SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TU ẤN

ĐỀ THI TH Ử ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN, kh ối D

Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 23

3

1xxy −=

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc âm và tạo với trục

hoành một góc 045 . Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2 22sin (cos sin ) sin 3 cos3x x x x x− = +

2. Giải hệ phương trình ( ) ( )( )R,

034

1

06

2

2

22

∈

=−−−−+=−−

yx

yxyx

yx

Câu III (1,0 điểm) Tìm ∫+

+dx

x

xx

)4

sin(

2cos)2sin1(π

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng '''. CBAABC có 0120,2, =∠== ACBaBCaAC , 'AC tạo

với mặt phẳng ( )ABC một góc 060 , G là trọng tâm tam giác ''CAB . Tính thể tích khối tứ diện GABC.

Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 12 2 +−= xxy II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)

1. Trong hệ toạ độ Oxy, lập phương trình các đường thẳng đi qua ( )3;1M và cách điểm ( )1;3−I một khoảng bằng 2.

2. Trong hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ( )1;2−A và tiếp xúc với các trục toạ độ.

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 355 )32(log1)23(log2 +=++ xx

B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1. Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) 0626: 22 =++−+ yxyxC . Lập phương trình các tiếp

tuyến của ( )C đi qua điểm ( )3;1M .

2. Trong hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm ( )3;2M và có phương trình một đường chuẩn là 08 =+x .

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

=−−+=−−

1)32(log)32(log

012594

55

22

yxyx

yx

----------Hết ----------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh……………………….; Số báo danh……………………

www.VNMATH.com

Trang 1/4

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TU ẤN

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TH Ử ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011

Môn thi: TOÁN, kh ối D ( Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm 1.(1.0 điểm) • Tập xác định: RD = • Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: xxy 2' 2−=

0.25

2;00' ==⇔= xxy

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )0;(−∞ ; );2( +∞ nghịch biến trên khoảng )2;0(

-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại x=0; ycđ=0; hàm số đạt cực tiểu tại 2=x ; yct3

4−=

-Giới hạn và tiệm cận: lim

x → -∞y = ∞− , lim

x → +∞

y = ∞+

0.25

- Bảng biến thiên:

0.25

• Đồ thị:

2

-2

-4

0.25

2.(1.0 điểm)

Vì tiếp tuyến có hệ số góc âm và tạo với trục hoành một góc 045 nên tiếp tuyến có hệ số góc 1−=k

0.25

1

121' 2

=⇔

−=−⇔−=

x

xxy 0.25

với 3

21 −=⇒= yx 0.25

I (2.0 điểm)

⇒ phương trình tiếp tuyến là 3

2)1( −−−= xy hay

3

1+−= xy

0.25

0 0 ∞+

2

+ - 0 x y’

∞−

0 y ∞+

∞−

-4/3

+

y

x O -1 3 2

-4/3

www.VNMATH.com

Trang 2/4

Câu Đáp án Điểm 1.(1.0 điểm) phương trình đã cho tương đương với

xxxx 3cos3sin2cos.sin2 += xxxx 3cos3sinsin3sin +=−⇔ 0.25

xxx sin3cos2

33sin

2

1=−⇔ xx sin)

33sin( =−⇔π

0.25

)(2

33

23

3Zk

kxx

kxx∈

+−=−

+=−⇔

πππ

ππ

)(

26

6 Zk

kx

kx∈

+=

+=⇔

ππ

ππ

0.25

)(26

Zkkx ∈+=⇔ππ

.

Vậy phương trình có nghiệm )(26

Zkkx ∈+=ππ

0.25

2.(1.0 điểm) Điều kiện : 0≠− yx

Hệ đã cho tương đương với:

( )( )( )

=−−−−+=−+

034

)1(

6

2

2

yxyx

yxyx

0.25

Đặt )0(, ≠−=+= byxbyxa ta có

=−−−=

034

)1(

6

2

2

ba

ab 0.25

=−−+−

=⇔

039

12

6

1

22 a

aa

a

b

−=−=

==

⇔

84

3

2

3

b

a

b

a

( thoả mãn) 0.25

II (2.0 điểm)

−=−−=+

=−=+

⇔

84

3

2

3

yx

yx

yx

yx

=

−=

=

=

⇔

8

298

35

2

12

5

y

x

y

x

0.25

dxxxxxx

xdxxI )sin(cos)cos(sin2

)4

sin(

2cos)2sin1( 2 −+=

+

+= ∫∫ π

0.25

Đặt dxxxdtxxt )sin(coscossin −=→+= 0.25

== ∫ dttI 22 0.25

III (1.0 điểm)

CxxctI ++=+= 33 )cos(sin3

2

3

2

Vậy CxxI ++= 3)cos(sin3

2

0.25

www.VNMATH.com

Trang 3/4

Ta có 2

3sin...

2

1 2aACBBCACS ABC =∠=∆

0.25

Vì )(' ABCCC ⊥ nên

060'))(,'( =∠=∠ ACCABCAC

360tan.' 0 aACCC ==⇒

0.25

3

2'

32

))(,(a

CCABCGd == 0.25

IV (1.0 điểm)

3)).(,(.

3

1 3aSABCGdV ABCGABC == ∆ ( đơn vị thể tích)

Vậy 3

3aVGABC = ( đơn vị thể tích)

0.25

Tập xác định RD =

1

21

2

'

+−=

x

xy 0.25

3

10' =⇔= xy 0.25

Ta có bảng biến thiên

0.25

V (1.0 điểm)

Từ bảng biến thiên ta có 3max −=y khi 3

1=x 0.25

1.(1.0 điểm) Phương trình đường thẳng qua M có dạng )(0)3()1( ∆=−+− ybxa với 022 ≠+ ba

242

2),(22=

+

−⇔=∆

ba

baId

0.25

==⇔

ab

b

43

0 0.25

với 0=b chọn 1=a ta có 01=−x 0.25 Với ab 43 = chọn 4;3 == b ta có 01543 =−+ yx

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là: 01=−x và 01543 =−+ yx 0.25

2.(1.0 điểm) Gọi );( baI là tâm của đường tròn và đường tròn đi qua A và tiếp xúc với các trục toạ độ nên

),(),( OyIdOxIdIA == 0.25

abba ==−++⇔ 22 )1()2( 0.25

=−=⇔1

1

b

a hoặc

=−=5

5

b

a 0.25

VIa (1.0 điểm)

Có hai đường tròn thoả mãn là

1)1()1( 22 =−++ yx Và 25)5()5( 22 =−++ yx

0.25

B’

A

C

B

A’

C’ G

x y’

y

∞− ∞+ 3

1

0 + -

3−

www.VNMATH.com

Trang 4/4

Điều kiện .3

2−>x (*)

phương trình đã cho 35

25 )32(log)23(5log +=+⇔ xx

0.25

32 )32()23(5 +=+⇔ xx 0.25

−=

=⇔=+−−

8

7

107698 23

x

xxxx 0.25

VIIa (1.0 điểm)

Đối chiếu với điều kiện ta được 1=x Vậy phương trình có nghiệm 1=x .

0.25

1.(1.0 điểm) Đường tròn có tâm )1;3( −I bán kính 2=R

Phương trình tiếp tuyến qua )3;1(A có dạng )(0)3()1( ∆=−+− ybxa với 022 ≠+ ba 0.25

242

2),(22=

+

−⇔=∆

ba

baId

==⇔

ab

b

43

0 0.25

với 0=b chọn 1=a ta có 01=−x 0.25 Với ab 43 = chọn 4;3 == b ta có 01543 =−+ yx

Vậy có hai tiếp tuyến là: 01=−x và 01543 =−+ yx 0.25

2.(1.0 điểm)

Gọi phương trình )0(1:)(2

2

2

2

>>=+ bab

y

a

xE . Từ giả thiết ta có

=

=+

)2(8

)1(194

2

22

c

a

ba 0.25

Ta có ).8(88)2( 22222 cccccabca −=−=−=⇒=⇔ Thay vào (1) ta được 1)8(

984

=−

+ccc

. 0.25

==

⇔=+−⇔2

13

2026172 2

c

ccc 0.25

VIb (1.0 điểm)

* Nếu 2=c thì .11216

:)(12,1622

22 =+⇒==yx

Eba

* Nếu 2

13=c thì .1

4/3952:)(

4

39,52

2222 =+⇒==

yxEba

0.25

Điều kiện:

>−>+

032

032

yx

yx

Hệ phương trình đã cho tương đương với

=−−+=−++

1)32(log)32(log

3)32(log)32(log

55

55

yxyx

yxyx

0.25

=−=+⇔

1)32(log

2)32(log

5

5

yx

yx 0.25

=−=+⇔

532

2532

yx

yx 0.25

VIIb (1.0 điểm)

=

=⇔

3

102

15

y

x( thoả mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm

=

=⇔

3

102

15

y

x 0.25

------Hết------

Gv: Tr ần Văn Hưng

www.VNMATH.com