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Sabrina Dechima
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Euler, fue contemporáneo de varios otros famosos matemáticos , tales como Immanuel Kant, Johann Hamann y Christian Goldbach, por lo que Königsberg fue un importante epicentro científico. Es en este ambiente que surge la formulación del problema, propagándose a modo de juego matemático entre los intelectuales de la época
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El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. Pero a la vez se lo considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría
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Un poco de Historia
La ciudad era atravesada
por un río, el cual dividía
el terreno en cuatro regiones,
las que estaban unidas
mediante siete puentes
Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel
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¿Cuál era la consigna a resolver?
¿Es posible dar un paseo
comenzando desde cualquier
regiones, pasando por todos
los puentes, recorriendo
sólo una vez cada uno, y
regresando al mismo punto
de partida?
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Euler demuestra una solución general del problema, para ello recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas
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Euler determinó, que los puntos intermedios de un recorrido posible deben estar conectados a un número par de líneas. Ya que, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por otra diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.
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Es imposible recorrer los puentes pasando SOLO una vez por cada uno
Como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes, entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas
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Veamos si entendieron
Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar el lápiz cuando tienen dos o ningún vértice impar.
Será posible recorrer la figura SIN LEVANTAR EL LÁPIZ.
¿Por qué?
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La importancia de este concepto
La abstracción del problema dio pie a la primera noción de grafo, que es un tipo de estructura de datos, utilizada ampliamente en matemática discreta y en ciencias de la computación. A los puntos se les llaman vértices y a las líneas aristas. Al número de aristas incidentes a un vértice se le llama el grado de dicho vértice.
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No hay restricciones para formar un grafo
Puede haber varias aristas entre dos vérticeEl vértice de partida y el de llegada puede ser el mismoLas aristas pueden o no llevar flechas
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Grafos simples : no poseen aristas orientadas, ni bucles, pero además, entre un mismo par de vértices no se admiten dos o más aristas
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Multígrafo: se permiten aristas múltiples
Pseudografo: se permiten aristas múltiples y bucles
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Multígrafos dirigidos
Grafos orientados
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Pseudografos dirigidos
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Aplicación más conocida Teorema de los cuatro colores
Dado cualquier mapa con regiones continuas, puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (que compartan todo un segmento de borde en común) con el mismo color
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Fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. El problema más importante referido a la demostración es que necesitaron computadoras para hacerlo, lo cual le resta prestigio, pero algo a favor es que de manera manual hubiera sido imposible realizarla de otra forma.Convirtiéndose, de esta manera en el primer teorema demostrado de esta forma
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Vamos a un ejemplo concreto
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Mapa de Mc Gregor, 1975
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