Skript zur Vorlesung

Physik für Ingenieure

BauingenieurwesenSales Engineering and Product ManagementUmwelttechnik und Ressourcenmanagement

Wintersemester 2007/2008

Prof. Dr. Andreas Meyer

Institut für Materialphysik im WeltraumDeutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt Köln

und

Lehrstuhl für Materialphysik im WeltraumFakultät für Physik und Astronomie

Ruhr-Universität Bochum

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung, Messung von Gr̈oßen 11.1 Messung und Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 21.2 Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31.3 Längenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4

2 Klassische Mechanik 52.1 Kinematik des Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Bahnen und Koordinationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 52.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

2.2 Dynamik des Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 72.2.1 Träge und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 72.2.2 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8

2.3 Arbeit, Energie, Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 92.3.1 Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 92.3.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 102.3.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 102.3.4 Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10

2.4 Mechanik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 122.4.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 122.4.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 132.4.4 Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

2.5 Mechanik deformierbarer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 152.5.1 Spannung und Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 152.5.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 152.5.3 Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 172.5.4 Viskosität und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

2.6 Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 202.6.1 Erzwungene Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 202.6.2 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 202.6.3 Fortschreitende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 202.6.4 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 222.6.5 Überlagerung von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 232.6.6 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

3 Optik 253.1 Eigenschaften von Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 26

3.2.1 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 263.2.2 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

3.3 Optische Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 273.3.1 Hohlspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 273.3.2 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 283.3.3 Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 283.3.4 Menschliches Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 29

3.4 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 313.4.1 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 313.4.2 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 333.4.3 Teilchenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 34

1 Einführung, Messung von Gr̈oßen

Physik ist eine Wissenschaft, die sich mit der um-gebenden Welt, deren Grundbausteinen und Wechsel-wirkungen beschäftigt.

Physik ist eine Erfahrungswissenschaft, die auf expe-rimentell gefundenen Tatsachen beruht.Dabei gilt: Tatsachen bleiben, Deutungen wechselnim Laufe des historischen Fortschritts.

Erkenntnisprozess:

Experiment, Beobachtung↓

ModellvorstellungMathematische Beschreibung

↓Physikalische Theorie

↓Gesetzmäßigkeiten, Vorhersagen

↓Experiment

Ziel physikalischer Forschung:

– Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhänge in Na-turphänomenen aufzeigen

– Beschreibung und Erklärung aller Naturphäno-mene durch wenige Grundprinzipien

– Verstehen→Abbau vonÄngsten, (Weiter-) Ent-wicklung von Anwendungen

Experimente sind gezielte Fragen an die Natur

Geeignete experimentelle Anordnung liefert eindeu-tige Antworten.Dabei muss gelten:Wiederholbarkeit→ Naturgesetze müssen unabhängig sein vom Expe-rimentator oder vom Versuchsaufbau.

Durch Experimente kann der Gültigkeitsbereich vonTheorien überprüft werden. Dabei gilt: Theorien kön-nen nicht bewiesen, sondern nur widerlegt werden.

Griechische Naturphilosophie

Weltbild des Aristoteles (384-322 v. Chr.)

– Einteilung der Wissenschaft in:Physik→ körperliche, materielle WeltMetaphysik→ ideelle, geistige Welt

– Erklärung physikalischer Erscheinungen durchdie Annahmen:

- Erde im Zentrum der Welt

- Vier Elemente (Feuer, Wasser, Luft, Erde)+ göttliches Element (̈Ather)

- Bewegung: Versuch eines Stoffes, seinennatürlichen Ort im Universum zu erreichen

– Vorstellung falsch, aber:

- Entmythologisierung der Natur(z.B. Erklärung der Sonnenfinsternis)

- Funktionierende Anwendungenz.B. Archimedes (287-212 v. Chr.):Schwerpunkt, Hebelgesetz, Auftrieb

Entwicklung der klassischen Physik

Beginn der experimentellen Physik mit Galileo Galilei(1564 - 1642)

– Untermauern physikalischer Hypothesen durchgezielte Experimente (siehe Fallgesetze)

– Experiment als Prüfstein jeder Theorie

Einführung der Mathematik in die Physik durch IsaacNewton (1642-1727)

– Zusammenfassung vieler Einzelergebnisse in ei-ne Gleichung

– Erstes verallgemeinertes Naturgesetz:~F = m~a

Ende des 19. Jahrhunderts: Alle bekannten physikali-schen Probleme scheinen gelöst. Man glaubt sich nahean einem geschlossenen Weltbild.

Aber neue Experimente erzwingen Erweiterungen derklassischen Physik, z.B.:

– Michelson Experiment (1881):Lichtgeschwindigkeitc ist eine Konstante undunabhängig von Bewegung des Messgerätes.→ Spezielle Relativitätstheorie (1905 Einstein)

– Entwicklung der Spektralanalyse(Kirchoff 1824-1887, Bunsen 1811-1899):Emission/Absorption charakteristischer Wellen-längen von Atomen→Ansätze der Quantentheorie (um 1900) durchMax Planck (1858-1947)

1

Heutiges physikalisches Weltbild:

Kondensierte Materie (fest, flüssig)↑

Atome, Moleküle↑

Atomkerne (Protonen, Neutronen)↑

Quarks

Vier fundamentale Wechselwirkungen:

Starke WW (Gluonen)Schwache WW (W-, Z- Boson)Elektromagnetische WW (Photonen)Gravitaions WW (Gravitonen)

Als gute Näherung gilt:groß, langsam→ klassische Mechanikklein → Quantenmechanikschnell→ Relativitätstheorie

1.1 Messung und Messfehler

Messung:Quantitative Bestimmung einer physikalischen Größedurch Vergleich mit Normgrößen (Standards)

Beispiel: Waage (Urkilogramm als Normgröße)

Urkilogramm: Metallzylinder mit 139 mm Höhe und39 mm Durchmesser aus einer Platin-Iridium Legie-rung. Festlegung (1889): 1 kg entspricht der Massedes Urkilogramms

Eine gemessene Größe setzt sich zusammen aus:

Zahlenwert, MessfehlerundMaßeinheit

a) Messfehler:

– Systematische Fehler: Z.B. Fehler im Versuchs-aufbau, fehlerhafte Eichung des Messgerätes,Nichtberücksichtigung von äußeren Einflüssen

– Statistische Fehler: Z.B. schwankende Versuchs-bedingungen, Ablesegenauigkeit

Im Gegensatz zu systematischen Fehlern steigt die Ge-nauigkeit einer Messung mit der Anzahl der Wieder-holungenN . Der Arithmetischer Mittelwert x̄ derMessgrößex ist:

x̄ =1

N

N∑

i=1

xi

Das Maß für die Genauigkeit einer Messung ist dieStandardabweichungσ(x):

σ(x) =

√

√

√

√

1

N − 1

N∑

i=1

(xi − x̄)2

σ(x) ist der mittlere Fehler der Größexi der Einzel-messung.Der mittlere Fehler des Mittelwertes̄x ist:

σ(x̄) =σ(x)√

N=

√

√

√

√

1

N(N − 1)

N∑

i=1

(xi − x̄)2

Bei statistischen Fehlern ergeben die Einzelmessun-gen beiN � 1 eine Gauß-VerteilungP (xi) um denwahren Wert xw, d.h. in diesem Fallxw = x̄:

P (xi) =1

√

2πσ2(x)exp

[

− (xi − xw)2

2σ2(x)

]

Dabei liegen∼ 68% aller Messwertexi im Bereichvon± σ(x) und∼95% innerhalb von± 2σ(x)

Hängt eine Größe von anderen Größenx, y, z ... ab,die statistisch unabhängig gemessen werden, dann giltdasGauß’sche Fehlerfortpflanzungsgesetz:

σ(G) =

√

σ2(x)

(

∂G

∂x

)2

+ σ2(y)

(

∂G

∂y

)2

+ ...

Beispiel: Geschwindigkeit:v = l/t:

σ(v) =

√

σ2(l)

(

∂v

∂l

)2

+ σ2(t)

(

∂v

∂t

)2

σ(v) =

√

σ2(l)1

t2+ σ2(t)

(−lt2

)2

In der Regel gibt man das Ergebnis einer Messung mitdemVertrauensbereich von ±σ an:

xw = x̄ ± σ(x̄)

2

b) Maßeinheiten

Zurückführung physikalischer Maßeinheiten auf we-nigeBasiseinheitenmit genauenMessvorschriften

→ SI Maßsystem(Syteme International d’Unites)Alle anderen Einheiten wie Kraft [kg m s−2 ≡ N](Newton) oder Energie [kg m2 s−2 ≡ J] (Joule) kön-nen aus den Basisgrößen abgeleitet werden.

Größe SI Einheit Symbol

Zeit Sekunde sLänge Meter mMasse Kilogramm kgTemperatur Kelvin KStoffmenge Mol molelektr. Stromstärke Ampere ALichtstärke Candela cd

Dabei können Candela und Ampere über Sekunde,Meter und Kilogramm, das Mol über Kilogramm undder Meter über Sekunde ausgedrückt werden. Nur Ki-logramm, Sekunde und Kelvin sind unabhängig vonanderen Basiseinheiten definiert.

In der Praxis finden noch andere Einheitssysteme Ver-wendung:

1 J = 6.2419 · 1018 eV (Atom/Festkörperphysik)1 J = 2.3884 · 10−4 kcal (Chemie)1 J = 2.7778 · 10−7 kWh (Elektrotechnik)1 J = 107 erg (Theorie: cgs System)

c) Größenordnungen

Basiseinheiten können extrem variieren, z.B. für ato-mare oder kosmologische Effekte⇒ SI Vorsätze

Faktor Vorsilbe Kurzzeichen

10−1 Dezi- d10−2 Zenti- c10−3 Milli- m10−6 Mikro- µ10−9 Nano- n10−12 Piko- p10−15 Femto- f10−18 Atto- a

101 Deka- da102 Hekto- h103 Kilo- k106 Mega- M109 Giga- G1012 Tera- T1015 Peta- P1018 Exa- E

1.2 Zeitmessung

Zeitmessung erfolgt über periodische Vorgänge, de-ren PeriodeT möglichst konstant ist. Zeit ist dann dieZahl der Perioden zwischen zwei Ereignissen mal derPeriodeT .

Astronomische Vorg̈ange(Jahr, Monat, Tag):Ab 1960: Definition der Sekunde durch Umlauf derErde um die Sonne. Genauigkeit: 1 s±10−9 s (1 ns)Höhere Genauigkeit durch Anbindung anperiodischeVorgänge von Atomen

Heute: Definition der Sekunde über Hyperfeinaufspal-tung im Cäsium Isotop133Cs:

1 s≡ 9192631770 Schwingungen des CsÜbergangesErreichte Genauigkeit: 1 s±10−15 s (1 fs)Radioaktiver Zerfall : Messung von Zeitspannen von10−9 s bis109 a:

Versuch:Radioaktiver Zerfall als Zeitmesser

Zerfallsprodukt137Ba aus137Cs Quelle mit Salzsäureauswaschen. Messung der Aktivität durch Messungder Anzahl der ausgesandtenγ - Quanten (Energie:0.661 MeV) mittels eines Geiger-Müller-Zählrohres in30 s Intervallen.AnfangsaktivitätN0 im Versuch ca.105 Bq (Becque-rel: Zerfälle pro Sekunde)

Gefundene Gesetzmäßigkeit für die AktivitätN(t) alsFunktion der Zeit:

Nach beliebiger Zeitt, die t/T1/2 Halbwertszeitenüberstreicht gilt:

N(t) = N0 (1

2)t/T1/2 = N0 exp

(

− ln 2 tT1/2

)

3

Mit der mittleren Lebensdauer:τ ≡T1/2

ln 2

⇒ Zerfallsgesetz: N(t) = N0 exp (−t/τ)

Zahl der KernedN , die im Zeitintervall zwischentunddt zerfallen:

dN = N(t + dt) − N(t) = dNdt

dt

mitdN

dt= −1

τN0 exp(−t/τ)

⇒ dN = −1τ

N(t) dt

Zahl der Kerne, die pro Zeiteinheit zerfällt ist propor-tional zur Zahl der vorhandenen radioaktiven Kerne.

Anwendung: Z.B. Archäologische Altersbestimmungmit der14C Methode:

14C bildet sich kontinuierlich in den oberen Schichtender Atmosphäre durch Neutronenbestrahlung.Dadurch: Zeitlich konstante Menge an14C im CO2der Luft→ N0Beim Absterben von Lebewesen, kein weiterer Aus-tausch mit der Luft,14C - Gehalt nimmt durch radio-aktiven Zerfall mit HalbwertszeitT1/2 = 5770 a ab.

⇒ Altersbestimmung kohlenstoffhaltiger Lebewesenim Bereich von 500 a bis∼ 50000 a

1.3 Längenmessung

Historische Längeneinheiten:Körpermaße (z.B. USA 1 inch = 1/12 foot = 2.54 cm)

1875 Definition des Meters:1 m≡ 10−7 mal Strecke Nordpol-̈Aquator über ParisUrmeter in Paris: Pt-Jr-Stab bei0◦C, markiert durchRitzen→ Genauigkeit 1 m±10−6 m (1µm).

Ab 1983: Definition des Meters durch die Strecke, dievon Licht im Vakuum in1/299792458 s durchlaufenwird. Lichtgeschwindigkeit:c = 2.99792458·108 m/sErreichte Genauigkeit:10−10 m

Methoden zur Längenmessung:

Triangulation (z.B. Höhenmessung Berggipfel)

Betrachtung eines Objektes O von zwei Standorten Aund B mit bekanntem Abstandc

Mit α + β + γ = 180◦ und übera

sin α=

b

sin β=

c

sin γ(Sinussatz)

indirekte Bestimmung der Längena und b über dieMessung der Winkel

Weiteres Beispiel für indirekte Messung:

Versuch: Geschwindigkeitsmessung einer Gewehrkugel(Pohl’sches Rad)

Versuchsaufbau:

Aus der Messung des Winkelsα zwischen den beidenDurchschusslöchern kann die Flugzeit∆t der Kugelzwischen den beiden Scheiben berechnet werden:

∆t =α[◦]

360◦T

⇒ Geschwindigkeit der Gewehrkugel:v = l/∆t

Anwendung:Geschwindigkeitsselektoren für Teilchenstrahlen (z.B.Neutronenflugzeitspektrometer an der Forschungsneu-tronenquelle FRM-II)

4

2 Klassische Mechanik

Beschreibung der Bewegung punktförmiger oder aus-gedehnter Körper unter dem Einfluss von Kräften

Zunehmende Komplexität:

- Kinematik von Massepunkten als Funktion derZeit (Wie bewegt sich ein MP?)

- Dynamik des MP (Warum bewegt sich ein MPso wie er sich bewegt?→ Kräfte)

- Teilchensysteme

- Starre ausgedehnte Körper

- Deformierbare Körper

2.1 Kinematik des Massepunktes

Ein Körper der Massem lässt sich modellhaft durcheinen Massepunkt beschreiben, wenn seine räumlicheAusdehnung für die Beschreibung seiner Bewegungkeine Rolle spielt.

2.1.1 Bahnen und Koordinationssysteme

Beschreibung der Bewegung eines Massepunktes zurZeit t mit Hilfe des Ortsvektors~r.Die Funktion~r(t) ist die Bahnkurve des Massepunk-tes, die er im Laufe der Zeit durchläuft.

Im kartesischen Koordinatensystemist

~r(t) = x(t) ~ex + y(t) ~ey + z(t) ~ez

~ex ⊥~ey ⊥~ez → Einheitsvektoren mit|~ei| = 1(Rechte-Hand-Regel)

Sinnvolle Wahl des Ursprungs0 und der Richtungen(~ex oder~ey oder~ez) → Verringerung der Dimensio-nalität der Bahnkurve~r(t).Z.B. freier Fall:

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

3dim → ~r(t) = y(t)~ey 1dim

Als Bewegung bezeichnet man dieÄnderung des Or-tes mit der Zeit, beurteilt von einem ortsfesten, starrenKörper, demBezugssystemaus. Z.B. Fußboden desHörsaals (Vernachlässigung der Erdrotation)

Verschiebung oder Rotation des Koordinatensystemsbzw. eineÄnderung des Bezugssystems darf nicht da-zu führen, dass die Bahnkurve anderen physikalischenGesetzmäßigkeiten folgt.

Je nach geometrischen Eigenschaften der Bahnkurveist die Wahl anderer Koordinatensysteme sinnvoll:

Z.B. Kugelkoordinaten (Bewegung auf einer Kugel-oberfläche mitr(t) = konst. oder auf einer Kreisbahnmit r(t) = konst. undθ(t) = π)

x(t) → r(t) sin(θ(t)) cos(ϑ(t))y(t) → r(t) sin(θ(t)) sin(ϑ(t))z(t) → r(t) cos(θ(t))

oderZylinderkoordinaten (z.B. Rollbewegung einesStabes,r(t) = konst.)

x(t) → r(t) cos(ϑ(t))y(t) → r(t) sin(ϑ(t))z(t) → z(t)

2.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Aus der Kenntnis der Bahnkurve~r(t) folgen durchDifferenzbildung oder Ableitung zusätzliche kinema-tische Größen.

a) Mittlere Geschwindigkeit

Änderung der Position eines Massepunktes im Zeitin-tervall ∆t = t2 − t1 mit t2 > t1:

〈~vt1,t2〉 =~r(t2) − ~r(t1)

t2 − t1(〈〉 ≡ Mittelwert)

Beispiel: Eindimensionale Bewegung~r(t) → x(t)für geradlinige oder geführte Bewegungen

5

〈v〉 = ∆x(A,B)∆t(A,B)

b) Momentane Geschwindigkeit

~v(t) = limt1→t

〈~vt,t1〉 =d~r

dt≡ ~̇r

– Die momentane Geschwindigkeit~r(t) zur Zeitt ist gegeben durch die Ableitung des Ortsvek-tors ~r(t) nach der Zeit.

– ~v(t) = (vx(t), vy(t), vz(t))

– Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Kurvein einem Weg–Zeit–Diagramm.

– Dimension vonv [m/s]

c) Mittlere Beschleunigung

〈~at1,t2〉 =~v(t2) − ~v(t1)

t2 − t1

〈~at1,t2〉 =Geschwindigkeitsänderung

Zeitintervall

d) Momentane Beschleunigung

~a(t) = limt1→t

〈~at,t1〉 =d~v

dt≡ ~̇v = d

2~r

dt2≡ ~̈r

Dimension vona[

m/s2]

Versuch: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Ein Gleiter auf einer Luftkissenbahn gleitet reibungs-frei eine schiefe Ebene hinunter. Messung der Zeit undder Geschwindigkeit zwischen mehreren Lichtschran-ken als Funktion des Abstandesx vom Startpunktx0.Beobachtung:x ∝ t2 undv ∝ tKonstante Beschleunigung führt zu einer Geschwin-digkeitsänderung, die proportional zur Zeitt ist. Fürdie Geschwindigkeit zur Zeitt ergibt sich:

v(t) = v0 + a t

Damit ergibt sich für die zurückgelegte Wegstreckezur Zeit t:

x(t) =

∫

dt v(t) =

∫

dt (v0 + a t)

⇒ x(t) = 12

a t2 + v0 t + x0

Die Integrationskonstantenv0 undx0 ergeben sich ausden Anfangsbedingungen.

Weg – Zeit – Diagramm

2.1.3 Superpositionsprinzip

Für kinematische Vektoren (Ortsvektor~r, Geschwin-digkeit ~v, und Beschleunigung~a ) gilt die Vektorad-dition: D.h. die Bewegung in der einen Richtung hatkeinen Einfluss auf die Bewegung in den dazu senk-rechten Richtungen.

– Das Superpositionsprinzip ist unabhängig vonGröße und Richtung der Einzelvektoren und un-abhängig von der Reihenfolge der Addition.

– Das Superpositionsprinzip ist ein experimentel-ler Befund.

Fallversuch nach Galilei (Versuch # 1030)

Eine Fallmaschine schleudert eine Kugel horizontalmit vx = v0 weg und lässt gleichzeitig eine zweitefallen.Beobachtung: Beide Kugeln erreichen den Fußbodenzur gleichen Zeit.

Ortsvektor von Massepunktm1:

~r =

(

x(t)

y(t)

)

=

(

x0−1

2g t2

)

Ortsvektor von Massepunktm2:

~r =

(

x(t)

y(t)

)

=

(

v0 t

−12g t2

)

mit Erdbeschleunigungg ' 9.81 [m / s2]

6

2.2 Dynamik des Massepunktes

Kräfte als Ursache für Bewegungsänderungen

Aufbauend auf den Experimenten von G. Galilei unddurch die Entwicklung der Differentialrechnung konn-te Newton um 1687 erstmals ein allgemeingültigesNaturgesetz formulieren.

Seine drei Axiome:

1) Jeder Körper behält seinen Zustand der Ruheoder der gleichförmig geradlinigen Bewegungbei, solange keine äußeren Kräfte auf ihn wir-ken:

~a = ~̈r = 0 für ~F =∑

i

~Fi = 0

(Tr ägheitsprinzip)

Versuch:Gedeckter TischBeobachtung: Tischtuch wird unter einem Ge-deck weggezogen. Ist die Reibungskraft zwi-schen Tuch und Gedeck vernachlässigbar bleibtdas Gedeck stehen.

Die Masse ist träge, sie möchte ihren Bewe-gungszustand nicht ändern.

2) Die Beschleunigung eines Körpers ist indirektproportional zu seiner Masse und direkt propor-tional zur äußeren Kraft:

~a =~F

moder ~F = m~a oder ~F = m~̈r

(Grundgleichung der Mechanik)

3) Kräfte zwischen Körpern treten immer paarwei-se auf:

Übt Körper A auf B die Kraft~FAB aus, so wirktB auf A mit ~FBA = −~FAB(actio = reactio)

Kraft erzeugt Gegenkraft (Versuch)Beobachtung: Wenn eine Person auf einem Wa-gen eine zweite Person auf einem zweiten Wa-gen zu sich zieht, bewegen sich beide Wagenaufeinander zu.

– 1) ist der Sonderfall von 2) mit~F = 0

– 2) definiert einen linearen Zusammenhang zwischender Ursache~F und ihrer Wirkung~a

– Der Proportionalitätsfaktorm wird alstr äge Massemt bezeichnet.

– Dimension der Kraft:[

kgms2

≡ N]

(Newton)

2.2.1 Träge und schwere Masse

– Die träge Massemt ist definiert durch das 2.Newton’sche Axiom:

mt = F/a

Trägheit gegenüber Geschwindigkeitänderung

– Die schwere Masse ist definiert durch die Gra-vitationskraftFG zwischen zwei Massen. Z.B.auf der Erdoberfläche:

ms = FG/g

Beispiel: Auf dem Mond hat eine Eisenkugel etwa 1/6FG im Vergleich zur Erde. Um eine Kugel horizontalmit v0 zu werfen ist jedoch auf Mond und Erde diegleiche Kraft aufzubringen.

Äquivalenz vonmt und ms ?

Anwendung des 2. Newton’schen Axioms auf den frei-en Fall:

mt ~a = ~F = ms ~g ⇒ ~a =msmt

~g

Beispiel: Freier Fall

Versuch mit Kugeln gleichem Durchmesser aber un-terschiedlichen Massen (Eisenkugel und Schaumstoff-kugel):

Beobachtung: Schaumstoffkugel fällt deutlich langsa-mer als Eisenkugel aufgrund der Luftreibung (syste-matischer Fehler).

Fallrohr evakuieren: Beobachtung: Fallzeitt unab-hängig von Masse und Form der Körper,h = g t2

für Kugel und Feder

Wie genau giltms = mt ? Newton konnte mit einemFadenpendel zeigen, dassms/mt auf 10−3 konstantist.

Beispiel: Mathematisches Pendel

Ein Massepunktm ist an einem masselosen Faden derLänge l aufgehängt, derm auf eine Kreisbahnx(t)zwingt.

Auf m wirkt die Gewichtskraft ~FG. Diese setzt sichzusammen aus den Teilkräften:

Radialkraft ~Frad und Tangentialkraft~Ftang

~Frad, ~Ftang: Reaktionskräfte auf Gewichtskraft~FG

~Frad ist senkrecht zur Bewegungsrichtung und hat da-her hat keinen Einfluss auf die Bewegung vonm.

⇒ mt a = mt ẍ ; mt ẍ = mt l ϕ̈ (x = l ϕ)

7

Tangentialkraft:Ftang = −ms g sinϕ

Für kleine Auslenkungen gilt:sinϕ ≈ ϕ⇒ mt l ϕ̈ = −ms g ϕ

Bewegungsgleichung:ϕ̈ = −msmt

g

lϕ

Lösungsansatz für die Differentialgleichung:

ϕ(t) = ϕ1 sin(ωt + ϕ0)

mit maximaler Auslenkungϕ1 und Phaseϕ0

Mit Anfangsbedingung:ϕ(t=0) = ϕ1

⇒ ϕ0 = π2ϕ̇(t) = ϕ1 ω cos(ωt + ϕ0) (ϕ̇(t=0) = 0)

ϕ̈(t) = −ω2 ϕ1 sin(ωt + ϕ0)

= −msmt

g

lϕ1 sin(ωt + ϕ0) aus Bwgl.

⇒ Kreisfrequenzω =√

msmt

g

l

⇒ ϕ(t) ist periodisch inωt mit der Periode:

T =2π

ω= 2π

√

mtms

l

g

Z.B. für ein Sekundenpendel:l = 0.2484 m

Für mt = ms hängt Bewegung eines Fadenpendelsnicht von der Masse ab (Versuch).

Vergleich der PeriodenT für Pendelschwingungenunterschiedlicher Massen bei konstanteml:

⇒ Konstanz vonms/mt auf 10−12 Genauigkeit

2.2.2 Reibungskr̈afte

Reibungskräfte verursachen Bewegungsänderungen. Rei-bung führt u.a. dazu, dass:

– Bewegungen langsamer werden– Schwingungen gedämpft werden

Reibung zwischen Körpern entsteht in ihrer Berüh-rungsfläche. Ursachen:

– Mikroskopische Struktur der beiden Oberflächen(Rauhigkeit)

– Wechselwirkung zwischen den Atomen/Molekülender beiden Oberflächen

Man unterscheidet zwischen Haftreibung und Gleit-reibung:

Da sich durch die Bewegung der mittlere Abstand zwi-schen Körper und Unterlage im zeitlichen Mittel leichtvergrößert, ist die HaftreibungszahlµH in der Regelgrößer als die GleitreibungszahlµG (Versuch).

Wird ein Körper mit der Normalkraft~FN auf eineUnterlage gedrückt, so muss eine äußere Kraft~Fexttangential zur Unterlage aufgebracht werden, um denKörper zu verschieben, die größer ist als dieHaftrei-bungskraft ~FH:

|~FH | = µH |~FN |

Für dieGleitreibungskraft ~FG gilt analog:

|~FG| = µG |~FN |

Die Reibungszahlen hängen von Materialart und Ober-flächenbeschaffenheit ab (Versuch).Dabei nimmtµG mit zunehmender Geschwindigkeitab (Vgl. Bewegung von Körpern in Flüssigkeiten undGasen).

Die Reibungszahlen hängen nicht von der Größe derOberfläche ab. D.h., dass die Reibungskraft direkt pro-portional zur NormalkraftFN ist (Versuch).

8

– Reibung erzeugt Wärme (irreversibel)⇒Reibungskräfte sinddissipative Kräfte.

– Verringerung von Haft- und Gleitreibung durchSchmiermittel

Zahlenwerte µH µGStahl/Stahl (trocken) 0.15 0.12Stahl/Stahl (geschmiert) 0.13 0.01Gummi/Asphalt (trocken) 0.55 0.30Gummi/Asphalt (nass) 0.20 0.15Gummi/Eis < 0.1 0.05

Beispiel: Schiefe Ebene

Gewichtskraft |~FG| = m g zerlegt inNormalkraft |~FN | = m g cos ϕ undAbtriebskraft |~FAB| = m g sin ϕ

⇒ Reibungskraft |~FR| = µH,G |~FN | (|~FR| = FR)

– Für FAB < µH FN : Körper bewegt sich nicht

– Für FAB = µH FN

⇒ m g sin ϕc = µH m g cos ϕcBestimmung der HaftreibungszahlµH aus Mes-sung des kritischen Winkelsϕc:

µH =sin ϕccos ϕc

= tan ϕc

– Für FAB > µH FN > µG FN : Körper gleitet

Bwgl. unter der Annahme, dassµG = konst.:

m a = FAB − FRm a = m g sin ϕ − µG m g cos ϕ⇒ a = g (sin ϕ − µG cos ϕ)

D.h. der Körper bewegt sich mit konstanter Be-schleunigung die schiefe Ebene hinunter.

Aus Messung vona Bestimmung vonµG

2.3 Arbeit, Energie, Impuls

Über Newton’sche Bewegungsgleichung und actio =reactio→ quantitative Behandlung aller Bewegungen(Anwendung: Molekular Dynamik Simulation)Komplizierte Bewegungen→ hoher Rechenaufwand⇒ Einführung von Hilfsgrößen: Arbeit, Energie undImpuls.Dabei sind Arbeit und Energie skalare Größen, die ausder Bahnkurve~r(t) durch Integration folgen.

2.3.1 Arbeit und Leistung

Begriff Arbeit stammt aus der Mechanik einfacher Ma-schinen (Hebel, Flaschenzug).

Arbeit ist das Produkt “Kraft in Richtung des Wegesmal Weg”:

W12 =

~r2∫

~r1

~F (~r ) · d~r

Dabei gilt:

– W ist positiv, wenn die Kraft eine Komponen-te in Wegrichtung hat. D.h. die Kraft verrichtetArbeit.

– W ist negativ, wenn die Kraft eine Komponen-te entgegengesetzt der Wegrichtung hat. D.h. eswird gegen die Kraft Arbeit verrichtet.

– Dimension[N m = kg m2s−2 ≡ J] (Joule)

Beispiel: Hubarbeit im Schwerefeld der Erde

~F = m~g = −m g~ez und dW = −m g dz

⇒ W (h) =h

∫

0

−m g dz = −m g h

D.h. die HubarbeitW ∝h ist unabhängig vom Weg.

9

Für Bewegung inx, y - Richtung mit ~F ||~ez gilt:(d~r = dx~ex + dy ~ey + dz ~ez)

⇒ dW = ~F · d~r = −m g~ez · (dx~ex + dy ~ey) = 0(~ei · ~ej = 0)

Fällt der Körper aus der Höheh auf die Erde, danngilt : W > 0

W =

0∫

h

−m g dz = m g h

Leistung ist verrichtete Arbeit pro Zeitintervall:

P ≡ dWdt

dW = ~F · d~r = ~F · ~v dt

⇒ P = dWdt

= ~F · ~v[

Js

=kg m2

s3≡ W

]

(Watt)

Zahlenbeispiel: Student, 70 kg, springt in 3 s eine 6 mhohe Treppe hinauf. Dabei ist seine Leistung:

70 kg 9.81 ms−2 6m/3s≈ 1.4 kWZ. Vgl.: Großkraftwerk> 1 GW, KFZ: 1 PS = 735 W

2.3.2 Energie

Energie ist die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu leis-ten. In der klassischen Mechanik gibt es drei Formenvon Energie:

– Potenzielle EnergieEpot: Nur abhängig vonden relativen Positionen(~ri − ~rj) der Körper

– Kinetische Energie Ekin: Nur abhängig vonGeschwindigkeitv und Massem der Körper

– WärmeQ: Mikroskopische Bewegung der Ato-me in einem Körper (innere Energie)

Durch verschiedene Kräfte der Mechanik kann überdie entsprechende Arbeit Energie von einer Form ineine andere Form umgewandelt werden.

Versuch: Tanzende StahlkugelEine Stahlkugel wird auf eine Glasplatte fallengelas-sen: Sie springt fast wieder in ihre Ausgangspositionzurück (Epot → Ekin → Epot).Bleiplatte anstelle der Glasplatte: Die Stahlkugel hin-terlässt einen Abdruck in der Bleiplatte und springtkaum wieder hoch (Epot → Ekin → Q).Definition von elastisch:Erfüllung des mechanischenEnergiesatzes (Epot +Ekin = konst.) bei Verformung

2.3.3 Energieerhaltung

Aus der Integration der Grundgleichung~F = m~afolgt:

~r2∫

~r1

~F · d~r = W12 = −∆Epot(~r1, ~r2) =~r2

∫

~r1

m~a · d~r

= 12

m v2(~r2) − 12 m v2(~r1)

= ∆Ekin(~r1, ~r2)

⇒ ∆Epot + ∆Ekin = 0

⇒ Energie(erhaltungs)satz der MechanikEpot(~r ) + Ekin(~r ) = E = konst.

In der Regel wird immer ein Teil der kinetischen Ener-gie in Wärme umgewandelt.

Damit ergibt sich derverallgemeinerte Energiesatz:

Q12 = ∆Epot + ∆Ekin = ∆E

Die von dissipativen KräftenFR verrichtete ArbeitQist gleich derÄnderung∆E der Gesamtenergie einesKörpers.

2.3.4 Impuls und Impulserhaltung

Das Wegintegral der Kraft, die Arbeit (∫

~F · d~r), isteine skalare Größe.

Das Zeitintegral der Kraft (∫

~Fdt) heißt Kraftstoß undführt zum Impuls~p (vektorielle Größe). Der Impulseines Körpers ist definiert als das Produkt seiner Mas-se und seiner Geschwindigkeit:

~p ≡ m~v Dimension [kg m s−1]

Ein Kraftstoß∫

~F dt ändert den Impuls eines Körpers:

Während jedes Zeitabschnittesdti wirkt die Kraft ~Fi= m~ai auf den Körper. Die Beschleunigung erzeugtin dti eine Geschwindigkeitsänderung.

Mit ~F = m~a = md~v

dt=

d (m~v)

dt=

d~p

dt

ist die auf ein Teilchen wirkende Kraft gleich der zeit-lichenÄnderung seines Impulses~p. Dabei giltma =d(m v)/dt nur wenn die Masse zeitlich konstant ist.

N.B. ṗ = d(m v)/dt gilt auch in der relativistischenMechanik, jedoch mit Massem = m0 /

√

1 − v2/c2(m0: Ruhemasse,c: Lichtgeschwindigkeit)

10

Versuch: Zwischen zwei ruhenden Wagen der MassenM und m befindet sich eine gespannte Feder:

Gibt ein Auslöser die Wagen frei, erhalten beide Wa-gen Kraftstöße gleicher Größe, aber entgegengesetz-ter Richtung (actio = reactio).⇒ Wagen erhalten Impulse gleicher Größe, aber ent-gegengesetzter Richtung.

M ~v1 = −m~v2 ; M ~v1 + m~v2 = 0⇒

∑

i

~pi = 0

Der Gesamtimpuls bleibt konstant (~pg = 0).

Versuch:Wagen mit Laufbrett

1) Geht man vom Boden aus mit konstanter Geschwin-digkeit über das Laufbrett, bleibt der Wagen stehen.2) Geht man vom Boden aus auf das Laufbrett undbleibt auf dem Brett stehen, rollt der Wagen samt Ver-suchsperson.3) Verlässt man dann den ruhenden Wagen, rollt derWagen in entgegengesetzter Richtung davon.

Allgemeiner Satz der Impulshaltung:

In einem abgeschlossenen System, für das gilt~Fext =0 , bleibt der Gesamtimpuls zeitlich konstant.

Für ~Fext = 0 ⇒ mg ~̈Rs = 0 ⇒ mg ~̇Rs − ~konst.= 0

⇒ ~pg ≡ mg ~̇Rs =∑

i

mi ~̇ri =∑

i

~pi = ~konst.

Versuch: Ballistisches Pendel

Bestimmung der Geschwindigkeit einer Gewehrkugelder Massem1 durch Messung der Auslenkung einesHolzkörpers der Massem2, der an einem Fadenpen-del hängt (Kugel bleibt stecken)

v1e = v2e (Ekin =0 im Schwerpunktsystem)

⇒ m1 v1a = (m1 + m2) v2e; v2e =m1

m1 + m2v1a

Eakin =12

m1 v21a

Eekin =12

(m1 + m2) v22e =

12

m21m1 + m2

v21a

Energiebilanz beim Stoß:

Q = Eakin − Eekin = 12 m1 v21a(

1 − m1m1 + m2

)

Für m2 6=0 ist Eekin

2.4 Mechanik starrer Körper

Bei der Betrachtung der Dynamik von Massepunktenoder Körpern unter Vernachlässigung ihrer Ausdeh-nung: Alle Kräfte wirken auf ihren Schwerpunkt~Rs⇒ nur translatorische BewegungenBei starren Körpern, bei denen Form und Ausdehnungunter Einwirkung externer Kräfte konstant bleiben:Externe Kräfte können außerhalb von~Rs angreifen⇒ translatorische und rotatorische Bewegungen

2.4.1 Drehmoment

Ist die Drehachse eines starren Körpers fest gelagert,gibt es keine translatorische Bewegung unter Einwir-kung äußerer Kräfte.

Es kommt zu einer Drehbewegung, wenn eine angrei-fende äußere Kraft~F eine zur Drehebene paralleleKomponente hat und die Richtung von~F nicht durchdie Drehachse~A hindurchgeht:

⇒ Die Kraft ~F hat ein wirksamesDrehmoment ~Mzur Achse ~A.

~M ≡ ~r × ~F Dimension [N m]

M entspricht dem Produkt ausF und r⊥, wobei r⊥der kürzeste Abstand zur der Linie ist, entlang dererdie Kraft wirkt (Hebelarm).

Ohne feste Drehachse: Rotation um den Schwerpunkteines starren Körpers

⇒ Das Drehmoment~M , das durch eine äußere Krafterzeugt wird, die im Punkt~r im Schwerpunktsystemeines starren Körpers angreift, ist definiert als:

~M = ~r × ~F ; M = r F sin ϕ = r⊥ F

– Für ~r, ~F und ~M → (Rechte-Hand-Regel)

– ~M ‖ ~ω

– Der Körper rotiert nicht, wenn im Schwerpunkt~Rs die Summe aller angreifenden Drehmomen-te ~Mi gleich null ist.

In ~Rs gilt:∑

i

~Mi = 0

Beispiel: System von zwei Massepunkten, die durchmasselose Stange starr miteinander verbunden sind.

~M1 + ~M2 = ~r1 × m1 ~g + ~r2 × m2 ~g = 0

⇒ r1 = −r2m2m1

(Hebelgesetz)

Versuch: Ein Besen wird entlang seines Stieles so lan-ge auf dem Finger verschoben, bis er sich nicht mehrdreht (inRs). Zersägen inRs und Wiegen der beidenStücke zeigt: Massen sind nicht gleich.Bei nicht - reibungsfrei rotierenden, starren Körpern,muss die relevante Drehachse nicht durchRs gehen.

Versuch:folgsame Garnrolle

Aufgrund von Reibung ist nicht die Symmetrieachsedie Drehachse, sondern die BerührungslinieAm derGarnrolle mit dem Boden.

⇒ Je nach Winkel zwischen gezogenem Faden undBoden rollt sich die Garnrolle bei Zug weiter ab oderfolgt der Zugkraft (Richtung von~M !).

2.4.2 Rotationsenergie und Tr̈agheitsmoment

Ein Drehmoment~M verrichtet bei der Drehung einesKörpers um den Winkelϕ die Arbeit W :

dW = ~F · ~dr = F r⊥ dϕ = M dϕ

⇒ W =∫

M dϕ = M ϕ

Dabei wird der Körper beschleunigt.

Die kinetische Energie eines um seine Achse rotieren-den Körpers ist die Summe der kinetischen Energienaller einzelnen Teilchenmi des Körpers:

⇒ Ekin,i = 12 mi v2iDabei haben alle Teilchenmi die gleiche Winkelge-schwindigkeitω = vi/ri:

12

⇒ Ekin,i = 12 mi r2i ω2

Die Summe über alle Teilchenmi ergibt die kineti-sche EnergieErot des gesamten rotierenden Körpers:

Erot =12

∑

i

mi r2i ω

2

Dabei berücksichtigt dasTr ägheitsmomentΘ Formund Masse des rotierenden Körpers:

Θ =∑

i

mi r2i =

∫

dm r2 Dimension [kg m2]

⇒ Für die Rotationsenergie eines rotierenden Körpers:Erot =

12Θ ω2

Beispiel 1: Trägheitsmoment von drei Massepunkten,die starr durch masselose Stangen verbunden sind:

Θ = m1 r21 + m2 r

22 + m3 r

23

Beispiel 2: Trägheitsmoment von Voll- und Hohlwal-ze (Versuch):Zwei Walzen mit identischen Abmessungen und Mas-sen rollen eine schiefe Ebene hinunter. In einer Walze(Aluminium) ist die Masse im äußeren Rand konzen-triert, in der anderen (Kunststoff) homogen verteilt.Beobachtung: Die Walze aus Kunststoff rollt die schie-fe Ebene schneller hinunter.

Energieerhaltung:Epot = Ekin(translatorisch)+Erot

TrägheitsmomentΘz eines Zylinders mit homogenerMasseverteilung:

Θz =

∫

Zyl

r2dm = ρ

∫

VZ

r2dV

KreisflächeAK :

AK =

R∫

0

2π∫

0

r dϑ dr = R2 π

ZylindervolumenVZ :

VZ = AK

l∫

0

dz = l R2 π

In Zylinderkoordinaten:

dV = d3r = r dr dϑ dz

⇒ Θz = ρR

∫

0

r2 r dr

2π∫

0

dϑ

l∫

0

dz

= ρR4

42π l =

mgR2 π l

R4

2π l

=mg2

R2

Für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit Ra-diusR, in dem seine Massemg in einer dünnen Wandkonzentriert ist:

Θhz = mg R2

⇒ Bei gleicher Masse und Radius hat ein Hohlzylin-der ein größeres Trägheitsmoment als ein Zylinder.Mit mg g h = 12 mg v

2s +

12Θ ω2 und vs = ω R gilt:

Für den Vollzylinder:

ω =

√

4

3

g h

R2

Für den Hohlzylinder:

ω =

√

g h

R2

⇒ Vollzylinder rollt schneller die schiefe Ebene hin-unter als der Hohlzylinder.

Bei Rotation eines Körpers der Massemg um eine be-liebige feste Achse gilt derSteiner’sche Satz:

ΘA = ΘS + mg d2

Das TrägheitsmomentΘA bei Rotation um eine be-liebige AchseA ist die Summe des Trägheitsmomen-tes Θs der Rotation um die zuA parallele AchseAs durch den SchwerpunktRs des Körpers und desTrägheitsmomentesmg d2 für Rotation umA.

2.4.3 Drehimpuls

Analog zur Definition des Drehmoments~M = ~r ×~F wird der Drehimpuls~L eines Massepunktes, dersich an einem Ort~r bezüglich des Ursprungs mit derGeschwindigkeit~v bewegt, definiert als:

~L ≡ ~r × ~p = m~r × ~v Dimension [J s]

Auch für den Drehimpuls gilt ein Erhaltungsatz:

Ohne Einwirkung eines äußeren Drehmoments bleibtder Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant:

13

d~L

dt= ~M = ~r × ~Fext = 0

wenn ~Fext = 0 oder ~Fext ⊥ ~v

Versuch:Experimente mit dem Drehstuhl

1) Person mit 3 kg Hanteln in den Händen rotiert lang-sam mit ausgestreckten Armen. Legt sie die Hantelnan den Körper an, erhöht sich die Winkelgeschwin-digkeit ωD des Drehstuhls.2) Drehstuhl rotiert nicht. Anstelle der Hanteln hältdie Person eine Fahrradfelge in den Händen. Drehender Fahrradfelge mit~ωF ||~ωD führt zu Rotation desDrehstuhls.

2.4.4 Rotationsbewegung

Für das Rollen eines starren Körpers mit kreisförmi-gem Querschnitt (ohne Rutschen) gilt:Jeder Punkt des Körpers rotiert im Schwerpunktsys-tem um~Rs mit gleicher Winkelgeschwindigkeitω.

⇒ vs = R ω (Rollbebedingung)Beispiel 1)Rollbewegung eines Zylinders der Massemg auf einer schiefen Ebene:

Die Gewichtskraft~FG erzeugt, bezogen auf den Auf-lagepunktA (momentane Drehachse), das Drehmo-ment:

MA = R FAB = R mg g sinϕ

mit M = L̇ und L = Θ ω

⇒ Winkelbeschleunigunġω = MAΘA

TrägheitsmomentΘA = Θs +mg R2 und vs = R ω:

as = R ω̇ = RMAΘA

= g sin ϕmg R

2

12

mg R2 + mg R2

= 23g sin ϕ

Ohne Reibung rutscht der Körper die schiefe Ebenehinunter (as = g sin ϕ ):D.h. um das Drehmoment für die Rollbewegung her-zustellen, muss an der Rotationsachse in~Rs eine An-triebskraft angreifen, die entgegengesetzt dem Roll-widerstand ist.

⇒ Für das DrehmomentMA = R FAB = µRo FNmit RollreibungskoeffizientµRo (Dimension [m])

⇒ Rollwiderstand:FRo = MA/R = FABRollreibung entsteht durch elastische Verformung derBahn und des rollenden Körpers am AuflagepunktA.(In der Regel keine rein elastischen Prozesse→ Ener-giedissipation). D.h. im Gegensatz zu Haft- und Glei-treibung keine Verringerung der Rollreibung durch Schmier-mittel.

Vergleich: Wagen und Schlitten mit gleicher Masse:

Wagen erfordert Kraft:FWa = M/R = µRo FG/R

Schlitten:FSchl = µG FGFWaFSchl

=µRoµG R

Typische Zahlenwerte:µRo = 0.001 m, µG = 0.3

R=0.5 m ⇒ FWa/FSchl = 1/150⇒ Wagen mit großen Rädern

Beispiel 2)Einseitig frei aufgehängter Kreisel

Beobachtung: Der rotierende Fahrradkreisel fällt nachDurchtrennen des Haltefadens nicht nach unten, son-dern dreht sich zusätzlich horizontal umA.

Begründung: Die Fahrradfelge der Massem rotiertmit ~ωF . Durch Abschneiden des Haltefadens wirktein Drehmoment auf den Fahrradkreisel:

~M = ~r × m~g, M = m g rDas Drehmoment~M auf den Fahrradkreisel ändertdie Richtung des Drehimpulses~L. Da ~M ⊥ ~L bleibt|~L| gleich.

⇒ Die Änderung des Drehimpulses des Kreisels gehtin Richtung des angreifenden Drehmomentes.⇒ Präzessiondes rotierenden Fahrradkreisels umA

14

2.5 Mechanik deformierbarer Körper

2.5.1 Spannung und Dehnung

Jeder Körper lässt sich durch Kräfte verformen. Fürdie elastische (reversible) Längenänderung∆l einesFestkörpers gilt:Kraft und Dehnung sind proportional:Fext = k ∆l

Die Dehnungε wird definiert als Quotient aus Län-genänderung∆l zur ursprünglichen Längel:

ε = ∆l/l

Fürε > 0: Dehnung, fürε < 0: Stauchung.

Versuch:Dehnung eines 2 m langen Kupferdrahtes mit0.22 mm Durchmesser

Kraft-Dehnungsdiagramm

1) Elastischer Bereich: Linearer Zusammenhang2) Ist ∆l größer als die kritische Dehnungεc:

Plastisches Fließen (irreversibel)3) Bruch des Drahtes

Im elastischen Bereich ist die Federkonstantek inversproportional zur ursprünglichen Längel und propor-tional zur QuerschnittsflächeA des Festkörpers:

k ∝ Al

Daraus ergibt sich eine von der Geometrie des Körpersunabhängige Form des Hooke’schen Gesetzes:

Fext = EA∆l

l⇒ k = E A

l

Anwendung: Einstellen der Federkonstante für ein Bau-teil überA und l:

l groß,A klein→ Kugelschreiber

l klein, A groß→ Autofeder

Dabei ist der ElastizitätsmodulE [N / m2] eine Mate-rialgröße.

Greift ~Fext nicht senkrecht, sondern parallel zur Quer-schnittsflächeA an, spricht man von Scherung.

Die Scherung ist der Quotient∆x/l = tan γ ≈ γ.Für kleine Beanspruchungen (elastische Verformung)gilt:

γ = τ/G mit der Scherspannungτ = Fext/A

Analog zum ElastizitätsmodulE ist derSchermodulG (auch Schubmodul) eine Materialgröße:

Al Pb Stahl Glas PlexiglasE [109 N/m2] 71 16 220 75 3.2G [109 N/m2] 26 5.7 85 32 1.2

2.5.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase

Der Unterschied zwischen festen und flüssigen Kör-pern liegt in ihrem Verhalten beïAnderung ihrer Form.Eine Verformung fester Körper erfordert immer exter-ne Kräfte.Bei Flüssigkeiten werden die erforderlichen Kräfte umso kleiner, je langsamer der Vorgang abläuft.

Vesuch:Formt man aus geeigneter Knetmasse eine Ku-gel und wirft sie auf den Boden, springt sie wie einGummiball wieder hoch, d.h. für die kurze Stoßzeitverhält sich die Knetmasse wie ein fester Körper. Legtman die Kugel hingegen für einige Minuten auf denBoden, so zerläuft sie wie eine zähe Flüssigkeit.

Im Gegensatz zu festen Körpern treten in Flüssigkeitenund Gasenkeine stationären Scherkräfte auf.

Zur Beschreibung von ruhenden Flüssigkeiten und Ga-sen benutzt man anstelle der Größen KraftF und Mas-sem die Größen:

15

Druck P =F

ADimension

[

Nm2

≡ Pa]

(Pascal)

und Dichteρ(~r ) =dm(~r )

dV

(Teilchensysteme aus∼ 1023 Teilchen).

Im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten neh-men Gase wegen ihrer geringen Dichte fast jedes ver-fügbare VolumenV ein.

Zahlenwerte:ρ (Luft) ≈ 1.3 kg/m3, ρ (Wasser) ≈1003 kg/m3, ρ (Platin) ≈ 21400 kg/m3

a) Gase

Für nicht-strömende, ideale Gase gilt das Gesetz vonBoyle und Marriotte:

P V = konst.

⇒ V = konst.P

⇒ dVdP

= −konst.P 2

= −VP

D.h. Gase sind kompressibel. Erhöhung des Drucksführt zu Verringerung des Volumens (dV/dP < 0).

Die Kompressibilit ät κ ist ein Maß dafür, wie starksich das Volumen eines Körpers bei Druckänderungverändert:

κ = − 1V

dV

dP

Der Kehrwert vonκ ist derKompressionsmodulK:

K ≡ 1κ

= −V dPdV

Dimension

[

Nm2

= Pa

]

Wie Elastizitätsmodul ist der Kompressionsmodul ei-ne Materialgröße.

Zahlenwerte:K(Aluminium) = 73 GPa,K(Plexiglas)= 3.6 GPa,K(H2O)≈ 2 GPa,K(Luft) ≈ 10-100 KPa

Für Gase gilt mitdV

dP= −V

P

κ =1

P⇒ K = P

Mit P V = konst. undm = ρV ⇒ ρ ∝ P

Anwendungsbeispiel: Abhängigkeit des Luftdruckesvon der Höhe in der Erdatmosphäre

⇒ Barometrische Höhenformel:

P (z) = P0 exp

[

−g ρ0P0

z

]

Mit ρ0 = 1.3 kg/m2 undP0 = 1.013 · 105 Pa halbiertsich der Luftdruck etwa alle 5 km Höhe.

b) Flüssigkeiten – Hydrostatik

Aufgrund der verschwindend kleinen Kompressibilitätist für Flüssigkeiten die Annahme vonκ ' 0 eine gu-te Näherung (κh2o = 0.5 · 10−10 Pa−1).

D.h. für die Druckverteilung in einer Flüssigkeitssäule:

dm = ρAdzdPs = ρ g dzκ = 0 ⇒ ρ = konst.

⇒ Für den hydrostatischen DruckPs in Tiefe z:

Ps(z) =F (z)

A=

m(z) g

A=

ρAz g

A= ρ z g

- Lineare Zunahme des Druckes mit der Tiefe

- Der hydrostatische Druck in einer Flüssigkeithängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäuleab.

Z.B. ρh2o ' 1 g/cm3: Der Druck nimmt um105 Pa(= 1 bar) etwa alle 10 m Tiefe zu.

Folgen der Druckverteilung in einer Flüssigkeit:

1) Hydrostatisches Paradoxon:

Versuch:Der Bodendruck in einem Gefäß ist abhängigvon der Füllhöhe, nicht von der Füllmenge.

Da in Flüssigkeiten keine stationären Scherkräfte auf-treten, sind die Kräfte auf die Wände immer senkrechtzur Wand. Druckunterschiede am Boden der einzel-nen Gefäßteile werden durch ihre Verbindung ausge-glichen:⇒ gleiche Füllhöhe in den unterschiedlichenGefäßteilen.

16

2) Pascal’sches Prinzip:

Wird auf eine Füssigkeit in einem Gefäß ein externerDruck ausgeübt, so verteilt sich der Druck gleichmä-ßig auf jedes Volumenelement der Flüssigkeit und aufdie Wand des Gefäßes.

Versuch:Allseitigkeit des Druckes

Ein gläserner Rundkolben mit offenen Glasröhren ander Seite wird mit violetter Kaliumpermanganatlösunggefüllt und in ein Wasserbecken getaucht.Beim Druck auf den Kolben entströmt aus allen Röh-ren gleichermaßen die farbige Lösung.

Anwendung: Hydraulische Presse

Senken des Flüssigkeitsspiegels im dünnen Rohr umHöheh1 führt zum Anstieg des Flüssigkeitsspiegelsim dicken Rohr umh2, wobei gilt (κ = 0):V = h1 A1 = h2 A2 = konst.

Drückt man mit KraftF1 aufA1 und bewegt den Kol-ben dabei umh1 leistet man die ArbeitW1 = h1F1,die im dicken Rohr alsW2 = h2 F2 wieder frei wird.

Mit W1 = W2 ⇒ F2 =h1h2

F1 =A2A1

F1

(vgl. Hebelgesetz)⇒ Durch großen Flächenunterschied Transformationvon kleinen in große Kräfte.

Versuch:Sprengen eines Eisenbolzens mit einer hy-draulischen Presse

3) Auftrieb

Ein starrer Körper mit Dichteρk und VolumenVk er-fährt in einer Flüssigkeit der Dichteρfl die Auftriebs-kraft FA.

Für die seitlichen Kräfte gilt:~Fs1 + ~Fs2 = 0

Mit F1 = ρfl g z1 A und F2 = ρfl g z2 A ist dieAuftriebskraft:

FA = F2 − F1 = ρfl g A (z2 − z1) = ρfl g Vk

⇒ Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft derverdrängten Flüssigkeit und ist ihr entgegengesetzt ge-richtet.⇒ Die SchwerkraftFG des Körpers wird in der Flüs-sigkeit um die Auftriebskraft verringert (Prinzip desArchimedes).

Versuch:Ein Körper an einer Federwaage wird in einWasserbecken getaucht.⇒ Die Kraft auf die Federverringert sich.Das Volumen des dabei verdrängten Wassers entsprichtdem Volumen des eingetauchten Körpers.

Mit der Gewichtskraft des KörpersFG = ρk g Vk

gilt für: FG < FA → ρk < ρfl Körper schwimmtFG = FA → ρk = ρfl Körper schwebtFG > FA → ρk > ρfl Körper sinkt

Versuch: Kartesischer TaucherEine Hohlfigur mit kleinerÖffnung in der Mitte wirdin ein Wassergefäß getaucht. Bei geeigneter, in der Fi-gur eingeschlossener Luftmenge, schwebt die Figur.Wird der Druck im Gefäß von außen erhöht, so ver-ringert sich das Volumen der eingeschlossenen Luft-menge (κLuft � 0) und die Figur sinkt.

2.5.3 Str̈omung

Die Bewegung von/in Flüssigkeiten und Gasen unter-liegt für kleine Geschwindigkeiten gleichen Gesetz-mäßigkeiten. Z.B. kann bis etwa einviertel der Schall-geschwindigkeit in Luft (vl ' 340 m/s), Luft als in-kompressible Flüssigkeit betrachtet werden.(Bei hohen Geschwindigkeiten werden Gase zusam-mengedrückt, dabei ändert sich ihre Temperatur.)

17

Versuch:Ein Ball kann in einem Luftstrom aus einerDüse gehalten werden. Dabei wird die Gewichtskraftdes Balles durch den kontinuierlichen Impulsübertragder strömenden Teilchen auf den Ball aufgebracht. Po-sitioniert bleibt der Ball durch den Unterdruck im Luft-strom.

Bei einem leichten Tischtennisball kann der Luftstromsogar um etwa30◦ geneigt werden, ohne dass der Ballaus dem Luftstrom fällt.

Strömung ist die Bewegung eines VolumenelementsV einer Flüssigkeit mit ortsabhängiger Geschwindig-keit~v(~r ). Ursache hierfür ist eine Druckdifferenz ent-lang der Strömungsrichtung.

Da die Masse erhalten bleibt, muss durch jede Quer-schnittsflächeA einer Röhre in derselben Zeitspannegleichviel Flüssigkeit strömen.

⇒ V1 ρ1 = V2 ρ2 ⇒ A1 v1 ∆t ρ1 = A2 v2 ∆t ρ2Für inkompressible Flüssigkeiten/Gase:

ρ = konst. ⇒ V1 = V2⇒ Av ρ = konst. Kontinuit ätsgleichung

Durch den Druckunterschied∆P = P1 − P2 wirdan der Flüssigkeit die Arbeit∆W = ∆P V verrich-tet⇒ Änderung in der kinetischen EnergieBerücksichtigt man noch diëAnderung der potenziel-len Energie im Schwerefeld∆Epot = ρ g hV :

∆P V + ρ g hV + 12ρV (v21 − v22) = 0

⇒ Bernoulli-Gleichung: (D. Bernoulli, 1700-1782)P + ρ g h + 1

2ρ v2 = konst.

Die Summe aus statischem Druck (P ), dynamischemDruck (1

2ρ v2) und Schweredruck (ρ g h) ist konstant.

Spezialfall: Rasch strömende Gase / Flüssigkeiten mit12

ρ v2 � ρ g h:⇒ P1 + 12 ρ v21 = P2 + 12 ρ v22D.h. bei hoher Strömungsgeschwindigkeit niedrigerDruck.

Anwendungen: Dynamischer Auftrieb

Versuch:Messung der resultierenden Auftriebskrafteiner Flugzeugtragfläche.

Aufgrund der Form der Tragfläche istv1 > v2 ⇒P2 > P1. D.h. Unterdruck über der Tragfläche liefertKraft nach oben.

Versuch:Hydrodynamisches Paradoxon

Bläst man Luft durch ein Rohr, an dessen unterem En-de eine durchbohrte Scheibe der FlächeA befestigtist, so wird eine zweite Scheibe der Massem und derFlächeA nach oben an die erste herangezogen, wenndie durch den Unterdruck durch die ausströmende Luftbewirkte Kraft größer ist alsm g: 1

2ρ v2 A > m g

Versuch:MagnuseffektEin rotierender Ball bewegt sich mit translatorischerGeschwindigkeit relativ zur Luft. Reibung der Luftmit der Balloberfläche führt zu einer größeren Ge-schwindigkeit der Luft an der Oberseite als an der Un-terseite des Balles.

⇒ Querkraft FM senkrecht zur Drehrichtung (ange-schnittener Ball)

18

2.5.4 Viskosiẗat und Reibung

Bei der Strömung von Flüssigkeiten unterscheidet manzwischen laminarer und turbulenter Strömung.

Ein Rohr wird von Wasser durchströmt. Bringt mankontinuierlich über Düsen Tinte auf der einströmen-den Seite ein, so zeigt sich bei geringen Strömungsge-schwindigkeiten der Tintenfaden als Stromlinie, wäh-rend für hohe Geschwindigkeiten Wirbel (Turbulen-zen) auftreten (Versuch).

Laminare Str ömung:Einzelne Flüssigkeitsschichten(Laminate) gleiten gegeneinander ohne sich zu ver-mischen. Dabei reiben aufgrund der Wechselwirkungzwischen den Flüssigkeitsmolekülen die einzelnen La-minate aneinander.

Bewegt man bei einem System aus einer Flüssigkeits-schicht zwischen zwei Platten der OberflächenA dieeine Platte relativ zur anderen mit der Geschwindig-keit v, so muss man die ReibungskraftFR aufbringen:

FR = η Adv

dx

FR ist dabei direkt proportional zum Geschwindig-keitsgefälledv/dx und zur Oberfläche der einzelnenLaminate.

Bei festen Körpern wächst die Scherspannungτ =F/A mit zunehmender Verformung. Dieinnere Rei-bung in Flüssigkeiten ist dagegen proportional zur Ver-formungsgeschwindigkeit:

⇒ τ = η dvdx

Der Proportionalitätsfaktorη ist die Zähigkeitskons-tante oder die Viskosität.

Dimension

[

N sm2

= Pa s

]

(Pascalsekunden)

Die Viskosität sinkt exponentiell mit der Temperatur:Z.B. Glyzerin: 273 K: 10 Pa s; 333 K: 0.08 Pa sNatriumsilikat: 1000 K:1010 Pa s; 1600 K: 10 Pa s

Zahlenwerte in Pa s bei20◦C:

Luft 1.7 · 10−5 Glyzerin 1.5Wasser 1.0 · 10−3 Honig 3 − 8Olivenöl 8.1 · 10−2 Pech 107

Anwendung: Laminare Strömungen durch Rohre

Versuch: Der Volumenstrom durch ein Rohr hängt vonder 4. Potenz des Radius des Rohres ab.Durch eine Druckdifferenz wird in einem Rohr mitRadiusR und Längel eine stationäre Strömung auf-recht erhalten. Aus Symmetriegründen kann die Strö-mungsgeschwindigkeitv nur von der Entfernungrvon der Rohrmitte abhängen.

S ist die Mantelfläche eines Kreiszylinders im Ab-standr, A seine Stirnfläche.

Treibende DruckkraftFp = (P1 − P2)A = π r2 ∆P

Reibungskraft:FR(r) = −ηSdv(r)

dr= −η2πrldv(r)

dr

Im stationären Fall:dv

dl= 0

⇒ Fp = FR ⇒ r ∆P = −2 η ldv(r)

dr

⇒ v(r) = −∆P4 η l

r2 + c

Randbedingung:v(R) = 0 ⇒ c = ∆P4 η l

R2

⇒ v(r) = ∆P4 η l

(R2 − r2)

Parabolisches Geschwindigkeitsprofil mit:

vmax = v(0) =∆P R2

4 η l

Für den Volumenstrom durch das Rohr〈Av〉R folgtdurch Integration:

〈Av〉R =R

∫

0

v(r) 2π r dr =∆P π

2 η l

R∫

0

(R2−r2) r dr

und damit dasHagen-Poiseuille’sche Gesetz:

⇒ 〈Av〉R =π

8

∆P

η lR4

Beispiel Blutgefäße:Führen Kalkablagerungen zu einer 20 %tigen Verrin-gerung des Arteriendurchmessers, verringert sich derBlutdurchfluss um den Faktor 2.5 (1/0.84).

19

2.6 Schwingungen und Wellen

Schwingungen und die damit eng verwandten Wel-lenphänomene gehören zu den am weitesten verbrei-teten Phänomenen der Physik.

Beispiele:– Elektromagnetische Wellen (schwingende elek-

trische und magnetische Felder): Rundfunk,Mikrowelle, Infrarot, Licht, UV, Röntgen- undγ -Strahlung

– Schwingungen von Atomen in Festkörpern:Wärme, Gitterschwingungen (Phononen)

– Schwingungen in Atomkernen: Kernspaltung

– Materiewelle (Welle-Teilchen-Dualismus)

– Mechanische Schwingungen und Wellen:z.B. Pendel, Wasserwellen, Schallwellen

Kennzeichen aller Schwingungen ist eine Gleichge-wichtslage und eine rücktreibende Kraft in Richtungdieser Gleichgewichtslage.

2.6.1 Erzwungene Schwingung und Resonanz

Wird die Schwingung eines Körpers durch eine peri-odisch wirkende KraftFext(t) angeregt, kann dies zuResonanzerscheinungen führen.

Für die Bewegungsgleichung eines solchen Systemsergibt sich:

ẍ + γ ẋ + ω20 x = Fext/m

Dabei istω20 die Eigenfrequenz der Schwingung undγ ẋ ein Term, der die Dämpfung der Schwingung durchReibung berücksichtigt.

Versuch:Pohl’scher Resonanzapparat

Der Versuch zeigt Amplitude und Phase einer erzwun-genen Schwingung in Abhängigkeit von der Kreisfre-quenzωext der AnregungFext(t) und der Dämpfungγ der Schwingung.

Beobachtung: Fürγ gegen Null undωext≈ω0 kommtes nach einem Einschwingvorgang zu einer Resonanz.D.h. die Amplitude divergiert fürωext = ωres, wenndie Dämpfungγ → 0 (Resonanzkatastrophe).Versuch:Zerstörung eines Glases durch Schall

2.6.2 Gekoppelte Oszillatoren

Ein harmonischer Oszillator hat einen Schwingungs-freiheitsgrad und eine Eigenfrequenzω0 und somit ei-ne Resonanz. Gekoppelte Oszillatoren sind Systememit mehreren Schwingungsfreiheitsgraden.

Beispiel: Gekoppelte Pendel (Versuch # 1646)

Zwei identische mathematische Pendel mit Massemund Fadenlängel sind durch eine Feder mit Feder-konstantek gekoppelt.

Beobachtung: Wird eines der Pendel in Bewegung ver-setzt, so beeinflusst es über die Feder die Bewegungdes anderen Pendels. Dabei wird kontinuierlich Ener-gie von dem einen auf das andere Pendel übertragen.

Kann sich eine Schwingung vom Ort ihrer Anregungaufgrund von Kopplungen an benachbarte, schwing-ungsfähige Systeme ausbreiten, so spricht man von ei-ner Welle.

Versuch:TorsionswellenmaschineAusbreitung einer Welle in einem System aus 32 ge-koppelten Torsionspendeln.

2.6.3 Fortschreitende Wellen

Wellen transportieren Energie und Impuls durch denRaum ohne Transport von Materie.

Je nach Auslenkung bezüglich der Ausbreitungsrich-tung unterscheidet man zwischen:

longitudinale Welle

transversale Welle

20

Versuch:Ausbreitung eines Wellenberges auf einemSeil (Seilwelle)

Beobachtung: Nach einer raschen horizontalen Aus-lenkung an einem Seilende breitet sich ein Wellenbergmit Ausbreitungsgeschwindigkeitv aus. Bewegt mandas Seil an einem Ende horizontal periodisch hin undher, erhält man eine periodische Welle, d.h. eine sichausbreitende Schwingung.

Dabei gilt:y(x, t) = f(x− vt), wobeif die Form derWelle berücksichtigt.

Eine transversale Welle, die sich in einem Festkörperausbreitet führt zu Scherung (Scherwelle), die in ei-nem Masseelementdm zu einer rücktreibenden KraftdF = dτ A führt.

Mit der Näherung für kleine Amplituden ist die

Scherungγ ≈ tan γ =(

∂y

∂x

)

t

Für konstante Zeitt ist: dγ =∂2y

∂x2dx

⇒ dτ = Gdγ = G ∂2y

∂x2dx mit SchermodulG

Die rücktreibende Kraft beschleunigt dabei das Mas-seelementdm = ρ dV = ρAdx. Mit dF = dτ A

⇒ Bwgl.: AG ∂2y

∂x2dx = ρAdx

∂2y

∂t2

Aus der Lösung der Bewegungsgleichung folgt mity(x, t) = f(x− vt) für die eindimensionale Ausbrei-tung einer transversalen Anregung:

⇒ Wellengleichung: ∂y2

∂t2= v2

∂2y

∂x2

mit vt =

√

G

ρ

Ausbreitungsgeschwindigkeitvt einer Scherwelle imFestkörper

Analog zur Scherwelle ergibt sich für eine longitu-dinale Welle, die sich in einem langen, dünnen Fest-körper ausbreitet (λ > Ausdehnung in Querrichtung,sonst Querkontraktion berücksichtigen):

vl =

√

E

ρmit ElastizitätsmodulE

Longitudinale Wellen breiten sich über Kompressionund Ausdehnung fort (Dichtewellen).

Da in Flüssigkeiten und Gasen keine stationären Scher-kräfte auftreten, können sich keine transversalen Wel-len ausbreiten. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeiteiner longitudinalen Welle ergibt sich in Flüssigkeiten:

vl =

√

K

ρmit KompressionsmodulK

In Gasen gilt für höhere Frequenzen (z.B. Schall):Än-derung des Druckes führt nebenÄnderung der Dichtezu Änderung der Temperatur (→ 4.3.1).

⇒ vl =√

γ K

ρmit Adiabatenkoeffizientγ

Beispiel Luft: K = P0 = 105 Pa, ρ0 = 1.3 kg m−3,γ = 1.4 ⇒ vl = 340 m/s

Versuch:Messung der Schallgeschwindigkeit in Luftüber Messung der Zeitdifferenz, in der ein kurzes Ge-räusch in zwei Mikrophonen im Abstand von einemMeter aufgenommen wird (∆t ≈ 2.9 ms).

Zahlenwerte fürvl in [m/s] bei 20◦C:

Al Pb Stahl Glas Holz Granit5110 1200 5100 5400 3800 4000

Glyzerin Wasser Luft Helium1923 1483 340 971

Dabei ist vt =√

G/E vl ≈ 0.6 vl

Die Materialgrößen ElastizitätsmodulE und Scher-modulG werden so auch durch Messung der Schall-geschwindigkeiten präzise bestimmt.

Alle Wellen der Formy (x, t) = f (x − v t) sind Lö-sungen der Wellengleichung.

Spezialfall: Sinusf̈ormige (harmonische) Wellen

Mit Wellenlängeλ, PeriodeT und AmplitudeA:

⇒ y(x, t) = A sin[

2π

λ(x − v t)

]

21

= A sin

[

2π

λx − 2π v

λt

]

D.h. für periodische Wellen Periodizität im Raum:

Für t = konst. y(x, t0) = y(x + λ, t0)

und Periodizität in der Zeit:

Fürx = konst. y(x0, t) = y(x0, t + T )

Mit Kreisfrequenzω =2π

T= 2π f

und Definition einer Wellenzahlk ≡ 2πλ

schreibt sichy(x, t) = A sin(k x − ω t)

Eingesetzt in die Wellengleichung:

∂2y

∂t2= −Aω2 sin(k x − ω t) ;

∂2y

∂x2= −Ak2 sin(k x − ω t)

mit∂2y

∂t2= v2

∂2y

∂x2⇒ v2 = ω

2

k2;

ω

k=

2π f

2π /λ

⇒ v = f λD.h. die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist gleich Fre-quenz mal Wellenlänge.

Beispiel: Elektromagnetische Wellen – schwingende,magnetische und elektrische Felder (transversale, pe-riodische Sinuswellen)Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum ist dieLichtgeschwindigkeit⇒ c = f λ

2.6.4 Dopplereffekt

C. Doppler formulierte 1842 das Dopplerprinzip umeine Erklärung für die unterschiedlichen Farben derSterne zu haben (relativist. Dopplereffekt). 1845 ge-lang Buys-Ballot der experimentelle Nachweis des Prin-zips auch beim Schall.

Versuch:Bewegt sich eine Schallquelle relativ zumBeobachter, nimmt der Beobachter eine veränderte Fre-quenz (fb 6= f0) wahr (Schallgeschwindigkeitvl).Dabei drei Beteiligte: Schallquelle (Pfeife)q - Medi-um (Luft) m - Beobachter (Mikrophon/Ohr)b

Man unterscheidet die Fälle:

1) Quelle bewegt sich (vq > 0) im ruhenden Medium(vm = 0) bei ruhendem Beobachter (vb = 0)

Während einer Zeitspanne∆t:- Quelle sendet∆N = f0 ∆t Wellenberge aus- Jeder Wellenberg bewegt sich umvl ∆t weiter

- Quelle bewegt sich umvq ∆t weiter

⇒ Abstand∆x zwischen 1. und∆N . Wellenberg inBewegungsrichtung der Quelle:

∆x = (vl − vq)∆t⇒ Vor der Quelle ist die Wellenlänge:

λv =∆x

∆N=

(vl − vq)∆t∆N

=vl − vq

f0

= λ0

(

1 − vqvl

)

mit λ0 =vlf0

Analog hinter der Quelle:λn = λ0

(

1 +vqvl

)

Mit f = vl/λ

fv =f0

1 − vq/vl> f0 q nähert sichb

fn =f0

1 + vq/vl< f0 q entfernt sich vonb

Beispiel: Vorbeifahrendes Martinshorn

2) Beobachter bewegt sich mitvb und vq = vm = 0.

Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, ist fürihn die Geschwindigkeit der Welle:vl + vb

fz =vl + vb

λ0= f0

(

1 +vbvl

)

> f0

Entfernt sichb von q ergibt sich demnach:

fω = f0

(

1 − vbvl

)

< f0

Für die vonb detektierte Frequenz ergibt sich im all-gemeinen Fall bei Bewegung von Quelle und Beo-bachter aus Zusammenfassung von 1) und 2):

fb = f0(1 ± vb/vl)(1 ∓ vq/vl)

Dabei oberes Vorzeichen, wennq undb sich annähernund unteres Vorzeichen, wennq undb sich voneinan-der entfernen.

3) Medium bewegt sich mitvm (z.B. Wind)⇒ vl ersetzen durch~vl + ~vm.

4) vq ≥ vl (z.B. Überschallflugzeug)⇒ keine Wellen vor der QuelleWellenberge addieren sich hinter der Quelle auf:⇒ Stoßwelle, die bei Schallwellen alsÜberschallknallwahrgenommen wird.

Wird die Geschwindigkeit der Quelle größer als dieAusbreitungsgeschwindigkeit der Wellen bildet sichein Mach’scher Kegel aus (E. Mach 1838-1916).

22

Dabei gilt: sinΘ =vlvq

=1

Mach-Zahl

Film F14: Kondensation von Wasserdampf durch dieStoßwelle eines̈Uberschallflugzeuges

Dopplereffekte treten auch bei Wasserwellen auf, z.B.bei Bugwellen von Schiffen.Versuch: Erzeugung vonperiodischen Wasserwellen auf der Wasseroberflächeeiner Wellenwanne mittels eines Punkttupfers. Beob-achtung: Horizontale Bewegung des Punkttupfers führtzu unterschiedlichen Wellenlängenλ der Wasserwel-len vor und hinter der Quelle. Wird die Geschwin-digkeit des Punktupfers größer als die Ausbreitungs-geschwindigkeit der Wasserwellen: Ausbildung einesMach’schen Kegels.

2.6.5 Überlagerung von Wellen

Versuch:Reflexion einer Torsionswelle an einem fes-ten Ende. Beobachtung: Die Auslenkung wird am fe-sten Ende gespiegelt reflektiert.

Sind beide Enden fest eingespannt, z.B. bei der Sai-te eines Musikinstrumentes gilt für die Frequenz derSchwingung der Saite:f = v/λ

Länge der Saite:L

⇒ L = n λ2

(n = 1, 2, 3 ...)

n = Anzahl der“Bäuche”

Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeitv =√

σ

ρmit der Zugspannungσ

Mit λ =2L

n⇒ f = n

√

σ/ρ

2L

D.h., die Saite eines Musikinstrumentes verändert ih-ren Ton bei gegebenenL durch Veränderung vonσ(Stimmvorgang), bzw. durcḧAnderung vonL (Ab-greifen).

Beispiel: Nachweisgrenze des menschlichen OhresHörbarer Schall: 16 Hz< f < 16 kHz mit maximalerEmpfindlichkeit bei 1 kHz (Baby Geschrei).

In 2-dim: Chladni’sche Klangfiguren.Versuch:Erzeu-gung von Eigenschwingungen auf einer horizontalenPlatte durch einen Violinbogen. Sandkörner auf derPlatte werden durch Eigenschwingungen hin- und her-geschüttelt und häufen sich so auf den nicht schwin-genden Knotenlinien an. (Veränderungen des Knoten-linienmusters durcḧAnderung der Randbedingungen)

Analog: Kundt’sche Staubfiguren.Versuch:In einemmit ein wenig Korkmehl gefülltem, einseitig verschlos-senem Glasrohr werden mit einer Pfeife stehende Wel-len angeregt. Beobachtung: Das Korkmehl häuft sichin den Knoten an.

Eine stehende Welle lässt sich auch mittels dem Ru-ben’schen Flammenrohr zeigen.Versuch:Ein Rohr miteiner Reihe kleiner Löcher trägt in der Mitte einen An-schluss für Propangas.Über einen Lautsprecher wer-den im Rohr stehende Wellen angeregt. Nach Entzün-den des Gases bilden sich die stehenden Schallwellenim Rohr auf der Flammenreihe ab.

Im Allgemeinen gilt: Bei Reflexion an der Grenze zwi-schen zwei Medien unterschiedlicher Ausbreitungs-geschwindigkeit mitv1 > v2, ist die Reflexion nichtvollständig und es kommt auch zu Transmission.

Anwendung Ultraschall: Ausgesandte Ultraschallpul-se werden an Grenzflächen von Bereichen unterschied-licher Ausbreitungsgeschwindigkeit reflektiert.

Bei Reflexion an einem Medium mit niedriger Aus-breitungsgeschwindigkeitv2 kommt es nicht zu dembei der Reflexion am festen Ende (v1 → ∞) beo-bachteten ”Phasensprung”.

VersuchTorsionswellenmaschine: Reflexion einer Tor-sionswelle am oberen Ende, einmal fest eingespannt,einmal frei schwingend

23

2.6.6 Wasserwellen

Während die bisher behandelten Dichte- und Scher-wellen Raumwellen sind, sind Wasserwellen Oberflä-chenwellen.

Für die Beschreibung ihrer Ausbreitung können in gu-ter Näherung vernachlässigt werden:

- Oberflächenspannung fürλ > 0.05 m- Reibung- Dichte und kinetische Energie der Luft- Wirbelbildung

⇒ Einzige wirkende Kraft: GewichtskraftFGVersuche im Wellenkanal zeigen: Auch Wasserwellentransportieren Energie aber keine Materie. Die Wel-lenausbreitung erfolgt über Kreisbewegungen einzel-ner Wasserteilchen um ihre Ruhelage. An der Ober-fläche ist der Kreisbahndurchmesser2r gleich demHöhenunterschied zwischen Wellenberg und Wellen-tal.

Ist die Wassertiefeh größer als die Wellenlängeλ→ Schwerewellen (z.B. Dünungswellen)Beobachtungen: Bewegung der Wasserteilchen nimmtexponentiell mit dem Abstand von der Oberfläche ab.An der Oberfläche ist die Kreisbahngeschwindigkeitder Wasserteilchenvk = 2π r/T .

Breitet sich die Welle mitvw fort, so sieht ein mit derWelle mitschreitender Beobachter Wasserteilchen imWellental mit

v1 = vw +2π r

T

und im Wellenberg mit

v2 = vw −2π r

T

bewegen. Für die Differenz der kinetischen Energienergibt sich:

∆Ekin =m

2(v21 − v22) =

4π r vw m

T

Die Abnahme der potenziellen Energie von Wellen-berg zu Wellental ist :

∆Epot = m g 2r

Für ∆Epot = ∆Ekin:

m g 2r =4π r vw m

T

⇒ Ausbreitungsgeschwindigkeitvw =g T

2π

Für2r � λ, d.h. für kleine Amplitude kann die Was-serwelle als Sinuswelle betrachtet werden:

Mit vw = λ f ⇒ T = λ/vw

⇒ vw =√

g λ

2π

(z.B. typische Dünungswellen:λ = 50 m, T = 6 s, vw = 30 km/h)

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von der Wel-lenlänge ab. In diesem Fall spricht man vonDisper-sion. Dispersion, d.h. verschiedene Ausbreitungsge-schwindigkeiten für die unterschiedlichen Partialwel-len einer einmaligen Störung, führt zu räumlichen undzeitlichen Auseinanderlaufen desWellenpakets, alsozu einer Abnahme der maximalen Amplitude.

Beispiel: Wellenpaket an Schwerewellen, das durchein Seebeben (breite Verteilung an Wellenlängen) aus-gelöst wurde, richtet nur nahe des Epizentrums großenSchaden an.

Ist die Wellenlänge groß gegen die Wassertiefe gilt ei-ne Flachwasser-Näherung. Experimente im Wellenka-nal zeigen dann für die Ausbreitungsgeschwindigkeit:

vw =√

g h

d.h.vw ist unabhängig von der Wellenlänge.

Beispiel: TsunamiEin Wellenpaket aus Wellen großer Wellenlänge brei-tet sich dispersionsfrei mit hoher Geschwindigkeit aus(kein Auseinanderlaufen)→ Flutwelle.Zahlenbeispiel: Wellenlänge 200 km, mittl. Tiefe 4 km⇒ vw ≈ 700 km/h, Periode 1000 s

24

3 Optik

Optik ist die Lehre von Lichtstrahlen, die wir mit un-seren Augen wahrnehmen können.

3.1 Eigenschaften von Lichtstrahlen

Lichtstrahlen bestehen aus elektromagnetischen Wel-len. Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld~B ein er-zeugt ein elektrische Feld~E (Induktionsgesetz). Einzeitlich veränderliches~E Feld erzeugt wiederum einmagnetisches Feld~B.

Einfaches Bild: Bewegte Ladungen erzeugen ein zeit-lich variierendes elektrisches Feld, welches wiederumein magnetisches Feld erzeugt.

z

x

λ

e-x

zy

Entlang der Achse der Schwingung der Ladung (z.B.Elektron) entsteht ein elektrisches Feld, das ein ma-gnetisches Feld induziert, welches in einer Ebene senk-recht zu der des elektrischen Feldes schwingt und umeinen Phasenwinkel π

2verschoben ist. Elektroma-

gnetische Welle sind transversale Wellen.

E(z, t) = ~Ex sin (kz − ωt)B(z, t) = ~By cos (kz − ωt)

Für periodische Schwingungen ist der Zusammenhangzwischen Wellenlängeλ und Wellenzahlk:k λ = 2π

Zwischen Kreisfrequenzω, Frequenzf , Wellenlängeλ, der EnergieE der Quanten (Photonen) und derLichtgeschwindigkeitc bestehen die Relationen.

c = λ f ω = 2π f E = h f = h̄ ω (h̄ =h

2π)

Mit den Naturkonstanten:Plank’sches Wirkungsquantumh = 4.14 · 10−15 eV sVakuumlichtgeschwindigkeitc = 2, 9979 · 108 m/s

Sichtbares Licht sind elektromagnetische Wellen mitWellenlängen im Bereich von 390 nm bis 790 nm (3.8·1014 Hz bis 7.7 · 1014 Hz). Dies entspricht Energiender Photonen im Bereich von etwa 1.6 eV bis 3.2 eV.

Spektrum elektromagnetischer Wellen (c = f λ):

f [Hz] Bezeichnung Erzeugung

< 106

107

108

109

1010

1011

1012

1013

1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

> 1021

LangwelleMittelwelleTV, UKW

Kurzwelle

Mikrowellen

InfrarotLicht

Ultraviolett

Röntgen-strahlung

Gamma-strahlung

Antenne

Klystron

Gitterschwingungen,Wärmestrahlung

Übergänge zwischen Nive-aus von Valenzelektronen

Übergänge zwischen in-neren Schalen der Atome,Bremsstrahlung

Übergänge in Atomkernen

Licht wird in der Regel durch Anregung von Atomenerzeugt: u.a.- Gasentladung (Spektralfarben)- Erhitzung von Materialien (Glühlampe)- Laser (light amplification by stimulated emission ofradiation)

Für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gilt:

c =1√µ0ε0

µ0: magn. Feldkonstante

ε0: Dielektrizitätskonstante

In Materie gilt:

cmat =1√

µrµ0εrε0

εr: relative Dielektrizitätskonst.

µR: relative Permeabilität

Dabei berücksichtigtεr die Polarisation der Moleküleim elektrischen Feld, was zu einer Abschwächung desFeldes führt (εr > 1). µr berücksichtigt die Ausrich-tung magn. Momente im magn. Feld (atomare magn.Momente). Für durchsichtige (Absorption klein), dia-und paramagnetische Stoffe istµr ' 1.⇒ cmat = c/n ' c/

√εr

n bezeichnet man als Brechungsindex. D.h. die Ge-schwindigkeit des Lichts in Materie ist kleiner als dieVakuumlichtgeschwindigkeit.

Versuch: Ein Lichtblitz wird durch einen 2 m langenPlexiglaszylinder und durch Luft geschickt, am obe-ren Ende gespiegelt und unten detektiert. Die Ausbrei-tungsgeschwindigkeit im Plexiglas istcplex ' 0.7cVersuch: Der Lichtstrahl einer Glühlampe wird in ei-nem Prisma gebrochen. Beobachtung: Das natürlicheLicht (dito Glühlampe etc.) besteht aus vielen Wel-

25

lenlängen, die mit Hilfe von Prismen in die verschie-denen Farben zerlegt werden kann.

εr hängt vonλ ab ⇒ n → n (λ)blaues Licht: 400 nm (0.4µm)rotes Licht: 780 nm (0.78µm)

Brechungsindizes fürλ = 589 nm (gelbe Na Linie)

Vakuum n = 1 (exakt) Glas n∼ 1.4 - 2.9 (Sorte)Luft n = 1.00029 Plexiglas n = 1.49Wasser n = 1.33 Diamant n = 2.42

Versuche:

→ Licht wirft Schatten→ Abbildung von Gegen-ständen (geometrische Optik)

→ Werden die Strukturen vergleichbar mit der Wel-lenlänge des Lichts (Spalt, Lochblende) kommtes zu Interferenz- und Beugungseffekten (Wel-lenoptik)

3.2 Reflexion und Brechung

Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zweier Me-dien mit unterschiedlichen Brechungsindizesn1 6= n2,wird ein Teil des Lichtes reflektiert, ein Teil gelangt indas Medium mitn2 (vgl. mechanische Wellen). Trifftder Lichtstrahl nicht senkrecht auf die Grenzfläche än-dert sich die Richtung des Lichtstrahls (Brechung).

Versuch:Reflexion und Brechung eines Laserstrahlesan einer Wasseroberfläche.

Beschreibung dieser Phänomene mit Hilfe des Fer-mat’schen Prinzips:Die Laufzeit des Lichts zwischen zwei Punkten ist mi-nimal (nicht der Weg).D.h. auch, dass sich Lichtstrahlen in einem optisch ho-mogenen Medium geradlinig ausbreiten.

3.2.1 Reflexion

Versuch:Reflexion an einem Spiegel

0 d

b

B

A

a l1l2

θ1 θ2

..

Beobachtung: Einfallwinkel gleich Ausfallwinkel

Die Laufzeit des Lichtstrahls beträgtt(x) = L(x)/c,wobei L = l1 + l2. Da sich das Medium in dem sichder Lichtstrahl von PunktA nach PunktB bewegtnicht ändert giltt(x) ist minimal, wennl(x) minimalist.

L(x) =√

a2 + x2 +√

b2 + (d − x)2

Ableitung:

dL

dx=

1

2

2x√a2 + x2

+1

2

2x − 2d√

b2 + (d − x)2

Minimum fürdL

dx= 0

x√

a2 + x20=

d − x√

b2 + (d − x)2⇒ x

l1=

d − xl2

Dabei ist sin θ1 =x

l1und sin θ2 =

d − xl2

⇒ Für die Reflexion an einer Oberfläche:

Reflexionsgesetz:sin θ1 = sin θ2 ⇔ θ1 = θ2

Anwendungsbeispiel: Reflexion an zwei Planspiegeln

ϕ

αθ

α γ

β

β

α

β

β

Für den Ablenkwinkelϕ gilt:

ϕ = 2α + 2β = 2 (180◦ − γ) = 360◦ − 2 γ

⇒ Der Ablenkwinkelϕ ist unabhängig vom Einfalls-winkelθ , d.h. eine genaue Orientierung des Spiegel-paares ist nicht notwendig.

Fürγ = 90◦ ⇒ ϕ = 180◦ ergibt sich ein Reflektor

26

3.2.2 Brechung

Erklärung der Brechung mit dem Fermat’schen Prin-zip: Ist n2 > n1 , ist die Lichtgeschwindigkeitc2 <c1. D.h. der Weg im dichteren Medium (n2 ) ist klei-ner als im dünneren Medium (n1 ).

n1

θ1

θ2

n2

a

A

B

b

x d

Herleitung des Brechungsgesetzes:

t =l1c1

+l2c2

=l1 n1

c+

l2 n2c

⇒ c t(x) = n1√

a2 + x2 + n2√

b2 + (d − x)2

Ableitung:

cdt

dx= n1

x√a2 + x2

+ n2x − d

√

b2 + (d − x)2

Minimum für t(x) fürdt

dx= 0

n1x√

a2 + x2= n2

d − x√

b2 + (d − x)2

⇒ xl1

= n2d − x

l2

Mit sin θ1 =x

l1und sin θ2 =

d − xl2

folgt das

Brechungsgesetz:n1 sin θ1 = n2 sin θ2

Spezialfall:Totalreflexion

Brechung an einer Grenzfläche mitn2 < n1

Für den Brechungswinkel im Mediumn2 ergibt sich:

sin θ2 =n1n2

sin θ1

Für sin θ1 =n2n1

ist sin θ2 = 1 ⇒ θ2 = 90◦

D.h. der einfallende Lichtstrahl kann nicht in Mediumn2 eindringen und es kommt zu Totalreflexion.

n

n

1

2

θ

θ

1

2

z.B. Luft

z.B. Wasser

n < n1 2

Für die Grenzfläche Wasser – Luft (Versuch) ergibtsich ein kritischer Winkel für die Totalreflexion von:

sin θ1 =1

1.33⇒ θ1 = 48◦

Damit kann ein Laserstrahl durch einen gekrümmtenWasserstrahl geschickt werden (Versuch).

Anwendungsbeispiel: Lichtleiter (Versuch)Ein Laserstrahl kann durch einen Lichtleiter mit Kno-ten geschickt werden (Glasfaserkabel).

3.3 Optische Abbildungen

3.3.1 Hohlspiegel

Konkaver, sphärischer Spiegel, der einem parallel zuroptischen Achse einfallenden Lichtstrahl im Brenn-punkt F fokusiert.

r

f

Aufgrund des Reflexionsgesetzes gilt für den Brenn-punkt: f = 1

2r , wobei r der Krümmungsradius des

Spiegels ist.

Versuch:Das Licht einer Bogenlampe wird im Brenn-punkt eines Hohlspiegels fokussiert. Die Energiedich-te im Fokus reicht aus um ein Streichholz zu entzünden.

Anwendung von Hohlspiegeln in der Astronomie zurAbbildung und Vergrößerung von Sternen.

27

A

FB

a

bf

B ist der Schnittpunkt zweier Lichtstrahlen von PunktA. D.h. in B ist die Abbildung scharf und die Inten-sität durch den größeren Raumwinkel, über den derHohlspiegel das Licht sammelt, ebenfall größer. Ausgeometrischen Gründen ergibt sich der Abbildungs-maßtab (Vergrößerung)Γ zu:

Γ =b

a=

f

a − f

3.3.2 Prisma

Prismen sind dreikantige Glaskörper und werden zurAblenkung von Strahlen und zur Zerlegung des Lichtsin seine Farben verwendet.

α1 α2

β1 β2n

ϕ

γ

γ = 180◦ − (90◦ − β1) − (90◦ − β2)γ = β1 + β2

An den beiden Grenzflächen gelten die Brechungsge-setzesin α1 = n sin β1 und sin α2 = n sin β2

Für den Ablenkwinkelϕ folgt:

ϕ = (α1 − β1) + (α2 − β2) = α1 + α2 − γ

Der Ablenkwinkel wird minimal, wennα1 = α2 ⇒β1 = β2 = γ/2

Aufgrund der Abhängigkeit des Brechungsindexn vonder Wellenlängeλ wird natürliches Licht in seine Spek-tralfarben zerlegt. Bei normaler Dispersion nimmtn(λ)mit zunehmendenλ ab. D.h.dn/dλ < 0

Versuch:Dispersion verschiedener Prismen

γ

n λ = 500 nm (blau)

= 700 nm (rot)λ

Brechungsindizes für Kronglas

Farbe λ(nm) n

blau 486 1.5157

gelb 590 1.5100

rot 656 1.5076

Der Brechungsindexn(λ) eines Materials kann soüber die Messung der Winkel bestimmt werden.

3.3.3 Linse

Bei einer Lochkamera (Versuch) wird die Abbildungmit kleinerem Blendendurchmesser schärfer. Problem:Die Helligkeit nimmt ebenfalls ab.

GegenstandBlende

Bild

Bei der Abbildung von Gegenständen über Linsen wer-den die Lichtstrahlen fokussiert.

LinseGegenstand

Herleitung der Abbildungsgleichung einer Linse überdas Brechungsgesetz:

Brechung an der ersten Oberfläche:sin θ1 = n sin θ3

28

Für achsennahe Strahlen gilt:sin θ ' θ⇒ θ1 = n θ3θ1 = α + β und β = θ3 + γ

α =h

a; β =

h

r1; γ =

h

b′

θ1

A

n=1

h

β

r1

θ3n>1

B’a

γ

b’

Aus θ1 = n θ3 folgt:h

a+

h

r1= n

h

r1− n h

b′

⇒ 1a

+n

b′= (n − 1) 1

r1

b

n>1n=1

Bδγ

B’

θ

θ2

4

b"

Für die Brechung an der zweiten Oberfläche gilt:

sin θ2 = n sin θ4

Für paraxiale Strahlen:θ2 = n θ4

θ2 = Φ + δ ; θ4 = Φ + γ

Φ =k

r2; δ =

k

b; γ =

k

b′′

Aus θ2 = n θ4 folgt:k

r2+

k

b= n

k

r2+ n

k

b′′

⇒ 1b− n

b′′= (n − 1) 1

r2

Konvention: Der Radius der zweiten Oberfläche hatein negatives Vorzeichen, da die Krümmung entge-gengesetzt zur ersten Oberfläche ist.

Zusammenfassend gilt für die Brechung an einer dün-nen Linse (b′ = b′′) in paraxialer Näherung:

1

a+

1

b= (n − 1)

(

1

r1− 1

r2

)

=1

f

Beispiel: a = ∞ , r1 = −r2 = r , n = 2

⇒ f = 1n − 1

r

2=

r

2

1/f bezeichnet man als Brechkraft. Die Einheit der

Brechkraft ist Dioptrie (1 dpt = 1 m−1)

Verschiedene Linsentypen:

Sammellinsenbikonvex: r1 > 0 ; r2 < 0konvex-konkav:r2 > r1 > 0

Streulinsenbikonkav: r1 < 0 ; r2 > 0konkav-plan:r1 < 0 ; r2 = ∞

Versuch:Kombination von LinsenBeobachtung: Für die Kombination von zwei Linsengilt:

1

f=

1

f1+

1

f2

wobei die Brennweiten für Sammellinsen ein positi-ves und für Streulinsen ein negatives Vorzeichen ha-ben (Herleitung analog zu Abbildungsgleichung einerdünnen Linse mit zwei gekrümmten Flächen).

Abbildungsfehler von Linsen:

Versuch:Linsenfehler für randnahe und achsenferneStrahlenBeobachtung: Achsenferne Strahlen werden nicht imBrennpunkt fokussiert. Dies führt zu sphärischen Ab-errationen (Verringerung des Effekts mit Blenden).Ursache: Paraxiale Näherung bei der Herleitung derAbbildungsgleichung für sphärische Linsen.

Linsenfehler - FarbfehlerDie Abbildungen von scharfen Linien zeigen Regen-bogenfarben. Dies führt zur chromatischen Aberrati-on.Ursache: blaues Licht wird stärker gebrochen als ro-tes (Abhilfe durch Kombination von Linsen mit unter-schiedlichen Brechungsindex).

3.3.4 Menschliches Auge

29

Die Brennweitef der Augenlinse (Brechungsindexn = 1.4 für grünes Licht,λ = 550nm) kann mit Hilfedes Ciliarmuskels zwischen∼ 19 mm und∼ 22 mmverändert werden. Damit können Gegenstände im Ab-stand zwischen ca. 100 mm und unendlich, scharf ab-gebildet werden. Im Abstanda ' 250 mm ist derMuskel in Ruhe.

Kurzsichtig: Das Auge fokussiert die Lichtstrahlen sostark, dass das Bild eines weit entfernten Gegenstan-des vor der Retina liegt.Abhilfe: Brille (Streulinse mitf < 0). In der Re-gel wird aus Gründen der Gewichtsersparnis ein so-genanntes Minusglas verwendet, dass als Streulinsedient.

Weitsichtig: Nahe Gegenstände können nicht auf dieRetina fokussiert werden (z.B. erreicht die Brennwei-te des Auges 19 mm nicht mehr).Abhilfe: Brille (Sammellinse mitf > 0)

Im Ruhezustand hat das Auge eine Vergrößerung vonzirka:

Γ =a

fAuge=

250 mm22 mm

≈ 11

Die Lichtsensoren auf der Retina (ca. 125 MillionenRezeptoren) haben eine Größe von etwa 6µm. Da-mit können Gegenstände, die größer sind als etwa11 ·6µm = 66µm , wahrgenommen werden.Um feinere Details erkennen zu können, muss der Ge-genstand näher an das Auge gebracht werden. BeimUnterschreiten des Nahpunktes bei∼ 100 mm kanndas Auge den Gegenstand nicht mehr scharf abbilden→ Hilfsmittel wie Lupe oder Mikroskop.

Beispiel: Lupe

y’

mσy

a’a

Mithilfe einer Sammellinse kann die Brennweite ver-kleinert werden.

1

f ′=

1

fAuge+

1

fLupe

und Gegenstände können näher am Auge scharf abb-gebildet werden. Gegenstandy im Abstand a < f

von der Lupe. Durch die Lupe erscheint im Auge einvirtuelles Bild der Größey′ unter dem Sehwinkel

σm =y′

a′=

y

a.

Die VergrößerungΓ eines optischen Instruments istdefiniert als:

Γ =Größe mit Auge und Instrument

Größe mit Auge=

y′

y

Die NormalvergrößerungΓ0 einer Lupe erhält man,wenn man das Bild im Unendlichen betrachtet.⇒ Der ideale Abstand Gegenstand-Lupe ist gleichder Brennweite der Lupe.

⇒ Γ0 =250 mm

f

Typische Brennweite von Linsen für Lupen:f = 62.5 mm ⇒ Γ0 = 4Für größere Brennweiten werden größere Durchmes-ser der Linsen benötigt. Nachteil: Hohes Gewicht (Vgl.Teleskop)

Beispiel 3: Fernrohr (Versuch)

Abbildung von Gegenständen, die sehr weit vom Be-trachter entfernt sind.⇒ Lichtstrahlen vom Objekttreffen parallel auf die Objektivlinse auf (J. Keppler1571-1630).Das Keppler’sche Fernrohr erzeugt mit Hilfe einer Ob-jektivlinse ein reelles Zwischenbild das nahe am Augemit einem Okular (ähnlich zur Lupe) vergrößert wird.

Objektiv

Okular

ffObj Oku

σm

σ0

y’

Die Vergrößerung wird erreicht durch eine Vergrös-serung des Betrachtungswinkelsσ0 → σm

tan σ0 =y′

fobj∼= σ0 und tan σm =

y′

foku∼= σm

Die Vergrößerung des Fernrohres ist dann:

Γ =σmσ0

=fobjfoku

D.h. große Vergrößerung mit einem Objektiv großer

30

Brennweite und einem Okular kleiner Brennweite.

Beipiel: Größtes Fernrohr (Linsenteleskop) von derUniversity of ChicagoObjektiv mit Durchmesser 102 cm undf = 19.5 mOkular mit f = 10 cm ergibt eine V