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Quindicesima Lezione
Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti
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Riassunto della lezione precedente
I fasori Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori Polarizzazione delle onde piane onde piane in direzione arbitraria onde in buoni conduttori
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Onde piane in un mezzo con perdite Abbiamo parlato di “buon conduttore”, come quello in cui la
corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio
Un “buon dielettrico” è quello invece in cui avviene il contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc)
Moltissimi materiali non sono né l’uno né l’altro: come trattarli?
EEH j
Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo visto che per la legge di Ampère (fasori!!)
Possiamo mettere in evidenza j0
EH
00
j
j r Erj ˆ0
Definiamo una permettività COMPLESSA
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Onde piane in un mezzo con perdite Quindi operativamente: dovremo solo calcolare
l’impedenza d’onda ed il resto utilizzando tale permettività complessa
Notate però che ora anche il numero d’onda k è complesso [essendo k=1/2, ricordate?]
Cosa significa? Riprendiamo l’onda piana che si propaga lungo z, e con campo E in x
Se k è complesso significa solo che l’onda si propaga (parte reale) e si attenua al contempo (parte immaginaria),visto che la parte immaginaria di k contribuisce ad un esponenziale reale
jkzjkzx eEeEE
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Onde piane in un mezzo con perdite Cosa possiamo dire circa il vettore d’onda? Nel tempo
abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di propagazione; ma ora che è complesso?
L’onda piana in direzione generica abbiamo visto è
rkrkrk EEE ir eee jj00
Ovvero nel tempo (se E0 reale, altrimenti occorre un termine di fase) )cos()( 0 tet r
i rkEE rk
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Onde piane in un mezzo con perdite Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel
dominio dei fasori) è una quantità complessa Se c’è una vera e propria corrente di conduzione che
soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende dalla frequenza, che compare a denominatore
Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di dissipazione di potenza non imputabili direttamente a correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli d’acqua in un forno a microonde?)
Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è trascurabile, la permettività ha comunque una parte immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte reale si definisce tan
r
i
tan
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Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Si definisce TEM un’onda in cui campo elettrico e campo
magnetico non hanno componenti nella direzione di propagazione
Un’onda piana è evidentemente anche un’onda TEM La legge di Faraday in forma integrale
Sl
dst
d nBlE
Sappiamo che una tensione è univocamente definita a prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è nullo
Questo avviene se il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico) o se il flusso è nullo
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Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma immaginiamo un’onda TEM che si propaga lungo z,
dove E è tutto lungo x e H lungo y
Il flusso di B attraverso un piano z=costante è nullo (B,D,E,H non hanno componenti in z!)
Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante, anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè v=v(z)
x
z
xx zEz uE
)()(
yy zHz uH
)()(
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Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo
TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea bifilare
z
z0 z
)()( 0zvzvdl
lE
t
Circuitazione lungo il percorso tratteggiato: Flusso di B concatenato con il rettangolo:
Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero
tz
v
Flusso di B PER UNITA’ DI
LUNGHEZZA concatenato con il rettangolo:
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Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Ma ricordiamo la definizione di induttanza
Allora l’equazione per v diventa
Possiamo seguire una strategia analoga, usando la condizione di continuità della carica in un tubo concentrico ad uno dei fili
tz
v
induttanza PER UNITA’ DI LUNGHEZZA
Li quindi
iL
t
iL
z
v
z
z0 z
t
qds
S
nJ
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Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e
pari alle correnti quindi
D’altra parte il teorema di Gauss:
Quindi
t
qzizids
S
)()( 0nJ
qD Flusso di D
tzizi D
)()( 0
Di nuovo: Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero
tz
i D
Flusso di D per unità di lunghezza
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Equazioni del telegrafista Ma avevamo definito la capacità come
quindi
tz
i D
Cvq D
vCD Allora l’equazione per i diventa
t
vC
z
i
Riassumendo: Le due equazioni che descrivono l’andamento di i e v lungo una linea sono quindi
t
vC
z
it
iL
z
v Equazioni del telegrafista
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Equazioni del telegrafista: fasori In termini di fasori
Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda
vCLz
v 22
2
Ancora una volta un’equazione d’onda, dove è il numero d’onda
vCjz
i
iLjz
v
v2
Analogamente iz
i 22
2
Le soluzioni le conosciamo...
zjzj evevv
Cioè onde progressive e regressive che si propagano con velocità
CL
1
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Equazioni del telegrafista
Impedenza caratteristica
Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un legame con i
ztvztvvetv tj coscosRe)(
iLjz
v iLjvj
iL
v i
C
L iZ0
Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità di lunghezza, ovvero e Z0 sappiamo tutto di una linea
Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito (considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in generale ci sono termini di fase da aggiungere)
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Equazioni del telegrafista Riassumendo: abbiamo “onde” di tensione e di corrente, in
una direzione e nell’altra, che si propagano a velocità ; onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto costante, l’impedenza caratteristica
Il concetto di “linea” è molto generale: le connessioni ideali dell’elettrotecnica sono un’approssimazione, valida solo per lunghezze molto inferiori alla lunghezza d’onda di v (ed i)
Cosa succede quando la linea finisce su un resistore?
RL
Zo,
z=0 z
v+
v-
Condizioni al contorno su z=0
vL
iL
Lvvv
Liii
L
LL R
vi
Z
v
Z
v
00
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Coefficiente di riflessione Definiamo coefficiente di riflessione
Dal sistema precedente troviamo
A meno che RL non sia negativo (circuito che guadagna o attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è sempre minore di uno!
v
v
0
0
ZR
ZR
L
L
Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono assorbite) e questo avviene se
00 ZRL Condizione di adattamento
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Coefficiente di riflessione D’altro canto vediamo che se la linea finisce su un corto
circuito ideale (RL=0) avremo che il coefficiente di riflessione è -1, cioè l’onda torna indietro invertita in fase (v-=-v+)
Nel tempo
Che è un’onda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed in altre è sempre max
Vediamo un’animazione temporale (incluso il transitorio)
zsintsinvztztvtv 2coscos)(
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Coefficiente di riflessione
Nel caso di circuito aperto (RL=il coefficiente di riflessione è 1; di nuovo tutto torna indietro
In generale, tranne che in condizione di adattamento, comunque onde progressive e regressive interferiranno producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle due direzioni) e la corrente totale, ovvero l’impedenza misurata, varierà da punto a punto
Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e corrente (totale!) è RL sul carico, tale rapporto cambierà altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo
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Impedenza di ingresso di un tratto di linea Calcoliamoci l’impedenza vista all’ingresso di un tratto di linea
di lunghezza l chiuso su RL
RL
Zo,
z=0 z
itot
vtot
z=-l
Zin
)(
)(
lzi
lzvZ in
ljlj
ljlj
eZ
ve
Z
v
evev
00
ljlj
ljlj
ev
ve
ev
ve
Z
0 ljlj
ljlj
ee
eeZ
0
Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la definizione di coefficiente di riflessione
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Impedenza di ingresso di un tratto di linea Sostituiamo l’espressione per il coefficiente di riflessione e
l’identità di Eulero; semplifichiamo un po’
lsinjRlZ
lsinjZlRZZ
L
Lin
cos
cos
0
00
Di li’ riotteniamo subito che se impedenza di carico ed impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la stessa impedenza (l’impedenza caratteristica) in qualunque sezione
Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il seno 0, vediamo all’ingresso esattamente R. Questo capita se
nl
nl 2
2
nl
Cioè per tutti i multipli interi di mezza lunghezza d’onda
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Impedenza di ingresso di un tratto di linea Vediamo alcuni casi particolari:
Se chiudiamo su un corto ljZZ in tan0Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con argomento /2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è /4. Ridiventa un corto a cioè ovviamente a /2 (e così via)
Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) ljZZ in cot0
Cioè un comportamento esattamente duale
Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva (quindi induttiva) fino a /4 e poi diventa negativa (capacitiva), e via dicendo. Il contrario per il circuito aperto
Nel caso particolare di argomento /2 (/4) il coseno è nullo, e
Lin R
ZZ
20
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Il cavo coassiale Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di
coassiale
i
e
R
Rl
Cln
2
i
e
R
RlL ln
2
Per cui, la capacità per unità di lunghezza
i
e
R
RC
ln
2
Avevamo calcolato la l’induttanza di uno spezzone di coassiale
i
e
R
RL ln
2
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Il cavo coassiale
Quindi, la velocità /1/1 CLCioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una proprietà generale delle onde TEM
L’impedenza caratteristica
i
e
R
R
C
LZ ln
2
10