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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
INSTITUTO TECNOLOGICO DE CELAYA DEPARTAMENTO DE INGENIERA QUMICA
"MODELOS DE REFERENCIA ACOPLADOS CON FILTRO KALMAN PARA LA MANIPULACIN DE
SISTEMAS CON RESPUESTA COMPLEJA"
POR
MARIO CALDERN RAMREZ
TESIS PRESENTADA AL DEPARTAMENTO DE INGENIERA QUMICA COMO REQUISITO PARCIAL
PARA OBTENER EL GRADO DE:
DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA QUIMICA
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. RAMIRO RICO MARTINEZ
CELAYA, GTO., FEBRERO DE 2015
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Dedico esta Tesis a mi esposa Rubria
y a mis hijas Naia Natalia (Chopo)
e Irina Natasha (Irinuchis).
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Agradezco a:
Dr. Ramiro Rico Martnez por todo el apoyo que me brind en la consecucin de esta tesis, fue un gua tanto en lo acadmico como en lo personal, me proporcion todo lo que necesit y sus consejos de vida, son el regalo ms grande con el que me quedo, gracias por las comidas tan ricas, los congresos tan enriquecedores, el total apoyo en las estancias, el dejarme trabajar a mi ritmo y gracias por ser mi asesor y un gran amigo mo y de mi familia.
Dr. Punit Parmananda por recibirme en la India, un viaje espiritual que fue una transformacin de vida, entend lo que es la pasin por la ciencia y que la investigacin es algo que se hace por conviccin, adems gracias por las correcciones que me ha enseado que ser meticuloso es parte del xito.
Dr. Jos Francisco Louvier por permitirme hacer mis experimentos en el laboratorio de biopolmeros, por convivir con su equipo de trabajo y hacerme sentir parte en el laboratorio.
Dra. Elizeth Ramrez por el apoyo en la parte experimental, por ser una amiga que siempre me orient y por los momentos tan agradables que compart con ella y su esposo Cristian.
Dr. Hugo Jimnez Islas por sus consejos, su gua, sus enseanzas y la confianza para hablar de ciencia.
Profesores del Posgrado de Qumica: Vicente Rico, Guillermo Alatorre, Fernando Tiscareo, Arturo Jimnez, Alejandro Estrada, Richard Vzquez, gracias por todas sus enseanzas, me permitieron ver a la Ingeniera Qumica de una forma ms integral y me han mostrado el compromiso con el estudio.
Compaeros de Celaya: Abraham, Hctor, Norha, Cristian, Capo, Majo, Julio Cesar, Juan Manuel, Daly, Matilde, Braulio, Elizabeth y los dems que no puedo mencionar por falta de espacio, por acompaarme en mi travesa, los momentos de risa y de estudio, as como las plticas y las cervezas caceras y el Dr. Carlos Figueredo por ser tan alegre y optimista, que me permite ver que tambin los doctores pueden disfrutar su vida.
Compaeros en India: Tanu, Dinesh, Sonali, Jorge, Dr. Marco, por acompaarme en mi viaje espiritual, los consejos, artculos, apoyos con el latex y gracias por mostrarme que con experimentos simples de bajo presupuesto se puede publicar artculos de ciencia relevantes.
Conocidos en el ICTP en Italia: Cicutin, Liz, Cristian, Carolina, Deepak, Aron y el Dr. Tinsley por sus comentarios de mi trabajo y la convivencia tan agradable en Europa.
Conocidos en el ICTP en Costa Rica: Juan, Eduardo, Nahm, Woo, Arturo, Harold por mostrarme que mi trabajo realizado en esta tesis tiene trascendencia en otras reas y mi compaero de Licenciatura Jos Snchez por recibirme en Chicago y saber que hay amistades que siguen an con los aos.
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I
RESUMEN
El control tiene como objetivo lograr que un sistema sea inducido a un estado particular.
Algunos sistemas excitables pueden presentar dinmicas complejas debido a la presencia de
ruido en su dinmica. En este trabajo se aplic una metodologa que acopla la habilidad de
capturar las caractersticas no lineales de un sistema que tiene una Red Neuronal Artificial
(RNA) con un corrector lineal, denominado Filtro de Kalman (FK), como observador de los
errores generados por el modelo. Acoplando estas dos arquitecturas se forma un modelo de
referencia capaz de predecir comportamientos complejos que permiten adaptarse a
perturbaciones generadas en la dinmica del sistema.
Se utiliz la amplitud de ruido como parmetro de control, primero en un sistema dinmico
terico de dinmica excitable, FitzHugh Nagumo (FNH), a este comportamiento se le
aadi el efecto de una seal subumbral externa peridica, aperidica y constante. El
comportamiento de la dinmica muestra una Resonancia Estocstica Peridica (REP),
Resonancia Estocstica Aperidica (REA) y Resonancia Coherente (CR) como resultado de
esta seal. Se realiz un seguimiento de las curvas de correlacin para la REP y la REA
para alcanzar el valor de mxima fidelidad entre seales. En el caso de la RC se hizo el
seguimiento en la curva de la Varianza Normalizada (VN) para llegar al valor mnimo que
ndica mxima regularidad.
Esta metodologa se verific para un sistema electroqumico para inducir un estado de
regularidad mximo en base a la variacin de la amplitud del ruido. Se aplic para un
sistema terico y posteriormente a un sistema experimental. Los resultados mostraron que
la arquitectura RNA-FK como modelo de referencia, acoplado a un controlador
Proporcional Integral (PI) clsico permite la induccin de coherencia con una ventana corta
de informacin de la serie de tiempo para predecir un estado complejo estadstico.
Se prev que para sistemas ms detallados se requerir el uso de un modelo de dinmica
continuo que tenga todas las bondades de identificacin que tiene el RNA-FK y por lo tanto
se propuso un RNA-FK Continuo que permita la correccin de errores en lnea usando una
RNA entrenada fuera de lnea.
Dirigida por: Ramiro Rico Martnez.
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II
ABSTRACT
Controllers are designed to induce a particular state in a system. Some excitable systems
may exhibit complex dynamics due to the presence of noise in their dynamics. In this paper
a methodology that uses the ability to capture the nonlinear characteristics of a system via
an Artificial Neural Network (ANN) coupled with a linear corrector, called Kalman Filter
(FK) that takes into account the observer errors was applied. Combining these two elements
as a reference model can predict complex behaviors that can be adapted to disturbances
generated in the system dynamics. Noise amplitude was used as a control parameter in a
theoretical excitable system dynamics, Fitz Hugh Nagumo (FNH), to this behavior, it was
added the effect of a periodic, aperiodic and subthreshold constant external signal. The
dynamical behavior displays Stochastic Periodic Resonance (SPR) Stochastic Aperiodic
Resonance (SAR) and Coherent resonance (CR) as a result of this signal. Tracking
correlation curves for the SPR and the SAR for achieving high fidelity value between
signals was performed. In the case of the CR track was made in the curve of Normalized
Variance (NV) to reach the minimum value indicating maximum regularity.
This technique was verified for an electrochemical system to inducing a state of maximum
regularity based on the variation of the noise amplitude. The strategy was applied to a
theoretical system and then to an experimental one. The results showed that the ANN-KF
architecture as reference model, coupled with a classical Proportional Integral (PI)
controller allows to induce regularity with a short window of time series information to
predict statistical complex states.
It is expected that for more detailed systems using a continuous dynamic model that has all
the benefits of system identification that has RNA-FK will be required and therefore
proposed an ANN-FK Continuous reference model, which allows error correction online
using an ANN trained offline.
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III
Tabla de contenido
RESUMEN .....................................................................................................................I
ABSTRACT .................................................................................................................. II
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... V
CAPITULO I ..................................................................................................................... 1
Introduccin ................................................................................................................... 1
Planteamiento del problema ........................................................................................ 6
Justificacin................................................................................................................ 7
Hiptesis .................................................................................................................... 8
Objetivos .................................................................................................................... 8
Organizacin de la Tesis ............................................................................................. 9
CAPITULO II .................................................................................................................. 10
Antecedentes ................................................................................................................ 10
Sistemas Dinmicos no lineales ................................................................................ 10
Herramientas de Anlisis de Sistemas dinmicos ...................................................... 11
Teora de Bifurcaciones en SD .................................................................................. 15
Redes neuronales artificiales ..................................................................................... 17
Mtodos de Aprendizaje de las RNA ........................................................................ 19
Filtro de Kalman neuronal ........................................................................................ 19
Conceptos de clculo estocstico .............................................................................. 21
Anlisis de Datos ...................................................................................................... 26
CAPITULO III ................................................................................................................. 32
Metodologa ................................................................................................................. 32
Sistema Terico ........................................................................................................ 32
Control RNA-FK (Neuronal Asistido) ...................................................................... 37
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IV
Sistema Experimental ............................................................................................... 40
Control RNA-FK Continuo ....................................................................................... 42
CAPITULO IV ................................................................................................................. 46
Resultados .................................................................................................................... 46
Control sin seal subumbral ...................................................................................... 46
Control con seal subumbral ..................................................................................... 48
Control del Sistema Experimental. ............................................................................ 56
Caso de Estudio RNA-FK continuo .......................................................................... 60
CAPITULO V .................................................................................................................. 63
CONCLUSIONES........................................................................................................ 63
Bibliografa ...................................................................................................................... 65
ANEXOS ......................................................................................................................... 72
ANEXO A: MTODOS DE ENTRENAMIENTO DE REDES .................................... 72
Gradiente Conjugado ................................................................................................ 72
Levenberg-Marquardt ............................................................................................... 74
ANEXO B: PREPARACION DE EXPERIMENTO ..................................................... 76
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V
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 FRAGMENTO DE UN PLANO FASE QUE INDICA DIFERENTES PUNTOS (A,B,C,D) DE COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNA DINMICA (STROGATZ, 2000). ............................................ 13
FIGURA 2.2 ESQUEMA DE ACTIVACIN DE LAS NEURONAS PARA PRODUCIR LA SALIDA. ........................... 18 FIGURA 2.3 RNA DE ALIMENTACIN HACIA ADELANTE, 1 CAPA OCULTA DE N NEURONAS, CON N NEURONAS
EN LA ENTRADA Y 1 EN LA DE SALIDA ........................................................................................ 18 FIGURA 2.4 DIAGRAMA DE LA ARQUITECTURA RNA-FK ...................................................................... 20 FIGURA 2.5 A) SEAL SUBUMBRAL SINUSOIDAL MS UNA SEAL DE RUIDO QUE CRUZA UN UMBRAL, B)
CRUCE DE LA SEAL SUBUMBRAL MARCADA COMO UNA SECUENCIA DE PULSOS. ........................... 27
FIGURA 3.1 SISTEMA FHN CON A>1 (A=1.25) EN LA PRESENCIA DE DINMICA DE PUNTO FIJO, IZQUIERDA PLANO FASE Y A LA DERECHA LA SERIE DE TIEMPO. .................................................................... 34
FIGURA 3.2SISTEMA FHN CON A
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VI
FIGURA 4.6 SEGUIMIENTO DE LA CURVA DE REP, DONDE EL PANEL IZQUIERDO INICIA CON VALORES INICIALES BAJOS Y EL DERECHO EN ALTO DE RUIDO IMPUESTO, EN LOS PANELES SUPERIORES EST LA
RELACIN CORRELACIN CONTRA LA AMPLITUD DE RUIDO Y EN EL INFERIOR EL SEGUIMIENTO DE LA
AMPLITUD DE RUIDO EN CADA CONTROL DE PASO. ...................................................................... 51 FIGURA 4.7 SERIES DE TIEMPO DE UNA SEAL SUBUMBRAL APERIDICA DEL MODELO FHN PARA
AMPLITUDES A) BAJO, B) MEDIO Y C) ALTO. EL PANEL D) ES LA CORRELACIN CRUZADA.................. 52 FIGURA 4.8 EN ESTA FIGURA SE MUESTRA EL CAMINO DE SEGUIMIENTO PARA LA CORRELACIN EN LA
CURVA DE RESONANCIA ESTOCSTICA APERIDICA, EL PANEL IZQUIERDO CORRESPONDE A UN NIVEL
BAJO DE RUIDO COMO VALOR INICIAL Y EL DERECHO A UN NIVEL ALTO EN LA AMPLITUD DE RUIDO, LOS
PANELES SUPERIORES MUESTRAN EL SEGUIMIENTO Y LA CONVERGENCIA AL PUNTO DE RESONANCIA Y
LOS INFERIORES LA CONVERGENCIA AL VALOR PTIMO DE RUIDO................................................. 53 FIGURA 4.9 SERIES DE TIEMPO DEL SISTEMA INDUCIDO POR RUIDO FHN DONDE SE TIENE BAJO A)
INTERMEDIO B) Y ALTO C) NIVEL DE RUIDO, LA GRFICA D) MUESTRA EL COMPORTAMIENTO DE LA VN,
Y (E, F, G) SUS RESPECTIVOS ESPECTROS DE POTENCIA. ............................................................ 54 FIGURA 4.10 SEGUIMIENTO DE LA VARIANZA NORMALIZADA EN LA CURVA DE RESONANCIA ESTOCSTICA,
EN LA IZQUIERDA CORRESPONDE A VALORE INICIALES BAJOS DE RUIDO SOBREIMPUESTO, Y EN LA
DERECHA CORRESPONDE A VALORES INICIALES ALTOS. LOS PANELES SUPERIORES SE MUESTRAN EL
SEGUIMIENTO Y LA EVENTUAL CONVERGENCIA AL PUNTO DE MNIMA RESONANCIA COHERENTE, Y LOS
PANELES INFERIORES CORRESPONDEN A LA CONVERGENCIA DEL VALOR DEL RUIDO IMPUESTO. ...... 55 FIGURA 4.11 BIFURCACIN EXPERIMENTAL DEL SISTEMA H2SO4 FE, EN LA IZQUIERDA EL VOLTAJE FUE
VARIANDO DE MENOR A MAYOR, Y EN LA DERECHA DE MAYOR A MENOR. ....................................... 56 FIGURA 4.12 FRECUENCIA EN LAS OSCILACIONES DE LOS VOLTAJES FIJOS 260 MV, 255MV, 250 MV Y 245
MV MOSTRADOS EN LA IZQUIERDA DE ARRIBA HACIA ABAJO (PANEL IZQUIERDO). INCREMENTO DE LA
DISTANCIA ENTRE PICOS CONTRA VOLTAJE ANDICO (PANEL DERECHO). ...................................... 57 FIGURA 4.13 MAPA DE DISTANCIAS ENTRE PICOS NORMALIZADO DE LA SEAL RUIDOSA A DIFERENTES
AMPLITUDES DE RUIDO. ........................................................................................................... 58 FIGURA 4.14 GRAFICA DE LA VARIANZA NORMALIZADA EXPERIMENTAL ................................................. 59 FIGURA 4.15 SEGUIMIENTO DE LA VN HACIA LA AMPLITUD DE RUIDO DE MAYOR REGULARIDAD (PANEL
IZQUIERDO), SEGUIMIENTO DE LA AMPLITUD DE RUIDO POR CADA ETAPA DE CONTROL (PANEL
DERECHO). ............................................................................................................................ 60 FIGURA 4.16 REPRESENTACIN ESQUEMTICA DE RNA ACOPLADA A UN RUNGE-KUTTA DE 4 ORDEN PARA
DESCRIBIR SISTEMAS DINMICOS. ............................................................................................ 61 FIGURA 4.17 TRAYECTORIAS DE LA RNA, UN MODELO EXPERIMENTAL Y EL MODELO DE REFERENCIA RNA-
FK. ...................................................................................................................................... 62
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CAPITULO I
Introduccin
Las reacciones electroqumicas proporcionan un ejemplo prototipo de un sistema complejo,
donde las interacciones qumicas y los procesos fsicos como la transferencia de masa y el
comportamiento electroesttico produce variaciones respecto del tiempo y dependencias
espaciales en las velocidades de reacciones que resultan no ser triviales.
La integracin del modelamiento matemtico y el desarrollo experimental son
denominadores comunes en los sistemas electroqumicos donde se pretende comprender las
propiedades que surgen de estos sistemas.
Una gran cantidad de sistemas, que en su mayora se encuentran lejos del equilibrio,
presentan elementos comunes de inters en esta direccin. Entre ellos se pueden mencionar,
electro-catlisis, corrosin, bio-electroqumica, electrodeposicin, bateras qumicas, celdas
de energa y semiconductores de ltima generacin. Ejemplos concretos de los
comportamientos complejos incluyen multiestabilidad, oscilaciones peridicas, aperidicas
o caticas, formacin de patrones derivados de reacciones conducidas por una corriente
elctrica, estabilidad y funcionamiento paralelo de celdas de energa, dinmicas de reaccin
acopladas con transferencia de masa y fenmenos estocsticos de corrosin entre otros que
resultan tener comportamientos complejos que son de inters en el diseo de aplicaciones.
Debido a que la ciencia cada da es mayormente multidisciplinar, se han ido desvaneciendo
las barreras tradicionalistas que preponderaban, para abrir paso a expertos en mltiples
campos que empleen matices matemticos y experimentales fuertemente vinculados que
amplen la visin que se tena, para la caracterizacin de respuestas dinmicas en dominios
espaciotemporales. La adopcin de esta variedad de perspectivas en diversos campos de la
ciencia, expande considerablemente la compresin y el entendimiento de estos complejos
procesos.
En algunos casos un sistema complejo presenta caractersticas de excitabilidad, en la cual
se posee la cualidad de permanecer en un estado transitorio de reposo estable (punto de
equilibrio) cerca de un umbral de ciclo lmite sin desestabilizarse, en el cual si se es
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INTRODUCCION
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perturbado desencadenar saltos de seal que en una amplitud de ruido determinada,
presentar una caracterstica de mxima uniformidad, en donde el sistema se considera en
estado de resonancia coherente (RC) (Lindner, Garca-Ojalvo, Neiman, & Schimansky-
Geier, 2004).
Este fenmeno de RC ha demostrado tener un efecto positivo en sistemas donde la seal de
ruido puede oscilar entre un estado de excitacin y otro de recuperacin mostrando
caractersticas altamente no lineales contra intuitivo respecto a la visin tradicional, donde
el ruido representa una variable que debe ser eliminada o atenuada de cualquier sistema.
Se ha encontrado que el ruido puede potenciar las reacciones qumicas donde el ruido
modifica el comportamiento del sistema a un estado resonante donde los productos se
obtienen al mximo, en ciertos niveles ptimos de ruido incrementando el rendimiento y la
eficiencia de la reaccin (Liu, Lai, & Lopez, 2002).
Las perturbaciones que provocan el ruido en los sistemas biolgicos son resultado de su
interaccin con el medio ambiente. Los comportamientos oscilatorios y rtmicos juegan un
rol universal en la funcin celular, y su objetivo consiste en mantener operaciones robustas
y reproducibles en la presencia de perturbaciones, por lo cual se sugiere que la resonancia
coherente es una herramienta del arsenal biolgico que incrementa la robustez de algunos
sistemas para ser invulnerables a la presencia de ruido celular, donde se juega con las
relaciones entre las dinmicas intrnsecas de un sistema biolgico. En el sistema de
expresin gentica, la transcripcin y la transduccin de las protenas se desarrollan en
escalas de tiempo pequeas mientras que los procesos de dimerizacin y fosforilacin de
protenas son en escalas grandes, la resonancia coherente juega un rol crucial de
sincronizacin de poblaciones celulares. Como osciladores ruidosos acoplados pueden
iniciar o progresar para estar fuera de fase es necesario un mecanismo que produzca un
comportamiento colectivo coherente (El-Samad, H. & Khammash, M., 2006).
En los sistemas de reaccin biolgica que se ven envueltos los conceptos de resonancia,
como es el caso de los ciclos oscilatorios circadianos, son relevantes los conceptos de ruido
intrnseco (interno) y el ruido inducido, aadido al sistema o extrnseco (externo), en donde
se puede apreciar que cuando el sistema es controlado por el ruido interno este puede
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INTRODUCCION
Mario Caldern Ramrez Pgina 3
provocar resonancia coherente, mientras que en sistemas de ruido compuesto, externo e
interno, el ruido externo puede opacar los efectos del ruido interno, mientras la resonancia
coherente debida al ruido interno aumenta mediante la modulacin de ruido externo (Ya
Jia, M.Y., Liu, Q., Li, J., & Zhu, C., 2006).
Los osciladores de calcio son muy importantes en la regulacin de mltiples sistemas
celulares y se han estudiado los mecanismos que rigen sus interacciones que tiene el ruido
interno y externo respecto del comportamiento del sistema, y se ha encontrado que la
resonancia coherente inducida por ruido interno puede suprimirse por el ruido externo,
mientras que la resonancia coherente inducida por el ruido externo puede incrementarse
modulando la intensidad del ruido interno, mostrando que existe cierta competitividad del
efecto del ruido para lograr un comportamiento ms estable en los sistemas (Yu, G, Yi, M.,
Jia, Y., & Tang, J., 2009).
La dinmica ambiental se ve afectada a menudo por fluctuaciones aleatorias, que juegan un
rol fundamental en la composicin y estructura de los ecosistemas, y el caso de su
dinmica, los ecosistemas dependiente de recursos hdricos del subsuelo han demostrado el
surgimiento de un tipo de vegetacin freatfita 1 dependiendo de las propiedades
derminsticas inherentes en el ecosistema y la intensidad de los rectores estocsticos que
provocan las fluctuaciones ambientales, en el estudio se analiz el efecto de las
perturbaciones naturales y las provocadas por el hombre y en los resultados se observa
claramente el efecto de la resonancia coherente en el surgimiento de flora especfica
(Borgogno, DOdorico, Laio, & Ridol, 2012)
La manipulacin de sistemas que tengan validez experimental y terica en un sistema de
comportamiento determinista complejo y reproducible, permite a la teora de control probar
nuevas estrategias para la induccin de estados no predecibles matemticamente.
Previamente se han desarrollado modelos de referencia basados en Redes Neuronales
capaces de describir bifurcaciones y comportamientos no lineales, proponiendo algoritmos
retroalimentados y predictivos para el anti-control del caos, utilizados con xito en sistemas
invariantes (Louvier-Hernndez, Rico-Martnez, & Parmananda, 2001).
1 Los freatofitos o plantas freatfilas son vegetales que se abastecen del agua de los mantos freticos con la que sus races estn en contacto de forma permanente y suelen ser races muy profundas.
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INTRODUCCION
Mario Caldern Ramrez Pgina 4
En el caso de sistemas donde existe una propagacin del error inherente, la Red Neuronal
pierde robustez, para resolver esta situacin se desarroll una metodologa basada en un
observador del error propagado como el Filtro de Kalman, de manera que sirviera para
adaptar el modelo Neuronal de prediccin respecto al error generado en el sistema, esta
estrategia predictiva permite hacer correcciones en lnea, es decir en la medida que se van
tomando los datos, y se prob su funcionamiento en un modelo matemtico de
electrodisolucin de metal en una celda electroqumica dando buenos resultados de
correccin en la prediccin (Bernal-Osorio, 2006). Se puede encontrar en la literatura
sistemas experimentales que involucren la interaccin del ruido externo con la dinmica
qumica no linear y corroborar el efecto constructivo de las perturbaciones, donde el
surgimiento de la resonancia coherente involucra el ruido impuesto, el ruido intrnseco, la
dinmica determinista excitable y la condicin no estacionaria provocada por el drift
(desplazamiento en el tiempo de la variable) (Escalera-Santos, Rivera, Eiswirth, &
Parmananda, 2004), con estos experimentos se puede validar la robustez del control
desarrollado.
Esta metodologa de acoplamiento se prob en un modelo de campo medio con
simulaciones Monte Carlo para el proceso de oxidacin cataltica. Para mejorar las
simulaciones de modelos libres de ecuaciones, esta estrategia Neuronal Acoplada requiere
el uso de las trayectorias de la simulacin molecular al generar el modelo que pueda ser
usado en un control retroalimentado, y as permita la construccin debifurcaciones. En este
estudio se mostr que esta metodologa Red Neuronal y Filtro de Kalman (RNA-FK) era
capaz de reducir el error del modelo cualitativo utilizado al caracterizar la respuesta
dinmica de la cintica molecular (Gonzlez-Figueredo & Rico-Martnez, 2005).
Para la prueba experimental de que esta metodologa RNA-FK era funcional, se emple un
sistema de electrodisolucin potenciostatica de cobre en cido fosfrico (H3PO4-Cu)
encondiciones de baja temperatura (-17.5 C), donde se logra promover la aparicin y
mantenimiento de un estado catico a travs de la desestabilizacin de las orbitas de
periodo dos de donde se inici el experimento (Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, &
Parmananda, 2010).
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INTRODUCCION
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Las bifurcaciones detectadas experimentalmente, involucradas en la oxidacin
electroqumica del cobre en cido fosfrico requieren el uso de modelos con capacidades de
prediccin cualitativa y cuantitativa de alta gama que sean capaces de compensar los
efectos inherentes del "drift". La estrategia RNA-FK mostr la suficiente robustez para la
bsqueda experimental de bifurcaciones, se hizo una bsqueda del periodo dos partiendo
del periodo uno, usando un control de horizonte recedente ,se emplea el observador FK
como corrector del modelo RNA y al minimizar la funcin de costo se busca la trayectoria
en la deteccin de la bifurcacin, este modelo asistido muestra buenas cualidades en la
correccin de errores en lnea, logrando mejorar significativamente la localizacin de la
bifurcacin (Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez, Gonzlez-Figueredo, &
Parmananda, 2013)
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INTRODUCCION
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Planteamiento del problema
El caos es un comportamiento aperidico de tiempo prolongado en un sistema determinista
que exhibe una extremada dependencia a las condiciones iniciales (Strogatz, 2000). Un
proceso estocstico consiste en una sucesin de variables aleatorias que solo se pueden
describir desde un concepto estadstico. En base a lo anterior surge el cuestionamiento de
que si la metodologa RNA-FK, que ha sido probada exitosamente en sistemas de dinmica
catica (Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez, Gonzlez-Figueredo, &
Parmananda, 2013; Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, & Parmananda, 2010), puede corregir
las trayectorias de un sistema con perturbaciones estocsticas, y as comprobar si conserva
una capacidad predictiva.
Primero se requiere de un planteamiento terico a travs del uso de un modelo ampliamente
conocido y estudiado (FitzHugh Nagumo), aplicar la integracin estocstica en condiciones
de cercana al punto fijo y controlar el sistema con la variable amplitud de ruido para
lograr que el sistema logre establecerse en su mxima regularidad (Pikovsky & Kurths,
1997), como respuesta esperada, corroborar este comportamiento cuando adems del ruido
se presenta una seal subumbral peridica y aperidica.
Posteriormente esta misma metodologa debe corroborarse experimentalmente verificando
que se alcance la mxima coherencia en la respuesta de un sistema electroqumico tipo que
presente bifurcacin homoclnica y punto fijo, como la electrodisolucin del hierro en el
cido sulfrico (Escalera-Santos, Rivera, Eiswirth, & Parmananda, 2004), si se verifica
experimentalmente se podr sostener con certeza que esta tcnica tiene capacidades
predictivas estadsticas an en sistemas estocsticos.
Algunos comportamientos, diferentes a los oscilatorios, requieren para su correcta
descripcin de aproximaciones que no son de tipo discreto, y por lo tanto, no son posibles
de describir con mapas, por lo que se plantea una metodologa RNA-FK en estado
continuo (Rico-Martinez, Krischer, & Gevrekidis, 1992). Para probar su viabilidad se
aplica en un caso simple con desviacin lineal variante en el tiempo y con datos entrenados
de una Red Neuronal invariante, que puede extrapolarse en concepto como un
comportamiento drift en posteriores anlisis.
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INTRODUCCION
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Justificacin
La tecnologa de control es un campo de la ingeniera en constante crecimiento, debido a la
necesidad imperante de metodologas inteligentes que permitan resolver problemas
complejos en bsqueda de la respuesta ptima en sistemas tanto industriales como
domsticos. El estudio de las redes Neuronales han tenido mucho auge como modelo de
respuesta inteligente y actualmente tienen mltiples aplicaciones que podemos ver
cotidianamente en nuestros aparatos electrnicos y en sistemas industriales de alta
complejidad, pero se encuentra el problema que estas redes solo son vlidas en una regin
especfica de entrenamiento, y ante la presencia de perturbaciones o factores que afecten el
comportamiento temporal de la dinmica, pierde gran parte de sus habilidades predictivas,
se han intentado estrategias para compensar esto, pero los resultados presentan correccin
significativa solo en casos especficos al ir evolucionando en el tiempo, adems que no se
guarda informacin sobre la tendencia de los errores manifestados previamente (Haykin,
2005).
Se ha corroborado en trabajos previos que una metodologa de autocorreccin tipo RNA-
FK es una herramienta que ha funcionado en anticontrol de caos y bsqueda de
bifurcaciones (Gonzlez-Figueredo & Rico-Martnez, 2005; Ramrez-lvarez, Rico-
Martnez, & Parmananda, 2010; Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez,
Gonzlez-Figueredo, & Parmananda, 2013), y ha mostrado robustez tanto terica como
experimental, pero ahora esta misma tcnica se prueba en sistemas estocsticos donde se
busca una respuesta estadstica especfica, y se busca su validacin tanto de forma terica
como experimental y a su vez sentar las bases de un anlisis dinmico basndonos en esta
arquitectura.
Por otra parte la descripcin de los sistemas tiene un sentido continuo en la naturaleza, por
lo que se abre la necesidad de tratar de ampliar el uso de esta arquitectura, ya analizada para
el caso discreto, para una aplicacin en estado continuo y como primer paso se plantea la
formulacin matemtica de una arquitectura RNA-FK continua.
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INTRODUCCION
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Hiptesis
La estadstica de los sistemas complejos estocsticos puede ser predicha e identificada a
travs de una arquitectura tipo RNA-FK, es posible corroborar esta tcnica con el uso de
experimentos y simulaciones tericas, adems que con esta informacin se pueden inducir
estados en los sistemas dinmicos utilizando el ruido como variable de control, adems que
esta metodologa puede ser extendida como una herramienta continua en sistemas de
condiciones variantes en el tiempo.
Objetivos
General
Inducir las respuestas de un sistema estocstico complejo regulando la amplitud de ruido
inyectado en un sistema, validando su comportamiento tanto terico como experimental y
sentar las bases de un modelo de identificacin de dinmica continua usando la estrategia
RNA-FK.
Particulares
Determinar de diferentes maneras la relacin estadstica de regularidad en un
sistema estimulado por ruido.
Adaptacin del esquema acoplado de Redes Neuronales y Filtro de Kalman basado
en los trabajos previos desarrollados por el equipo de investigacin a sistemas
estocsticos.
Validacin y Replicacin del experimento electroqumico del sistema Hierro y
cido sulfrico.
Implementacin experimental del algoritmo RNA-FK para la manipulacin del
sistema electroqumico Hierro cido sulfrico.
Desarrollo preliminar de un algoritmo RNA-FK continuo y su aplicacin en un
problema simple variante en el tiempo.
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INTRODUCCION
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Organizacin de la Tesis
Este trabajo se organiz con el captulo I en donde se encuentra la introduccin, donde se
describi la importancia del uso de prototipos de sistemas, ejemplos donde la resonancia
estocstica juega un rol importante, los trabajos realizados en el campo de identificacin de
sistemas del grupo de trabajo, la segunda parte de este captulo estn las razones para hacer
este estudio as como lo que se busca en la realizacin de la investigacin.
En el captulo II se presenta el marco terico donde se describirn los fundamentos de los
sistemas dinmicos, algunas de sus construcciones matemticas, teora sobre bifurcaciones,
las redes neuronales empleadas y algoritmos de entrenamiento usados, el Filtro de Kalman
Neuronal (RNA-FK) que ha sido la herramienta que ha inspirado este trabajo,
posteriormente se vern conceptos de integracin estocstica y solucin de ecuaciones
diferenciales estocsticas y por ltimo las diferentes estrategias para medir la regularidad y
la similitud con su seal subumbral en las seales inducidas por ruido.
En el Captulo III se muestra la metodologa empleada, primero se definen los modelos
matemticos que van a ser nuestro caso de estudio, posteriormente se describe el
controlador que se va a emplear, se presenta el sistema experimental que va a fungir como
validador real de nuestra metodologa y por ltimo se propone la ampliacin de la
metodologa para sistemas continuos.
En el captulo IV se muestran los resultados, primero se muestran resultados del sistema sin
seal subumbral y con un barrido inicial en mltiples amplitudes de ruido, posteriormente
se expande el estudio con una seal subumbral peridica y aperidica, luego se muestran
los resultados de la aplicacin experimental y por ltimo el comportamiento del caso de
estudio de nuestro modelo de referencia continuo.
El captulo V muestra las conclusiones del trabajo, en esta seccin se presentan referencias
de trabajos con la bsqueda similar a este, y se presentan las ventajas de nuestro mtodo y
la ampliacin al estudio del arte de control no lineal basado en identificacin de sistemas
complejos y observadores lineales.
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CAPITULO II
Antecedentes
Sistemas Dinmicos no lineales
El conocimiento de la dinmica no lineal est basado en la nocin de un sistema dinmico,
el cual puede describir casi cualquier fenmeno de la naturaleza en el que estn
involucradas algunas leyes fundamentales como resultado de una evolucin determinstica
del sistema. Los sistemas dinmicos estn asociados a un modelo matemtico el cual es
descrito por la "evolucin de un operador", este es una correspondencia entre un estado
inicial del sistema y un nico estado en cada momento (espacio de tiempo) subsecuente.
La forma matemtica del sistema dinmico pueden ser representado de dos formas; como
sistemas discretos o mapas o como sistemas continuos, tanto temporales como
espaciotemporales. Los primeros se modelan con ecuaciones de recurrencia, como se
muestra a continuacin:
( )1 ;t tU g U m+ = (2.1) En tanto que los segundos pueden modelarse mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
o Ecuaciones Diferenciales Parciales, tal como se describe en las siguientes expresiones:
( );dU f Udt
m= (2.1)
2
2, , ,..., ;n
n
U U U UF Ut X X X
m
= (2.3)
En estos sistemas U representa al vector de variables dependientes o variables de estado, m
representa un vector de parmetros del sistema y t representa la variable independiente que
en la Ecuacin (2.1) se le conoce como iteracin y en las Ecuaciones (2.2) y (2.3) como
tiempo. Las funciones del lado derecho son funciones vectoriales no lineales de las
variables involucradas. Si g(.), f(.) y F(.) no dependen explcitamente de t, a los sistemas
que representan se les conoce como Sistemas invariantes o autnomos (Anishchenko,
Astakhov, Neiman, Vadivasova, & Schimansky-Geier, 2006) .
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ANTECEDENTES
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A los sistemas dinmicos que presentan variaciones espacio-temporales se les conoce como
sistemas de parmetros distribuidos, en tanto que aquellos que slo presentan variaciones
temporales se les conoce como sistemas de parmetros agrupados. Los primeros se
modelan mediante Ecuaciones diferenciales parciales, en tanto que los segundos mediante
Ecuaciones diferenciales ordinarias (Gonzlez-Garca, Identificacin y caracterizacin de
sistemas dinmicos mediante redes neuronales artificiales, 1999). En este trabajo no se
abordaran anlisis de sistemas de parmetros agrupados.
Si un sistema dinmico es iterado infinitamente, la trayectoria puede llegar a converger
hacia un punto fijo (estado estacionario), hacia otra trayectoria (rbita peridica), hacia un
atractor catico o puede divergir completamente. El comportamiento dinmico depende
esencialmente de la estabilidad inherente del sistema, que puede estar asociada a un
fenmeno fsico o qumico.
Los puntos fijos de un sistema dinmico pueden obtenerse de las Ecuaciones (2.1) y(2.2)
resolviendo para U, tal como lo muestran las Ecuaciones (2.4) y (2.5).
* *; 0U g U m - =
(2.4)
*; 0f U m =
(2.5)
donde*
U representa el vector de coordenadas del punto fijo. Cuando un sistema dinmico
se itera infinitamente no solamente se puede converger hacia punto fijos, sino que tambin
lo puede hacer hacia otras formas complejas como ciclos lmites y otras trayectorias
caticas (Strogatz, 2000).
Herramientas de Anlisis de Sistemas dinmicos
A continuacin se discuten tres construcciones matemticas tiles para el estudio de
sistemas dinmicos, el plano fase, el mapa de Poincar, mapas del prximo
mximo/mnimo y el espectro de potencias; El plano fase es el espacio matemtico de las
variables dinmicas del sistema, los mapas de Poincar es un vistazo del efecto del
movimiento en el plano fase tomando intervalos regulares de tiempo, los mapas del
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ANTECEDENTES
Mario Caldern Ramrez Pgina 12
prximo mximo/mnimo usa el mismo concepto de Poincar, pero en lugar de usar
intervalos regulares usa la aparicin de mximos o mnimos para el efecto del movimiento
en el plano y el espectro de potencias es un clculo usando la serie de Fourier para
representar la composicin de frecuencias de la variacin del tiempo considerando las
variables dinmicas (Baker & Gollub, 1996).
Plano Fase
El plano fase de un sistema dinmico es un espacio matemtico con direcciones de
coordenadas ortogonales representando cada variable que se necesita para especificar el
estado instantneo del sistema, por ejemplo el estado de una partcula movindose en un
dimensin se especifica en su posicin x y su velocidad v, aqu se forma un espacio fase en
este plano. Por otra parte una partcula movindose en un espacio tridimensional tendr un
espacio fase de 6 dimensiones y que se podrn construir de mltiples formas.
El plano fase representa trayectorias que corresponden al flujo de las soluciones de una
ecuacin diferencial. Adems todo el espacio fase est lleno con trayectorias, pues cada
trayectoria corresponde a una condicin inicial especfica.
En los sistemas no lineales las trayectorias generalmente no se encuentran con solucin
analtica, por lo que se requiere de soluciones numricas. Una gran variedad de espacios
fase son posibles pero algunas caractersticas que se pueden manifestar habitualmente se
describen a continuacin con la ayuda de la Figura 2.1 (Strogatz, 2000):
1. Los Puntos fijos: Como A, B y C en la Figura 2.1. Los puntos fijos satisfacen ( )* 0f x =y corresponden a un estado de equilibrio del sistema.
2. Las rbitas cerradas: Como den la Figura 2.1. Estas corresponden a una solucin
peridica soluciones donde ( ) ( )x t T x t+ = para cada t, donde T>0.
3. El acomodo de las trayectorias cerca de los puntos fijos y cerca de las rbitas. Por
ejemplo, el patrn cerca de A y C son similares, pero diferentes cerca de B.
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ANTECEDENTES
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4. La estabilidad y la inestabilidad de los puntos fijos y cerca de las rbitas. Aqu el uso de
los puntos fijos A, B y C es inestable, porque cerca de las trayectorias se tienden a
desplazar en oposicin a ellos, mientras que cerca de la rbita de D es estable.
Figura 2.1 Fragmento de un plano fase que indica diferentes puntos (A,B,C,D) de comportamiento
general de una dinmica (Strogatz, 2000).
Mapas de Poincar
La idea de estos mapas consiste en reducir el estudio de sistemas continuos en el tiempo al
estudio de un sistema asociado discreto en el tiempo, es equivalente a ver el sistema
estrambticamente, de forma que el movimiento se observa peridicamente. Todos los
sistemas discretos en tiempo asociados a una ecuacin diferencial ordinaria se les puede
representar de esta forma. Esta tcnica ofrece muchas ventajas en el estudio de ecuaciones
diferenciales ordinarias, tales como:
1. Reduccin dimensional: Estos mapas involucran la eliminacin de al menos de una
de las variables del problema, resultando en un estudio de dimensin menor.
2. Dinmica global: en problemas de dimensin baja, estos mapas calculados
proporcionan una muestra muy significativa de la dinmica global de un sistema.
3. Claridad conceptual: Muchos conceptos que son difciles de especificar para
ecuaciones diferenciales ordinarias, pueden ser especificados brevemente en este
tipo de mapa.
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ANTECEDENTES
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Desafortunadamente, cuando un sistema presente comportamientos en el tiempo muy
dispares, es decir que los eventos en los estados de tiempo sean muy disparejos, este tipo de
diagrama puede mostrar informacin inexacta o incluso errnea por lo que la eleccin de
los intervalos sean regulares o no requieren de ingenio especfico basado en la estructura
geomtrica del espacio fase de la ecuacin diferencial a analizar.
Mapas del Prximo Mximo o Mnimo
Este tipo de mapas consiste en la eleccin de una variable de estado y obtener los valores
mximos o mnimos de la serie de tiempo. Para trazarlo se toma el valor mximo "actual"
como la abscisa y el valor mximo siguiente o "prximo" como la ordenada y de forma
sucesiva se irn construyendo el mapa.
El periodo puede determinarse a partir del nmero de puntos en el mapa, as un atractor
representado por un punto en el mapa es una rbita de periodo-1 en el espacio fase; un
atractor representado por dos puntos en una rbita de periodo-2 y as sucesivamente
(Louvier-Hernandez, 2000).
Anlisis espectral de la serie de tiempo
La evolucin de un sistema dinmico se representa por la variacin del tiempo o serie de
tiempo de sus variables dinmicas, cualquier funcin puede ser representada como una
superposicin de sus componentes peridicos. la determinacin de sus fuerzas relativas se
le denomina espectro de potencia S() de una seal escalar u(t) y est definido como el
cuadrado de la amplitud de Fourier por unidad de tiempo ( )tF w Ecuacin 2.6.
( ) ( ) 21lim ttS Ftw w= (2.6)
Este espectro indica la cantidad de energa por unidad de tiempo, es decir, la potencia que
est contenida en la seal pero como funcin de la frecuencia . Un espectro de potencia de
una seal peridica nos dara un nmero de picos de potencia igual al nmero de periodo de
la serie de tiempo (Ramrez-lvarez, 2012)
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ANTECEDENTES
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Teora de Bifurcaciones en SD
La teora de bifurcaciones en sistemas dinmicos es un campo de las matemticas enfocado
en el anlisis de los cambios de la estructura cualitativa o topologa de una familia de
soluciones. Una bifurcacin es un fenmeno que se presenta cuando un pequeo cambio en
un parmetro del sistema, trae como consecuencia un cambio significativo en el
comportamiento topolgico de los estados analizados (Strogatz, 2000). Esto se refleja en la
cantidad y/o tipo de estados estacionarios que el sistema puede presentar de acuerdo con el
valor del parmetro de bifurcacin (Herrera-Hernandez, 2010) .
El diagrama de bifurcacin visualiza el comportamiento del sistema a medida que se
incrementa el valor del parmetro, de esta forma se aprecian las variaciones en las
soluciones del sistema dinmico. Inicialmente se tiene un periodo, luego se presenta un
bifurcacin apartir de la cual empieza la duplicacin de periodos, y as sucesivamente hasta
que se llega a la zona de caos, donde no solo existe una variacin en el periodo sino en las
magnitudes que manifiestan de la serie de tiempo para un mismo valor del parmetro.
Existen dos tipos de bifurcaciones que pueden presentarse en sistemas dinmicos continuos
o discretos, las locales y las globales.
Bifurcaciones Locales
Este tipo de bifurcaciones proporcionan informacin de la dinmica local y son aquellas
que se pueden analizar de manera integral mediante perturbaciones en las propiedades de la
estabilidad local (puntos de equilibrio, rbitas locales o conjuntos invariantes) a medida que
el parmetro va cambiando. Las bifurcaciones locales ocurren cuando la matriz jacobiana
tiene un eigenvalor con mdulo igual a uno. Si el eigenvalor es igual a uno, la bifurcacin
puede ser tipo nodo-silla, transcrtica o de horquilla. Si es menos uno, la bifurcacin es de
duplicacin de perodo y, si es compleja, es una bifurcacin de Hopf.
La bifurcaciones locales que se presentan con mayor frecuencia son la siguientes:
Bifurcacin de nodo-silla: La bifurcacin de nodo-silla o punto de silla es el
mecanismo bsico por el cual los puntos fijos pueden ser creados o destruidos. El
sistema puede pasar de la no existencia de puntos fijos a la aparicin de un punto de
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ANTECEDENTES
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silla para el valor exacto del parmetro en la bifurcacin. Este punto pasa a
convertirse inmediatamente en una pareja de dos nodos que presentan estabilidades
opuestas, tal como se muestra en las Figura 2.4 para un sistema unidimensional. El
fenmeno opuesto tambin puede ocurrir y depende de la variacin del parmetro
de bifurcacin.
Bifurcacin en horquilla: Este tipo de bifurcaciones est relacionado con las
simetras del sistema. Por ejemplo, en sistemas que poseen simetra espacial entre el
lado derecho y el lado izquierdo, los puntos fijos tienden a aparecer ya desaparecer
en pares simtricos.
Bifurcacin transcrtica: Este es un tipo particular de bifurcaciones locales que se
caracteriza por la existencia de un punto fijo para todos los valores del parmetro.
Dicho punto fijo no puede ser destruido pero si puede cambiar de estabilidad.
Bifurcacin de Hopf. Con la aparicin de este tipo de bifurcaciones se generan
rbitas peridicas o ciclos lmites como parte del equilibrio de un sistema dinmico.
La transicin o cambio de estabilidad se lleva a cabo cuando la solucin de
equilibrio tiene valores propios puramente imaginarios. Este tipo de bifurcacin
puede ser subcrtica o supercrtica resultando en rbitas peridicas estable o
inestables, respectivamente.
Bifurcaciones Globales
Las bifurcaciones globales proporcionan informacin de la dinmica global del sistema y
no pueden ser detectadas mediante un anlisis de los puntos de equilibrio, puesto que se
presentan al colisionar puntos de equilibrio u otros conjuntos invariantes de diferente
naturaleza.
Bifurcacin homoclnicas. Tambin denominadas rbitas homoclnicas, son
trayectorias cerradas de un campo de flujo en un sistema dinmico que une un punto
de equilibrio tipo silla-nodo con s mismo. De manera ms especfica, es la
interseccin de un conjunto de puntos fijos estables con un conjunto de puntos fijos
inestables. Tambin puede darse el caso de que sean intersecciones de conjuntos de
puntos peridicos.
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ANTECEDENTES
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Bifurcaciones Heteroclnicas. Tambin denominadas rbitas heteroclnicas, son
trayectorias cerradas de un campo de flujo de un sistema dinmico que unen
diferentes puntos de equilibrio, en general del tipo silla-nodo. Tanto la bifurcacin
homoclnica como la heteroclnica aparecen con mayor frecuencia en sistemas
dinmicos reversibles o conservativos
Bifurcacin de perodo infinito. Esta bifurcacin ocurre cuando dos puntos fijos
emergen sobre un ciclo lmite. Cuando el valor del parmetro de bifurcacin se
aproxima a un valor crtico, la velocidad de oscilacin disminuye y el perodo se
aproxima a infinito. Ms all del valor crtico, los dos puntos fijos emergen
continuamente e interrumpen las oscilaciones para formar dos nodos.
Redes neuronales artificiales
Una Red Neuronal Artificial (RNA) es una serie de nodos o neuronas estructuradas que
se comunican entre s a travs de ecuaciones o reglas de activacin. Las neuronas pueden
ser ordenadas en capas, de las cuales se diferencian las capas ocultas, la capa de entrada y
la capa de salida.
Para construir una RNA se deben determinar la estructura, es decir el nmero de capas y la
cantidad de neuronas en cada capa. Tambin es necesario proponer una regla de activacin,
la cual combina las entradas de cada una de las neuronas y produce su salida; as mismo
debe especificarse un patrn de conectividad que define como estn interconectadas las
neuronas y el sentido en el que fluye la informacin. Las reglas de activacin suelen ser
ecuaciones de tipo umbral, lineal, sinusoidal, Gaussiana o bien sigmoidea como la mostrada
en la Ecuacin 2.7 (Cybenko, 1989) y que es la implementada en las redes neuronales que
se usarn en este trabajo.
( )( ) ( )1( ) 0.5 1 tanh
1 ijij ij Y
g Y Ye-
= + =+
(2.7)
Donde ( )1
11
in
ij ij iji kk
Y W V-
-=
= + Q , donde W son los pesos o ponderaciones de las entradas a las
neuronas (V) y Q el umbral, este desarrollo se observa ms claro en la Figura 2.2.
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ANTECEDENTES
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Cuando se tiene la estructura de la Red el siguiente paso es la aplicacin de una regla de
aprendizaje. La regla de aprendizaje consiste en la minimizacin del error entre los valores
observados y los predichos. La regla de activacin, la estructura y los patrones de
conectividad se basan en una seleccin emprica (Arana-Chavez, 2007).
Figura 2.2 Esquema de activacin de las neuronas para producir la salida.
Existen distintos tipos de redes neuronales artificiales dependiendo de la manera como
estn las neuronas distribuidas e interconectadas. En la Figura 2.3, se muestra una red
neuronal de alimentacin hacia adelante (Lapedes & Farber, 1987) que tambin es del
tipo usado en este trabajo.
Figura 2.3 RNA de alimentacin hacia adelante, 1 capa oculta de n neuronas, con n neuronas en la
entrada y 1 en la de salida
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ANTECEDENTES
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Mtodos de Aprendizaje de las RNA
El mtodo de aprendizaje consiste en definir valores iniciales a los parmetros de red (pesos
y umbrales) y haciendo uso de un conjunto de entrenamiento ir readaptando los valores de
los mismos hasta minimizar el conjunto de errores entre los valores de las variables
observadas y las predicciones hechas por la RNA. Esto permite a la red aprender un
comportamiento definido por la dinmica presente en los datos del conjunto de
entrenamiento. Dicho conjunto de entrenamiento est compuesto por datos de entrada y
salida de los valores de los estados. De manera que al alimentar a la red los datos de entrada
se obtengan los datos de salida del conjunto de entrenamiento y es en funcin del error
cuadrtico medio que los parmetros de red son optimizados.
Existen mltiples metodologas y estrategias para el entrenamiento de las RNA, sin
embargo en la literatura se ha sugerido que se use el mtodo del gradiente y el Levenberg-
Marquardt, por su robustez en el caso del primero y por su rpida convergencia en el caso
del segundo (Sedano-Franco, Alonso-lvarez, & Villar-Flecha, 2007; Haykin, 2005;
Demuth & Beale, 2000) una breve descripcin de los mtodos de aprendizaje utilizados se
pueden consultar en el anexo, aunque las otras metodologas presentaran ventajas
especficas que se pueden consultar en la literatura (Arana-Chavez, 2007; Gonzlez-Garca,
1999)
Filtro de Kalman neuronal
El Filtro Kalman en su forma original es una buena herramienta predictiva y correctora de
seales en las cuales se tiene cierta incertidumbre, sin embargo, est enfocada a sistemas
gobernados por ecuaciones en diferencias estocsticas lineales. La versin extendida para
sistemas no lineales, es inapropiado en algunos casos pues se basa en mtodos de
liberalizacin alrededor de un punto o trayectoria, provocando una perturbacin o error del
modelo.
Una modificacin a las ecuaciones de la parte predictiva del filtro de Kalman fue propuesta
anteriormente (Bernal-Osorio, 2006), en este acoplamiento se incorpora la no linealidad de
la red y el error de prediccin se reduce por la capacidad del filtro de seguir el
comportamiento del error y proyectar la covarianza del error.
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ANTECEDENTES
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Las ecuaciones del filtro de Kalman Neuronal y su diagrama de flujo se describen en la
Figura 2.4.
Figura 2.4 Diagrama de la arquitectura RNA-FK
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ANTECEDENTES
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Dnde:
1kz - Es la respuesta del sistema real en el tiempo anterior k-1;
kz La salida de referencia de RNA alimentada con 1kz - ;
1kx - La prediccin final corregida por el filtro previa o dato retroalimentado del filtro;
kx- La prediccin de RNA a partir de 1kx - ;
kx El valor de la prediccin final corregida por el filtro actual;
P Es la covarianza del error;
K La ganancia de Kalman;
Q y R Son matrices de covarianza del proceso y la medicin;
A Matriz constante que relaciona el estado previo 1kx - con el valor actual kx ;
H Matriz constante que relaciona el estado medido 1kz - con el valor actual kx ;
Solo en casos excepcionales A y H son diferentes a la matriz identidad debido a que se
asume que el dato predicho por la estrategia acoplada y el dato medido no sufren ninguna
alteracin al ser realimentados al ciclo, es decir al convertirse en los estimados iniciales en
la siguiente iteracin y por lo tanto son los mismos, por lo que se A y H se denominan
matrices de relacin de los estados iniciales (Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, &
Parmananda, 2010).
Conceptos de clculo estocstico
El Ruido Blanco Gaussiano
El Ruido existe de forma comn en la naturaleza, por lo tanto se ha tratado de comprender
y controlar su interaccin. Sin embargo, debido a su alta complejidad, diversas
aproximaciones han sido adoptadas para analizar procesos, en base a sus caractersticas
estadsticas, entre las que se encuentra el ruido uniforme, el ruido blanco y el ruido de
color. Una de estas las aproximaciones ms comunes es el Ruido Blanco Gaussiano, este
proceso estocstico est definido de tal forma que el promedio de una fluctuacin aleatoria
x es igual a cero y sus valores con independientes e igualmente distribuidos siguiendo una
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ANTECEDENTES
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distribucin Gaussiana al ir incrementando el nmero de datos del ruido. Y la caracterstica
ms importante es que dos valores consecutivos en el tiempo estn completamente
descorrelacionados (Escalera-Santos, 2006).
Las caractersticas del ruido blanco Gaussiano le brindan dos propiedades:
La estacionariedad: Sus propiedades estadsticas son independientes del tiempo de
referencia escogido.
La ergodicidad: Esta propiedad se relaciona con el hecho de que promedios sobre
un ensamble estocstico puede ser reemplazado por un promedio en el tiempo de
cualquier parte de la funcin del ruido.
Proceso de Wiener y movimiento Browniano
Denominado Browniano por un botnico (Robert Brown) que observaba el movimiento
aleatorio de partculas en la superficie del agua y Proceso de Wiener por el matemtico
(Norbert Wiener) que defini con rigurosidad, en base a ecuaciones, lo que suceda.
Formalmente, un escalar estndar del movimiento Browniano o del proceso estndar de
Wiener en un intervalo [0, T] es una variable aleatoria W(t) que depende continuamente del
momento en el tiempo y que satisface los siguientes principios (Gardiner, 1985):
1. W(0)=0, con una probabilidad 1, siempre se arranca en 0.
2. Para s y t [0,T], tal que 0 s t T < la variable aleatoria dada por el incremento (W(t)-W(s)) est normalmente distribuida con media cero y varianza (t-s).
Equivalente podemos aproximar la diferencia (W(t)-W(s)) a t s- N(0,1), donde
N(0,1) denota una variable aleatoria normalmente distribuida con media cero y
varianza uno.
3. Si ahora consideramos s, t, u y v [0,T], tal que 0 s t v u T < < < los incrementos (W(t)-W(s)) y (W(v)-W(u)) son independientes.
Se puede observar la concordancia que existe del ruido blanco Gaussiano y el proceso de
Wiener, en el sentido de que tienen la misma representacin estadstica del fenmeno
estocstico.
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ANTECEDENTES
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Ecuaciones diferenciales estocsticas
Los modelos ms precisos y sofisticados son aquellos que involucran los efectos aleatorios
o estocsticos y tienen el componente de realismo que les permite ser modelos de
comportamiento ms verdico.
Los modelos ms precisos y sofisticados, con efectos aleatorios o estocsticos, vienen a ser
ms significativos, siendo la aleatorizacin del sistema, la parte de mayor inters en el
modelo, la solucin de tales problemas, comprende una nueva rea en matemticas,
denominada clculo estocstico; y corresponde a una generalizacin estocstica del clculo
diferencial clsico (Raffo-Lecca & Meja-Puente, 2006).
Los procesos estocsticos cumplen con tener incrementos independientes, esto es que las
variables aleatorias son independientes de cualquier combinacin finita de instantes de
tiempo, si los incrementos (dx(s), dx(t)) sobre los intervalos ([s, s+ds] y [t, t+dt]) son
independientes.
Un proceso Wiener tiene dos tipos de componentes, uno de variacin continua lenta
llamada drift m y una componente aleatoria continua de variacin rpida llamada difusins
y posee la siguiente conducta dinmica.
( ) ( )( ) 0
, ,
0t tdX t X dt t X dW
X x
m s= +
= (2.8)
Con una velocidad determinstica ( ), tt Xm y una distribucin Gaussiana amplificada por
( ), tt Xs y que al dividirse entre dt se obtiene la Ecuacin Diferencial Estocstica.
( ) ( ), ,t tdX dWt X t Xdt dt
m s= + (2.9)
Donde W es el proceso denominado de Wiener. Esta ecuacin tiene la forma integral
descrita como:
( ) ( )00 0
, ,t t
t s s sX x s X ds s X dWm s= + + (2.10)
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ANTECEDENTES
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Que se interpreta como que la primera integral es la de Riemann para cada trayectoria X y
la segunda integral, una integral estocstica que se basa en la teora del clculo It, aunque
dependiendo del tipo de suma de Riemman, si se usa punto medio se denomina clculo de
Stratonovich (Higham, 2001).
La Aproximacin ms simple heurstica en tiempo discreto es la generalizacin estocstica
de la aproximacin de Euler denominada Euler-Maruyama, Para la solucin de la Ecuacin
Diferencial Estocstica del proceso, Xt se aproxima con:
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
n n n n n n
n n n
n n n
Y Y a Y b Y W
W W Wt t
t t
+
+
+
= + D + D
D = -
D = -
(2.11)
La convergencia puede ser fuerte (Strong) o dbil (Weak). Se le denomina dbil cuando
solo se est interesado en los momentos o en la parte funcional de la solucin, la cual
implica una forma de convergencia ms dbil que la que se necesita para la aproximacin
de los caminos de solucin, adems, la convergencia dbil hace referencia al error
promedio de la solucin y por lo tanto para el trmino de diferencia se puede utilizar
( )0,1nW tND = D que es una muestra del incremento ( ) ( )1n nW Wt t+ - relacionado a la desviacin estndar de la diferencial, en general una convergencia fuerte se referir a la
aproximacin de la solucin independiente del tamao mximo del paso de integracin, por
lo que depender del uso de los diferentes tipos de mtodos explcitos o implcitos para la
solucin diferencial.
Mtodos Numricos Estocsticos
En aos recientes, el desarrollo de mtodos numricos para aproximar las ecuaciones
diferenciales estocsticas ha ido en aumento. Donde las aproximaciones fuertes son
mtodos diseados para la obtencin de buenos caminos de solucin, mientas que los
mtodos dbiles se centran en la expectativa de la solucin funcional. Los mtodos han ido
evolucionando y se cuenta con mtodos de mayor orden para la solucin estocstica de
estos problemas.
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ANTECEDENTES
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El mtodo de primer orden tipo Euler-Maruyama es el mtodo ms sencillo conocido y est
pensado para la solucin de problemas de estructura lineal, pero dada su generalidad ha
sido implementado para la solucin general de las ecuaciones diferenciales estocsticas,
adems de ser un mtodo ampliamente usado y estudiado (Higham, 2001).
La forma general de solucin tipo It con coeficientes constantes (Trk, 1994), ha
marcado la forma general para la solucin de sistemas lineales estocsticos. Se han
desarrollado algoritmos para aadir un control de paso a las formas generales de solucin
estocstica, y se ha visto que se puede ampliar a la forma de Stratonovich, adems de
incrementar el orden del Runge-Kutta estocstico empleado (Mauthner, 1998; Valinejad &
Mohammad-Hosseini, 2012).
Dada la forma general que puede tener el Runge-Kutta en su forma determinista, tambin
existe su forma equivalente estocstica, que permite el manejo de mltiples coeficientes y
rdenes que han sido desarrollados de aproximaciones de la serie de Taylor y funciones
suavizadas para el proceso tipo It (Tocino & Ardanuy, 2002).
Los procesos de ruido blanco Gaussiano se ven en general como clculos estacionarios
estocsticos de promedio cero y de densidad espectral constante diferente de cero. De esta
forma el ruido blanco se puede visualizar como la derivada de un proceso de Wiener, sin
embargo ya que en sentido estricto los procesos estocsticos no son diferenciables, esto
pueden decir que no existe tal cual, aunque son interpretados como funciones
generalizadas. Debido a esto el ruido blanco no existe fsicamente pero se puede aproximar
con cualquier orden de precisin por un procesos estocstico convencional con variedad de
bandas espectrales llamadas procesos de ruido de color que permiten dar ms realismo en
simulaciones especficas, especialmente las relacionadas con procesos biolgicos (Carletti,
Burrage, & Burrage, 2004).
Cuando se integra numricamente un sistema de Ecuaciones diferenciales estocsticas,
significa que se estn generando trayectorias estadsticamente representativas, una ecuacin
diferencial estocstica no tiene una solucin definida. Sin embargo existen dos tipos
bsicos de tareas asociadas con la simulacin de soluciones de las ecuaciones diferenciales
estocsticas. La primera sucede en la situacin donde se requiere una buena aproximacin
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ANTECEDENTES
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de la solucin exacta del sistema, en el caso de simulaciones directas. La segunda se enfoca
a la solucin aproximada funcional del proceso de It, cuyo clculo est basado en la
distribucin probabilstica de sus respectivos momentos. Por lo tanto entre ms realista sea
necesaria la prediccin, el ruido que influye en el sistema debe ser descrito a mayor detalle
(Fadhel & Abdulamear, 2011).
Para la mayora de las ecuaciones diferenciales estocsticas no es conocida una solucin
analtica, por lo cual se han desarrollado mtodos numricos para su solucin, estos
mtodos han evolucionado de los mtodos tradicionales para sistemas estocsticos,
considerando el trmino aleatorio dentro de la integracin del sistema, como previamente
se ha comentado, los mtodos ms comnmente utilizados son los mtodos explcitos de
Runge-Kutta que se han derivado de la aproximacin de la expansin de la serie de Taylor
y que se puede encontrar estudios detallados de su deduccin y estudio (Burrage, Lenane,
& Lythe, 2007; Rsler, 2007; Rsler & Debrabant, 2008; Debrabant & Rsler, 2009).
Anlisis de Datos
La derivacin e integracin estocstica permite la modelacin y solucin de sistemas que
tienen influencia del efecto del ruido, esto permite analizar el efecto que tiene este en los
sistemas, un efecto importante es conocido como "Resonancia estocstica", este fenmeno
se le atribuye a la manifestacin que tienen los sistemas no lineales donde una seal de
entrada es amplificada u optimizada por la asistencia de las perturbaciones. El efecto
anteriormente mencionado requiere de tres ingredientes (Gammaitoni, Hnggi, Jung, &
Marchesoni, 1998):
Una barrera de activacin energtica o un umbral que cruzar.
Una seal coherente de entrada, como una seal peridica, aperidica o constante.
Una seal de ruido inherente en el sistema (ruido intrnseco) o aadido al sistema
(ruido externo)
Estos efectos pueden ser medidos o cuantificados con algunas estrategias estadsticas, que
sern descritas a continuacin.
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ANTECEDENTES
Mario Caldern Ramrez Pgina 27
Medida de Regularidad
Desde un punto de vista de transmisin de informacin (seal) a travs de un sistema
biestable en un rgimen de resonancia estocstica, las transiciones sobre la barrera de
potencial, juegan el rol preponderante, mientras que la dinmica subumbral no es relevante.
De esta forma, la resonancia estocstica se puede considerar como un efecto fundamental
de cruce de umbral, donde las caractersticas topolgicas de la seal subumbral son
irrelevantes, mientras no crucen el lmite, en el caso donde los efectos aleatorios ocurren
cuando a una seal de entrada regular se le adiciona un componente ruidos que traspasa un
umbral, este efecto de amplificacin puede ser mostrado en la Figura 2.5, donde se observa
el cruce del umbral de la seal que amplifica una seal "escondida" en el ruido
(Anishchenko, Neiman, Moss, & Schimansky-Geier, 1999), la seal subumbral puede
inyectarse en el sistema como cualquier seal y puede ser entre otras, peridica, aperidica
o constante.
Se puede clasificar la medida Resonancia Estocstica de dos formas, las tcnicas que miden
la regularidad de una seal y las que miden la similitud que existe entre la seal de salida y
la subumbral.
Figura 2.5 a) Seal subumbral sinusoidal ms una seal de ruido que cruza un umbral, b) Cruce de
la seal subumbral marcada como una secuencia de pulsos.
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ANTECEDENTES
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Varianza Normalizada: El coeficiente de variacin conocida como Varianza Normalizada
(VN) es la herramienta ms comnmente utilizada para medir la regularidad de una seal
con picos respuesta que sobresalen significativamente a los provocados por el ruido, y es la
forma ms sencilla para visualizar el efecto de la coherencia en la seal, su definicin
estadstica est dada como el cociente de la desviacin estndar entre el promedio de las
distancias entre los picos.
2TVN
T
D= (2.12)
Donde T es el tiempo entre la aparicin de picos.
El primer problema que se encuentra en el estudio del comportamiento de picos en un
sistema excitable, es la definicin de pico, un pico se define como el punto ms alto
despus de un nivel umbral definido, considerando que el sistema pasa a un estado
estimulado (seal en alto) y regresa al estado de reposo (seal en bajo), y de esta forma se
puede estimar el tiempo entre la aparicin de picos, como la diferencia entre dos picos
contiguos ( )1i iT t t+= - .Un valor de VN=0 representara una seal estrictamente peridica y con una seal en la cercana a cero se considera una seal coherente (Lindner, Garca-
Ojalvo, Neiman, & Schimansky-Geier, 2004).
Coeficiente Recproco de Varianza de intervalos entre picos: Este trmino representa el
grado de coherencia de la misma forma que la Varianza Normalizada, solo que siendo su
recproco, por lo tanto su mximo representa la mxima resonancia coherente (Duan, Long,
& Li, 2014; Sethia, Kurths, & Sen, 2007).
22
TR
T T=
- (2.13)
Coeficiente de Difusin: El conteo de picos exhibe un efecto de dispersin, esta dispersin
se puede calcular con el promedio y la varianza del intervalo entre picos, que tiene cierta
relacin con la VN.
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ANTECEDENTES
Mario Caldern Ramrez Pgina 29
( ) ( ) 22 22
1lim2 2eff t
n t n t TdDdt T
- D= = (2.14)
Donde n(t) es el conteo de picos.
Tiempo de Correlacin: El tiempo de correlacin se define como la integral de la funcin
de correlacin al cuadrado de una de las variables de salida. La mxima regularidad se
presenta en el mximo de esta cantidad (Pikovsky & Kurths, 1997).
12corr eff
TD
t -: (2.15a)
( )20
corr C t dtt
= (2.15b)
Donde ( ) ( ) ( )2 , y t y t
C y y yy
tt
+= = -
% %%
%, que es una funcin de autocorrelacin.
Histograma Normalizado de tiempos entre picos: Esta tcnica de cuantificacin de
regularidad se basa en el concepto de que la seal con una mayor densidad de distancias
entre picos en un intervalo indicarn que existe una mayor regularidad de la seal, al ser
ms uniforme, mientras que entre ms disperso sea el histograma, la seal tender a ser ms
irregular (Ripoll Massanes & Prez Vicente, 1999).
Espectro de Potencias: Si el sistema tiene una salida regular esta debera estar
caracterizada por un pico alto y claro en una frecuencia definida en una grfica del poder
del espectro contra frecuencia, y si en la seal el ruido es dominante la seal debera verse
lineal plana. La ventaja de esta tcnica es que puede cuantificar la regularidad an con
gran presencia de ruido, y no es necesaria una cuenta de picos. Para una seal x(t)
cualquiera, el espectro de potencias se describe como:
( ) ( ) ( ) ixS d x t x t e wtw t t
-= + (2.16)
En la medida que la seal sea ms regular esta se caracterizar en el espectro como la altura
del pico entre su longitud, donde el espectro cae a una fraccin de su mximo.
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ANTECEDENTES
Mario Caldern Ramrez Pgina 30
( )max
max
S wb w
w=
D (2.17)
Donde S es el espectro de potencia y w es la frecuencia.
Los tres tipos de mediciones usadas para calcular la regularidad ms comnmente
utilizados son el espectro de potencias, el histograma normalizado de picos y el tiempo de
autocorrelacin de salida (Ripoll Massanes & Prez Vicente, 1999). Estos se basan en tres
conceptos, el primero en la idea de combinacin de frecuencias, analiza diferentes
Frecuencias y si existe una predominante existe una seal regular, la segunda, en el
concepto de distancias entre picos, si existe un intervalo de distancias similares que se
encuentran con mayor presencia indica uniformidad, y el tercero maneja el concepto del
segmento de seal anterior es igual al segmento de seal siguiente, entonces la seal es
similar, por lo tanto conserva regularidad. El uso de una sola tcnica no brinda la
informacin completa sobre la regularidad, es necesario realizar uno de cada tres diferentes
tipos de tcnicas y comparar para saber la verdadera amplitud de ruido necesaria para la
mayor regularidad (Lindner, Garca-Ojalvo, Neiman, & Schimansky-Geier, 2004).
Medida de la similitud entre dos seales
Tasa seal-ruido: La tasa seal-ruido se conoce como signal-to-noise ratio (SNR), la
cual mide que tan bien un pico de un espectro se puede distinguir del ruido de fondo. En
definicin se puede decir que el SNR es la divisin entre la altura del pico de la seal entre
su espectro de fondo. Desde un punto de vista de anlisis de seales, el SNR se puede ver
como la extraccin de una seal particular del ruido del fondo (Gammaitoni, Hnggi, Jung,
& Marchesoni, 1998).
2
bg
SNRSa
= (2.18)
Donde a representara una seal sin ruido y bgS es el del ruido de fondo.
Correlacin cruzada: La correlacin cruzada entre la seal subumbral entrante y la
respuesta del sistema tambin se le conoce como Norma de Poder, que es una medida de la
coincidencia entre la seal subumbral determinista y la respuesta inducida por el ruido
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ANTECEDENTES
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(Parmananda, Escalera-Santos, Rivera, & Showalter, 2005). Esta correlacin se representa
por:
( )( )0 1 1 2 2t t tC x x x x= - - (2.19) Donde el smbolo denota promedio en el tiempo, x1 representa la serie de tiempo de la
seal subumbral de entrada y x2 la serie de tiempo de la respuesta del inducida por el ruido
(Eichwald & Walleczek, 1997).
Desde una perspectiva de anlisis de seal, el valor mximo de 0C corresponde a
maximizar la relacin de similitud que existe entre la seal de entra y la seal respuesta.
Esta medida cuantifica el efecto asociado con la resonancia estocstica y la amplificacin
de sus respectivas seales subumbrales (Collins, Chow, & T.T., 1995).
Coeficiente Q: Esta tcnica se emplea para correlacionar una seal subumbral sinusoidal o
de componentes sinusoidales, como la seal subumbral 2cosss
A tTp
para determinar su
similitud con la seal respuesta obtenida, para esto se calcula los coeficientes de Fourier
que proporcionan la informacin necesaria en la seal transportada con un periodo de
forzamiento particular, como medida de resonancia estocstica. Los coeficientes de Fourier
son proporcionales al cuadrado del poder espectral de amplificacin, el coeficiente Q se
escribe como:
( ) ( )2
sin0
2 sin2
n
Q x t t dtn
p ww wp
= (2.20a)
( ) ( )2
cos0
2 cos2
n
Q x t t dtn
p ww wp
= (2.20b)
2 2sin cosQ Q Q= +
(2.20c)
Donde 2 sTw p= , n es el nmero de periodo Ts, cubierto por la integracin en el tiempo
(Wu & Zhu, 2008; Hu, Yang, & Liu, 2014).
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CAPITULO III
Metodologa
Sistema Terico
Modelo FitzHugh Nagumo
El modelo FitzHugh Nagumo (FHN) fue concebido para mostrar el comportamiento de las
neuronas orgnicas, que fisiolgicamente tienen un solo estado de equilibrio,
correspondiente al potencial de reposo de la membrana. El modelo puede tener un nico
punto de equilibrio con ciertos coeficientes especficos de las ecuaciones, esto es en
condiciones paramtricas que aseguran este nico punto de equilibrio estable, como se
observa en la realidad biolgica (Castillo-Quiroz, 2006).
Una caracterstica comn de los sistemas excitables es la presencia del estado de reposo y
estado de excitacin. Si el sistema no es afectado por perturbaciones, se mantiene en estado
de equilibrio y pequeas perturbaciones resultan en pequeas respuestas con el sistema
regresando a su estado de reposo. Si la perturbacin excede el umbral, el sistema deja la
cercana del punto de equilibrio y regresa al reposo despus de un amplio periodo de
excursin en el plano fase, y la caracterstica de esta propiedad permite mantener
oscilaciones provocadas por perturbaciones. El modelo FHN (tambin llamado Van der
Pol-Bonhoeffer) presenta una excitabilidad caracterizada por una bifurcacin Hopf
supercrtica asociada al cambio de estado (El-Samad, H. & Khammash, M., 2006) y rbitas
homoclnicas y comportamientos complejos (Guckenheimer & Kuehn, 2010).
El sistema FHN se usa como un modelo generalizado para el estudio de dinmica excitable
para diferentes campos debido a lo simple del modelo y a su riqueza de estados. Por
ejemplo, se ha analizado su efecto en la sincronizacin, como caso de estudio de la
sincronizacin entre dos neuronas (Wang, Zhang, & Deng, 2007), tambin se usa como
modelo para describir la sensibilidad del sistema nervioso biolgico debido a los estmulos
externos (Tatchim Bemmo, Siewe Siewe, & Tchawoua, 2013), para estudiar el efecto del
ruido en sistemas sincronizados, acoplados y con retardo, para determinar la intensidad de
ruido crtica en donde el ruido no cause cambios cualitativos en la dinmica de un sistema
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METODOLOGIA
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(Buric, Todorovic, & Vasovic, 2009), analizar el efecto de la retroalimentacin por retraso
aunada en un sistema de resonancia estocstica peridica (Wu & Zhu, 2008), efectos de
resonancia estocstica en sistemas de sincronizacin con biseal subumbral (Hu, Yang, &
Liu, 2012), efecto de resonancia estocstica en sistemas con retraso y una seal subumbral
compuesta de doble frecuencia (Hu, Yang, & Liu, 2014), para el estudio de resonancia
estocstica provocada por ruido sumativo y multiplicativo, adems de distribucin de ruido
por la ley de potencia y diferentes frecuencias (Resonancia Estocstica Fantasma) (Silva,
Rosso, Vermelho, & Lyra, 2014) o seales subumbrales de alta frecuencia (Volkov, Ullner,
Zaikin, & Kurths, 2003). Por lo anterior, se decide utilizar este modelo matemtico para
analizar el uso y funcionamiento de un controlador RNA-FK usando el ruido como variable
de control en la bsqueda de la mxima regularidad y similitud a una seal subumbral.
Se realizaron simulaciones del sistema excitable con la presencia de diferentes amplitudes
de ruido, usando el modelo FHN, que es un sistema rico en la presencia de bifurcaciones,
que muestra mltiples tipos de comportamientos despus de barreras definidas por sus
bifurcaciones, y es ideal para inducir dinmicas con ruido. Esta caracterstica hace de este
modelo ideal para encontrar resonancias estocsticas y coherentes, adems es un modelo
ampliamente estudiado. Las ecuaciones de este modelo matemtico con sus respectivos
parmetros se presentan a continuacin.
3
3dx xx ydt
e = - -
(3.1a)
( )dy x a D t Sdt
x= + + -
(3.1b)
Los parmetros usados son a=1.05 para Resonancia Estocstica Aperidica (para una seal
S de pulsos aperidicos) y Resonancia Coherente (una seal S de cero) y a=1.25 para
Resonancia Estocstica Peridica (para una seal S de pulsos peridicos) y e=0.01, y una
amplitud de ruido entre 0.02 y 2, usando Ruido Blanco Gaussiano, donde el uso del punto a
asegura que la seal subumbral no provoca una dinmica.
Las simulaciones del sistema autnomo revela que para a1 se encuentra una dinmica de punto fijo.
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METODOLOGIA
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Figura 3.1 Sistema FHN con a>1 (a=1.25) en la presencia de dinmica de punto fijo, izquierda
plano fase y a la derecha la serie de tiempo.
En el caso en que el valor de a sea mayor que 1 se puede observar como el sistema se dirige
a un punto fijo y se mantienen en un estado pasivo (Figura 3.1) y en caso de que a sea
menor que 1 el sistema se mantienen en un estado activo (Figura 3.2) manifestado por
oscilaciones, el sistema se encuentra en una rbita.
Figura 3.2Sistema FHN con a
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METODOLOGIA
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Modelo electroqumico
Se plantea un modelo electroqumico con una dinmica compleja en el caso de un ciclo
lmite de un oscilador electroqumico descrito solo por dos variables, desarrollado y
analizado previamente (Karantonis & Nakabayashi, 2001), el objetivo de usar un modelo
electroqumico es analizar el comportamiento simulado de un sistema que trate de emular el
efecto de un sistema experimental que se pondr en marcha.
Este modelo plantea varias simplificaciones, entre las que se pueden sealar:
Asume que solamente hay una especie electroactiva, la cual es producida sobre la superficie del electrodo por reacciones electroqumicas y es la encargada de producir la corriente en la solucin.
Las especies electroqumicas se mueven hacia la superficie del electrodo va difusin y migran debido al gradiente de potencial presente.
El perfil de concentracin en la capa de difusin se considera lineal y de ancho constante.
La corriente total fluyendo a travs del sistema es igual a la corriente fardica ms la corriente presente en la doble capas.
Las dos variables que describe el sistema son el potencial del electrodo y la concentracin
de una especie inica. Bajo estas consideraciones el modelo propuesto se describe con estas
ecuaciones diferenciales.
Conservacin de carga
( )2 31 2 3v uu c a u a u a uRe-
= - + +&
(3.2a)
Balance de masa
( ) ( )2 31 2 31 v uc c c a u a u a uR a-
= - - + + +&
(3.2b)
En el modelo anterior u(t) es el potencial sobre el electrodo y c(t) es la concentracin en la
superficie respectivamente. Los parmetros del sistema, e representa la capacitancia de
doble capa, R la resistencia hmica y v el potencial aplicado. La observable de la
dinmica del modelo es la corriente andica definida como v uIR-
= .
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METODOLOGIA
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Las bifurcaciones en el sistema anterior dependen fuertemente de los valores de los
parmetros, por lo que los parmetros necesarios para el caso de estudio seran: 0.03e =
10R = , 0.1a = , 1 1.125a = , 2 0.075a = - , 3 0.00125a = .
El sistema electroqumico usado presenta bifurcaciones del sistema, que pueden ser
analizadas con una aplicacin para MATLAB (pplane8) que muestra grficamente el
comportamiento del sistema en la medida que van cambiando sus parmetros. Cuando
0.03e = el ciclo lmite se bifurca, cuando 20.097v < el sistema se encuentra en estado
estable (Figura 3.3). Para 20.097 29.235v existe un ciclo lmite el cual desaparece a
travs de una conexin heteroclnica (Figura 3.4 y Figura 3.5). A 29.581v = una
bifurcacin de nodo punto de silla aparece y se presenta una rbita heteroclnica En este
caso cuando el ciclo lmite aparece a travs de la rbita heteroclnica acoplndose siempre
hacia la sincronizacin en caso de presentarse varias celdas electroqumicas.
El software se utiliza para identificar puntos de equilibrio, orbitas cerradas o inestables,
cerolneas y otras caractersticas no lineales del sistema, en este mismo software se seala
el punto con las condiciones iniciales del problema, se inicia con una c0=0 indicando la
concentracin de superficie inicial del electrodo, considerndose limpia, y un potencial del
electrodo u0=25, se tom este valor para evitar que la concentracin adquiriera valores
negativos al inicio.
Figura 3.3 Presencia de un punto fijo en v
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METODOLOGIA
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Figura 3.4 Presencia de un orbita en 20.097 v 29.235que muestra la bifurcacin homoclnica,
izquierda el plano f