tesis doctorado mario

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CELAYA DEPARTAMENTO DE INGENIERA QUMICA

"MODELOS DE REFERENCIA ACOPLADOS CON FILTRO KALMAN PARA LA MANIPULACIN DE

SISTEMAS CON RESPUESTA COMPLEJA"

POR

MARIO CALDERN RAMREZ

TESIS PRESENTADA AL DEPARTAMENTO DE INGENIERA QUMICA COMO REQUISITO PARCIAL

PARA OBTENER EL GRADO DE:

DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA QUIMICA

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. RAMIRO RICO MARTINEZ

CELAYA, GTO., FEBRERO DE 2015

Dedico esta Tesis a mi esposa Rubria

y a mis hijas Naia Natalia (Chopo)

e Irina Natasha (Irinuchis).

Agradezco a:

Dr. Ramiro Rico Martnez por todo el apoyo que me brind en la consecucin de esta tesis, fue un gua tanto en lo acadmico como en lo personal, me proporcion todo lo que necesit y sus consejos de vida, son el regalo ms grande con el que me quedo, gracias por las comidas tan ricas, los congresos tan enriquecedores, el total apoyo en las estancias, el dejarme trabajar a mi ritmo y gracias por ser mi asesor y un gran amigo mo y de mi familia.

Dr. Punit Parmananda por recibirme en la India, un viaje espiritual que fue una transformacin de vida, entend lo que es la pasin por la ciencia y que la investigacin es algo que se hace por conviccin, adems gracias por las correcciones que me ha enseado que ser meticuloso es parte del xito.

Dr. Jos Francisco Louvier por permitirme hacer mis experimentos en el laboratorio de biopolmeros, por convivir con su equipo de trabajo y hacerme sentir parte en el laboratorio.

Dra. Elizeth Ramrez por el apoyo en la parte experimental, por ser una amiga que siempre me orient y por los momentos tan agradables que compart con ella y su esposo Cristian.

Dr. Hugo Jimnez Islas por sus consejos, su gua, sus enseanzas y la confianza para hablar de ciencia.

Profesores del Posgrado de Qumica: Vicente Rico, Guillermo Alatorre, Fernando Tiscareo, Arturo Jimnez, Alejandro Estrada, Richard Vzquez, gracias por todas sus enseanzas, me permitieron ver a la Ingeniera Qumica de una forma ms integral y me han mostrado el compromiso con el estudio.

Compaeros de Celaya: Abraham, Hctor, Norha, Cristian, Capo, Majo, Julio Cesar, Juan Manuel, Daly, Matilde, Braulio, Elizabeth y los dems que no puedo mencionar por falta de espacio, por acompaarme en mi travesa, los momentos de risa y de estudio, as como las plticas y las cervezas caceras y el Dr. Carlos Figueredo por ser tan alegre y optimista, que me permite ver que tambin los doctores pueden disfrutar su vida.

Compaeros en India: Tanu, Dinesh, Sonali, Jorge, Dr. Marco, por acompaarme en mi viaje espiritual, los consejos, artculos, apoyos con el latex y gracias por mostrarme que con experimentos simples de bajo presupuesto se puede publicar artculos de ciencia relevantes.

Conocidos en el ICTP en Italia: Cicutin, Liz, Cristian, Carolina, Deepak, Aron y el Dr. Tinsley por sus comentarios de mi trabajo y la convivencia tan agradable en Europa.

Conocidos en el ICTP en Costa Rica: Juan, Eduardo, Nahm, Woo, Arturo, Harold por mostrarme que mi trabajo realizado en esta tesis tiene trascendencia en otras reas y mi compaero de Licenciatura Jos Snchez por recibirme en Chicago y saber que hay amistades que siguen an con los aos.

I

RESUMEN

El control tiene como objetivo lograr que un sistema sea inducido a un estado particular.

Algunos sistemas excitables pueden presentar dinmicas complejas debido a la presencia de

ruido en su dinmica. En este trabajo se aplic una metodologa que acopla la habilidad de

capturar las caractersticas no lineales de un sistema que tiene una Red Neuronal Artificial

(RNA) con un corrector lineal, denominado Filtro de Kalman (FK), como observador de los

errores generados por el modelo. Acoplando estas dos arquitecturas se forma un modelo de

referencia capaz de predecir comportamientos complejos que permiten adaptarse a

perturbaciones generadas en la dinmica del sistema.

Se utiliz la amplitud de ruido como parmetro de control, primero en un sistema dinmico

terico de dinmica excitable, FitzHugh Nagumo (FNH), a este comportamiento se le

aadi el efecto de una seal subumbral externa peridica, aperidica y constante. El

comportamiento de la dinmica muestra una Resonancia Estocstica Peridica (REP),

Resonancia Estocstica Aperidica (REA) y Resonancia Coherente (CR) como resultado de

esta seal. Se realiz un seguimiento de las curvas de correlacin para la REP y la REA

para alcanzar el valor de mxima fidelidad entre seales. En el caso de la RC se hizo el

seguimiento en la curva de la Varianza Normalizada (VN) para llegar al valor mnimo que

ndica mxima regularidad.

Esta metodologa se verific para un sistema electroqumico para inducir un estado de

regularidad mximo en base a la variacin de la amplitud del ruido. Se aplic para un

sistema terico y posteriormente a un sistema experimental. Los resultados mostraron que

la arquitectura RNA-FK como modelo de referencia, acoplado a un controlador

Proporcional Integral (PI) clsico permite la induccin de coherencia con una ventana corta

de informacin de la serie de tiempo para predecir un estado complejo estadstico.

Se prev que para sistemas ms detallados se requerir el uso de un modelo de dinmica

continuo que tenga todas las bondades de identificacin que tiene el RNA-FK y por lo tanto

se propuso un RNA-FK Continuo que permita la correccin de errores en lnea usando una

RNA entrenada fuera de lnea.

Dirigida por: Ramiro Rico Martnez.

II

ABSTRACT

Controllers are designed to induce a particular state in a system. Some excitable systems

may exhibit complex dynamics due to the presence of noise in their dynamics. In this paper

a methodology that uses the ability to capture the nonlinear characteristics of a system via

an Artificial Neural Network (ANN) coupled with a linear corrector, called Kalman Filter

(FK) that takes into account the observer errors was applied. Combining these two elements

as a reference model can predict complex behaviors that can be adapted to disturbances

generated in the system dynamics. Noise amplitude was used as a control parameter in a

theoretical excitable system dynamics, Fitz Hugh Nagumo (FNH), to this behavior, it was

added the effect of a periodic, aperiodic and subthreshold constant external signal. The

dynamical behavior displays Stochastic Periodic Resonance (SPR) Stochastic Aperiodic

Resonance (SAR) and Coherent resonance (CR) as a result of this signal. Tracking

correlation curves for the SPR and the SAR for achieving high fidelity value between

signals was performed. In the case of the CR track was made in the curve of Normalized

Variance (NV) to reach the minimum value indicating maximum regularity.

This technique was verified for an electrochemical system to inducing a state of maximum

regularity based on the variation of the noise amplitude. The strategy was applied to a

theoretical system and then to an experimental one. The results showed that the ANN-KF

architecture as reference model, coupled with a classical Proportional Integral (PI)

controller allows to induce regularity with a short window of time series information to

predict statistical complex states.

It is expected that for more detailed systems using a continuous dynamic model that has all

the benefits of system identification that has RNA-FK will be required and therefore

proposed an ANN-FK Continuous reference model, which allows error correction online

using an ANN trained offline.

III

Tabla de contenido

RESUMEN .....................................................................................................................I

ABSTRACT .................................................................................................................. II

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................... V

CAPITULO I ..................................................................................................................... 1

Introduccin ................................................................................................................... 1

Planteamiento del problema ........................................................................................ 6

Justificacin................................................................................................................ 7

Hiptesis .................................................................................................................... 8

Objetivos .................................................................................................................... 8

Organizacin de la Tesis ............................................................................................. 9

CAPITULO II .................................................................................................................. 10

Antecedentes ................................................................................................................ 10

Sistemas Dinmicos no lineales ................................................................................ 10

Herramientas de Anlisis de Sistemas dinmicos ...................................................... 11

Teora de Bifurcaciones en SD .................................................................................. 15

Redes neuronales artificiales ..................................................................................... 17

Mtodos de Aprendizaje de las RNA ........................................................................ 19

Filtro de Kalman neuronal ........................................................................................ 19

Conceptos de clculo estocstico .............................................................................. 21

Anlisis de Datos ...................................................................................................... 26

CAPITULO III ................................................................................................................. 32

Metodologa ................................................................................................................. 32

Sistema Terico ........................................................................................................ 32

Control RNA-FK (Neuronal Asistido) ...................................................................... 37

IV

Sistema Experimental ............................................................................................... 40

Control RNA-FK Continuo ....................................................................................... 42

CAPITULO IV ................................................................................................................. 46

Resultados .................................................................................................................... 46

Control sin seal subumbral ...................................................................................... 46

Control con seal subumbral ..................................................................................... 48

Control del Sistema Experimental. ............................................................................ 56

Caso de Estudio RNA-FK continuo .......................................................................... 60

CAPITULO V .................................................................................................................. 63

CONCLUSIONES........................................................................................................ 63

Bibliografa ...................................................................................................................... 65

ANEXOS ......................................................................................................................... 72

ANEXO A: MTODOS DE ENTRENAMIENTO DE REDES .................................... 72

Gradiente Conjugado ................................................................................................ 72

Levenberg-Marquardt ............................................................................................... 74

ANEXO B: PREPARACION DE EXPERIMENTO ..................................................... 76

V

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 FRAGMENTO DE UN PLANO FASE QUE INDICA DIFERENTES PUNTOS (A,B,C,D) DE COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNA DINMICA (STROGATZ, 2000). ............................................ 13

FIGURA 2.2 ESQUEMA DE ACTIVACIN DE LAS NEURONAS PARA PRODUCIR LA SALIDA. ........................... 18 FIGURA 2.3 RNA DE ALIMENTACIN HACIA ADELANTE, 1 CAPA OCULTA DE N NEURONAS, CON N NEURONAS

EN LA ENTRADA Y 1 EN LA DE SALIDA ........................................................................................ 18 FIGURA 2.4 DIAGRAMA DE LA ARQUITECTURA RNA-FK ...................................................................... 20 FIGURA 2.5 A) SEAL SUBUMBRAL SINUSOIDAL MS UNA SEAL DE RUIDO QUE CRUZA UN UMBRAL, B)

CRUCE DE LA SEAL SUBUMBRAL MARCADA COMO UNA SECUENCIA DE PULSOS. ........................... 27

FIGURA 3.1 SISTEMA FHN CON A>1 (A=1.25) EN LA PRESENCIA DE DINMICA DE PUNTO FIJO, IZQUIERDA PLANO FASE Y A LA DERECHA LA SERIE DE TIEMPO. .................................................................... 34

FIGURA 3.2SISTEMA FHN CON A

VI

FIGURA 4.6 SEGUIMIENTO DE LA CURVA DE REP, DONDE EL PANEL IZQUIERDO INICIA CON VALORES INICIALES BAJOS Y EL DERECHO EN ALTO DE RUIDO IMPUESTO, EN LOS PANELES SUPERIORES EST LA

RELACIN CORRELACIN CONTRA LA AMPLITUD DE RUIDO Y EN EL INFERIOR EL SEGUIMIENTO DE LA

AMPLITUD DE RUIDO EN CADA CONTROL DE PASO. ...................................................................... 51 FIGURA 4.7 SERIES DE TIEMPO DE UNA SEAL SUBUMBRAL APERIDICA DEL MODELO FHN PARA

AMPLITUDES A) BAJO, B) MEDIO Y C) ALTO. EL PANEL D) ES LA CORRELACIN CRUZADA.................. 52 FIGURA 4.8 EN ESTA FIGURA SE MUESTRA EL CAMINO DE SEGUIMIENTO PARA LA CORRELACIN EN LA

CURVA DE RESONANCIA ESTOCSTICA APERIDICA, EL PANEL IZQUIERDO CORRESPONDE A UN NIVEL

BAJO DE RUIDO COMO VALOR INICIAL Y EL DERECHO A UN NIVEL ALTO EN LA AMPLITUD DE RUIDO, LOS

PANELES SUPERIORES MUESTRAN EL SEGUIMIENTO Y LA CONVERGENCIA AL PUNTO DE RESONANCIA Y

LOS INFERIORES LA CONVERGENCIA AL VALOR PTIMO DE RUIDO................................................. 53 FIGURA 4.9 SERIES DE TIEMPO DEL SISTEMA INDUCIDO POR RUIDO FHN DONDE SE TIENE BAJO A)

INTERMEDIO B) Y ALTO C) NIVEL DE RUIDO, LA GRFICA D) MUESTRA EL COMPORTAMIENTO DE LA VN,

Y (E, F, G) SUS RESPECTIVOS ESPECTROS DE POTENCIA. ............................................................ 54 FIGURA 4.10 SEGUIMIENTO DE LA VARIANZA NORMALIZADA EN LA CURVA DE RESONANCIA ESTOCSTICA,

EN LA IZQUIERDA CORRESPONDE A VALORE INICIALES BAJOS DE RUIDO SOBREIMPUESTO, Y EN LA

DERECHA CORRESPONDE A VALORES INICIALES ALTOS. LOS PANELES SUPERIORES SE MUESTRAN EL

SEGUIMIENTO Y LA EVENTUAL CONVERGENCIA AL PUNTO DE MNIMA RESONANCIA COHERENTE, Y LOS

PANELES INFERIORES CORRESPONDEN A LA CONVERGENCIA DEL VALOR DEL RUIDO IMPUESTO. ...... 55 FIGURA 4.11 BIFURCACIN EXPERIMENTAL DEL SISTEMA H2SO4 FE, EN LA IZQUIERDA EL VOLTAJE FUE

VARIANDO DE MENOR A MAYOR, Y EN LA DERECHA DE MAYOR A MENOR. ....................................... 56 FIGURA 4.12 FRECUENCIA EN LAS OSCILACIONES DE LOS VOLTAJES FIJOS 260 MV, 255MV, 250 MV Y 245

MV MOSTRADOS EN LA IZQUIERDA DE ARRIBA HACIA ABAJO (PANEL IZQUIERDO). INCREMENTO DE LA

DISTANCIA ENTRE PICOS CONTRA VOLTAJE ANDICO (PANEL DERECHO). ...................................... 57 FIGURA 4.13 MAPA DE DISTANCIAS ENTRE PICOS NORMALIZADO DE LA SEAL RUIDOSA A DIFERENTES

AMPLITUDES DE RUIDO. ........................................................................................................... 58 FIGURA 4.14 GRAFICA DE LA VARIANZA NORMALIZADA EXPERIMENTAL ................................................. 59 FIGURA 4.15 SEGUIMIENTO DE LA VN HACIA LA AMPLITUD DE RUIDO DE MAYOR REGULARIDAD (PANEL

IZQUIERDO), SEGUIMIENTO DE LA AMPLITUD DE RUIDO POR CADA ETAPA DE CONTROL (PANEL

DERECHO). ............................................................................................................................ 60 FIGURA 4.16 REPRESENTACIN ESQUEMTICA DE RNA ACOPLADA A UN RUNGE-KUTTA DE 4 ORDEN PARA

DESCRIBIR SISTEMAS DINMICOS. ............................................................................................ 61 FIGURA 4.17 TRAYECTORIAS DE LA RNA, UN MODELO EXPERIMENTAL Y EL MODELO DE REFERENCIA RNA-

FK. ...................................................................................................................................... 62

Pgina 1

CAPITULO I

Introduccin

Las reacciones electroqumicas proporcionan un ejemplo prototipo de un sistema complejo,

donde las interacciones qumicas y los procesos fsicos como la transferencia de masa y el

comportamiento electroesttico produce variaciones respecto del tiempo y dependencias

espaciales en las velocidades de reacciones que resultan no ser triviales.

La integracin del modelamiento matemtico y el desarrollo experimental son

denominadores comunes en los sistemas electroqumicos donde se pretende comprender las

propiedades que surgen de estos sistemas.

Una gran cantidad de sistemas, que en su mayora se encuentran lejos del equilibrio,

presentan elementos comunes de inters en esta direccin. Entre ellos se pueden mencionar,

electro-catlisis, corrosin, bio-electroqumica, electrodeposicin, bateras qumicas, celdas

de energa y semiconductores de ltima generacin. Ejemplos concretos de los

comportamientos complejos incluyen multiestabilidad, oscilaciones peridicas, aperidicas

o caticas, formacin de patrones derivados de reacciones conducidas por una corriente

elctrica, estabilidad y funcionamiento paralelo de celdas de energa, dinmicas de reaccin

acopladas con transferencia de masa y fenmenos estocsticos de corrosin entre otros que

resultan tener comportamientos complejos que son de inters en el diseo de aplicaciones.

Debido a que la ciencia cada da es mayormente multidisciplinar, se han ido desvaneciendo

las barreras tradicionalistas que preponderaban, para abrir paso a expertos en mltiples

campos que empleen matices matemticos y experimentales fuertemente vinculados que

amplen la visin que se tena, para la caracterizacin de respuestas dinmicas en dominios

espaciotemporales. La adopcin de esta variedad de perspectivas en diversos campos de la

ciencia, expande considerablemente la compresin y el entendimiento de estos complejos

procesos.

En algunos casos un sistema complejo presenta caractersticas de excitabilidad, en la cual

se posee la cualidad de permanecer en un estado transitorio de reposo estable (punto de

equilibrio) cerca de un umbral de ciclo lmite sin desestabilizarse, en el cual si se es

INTRODUCCION

Mario Caldern Ramrez Pgina 2

perturbado desencadenar saltos de seal que en una amplitud de ruido determinada,

presentar una caracterstica de mxima uniformidad, en donde el sistema se considera en

estado de resonancia coherente (RC) (Lindner, Garca-Ojalvo, Neiman, & Schimansky-

Geier, 2004).

Este fenmeno de RC ha demostrado tener un efecto positivo en sistemas donde la seal de

ruido puede oscilar entre un estado de excitacin y otro de recuperacin mostrando

caractersticas altamente no lineales contra intuitivo respecto a la visin tradicional, donde

el ruido representa una variable que debe ser eliminada o atenuada de cualquier sistema.

Se ha encontrado que el ruido puede potenciar las reacciones qumicas donde el ruido

modifica el comportamiento del sistema a un estado resonante donde los productos se

obtienen al mximo, en ciertos niveles ptimos de ruido incrementando el rendimiento y la

eficiencia de la reaccin (Liu, Lai, & Lopez, 2002).

Las perturbaciones que provocan el ruido en los sistemas biolgicos son resultado de su

interaccin con el medio ambiente. Los comportamientos oscilatorios y rtmicos juegan un

rol universal en la funcin celular, y su objetivo consiste en mantener operaciones robustas

y reproducibles en la presencia de perturbaciones, por lo cual se sugiere que la resonancia

coherente es una herramienta del arsenal biolgico que incrementa la robustez de algunos

sistemas para ser invulnerables a la presencia de ruido celular, donde se juega con las

relaciones entre las dinmicas intrnsecas de un sistema biolgico. En el sistema de

expresin gentica, la transcripcin y la transduccin de las protenas se desarrollan en

escalas de tiempo pequeas mientras que los procesos de dimerizacin y fosforilacin de

protenas son en escalas grandes, la resonancia coherente juega un rol crucial de

sincronizacin de poblaciones celulares. Como osciladores ruidosos acoplados pueden

iniciar o progresar para estar fuera de fase es necesario un mecanismo que produzca un

comportamiento colectivo coherente (El-Samad, H. & Khammash, M., 2006).

En los sistemas de reaccin biolgica que se ven envueltos los conceptos de resonancia,

como es el caso de los ciclos oscilatorios circadianos, son relevantes los conceptos de ruido

intrnseco (interno) y el ruido inducido, aadido al sistema o extrnseco (externo), en donde

se puede apreciar que cuando el sistema es controlado por el ruido interno este puede

INTRODUCCION


provocar resonancia coherente, mientras que en sistemas de ruido compuesto, externo e

interno, el ruido externo puede opacar los efectos del ruido interno, mientras la resonancia

coherente debida al ruido interno aumenta mediante la modulacin de ruido externo (Ya

Jia, M.Y., Liu, Q., Li, J., & Zhu, C., 2006).

Los osciladores de calcio son muy importantes en la regulacin de mltiples sistemas

celulares y se han estudiado los mecanismos que rigen sus interacciones que tiene el ruido

interno y externo respecto del comportamiento del sistema, y se ha encontrado que la

resonancia coherente inducida por ruido interno puede suprimirse por el ruido externo,

mientras que la resonancia coherente inducida por el ruido externo puede incrementarse

modulando la intensidad del ruido interno, mostrando que existe cierta competitividad del

efecto del ruido para lograr un comportamiento ms estable en los sistemas (Yu, G, Yi, M.,

Jia, Y., & Tang, J., 2009).

La dinmica ambiental se ve afectada a menudo por fluctuaciones aleatorias, que juegan un

rol fundamental en la composicin y estructura de los ecosistemas, y el caso de su

dinmica, los ecosistemas dependiente de recursos hdricos del subsuelo han demostrado el

surgimiento de un tipo de vegetacin freatfita 1 dependiendo de las propiedades

derminsticas inherentes en el ecosistema y la intensidad de los rectores estocsticos que

provocan las fluctuaciones ambientales, en el estudio se analiz el efecto de las

perturbaciones naturales y las provocadas por el hombre y en los resultados se observa

claramente el efecto de la resonancia coherente en el surgimiento de flora especfica

(Borgogno, DOdorico, Laio, & Ridol, 2012)

La manipulacin de sistemas que tengan validez experimental y terica en un sistema de

comportamiento determinista complejo y reproducible, permite a la teora de control probar

nuevas estrategias para la induccin de estados no predecibles matemticamente.

Previamente se han desarrollado modelos de referencia basados en Redes Neuronales

capaces de describir bifurcaciones y comportamientos no lineales, proponiendo algoritmos

retroalimentados y predictivos para el anti-control del caos, utilizados con xito en sistemas

invariantes (Louvier-Hernndez, Rico-Martnez, & Parmananda, 2001).

1 Los freatofitos o plantas freatfilas son vegetales que se abastecen del agua de los mantos freticos con la que sus races estn en contacto de forma permanente y suelen ser races muy profundas.

INTRODUCCION


En el caso de sistemas donde existe una propagacin del error inherente, la Red Neuronal

pierde robustez, para resolver esta situacin se desarroll una metodologa basada en un

observador del error propagado como el Filtro de Kalman, de manera que sirviera para

adaptar el modelo Neuronal de prediccin respecto al error generado en el sistema, esta

estrategia predictiva permite hacer correcciones en lnea, es decir en la medida que se van

tomando los datos, y se prob su funcionamiento en un modelo matemtico de

electrodisolucin de metal en una celda electroqumica dando buenos resultados de

correccin en la prediccin (Bernal-Osorio, 2006). Se puede encontrar en la literatura

sistemas experimentales que involucren la interaccin del ruido externo con la dinmica

qumica no linear y corroborar el efecto constructivo de las perturbaciones, donde el

surgimiento de la resonancia coherente involucra el ruido impuesto, el ruido intrnseco, la

dinmica determinista excitable y la condicin no estacionaria provocada por el drift

(desplazamiento en el tiempo de la variable) (Escalera-Santos, Rivera, Eiswirth, &

Parmananda, 2004), con estos experimentos se puede validar la robustez del control

desarrollado.

Esta metodologa de acoplamiento se prob en un modelo de campo medio con

simulaciones Monte Carlo para el proceso de oxidacin cataltica. Para mejorar las

simulaciones de modelos libres de ecuaciones, esta estrategia Neuronal Acoplada requiere

el uso de las trayectorias de la simulacin molecular al generar el modelo que pueda ser

usado en un control retroalimentado, y as permita la construccin debifurcaciones. En este

estudio se mostr que esta metodologa Red Neuronal y Filtro de Kalman (RNA-FK) era

capaz de reducir el error del modelo cualitativo utilizado al caracterizar la respuesta

dinmica de la cintica molecular (Gonzlez-Figueredo & Rico-Martnez, 2005).

Para la prueba experimental de que esta metodologa RNA-FK era funcional, se emple un

sistema de electrodisolucin potenciostatica de cobre en cido fosfrico (H3PO4-Cu)

encondiciones de baja temperatura (-17.5 C), donde se logra promover la aparicin y

mantenimiento de un estado catico a travs de la desestabilizacin de las orbitas de

periodo dos de donde se inici el experimento (Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, &

Parmananda, 2010).

INTRODUCCION


Las bifurcaciones detectadas experimentalmente, involucradas en la oxidacin

electroqumica del cobre en cido fosfrico requieren el uso de modelos con capacidades de

prediccin cualitativa y cuantitativa de alta gama que sean capaces de compensar los

efectos inherentes del "drift". La estrategia RNA-FK mostr la suficiente robustez para la

bsqueda experimental de bifurcaciones, se hizo una bsqueda del periodo dos partiendo

del periodo uno, usando un control de horizonte recedente ,se emplea el observador FK

como corrector del modelo RNA y al minimizar la funcin de costo se busca la trayectoria

en la deteccin de la bifurcacin, este modelo asistido muestra buenas cualidades en la

correccin de errores en lnea, logrando mejorar significativamente la localizacin de la

bifurcacin (Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez, Gonzlez-Figueredo, &

Parmananda, 2013)

INTRODUCCION


Planteamiento del problema

El caos es un comportamiento aperidico de tiempo prolongado en un sistema determinista

que exhibe una extremada dependencia a las condiciones iniciales (Strogatz, 2000). Un

proceso estocstico consiste en una sucesin de variables aleatorias que solo se pueden

describir desde un concepto estadstico. En base a lo anterior surge el cuestionamiento de

que si la metodologa RNA-FK, que ha sido probada exitosamente en sistemas de dinmica

catica (Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez, Gonzlez-Figueredo, &

Parmananda, 2013; Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, & Parmananda, 2010), puede corregir

las trayectorias de un sistema con perturbaciones estocsticas, y as comprobar si conserva

una capacidad predictiva.

Primero se requiere de un planteamiento terico a travs del uso de un modelo ampliamente

conocido y estudiado (FitzHugh Nagumo), aplicar la integracin estocstica en condiciones

de cercana al punto fijo y controlar el sistema con la variable amplitud de ruido para

lograr que el sistema logre establecerse en su mxima regularidad (Pikovsky & Kurths,

1997), como respuesta esperada, corroborar este comportamiento cuando adems del ruido

se presenta una seal subumbral peridica y aperidica.

Posteriormente esta misma metodologa debe corroborarse experimentalmente verificando

que se alcance la mxima coherencia en la respuesta de un sistema electroqumico tipo que

presente bifurcacin homoclnica y punto fijo, como la electrodisolucin del hierro en el

cido sulfrico (Escalera-Santos, Rivera, Eiswirth, & Parmananda, 2004), si se verifica

experimentalmente se podr sostener con certeza que esta tcnica tiene capacidades

predictivas estadsticas an en sistemas estocsticos.

Algunos comportamientos, diferentes a los oscilatorios, requieren para su correcta

descripcin de aproximaciones que no son de tipo discreto, y por lo tanto, no son posibles

de describir con mapas, por lo que se plantea una metodologa RNA-FK en estado

continuo (Rico-Martinez, Krischer, & Gevrekidis, 1992). Para probar su viabilidad se

aplica en un caso simple con desviacin lineal variante en el tiempo y con datos entrenados

de una Red Neuronal invariante, que puede extrapolarse en concepto como un

comportamiento drift en posteriores anlisis.

INTRODUCCION


Justificacin

La tecnologa de control es un campo de la ingeniera en constante crecimiento, debido a la

necesidad imperante de metodologas inteligentes que permitan resolver problemas

complejos en bsqueda de la respuesta ptima en sistemas tanto industriales como

domsticos. El estudio de las redes Neuronales han tenido mucho auge como modelo de

respuesta inteligente y actualmente tienen mltiples aplicaciones que podemos ver

cotidianamente en nuestros aparatos electrnicos y en sistemas industriales de alta

complejidad, pero se encuentra el problema que estas redes solo son vlidas en una regin

especfica de entrenamiento, y ante la presencia de perturbaciones o factores que afecten el

comportamiento temporal de la dinmica, pierde gran parte de sus habilidades predictivas,

se han intentado estrategias para compensar esto, pero los resultados presentan correccin

significativa solo en casos especficos al ir evolucionando en el tiempo, adems que no se

guarda informacin sobre la tendencia de los errores manifestados previamente (Haykin,

2005).

Se ha corroborado en trabajos previos que una metodologa de autocorreccin tipo RNA-

FK es una herramienta que ha funcionado en anticontrol de caos y bsqueda de

bifurcaciones (Gonzlez-Figueredo & Rico-Martnez, 2005; Ramrez-lvarez, Rico-

Martnez, & Parmananda, 2010; Ramrez-lvarez, Caldern-Ramrez, Rico-Martnez,

Gonzlez-Figueredo, & Parmananda, 2013), y ha mostrado robustez tanto terica como

experimental, pero ahora esta misma tcnica se prueba en sistemas estocsticos donde se

busca una respuesta estadstica especfica, y se busca su validacin tanto de forma terica

como experimental y a su vez sentar las bases de un anlisis dinmico basndonos en esta

arquitectura.

Por otra parte la descripcin de los sistemas tiene un sentido continuo en la naturaleza, por

lo que se abre la necesidad de tratar de ampliar el uso de esta arquitectura, ya analizada para

el caso discreto, para una aplicacin en estado continuo y como primer paso se plantea la

formulacin matemtica de una arquitectura RNA-FK continua.

INTRODUCCION


Hiptesis

La estadstica de los sistemas complejos estocsticos puede ser predicha e identificada a

travs de una arquitectura tipo RNA-FK, es posible corroborar esta tcnica con el uso de

experimentos y simulaciones tericas, adems que con esta informacin se pueden inducir

estados en los sistemas dinmicos utilizando el ruido como variable de control, adems que

esta metodologa puede ser extendida como una herramienta continua en sistemas de

condiciones variantes en el tiempo.

Objetivos

General

Inducir las respuestas de un sistema estocstico complejo regulando la amplitud de ruido

inyectado en un sistema, validando su comportamiento tanto terico como experimental y

sentar las bases de un modelo de identificacin de dinmica continua usando la estrategia

RNA-FK.

Particulares

Determinar de diferentes maneras la relacin estadstica de regularidad en un

sistema estimulado por ruido.

Adaptacin del esquema acoplado de Redes Neuronales y Filtro de Kalman basado

en los trabajos previos desarrollados por el equipo de investigacin a sistemas

estocsticos.

Validacin y Replicacin del experimento electroqumico del sistema Hierro y

cido sulfrico.

Implementacin experimental del algoritmo RNA-FK para la manipulacin del

sistema electroqumico Hierro cido sulfrico.

Desarrollo preliminar de un algoritmo RNA-FK continuo y su aplicacin en un

problema simple variante en el tiempo.

INTRODUCCION


Organizacin de la Tesis

Este trabajo se organiz con el captulo I en donde se encuentra la introduccin, donde se

describi la importancia del uso de prototipos de sistemas, ejemplos donde la resonancia

estocstica juega un rol importante, los trabajos realizados en el campo de identificacin de

sistemas del grupo de trabajo, la segunda parte de este captulo estn las razones para hacer

este estudio as como lo que se busca en la realizacin de la investigacin.

En el captulo II se presenta el marco terico donde se describirn los fundamentos de los

sistemas dinmicos, algunas de sus construcciones matemticas, teora sobre bifurcaciones,

las redes neuronales empleadas y algoritmos de entrenamiento usados, el Filtro de Kalman

Neuronal (RNA-FK) que ha sido la herramienta que ha inspirado este trabajo,

posteriormente se vern conceptos de integracin estocstica y solucin de ecuaciones

diferenciales estocsticas y por ltimo las diferentes estrategias para medir la regularidad y

la similitud con su seal subumbral en las seales inducidas por ruido.

En el Captulo III se muestra la metodologa empleada, primero se definen los modelos

matemticos que van a ser nuestro caso de estudio, posteriormente se describe el

controlador que se va a emplear, se presenta el sistema experimental que va a fungir como

validador real de nuestra metodologa y por ltimo se propone la ampliacin de la

metodologa para sistemas continuos.

En el captulo IV se muestran los resultados, primero se muestran resultados del sistema sin

seal subumbral y con un barrido inicial en mltiples amplitudes de ruido, posteriormente

se expande el estudio con una seal subumbral peridica y aperidica, luego se muestran

los resultados de la aplicacin experimental y por ltimo el comportamiento del caso de

estudio de nuestro modelo de referencia continuo.

El captulo V muestra las conclusiones del trabajo, en esta seccin se presentan referencias

de trabajos con la bsqueda similar a este, y se presentan las ventajas de nuestro mtodo y

la ampliacin al estudio del arte de control no lineal basado en identificacin de sistemas

complejos y observadores lineales.

Pgina 10

CAPITULO II

Antecedentes

Sistemas Dinmicos no lineales

El conocimiento de la dinmica no lineal est basado en la nocin de un sistema dinmico,

el cual puede describir casi cualquier fenmeno de la naturaleza en el que estn

involucradas algunas leyes fundamentales como resultado de una evolucin determinstica

del sistema. Los sistemas dinmicos estn asociados a un modelo matemtico el cual es

descrito por la "evolucin de un operador", este es una correspondencia entre un estado

inicial del sistema y un nico estado en cada momento (espacio de tiempo) subsecuente.

La forma matemtica del sistema dinmico pueden ser representado de dos formas; como

sistemas discretos o mapas o como sistemas continuos, tanto temporales como

espaciotemporales. Los primeros se modelan con ecuaciones de recurrencia, como se

muestra a continuacin:

( )1 ;t tU g U m+ = (2.1) En tanto que los segundos pueden modelarse mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

o Ecuaciones Diferenciales Parciales, tal como se describe en las siguientes expresiones:

( );dU f Udt

m= (2.1)

2

2, , ,..., ;n

n

U U U UF Ut X X X

m

= (2.3)

En estos sistemas U representa al vector de variables dependientes o variables de estado, m

representa un vector de parmetros del sistema y t representa la variable independiente que

en la Ecuacin (2.1) se le conoce como iteracin y en las Ecuaciones (2.2) y (2.3) como

tiempo. Las funciones del lado derecho son funciones vectoriales no lineales de las

variables involucradas. Si g(.), f(.) y F(.) no dependen explcitamente de t, a los sistemas

que representan se les conoce como Sistemas invariantes o autnomos (Anishchenko,

Astakhov, Neiman, Vadivasova, & Schimansky-Geier, 2006) .

ANTECEDENTES


A los sistemas dinmicos que presentan variaciones espacio-temporales se les conoce como

sistemas de parmetros distribuidos, en tanto que aquellos que slo presentan variaciones

temporales se les conoce como sistemas de parmetros agrupados. Los primeros se

modelan mediante Ecuaciones diferenciales parciales, en tanto que los segundos mediante

Ecuaciones diferenciales ordinarias (Gonzlez-Garca, Identificacin y caracterizacin de

sistemas dinmicos mediante redes neuronales artificiales, 1999). En este trabajo no se

abordaran anlisis de sistemas de parmetros agrupados.

Si un sistema dinmico es iterado infinitamente, la trayectoria puede llegar a converger

hacia un punto fijo (estado estacionario), hacia otra trayectoria (rbita peridica), hacia un

atractor catico o puede divergir completamente. El comportamiento dinmico depende

esencialmente de la estabilidad inherente del sistema, que puede estar asociada a un

fenmeno fsico o qumico.

Los puntos fijos de un sistema dinmico pueden obtenerse de las Ecuaciones (2.1) y(2.2)

resolviendo para U, tal como lo muestran las Ecuaciones (2.4) y (2.5).

* *; 0U g U m - =

(2.4)

*; 0f U m =

(2.5)

donde*

U representa el vector de coordenadas del punto fijo. Cuando un sistema dinmico

se itera infinitamente no solamente se puede converger hacia punto fijos, sino que tambin

lo puede hacer hacia otras formas complejas como ciclos lmites y otras trayectorias

caticas (Strogatz, 2000).

Herramientas de Anlisis de Sistemas dinmicos

A continuacin se discuten tres construcciones matemticas tiles para el estudio de

sistemas dinmicos, el plano fase, el mapa de Poincar, mapas del prximo

mximo/mnimo y el espectro de potencias; El plano fase es el espacio matemtico de las

variables dinmicas del sistema, los mapas de Poincar es un vistazo del efecto del

movimiento en el plano fase tomando intervalos regulares de tiempo, los mapas del

ANTECEDENTES


prximo mximo/mnimo usa el mismo concepto de Poincar, pero en lugar de usar

intervalos regulares usa la aparicin de mximos o mnimos para el efecto del movimiento

en el plano y el espectro de potencias es un clculo usando la serie de Fourier para

representar la composicin de frecuencias de la variacin del tiempo considerando las

variables dinmicas (Baker & Gollub, 1996).

Plano Fase

El plano fase de un sistema dinmico es un espacio matemtico con direcciones de

coordenadas ortogonales representando cada variable que se necesita para especificar el

estado instantneo del sistema, por ejemplo el estado de una partcula movindose en un

dimensin se especifica en su posicin x y su velocidad v, aqu se forma un espacio fase en

este plano. Por otra parte una partcula movindose en un espacio tridimensional tendr un

espacio fase de 6 dimensiones y que se podrn construir de mltiples formas.

El plano fase representa trayectorias que corresponden al flujo de las soluciones de una

ecuacin diferencial. Adems todo el espacio fase est lleno con trayectorias, pues cada

trayectoria corresponde a una condicin inicial especfica.

En los sistemas no lineales las trayectorias generalmente no se encuentran con solucin

analtica, por lo que se requiere de soluciones numricas. Una gran variedad de espacios

fase son posibles pero algunas caractersticas que se pueden manifestar habitualmente se

describen a continuacin con la ayuda de la Figura 2.1 (Strogatz, 2000):

1. Los Puntos fijos: Como A, B y C en la Figura 2.1. Los puntos fijos satisfacen ( )* 0f x =y corresponden a un estado de equilibrio del sistema.

2. Las rbitas cerradas: Como den la Figura 2.1. Estas corresponden a una solucin

peridica soluciones donde ( ) ( )x t T x t+ = para cada t, donde T>0.

3. El acomodo de las trayectorias cerca de los puntos fijos y cerca de las rbitas. Por

ejemplo, el patrn cerca de A y C son similares, pero diferentes cerca de B.

ANTECEDENTES


4. La estabilidad y la inestabilidad de los puntos fijos y cerca de las rbitas. Aqu el uso de

los puntos fijos A, B y C es inestable, porque cerca de las trayectorias se tienden a

desplazar en oposicin a ellos, mientras que cerca de la rbita de D es estable.

Figura 2.1 Fragmento de un plano fase que indica diferentes puntos (A,B,C,D) de comportamiento

general de una dinmica (Strogatz, 2000).

Mapas de Poincar

La idea de estos mapas consiste en reducir el estudio de sistemas continuos en el tiempo al

estudio de un sistema asociado discreto en el tiempo, es equivalente a ver el sistema

estrambticamente, de forma que el movimiento se observa peridicamente. Todos los

sistemas discretos en tiempo asociados a una ecuacin diferencial ordinaria se les puede

representar de esta forma. Esta tcnica ofrece muchas ventajas en el estudio de ecuaciones

diferenciales ordinarias, tales como:

1. Reduccin dimensional: Estos mapas involucran la eliminacin de al menos de una

de las variables del problema, resultando en un estudio de dimensin menor.

2. Dinmica global: en problemas de dimensin baja, estos mapas calculados

proporcionan una muestra muy significativa de la dinmica global de un sistema.

3. Claridad conceptual: Muchos conceptos que son difciles de especificar para

ecuaciones diferenciales ordinarias, pueden ser especificados brevemente en este

tipo de mapa.

ANTECEDENTES


Desafortunadamente, cuando un sistema presente comportamientos en el tiempo muy

dispares, es decir que los eventos en los estados de tiempo sean muy disparejos, este tipo de

diagrama puede mostrar informacin inexacta o incluso errnea por lo que la eleccin de

los intervalos sean regulares o no requieren de ingenio especfico basado en la estructura

geomtrica del espacio fase de la ecuacin diferencial a analizar.

Mapas del Prximo Mximo o Mnimo

Este tipo de mapas consiste en la eleccin de una variable de estado y obtener los valores

mximos o mnimos de la serie de tiempo. Para trazarlo se toma el valor mximo "actual"

como la abscisa y el valor mximo siguiente o "prximo" como la ordenada y de forma

sucesiva se irn construyendo el mapa.

El periodo puede determinarse a partir del nmero de puntos en el mapa, as un atractor

representado por un punto en el mapa es una rbita de periodo-1 en el espacio fase; un

atractor representado por dos puntos en una rbita de periodo-2 y as sucesivamente

(Louvier-Hernandez, 2000).

Anlisis espectral de la serie de tiempo

La evolucin de un sistema dinmico se representa por la variacin del tiempo o serie de

tiempo de sus variables dinmicas, cualquier funcin puede ser representada como una

superposicin de sus componentes peridicos. la determinacin de sus fuerzas relativas se

le denomina espectro de potencia S() de una seal escalar u(t) y est definido como el

cuadrado de la amplitud de Fourier por unidad de tiempo ( )tF w Ecuacin 2.6.

( ) ( ) 21lim ttS Ftw w= (2.6)

Este espectro indica la cantidad de energa por unidad de tiempo, es decir, la potencia que

est contenida en la seal pero como funcin de la frecuencia . Un espectro de potencia de

una seal peridica nos dara un nmero de picos de potencia igual al nmero de periodo de

la serie de tiempo (Ramrez-lvarez, 2012)

ANTECEDENTES


Teora de Bifurcaciones en SD

La teora de bifurcaciones en sistemas dinmicos es un campo de las matemticas enfocado

en el anlisis de los cambios de la estructura cualitativa o topologa de una familia de

soluciones. Una bifurcacin es un fenmeno que se presenta cuando un pequeo cambio en

un parmetro del sistema, trae como consecuencia un cambio significativo en el

comportamiento topolgico de los estados analizados (Strogatz, 2000). Esto se refleja en la

cantidad y/o tipo de estados estacionarios que el sistema puede presentar de acuerdo con el

valor del parmetro de bifurcacin (Herrera-Hernandez, 2010) .

El diagrama de bifurcacin visualiza el comportamiento del sistema a medida que se

incrementa el valor del parmetro, de esta forma se aprecian las variaciones en las

soluciones del sistema dinmico. Inicialmente se tiene un periodo, luego se presenta un

bifurcacin apartir de la cual empieza la duplicacin de periodos, y as sucesivamente hasta

que se llega a la zona de caos, donde no solo existe una variacin en el periodo sino en las

magnitudes que manifiestan de la serie de tiempo para un mismo valor del parmetro.

Existen dos tipos de bifurcaciones que pueden presentarse en sistemas dinmicos continuos

o discretos, las locales y las globales.

Bifurcaciones Locales

Este tipo de bifurcaciones proporcionan informacin de la dinmica local y son aquellas

que se pueden analizar de manera integral mediante perturbaciones en las propiedades de la

estabilidad local (puntos de equilibrio, rbitas locales o conjuntos invariantes) a medida que

el parmetro va cambiando. Las bifurcaciones locales ocurren cuando la matriz jacobiana

tiene un eigenvalor con mdulo igual a uno. Si el eigenvalor es igual a uno, la bifurcacin

puede ser tipo nodo-silla, transcrtica o de horquilla. Si es menos uno, la bifurcacin es de

duplicacin de perodo y, si es compleja, es una bifurcacin de Hopf.

La bifurcaciones locales que se presentan con mayor frecuencia son la siguientes:

Bifurcacin de nodo-silla: La bifurcacin de nodo-silla o punto de silla es el

mecanismo bsico por el cual los puntos fijos pueden ser creados o destruidos. El

sistema puede pasar de la no existencia de puntos fijos a la aparicin de un punto de

ANTECEDENTES


silla para el valor exacto del parmetro en la bifurcacin. Este punto pasa a

convertirse inmediatamente en una pareja de dos nodos que presentan estabilidades

opuestas, tal como se muestra en las Figura 2.4 para un sistema unidimensional. El

fenmeno opuesto tambin puede ocurrir y depende de la variacin del parmetro

de bifurcacin.

Bifurcacin en horquilla: Este tipo de bifurcaciones est relacionado con las

simetras del sistema. Por ejemplo, en sistemas que poseen simetra espacial entre el

lado derecho y el lado izquierdo, los puntos fijos tienden a aparecer ya desaparecer

en pares simtricos.

Bifurcacin transcrtica: Este es un tipo particular de bifurcaciones locales que se

caracteriza por la existencia de un punto fijo para todos los valores del parmetro.

Dicho punto fijo no puede ser destruido pero si puede cambiar de estabilidad.

Bifurcacin de Hopf. Con la aparicin de este tipo de bifurcaciones se generan

rbitas peridicas o ciclos lmites como parte del equilibrio de un sistema dinmico.

La transicin o cambio de estabilidad se lleva a cabo cuando la solucin de

equilibrio tiene valores propios puramente imaginarios. Este tipo de bifurcacin

puede ser subcrtica o supercrtica resultando en rbitas peridicas estable o

inestables, respectivamente.

Bifurcaciones Globales

Las bifurcaciones globales proporcionan informacin de la dinmica global del sistema y

no pueden ser detectadas mediante un anlisis de los puntos de equilibrio, puesto que se

presentan al colisionar puntos de equilibrio u otros conjuntos invariantes de diferente

naturaleza.

Bifurcacin homoclnicas. Tambin denominadas rbitas homoclnicas, son

trayectorias cerradas de un campo de flujo en un sistema dinmico que une un punto

de equilibrio tipo silla-nodo con s mismo. De manera ms especfica, es la

interseccin de un conjunto de puntos fijos estables con un conjunto de puntos fijos

inestables. Tambin puede darse el caso de que sean intersecciones de conjuntos de

puntos peridicos.

ANTECEDENTES


Bifurcaciones Heteroclnicas. Tambin denominadas rbitas heteroclnicas, son

trayectorias cerradas de un campo de flujo de un sistema dinmico que unen

diferentes puntos de equilibrio, en general del tipo silla-nodo. Tanto la bifurcacin

homoclnica como la heteroclnica aparecen con mayor frecuencia en sistemas

dinmicos reversibles o conservativos

Bifurcacin de perodo infinito. Esta bifurcacin ocurre cuando dos puntos fijos

emergen sobre un ciclo lmite. Cuando el valor del parmetro de bifurcacin se

aproxima a un valor crtico, la velocidad de oscilacin disminuye y el perodo se

aproxima a infinito. Ms all del valor crtico, los dos puntos fijos emergen

continuamente e interrumpen las oscilaciones para formar dos nodos.

Redes neuronales artificiales

Una Red Neuronal Artificial (RNA) es una serie de nodos o neuronas estructuradas que

se comunican entre s a travs de ecuaciones o reglas de activacin. Las neuronas pueden

ser ordenadas en capas, de las cuales se diferencian las capas ocultas, la capa de entrada y

la capa de salida.

Para construir una RNA se deben determinar la estructura, es decir el nmero de capas y la

cantidad de neuronas en cada capa. Tambin es necesario proponer una regla de activacin,

la cual combina las entradas de cada una de las neuronas y produce su salida; as mismo

debe especificarse un patrn de conectividad que define como estn interconectadas las

neuronas y el sentido en el que fluye la informacin. Las reglas de activacin suelen ser

ecuaciones de tipo umbral, lineal, sinusoidal, Gaussiana o bien sigmoidea como la mostrada

en la Ecuacin 2.7 (Cybenko, 1989) y que es la implementada en las redes neuronales que

se usarn en este trabajo.

( )( ) ( )1( ) 0.5 1 tanh

1 ijij ij Y

g Y Ye-

= + =+

(2.7)

Donde ( )1

11

in

ij ij iji kk

Y W V-

-=

= + Q , donde W son los pesos o ponderaciones de las entradas a las

neuronas (V) y Q el umbral, este desarrollo se observa ms claro en la Figura 2.2.

ANTECEDENTES


Cuando se tiene la estructura de la Red el siguiente paso es la aplicacin de una regla de

aprendizaje. La regla de aprendizaje consiste en la minimizacin del error entre los valores

observados y los predichos. La regla de activacin, la estructura y los patrones de

conectividad se basan en una seleccin emprica (Arana-Chavez, 2007).

Figura 2.2 Esquema de activacin de las neuronas para producir la salida.

Existen distintos tipos de redes neuronales artificiales dependiendo de la manera como

estn las neuronas distribuidas e interconectadas. En la Figura 2.3, se muestra una red

neuronal de alimentacin hacia adelante (Lapedes & Farber, 1987) que tambin es del

tipo usado en este trabajo.

Figura 2.3 RNA de alimentacin hacia adelante, 1 capa oculta de n neuronas, con n neuronas en la

entrada y 1 en la de salida

ANTECEDENTES


Mtodos de Aprendizaje de las RNA

El mtodo de aprendizaje consiste en definir valores iniciales a los parmetros de red (pesos

y umbrales) y haciendo uso de un conjunto de entrenamiento ir readaptando los valores de

los mismos hasta minimizar el conjunto de errores entre los valores de las variables

observadas y las predicciones hechas por la RNA. Esto permite a la red aprender un

comportamiento definido por la dinmica presente en los datos del conjunto de

entrenamiento. Dicho conjunto de entrenamiento est compuesto por datos de entrada y

salida de los valores de los estados. De manera que al alimentar a la red los datos de entrada

se obtengan los datos de salida del conjunto de entrenamiento y es en funcin del error

cuadrtico medio que los parmetros de red son optimizados.

Existen mltiples metodologas y estrategias para el entrenamiento de las RNA, sin

embargo en la literatura se ha sugerido que se use el mtodo del gradiente y el Levenberg-

Marquardt, por su robustez en el caso del primero y por su rpida convergencia en el caso

del segundo (Sedano-Franco, Alonso-lvarez, & Villar-Flecha, 2007; Haykin, 2005;

Demuth & Beale, 2000) una breve descripcin de los mtodos de aprendizaje utilizados se

pueden consultar en el anexo, aunque las otras metodologas presentaran ventajas

especficas que se pueden consultar en la literatura (Arana-Chavez, 2007; Gonzlez-Garca,

1999)

Filtro de Kalman neuronal

El Filtro Kalman en su forma original es una buena herramienta predictiva y correctora de

seales en las cuales se tiene cierta incertidumbre, sin embargo, est enfocada a sistemas

gobernados por ecuaciones en diferencias estocsticas lineales. La versin extendida para

sistemas no lineales, es inapropiado en algunos casos pues se basa en mtodos de

liberalizacin alrededor de un punto o trayectoria, provocando una perturbacin o error del

modelo.

Una modificacin a las ecuaciones de la parte predictiva del filtro de Kalman fue propuesta

anteriormente (Bernal-Osorio, 2006), en este acoplamiento se incorpora la no linealidad de

la red y el error de prediccin se reduce por la capacidad del filtro de seguir el

comportamiento del error y proyectar la covarianza del error.

ANTECEDENTES


Las ecuaciones del filtro de Kalman Neuronal y su diagrama de flujo se describen en la

Figura 2.4.

Figura 2.4 Diagrama de la arquitectura RNA-FK

ANTECEDENTES


Dnde:

1kz - Es la respuesta del sistema real en el tiempo anterior k-1;

kz La salida de referencia de RNA alimentada con 1kz - ;

1kx - La prediccin final corregida por el filtro previa o dato retroalimentado del filtro;

kx- La prediccin de RNA a partir de 1kx - ;

kx El valor de la prediccin final corregida por el filtro actual;

P Es la covarianza del error;

K La ganancia de Kalman;

Q y R Son matrices de covarianza del proceso y la medicin;

A Matriz constante que relaciona el estado previo 1kx - con el valor actual kx ;

H Matriz constante que relaciona el estado medido 1kz - con el valor actual kx ;

Solo en casos excepcionales A y H son diferentes a la matriz identidad debido a que se

asume que el dato predicho por la estrategia acoplada y el dato medido no sufren ninguna

alteracin al ser realimentados al ciclo, es decir al convertirse en los estimados iniciales en

la siguiente iteracin y por lo tanto son los mismos, por lo que se A y H se denominan

matrices de relacin de los estados iniciales (Ramrez-lvarez, Rico-Martnez, &

Parmananda, 2010).

Conceptos de clculo estocstico

El Ruido Blanco Gaussiano

El Ruido existe de forma comn en la naturaleza, por lo tanto se ha tratado de comprender

y controlar su interaccin. Sin embargo, debido a su alta complejidad, diversas

aproximaciones han sido adoptadas para analizar procesos, en base a sus caractersticas

estadsticas, entre las que se encuentra el ruido uniforme, el ruido blanco y el ruido de

color. Una de estas las aproximaciones ms comunes es el Ruido Blanco Gaussiano, este

proceso estocstico est definido de tal forma que el promedio de una fluctuacin aleatoria

x es igual a cero y sus valores con independientes e igualmente distribuidos siguiendo una

ANTECEDENTES


distribucin Gaussiana al ir incrementando el nmero de datos del ruido. Y la caracterstica

ms importante es que dos valores consecutivos en el tiempo estn completamente

descorrelacionados (Escalera-Santos, 2006).

Las caractersticas del ruido blanco Gaussiano le brindan dos propiedades:

La estacionariedad: Sus propiedades estadsticas son independientes del tiempo de

referencia escogido.

La ergodicidad: Esta propiedad se relaciona con el hecho de que promedios sobre

un ensamble estocstico puede ser reemplazado por un promedio en el tiempo de

cualquier parte de la funcin del ruido.

Proceso de Wiener y movimiento Browniano

Denominado Browniano por un botnico (Robert Brown) que observaba el movimiento

aleatorio de partculas en la superficie del agua y Proceso de Wiener por el matemtico

(Norbert Wiener) que defini con rigurosidad, en base a ecuaciones, lo que suceda.

Formalmente, un escalar estndar del movimiento Browniano o del proceso estndar de

Wiener en un intervalo [0, T] es una variable aleatoria W(t) que depende continuamente del

momento en el tiempo y que satisface los siguientes principios (Gardiner, 1985):

1. W(0)=0, con una probabilidad 1, siempre se arranca en 0.

2. Para s y t [0,T], tal que 0 s t T < la variable aleatoria dada por el incremento (W(t)-W(s)) est normalmente distribuida con media cero y varianza (t-s).

Equivalente podemos aproximar la diferencia (W(t)-W(s)) a t s- N(0,1), donde

N(0,1) denota una variable aleatoria normalmente distribuida con media cero y

varianza uno.

3. Si ahora consideramos s, t, u y v [0,T], tal que 0 s t v u T < < < los incrementos (W(t)-W(s)) y (W(v)-W(u)) son independientes.

Se puede observar la concordancia que existe del ruido blanco Gaussiano y el proceso de

Wiener, en el sentido de que tienen la misma representacin estadstica del fenmeno

estocstico.

ANTECEDENTES


Ecuaciones diferenciales estocsticas

Los modelos ms precisos y sofisticados son aquellos que involucran los efectos aleatorios

o estocsticos y tienen el componente de realismo que les permite ser modelos de

comportamiento ms verdico.

Los modelos ms precisos y sofisticados, con efectos aleatorios o estocsticos, vienen a ser

ms significativos, siendo la aleatorizacin del sistema, la parte de mayor inters en el

modelo, la solucin de tales problemas, comprende una nueva rea en matemticas,

denominada clculo estocstico; y corresponde a una generalizacin estocstica del clculo

diferencial clsico (Raffo-Lecca & Meja-Puente, 2006).

Los procesos estocsticos cumplen con tener incrementos independientes, esto es que las

variables aleatorias son independientes de cualquier combinacin finita de instantes de

tiempo, si los incrementos (dx(s), dx(t)) sobre los intervalos ([s, s+ds] y [t, t+dt]) son

independientes.

Un proceso Wiener tiene dos tipos de componentes, uno de variacin continua lenta

llamada drift m y una componente aleatoria continua de variacin rpida llamada difusins

y posee la siguiente conducta dinmica.

( ) ( )( ) 0

, ,

0t tdX t X dt t X dW

X x

m s= +

= (2.8)

Con una velocidad determinstica ( ), tt Xm y una distribucin Gaussiana amplificada por

( ), tt Xs y que al dividirse entre dt se obtiene la Ecuacin Diferencial Estocstica.

( ) ( ), ,t tdX dWt X t Xdt dt

m s= + (2.9)

Donde W es el proceso denominado de Wiener. Esta ecuacin tiene la forma integral

descrita como:

( ) ( )00 0

, ,t t

t s s sX x s X ds s X dWm s= + + (2.10)

ANTECEDENTES


Que se interpreta como que la primera integral es la de Riemann para cada trayectoria X y

la segunda integral, una integral estocstica que se basa en la teora del clculo It, aunque

dependiendo del tipo de suma de Riemman, si se usa punto medio se denomina clculo de

Stratonovich (Higham, 2001).

La Aproximacin ms simple heurstica en tiempo discreto es la generalizacin estocstica

de la aproximacin de Euler denominada Euler-Maruyama, Para la solucin de la Ecuacin

Diferencial Estocstica del proceso, Xt se aproxima con:

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

n n n n n n

n n n

n n n

Y Y a Y b Y W

W W Wt t

t t

+

+

+

= + D + D

D = -

D = -

(2.11)

La convergencia puede ser fuerte (Strong) o dbil (Weak). Se le denomina dbil cuando

solo se est interesado en los momentos o en la parte funcional de la solucin, la cual

implica una forma de convergencia ms dbil que la que se necesita para la aproximacin

de los caminos de solucin, adems, la convergencia dbil hace referencia al error

promedio de la solucin y por lo tanto para el trmino de diferencia se puede utilizar

( )0,1nW tND = D que es una muestra del incremento ( ) ( )1n nW Wt t+ - relacionado a la desviacin estndar de la diferencial, en general una convergencia fuerte se referir a la

aproximacin de la solucin independiente del tamao mximo del paso de integracin, por

lo que depender del uso de los diferentes tipos de mtodos explcitos o implcitos para la

solucin diferencial.

Mtodos Numricos Estocsticos

En aos recientes, el desarrollo de mtodos numricos para aproximar las ecuaciones

diferenciales estocsticas ha ido en aumento. Donde las aproximaciones fuertes son

mtodos diseados para la obtencin de buenos caminos de solucin, mientas que los

mtodos dbiles se centran en la expectativa de la solucin funcional. Los mtodos han ido

evolucionando y se cuenta con mtodos de mayor orden para la solucin estocstica de

estos problemas.

ANTECEDENTES


El mtodo de primer orden tipo Euler-Maruyama es el mtodo ms sencillo conocido y est

pensado para la solucin de problemas de estructura lineal, pero dada su generalidad ha

sido implementado para la solucin general de las ecuaciones diferenciales estocsticas,

adems de ser un mtodo ampliamente usado y estudiado (Higham, 2001).

La forma general de solucin tipo It con coeficientes constantes (Trk, 1994), ha

marcado la forma general para la solucin de sistemas lineales estocsticos. Se han

desarrollado algoritmos para aadir un control de paso a las formas generales de solucin

estocstica, y se ha visto que se puede ampliar a la forma de Stratonovich, adems de

incrementar el orden del Runge-Kutta estocstico empleado (Mauthner, 1998; Valinejad &

Mohammad-Hosseini, 2012).

Dada la forma general que puede tener el Runge-Kutta en su forma determinista, tambin

existe su forma equivalente estocstica, que permite el manejo de mltiples coeficientes y

rdenes que han sido desarrollados de aproximaciones de la serie de Taylor y funciones

suavizadas para el proceso tipo It (Tocino & Ardanuy, 2002).

Los procesos de ruido blanco Gaussiano se ven en general como clculos estacionarios

estocsticos de promedio cero y de densidad espectral constante diferente de cero. De esta

forma el ruido blanco se puede visualizar como la derivada de un proceso de Wiener, sin

embargo ya que en sentido estricto los procesos estocsticos no son diferenciables, esto

pueden decir que no existe tal cual, aunque son interpretados como funciones

generalizadas. Debido a esto el ruido blanco no existe fsicamente pero se puede aproximar

con cualquier orden de precisin por un procesos estocstico convencional con variedad de

bandas espectrales llamadas procesos de ruido de color que permiten dar ms realismo en

simulaciones especficas, especialmente las relacionadas con procesos biolgicos (Carletti,

Burrage, & Burrage, 2004).

Cuando se integra numricamente un sistema de Ecuaciones diferenciales estocsticas,

significa que se estn generando trayectorias estadsticamente representativas, una ecuacin

diferencial estocstica no tiene una solucin definida. Sin embargo existen dos tipos

bsicos de tareas asociadas con la simulacin de soluciones de las ecuaciones diferenciales

estocsticas. La primera sucede en la situacin donde se requiere una buena aproximacin

ANTECEDENTES


de la solucin exacta del sistema, en el caso de simulaciones directas. La segunda se enfoca

a la solucin aproximada funcional del proceso de It, cuyo clculo est basado en la

distribucin probabilstica de sus respectivos momentos. Por lo tanto entre ms realista sea

necesaria la prediccin, el ruido que influye en el sistema debe ser descrito a mayor detalle

(Fadhel & Abdulamear, 2011).

Para la mayora de las ecuaciones diferenciales estocsticas no es conocida una solucin

analtica, por lo cual se han desarrollado mtodos numricos para su solucin, estos

mtodos han evolucionado de los mtodos tradicionales para sistemas estocsticos,

considerando el trmino aleatorio dentro de la integracin del sistema, como previamente

se ha comentado, los mtodos ms comnmente utilizados son los mtodos explcitos de

Runge-Kutta que se han derivado de la aproximacin de la expansin de la serie de Taylor

y que se puede encontrar estudios detallados de su deduccin y estudio (Burrage, Lenane,

& Lythe, 2007; Rsler, 2007; Rsler & Debrabant, 2008; Debrabant & Rsler, 2009).

Anlisis de Datos

La derivacin e integracin estocstica permite la modelacin y solucin de sistemas que

tienen influencia del efecto del ruido, esto permite analizar el efecto que tiene este en los

sistemas, un efecto importante es conocido como "Resonancia estocstica", este fenmeno

se le atribuye a la manifestacin que tienen los sistemas no lineales donde una seal de

entrada es amplificada u optimizada por la asistencia de las perturbaciones. El efecto

anteriormente mencionado requiere de tres ingredientes (Gammaitoni, Hnggi, Jung, &

Marchesoni, 1998):

Una barrera de activacin energtica o un umbral que cruzar.

Una seal coherente de entrada, como una seal peridica, aperidica o constante.

Una seal de ruido inherente en el sistema (ruido intrnseco) o aadido al sistema

(ruido externo)

Estos efectos pueden ser medidos o cuantificados con algunas estrategias estadsticas, que

sern descritas a continuacin.

ANTECEDENTES


Medida de Regularidad

Desde un punto de vista de transmisin de informacin (seal) a travs de un sistema

biestable en un rgimen de resonancia estocstica, las transiciones sobre la barrera de

potencial, juegan el rol preponderante, mientras que la dinmica subumbral no es relevante.

De esta forma, la resonancia estocstica se puede considerar como un efecto fundamental

de cruce de umbral, donde las caractersticas topolgicas de la seal subumbral son

irrelevantes, mientras no crucen el lmite, en el caso donde los efectos aleatorios ocurren

cuando a una seal de entrada regular se le adiciona un componente ruidos que traspasa un

umbral, este efecto de amplificacin puede ser mostrado en la Figura 2.5, donde se observa

el cruce del umbral de la seal que amplifica una seal "escondida" en el ruido

(Anishchenko, Neiman, Moss, & Schimansky-Geier, 1999), la seal subumbral puede

inyectarse en el sistema como cualquier seal y puede ser entre otras, peridica, aperidica

o constante.

Se puede clasificar la medida Resonancia Estocstica de dos formas, las tcnicas que miden

la regularidad de una seal y las que miden la similitud que existe entre la seal de salida y

la subumbral.

Figura 2.5 a) Seal subumbral sinusoidal ms una seal de ruido que cruza un umbral, b) Cruce de

la seal subumbral marcada como una secuencia de pulsos.

ANTECEDENTES


Varianza Normalizada: El coeficiente de variacin conocida como Varianza Normalizada

(VN) es la herramienta ms comnmente utilizada para medir la regularidad de una seal

con picos respuesta que sobresalen significativamente a los provocados por el ruido, y es la

forma ms sencilla para visualizar el efecto de la coherencia en la seal, su definicin

estadstica est dada como el cociente de la desviacin estndar entre el promedio de las

distancias entre los picos.

2TVN

T

D= (2.12)

Donde T es el tiempo entre la aparicin de picos.

El primer problema que se encuentra en el estudio del comportamiento de picos en un

sistema excitable, es la definicin de pico, un pico se define como el punto ms alto

despus de un nivel umbral definido, considerando que el sistema pasa a un estado

estimulado (seal en alto) y regresa al estado de reposo (seal en bajo), y de esta forma se

puede estimar el tiempo entre la aparicin de picos, como la diferencia entre dos picos

contiguos ( )1i iT t t+= - .Un valor de VN=0 representara una seal estrictamente peridica y con una seal en la cercana a cero se considera una seal coherente (Lindner, Garca-

Ojalvo, Neiman, & Schimansky-Geier, 2004).

Coeficiente Recproco de Varianza de intervalos entre picos: Este trmino representa el

grado de coherencia de la misma forma que la Varianza Normalizada, solo que siendo su

recproco, por lo tanto su mximo representa la mxima resonancia coherente (Duan, Long,

& Li, 2014; Sethia, Kurths, & Sen, 2007).

22

TR

T T=

- (2.13)

Coeficiente de Difusin: El conteo de picos exhibe un efecto de dispersin, esta dispersin

se puede calcular con el promedio y la varianza del intervalo entre picos, que tiene cierta

relacin con la VN.

ANTECEDENTES


( ) ( ) 22 22

1lim2 2eff t

n t n t TdDdt T

- D= = (2.14)

Donde n(t) es el conteo de picos.

Tiempo de Correlacin: El tiempo de correlacin se define como la integral de la funcin

de correlacin al cuadrado de una de las variables de salida. La mxima regularidad se

presenta en el mximo de esta cantidad (Pikovsky & Kurths, 1997).

12corr eff

TD

t -: (2.15a)

( )20

corr C t dtt

= (2.15b)

Donde ( ) ( ) ( )2 , y t y t

C y y yy

tt

+= = -

% %%

%, que es una funcin de autocorrelacin.

Histograma Normalizado de tiempos entre picos: Esta tcnica de cuantificacin de

regularidad se basa en el concepto de que la seal con una mayor densidad de distancias

entre picos en un intervalo indicarn que existe una mayor regularidad de la seal, al ser

ms uniforme, mientras que entre ms disperso sea el histograma, la seal tender a ser ms

irregular (Ripoll Massanes & Prez Vicente, 1999).

Espectro de Potencias: Si el sistema tiene una salida regular esta debera estar

caracterizada por un pico alto y claro en una frecuencia definida en una grfica del poder

del espectro contra frecuencia, y si en la seal el ruido es dominante la seal debera verse

lineal plana. La ventaja de esta tcnica es que puede cuantificar la regularidad an con

gran presencia de ruido, y no es necesaria una cuenta de picos. Para una seal x(t)

cualquiera, el espectro de potencias se describe como:

( ) ( ) ( ) ixS d x t x t e wtw t t

-= + (2.16)

En la medida que la seal sea ms regular esta se caracterizar en el espectro como la altura

del pico entre su longitud, donde el espectro cae a una fraccin de su mximo.

ANTECEDENTES


( )max

max

S wb w

w=

D (2.17)

Donde S es el espectro de potencia y w es la frecuencia.

Los tres tipos de mediciones usadas para calcular la regularidad ms comnmente

utilizados son el espectro de potencias, el histograma normalizado de picos y el tiempo de

autocorrelacin de salida (Ripoll Massanes & Prez Vicente, 1999). Estos se basan en tres

conceptos, el primero en la idea de combinacin de frecuencias, analiza diferentes

Frecuencias y si existe una predominante existe una seal regular, la segunda, en el

concepto de distancias entre picos, si existe un intervalo de distancias similares que se

encuentran con mayor presencia indica uniformidad, y el tercero maneja el concepto del

segmento de seal anterior es igual al segmento de seal siguiente, entonces la seal es

similar, por lo tanto conserva regularidad. El uso de una sola tcnica no brinda la

informacin completa sobre la regularidad, es necesario realizar uno de cada tres diferentes

tipos de tcnicas y comparar para saber la verdadera amplitud de ruido necesaria para la

mayor regularidad (Lindner, Garca-Ojalvo, Neiman, & Schimansky-Geier, 2004).

Medida de la similitud entre dos seales

Tasa seal-ruido: La tasa seal-ruido se conoce como signal-to-noise ratio (SNR), la

cual mide que tan bien un pico de un espectro se puede distinguir del ruido de fondo. En

definicin se puede decir que el SNR es la divisin entre la altura del pico de la seal entre

su espectro de fondo. Desde un punto de vista de anlisis de seales, el SNR se puede ver

como la extraccin de una seal particular del ruido del fondo (Gammaitoni, Hnggi, Jung,

& Marchesoni, 1998).

2

bg

SNRSa

= (2.18)

Donde a representara una seal sin ruido y bgS es el del ruido de fondo.

Correlacin cruzada: La correlacin cruzada entre la seal subumbral entrante y la

respuesta del sistema tambin se le conoce como Norma de Poder, que es una medida de la

coincidencia entre la seal subumbral determinista y la respuesta inducida por el ruido

ANTECEDENTES


(Parmananda, Escalera-Santos, Rivera, & Showalter, 2005). Esta correlacin se representa

por:

( )( )0 1 1 2 2t t tC x x x x= - - (2.19) Donde el smbolo denota promedio en el tiempo, x1 representa la serie de tiempo de la

seal subumbral de entrada y x2 la serie de tiempo de la respuesta del inducida por el ruido

(Eichwald & Walleczek, 1997).

Desde una perspectiva de anlisis de seal, el valor mximo de 0C corresponde a

maximizar la relacin de similitud que existe entre la seal de entra y la seal respuesta.

Esta medida cuantifica el efecto asociado con la resonancia estocstica y la amplificacin

de sus respectivas seales subumbrales (Collins, Chow, & T.T., 1995).

Coeficiente Q: Esta tcnica se emplea para correlacionar una seal subumbral sinusoidal o

de componentes sinusoidales, como la seal subumbral 2cosss

A tTp

para determinar su

similitud con la seal respuesta obtenida, para esto se calcula los coeficientes de Fourier

que proporcionan la informacin necesaria en la seal transportada con un periodo de

forzamiento particular, como medida de resonancia estocstica. Los coeficientes de Fourier

son proporcionales al cuadrado del poder espectral de amplificacin, el coeficiente Q se

escribe como:

( ) ( )2

sin0

2 sin2

n

Q x t t dtn

p ww wp

= (2.20a)

( ) ( )2

cos0

2 cos2

n

Q x t t dtn

p ww wp

= (2.20b)

2 2sin cosQ Q Q= +

(2.20c)

Donde 2 sTw p= , n es el nmero de periodo Ts, cubierto por la integracin en el tiempo

(Wu & Zhu, 2008; Hu, Yang, & Liu, 2014).

Pgina 32

CAPITULO III

Metodologa

Sistema Terico

Modelo FitzHugh Nagumo

El modelo FitzHugh Nagumo (FHN) fue concebido para mostrar el comportamiento de las

neuronas orgnicas, que fisiolgicamente tienen un solo estado de equilibrio,

correspondiente al potencial de reposo de la membrana. El modelo puede tener un nico

punto de equilibrio con ciertos coeficientes especficos de las ecuaciones, esto es en

condiciones paramtricas que aseguran este nico punto de equilibrio estable, como se

observa en la realidad biolgica (Castillo-Quiroz, 2006).

Una caracterstica comn de los sistemas excitables es la presencia del estado de reposo y

estado de excitacin. Si el sistema no es afectado por perturbaciones, se mantiene en estado

de equilibrio y pequeas perturbaciones resultan en pequeas respuestas con el sistema

regresando a su estado de reposo. Si la perturbacin excede el umbral, el sistema deja la

cercana del punto de equilibrio y regresa al reposo despus de un amplio periodo de

excursin en el plano fase, y la caracterstica de esta propiedad permite mantener

oscilaciones provocadas por perturbaciones. El modelo FHN (tambin llamado Van der

Pol-Bonhoeffer) presenta una excitabilidad caracterizada por una bifurcacin Hopf

supercrtica asociada al cambio de estado (El-Samad, H. & Khammash, M., 2006) y rbitas

homoclnicas y comportamientos complejos (Guckenheimer & Kuehn, 2010).

El sistema FHN se usa como un modelo generalizado para el estudio de dinmica excitable

para diferentes campos debido a lo simple del modelo y a su riqueza de estados. Por

ejemplo, se ha analizado su efecto en la sincronizacin, como caso de estudio de la

sincronizacin entre dos neuronas (Wang, Zhang, & Deng, 2007), tambin se usa como

modelo para describir la sensibilidad del sistema nervioso biolgico debido a los estmulos

externos (Tatchim Bemmo, Siewe Siewe, & Tchawoua, 2013), para estudiar el efecto del

ruido en sistemas sincronizados, acoplados y con retardo, para determinar la intensidad de

ruido crtica en donde el ruido no cause cambios cualitativos en la dinmica de un sistema

METODOLOGIA


(Buric, Todorovic, & Vasovic, 2009), analizar el efecto de la retroalimentacin por retraso

aunada en un sistema de resonancia estocstica peridica (Wu & Zhu, 2008), efectos de

resonancia estocstica en sistemas de sincronizacin con biseal subumbral (Hu, Yang, &

Liu, 2012), efecto de resonancia estocstica en sistemas con retraso y una seal subumbral

compuesta de doble frecuencia (Hu, Yang, & Liu, 2014), para el estudio de resonancia

estocstica provocada por ruido sumativo y multiplicativo, adems de distribucin de ruido

por la ley de potencia y diferentes frecuencias (Resonancia Estocstica Fantasma) (Silva,

Rosso, Vermelho, & Lyra, 2014) o seales subumbrales de alta frecuencia (Volkov, Ullner,

Zaikin, & Kurths, 2003). Por lo anterior, se decide utilizar este modelo matemtico para

analizar el uso y funcionamiento de un controlador RNA-FK usando el ruido como variable

de control en la bsqueda de la mxima regularidad y similitud a una seal subumbral.

Se realizaron simulaciones del sistema excitable con la presencia de diferentes amplitudes

de ruido, usando el modelo FHN, que es un sistema rico en la presencia de bifurcaciones,

que muestra mltiples tipos de comportamientos despus de barreras definidas por sus

bifurcaciones, y es ideal para inducir dinmicas con ruido. Esta caracterstica hace de este

modelo ideal para encontrar resonancias estocsticas y coherentes, adems es un modelo

ampliamente estudiado. Las ecuaciones de este modelo matemtico con sus respectivos

parmetros se presentan a continuacin.

3

3dx xx ydt

e = - -

(3.1a)

( )dy x a D t Sdt

x= + + -

(3.1b)

Los parmetros usados son a=1.05 para Resonancia Estocstica Aperidica (para una seal

S de pulsos aperidicos) y Resonancia Coherente (una seal S de cero) y a=1.25 para

Resonancia Estocstica Peridica (para una seal S de pulsos peridicos) y e=0.01, y una

amplitud de ruido entre 0.02 y 2, usando Ruido Blanco Gaussiano, donde el uso del punto a

asegura que la seal subumbral no provoca una dinmica.

Las simulaciones del sistema autnomo revela que para a1 se encuentra una dinmica de punto fijo.

METODOLOGIA


Figura 3.1 Sistema FHN con a>1 (a=1.25) en la presencia de dinmica de punto fijo, izquierda

plano fase y a la derecha la serie de tiempo.

En el caso en que el valor de a sea mayor que 1 se puede observar como el sistema se dirige

a un punto fijo y se mantienen en un estado pasivo (Figura 3.1) y en caso de que a sea

menor que 1 el sistema se mantienen en un estado activo (Figura 3.2) manifestado por

oscilaciones, el sistema se encuentra en una rbita.

Figura 3.2Sistema FHN con a

METODOLOGIA


Modelo electroqumico

Se plantea un modelo electroqumico con una dinmica compleja en el caso de un ciclo

lmite de un oscilador electroqumico descrito solo por dos variables, desarrollado y

analizado previamente (Karantonis & Nakabayashi, 2001), el objetivo de usar un modelo

electroqumico es analizar el comportamiento simulado de un sistema que trate de emular el

efecto de un sistema experimental que se pondr en marcha.

Este modelo plantea varias simplificaciones, entre las que se pueden sealar:

Asume que solamente hay una especie electroactiva, la cual es producida sobre la superficie del electrodo por reacciones electroqumicas y es la encargada de producir la corriente en la solucin.

Las especies electroqumicas se mueven hacia la superficie del electrodo va difusin y migran debido al gradiente de potencial presente.

El perfil de concentracin en la capa de difusin se considera lineal y de ancho constante.

La corriente total fluyendo a travs del sistema es igual a la corriente fardica ms la corriente presente en la doble capas.

Las dos variables que describe el sistema son el potencial del electrodo y la concentracin

de una especie inica. Bajo estas consideraciones el modelo propuesto se describe con estas

ecuaciones diferenciales.

Conservacin de carga

( )2 31 2 3v uu c a u a u a uRe-

= - + +&

(3.2a)

Balance de masa

( ) ( )2 31 2 31 v uc c c a u a u a uR a-

= - - + + +&

(3.2b)

En el modelo anterior u(t) es el potencial sobre el electrodo y c(t) es la concentracin en la

superficie respectivamente. Los parmetros del sistema, e representa la capacitancia de

doble capa, R la resistencia hmica y v el potencial aplicado. La observable de la

dinmica del modelo es la corriente andica definida como v uIR-

= .

METODOLOGIA


Las bifurcaciones en el sistema anterior dependen fuertemente de los valores de los

parmetros, por lo que los parmetros necesarios para el caso de estudio seran: 0.03e =

10R = , 0.1a = , 1 1.125a = , 2 0.075a = - , 3 0.00125a = .

El sistema electroqumico usado presenta bifurcaciones del sistema, que pueden ser

analizadas con una aplicacin para MATLAB (pplane8) que muestra grficamente el

comportamiento del sistema en la medida que van cambiando sus parmetros. Cuando

0.03e = el ciclo lmite se bifurca, cuando 20.097v < el sistema se encuentra en estado

estable (Figura 3.3). Para 20.097 29.235v existe un ciclo lmite el cual desaparece a

travs de una conexin heteroclnica (Figura 3.4 y Figura 3.5). A 29.581v = una

bifurcacin de nodo punto de silla aparece y se presenta una rbita heteroclnica En este

caso cuando el ciclo lmite aparece a travs de la rbita heteroclnica acoplndose siempre

hacia la sincronizacin en caso de presentarse varias celdas electroqumicas.

El software se utiliza para identificar puntos de equilibrio, orbitas cerradas o inestables,

cerolneas y otras caractersticas no lineales del sistema, en este mismo software se seala

el punto con las condiciones iniciales del problema, se inicia con una c0=0 indicando la

concentracin de superficie inicial del electrodo, considerndose limpia, y un potencial del

electrodo u0=25, se tom este valor para evitar que la concentracin adquiriera valores

negativos al inicio.

Figura 3.3 Presencia de un punto fijo en v

METODOLOGIA


Figura 3.4 Presencia de un orbita en 20.097 v 29.235que muestra la bifurcacin homoclnica,

izquierda el plano f

tesis doctorado mario

Documents