-
Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique
Universit Hassiba Benbouali de Chlef
Facult de Gnie Civil et dArchitecture Dpartement de Gnie Civil
Polycopi de
Ralis par
Pr. Zamila HARICHANE
Mars 2013
Rsistance des Matriaux
RDM-II
RDM-I
-
- i -
Prface La dfinition de la rsistance des matriaux, tant donne dans la premire partie dsigne
Polycopi de Rsistance des Matriaux I . Les objectifs de la RDM ainsi que la statique y sont fixs.
Dans la prsent polycopi intitul Polycopi de Rsistance des Matriaux II , qui sadresse galement aux tudiants de deuxime anne LMD en Gnie Civil et les lves ingnieurs des coles prparatoires, laccent est mis sur le dimensionnement des lments dune structure soumis aux sollicitations simples et composes de sorte permettre ltudiant de dimensionner tous types dlments de structures isostatiques simples raliss en bois, en acier ou en bton.
Il est rdig de manire simplifie et beaucoup dexemples sont introduits aprs avoir donn des notions afin que ltudiant puisse assimiler le contenu du cours et ait une vision claire de son application dans la vie courante. Des problmes sont accompagns de leurs
solutions et la fin de chaque chapitre des exercices sans solutions sont donns pour que
ltudiant sy entraine.
Ce polycopi est divis en cinq chapitres. Le contenu du premier chapitre concerne le
calcul des caractristiques gomtriques dune section plane. En effet, pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la section droite
est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Tandis que pour tous les autres types de sollicitations, la forme et les dimensions de la
section droite de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes
sollicitations de torsion ou de flexion.
Dans le deuxime chapitre, ltudiant se familiarise avec les notions de sollicitation simple, de diagramme defforts intrieurs, de section dangereuse, de contrainte et enfin de dimensionnement. Il sagit du dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simples.
Le troisime chapitre fait une entre en sollicitations composes. On y aborde la flexion
compose, droite et gauche. Une mthodologie progressive est trace afin que ltudiant sentraine aux calculs et dimensionnement des poutres la rsistance tout en sachant manipuler des quations un peu plus complexes.
Ayant pris connaissance du calcul des contraintes dans les cas de sollicitations simples et
composes, ltat de contrainte, dabord gnral puis en plan, est abord au chapitre quatre. Ce chapitre permettra ltudiant de manipuler le cercle de Mohr dans la dtermination des contraintes principales ainsi que ltat de contrainte sur un plan inclin. Il permettra galement de dterminer la contrainte qui servira au dimensionnement en cas de
sollicitation compose.
Le cinquime et dernier chapitre est consacr un autre type de sollicitation pour
ltudiant. Il concerne le flambement des barres et poutres lances. En effet, dans le cas du flambement, les dformations ne peuvent plus tre supposes infiniment petites et
ngliges comme dans les chapitres prcdents. De mme, les forces extrieures ne sont
plus proportionnelles aux dformations. Pour tudier le flambage, il faut tenir compte de la
dformation de llment considr et de ce fait abandonner une des hypothses fondamentales de la RDM.
-
- ii -
Table des Matires Page
Chapitre 1
Caractristiques Gomtriques des
Sections Planes
1.1. Introduction 2
1.2. Aire dune section 2
1.3. Moment statique 4
1.4. Centre de gravit 5
1.5. Moment dinertie 8
1.5.1. Dfinition 8
1.5.2. Moment dinertie polaire 10
1.6. Variations des moments dinertie 11
1.6.1. Translation des axes 11
1.6.2. Rotation des axes 13
1.7. Module de rsistance 17
1.8. Rayon de giration 17
1.9. Conclusion 18
Exercices 19
Chapitre 2
Dimensionnement des Poutres Droites
Isostatiques Sollicites en Flexion Simple
2.1. Systme isostatique, systme hyperstatique, mcanisme 23
2.2. Dfinition 23
2.3. Efforts tranchants, moments flchissants 25
2.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments flchissants 26
2.5. Relation entre moment flchissant et effort tranchant 28
-
- iii -
2.6. Relation entre effort tranchant et chargement rparti 29
2.7. Dforme d'une poutre soumise la flexion simple (flche) 31
2.8. Calcul des contraintes 32
2.8.1. Cas de la flexion pure 32
2.8.2. Cas de la flexion simple 37
Exercices 47
Chapitre 3
Dimensionnement des Poutres Droites Isostatiques Sollicites en Flexion Compose
3.1. Introduction 50
3.2. Flexion droite compose 50
3.2.1. Dfinition 50
3.2.2. Calcul des contraintes 50
3.2.3. Position de laxe neutre et noyau central 51
3.3. Cas particulier: Traction (ou compression) droite excentre 52
3.4. Flexion compose oblique 52
3.4.1. Calcul des contraintes 53
3.4.2. Position de laxe neutre 54
3.5. Cas particulier: Traction (ou compression) gauche excentre 54
3.5.1. Calcul des contraintes 55
3.5.2. Position de laxe neutre 55
3.6. Calcul la rsistance 57
Exercices 67
-
- iv -
Chapitre 4
Etats de Contraintes
4.1. Etat de contrainte en un point 71
4.2. Etat de contrainte plan 73
4.2.1. Dfinition 73
4.2.2. Convention de signe 73
4.2.3. Contraintes sur un plan inclin 76
4.3. Cercle de Mohr 77
4.4. Contraintes principales 81
Exercices 88
Chapitre 5
Flambement des Poutres Droites
5.1. Introduction 91
5.2. Dfinition 91
5.3. Charge critique dEuler 91
5.4. Influence des liaisons aux appuis 95
5.5. Contrainte critique dEuler 97
5.6. Critres de dimensionnement 99
Exercices 103
Rfrences Bibliographiques
107
Annexe 1.1
110
Annexe 1.2 114
-
- v -
Liste des Figures Fig. 1.1- Section plane. 4
Fig. 1.2- Translation des axes. 4
Fig. 1.3- Aire rectangulaire. 5
Fig. 1.4- Aire triangulaire. 5
Fig. 1.5 Moment quadratique dune section. 8
Fig. 1.6 Moment dinertie dune section et translation des axes. 12
Fig. 1.7- Schmatisation du thorme de Huygens. 12
Fig. 1.8- Moment dinertie dune section et rotation des axes. 14
Fig. 1.9- Cercle de Mohr. 16
Fig. 2.1- Exemples de Poutres: (a) isostatiques, (b) hyperstatiques,
(c) mcanismes.
23
Fig. 2.2- Courbure dune poutre. 24
Fig. 2.3- poutre en flexion simple. 24
Fig. 2.4- Exemple illustratif dune poutre sollicite en flexion simple. 25
Fig. 2.5- Conventions de signe. 26
Fig.2.6- Elment de poutre isol non charg. 28
Fig.2.7- Elment de poutre isol charg par une force uniformment rpartie. 29
Fig.2.8- Elment de poutre isol charg par une force concentre. 31
Fig.2.9- Poutre dforme. 31
Fig.2.10- Exemples de sections usuelles. 32
Fig. 2.11- Illustration de la flexion pure: (a) poutre en flexion pure, (b) tronon de
poutre en flexion pure. 33
Fig.2.12- Contrainte dans une fibre dforme. 33
Fig.2.13- Dformations dans une poutre flchie. 35
Fig.2.14- Distribution des contraintes dans une section dune poutre en flexion pure.
35
Fig.2.15- Tronon de poutre non charg longitudinal (a), transversal (b). 37
Fig.2.16- Exemples de distribution des contraintes tangentielles dans une section
de poutre en flexion simple. 38
Fig.2.17- Distribution des contraintes dans une section de poutre en flexion
simple. 40
49
-
- vi -
Fig. 3.1- Flexion droite compose.
Fig. 3.2- Distribution des contraintes normales dans le cas de la flexion droite
compose. 50
Fig. 3.3- Axe Neutre. 50
Fig. 3.4- Traction (ou compression) droite excentre. 51
Fig. 3.5- Flexion compose oblique. 52
Fig. 3.6- Distribution des contraintes tangentielle. 53
Fig. 3.7- Traction (ou compression) gauche excentre. 54
Fig. 3.8- Traction gauche excentre. 55
Fig. 3.9- Schmatisation de laxe neutre dans le cas dune traction gauche excentre.
56
Fig. 3.10- Schmatisation de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.
57
Fig. 3.11- Coordonnes des points les plus loigns de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.
58
Fig. 4.1- Etat de contrainte sur une facette.
70
Fig. 4.2- Etat de contrainte sur une facette. 71
Fig. 4.3- Reprsentation de ltat de contrainte en un point. 71
Fig. 4.4- Etat de contrainte plan. 72
Fig. 4.5- Etat de contrainte sur un plan inclin. 76
Fig. 4.6- Cercle de Mohr. 77
Fig. 5.1- Schmatisation du flambage.
91
Fig. 5.2- Poutre droite bi-articule en compression. 91
Fig. 5.3- Allures des dformes associes aux deux premires charges critiques. 94
Fig. 5.4- Influence de la forme de la section. 95
-
- vii -
Liste des Tableaux
Tableau 2.1- Exemples de valeurs du coefficient de forme K.
38
Tableau 5.1- Influence des liaisons aux appuis. 96
-
- viii -
Liste des Symboles Sx, Sy Les moments statiques dune section
XG, YG Coordonnes du centre de gravit
G Centre de gravit
Ix, Iy Moments dinertie axiaux
Ixy Moment dinertie centrifuge
Ip Moment dinertie polaire
Imax Moments dinertie axial maximal
Imin Moments dinertie axial minimal
Wmax Module de rsistance maximal
Wmin Module de rsistance minimal
ix, iy Rayons de giration
My, Mz Moments de flexion dans une section
Ty, Tz Efforts tranchants dans une section
Nx Effort normal dans une section
x Contrainte normale selon la direction x
xy, xz Contraintes tangentielles sur la facette de normale x
K Coefficient de forme dune section
Eq Contrainte normale quivalente
[] Contrainte normale admissible
[] Contrainte tangentielle admissible
f Flche dune poutre
Dformation angulaire dune poutre
yn, zn Coordonnes de laxe neutre
max Contrainte normale maximale
min Contrainte normale minimale
max Contrainte tangentielle maximale
min Contrainte tangentielle minimale
Contrainte normale sur les plans secondaires
p Direction dun plan principal
s Direction dun plan secondaire
v(x) Dforme dans un lment de structure due au flambement
E Module de Young
Pc Charge critique dEuler
-
- ix -
lf Longueur de flambement
c Contrainte critique dEuler
e Limite dlasticit
Llancement dune barre
c Llancement critique dune barre
s Coefficient de scurit
-
Chapitre 1
Caractristiques Gomtriques des Sections
Planes
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 2 -
1.1. Introduction
Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la
section droite est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la
section droite de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes
sollicitations de torsion ou de flexion. Nous allons nous intresser dans le prsent chapitre
aux caractristiques suivantes :
- Aire dune section
- Moment statique par rapport une droite (ou un axe)
- Centre de gravit
- Moment quadratique d'une section par rapport une droite (ou un axe)
- Moment de rsistance
1.2. Aire dune section
Par dfinition laire A dune section est dfinie par lintgrale:
A
dAA (1.1)
Exemple 1.1
Calculer laire dun triangle.
Solution 1.1
Soit la surface triangulaire plane montre par la figure ci-dessous.
Fig. E1.1
dA
dx
h-
(h/b
)x h
x
b
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 3 -
Considrons une surface lmentaire telle que:
dxb
x1hdA
2
bhdx
b
x1hdAA
b
0A
Remarque
Si la section est compose, nous la dcomposons en sections usuelles et laire est calcule comme:
n
1iiAA
Exemple 1.2
Calculer laire de la section droite de la poutre montre par la figure ci-dessous. On donne b1 = 300 mm, b2 = 150 mm, tw = 10 mm, tf1 = 20mm, tf2 = 15 mm, hw = 1000 mm.
Fig. E1.2
Solution 1.2
A = b1 x tf1 + b2 x tf2 + tw x hw
A = 300 x 20 + 150 x 15 + 10 x 1000 = 18250 mm2
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 4 -
1.3. Moment statique
Le moment statique S dune section par rapport un axe ox ou oy (Fig. 1.1) est donn par lune des expressions suivantes:
A
X ydAS (1.2)
A
Y xdAS (1.3)
Fig. 1.1- Section plane.
Si on procde des translations paralllement aux axes ox et oy, les moments statiques
changent. Soit la section montre par la figure (1.2) telle que SX, SY, A sont connus et on se
propose de dterminer SX et SY.
Fig. 1.2- Translation des axes.
x
y
O
dA
O x
y
a
b
Y Y
X
X
X
Y
O
dA (dS)
r
y
x
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 5 -
De la figure (1.2), on a:
x = x a ; y = y b
Par dfinition, on a:
AA
'X dAbydA'yS
AA
'Y dAaxdA'XS
do:
SX = SX b.A
(1.4)
SY = SY a.A (1.5)
1.4. Centre de gravit
On peut choisir a et b de sorte que SX et SY soient nuls, c--d :
a = SY /A ; b = SX /A
- laxe pour lequel le moment statique est nul sappelle axe central
- le point dintersection de deux axes centraux sappelle centre de gravit dune section.
Ainsi, les coordonnes du centre de gravit dune section scrivent :
xG = SY /A ; yG = SX /A (1.6)
Dfinition
Le centre de gravit G dune section est le point tel que le moment statique de la section par rapport nimporte quel axe passant par ce point est nul.
On peut dire que le moment statique dune section est gal au produit de laire de la section par la distance entre son centre de gravit G et laxe.
Les figures (1.3) et (1.4) montrent des exemples de positions de centres de gravit.
Fig. 1.3- Aire rectangulaire. Fig. 1.4- Aire triangulaire.
G G
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 6 -
Remarque
Pour une section compose, les coordonnes du centre de gravit sont donnes par les
expressions:
Sx = yGi.Ai ; i = 1, n
(1.7)
Sy = xGi.Ai ; i = 1, n (1.8)
Exemple 1.3
Dterminer les coordonnes du centre de gravit de la section triangulaire ci-dessous.
Fig. E1.3
Solution1.3
b
0
b
0
A
AG
xdxb
h
xdxb
hx
dA
xdA
X
Do
b3
2X G
b
0
b
0
A
AG
xdxb
h
xdxb
hx
b
h
2
1
dA
ydA
Y
x
y
x dx
b
h
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 7 -
Do
h3
1YG
Proprits
Si la section possde un axe de symtrie, le centre de gravit G est situ sur cet axe. A
dfaut daxes de symtrie on procde :
- Choisir un rfrenciel (O,x,y)
- Calculer le moment statique S de la section par rapport aux axes du rfrentiel
- Calculer laire totale de la section
- Utiliser la proprit du moment statique SY = XG .A , SX = YG .A
Exemple 1.4
Calculer les coordonnes du centre de gravit de la section plane suivante.
Fig. E1.4
Solution1.4
SX= 2,5(5x10)-4(2x3)-1,5(3x2) = 125-24-9 = 92cm3
SY=5(5x10)-1,5(2x3)-9(3x2) = 250-9-54 = 187cm3
XG = SY / A = 187/38 = 4,9cm
YG = SX / A = 92/38 = 2,4cm
8cm
3cm 7cm
3cm
2cm
2cm X
Y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 8 -
1.5. Moment dinertie
1.5.1. Dfinition
On dfinit le moment dinertie ou moment quadratique dune section comme le degr de rsistance de cette section aux efforts extrieurs appliqus, en tenant compte de la forme
de cette section.
Par dfinition, les intgrales:
A
2
x dAyI (1.9)
A
2
y dAxI (1.10)
Sappellent moments dinertie de la section A par rapport aux axes ox et oy, respectivement, conformment la figure 1.1. Ces expressions sont dduites de la dfinition suivante.
Le moment dinertie dune surface infiniment petite par rapport un axe loign de cette surface est gal au produit de son aire par le carr de la distance laxe. Il est toujours positif et sexprime en m4(cm4, mm4).
Fig. 1.5 Moment quadratique dune section.
Lintgrale:
A
xy xydAI (1.11)
Sappelle moment centrifuge ou produit dinertie de la section A par rapport au systme xoy.
Iaa = dA. d2
a
dA
a
d
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 9 -
Remarque
Les moments quadratiques Ix et Iy sont toujours positifs, tandis que le moment produit Ixy
peut tre positif, ngatif ou nul.
Exemple 1.5
Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes ox et oy et le moment produit pour le rectangle montr par la figure suivante.
Fig. E1.5
Solution 1.5
A
2
'x dA'yI
3
bh'dy.b.'yI
3H
0
2
'x
De la mme manire
3
hbdA'xI
3
A
2
'y
et
A
2
'y'x dA'y'.xI
H
0
B
0
22
'y'x4
hb'dy'.dx'.y'.xI
b
dA
h
dy
y G X
Y
O X
Y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 10 -
1.5.2. Moment dinertie polaire
Le moment dinertie polaire de la section montre par la figure 1.1 est donn par la relation:
A
2
P dArI (1.12)
Avec
r2 = x
2 + y
2
do
yxP III (1.13)
Le moment dinertie polaire est toujours positif et nest jamais nul.
Thorme
Le moment dinertie polaire dune section par rapport tout point de cette section est gal la somme des moments dinertie par rapport deux axes perpendiculaires passant par ce point.
Exemple 1.6
Pour le quart de cercle montr par la figure (E1.6-a), calculer le moment quadratique
polaire IO.
Fig. E1.6-a
Fig. E1.6-b
Solution1.6
De la dfinition du moment dinertie polaire et la figure (E1.6-b) on crit:
A
2
A
2
O rdrdrdArI
x
O
y
dA
d
r
dr
R
x
O
y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 11 -
8
RddrrI
42
0
R
0
3
O
ou en terme du diamtre
128
DI
4
O
1.6. Variations des moments dinertie
1.6.1. Translation des axes
Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy: Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme xoy en procdant aux translations des axes ox et oy conformment la figure 1.6.
x = x + a ; y = y + b
A
2
AA
2
A
2
A
2
'x
dAbydAb2dAy
dAbydA'yI
Do
AbbS2II 2xx'x (1.14)
On suit le mme raisonnement pour Iy et Ixy
Si le point O concide avec le centre de gravit G, les moments statiques Sx et Sy
deviennent nuls et on a:
AbII 2x'x (1.15)
AaII 2y'y (1.16)
abAII xy'y'x (1.17)
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 12 -
Fig. 1.6 Moment dinertie dune section et translation des axes.
Thorme de Huygens
Le moment dinertie dune section par rapport un axe quelconque est gal au moment dinertie de la section par rapport laxe passant par son centre de gravit et parallle augment du produit de laire de la section par le carr de la distance entre les deux axes.
Fig. 1.7- Schmatisation du thorme de Huygens.
AdII 2G (1.18)
A
d
G
G
x
y
O
dA
O x
y
a
b
Y Y
X
X
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 13 -
Exemple 1.7
Dterminer les moments dinertie par rapport au systme xOy pour le rectangle montr par la figure ci-dessous.
Fig. E1.7
Solution 1.7
De la relation de Huygens on crit:
AdII 2'xx
12
bhbh
2
h
3
bh 323
et
AdII 2'yy
12
hbbh
2
b
3
hb 323
De mme
abAII 'y'xxy
0bh2
h
2
b
4
hb 22
Car les axes x et y sont centraux.
1.6.2. Rotation des axes
Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme uov qui fait un
angle avec le systme xoy (Fig. 1.8).
b
h
h/2
G X
Y
O X
Y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 14 -
Fig. 1.8- Moment dinertie dune section et rotation des axes.
Daprs la figure (1.8)
sinycosxu
cosysinxv
En utilisant la dfinition du moment dinertite, on crit:
A
2
u dAvI
AA
22
A
22 xydAcossin2dAxsindAycos
xyy
2
x
2 I.cossin2I.sinI.cos
En utilisant les relations trigonomtriques:
2
2cos1cos;
2
2cos1sin 22
lexpression ci-dessus devient:
xyyxu I2sin2
1I
2
2cos1I
2
2cos1I
X
Y
V
U
x
y
x
u v
dA
O
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 15 -
Ou bien,
2sinI2cosII2
1II
2
1I xyyxyxu (1.19)
En suivant le mme raisonnement on obtient:
2sinI2cosII2
1II
2
1I xyyxyxv (1.20)
2cosI2sinII2
1I xyyxuv (1.21)
On remarque que
Ix + Iy = Iu + Iv (1.22)
Cela signifie que la somme des moments quadratiques par rapport deux axes
perpendiculaires reste constante quelque soit la valeur de langle de rotation.
On remarque aussi que Iu et Iv oscillent autour de la valeur moyenne2
II yx .
En drivant Iu et Iv par rapport 2 on obtient:
2ddI
2d
dI vu
Les extrema sont donns pour:
0
2d
d
Do
yx
xy
II
I22tg
(1.23)
Cette relation est satisfaite pour deux valeurs de entre 0 et qui correspondent un maximum I1 (Imax) et un minimum I2 (Imin) qui sont les moments principaux dinertie.
Les axes correspondant aux moments dinertie principaux sont appels axes principaux.
Pour dterminer (Imax) et (Imin), on peut utiliser le cercle de Mohr. Pour tracer le cercle de
Mohr, on suit les tapes suivantes:
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 16 -
1- tracer un repre orthogonal et orthonorm (O, IQ, IQR) (Fig. 1.9)
2- placer les points A(Ix, Ixy) et B(Iy, -Ixy) dans ce repre
3- dduire le point C, point dintersection de la droite AB et laxe des abscisses
4- dduire du cercle de Mohr Imax (I1) et Imin (I2):
on a
ROCII 1max
ROCII 2min
Do
2xy2
yxyx
max I2
II
2
III
(1.24)
2xy2
yxyx
min I2
II
2
III
(1.25)
Fig. 1.9- Cercle de Mohr.
A(Ix, Ixy)
B(Iy, -Ixy)
Ix
Iy
Ixy
-Ixy
O C
2
2P
D(Iu, Iuv)
Imax Imin IQ
IQR
2S
IU
IV
min
max
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 17 -
1.7. Module de rsistance
Le moment de rsistance dune section droite est le rapport entre le moment dinertie axial et la distance la plus loigne de cet axe.
max
ymin
ymax
xmin
xx
IW;
y
IW
(1.25)
Exemple 1.8
Soit pour la figure suivante dterminer le moment de rsistance minimal.
Fig. E1.8
Solution 1.8
Deux cas se prsentent :
Si a b Wxmin
= Ix / b
Si a b Wxmin
= Ix / a
1.8. Rayon de giration
Le rayon de giration dune surface A selon laxe x ou laxe y est dfini par:
A
Iiou
A
Ii
y
yx
x
(1.26)
Exemple 1.9
Calculer les rayons de giration dun rectangle.
G
a
b x
x
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 18 -
Solution 1.9
Soit la surface rectangulaire montre par la figure suivante:
Fig. E1.9
Les rayons de giration sont:
b3,0
bh
12hb
i;h3,0bh
12bh
i
3
y
3
x
1.8. Conclusion
Dans ce chapitre, les caractristiques gomtriques des sections planes manipuler dans le
dimensionnement des lments dune structure sont prsentes avec des exemples illustratifs.
Ce chapitre est accompagn de deux annexes. Dans la premire annexe, les caractristiques
(aire, coordonnes du centre de gravit et moments quadratiques centraux) pour des
sections usuelles sont donnes. Dans la deuxime annexe, on a prsent sous forme dun tableau les tapes suivre pour dterminer les moments dinertie centraux pour des sections composes en procdant par dcomposition en sections usuelles.
hh
bb
xx
yy
GG
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 19 -
Exercices
Exercice N1
Dterminer laire et le centre de gravit de la section plane ci-dessous.
Exercice N2
Dterminer les moments statique SX et SY
de la section reprsente sur la figure ci-
contre.
En dduire les coordonnes XG et YG du
centre de gravit de section.
x 8 cm
5 cm 3 cm
2cm
3cm
O
y
100 mm
200 mm
16
16
x
y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 20 -
Exercice N3
Calculer, analytiquement, le
moment quadratique polaire
IO de la section S reprsente
sur la figure ci-contre.
Exercice N4
1- Exprimer le moment d'inertie quadratique (IY) de la section triangulaire montre par la
figure (a).
2- Montrer que le moment d'inertie quadratique (IY) de la section triangulaire montre par
la figure (b) est: 48
hbI
3
y
Figure (a) Figure (b)
Exercice N5
Pour la section plane montre par la figure ci-dessous, sachant que IX'X =2690,44cm4 et
I Y'Y =158,44cm4, dterminer:
le rayon "R"du creux circulaire,
la position "d" du centre de gravit du creux circulaire par rapport l'axe X'X.
D = 150mm
d = 100mm O X
Y
b
h
y
x b/2 b/2
h
G x
y
-
Chapitre 1: Caractristiques gomtriques des sections planes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 21 -
Exercice N6
Pour chacune des sections planes ci-dessous:
1- Calculer les moments dinertie de la section par rapport aux axes passant par le centre de gravit G de la section.
2- Tracer le cercle de Mohr et dduire les moments dinertie centraux principaux pour cette section.
3- Dessiner les axes centraux principaux dans un plan physique.
4- Dduire du cercle de Mohr le moment quadratique par rapport un axe faisant un angle
de 45 avec laxe GX.
8cm
3cm
6cm
y
x
40
40mm
40mm
10 10
10
20 20
G
Y
X
6 cm
3 cm 3 cm
d
8 cm
R
X
Y
X
Y
-
Chapitre 2
Dimensionnement des poutres droites isostatiques
Sollicites en flexion simple
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 23 -
2.1. Systme isostatique, systme hyperstatique, mcanisme
Soit k le nombre d'quations d'quilibre (6 dans l'espace, 3 dans le plan). Soit r le nombre
d'inconnues (rsultantes de liaison et moments de liaison).
Si r = k : Les actions de liaison sont dtermines par les quations de la statique. La
structure est dite isostatique (Fig. 2.1-a).
Si r> k : Le nombre d'quations d'quilibre est alors insuffisant la dtermination des
actions de liaison inconnues. La structure est dite hyperstatique de degr r k (Fig. 2.1-b).
Si r < k : l'quilibre est impossible en gnral. Le systme est hypostatique (mcanisme).
L'tude des mcanismes dborde du cadre de la rsistance des matriaux (Fig. 2.1-c).
Fig. 2.1- Exemples de Poutres: (a) isostatiques, (b) hyperstatiques, (c) mcanismes.
2.2. Dfinitions
Une poutre est soumise la flexion lorsque les forces qui lui sont appliques tendent faire varier sa courbure (Fig. 2.2).
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 24 -
Fig. 2.2- Courbure dune poutre.
On entend par flexion simple un mode de sollicitation tel que dans les sections droites de la poutre il existe deux composantes des efforts intrieurs: le moment flchissant
MfZ (ou MfY) et leffort tranchant TY (ou TZ).
La flexion est aussi dite simple, lorsque la poutre possde un plan de symtrie et que les
forces flchissantes agissent dans ce plan, perpendiculairement au grand axe de la poutre
(Fig. 2.3).
Nous nous limiterons dans ce cours l'tude de la flexion des poutres droites isostatiques,
c'est--dire celles pour lesquelles les quations dquilibre suffisent la dtermination des actions de liaison. Nous nous limiterons galement aux poutres dont le plan de symtrie est
vertical (Gxy).
Fig. 2.3- poutre en flexion simple.
Hypothses
a) Les dformations sont lastiques et suffisamment petites pour ne pas modifier l'intensit
des forces ni leurs distances respectives.
b) Toute fibre contenue dans un plan de symtrie demeure dans ce plan pendant la
dformation.
c) Hypothse de Navier-Bernoulli(1705): les sections droites de la poutre demeurent planes
et perpendiculaires l'axe de celle-ci aprs dformation.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 25 -
2.3. Efforts tranchants, moments flchissants
Soit la poutre ci-dessous soumise la flexion simple. Imaginons une coupure en un point C
qui divise la poutre en deux parties notes gauche et droite. Chacune de ces deux parties
est en quilibre sous l'action des efforts extrieurs qu'elle reoit et sous l'action des effets
de l'autre partie (efforts intrieurs).
Fig. 2.4- Exemple illustratif dune poutre sollicite en flexion simple.
Chacune des deux partie agit sur lautre de sorte que:
Tous les mouvements horizontaux, verticaux et de rotation dune partie par rapport lautre sont nuls.
Chaque partie est en quilibre
Pour quil y ait concordance en signe entre les deux parties, on utilise la convention de signe montre sur la figure (2.5).
L'effort tranchant T(x) dans une section d'abscisse x, sparant la poutre oriente en une
partie gauche et une partie droite, est la rsultante des forces extrieures s'exerant sur la
partie gauche.
Le moment flchissant M(x) dans une section d'abscisse x, sparant la poutre oriente en
une partie gauche et une partie droite, est la somme des moments extrieurs (dus aux
couples concentrs et aux efforts d'action et de raction) s'exerant sur la partie gauche.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 26 -
(a)
Fx = 0 N = 0
Fy = 0 TY = Pb/L
M/C = 0 MZ = (Pb/L ).x
Fx = 0 N = 0
Fy = 0 TY = P - Pa/L
TY = Pb/L
M/C = 0 MZ = (Pa/L ).(L-x)
- p(L-x-b)
MZ = (Pb/L ).x
(b)
Fig. 2.5 - Conventions de signe.
2.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments flchissants
Le diagramme des efforts tranchants est la courbe reprsentative de la fonction T(x) et le
diagramme des moments flchissants est la courbe reprsentative de la fonction M(x), o x
est labscisse de la poutre de lune de ses extrmits.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 27 -
Exemple 2.1
Exprimer et tracer la variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre schmatise par la figure ci-dessous.
Fig. E2.1-a
Solution 2.1
Supposons que la poutre soit coupe au point C (1re
partie) puis au pont (D) (2me
partie).
1re
partie : 0 x a
Fig. E2.1-b
Fx = 0 N = 0
Fy = 0 TY = Pb/L
M/C = 0 MZ = (Pb/L ).x
MZ(x=0) = 0
MZ(x=a) = Pab/L
2me partie : a x L
Fig. E2.1-c
Fx = 0 N = 0
Fy = 0 TY = - Pa/L
M/C = 0 MZ = (Pa/L ).(L-x)
MZ(x=a) = Pab/L
MZ(x=L) = 0
Ayant obtenu les expressions des efforts tranchants et moments flchissants pour chacune
des deux parties, traons leurs variations le long de la poutre comme montres par la
figure ci-dessous.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 28 -
Fig. E2.1-d
2.5. Relation entre moment flchissant et effort tranchant
Considrons un lment de poutre pris entre deux sections () et (') infiniment voisines, distantes de dx (Fig. 2.6).
Fig.2.6 - Elment de poutre isol non charg.
L'influence de la partie gauche sur l'lment est reprsente pat T et M.
L'influence de la partie droite sur l'lment est reprsente par T et M.
Si aucun effort ne s'exerce sur la poutre entre les sections () et ('), les efforts tranchants de ces deux sections sont gaux (T = T). Par contre les moments flchissants M et M (M=M+dM) diffrent. L'quilibre de l'lment s'crit:
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 29 -
M + T dx - M - dM = 0
Soit:
Tdx
dM (2.1)
Ainsi, sur toute portion de poutre comprise entre des charges, l'effort tranchant est la
drive par rapport labscisse x du moment flchissant.
2.6. Relation entre effort tranchant et chargement rparti
Considrons le cas o une charge rpartie, d'intensit p, s'exerce entre les sections () et (') (Fig. 2.7). La charge totale applique sur l'lment est p dx.
Fig.2.7 - Elment de poutre isol charg par une force uniformment rpartie.
l'quilibre des forces sur l'lment mne :
T - p dx - T - dT = 0
Ce qui veut dire que:
pdx
dT (2.2)
L'quilibre des moments donne:
M + T dx - p dx dx/2 - M - dM = 0
En ngligeant le terme du second ordre (
2
dxp
2
), il reste dx
dMT . Ce qui veut dire que la
relation entre leffort tranchant et le moment flchissant reste valable au premier ordre.
Exemple 2.2
Pour la poutre console schmatise par la figure ci-dessous, exprimer et tracer la
variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 30 -
Fig. E2.2-a
Solution 2.2
On a, pour 0 x L :
x.pxT
2
x.pxM
2
Ces expressions montrent la variation de leffort tranchant et du moment flchissant en fonction de labscisse x. Leurs tracs sont montrs sur la figure E2.2-b.
Fig. E2.2-b
Remarque
Lorsqu'une charge concentre s'exerce entre () et (') (Fig. 2.8), lquilibre s'crit:
T' = T F
L
T
M
pL2/2
pL
p
p
O L
y
L x
RO
p
MO
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 31 -
Fig.2.8 - Elment de poutre isol charg par une force concentre.
L'effort tranchant varie d'une quantit F lorsqu'on dpasse le point d'application de la
charge. En ce point, la pente du moment flchissant (dM/dx) varie brusquement (point
anguleux).
2.7. Dforme d'une poutre soumise la flexion simple (flche)
Sous l'effet des sollicitations auxquelles elle est soumise, une poutre se dforme. On
dsigne par flche l'abscisse x, le dplacement du centre de gravit de la section
correspondant cette abscisse. Elle est compte positivement si le dplacement s'effectue
vers le bas. Le nouveau lieu des centres de gravit de toutes les sections de la poutre prend
le nom de dforme (Fig. 2.9).
Fig.2.9 - Poutre dforme.
On admet la relation suivante qui permet le calcul de la dforme
y xM x
EI( )
( ) (2.3)
y x( ) est la drive seconde de la flche par rapport x
M(x), le moment flchissant la section d'abscisse x.
E , le module d'lasticit longitudinale (module d'Young).
I, le moment d'inertie de la section par rapport l'axe passant par le centre de gravit et perpendiculaire au plan moyen de la poutre. La figure (2.10) montre des expressions du
moment dinertie central pour des sections usuelles.
X
Y
L
y(x)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 32 -
Fig.2.10 - Exemples de sections usuelles.
Pour avoir la flche y (ou v), il faut donc intgrer cette quation deux fois, do lobtention dune quation fonction de deux constantes que lon obtient par les conditions aux limites. Celles-ci scrivent, gnralement:
- Pour un appui : y = 0
- Pour un encastrement: y = 0 et y = 0 (formules de Bresse)
2.8. Calcul des contraintes
2.8.1. Cas de la flexion pure
On dit quune poutre est sollicite en flexion pure si toutes les composantes des efforts
intrieurs sont nulles lexception du moment flchissant (MfZ of Mfy 0) (Fig. 2.11). Autrement dit le moment flchissant est constant,
T=dM/dx do T = 0
Exemples de poutres en flexion pure
Les figures (2.12-a) et (2.12-b) schmatisent une poutre et un tronon de poutre,
respectivement, soumis la flexion pure.
z
y
b b
h
D b
h
h1
b1
h1
Iz = 2[bh13/12 +((h+h1)/2)(bh1)
+ bh3/12
bh3
12 Iz=
R4
4 Iz=
Section
rectangulaire
Section
circulaire Section compose
(en I)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 33 -
Fig. 2.11 Illustration de la flexion pure: (a) poutre en flexion pure, (b) tronon de poutre en flexion pure.
Pour un point P quelconque, selon lhypothse de Bernouilli, on peut crire:
yI
My
Z
Zx (2.4)
Avec
dSyIS
2
Z (2.5)
yP est la distance laxe et IZ le moment dinertie par rapport laxe de flexion
Fig.2.12- Contrainte dans une fibre dforme.
Dimensionnement
Pour dimensionner la poutre on peut utiliser deux types de critres :
- un critre en contrainte normale (condition de rsistance)
- un critre sur la flche maximale (condition de rigidit)
Y
X Z
P dS
x
y
L
mZ A B A
a a
P P
B D C
mZ
Pa Pa (a) (b)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 34 -
Le critre sur la flche maximale, traduit le fait que la flche maximale v(P) en un point P
doit rester infrieure une valeur donne dpendante des conditions dutilisation:
Max(v(P)) [v] (2.6)
Pour les poutres ordinaires, la valeur de la flche admissible est de lordre de:
[v] = [f] = L/100 L/1000
o L est la longueur de la poutre. On pourrait aussi imaginer un critre de rotation
maximale de la section droite.
1- Pour les poutres rigides, c d v L/100, la grandeur u est trs petite devant v (Fig. 2.13), do on nglige son influence sur la dformation de la poutre et on ne tient
compte que des deux composantes v et z.
2- Puisque pour les poutres rigides z est petite ( z 1 ), on admet que:
z tgz
Dautre part, on sait que, mathmatiquement, tgz = dv/dx, do:
z = dv / dx (2.7)
Ainsi, la dformation de la poutre flchie est caractrise par les composantes v et Z tel que:
Maxz []
(2.8)
Dimensionnement la condition de rsistance
Le dimensionnement dune poutre flchie la condition de rsistance passe par les tapes suivantes:
1- Trac du diagramme de Mf (MZ ou MY) le long de la poutre,
2- Dtermination de la section dangereuse partir du digramme de Mf,
3- Calcul de la contrainte maximale max, c'est--dire la contrainte au niveau du
point dangereux le long de la section transversale de la poutre,
4- Satisfaction de la condition de rsistance qui scrit selon la mthode des
contraintes admissibles comme suit:
max [] (2.9)
max est obtenue en analysant la variation de x dans une section dangereuse de la poutre. Dans ce cas MZ et IZ sont constants et x dpend linairement de la coordonne y (Fig. 2.14).
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 35 -
Fig.2.13- Dformations dans une poutre flchie.
Fig.2.14- Distribution des contraintes dans une section dune poutre en flexion pure.
x =0 pour les points correspondants laxe z (laxe neutre)
Les valeurs maximales de x correspondent aux points les plus loigns de laxe neutre (les points 1 et 2)
De lquation x (y) = (MZ/ IZ).y (quation de Navier), on obtient:
MZ
y y
z x
2
1
2
1
y2
y1
x+
x-
x
x
y
u
v Z P
k
k
x
x
y
v Z P
k
k
a)
b)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 36 -
xmax(1)
= MZmax
/ WZ(1)
, WZ(1)
= IZ / y1 = WZ(t)
(2.10-a)
xmax(2)
= MZmax
/ WZ(2)
, WZ(2)
= IZ / y2 = WZ(c)
(2.10-b)
O WZ(t)
et WZ(c)
sont les modules de flexion ou de rsistance, calculs pour le point le plus
tendu (point 1) et le point le plus comprim (point 2), respectivement.
Do, les conditions de rsistance:
xmax(+)
= MZmax
/ WZ(t)
[]+ (2.11-a)
xmax(-)
= MZmax
/ WZ(c)
[]- (2.11-b)
Pour la majorit des poutres utilises en construction:
WZ(t)
= WZ(c)
et
xmax(+)
= xmax(-)
alors les conditions de rsistance ci-dessus peuvent tre exprimes sous la forme:
xmax = MZmax
/ WZ [] (2.12)
Remarques
a) Si WZ(t)= WZ
(c)mais []+ []- , on peut utiliser la dernire condition de rsistance en prenant pour [] la valeur minimale (en module) entre []+ et []-.
b) Si []+= []-mais WZ(t) WZ
(c), on peut utiliser la dernire condition de rsistance en prenant pour WZ la valeur minimale (en module) entre WZ
(t) et WZ
(t)-.
Notons quil existe dautres mthodes de calcul des poutres la rsistance telle que la mthode des tats limites.
2.8.2. Cas de la flexion simple
Pour le cas de la flexion simple, en plus du moment flchissant qui est variable dans ce cas
il existe la composante de leffort tranchant T, c'est--dire en plus de la contrainte normale
on a une contrainte tangentielle .
La contrainte normale sexprime par lquation prcdente (2.4) de Navier (cas de la
flexion pure). La contraint tangentielle xy est donne par lquation de Jouravsky:
yb.I
yS.T
z
z1y
xy (2.13)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 37 -
Avec
1Sz1 ydSyS
est le moment statique de la surface situe au dessus de la coordonne y et par rapport
laxe z (laxe 3 sur la figure 2.15).
La quantit b(y) est la largeur de la fibre tudie correspondant la coordonne y.
Fig.2.15- Tronon de poutre non charg longitudinal (a), transversal (b).
Remarques
- Dans le cas de la figure ci-dessus (S1z(y) positif), le signe de xy dpend uniquement du signe de Ty.
- xy varie le long de la hauteur de la section en fonction de S1z(y) et b(y). Pour les points les plus loigns de laxe neutre xy = 0.
Pour trouver la valeur maximale de xy il faut (dans le cas gnral) analyser le digramme respectif de xy. Notons que pour la majorit des poutres utilises en construction (section symtrique par rapport laxe z), xy
max a lieu au niveau de la fibre neutre. Cependant, il y a
des exemples o xy est maximale pour une des autres fibres (Fig. 2.16).
Pour les sections ordinaires, il est commode de dterminer xymax
laide de lexpression:
S
TK
ymax
xy (2.14)
O S est laire de la section et K un coefficient dpendant de la forme de la section (Tableau 2.1).
y
x y
z
A1 y
b(y)
(a) (b)
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 38 -
Fig.2.16- Exemples de distribution des contraintes tangentielles dans une section de
poutre en flexion simple.
Tableau 2.1- Exemples de valeurs du coefficient de forme K.
Forme de la section Rectangulaire Ronde Triangulaire
Coefficient K 3/2 4/3 3/2
Dimensionnement
Pour dimensionner la poutre on utilise un critre en contrainte ou en flche maximale
comme dans le cas de la flexion pure.
Dimensionnement la condition de rsistance
Le calcul la rsistance se fait comme dans le cas de la flexion simple (dtermination des
sections dangereuses et des points dangereux, satisfaction des conditions de rsistances).
Pour la slection des sections dangereuses, on distingue, gnralement, trois cas:
Si MZ et TY ont des valeurs maximales dans la mme section le long de la poutre, cette section est considre dangereuse et on y effectue le calcul la rsistance.
Si MZ et TY ont des valeurs maximales dans des sections diffrentes le long de la poutre, on y effectue le calcul la rsistance dans chacune de celles-ci.
Parfois, les sections sont dangereuses sans que les efforts y aient des valeurs maximales. Donc, on doit y effectuer un calcul la rsistance.
z
y
xymax
y
z
xymax
y
z
xymax
y
z
xymax
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 39 -
Pour la satisfaction des conditions de rsistances, on doit considrer les cas suivants:
1- Composer une condition de rsistance pour le point o x est maximale, dans une section o MZ est maximal. En ce point xy est gnralement nul. La condition de rsistance pour ce point scrit:
xmax
[]
2- Composer une condition de rsistance pour le point o xy est maximale. Si la section est symtrique par rapport laxe z, xy
max correspond habituellement laxe
neutre o x = 0 (Fig. 2.17 ). La condition de rsistance pour ce point (dans une section o Ty est maximale) scrit:
xy max
[]
3- Si xy est maximale dans le point qui ne correspond pas laxe neutre et o x 0 (Fig. 2.17), une satisfaction de la condition de rsistance pour ce point doit se faire
dans le cadre des thories de rsistance (--d selon un critre de rsistance). On
utilise habituellement, en flexion plane, le critre de la contrainte tangentielle
maximal (critre de Coulomb) ou le critre de lnergie potentielle de dformation qui ont, respectivement, les deux expressions suivantes:
2
xy
2
xEq 4 (2.15-a)
2
xy
2
xEq 3 (2.15-b)
Et la condition de rsistance est:
Eq [] (2.16)
Remarques
Pour la plus part des cas, on peut montrer que xymax
/xmax
est du mme ordre que h/L.
Donc, la valeur de xymax
peut tre proche de la valeur de xmax
pour les poutres o h est
comparable L (pour les consoles courtes par exemple). Dans ce cas la condition xy max
[] peut tre dterminante en calcul la rsistance.
Cependant, habituellement on utilise en construction des poutres pour les quelles h L
et par consquent, xymax
xmax
. Dans ce cas la condition xy max
[] est satisfaite si la
condition xmax
[] est satisfaite. Cest pourquoi, ordinairement le calcul la rsistance des poutres flchies seffectue selon la condition x
max [] pour la section o MZ est
maximal. La condition xy max
[] compose pour le point o xy est maximale (dans la section o Ty est maximal) sert la vrification.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 40 -
Fig.2.17 Distribution des contraintes dans une section de poutre en flexion simple.
Exemple 2.3
Calculer les contraintes normale et tangentielle maximales pour une poutre ayant une
section transversale rectangulaire.
Solution 2.3
On a:
min
Z
z
max
z
zmax
x
min
Z
z
max
z
zmax
x
z
zx
W
M
y
I
M
W
M
y
I
M
yI
M
2
3K;
S
TK
S
T
2
3y
2
h
2
1
I
T yymaxxy
2
2
z
y
xy
y y
MZ
z x
2
1
2
1
h/2
x+
x-
3
xymax
Ty h/2
h L
MZ
y y
z x
2
1
2
1
y2
y1
x+
x-
3
xymax
Ty
h L
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 41 -
Sur la figure (E2.3) on trace la distribution des contraintes normale et tangentielle le long
de la section transversale de la poutre.
Fig. E2.3
Exemple 2.4
Pour une poutre simplement appuye, de longueur L et supportant une charge
uniformment rpartie, montrer que le rapport max
x
max
xy
est comparable
L
h.la section
transversale de la poutre est suppose rectangulaire.
Solution 2.4
La figure (E2.4) montre la variation de leffort tranchant et le moment flchissant le long de la poutre.
La contrainte normale maximale correspond la section o le moment flchissant est
maximale (x = L/2, 8
qLM
2max
Z ) et la contrainte tangentielle maximale correspond la
section o leffort tranchant est maximal (x = 0 ou x = L, 2
qLT maxY ).
8
qLM
2max
Z , 2
qLT maxY , S = bh ,
6
bhW
2
Z
2
2
Z
max
zmax
xbh4
qL3
W
M
bh4
qL3
bh2
qL
2
3
S
TK
max
ymax
xy
L
hmax
x
max
xy
y
z
h/2
xmax+
xmax-
xymax
h/2
b
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 42 -
Fig. E2.4
Exemple 2.5
Soit une poutre en acier de section transversale ronde, comme le montre la figure ci-
dessous.
1- Calculer les ractions aux appuis.
2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs tout au long de la poutre.
3- Pour la section o le moment flchissant est maximal, tracer la distribution des
contraintes normale et tangentielle tout au long de la section transversale de la poutre.
4- Dterminer le diamtre D de la section si []=1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2.
Fig. E2.5-a
A
L
q
B
qL/2
qL/2
qL2/8
x = L/2
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 43 -
Solution 2.5
1- Ractions aux appuis
0R0F Axx kN44RR0F BAyy
kN24R0/M BA
kN20R0/M AyB
Vrification
442420kN44RR BAy
2- Diagrammes des efforts intrieurs
Section 1-1 0 x 3m
0N0F xx
kN123xT
00xTo'dx4T0F
y
y
yy
m.kN423xM
m.kN600xMo'dx260M0/M
z
z2
zC
Fig. E2.5-b
Section 2-2 3 x 6m
0N0F xx
x420T0F yy
kN46xT
kN83xT
y
y
Fig. E2.5-c
2
zD x2)3x(2060M0/M
m.kN486xM
m.kN423xM
z
z
m5x0Ty
m.kN50m5xMM zmax
z
x
Nx Ty
Mz
20kN
D
x
Nx
Ty
Mz
C
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 44 -
Section 3-3 6 x 8m
0N0F xx
kN24T0F yy
08xM
m.kN486xMo'dx824M0/M
z
z
zE
Fig. E2.5-d
Les diagrammes du moment flchissant et de leffort tranchant sont reprsents sur la figure E2.5-e.
3- Distribution des contraintes (Fig. E2.5-f)
0T;m.kN60M corYmax
Z
0yb.I
yS.T
y
64
D
10.60y
I
My
z
z1y
xy
4
4
Z
Zx
4- Dimensionnement
Le dimensionnement la condition de rsistance se fait selon la condition:
max
cm3,18D1600D
10.55,61113
3
8-x Nx
Ty
Mz
24 kN
E
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 45 -
Fig. E2.5-e
Fig. E2.5-f
6111,55.103/D
3
6111,55.103/D
3
y
z
x O D
0
x (kg/cm2) xy (kg/cm
2)
q P MZ
A B
3m 3m 2m
TY (kN)
MZ (kN.m)
24
4
8
12
48
Mmax= 50
42
60
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 46 -
Exercices Exercice N1
Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire, comme le montre la figure
ci-dessous.
1- Calculer les ractions aux appuis.
2- Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissant tout au long de
la poutre.
3- Dterminer la section (ou les sections) dangereuse.
4-Tracer la distribution des contraintes normale et tangentielle tout au long de la section
transversale de la poutre, pour la section (ou les sections) dangereuse.
5- Dterminer la dimension b sachant que [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2, h = 15cm.
Exercice N2
Soit une poutre en bois de section transversale ronde. Dterminer une capacit de
chargement q(t/m). On donne []+=100kg/cm2, []- = 120 kg/cm2 []=20 kg/cm2, d = 20cm.
-
Chapitre 2: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion simple
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 47 -
Exercice N3
Soit une poutre en acier de section transversale triangulaire. Dterminer la dimension b de
la section transversale. On donne [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2, h = 12cm.
Exercice N4
Soit une poutre en acier profile en I (IPE). Dterminer les dimensions de la section droite.
On donne [] = 1600 kg/cm2, []=1100 kg/cm2.
Exercice N5
Soit une poutre en bois de section transversale triangulaire. Dterminer une capacit de
chargement q(t/m). On donne []+=100kg/cm2, []- = 120 kg/cm2, []=20 kg/cm2.
-
Chapitre 3
Dimensionnement des poutres droites isostatiques
Sollicites en flexion compose
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 49 -
3.1. Introduction
Une poutre est dite soumise la flexion compose, si elle est soumise simultanment la
flexion et la traction (ou compression). Un tel mode de sollicitation sappelle aussi une flexion et traction (ou compression).
3.2. Flexion droite compose
3.2.1. Dfinition
Une flexion droite compose (Fig. 3.1), est caractrise par une action commune de la
traction (ou compression) et de la flexion plane. Ce cas particulier de la flexion compose a
lieu, si les charges extrieures sont appliques dans lun des plans de coordonnes. Ici, dans la section droite de la poutre, il existe les efforts: NX, TY et MZ.
Fig. 3.1- Flexion droite compose.
3.2.2. Calcul des contraintes
Les efforts NX et MZ provoquent des contraintes normales (x) dans une section droite de la poutre; leffort TY provoque une contrainte tangentielle (xy).
yI
M
A
N
z
zx
MNx zx (3.1-a)
)y(b
)y(S.
I
TZ1
Gz
y
xy (3.1-b)
x
z
TY
MZ
y
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 50 -
On voit sur le schma que la superposition des deux effets peut donner trois solutions
diffrentes: soit x est positif partout (Fig. 3.2-c), soit il est positif partout mais sannule lextrmit suprieure (Fig. 3.2-b), soit il est positif et ngatif (Fig. 3.2-d).
Fig. 3.2- Distribution des contraintes normales dans le cas de la flexion droite compose.
3.2.3. Position de laxe neutre et noyau central
Dans chacun des trois cas sur les schmas prcdents, on dfinit une coordonne y0 qui est
la distance entre la force applique et la position o x est nulle. Il sagit donc de y0 tel que:
0yI
M
A
N0
z
zx (3.2-a)
Do
A
I.
M
Ny z
z
x
0 (3.2-b)
On peut dcrire cette double sollicitation Mz et Nx comme tant quivalente la mme
force Nx excentre en un point E dune distance e (Fig.3.3). A ce moment l, on a que:
e.NM xz (3.3)
et laxe neutre devient alors :
A.e
Iy Gz0 (3.4)
Fig. 3.3- Axe Neutre.
NX
MZ
x
NX
x
z
E
e
Nx Mz
NX
MZ
=
y0
x
y0 y0
(a) (b) (c) (d)
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 51 -
On dfinit le noyau central comme tant la zone de la section telle que, si E sy trouve, x ne change pas de signe sur toute la section (Fig. 3.2-b, Fig. 3.2-c).
3.3. Cas particulier: Traction (ou compression) droite excentre
Dans le cas de la traction (ou compression) droite excentre, la section droite de la poutre
est sollicite par les efforts NX et MZ. Ici les charges extrieures appartiennent lun des plans de coordonnes (Fig. 3.4).
Fig. 3.4- Traction (ou compression) droite excentre.
Pour viter quil ait flambement de la poutre, nous nous limiterons ltude des poutres (ou barres) courtes dont la longueur nexcde pas 8 fois la plus petite dimension transversale.
La contrainte se calcule par lquation (3.1-a) tandis que la contrainte tangentielle est nulle.
yI
M
A
N
z
zx
MNx zx (3.5-a)
0xy (3.5-b)
3.4. Flexion compose oblique
Une poutre est dite sollicite en flexion compose oblique (ou flexion compose gauche) si
elle est soumise une action commune de la traction (ou compression) et des flexions
planes par rapport aux axes y et z. Donc, dans une section droite de la poutre, il existe les
efforts NX, TY, MZ, TZ et MY (Fig. 3.5).
x
z
TY
MZ
y
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 52 -
La flexion compose oblique peut tre effectue par un systme de charges qui
appartiennent aux plans passant par laxe x; c'est--dire que les charges peuvent tre non perpendiculaires laxe x.
Fig. 3.5- Flexion compose oblique.
3.4.1. Calcul des contraintes
Dans ce cas, la contrainte normale est donne par lexpression:
zI
My
I
M
A
N
y
y
z
zx
MMNx yzx (3.6)
Tans disque la contrainte tangentielle peut tre exprime par lquation (3.7) comme montr par la figure Fig.3.6:
2
xz
2
xyx (3.7-a)
)y(b
)y(S.
I
Tz1
z
y
xy (3.7-b)
)z(b
)z(S.
I
T y1
y
zxz (3.7-c)
x
z
TY
MZ TZ
MY
y
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 53 -
Fig. 3.6- Distribution des contraintes tangentielle.
Il faut rappeler que le signe de x dpend des signes des efforts NX, MY et MZ et des coordonnes y et z. Les signes de xy et xz concident avec les signes des efforts TY et TZ.
3.4.2. Position de laxe neutre
Dans le cas gnral de la flexion compose, lquation de laxe neutre (x = 0) peut tre dtermine partir de lquation (3.6):
0zI
My
I
M
A
N0
y
y
0
z
zx (3.8)
O y0 et z0 sont les coordonnes de laxe neutre.
3.5. Cas particulier: Traction (ou compression) gauche excentre
Si les charges extrieures sont dans lespace et parallles laxe x, la sollicitation est dite traction (ou compression) gauche excentre (Fig. 3.8).
xz
xy
TY
TZ
x
z
y y
x
z
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 54 -
Fig. 3.7- Traction (ou compression) gauche excentre.
3.5.1. Calcul des contraintes
Dans ce cas, la contrainte normale est donne par lexpression (3.6) et les contraintes
tangentielles sont nulles (X = 0):
3.5.2. Position de laxe neutre
Dans ce cas il est commode de reprsenter la contrainte x (Eq. 3.6) sous une autre forme. Considrons le cas de la figure 3.8. Dans une section droite de la poutre, les efforts sont:
NX; MY = NX.eZ ; MZ = NX.eY
O eY et eZ sont les coordonnes du centre de chargement (point dapplication de leffort NX ou P).
En introduisant ces expressions des efforts dans lquation (3.6), nous obtenons:
zI
e.Ny
I
e.N
A
N
y
zx
z
yxx
x
Pour trouver la position de laxe neutre (x = 0), on dtermine ses coordonnes telles que:
0zI
ey
I
e
A
1N
y
z
z
y
xx
c--d
(3.9)
x
z
MY
MZ
y
NX
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 55 -
0i
ze
i
ye1
A
N2
z
z
2
z
yx
x
Avec iy = IY / A ; iz = IZ / A sont les rayons de giration. Do, les coordonnes de laxe neutre yN et zN (Fig. 3.10) sobtiennent:
y
2
zN
e
iy0z
(3.10-a)
z
2
y
Ne
iz0y
(3.10-b)
Remarque
Dans le cas de la flexion compose, laxe neutre ne passe pas par le centre de gravit de la section.
3.6. Calcul la rsistance
Le calcul la rsistance se fait selon les tapes considres en flexion simple.
Les contraintes normales sont maximales pour les points les plus loigns de laxe neutre (Fig. 3.10-a).
Ordinairement, pour ces points, les contraintes tangentielles sont assez petites et mme nulles (traction ou compression droite ou gauche, ou pour les sections rectangulaires et
qui peuvent tre inscrites dans un rectangle (Fig. 3.10-a)).
Pour cette raison, on nglige habituellement linfluence de X sur la rsistance pour les points les plus loigns de laxe neutre et les conditions de rsistance scrivent:
xmax(+)
[]+ (3.11-a)
xmax(-)
[]- (3.11-b)
On dtermine xmax(+)
et xmax(-)
laide de lquation:
e
y
y
e
z
zxmax
x zI
My
I
M
A
N
(3.12)
O ye et ze sont les coordonnes des points A et B (Fig. 3.11).
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 56 -
Dans le cas de la flexion compose (droite ou oblique), les contraintes tangentielles
peuvent influencer la rsistance de la poutre. Ordinairement, X est maximale au centre de gravit de la section o x 0. Donc le calcul la rsistance se fait selon une des thories de la rsistance mentionnes dans le chapitre prcdent. Cependant,
lexprience montre que la condition (3.11) est suffisante.
Fig. 3.8- Traction gauche excentre.
Fig. 3.9- Schmatisation de laxe neutre dans le cas dune traction gauche excentre.
z
C
y
ZP
YP
Zn
Yn A.N
(b)
z
x
y
P
ZP
YP
(a)
MZ 0
MY 0 x
z
y
Nx
x
z
y
Nx
G
E
ey ez
(a) (b)
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 57 -
Fig. 3.10- Schmatisation de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.
A.N A.N A.N
(b)
A
B
A.N
y
z
(a)
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 58 -
Fig. 3.11- Coordonnes des points les plus loigns de laxe neutre dans le cas gnral de la flexion compose.
Exemple 1.3
Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire (4cm x h) encastre son
extrmit gauche et porte une charge de 8 tonnes son extrmit droite, comme le montre
la figure ci-dessous.
1- Donner le type de sollicitation.
2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs tout au long de la poutre.
3-Tracer la distribution des contraintes le long d'une section transversale de la poutre.
4- Dterminer la dimension h de la poutre. On donne [] = 1600 kg/cm2.
Fig. E3.1-a
2cm 2cm
x
y
z h /2
h/2
P=8 t
L
A
B
A.N
y
z
e1
e2
Ye+
Ze+
Ze-
Ye-
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 59 -
Solution 3.1 1- Compression droite excentre.
2- Digrammes de leffort tranchant et du moment flchissant.
Le schma correspondant la poutre est reprsent sur la figure E3.1-b.
Fig. E3.1-b
Avant de tracer les diagrammes des efforts intrieurs, dterminons leurs expressions. Soit
la section montre par la figure E3.1-c:
x [0 , L]
Fx = 0 Nx = -8t
Fy = 0 TY = 0
M/C = 0 MZ = mZ = 4h
Fig. E3.1-c
Les expressions ainsi obtenues sont traces sur la figure E3.1-d.
3- Distribution des contraintes.
Lx
0
MN
xy
zxxxx
yh
12000
h
2000y
12
bh
10.h4
h4
800023
3
x
Ces quations sont traces sur la figure E3.1-e.
mZ
Ty
Nx
Mz
L-x C
8t
L mZ = 4h (t.cm)
8t h/2
2cm 2cm
h/2 z
y
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 60 -
Fig. E3.1-d
4- Dimensionnement
On dimensionne la conditions de rsistance:
max
1600h
6000
h
2000
cm5h
Fig. E3.1-e
h/2
h/2
2cm
2
2cm
2 Y
Z
G
2000/h 6000/h 0
x(Nx) x(Mz) xy
L mZ = 4h (t.cm)
8t
NX [t]
8 -
TY [t] 0
MZ [t.cm]
4h
-
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 61 -
Exemple 1.2
Soit une poutre en bois de section transversale rectangulaire (6 x 10cm) encastre son
extrmit gauche et sollicite comme le montre la figure ci-dessous. On donne Px = 1,2P,
Py = 0,86P, Pz = 0,5P (P en Kg), L = 200 cm, []+= 100 kg/cm
2 et []-= 120 kg/cm2.
1- Donner le mode de sollicitation.
2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs tout au long de la poutre.
3-Tracer la distribution des contraintes la section dangereuse.
4- Tracer laxe neutre.
5- Dterminer une capacit de charge P partir des conditions de rsistance.
Fig. E3.2-a
Solution 3.2
La poutre est schmatise sur la figure (E3.2-b).
Fig. E3.2-b
x
z
y
Py Px
Pz L
Px x
y
z
h
Py
L
b
Pz
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 62 -
1- Flexion compose dvie
2- Diagrammes des efforts intrieurs
Pour 0 x L (Fig. E3.2-c)
Fig. E3.2-c
Nx = Px = 1,2 P (kg)
Plan xoy
Ty = Py =0,86P (kg)
Mz = -Py(x) = -0,86P(x) (kg.cm)
Plan xoz
Tz = -Pz =-0,5P (kg)
My = Pz(x) = 0,5P(x) (kg.cm)
Les digrammes des efforts intrieurs sont tracs sur la figure (E3.2-d).
3- Distribution des contraintes la section dangereuse
La section dangereuse est lencastrement avec:
Nx = 1,2 P (kg), Ty = 0,86P (kg), Mz = -0,86P(x) (kg.cm), Tz = -0,5P (kg),
My = 0,5P(x) (kg.cm)
Nous avons un cas de flexion compose oblique, le calcl de la contrainte normale se fait
selon lquation (3.6):
zI
My
I
M
A
N
y
y
z
zx
x
A = bh = 60 cm2
433
z cm50012
10.6
12
bhI
433
y cm18012
10.6
12
hbI
z180
100y
500
172
60
P2,1x
Pz556,0Py344,0P02,0x
Ty
Nx
Mz
L-x
C Py
Px Pz Py
My
Tz
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 63 -
Fig. E3.2-d
Puisque la section droite de la poutre est rectangulaire, nous calculons les contraintes aux
quatres points A, B, C, D, nous obtenons les valeurs:
P07,03P556,05P344,0P02,0Ax
P41,33P556,05P344,0P02,0Bx
P03,03P556,05P344,0P02,0Cx
P37,33P556,05P344,0P02,0Dx
Ces valeurs sont traces la section dangereuse comme montr sur la figure (E3.2-e).
z
Py Px
y
x
L Pz
Nx(kg)
Ty(kg)
Mz(kg.cm)
Tz(kg)
My(kg.cm)
1,20P
0,86P
172P
0,50P
100P
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 64 -
Fig. E3.2-c
4- Trac de laxe neutre
Pour tracer laxe neutre on rsout lquation:
0Pz556,0Py344,0P02,0 00x
cm04,0z0y
cm058,0yoz
n0
n0
yn et zn sont les coordonnes de laxe neutre que lon reporte sur la figure (E3.2-f).
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 65 -
Fig. E3.2-f
On constate que la contrainte normale atteint ses extremums aux points les plus loigns
de laxe neutre. Le point B tant le plus tendu, la contrainte est max+. le point D tant le
plus comprim, la contrainte est max-.
Les contraintes tangentielles se calculent par les quation (3.7) et leurs reprsentations
sont similaires celles de la figure (3.6).
5- Capacit de charge P partir des conditions de rsistance.
A partir des conditions de rsistance:
xmax(+)
[]+ 3,41P 100 P 29,33kg
xmax(-)
[]- 3,37P 120 P 35,61kg
Do P 29,33kg
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 66 -
Exercices
Exercice N1
Soit une poutre en acier de section transversale ronde, comme le montre la figure ci-
dessous.
1- Donner le type de sollicitation.
2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs tout au long de la poutre.
3- Dterminer la section dangereuse.
4-Tracer la distribution des contraintes normales et tangentielle tout au long de la section
transversale de la poutre, pour la section dangereuse.
5- Vrifier si les conditions de rsistance sont satisfaites au niveau de la section dangereuse.
On donne []=1600 kg/cm2 et []=1100 kg/cm2.
Exercice N2
Pour la poutre schmatise par la figure ci-dessous:
1- Dterminer le type de sollicitation.
2- Tracer les diagrammes des efforts intrieurs.
3-Construire le diagramme des contraintes normales le long dune section droite de la poutre.
x
y
z
Px=48kg
my = 48kg.cm
L
mz = 96kg.cm
y
x
z
P =15t
q=3t/m
0,6m
0,2m
d=6cm
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 67 -
Exercice N3
Vrifier la rsistance de la poutre schmatise par la figure ci-dessous. Le matriau utilis
est du bton non arm, []+ = 3 kg/cm2, []- = 20 kg/cm2.
Exercice N4
Tracer laxe neutre pour la section droite, montre par la figure ci-dessous, dune poutre sollicite en compression gauche excentre. On donne P = 48 kg.
3 cm
3 cm
2 cm 2 cm
1cm
2cm
P
Y
Z
2 2
3 cm
2 cm
1 cm
1
X
Y
Z
L
-
Chapitre 3: Dimensionnement des poutres droites isostatiques sollicites en flexion compose
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 68 -
Exercice N5
Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire appuye simplement ses
extrmits et charge comme montr sur la figure ci-dessous. Dterminer une capacit de
charge P. on donne [] = 1600 kg/cm2.
-
Chapitre 4
Etats de Contraintes
-
Chapitre 4: Etats de contraintes
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance des Matriaux II - 70 -
4.1. Etat de contrainte en un point
Un systme de forces extrieures appliqu un corps cre lintrieur de ce corps des efforts intrieurs. Celles-ci naissent des effets des particules lmentaires du corps entre
elles. Pour chaque force lmentaire existe une contrainte. Le vecteur contrainte peut tre
dcompos en un vecteur normal la facette sur laquelle il sexerce et en un vecteur tangent (Fig. 4.1).
Rappelons qune contrainte est un effort par unit de surface qui s'exerce dans le matriau.
Fig. 4.1- Etat de contrainte sur une facette.
On appelle contrainte normale,
et on appelle contrainte tangentielle (ou de cisaillement).
Dfinition
On appelle tat de contrainte en un point dun corps, lensemble des contraintes normales et tangentielles qui sexercent dans toutes les directions partir de ce point.
Pour pouvoir dterminer, en un point, la contrainte sur une facette quelconque il suffit
donc de connatre les contraintes, en ce point, sur 3 facettes. Pour faciliter les calculs
nous considrerons les trois facettes ayant pour normal