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Resolución de Sistemas Lineales
Introducción
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Notación matricial
mnmnmm
n
n
mnmnmm
nn
nn
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
...
...
...
37
77
15
1120
19100
124
37
77
15
1120
19100
124
37112
771910
1524
3
2
1
32
32
321
bA
x
x
x
xx
xx
xxx
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Condiciones para que el Sistema tenga Solución única
Teorema
Las siguientes proposiciones son equivalentes:
0det)
que tal)
ntesindependie elinealmentson A de (filas) columnas Las )
00)
única es esta sistema, el parasolución una existe si )
bsolución una tiene)
111
Af
IAAAAAe
d
xAxc
b
bAxa
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Observaciones
Una matriz que satisface las condiciones del teorema es NO SINGULAR
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Escalado
AA n det)det(
El determinante cambia MUCHO con el escalado
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Observaciones
No se puede usar el determinante para decidir EN FORMA NUMERICA cuántas soluciones tiene un sistema
Usar RANGO para determinar cantidad de soluciones
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Rango
XX
XX
XX
XX
XX
nm
XXXXX
XXXXXnm
nmAr
A
solnoArbArnAr
solsnArbArnAr
solnAr
A
mxn
nxn
,min)(
)()()(
)()()(
!)(
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Generalidades
Cbx
AC
bAx
bAx
)2
)1
estable) poco (caro, Algoritmo1
1
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Sistemas fáciles de resolver
Matrices diagonales Matrices triangulares inferiores Matrices triangulares superiores
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Matrices diagonales
4
3
2
1
4
3
2
1
44
33
22
11
000
000
000
000
,10
b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
nia
adiagDbDx
ii
ii
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Matrices triangulares
4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
333231
2221
11
0
00
000
b
b
b
b
x
x
x
x
llll
lll
ll
l
bLx
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Matrices triangulares inferiores
fin
hacer 2,...n 1,ipara
adelantehacia nSustitució
00
1
1
ii
i
jjiji
i
iiij
l
xlb
x
iljilbLx
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Matrices triangulares superiores
fin
hacer 1,...1-nn,ipara
atrashacia nSustitució
00
1
ii
n
ijjiji
i
iiij
u
xub
x
iujiubUx
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Resolución de sistemas lineales
Métodos directos Métodos iterativos
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Métodos Directos: Eliminación de Gauss
Triangularización
operaciones elementales
Sustitución hacia atrás
bxU
bxA
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Fase de Reducción
144
133
122
3
2
48140
10120
43210
43121
81423
33241
43452
43121
fff
fff
fff
![Page 17: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/17.jpg)
Reducción para EG
610057
57
10
21
21
23
1
45
554
59
00
57
57
10
21
21
23
1
2
812057
57
10
21
21
23
1
58120
775021
21
23
1
2
4
7212
5511421
21
23
1
27212
55114
1132
722
55114
132
33233
22133
1221
1
321
321
321
fffff
fffff
ffff
f
xxx
xxx
xxx
![Page 18: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/18.jpg)
Resolver todo por reducción
213
106
72
13
12000
10030067
0010
213
0001
48140
10120
43210
43121
484
12
432
432
432
32
432
4321
x
xxx
xx
xxx
xxxx
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Método de Gauss-Jordan
2
13
106
72
13
12000
1003006
70010
2
130001
12000
763003
21010
53001
4
2
2
2020900
76300
43210
129301
48140
10120
43210
43121
244
233
211
x
fff
fff
fff
![Page 20: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/20.jpg)
Sistema compatible determinado: triangularización
610057
57
10
21
21
23
1
45
554
59
00
57
57
10
21
21
23
1
2
812057
57
10
21
21
23
1
58120
775021
21
23
1
2
4
7212
5511421
21
23
1
27212
55114
1132
722
55114
132
33233
22133
1221
1
321
321
321
fffff
fffff
ffff
f
xxx
xxx
xxx
![Page 21: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/21.jpg)
Sustitución hacia atrás
6713
:Solución
1321
621
723
7657
57
657
57
21
21
23
610057
57
10
21
21
23
1
722
55114
132
1
2
3
32
321
321
321
321
Tx
x
x
x
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
![Page 22: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/22.jpg)
Vectores fila de una matriz
iniiTi
Tm
T
T
aaar
r
r
r
A 212
1
![Page 23: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/23.jpg)
Vectores columna de una matriz
mi
i
i
in
a
a
a
ccccA
2
1
21
![Page 24: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/24.jpg)
Espacio filas de una matriz
A DE FILAS ESPACIO denomina se
A FILAde vectoreslospor
abarcado de subespacio el entonces Si nmxnA
![Page 25: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/25.jpg)
Espacio columnas de una matriz
A DE COLUMNAS ESPACIO denomina se
A COLUMNAde vectoreslospor
abarcado de subespacio el entonces Si mmxnA
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Teoremas
Def: La dimensión común del espacio filas y columnas de A se denomina rango de A
Las operaciones elementales entre filas no cambian el espacio filas de A
Si A es una matriz cualquiera, entonces el espacio de filas y el de columnas de A tienen la misma dimensión
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Operaciones elementales entre filas
Multiplicar una fila por una constante distinta de cero
Intercambiar dos filas Sumar a una fila un múltiplo de otra
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Teorema
Los vectores fila de una matriz A
de cualquier forma canónica
forman una base para el espacio filas de A
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Propiedades: forma canónica (row-echelon=renglón-escalón)
Si una fila no consiste de elementos todos nulos, entonces el primer número distinto de cero en la fila es un uno. (1 principal)
Todas las filas con elementos todos nulos están agrupados en la zona inferior de la matriz
Dadas dos filas sucesivas que tienen al menos un elemento distinto de cero, los unos principales están “escalonados”
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Forma canónica reducida
Si además se verifica que cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en todos sus otros elementos, entonces la forma se llama forma canónica reducida
1000
0010
0001
![Page 31: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/31.jpg)
Ejemplo
3)(
10000
01100
06210
2)(
000
010
011
3)(
5100
2610
7341
CrC
BrB
ArA
![Page 32: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/32.jpg)
Rango
XX
XX
XX
XX
XX
nm
XXXXX
XXXXXnm
nmAr
A
solnoArbArnAr
solsnArbArnAr
solnAr
A
mxn
nxn
,min)(
)()()(
)()()(
!)(
![Page 33: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/33.jpg)
Ej: sistema compatible indeterminado
)1(57
)1(5
27
x
generalsolución 57
57
44
000057
57
10
4411
55114
1132
4411
55114
132
44
3
32
321
321
321
321
x
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
![Page 34: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/34.jpg)
Ej: sistema incompatible
610
0
35
21
21
610
00
35
10
21
21
1
113
321
112
13
32
12
2
21
21
21
21
x
xx
xx
xx
xx
![Page 35: Resolución de Sistemas Lineales Introducción. Notación matricial](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062305/5665b4d81a28abb57c943134/html5/thumbnails/35.jpg)
Lectura obligatoria
Noble págs 162-167 Gerald págs 104-116 Kincaid págs 126-134
FIN TEORIA PRIMER PARCIAL