за (х + 6) год. За 1 год перший робітник виконує 1x

частину роботи,

а другий — 16x +

. Оскільки всю роботу вони виконують за 4 год, то маємо

рівняння:

4 46

1 4 6 4 66

0 2 246

02

x xx x x x

x xx x

x x+

+=

+ + − ++

=− −

+=; ( ) ( )

( );

( ). ОДЗ для

змінної х: х ≠ 0, х ≠ –6. х2

– 2х – 24 = 0; D > 0; х1 = 6; х2 = –4. Корінь –4 не задовольняє умову задачі. Якщо х = 6, то х + 6 = 12. Отже, перший робітник самостійно може виконати завдання за 6 год, а другий — за 12 год.

Відповідь. 6 год, 12 год.

3.2. ( )( ) ( ) ( ) .a a aa a

a a a aa a

a a a− −+ +

+ =− + +

+ ++ = − +

1 11

1 11

12

Якщо а = 0,97, то a a a a− + = − + + =1 1 1. Відповідь. 1.

3.3. АВ і CD — хорди, СD = 32 см, АВ = 24 см, МK = 4 см. Оскільки МО⊥АВ, МО⊥ СD, то М і K — сере дини хорд.

Тому МА = 12

АВ = 12 см, KD = 12

CD = 16 см.

Нехай KО = х см, тоді з ∆МОА (∠М = 90°):

152 Варіант 50

AO AM MO2 2 2= + ; АО2 = 144 + (4 + х)2 (1). З ∆KOD (∠K = 90°): OD KD KO2 2 2= + ; OD2 = 256 + x2 (2). Оскільки АО2 = OD2, то з (1) і (2) маємо: 144 + 16 + 8х + x2 = 256 + x2; 8х = 96, х = 12. Тому OD = + = =256 144 400 20 (см). Отже, радіус кола — 20 см.

Відповідь. 20 см.

Частина четверта

4.1м. n n n n n n n n n n n n3 2 3 2 2

6 2 33 2

63 26

1 26

+ + =+ +

=+ +

=+ +( ) ( )( ) . Числа п, п + 1,

п + 2 — три послідовні натуральні числа, одне з яких ділиться на 2, а інше — на 3, або одне число ділиться і на 2, і на 3, а тому добуток трьох

послідовних натуральних чисел ділиться на 6. Отже, число n n n3 2

6 2 3+ + і

є натуральним числом.

4.2м. ∆АВС — заданий трикутник; АС = 15 см, ВА + ВС = 27 см. За формулою площі трикутника, маємо:

S rp S= = ⋅+

=; 4 15 272

84 (см2).

Нехай ВА = х см, тоді ВС = (27 – х) см. За формулою Герона: S p p AB p BC p AC= − − −( )( )( ); 84 21 21 15 21 21 27= − − − −( )( )( ( ));x x 21 6 21 6 7056⋅ ⋅ − − =( )( ) ;x x ( )( ) ,21 6 56− − =x x x x2 27 182 0− + = ; х1 = 13, х2 = 14. Отже, ВА = 13 см, ВС = 14 см. Косинус ∠В знаходимо за теоремою косинусів:

cos ;∠ =+ −⋅ ⋅

B AB BC ACAB AC

2 2 2

2 cos .∠ =

+ −⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=B 13 14 152 13 14

1402 13 14

513

2 2 2

Відповідь. 513

.

Óâàãà! -

-

158 Зміст

ЗмістВаріант 1 ................................................................................................................. 3Варіант 2 ................................................................................................................. 6Варіант 3 ................................................................................................................. 9Варіант 4 ............................................................................................................... 12Варіант 5 ............................................................................................................... 15Варіант 6 ............................................................................................................... 18Варіант 7 ............................................................................................................... 21Варіант 8 ............................................................................................................... 24Варіант 9 ............................................................................................................... 27Варіант 10 ............................................................................................................. 30Варіант 11 ............................................................................................................. 33Варіант 12 ............................................................................................................. 36Варіант 13 ............................................................................................................. 39Варіант 14 ............................................................................................................. 42Варіант 15 ............................................................................................................. 45Варіант 16 ............................................................................................................. 48Варіант 17 ............................................................................................................. 51Варіант 18 ............................................................................................................. 54Варіант 19 ............................................................................................................. 57Варіант 20 ............................................................................................................. 60Варіант 21 ............................................................................................................. 63Варіант 22 ............................................................................................................. 66Варіант 23 ............................................................................................................. 69Варіант 24 ............................................................................................................. 72Варіант 25 ............................................................................................................. 75Варіант 26 ............................................................................................................. 78Варіант 27 ............................................................................................................. 81Варіант 28 ............................................................................................................. 84Варіант 29 ............................................................................................................. 87Варіант 30 ............................................................................................................. 90Варіант 31 ............................................................................................................. 93Варіант 32 ............................................................................................................. 96Варіант 33 ............................................................................................................. 99Варіант 34 ........................................................................................................... 102Варіант 35 ........................................................................................................... 105Варіант 36 ........................................................................................................... 108Варіант 37 ........................................................................................................... 111Варіант 38 ........................................................................................................... 114Варіант 39 ........................................................................................................... 117Варіант 40 ........................................................................................................... 120Варіант 41 ........................................................................................................... 123 Варіант 42 .......................................................................................................... 126

Зміст 159

Варіант 43 ........................................................................................................... 129Варіант 44 ........................................................................................................... 132Варіант 45 ........................................................................................................... 135Варіант 46 ........................................................................................................... 138Варіант 47 ........................................................................................................... 141Варіант 48 ........................................................................................................... 144Варіант 49 ........................................................................................................... 147Варіант 50 ........................................................................................................... 150

Навчальне видання

ФеДОреНКОЮрійПетрович

Повні розв’язки завдань для державної ПідсуМкової атестації

МатеМатика9 клас

Підписано до друку 1.03.2013. Формат 60х84/64. Папір офсетний. Гарнітура �entury Schoolbook. Друк офсетний. Умовн. друк. арк. 2,33. Умовн. фарбо-відб. 2,33.

Видавництво «Навчальна книга — Богдан»Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців

ДК № 370 від 21.03.2001 р.

Навчальнакнига–Богдан,а/с529,м.Тернопіль,46008тел./факс(0352)52-06-07;52-05-48;52-19-66;(067)350-18-70

publishing@budny.te.ua, office@bohdan-books.com www.bohdan-books.com