-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek masy figury płaskiej
Zależności na współrzędne środka masy ( Cx , Cy ) figury płaskiej złożonej z i figur regularnych (rys. 1.1) możemy zapisać w następujący sposób:
∑∑=
i
ii
AxA
xC (1.1)
∑∑=
i
ii
AyA
yC (1.2)
gdzie:
iA — pole powierzchni i-tej figury regularnej,
ix — odległość środka masy i-tej figury regularnej od osi x dowolnego układu współrzędnych,
iy — odległość środka masy i-tej figury regularnej od osi y dowolnego układu współrzędnych.
Rys. 1.1
Figura płaska przedstawiona na rys. 1.1. składa się z 3 figur regularnych – pro-
stokąta 1 (pole powierzchni 1A , środek masy w punkcie 1C ), prostokąta 2 (pole powierzchni 2A , środek masy w punkcie 2C ) oraz trójkąta 3 (pole powierzchni 3A , środek masy w punkcie 3C ). W oparciu o zależności (1.1) i (1.2) możemy zapisać zatem:
-
1.2 Wytrzymałość materiałów
321
332211C AAA
xAxAxAx++++
=
321
332211C AAA
yAyAyAy++++
=
Geometryczne momenty bezwładności figur płaskich
Geometryczne momenty bezwładności i momenty dewiacji figur płaskich wyrażane są w jednostkach [(długość)4], np. [m4], [cm4], [mm4]. Momenty bezwładności przyj-mują tylko wartości dodatnie, natomiast momenty dewiacji mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.
Znak momentu dewiacji zależy od położenia figury, co przedstawiono na rys. 1.2 i 1.3.
Rys. 1.2
Rys. 1.3
Geometryczne momenty bezwładności wybranych figur regularnych zestawiono
w tabeli 1.1. Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera dla zagadnień 2D (rys. 1.4) przyjmuje postać: — dla momentów bezwładności xI , yI :
2C )(yAII cxx += (1.3)
2C )(xAII cyy += (1.4)
— dla momentu dewiacji xyI :
CCyxAII ccyxxy += (1.5) gdzie:
cxI — centralny moment bezwładności względem osi cx (centralnej),
cyI — centralny moment bezwładności względem osi cy (centralnej),
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.3
Tabela 1.1. Charakterystyki geometryczne wybranych figur regularnych
Figura Pole powierzchni Współrzędne środka masy
Centralne momenty bezwładności
Centralny moment dewiacji
2aA = 2Cax =
2Cay =
12
4aIcx =
12
4aIcy =
0=
ccyxI
hbA = 2C
bx =
2Chy =
12
3hbIcx =
12
3hbIcy =
0=
ccyxI
2hbA = 3
Cbx =
3Chy =
36
3hbIcx =
36
3hbIcy =
72
22hbIccyx −=
2hbA = 2
Cbx =
3Chy =
36
3hbIcx =
36
3hbIcy =
0=
ccyxI
2rπA = 0C =x
0C =y
4
4rπIcx =
4
4rπIcy =
0=
ccyxI
2
2rπA = πrx
34
C =
0C =y
8
4rπIcx =
4
98
8r
ππI
cy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
0=ccyxI
4
2rπA = πrx
34
C =
πry
34
C =
4
94
16r
ππI
cx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
4
94
16r
ππI
cy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
4
81
94 rπ
Iccyx ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛ −−=
-
1.4 Wytrzymałość materiałów
ccyxI — centralny moment dewiacji względem osi cx i cy (centralnych),
A — pole powierzchni figury płaskiej,
Cx — odległość środka masy figury płaskiej od osi x dowolnego układu
współrzędnych (odległość pomiędzy osią cx oraz osią x ),
Cy — odległość środka masy figury płaskiej od osi y dowolnego układu
współrzędnych (odległość pomiędzy osią cy oraz osią y ).
Rys. 1.4
W oparciu o twierdzenie Steinera możemy wyznaczyć momenty bezwładności i de-
wiacji figury płaskiej względem osi x, y dowolnego układu współrzędnych, przy czym osie te muszą być równoległe do osi centralnych cx i cy (rys. 1.4).
W przypadku, gdy znamy momenty bezwładności i dewiacji względem osi x, y dowol-nego układu współrzędnych, możemy wyznaczyć momenty centralne wykorzystując „odwrotne” twierdzenie Steinera. Możemy je zapisać w następującej formie: — dla centralnych momentów bezwładności
cxI , cyI :
2C )(yAII xxc −=
2C )(xAII yyc −=
— dla momentu dewiacji xyI :
CCyxAII xyyx cc −=
W przypadku figury złożonej z figur regularnych (rys. 1.5), twierdzenie Steinera dla i-tej figury składowej możemy zapisać w następującej postaci:
2C)( )( yyAII iix
ix ic
−+= (1.6)
2C)( )( xxAII iiy
iy ic
−+= (1.7)
))(( CC)( yyxxAII iiiyx
iyx iicc
−−+= (1.8)
gdzie: )(i
xcI — moment bezwładności i-tej figury względem osi cx ,
)(iyc
I — moment bezwładności i-tej figury względem osi cy , )(iyx cc
I — moment dewiacji i-tej figury względem osi cx i cy ,
ixI — centralny moment bezwładności i-tej figury względem osi ix ,
iyI — centralny moment bezwładności i-tej figury względem osi iy ,
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.5
Rys. 1.5
iiyxI — centralny moment dewiacji i-tej figury względem osi ix i iy ,
iA — pole powierzchni i-tej figury,
ix — odległość osi ix od osi x dowolnego układu współrzędnych,
iy — odległość osi iy od osi y dowolnego układu współrzędnych,
Cx — odległość osi cx od osi x dowolnego układu współrzędnych,
Cy — odległość osi cy od osi y dowolnego układu współrzędnych, Główne centralne momenty bezwładności
Aby określić główne centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury należy znaleźć główne osie bezwładności, czyli takie, dla których moment dewiacji figury będzie równy zeru. Wzory transformujące momenty bezwładności i dewiacji wzglę-dem centralnego układu współrzędnych do układu osi (ξ , η ) obróconego o kąt φ (rys. 1.6) są następujące:
φIφIφIIcccc yxyxξ 2sinsincos
22 −+= (1.9)
φIφIφIIcccc yxyxη 2sincossin
22 ++= (1.10)
φIφIIIcccc yxyxηξ 2cos2sin)(2
1+−= (1.11)
Rys. 1.6
Moment dewiacji względem osi głównych jest równy zeru. Tak więc przekształ-
cając ostatni z powyższych wzorów otrzymamy kąt 0φ , o który należy obrócić układ osi cx i cy , aby uzyskać zerowe momenty dewiacji:
-
1.6 Wytrzymałość materiałów
02cos2sin)(21
00 =+− φIφII cccc yxyx
00 2cos2sin)(21 φIφII
cccc yxxy =−
cc
cc
xy
yx
III
φ−
=2
2tg 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
cc
cc
xy
yx
III
φ2
arctg21
0 (1.12)
Osie (ξ , η ) układu obróconego o kąt 0φ nazywamy osiami głównymi centralnymi i oznaczamy cyframi 1 i 2. Momenty bezwładności względem tych osi (rys. 1.7) osią-gają wartości ekstremalne – maksymalną 1I oraz minimalną 2I :
221 4)(21)(
21
cccccc yxyxyx IIIIII +−++= (1.13)
222 4)(21)(
21
cccccc yxyxyx IIIIII +−−+= (1.14)
Rys. 1.7
Przekroje cienkościenne
Rozpatrując przekroje cienkościenne, jak na rys. 1.8, możemy w ich kształcie wyodrębnić prostokąty o wymiarach δb × , przy czym wymiar poprzeczny δ jest dużo mniejszy niż wymiar wzdłużny b .
Rys. 1.8
Momenty bezwładności są w takim przypadku równe:
12
3δbIcx = (1.15)
12
3δbIcy = (1.16)
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.7
Zadanie 1.1. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.9.
Rys. 1.9
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.10. Rozpatrywana figura posiada jedną oś symetrii. Dlatego najpraktyczniej jest przyjąć układ współrzędnych tak, aby jedna z jego osi pokrywała się właśnie z osią symetrii. Oś ta (w naszym przykładzie oś y ) będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności.
Rys. 1.10
Rozpatrywaną figurę dzielimy na dwa prostokąty o wymiarach aa ×6 oraz aa 3× .
Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:
— prostokąt 1: 21 66 aaaA =⋅= ; 01 =x ; ay 21
1 =
— prostokąt 2: 22 33 aaaA =⋅= ; 02 =x ; ay 25
2 =
Wykorzystując zależności (1.1) i (1.2) wyznaczamy współrzędne środka masy roz-patrywanej figury:
036
030622
22
21
2211C =
+⋅+⋅
=++
==∑∑
aaaa
AAxAxA
AxA
xi
ii
aaa
aaaa
AAyAyA
AyA
yi
ii
67
36253
216
22
22
21
2211C =
+
⋅+⋅=
++
==∑∑
-
1.8 Wytrzymałość materiałów
Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy (rys. 1.10):
43
21
126
1aaaI x =
⋅= 4
318
12)6(
1aaaIy =
⋅=
43
49
12)3(
2aaaI x =
⋅= 4
3
41
123
2aaaIy =
⋅=
Centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury są sumą algebraiczną momentów bezwładności figur składowych względem osi centralnych cc yx , . Do wyzna-czenia tych momentów wykorzystujemy twierdzenie Steinera.
44444
224
224
2C22
2C11
443
316
49
38
21
67
253
49
67
216
21
])([])([21
aaaaa
aaaaaaaa
yyAIyyAII xxxc
=+++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=−++−+=
444
224224
2C22
2C11
473
4118
)00(341])00(618[
])([])([21
aaa
aaaa
xxAIxxAII yyyc
=+=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++−+=
=−++−+=
Wyznaczone momenty centralne rozpatrywanej figury są jednocześnie głównymi centralnymi momentami bezwładności (rys. 1.11). Moment dewiacji 0=
ccyxI .
4
473aII
cy ==1
4
443aII
cx ==2
Rys. 1.11
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.9
Zadanie 1.2. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.12.
Rys. 1.12
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.13. Rozpatrywana figura posiada dwie osie symetrii, które są zarazem głównymi centralnymi osiami bezwład-ności. Współrzędne środka masy figury są równe 0C =x , 0C =y .
Rozpatrywaną figurę dzielimy na trzy prostokąty – dwa o wymiarach aa ×6 oraz jeden o wymiarach aa 42 × . Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:
— prostokąt 1: 21 66 aaaA =⋅= ; 01 =x ; ay 25
1 −=
— prostokąt 2: 22 842 aaaA =⋅= ; 02 =x ; 02 =y
— prostokąt 3: 23 66 aaaA =⋅= ; 03 =x ; ay 25
3 =
Rys. 1.13
-
1.10 Wytrzymałość materiałów
Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy:
43
21
126
1aaaI x =
⋅= 4
318
12)6(
1aaaIy =
⋅=
43
332
12)4(2
2aaaI x =
⋅= 4
3
38
124)2(
2aaaIy =
⋅=
43
21
126
3aaaI x =
⋅= 4
318
12)6(
3aaaIy =
⋅=
Wyznaczamy centralne momenty bezwładności całej figury:
444444
224224
224
2C33
2C22
2C11
3260
275
210
332
275
21
0256
21)00(8
3320
256
21
])([])([])([321
aaaaaa
aaaaaaaa
yyAIyyAIyyAII xxxxc
=+++++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
=−++−++−+=
4444
224224224
2C33
2C22
2C11
311618
3818
])00(618[)00(838])00(618[
])([])([])([321
aaaa
aaaaaa
xxAIxxAIxxAII yyyyc
=++=
=−++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++−+=
=−++−++−+=
Główne centralne momenty bezwładności są równe (rys. 1.14):
4
3260 aII
cx ==1
4
3116 aII
cy ==2
Rys. 1.14
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.11
Zadanie 1.3. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych
centralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.15.
Rys. 1.15
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.16. Rozpatrywana figura nie posiada żadnej osi symetrii.
Figurę dzielimy na trzy prostokąty o wymiarach aa ×5 , aa 4× oraz aa ×3 . Pola powierzchni oraz współrzędne środka masy każdego z prostokątów wynoszą:
— prostokąt 1: 21 55 aaaA =⋅= ; ax 25
1 = ; ay 21
1 =
— prostokąt 2: 22 44 aaaA =⋅= ; ax 25
2 = ; ay 32 =
— prostokąt 3: 23 33 aaaA =⋅= ; ax 27
3 = ; ay 211
3 =
Rys. 1.16
-
1.12 Wytrzymałość materiałów
Wykorzystując zależności (1.1) i (1.2) wyznaczamy współrzędne środka masy roz-patrywanej figury:
aaaa
aaaaaa
AAAxAxAxA
AxA
xi
ii
411
345273
254
255
222
222
321
332211C =
++
⋅+⋅+⋅=
++++
==∑∑
aaaa
aaaaaa
AAAyAyAyA
AyA
yi
ii
1231
3452
11334215
222
222
321
332211C =
++
⋅+⋅+⋅=
++++
==∑∑
Wyznaczamy momenty bezwładności prostokątów względem osi przechodzących przez ich środki masy (rys. 1.16):
43
125
125
1aaaI x =
⋅= 4
3
12125
12)5(
1aaaIy =
⋅=
43
316
12)4(
2aaaI x =
⋅= 4
3
31
124
2aaaIy =
⋅=
43
41
123
3aaaI x =
⋅= 4
3
49
12)3(
1aaaIy =
⋅=
Wyznaczamy centralne momenty bezwładności całej figury:
4444444
224
224
224
2C33
2C22
2C11
12647
481225
41
3625
316
1443125
125
1231
2113
41
123134
316
1231
215
125
])([])([])([321
aaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
yyAIyyAIyyAII xxxxc
=+++++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=−++−++−+=
4444444
224
224
224
2C33
2C22
2C11
461
1627
49
164
31
165
12125
411
273
49
411
254
31
411
255
12125
])([])([])([321
aaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
xxAIxxAIxxAII yyyyc
=+++++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=−++−++−+=
W celu określenia położenia głównych centralnych osi bezwładności konieczne będzie wyznaczenie momentu dewiacji rozpatrywanej figury. Momenty dewiacji każdego prostokąta względem osi przechodzących przez środek jego masy są równe zeru.
0332211=== yxyxyx III
Centralny moment dewiacji całej figury jest równy:
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=−−++
+−−++−−+=
aaaaaaaaaa
yyxxAI
yyxxAIyyxxAII
yx
yxyxyx cc
12313
411
2540
1231
21
411
2550
)])(([
)])(([)])(([
22
C3C33
C2C22C1C11
33
2211
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.13
4444
2
435
16105
125
48125
1231
211
411
2730
aaaa
aaaaa
=+−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych (rys. 1.17), aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 175,12
232105arctg
21
12647
461
4352
arctg212arctg
21
44
4
0aa
a
III
φcc
cc
xy
yx
Główne centralne momenty bezwładności są równe (1.13) i (1.14):
4444
24
24444
221
8046,5512
6484941512
6484912415
4354
461
12647
21
461
12647
21
4)(21)(
21
aaaa
aaaaa
IIIIIIcccccc yxyxyx
≈+
=+=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=+−++=
4444
24
24444
222
3621,1312
6484941512
6484912415
4354
461
12647
21
461
12647
21
4)(21)(
21
aaaa
aaaaa
IIIIIIcccccc yxyxyx
≈−
=−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=+−−+=
Rys. 1.17
-
1.14 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 1.4. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.18 (podziałka 1:2).
Rys. 1.18
Rozwiązanie
W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić trójkąt prostokątny o wymiarach cm 96× oraz 90-stopniowy wycinek koła o promieniu cm 3 (rys. 1.19).
Rys. 1.19
Charakterystyki figur składowych są następujące (na podstawie tabeli 1.1):
— trójkąt 1 (rys. 1.19a)
21 cm 272
96=
⋅=A
cm 4632
1 =⋅=x
cm 339
1 ==y
43
cm 5,1213696
1=
⋅=xI
43
cm 5436
961
=⋅
=yI
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.15
422
cm 5,4072
9611
=⋅
=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)
— wycinek koła 2 (rys. 1.19b)
22
2 cm 0686,743
=⋅
=πA
cm 7268,43
3462 =⋅
−=π
x
cm 2732,13
342 =
⋅=
πy
44 cm 4452,4394
162=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44 cm 4452,4394
162=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππIy
44 cm 3342,1381
94
22=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=π
I yx moment dewiacji dodatni (rys. 1.3)
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.19c) są równe:
cm 7423,30686,727
7268,40686,7427
21
2211C =−
⋅−⋅=
−−
==∑∑
AAxAxA
AxA
xi
ii
cm 6124,30686,727
2732,10686,7327
21
2211C =−
⋅−⋅=
−−
==∑∑
AAyAyA
AyA
yi
ii
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
4
22
2C22
2C11
cm 5023,886784,384452,41259,105,121
])6124,32732,1(0686,74452,4[)6124,33(275,121
])([])([21
=−−+=
=−⋅+−−⋅+=
=−+−−+= yyAIyyAII xxxc
4
22
2C22
2C11
cm 4967,448512,64452,47931,154
])7423,37268,4(0686,74452,4[)7423,34(2754
])([])([21
=−−+=
=−⋅+−−⋅+=
=−+−−+= xxAIxxAII yyyc
4
C2C22C1C11
cm 1834,512786,163342,12610,45,40
)]6124,32732,1)(7423,37268,4(0686,73342,1[
)6124,33)(7423,34(275,40
)])(([)])(([2211
=+−−=
=−−⋅+−
+−−⋅+=
=−−+−−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 3689,33)3262,2(arctg
21
5023,884967,441834,512arctg
212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
-
1.16 Wytrzymałość materiałów
Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 2118,1227123,554995,66
)1834,51(4)4967,445023,88(21)4967,445023,88(
21
4)(21)(
21
=+=
=⋅+−++⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
4
22
22
cm 7872,107123,554995,66
)1834,51(4)4967,445023,88(21)4967,445023,88(
21
4)(21)(
21
=−=
=⋅+−−+⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.20 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C ,
centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .
Rys. 1.20
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.17
Zadanie 1.5. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.21 (podziałka 1:2).
Rys. 1.21
Rozwiązanie
Rozpatrywana figura składa się z trzech figur podstawowych – dwóch prostokątów o wymiarach cm 34× i cm 46× oraz trójkąta prostokątnego o wymiarach cm 36× (rys. 1.22).
Rys. 1.22
Charakterystyki figur składowych są następujące (na podstawie tabeli 1.1):
— prostokąt 1 (rys. 1.22a)
21 cm 1234 =⋅=A
cm 21 =x
cm 23
1 =y
43
cm 912
341
=⋅
=xI
-
1.18 Wytrzymałość materiałów
43
cm 1612
341
=⋅
=yI
011=yxI
— prostokąt 2 (rys. 1.22b)
22 cm 2446 =⋅=A
cm 32 =x
cm 52 =y
43
cm 3212
462
=⋅
=xI
43
cm 7212
462
=⋅
=yI
022=yxI
— trójkąt 3 (rys. 1.22c)
23 cm 92
36=
⋅=A
cm 43 =x
cm 83 =y
43
cm 29
3636
3=
⋅=xI
43
cm 1836
363
=⋅
=yI
422
cm 29
7236
33=
⋅=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.23) są równe:
cm 1544
9241249324212
321
332211C =++
⋅+⋅+⋅=
++++
==∑∑
AAAxAxAxA
AxA
xi
ii
cm 3
1492412
895242312
321
332211C =++
⋅+⋅+⋅=
++++
==∑∑
AAAyAyAyA
AyA
yi
ii
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
4
222
2C33
2C22
2C11
cm 2
53710029
3832
33619
31489
29
31452432
314
23129
])([])([])([321
=+++++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−++−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.19
Rys. 1.23
4
222
2C33
2C22
2C11
cm 5
6342525618
75872
7578416
15444918
154432472
154421216
])([])([])([321
=+++++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−++−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc
4
C3C33
C2C22C1C11
cm 2
1453229
1580
155320
3148
154449
29
3145
15443240
314
23
15442120
)])(([
)])(([)])(([
33
2211
=+++++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−−++
+−−++−−+=
yyxxAI
yyxxAIyyxxAII
yx
yxyxyx cc
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 8297,22
14171450arctg
21
2537
5634
21452
arctg212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 0205,2992041103893953
21454
5634
2537
21
5634
2537
21
4)(21)(
21
≈+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
-
1.20 Wytrzymałość materiałów
4
22
22
cm 2795,962041103893953
21454
5634
2537
21
5634
2537
21
4)(21)(
21
≈−
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.24 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C , centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .
Rys. 1.24
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.21
Zadanie 1.6. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.25 (podziałka 1:2).
Rys. 1.25
Rozwiązanie Rozpatrywana figura składa się z dwóch figur podstawowych – prostokąta o wy-
miarach cm 63× oraz trójkąta prostokątnego o wymiarach cm 63× (rys. 1.26).
Rys. 1.26
Charakterystyki figur składowych są następujące (na podstawie tabeli 1.1):
— prostokąt 1 2
1 cm 1863 =⋅=A
cm 23
1 =x
cm 31 =y
43
cm 5412
631
=⋅
=xI
43
cm 2
2712
631
=⋅
=yI
011=yxI
-
1.22 Wytrzymałość materiałów
— trójkąt 2
22 cm 92
63=
⋅=A
cm 42 =x
cm 72 =y
43
cm 183663
2=
⋅=xI
43
cm 29
3663
2=
⋅=yI
422
cm 29
7263
22=
⋅=yxI moment dewiacji dodatni (rys. 1.2)
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.26) są równe:
cm 37
918
492318
21
2211C =+
⋅+⋅=
++
==∑∑
AAxAxA
AxA
xi
ii
cm 3
13918
79318
21
2211C =+
⋅+⋅=
++
==∑∑
AAyAyA
AyA
yi
ii
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
4
22
2C22
2C11
cm 16864183254
3137918
31331854
])([])([21
=+++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−++−+= yyAIyyAII xxxc
4
22
2C22
2C11
cm 2
1112529
225
227
3749
29
37
2318
227
])([])([21
=+++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−++−+= xxAIxxAII yyyc
4
C2C22C1C11
cm 2
1294029200
3137
3749
29
3133
37
23180
)])(([)])(([2211
=+++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
=−−++−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 4543,24
225258arctg
21
1682
1112
1292arctg
212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.23
Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 3322,1974
130213447
21294
2111168
21
2111168
21
4)(21)(
21
≈+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
4
22
22
cm 1678,264
130213447
21294
2111168
21
2111168
21
4)(21)(
21
≈−
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.27 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C ,
centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .
Rys. 1.27
-
1.24 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 1.7. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności i wartości głównych cen-
tralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.28 (podziałka 1:2).
Rys. 1.28
Rozwiązanie W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić trzy wycinki kół o promieniach, odpo-
wiednio cm 5 i cm 2 (rys. 1.29a) oraz cm 3 (rys. 1.29b).
Rys. 1.29
Charakterystyki figur składowych są następujące (na podstawie tabeli 1.1):
— połówka koła 1
22
1 cm 2699,3925
=⋅
=πA
cm 51 =x
cm 1221,23
541 =
⋅=
πy
44 cm 5981,68598
81=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44
cm 4369,24585
1=
⋅=πIy
011=yxI
— połówka koła 2
22
2 cm 2832,622
=⋅
=πA
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.25
cm 82 =x
cm 8488,03
242 −=
⋅−=
πy
44 cm 7561,1298
82=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44
cm 2832,682
2=
⋅=πIy
022=yxI
— połówka koła 3
22
3 cm 1372,1423
=⋅
=πA
cm 33 =x
cm 2732,13
343 =
⋅=
πy
44 cm 8903,8398
83=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44
cm 8086,3183
3=
⋅=πIy
033=yxI
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.30) są równe:
cm 5,61372,146,283239,2699
31372,1486,2832539,2699
321
332211C
=−+
⋅−⋅+⋅=
=−+−+
==∑∑
AAAxAxAxA
AxA
xi
ii
cm 9099,11372,146,283239,2699
2732,11372,14)8488,0(6,28321221,239,2699
321
332211C
=−+
⋅−−⋅+⋅=
=−+−+
==∑∑
AAAyAyAyA
AyA
yi
ii
Rys. 1.30
-
1.26 Wytrzymałość materiałów
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
4
2
22
2C33
2C22
2C11
cm 3190,1056213,145739,493664,70
])9099,12732,1(1372,148903,8[
)9099,18488,0(2832,67561,1)9099,11221,2(2699,395981,68
])([])([])([321
=−+=
=−⋅+−
+−−⋅++−⋅+=
=−+−−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc
4
2
22
2C33
2C22
2C11
cm 2253,1499893,2044204,207942,333
])5,63(1372,148086,31[
)5,68(2832,62832,6)5,65(2699,394369,245
])([])([])([321
=−+=
=−⋅+−
+−⋅++−⋅+=
=−+−−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc
4
C3C33
C2C22C1C11
cm 0056,705040,310002,264996,12
)]9099,12732,1)(5,63(1372,140[
)9099,18488,0)(5,68(2832,60)9099,11221,2)(5,65(2699,390
)])(([
)])(([)])(([
33
2211
−=−−−=
=−−⋅+−
+−−−⋅++−−⋅+=
=−−+−
+−−++−−+=
yyxxAI
yyxxAIyyxxAII
yx
yxyxyx cc
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 2945,36)1889,3(arctg
21
3190,1052253,149)0056,70(2arctg
212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 6404,2003671,732722,127
)0056,70(4)2253,1493190,105(21)2253,1493190,105(
21
4)(21)(
21
=+=
=−⋅+−++⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
4
22
22
cm 9051,533671,732722,127
)0056,70(4)2253,1493190,105(21)2253,1493190,105(
21
4)(21)(
21
=−=
=−⋅+−−+⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.31 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C ,
centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.27
Rys. 1.31
-
1.28 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 1.8. Określić położenie głównych centralnych osi bezwładności oraz wyznaczyć wartości
głównych centralnych momentów bezwładności figury przedstawionej na rys. 1.32 (podziałka 1:2). Wyniki podać z dokładnością do czterech cyfr po przecinku.
Rys. 1.32
Rozwiązanie
W rozpatrywanej figurze możemy wyodrębnić 5 figur regularnych: prostokąty o wymiarach cm 68× i cm 24× oraz ćwiartkę koła o promieniu cm 4 (rys. 1.33a), oraz trójkąt prostokątny o wymiarach cm 63× i połówkę koła o promieniu cm 3 (rys. 1.33b). Charakterystyki geometryczne figur zestawiono poniżej:
— prostokąt 1 2
1 cm 4868 =⋅=A
cm 41 =x
cm 31 =y
43
cm 14412
681
=⋅
=xI
43
cm 25612
681
=⋅
=yI
011=yxI
— prostokąt 2 2
2 cm 824 =⋅=A
cm 102 =x
cm 52 =y
43
cm 6667,212
242
=⋅
=xI
43
cm 6667,1012
242
=⋅
=yI
022=yxI
Rys. 1.33 — ćwiartka koła 3
22
3 cm 5664,1244
=⋅
=πA
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.29
cm 6977,93
4483 =⋅
+=π
x
cm 3023,23
4443 =⋅
−=π
y
44 cm 0489,14494
163=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44 cm 0489,14494
163=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππIy
44 cm 2166,4481
94
33=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=π
I yx
— trójkąt 4
24 cm 92
63=
⋅=A
cm 14 =x
cm 44 =y
43
cm 183663
4=
⋅=xI
43
cm 5,436
634
=⋅
=yI
422
cm 5,472
6344
=⋅
=yxI
— połówka koła 5
22
5 cm 1372,1423
=⋅
=πA
cm 45 =x
cm 2732,13
345 =
⋅=
πy
44 cm 8903,8398
85=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ππI x
44
cm 8086,3183
5=
⋅=πIy
055=yxI
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.34) są równe:
cm 2270,71372,1495664,12848
41372,14196977,95664,12108448
54321
5544332211C
=−−++
⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=
=−−++
−−++==
∑∑
AAAAAxAxAxAxAxA
AxA
xi
ii
=−−++
−−++==
∑∑
54321
5544332211C AAAAA
yAyAyAyAyAAyA
yi
ii
-
1.30 Wytrzymałość materiałów
Rys. 1.34
cm 4985,31372,1495664,12848
2732,11372,14493023,25664,1258348=
−−++⋅−⋅−⋅+⋅+⋅
=
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
4
2
22
22
2C55
2C44
2C33
2C22
2C11
cm 5002,1098972,782635,200301,327027,209281,155
])4985,32732,1(1372,148903,8[
])4985,34(918[)4985,33023,2(5664,120489,14
)4985,35(86667,2)4985,33(48144
])([])([
])([])([])([
54
321
=−−++=
=−⋅+−
+−⋅+−−⋅++
+−⋅++−⋅+=
=−+−−+−
+−++−++−+=
yyAIyyAI
yyAIyyAIyyAII
xx
xxxxc
4
2
22
22
2C55
2C44
2C33
2C22
2C11
cm 2845,3860267,1794798,3537587,901829,728494,755
])2270,74(1372,148086,31[
])2270,71(95,4[)2270,76977,9(5664,120489,14
)2270,710(86667,10)2270,74(48256
])([])([
])([])([])([
54
321
=−−++=
=−⋅+−
+−⋅+−−⋅++
+−⋅++−⋅+=
=−+−−+−
+−++−++−+=
xxAIxxAI
xxAIxxAIxxAII
yy
yyyyc
4
C5C55
C4C44C3C33
C2C22C1C11
cm 3120,05198,101)6056,23(9228,323093,332157,77
)]4985,32732,1)(2270,74(1372,140[)]4985,34)(2270,71(95,4[
)]4985,33023,2)(2270,76977,9(5664,122166,4
)4985,35)(2270,710(80)]4985,33)(2270,74(480
)])(([
)])(([)])(([
)])(([)])(([
55
4433
2211
−=−−−−+=
=−−⋅+−−−⋅+−
+−−⋅++
+−−⋅++−−⋅+=
=−−+−
+−−+−−−++
+−−++−−+=
yyxxAI
yyxxAIyyxxAI
yyxxAIyyxxAII
yx
yxyx
yxyxyx cc
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.31
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°−≈−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 0646,0)0023,0(arctg
21
5002,1092845,386)312,0(2arctg
212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
Główne centralne momenty bezwładności są równe (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 2849,3863925,1388924,247
)3120,0(4)2845,3865002,109(21)2845,3865002,109(
21
4)(21)(
21
=+=
=−⋅+−++⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
4
22
22
cm 4999,1093925,1388924,247
)3120,0(4)2845,3865002,109(21)2845,3865002,109(
21
4)(21)(
21
=−=
=−⋅+−−+⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.35 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C ,
centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2.
Rys.1.35
-
1.32 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 1.9. Wyznaczyć środek ciężkości oraz główne centralne momenty bezwładności figury
przedstawionej na rys. 1.36 (podziałka 1:2).
Rys. 1.36
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.37. Rozpatrywana figura posiada jedną oś symetrii. Dlatego najpraktyczniej jest przyjąć układ współrzędnych tak, aby jedna z jego osi pokrywała się właśnie z osią symetrii. Oś ta (w naszym przykładzie oś y ) będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności. Moment dewiacji całej figury będzie równy zeru.
W rozpatrywanej figurze złożonej możemy wyodrębnić trzy prostokąty (rys. 1.37) – dwa o wymiarach cm 102× oraz jeden o wymiarach cm 210× . Charakterystyki geo-metryczne figur zestawiono poniżej:
— prostokąt 1 2
1 cm 20102 =⋅=A
cm 41 −=x
cm 51 =y
43
cm 3
50012102
1=
⋅=xI
43
cm 320
12102
1=
⋅=yI
— prostokąt 2 2
2 cm 20102 =⋅=A
cm 42 =x
cm 52 =y
43
cm 3
50012102
2=
⋅=xI
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.33
Rys. 1.37
4
3cm
320
12102
2=
⋅=yI
— prostokąt 3 2
3 cm 20210 =⋅=A
cm 03 =x
cm 13 −=y
43
cm 320
12210
3=
⋅=xI
43
cm 3
50012
2103
=⋅
=yI
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.37) są równe:
0C =x
cm 3202020
)1(20520520
321
332211C =++
−⋅+⋅+⋅=
++++
==∑∑
AAAyAyAyA
AyA
yi
ii
Centralne momenty bezwładności rozpatrywanej figury są równe:
4222
2C33
2C22
2C11
cm 820)31(20320)35(20
3500)35(20
3500
])([])([])([321
=−−⋅++−⋅++−⋅+=
=−++−++−+= yyAIyyAIyyAII xxxxc
4222
2C33
2C22
2C11
cm 820)00(203
500)04(203
20)04(203
20
])([])([])([321
=−⋅++−⋅++−−⋅+=
=−++−++−+= xxAIxxAIxxAII yyyyc
Wyznaczone momenty centralne rozpatrywanej figury są jednocześnie głównymi centralnymi momentami bezwładności 1I i 2I .
-
1.34 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 1.10. Wyznaczyć środek ciężkości oraz główne centralne momenty bezwładności figury
przedstawionej na rys. 1.38.
Rys. 1.38
Rozwiązanie
Wprowadzamy układ współrzędnych yx, , jak na rys. 1.39. W rozpatrywanej figu-rze możemy wyodrębnić dwa prostokąty o wymiarach cm 8,02,7 × oraz cm 128,0 × . Charakterystyki geometryczne prostokątów zestawiono poniżej:
— prostokąt 1 2
1 cm 6,9128,0 =⋅=A
cm 4,01 =x
cm 61 =y
43
cm 2,11512
128,01
=⋅
=xI
43
cm 512,012
128,01
=⋅
=yI
011=yxI
— prostokąt 2 2
3 cm 76,58,02,7 =⋅=A
cm 4,42 =x
cm 4,02 =y
43
cm 3072,012
8,02,72
=⋅
=xI
43
cm 8832,2412
8,02,72
=⋅
=yI
022=yxI
Rys. 1.39
-
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1.35
Współrzędne środka masy figury (rys. 1.39) są równe:
cm 9,176,56,9
4,476,54,06,9
21
2211C =+
⋅+⋅=
++
==∑∑
AAxAxA
AxA
xi
ii
cm 9,376,56,9
4,076,566,9
21
2211C =+
⋅+⋅=
++
==∑∑
AAyAyA
AyA
yi
ii
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji figury są równe:
422
2C22
2C11
cm 4032,228)9,34,0(76,53072,0)9,36(6,92,115
])([])([21
=−⋅++−⋅+=
=−++−+= yyAIyyAII xxxc
422
2C22
2C11
cm 9952,82)9,14,4(76,58832,24)9,14,0(6,9512,0
])([])([21
=−⋅++−⋅+=
=−++−+= xxAIxxAII yyyc
4
C2C22C1C11
cm 64,80)9,34,0)(9,14,4(76,50)9,36)(9,14,0(6,90
)])(([)])(([2211
−=−−⋅++−−⋅+=
=−−++−−+= yyxxAIyyxxAII yxyxyx cc
Korzystając z zależności (1.12) wyznaczamy kąt 0φ , o jaki należy obrócić układ współrzędnych, aby moment dewiacji był równy zeru:
°≈=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 9813,23),10921(arctg
21
4032,2289952,82)64,80(2arctg
212arctg
21
0cc
cc
xy
yx
III
φ
Główne centralne momenty bezwładności są równe (1.13) i (1.14):
4
22
22
cm 2749,2645757,1086992,155
)64,80(4)9952,824032,228(21)9952,824032,228(
21
4)(21)(
21
=+=
=−⋅+−++⋅=
=+−++=cccccc yxyxyx IIIIII1
4
22
22
cm 1235,475757,1086992,155
)64,80(4)9952,824032,228(21)9952,824032,228(
21
4)(21)(
21
=−=
=−⋅+−−+⋅=
=+−−+=cccccc yxyxyx IIIIII2
Na rys. 1.40 przedstawiono rozwiązanie końcowe, tj. położenie środka masy C , centralne osie bezwładności cx i cy oraz główne centralne osie bezwładności 1 i 2, obrócone o wyznaczony kąt 0φ .
-
1.36 Wytrzymałość materiałów
Rys. 1.40