Matematiqki fakultet
Univerzitet u Beogradu
Master rad
REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG
OBJEKTA IZ EGOVIH RAVANSKIH
PROJEKCIJA
student: Milox Anti mentor: dr Sran Vukmirovi
30. oktobar 2012.
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Sadraj
1 Projektivna preslikavaaProjektivna preslikavaa ravniProjektivna preslikavaa prostora
2 Modeli kamereModeli kamereAnatomija matrice kamereKalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutnekonike.
3 Metod rekonstrukcijeEpipolarna geometrija i fundamentalna matricaOdreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice FVixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
4 TriangulacijaTriangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
5 Literatura
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 2 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa ravni
Projektivna preslikavaa ravni P2Klasifikacija:
Grupapreslikavanja Matrica Distorzija
kvadrata Invarijante
Projektivnapreslikavaa
8 stepeni slobode
h11 h12 h13h21 h22 h23h31 h32 h33
konkurentnost, koli-nearnost, dvorazmera,krive drugog reda (sve sujednako tretirane)
Afinapreslikavaa
6 stepeni slobode
a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1
paralelnost, razmera napravoj, beskonaqno da-leka prava, krive drugogreda (svaku ponaosob)
Sliqnosti
4 stepena slobode
se cos θ −s sin θ txse sin θ s cos θ ty
0 0 1
razmera, uglovi, cirku-larne taqke I = (1, i, 0)T
i J = (1,−i, 0)T
Izometrije
3 stepena slobode
e cos θ − sin θ txe sin θ cos θ ty
0 0 1
duina, povrxina
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 3 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa ravni
Projektivna preslikavaa ravni P2Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira beskonaqno daleku pravul∞ = (0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Taqke I = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) koje pripadaju proizvonom kruguu ravni zovemo cirkularnim taqkama.
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira tzv. cirkularne taqkeI = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 4 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa ravni
Projektivna preslikavaa ravni P2Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira beskonaqno daleku pravul∞ = (0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Taqke I = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) koje pripadaju proizvonom kruguu ravni zovemo cirkularnim taqkama.
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira tzv. cirkularne taqkeI = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 4 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa ravni
Projektivna preslikavaa ravni P2Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira beskonaqno daleku pravul∞ = (0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Taqke I = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) koje pripadaju proizvonom kruguu ravni zovemo cirkularnim taqkama.
Teorema
Projektivno preslikavae fiksira tzv. cirkularne taqkeI = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 4 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa prostora
Projektivna preslikavaa prostora P3Klasifikacija:
Grupapreslikavanja Matrica Distorzija
kockeInvarijante
Projektivnapreslikavaa
15 stepeni slobode
[A tvT v
] konkurentnost, kolinearnost, dvo-razmera, povrxi i krive drugogreda (sve su jednako tretirane),znak Gausove krivine povrxi
Afinapreslikavaa
12 stepeni slobode
[A t0T v
] paralelnost, razmera na pravoj,beskonaqno daleka ravan, povrxii krive drugog reda (svaku ponao-sob), odnosi zapremina
Sliqnosti
7 stepeni slobode
[sR t0T v
]razmera, uglovi, apsolutna konikaΩ∞ : X2
1 +X22 +X2
3 = 0, X4 = 0
Izometrije
6 stepeni slobode
[R t0T v
]duina, povrxina, zapremina
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 5 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa prostora
Projektivna preslikavaa prostora P3Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira beskonaqno dalekuravan π∞ = (0, 0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Apsolutna konika Ω∞ je kriva drugog reda na beskonaqnoj ravniqije taqke (X1, X2, X3, X4) zadovoavaju
X12 +X2
2 +X32 = 0, X4 = 0.
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira apsolutnu koniku Ω∞ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 6 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa prostora
Projektivna preslikavaa prostora P3Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira beskonaqno dalekuravan π∞ = (0, 0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Apsolutna konika Ω∞ je kriva drugog reda na beskonaqnoj ravniqije taqke (X1, X2, X3, X4) zadovoavaju
X12 +X2
2 +X32 = 0, X4 = 0.
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira apsolutnu koniku Ω∞ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 6 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Projektivna preslikavaa prostora
Projektivna preslikavaa prostora P3Svojstva:
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira beskonaqno dalekuravan π∞ = (0, 0, 0, 1)T AKKO je ono afino.
Definicija
Apsolutna konika Ω∞ je kriva drugog reda na beskonaqnoj ravniqije taqke (X1, X2, X3, X4) zadovoavaju
X12 +X2
2 +X32 = 0, X4 = 0.
Teorema
Projektivno preslikavae prostora fiksira apsolutnu koniku Ω∞ako i samo ako je ono sliqnost.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 6 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Kamera je data centrom (C) i ravni slike (π).
Projektovae: X 7→ x
Glavna osa je prava koja sadri centar kamere, ortogonalna na ravanslike. en presek sa ravni slike je glavna taqka (p) kamere.Glavna ravan kamere je ravan koja sadri centar kamere, paralelnaravni slike.
ina daljina (f) je udaenost ravni slike od centra kamere.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 7 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Preslikavae u Dekartovim koordinatama:
X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ, fY
Z)T = x
Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak uslici, ve ima koordinate p = (px, py)T formulapreslikavaa je:
X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ
+ px, fY
Z+ py)T = x
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 8 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Preslikavae u Dekartovim koordinatama:
X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ, fY
Z)T = x
Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak uslici, ve ima koordinate p = (px, py)T formulapreslikavaa je:
X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ
+ px, fY
Z+ py)T = x
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 8 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak u slici, ve imakoordinate p = (px, py)T formula preslikavaa je:
X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ
+ px, fY
Z+ py)T = x
Matriqni zapis u homogenim koordinatama:XYZ1
7→ fX + Zpx
fY + Zpy
Z
=
f px 0f py 0
1 0
XYZ1
tj.
x = K[I | 0]Xkam (1)
gde je I = diag(1, 1, 1), K =
f px
f py
1
- kalibracija kamere i
Xkam koordinate prostorne taqke u koordinatnom sistemu kamere.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 9 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Matriqni zapis u homogenim koordinatama:
x = K[I | 0]Xkam (1)
Kada su prostorne koordinate X date u proizvonom koordinatnomsistemu, postoji veza:
Xkam = R(X − C),Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 9 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Matriqni zapis u homogenim koordinatama:
x = K[I | 0]Xkam (1)
Kada su prostorne koordinate X date u proizvonom koordinatnomsistemu, postoji veza:
Xkam = R(X − C),
Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.Ili u homogenim koordinatama:
Xkam =[R −RC0T 1
]X. (2)
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 9 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2
Matriqni zapis u homogenim koordinatama:
x = K[I | 0]Xkam (1)
Kada su prostorne koordinate X date u proizvonom koordinatnomsistemu, postoji veza:
Xkam = R(X − C),Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.Ili u homogenim koordinatama:
Xkam =[R −RC0T 1
]X. (2)
Iz (1) i (2) sledix = KR[I | − C]X.
K-unutraxni, R i C spoaxi parametri kamere.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 9 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
CCD (Charge-coupled device) kamere
Kamera skalira projekciju u pravcu x-ose za faktor mx, a u pravuy-ose za faktor my. Za takvu kameru,
K =
mx
my
1
f px
f py
1
=
αx x0αy y0
1
.To je qesto sluqaj kod tzv. CCD kamera.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 10 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Neke kamere imaju kalibraciju oblika:
K =
αx s x0αy y0
1
, (3)
gde je s parametar ,,iskoxenosti\ ili ,,smicaa\.
Takve kamere su retke, ali postoje.
Kada uslikamo neki objekat kamerom P , pa egovu sliku kamerom P ,ihova kompozicija e takoe biti kamera qija e matrica imati s 6= 0.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 11 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Neke kamere imaju kalibraciju oblika:
K =
αx s x0αy y0
1
, (3)
gde je s parametar ,,iskoxenosti\ ili ,,smicaa\.
Takve kamere su retke, ali postoje.
Kada uslikamo neki objekat kamerom P , pa egovu sliku kamerom P ,ihova kompozicija e takoe biti kamera qija e matrica imati s 6= 0.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 11 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Neke kamere imaju kalibraciju oblika:
K =
αx s x0αy y0
1
, (3)
gde je s parametar ,,iskoxenosti\ ili ,,smicaa\.
Kamera P3 → P2 se predstava 3× 4 matricom, pa ima ukupno 11nezavisnih parametara.
Kamera P = KR[I | − C] gde je K oblika (3) ima takoe 11 nezavisnihparametara:
5 za K (αx, αy, s, x0, y0),3 za R (uglovi rotacije),
3 za C,
pa predstava najopxtiji oblik kamere. Takve kamere nazivamokonaqne projektivne kamere.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 11 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Neke kamere imaju kalibraciju oblika:
K =
αx s x0αy y0
1
, (3)
gde je s parametar ,,iskoxenosti\ ili ,,smicaa\.
Kamera P3 → P2 se predstava 3× 4 matricom, pa ima ukupno 11nezavisnih parametara.
Kamera P = KR[I | − C] gde je K oblika (3) ima takoe 11 nezavisnihparametara:
5 za K (αx, αy, s, x0, y0),3 za R (uglovi rotacije),
3 za C,
pa predstava najopxtiji oblik kamere. Takve kamere nazivamokonaqne projektivne kamere.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 11 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Teorema
Matrica P formata 3× 4 je matrica konaqne projektivne kamereAKKO je leva 3× 3 podmatrica matrice P regularna.
Kamere qija leva 3× 3 podmatrica nije regularna su tzv. afine kameresa centrom u beskonaqnosti.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 12 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Modeli kamere
Konaqne projektivne kamere
Teorema
Matrica P formata 3× 4 je matrica konaqne projektivne kamereAKKO je leva 3× 3 podmatrica matrice P regularna.
Kamere qija leva 3× 3 podmatrica nije regularna su tzv. afine kameresa centrom u beskonaqnosti.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 12 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Anatomija matrice kamere
Anatomija matrice kamereCentar kamere
Teorema
Centar kamere, qija je matrica P , u homogenim koordinatama jenenula vektor C kojim je generisano desno jezgro matrice P .
Neka je P = [M | p4] matrica kamere.
Ako je detM 6= 0, centar kamere je C =[−M−1p4
1
].
Ako je detM = 0, centar kamere je C =[d0
], gde je Md = 0, i zaista
se nalazi u beskonaqnosti.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 13 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Anatomija matrice kamere
Anatomija matrice kamereKolone matrice kamere
P = [p1 p2 p3 p4 ]p1, p2 i p3 predstavaju koordinateslika beskonaqno dalekih taqaka osa Ox,Oy i Oz.
p4 su koordinate slike koordinatnogpoqetka u projekciji.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 14 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Anatomija matrice kamere
Anatomija matrice kamereVrste matrice kamere
P =
p11 p12 p13 p14p21 p22 p23 p24p31 p32 p33 p34
=
p1T
p2T
p3T
.p1 je vektor kojipredstava homogenekoordinate ravni kojasadri centar kamere iy-osu u slici.
p2 je vektor kojipredstava homogenekoordinate ravni kojasadri centar kamere ix-osu u slici.
p3 je vektor koji predstava homogene koordinate glavne ravni.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 15 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Kalibracija kamereUgao izmeu zrakova projektovaa
Teorema
Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su x koordinate taqke u slici, d vektor pravcazraka projektova u x i K kalibracija kamere, tada je d = K−1x.
cos θ = d1Td2√
(d1Td2)(d1
Td2)=
x1T (K−TK−1)x2√
x1T (K−TK−1)x1√x2T (K−TK−1)x2
Zbog izometrijske povezanostiproizvonog koordinatnog sistema ikoordinatnog sistema kamere prethodnaformula vai i u proizvonomkoordinatnom sistemu.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 16 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Slika apsolutne konike, ω
Preslikavae kamere P = KR[I | − C] indukuje ravansku homografijubeskonaqne ravni na ravan slike.
X∞ = (dT , 0)T - proizvona taqka sa beskonaqne ravni se slika u
x = PX∞ = KR[I | − C][d0
]= KRd.
Taqka koja na π∞ ima koordinate d se slika u taqku x = Hx, gde jeH = KR.
Preslikavae ne zavisi od pozicije kamere (C).
Teorema
Slika apsolutne konike Ω∞ kamerom qija je matricaP = KR[I | − C] je konika u ravni projekcije qija je matricaω = (KKT )−1 = K−TK−1.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 17 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Slika apsolutne konike, ωSvojstva:
Teorema
Slika apsolutne konike Ω∞ kamerom qija je matricaP = KR[I | − C] je konika u ravni projekcije qija je matricaω = (KKT )−1 = K−TK−1.
Slika apsolutne konike je potpuno odreena unutraxim parametrimakamere (matricom K).
Ugao izmeu zrakova projektovaa u taqke x1 i x2 je odreen formulom
cos θ = x1Tωx2√
(x1Tωx1)√
(x2Tωx2).
Taqke u slici sa koordinatama x1 i x2 odgovaraju ortogonalnimzracima projektovaa ako i samo ako je x1
Tωx2 = 0.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 18 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Taqke ixqezavaa
Taqka ixqezavaa prave je slika ene beskonaqno daleke taqke.
Teorema
Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su v koordinate taqke ixqezavaa pravihparalelnih vektoru d i K kalibracija kamere, tada je d = K−1v.
Ako su v1 i v2 taqke ixqezavaadveju pravih, ugao koji onezaklapaju je odreen formulom:
cos θ = v1Tωv2√
(v1Tωv1)√
(v2Tωv2).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 19 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Prave ixqezavaa
Prava ixqezavaa ravni je slika ene beskonaqno daleke prave.
Teorema
Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su l koordinate prave ixqezavaa ravniortogonalnih na vektor n i K kalibracija kamere, tada je n = KT l.
Ako su l1 i l2 prave ixqezavaadveju ravni, ugao koji onezaklapaju je odreen formulom:
cos θ = l1Tω−1l2√
(l1Tω−1l1)√
(l2Tω−1l2).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 20 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.
Odreivae kalibracije kamere iz jedne projekcije
Uslov Homogene jednaqine ] nezavisnihjednaqina
Taqke ixqezavaa v1 i v2 odgova-raju ortogonalnim pravcima.
vT1 ωv2 = 0 1
Taqka ixqezavaa v i pravaixqezavaa l odgovaraju redompravoj i ravni koje su meusobnoortogonalne.
[l]×ωv = 0 2
Poznata je homografija H =[h1 h2 h3] neke ravni iz prostorana ravan slike
hT1 ωh2 = 0
hT1 ωh1 = hT
2 ωh22
Parametar iskoxenosti s = 0. ω12 = ω21 = 0 1
Parametar iskoxenosti s = 0 islika je poednako skalirana upravcima osa, tj. αx = αy = f .
ω12 = ω21 = 0ω11 = ω22
2
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 21 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Rekonstrukcija iz dve projekcijeCi:
Date su dve fotografije prostornog objekta kamerama iz raznihpoloaja u prostoru.
Odrediti:
Poziciju taqaka u prostoru koje se vide u projekcijama.Kamere kojima su fotografije dobijene.
Prvi korak: Uspostaviti vezu izmeu taqaka xi ↔ x′i u projekcijamakoje su u korespodenciji, tj. koje su slike iste prostorne taqke X.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 22 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Epipolarna geometrija
Epipolarna geometrija je unutraxa projektivna geometrija dvejuprojekcija.
Epipolarne ravni suravni koje sadre obacentra kamera.
Epipolarna prava (l′)je preseqna pravaepipolarne ravni i ravnislike. (Slika zraka CXdrugom kamerom.)
Epipol (e, e′) je slikacentra jedne kameredrugom kamerom.
Osnovica je prava koja spaja centre kamera.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 23 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica F
x 7→ l′
Fundamentalnamatrica (F ) je matricatog preslikavaa(Fx = l′).F je algebarskareprezentacijaepipolarne geometrije.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 24 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FGeometrijska konstrukcija
F =?: Fx = l′.
F = [e′]×Hπ
π proizvona ravan kojane sadri centre kamera.
Kompozicijaperspektivnihpreslikavaa
π1C→ π
C′
→ π2 je ravanskahomografija:
x′ = Hπx
indukovana ravni π.
x′, e′ ∈ l′ ⇒ l′ = e′ × x′ ⇒
l′ = [e′]×Hπx
.Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 25 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FAlgebarska konstrukcija
F =?: Fx = l′.
F = [e′]×P ′P+
P+ = PT (PPT )−1
pseudo-inverz matrice Pprve kamere.
PP+x =PPT (PPT )−1x = x⇒P+x - taqka na zrakuprojektovaa u x.
P ′P+x, e′ ∈ l′ ⇒ l′ =e′ × P ′P+x⇒
l′ = [e′]×P ′P+x
.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 26 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FSvojstva:
Teorema
Matrica F je fundamentalna matrica dveju projekcija AKKO zasvake dve taqke x i x′ koje su projekcije iste prostorne taqke vai:
x′TFx = 0.
Epipolarne prave:l′ = Fx i l = FTx′.
Epipol: e′TF = 0 i Fe = 0.Stepeni slobode:9 - 1 (zbog homogenosti)- 1 (zbog detF = 0)= 7.7 nezavisnih uslova odreuje F !
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 27 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FOdreivae:
Teorema
Matrica F je fundamentalna matrica dveju projekcija AKKO zasvake dve taqke x i x′ koje su projekcije iste prostorne taqke vai:
x′TFx = 0. (4)
Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice
F =
f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33
.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T
Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice
A =
x1x′1 x′
1y1 x′1 y′
1x1 y′1y1 y′
1 x1 y1 1...
......
......
......
......
xnx′n x′
nyn x′n y′
nxn y′nyn y′
n xn yn 1
numeriqkim metodama (SV D).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 28 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FOdreivae:
Teorema
Matrica F je fundamentalna matrica dveju projekcija AKKO zasvake dve taqke x i x′ koje su projekcije iste prostorne taqke vai:
x′TFx = 0. (4)
Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice
F =
f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33
.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T
Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice
A =
x1x′1 x′
1y1 x′1 y′
1x1 y′1y1 y′
1 x1 y1 1...
......
......
......
......
xnx′n x′
nyn x′n y′
nxn y′nyn y′
n xn yn 1
numeriqkim metodama (SV D).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 28 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FOdreivae:
Teorema
Matrica F je fundamentalna matrica dveju projekcija AKKO zasvake dve taqke x i x′ koje su projekcije iste prostorne taqke vai:
x′TFx = 0. (4)
Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice
F =
f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33
.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T
Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice
A =
x1x′1 x′
1y1 x′1 y′
1x1 y′1y1 y′
1 x1 y1 1...
......
......
......
......
xnx′n x′
nyn x′n y′
nxn y′nyn y′
n xn yn 1
numeriqkim metodama (SV D).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 28 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FOdreivae:
Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice
F =
f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33
.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T
Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice
A =
x1x′1 x′
1y1 x′1 y′
1x1 y′1y1 y′
1 x1 y1 1...
......
......
......
......
xnx′n x′
nyn x′n y′
nxn y′nyn y′
n xn yn 1
numeriqkim metodama (SV D).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 28 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica
Fundamentalna matrica FOdreivae:
Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice
F =
f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33
.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T
Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice
A =
x1x′1 x′
1y1 x′1 y′
1x1 y′1y1 y′
1 x1 y1 1...
......
......
......
......
xnx′n x′
nyn x′n y′
nxn y′nyn y′
n xn yn 1
numeriqkim metodama (SV D).
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 28 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Odreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice F
Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.
x = PX ⇒ x = (PH)(H−1X)Par kamera (P, P ′) odreujejedinstvenu fundamentalnumatricu F .Obrat ne vai.
Teorema
Ako je H matrica projektivnog preslikavaa prostora, tada sufundamentalne matrice koje odgovaraju parovima kamera (P, P ′) i(PH,P ′H) jednake.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 29 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Odreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice F
Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.Vixeznaqnost
Teorema
Ako je H matrica projektivnog preslikavaa prostora, tada sufundamentalne matrice koje odgovaraju parovima kamera (P, P ′) i(PH,P ′H) jednake.
Teorema
Neka su parom kamera qije su matrice P i P ′ dobijene iste slikekao parom kamera qije su matrice P i P ′. Ako je matrica Ffundamentalna matrica za parove kamera (P, P ′) i (P , P ′) tadapostoji projektivna transformacija prostora qija je matrica Htakva da je P = PH i P ′ = P ′H.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 30 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Odreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice F
Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.Kanonski par matrica kamera
Definicija
Par matrica kamera (P, P ′), koji za prvu matricu ima P = [I | 0] jekanonski par matrica kamera.
Za svaki par matrica kamera postoji kanonski (P, P ′) = ([I | 0], [M |m])sa istom fundamentalnom matricom,
F = [m]×M
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 31 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Odreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice F
Kanonski par matrica kamera za poznato FFormula
Teorema
Neka je F matrica formata 3× 3 i ranga 2, i neka je
P = [I | 0] i P ′ = [[e′]×F | e′]
gde je e′ epipol takav da je e′TF = 0. Tada je (P, P ′) par matrica
kamera qija je fundamentalna matrica upravo matricu F .
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 32 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Metod rekonstrukcije
Odreivae fundamentalne matrice F na osnovu korespodencijataqaka xi ↔ x′i.
Odreivae matrica kamera (P, P ′) preko F .Ako su (PE , P
′E) originalne kamere kojima su dobijene projekcije,
postoji projektivno preslikavae prostora qija je matrica H, td.(PE , P
′E) = (PH,P ′H)
Za poznato (P, P ′) i (x,x′) traimotaqku X u prostoru u preseku dvazraka projektovaa.Traena taqka je rexee sistema:PX = x i P ′X = x′
Poziciju taqke koja se slika uepopolove je nemogue odrediti.
(P, P ′, Xi) je jednarekonstrukcija.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 33 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Vixeznaqnost rekonstrukcije
Teorema projektivne
rekonstrukcije
Ako su (P1, P′1, X1,i) i
(P2, P′2, X2,i) dve
rekonstrukcije izkorespodencija xi ↔ x′i, tadapostoji nesingularnamatrica H takva da jeP2 = P1H
−1, P ′2 = P ′1H−1 i
X2,i = HX1,i za sve i sem zaone za koje je Fxi = x′iF = 0.
Pomenutim metodom dolazimo do rekonstrukcije koja se od stvarnerazlikuje za projektivno preslikavae prostora.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 34 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Vixeznaqnost rekonstrukcije
Projektivna rekonstrukcija je rekonstrukcija koja se od stvarnerazlikuje za projektivno preslikavae prostora.
Afina rekonstrukcija se od stvarne razlikuje za afinopreslikavae prostora.
Metriqka rekonstrukcija seod stvarne razlikuje zapreslikavae sliqnosti prostora.
Kada do e doemo prostor samotreba skalirati koliko je potrebno.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 35 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Direktno ispravae
Doxli smo do projektivne rekonstrukcije (P, P ′, Xi).Ona se od stvarne razlikuje za neku projektivnu transformacijuprostora qija je matrica H.
Poznate su koordinate u originalu bar 5 od taqaka Xi: XEi
Iz sistema j-na XEi = HXi moemo da odredimo matricu H
Primenom H na projektivnu rekonstrukciju dolazimo do punerekonstrukcije u kojoj nema distorzije.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 36 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeAfina rekonstrukcija
Projektivnarekonstrukcija
→ Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji beskonaqna ravan ima koordinate (0, 0, 0, 1).U projektivnoj rekonstrukciji je ta ravan izmextena i ima neke drugekoordinate π.
Kada odredimo π, projektivno preslikavae prostora qija je matrica
H =[I | 0πT
]e izmexetenu beskonaqnu ravan postaviti u kanonski poloaj(0, 0, 0, 1).Novodobijena rekonstrukcija se od pune razlikuje za projektivnutransformaciju prostora koja fiksira beskonaqnu ravan⇒ afina transformacija⇒ imamo afinu rekonstrukciju.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 37 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeAfina rekonstrukcija
Projektivnarekonstrukcija
→ Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji beskonaqna ravan ima koordinate (0, 0, 0, 1).U projektivnoj rekonstrukciji je ta ravan izmextena i ima neke drugekoordinate π.
Kada odredimo π, projektivno preslikavae prostora qija je matrica
H =[I | 0πT
]e izmexetenu beskonaqnu ravan postaviti u kanonski poloaj(0, 0, 0, 1).Novodobijena rekonstrukcija se od pune razlikuje za projektivnutransformaciju prostora koja fiksira beskonaqnu ravan⇒ afina transformacija⇒ imamo afinu rekonstrukciju.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 37 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeAfina rekonstrukcija
Projektivnarekonstrukcija
→ Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji beskonaqna ravan ima koordinate (0, 0, 0, 1).U projektivnoj rekonstrukciji je ta ravan izmextena i ima neke drugekoordinate π.
Kada odredimo π, projektivno preslikavae prostora qija je matrica
H =[I | 0πT
]e izmexetenu beskonaqnu ravan postaviti u kanonski poloaj(0, 0, 0, 1).Novodobijena rekonstrukcija se od pune razlikuje za projektivnutransformaciju prostora koja fiksira beskonaqnu ravan⇒ afina transformacija⇒ imamo afinu rekonstrukciju.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 37 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeAfina rekonstrukcija
Projektivnarekonstrukcija
→ Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji beskonaqna ravan ima koordinate (0, 0, 0, 1).U projektivnoj rekonstrukciji je ta ravan izmextena i ima neke drugekoordinate π.
Kada odredimo π, projektivno preslikavae prostora qija je matrica
H =[I | 0πT
]e izmexetenu beskonaqnu ravan postaviti u kanonski poloaj(0, 0, 0, 1).Novodobijena rekonstrukcija se od pune razlikuje za projektivnutransformaciju prostora koja fiksira beskonaqnu ravan⇒ afina transformacija⇒ imamo afinu rekonstrukciju.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 37 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeMetriqka rekonstrukcija
Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji apsolutna konika Ω∞ za matricu imadiag(1, 1, 1) na beskonaqnoj ravni.U afinoj rekonstrukciji je apsolutna konika izmextena nabeskonaqnoj ravni i ima neku drugu matricu.
Teorema
Neka je u jednoj od projekcija, kojoj odgovara matrica kamereP = [M |m], identifikovana slika izmextene apsolutne konike, ω.Tada se afina rekonstrukcija moe transformisati na metriqkuprimenom prostorne transformacije
H =[A−1
1
]gde je A definisana formulom: AAT = (MTωM)−1.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 38 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeMetriqka rekonstrukcija
Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji apsolutna konika Ω∞ za matricu imadiag(1, 1, 1) na beskonaqnoj ravni.U afinoj rekonstrukciji je apsolutna konika izmextena nabeskonaqnoj ravni i ima neku drugu matricu.
Teorema
Neka je u jednoj od projekcija, kojoj odgovara matrica kamereP = [M |m], identifikovana slika izmextene apsolutne konike, ω.Tada se afina rekonstrukcija moe transformisati na metriqkuprimenom prostorne transformacije
H =[A−1
1
]gde je A definisana formulom: AAT = (MTωM)−1.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 38 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeMetriqka rekonstrukcija
Afinarekonstrukcija
→ Metriqkarekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji apsolutna konika Ω∞ za matricu imadiag(1, 1, 1) na beskonaqnoj ravni.U afinoj rekonstrukciji je apsolutna konika izmextena nabeskonaqnoj ravni i ima neku drugu matricu.
Teorema
Neka je u jednoj od projekcija, kojoj odgovara matrica kamereP = [M |m], identifikovana slika izmextene apsolutne konike, ω.Tada se afina rekonstrukcija moe transformisati na metriqkuprimenom prostorne transformacije
H =[A−1
1
]gde je A definisana formulom: AAT = (MTωM)−1.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 38 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).
Slojevito ispravaeMetriqka rekonstrukcija
U punoj rekonstrukciji apsolutna konika Ω∞ za matricu imadiag(1, 1, 1) na beskonaqnoj ravni.U afinoj rekonstrukciji je apsolutna konika izmextena nabeskonaqnoj ravni i ima neku drugu matricu.
Teorema
Neka je u jednoj od projekcija, kojoj odgovara matrica kamereP = [M |m], identifikovana slika izmextene apsolutne konike, ω.Tada se afina rekonstrukcija moe transformisati na metriqkuprimenom prostorne transformacije
H =[A−1
1
]gde je A definisana formulom: AAT = (MTωM)−1.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 38 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
Triangulacija prostornih taqaka
Za poznato (P, P ′) i (x,x′) traimo taqku X u prostoru u preseku dvazraka projektovaa.
X: PX = x i P ′X = x′
postava sistem od2× 2 = 4 nezavisnejednaqine sa nepoznatimX = (X1, X2, X3, X4).Problem: x′
TFx ≈ 0
pa su zraci u opxtemsluqaju mimoilazni isistem nema rexea.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 39 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
Triangulacija prostornih taqakaOptimalan metod
Problem: x′TFx ≈ 0
pa su zraci u opxtem sluqaju mimoilazni i sistem nema rexea.
Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojimafunkcija
C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2
dostie minimum pri uslovu
x′TF x = 0Traene taqke e pripadatinekom paru epipolarnih pravih uprojekcijama koje su ukorespodenciji.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 40 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
Triangulacija prostornih taqakaOptimalan metod
Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojima funkcija
C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2
dostie minimum pri uslovu
x′TF x = 0Traene taqke e pripadati nekom paru epipolarnih pravih uprojekcijama koje su u korespodenciji.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 41 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
Triangulacija prostornih taqakaOptimalan metod
Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojima funkcija
C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2
dostie minimum pri uslovu
x′TF x = 0Pramen epipolarnih pravih jedne projekcije je jednodimenzioniprojektivni prostor, pa se moe parametrizovati jednim parametroml = l(t).Epipolarnu pravu u drugoj projekciji koja odgovara pravoj l, moemotakoe za izrazimo preko t.
Funkcija koju treba minimizovati je sada
s(t) = d(x, l(t))2 + d(x′, l′(t))2.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 42 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.
Triangulacija prostornih taqakaOptimalan metod
Funkcija koju treba minimizovati je sada
s(t) = d(x, l(t))2 + d(x′, l′(t))2.
Problem se svodi na traee minimuma polinoma xestog stepena.
Dobra strana ovog rexea je xto je projektivno invarijantan.U traeu optimalnog rexea minimizovali smo rastojaa uprojekcijama, koja ostaju nepromeena pri bilo kakvoj prostornojtransformaciji kamera i rekonstruisanog objekta.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 43 / 44
Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura
Literatura
R. Hartley, A. Zisserman: Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ndEdition, Cambridge University Press, 2004.
N. Bokan, Sran Vukmirovi: Projektivna geometrija, Matematiqkifakultet, Beograd, 2004.
G. Kalaji: Linearna algebra i geometrija, Zavod za ubenike -Beograd, 2011.
N. Blai, N. Bokan, Z. Luqi, Z. Raki: Analitiqka geometrija,Matematiqki fakultet, Beograd, 2003.
[5] Robotics Research Group in the Department of Engineering Science,University of Oxford
Dan Kalman: A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix,The American University, Washington, DC 20016, 2002.
Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 44 / 44