Toky v sieťach a optimalizácia osadzovacieho automatu
Katarína Cechlárová (Košice)
Tamás Fleiner (Budapest)
Katarína Cechlárová2
SMT technológia obrovský pokrok v porovnaní s manuálnym osadzovaním
Katarína Cechlárová3
Schéma osadzovacieho automatuPohyblivý Pohyblivý
pás – pás – premiestni premiestni
DPS do DPS do pracovnej pracovnej
pozíciepozície
Osadzovacia Osadzovacia hlavica: 4 hlavica: 4 vákuové vákuové tryskytrysky
Zásobníky Zásobníky na malé na malé
súčiastkysúčiastky
Zásobníky Zásobníky na na
integrované integrované obvodyobvody
CCD CCD kamerakamera
Katarína Cechlárová4
Rôzne typy zásobníkov
Katarína Cechlárová5
Zásobník na integrované obvody a DPS v pracovnej pozícii
Katarína Cechlárová6
Osadzovacia hlava s vákuovými tryskami
Katarína Cechlárová7
Optimalizácia osadzovacieho automatu zahŕňa optimálny výber• typov trysiek
• priradenia trysiek na pozície v osadzovacej hlave
• priradenia súčiastok do zásobníkov
• postupnosti osadzovaných súčiastok
• viacero vzájomne súvisiacich problémov, z nich sú mnohé ťažké už samy o sebe
Katarína Cechlárová8
Predpokladáme• priradenie súčiastok do zásobníkov je dané• priradenie trysiek na pozície v osadzovacej
hlave je danéOsadzovací cyklus:• každá tryska naberie jednu (alebo žiadnu)
súčiastku• hlava prejde ponad CCD kameru• hlava uloží súčiastky na ich pozície na DPSChceme optimalizovať:• počet osadzovacích cyklov = nečinné trysky
Katarína Cechlárová9
Organizácia osadzovacieho cyklu
Katarína Cechlárová10
Lepšia organizácia toho istého osadzovacieho cyklu
Katarína Cechlárová11
Model toku v sieti na minimalizáciu počtu osadzovacích cyklov
s
kapacita hrany (s,i):
počet súčiastok
typu i
kapacita
hrany (j,t):
hrana (i, j): ak tryska j vie
nabrať súčiastku typu
i
typy súčiastok
trysky
t
Katarína Cechlárová12
Interpretácia toku
s
tok na (s,i): je rovný
kapacite = všetky
súčiastky boli osadené
tok na (j,t): počet súč. osadených tryskou j
tok na (i, j): počet súč. typu
i osadených tryskou j
t
Veľkosť toku = počet
súčiastok
počet osadz. cyklov=
maximum tokov po
hranách (j,t)
Katarína Cechlárová13
Dané: • sieť N=(V,E,s,t,b) • predpísaná veľkosť toku v• množina hrán FE (sledované hrany) Tok x:E R v sieti N je • prípustný, ak x(e) b(e) pre každú hranu eE• prijateľný ak je prípustný, celočíselný a má
veľkosť v Cena toku x: });(max{)( Feexxc
Problém toku so sledovanými hranami
Katarína Cechlárová14
Parametrický prístup k toku so sledovanými hranami• N(): kapacity hrán v F položíme rovné • Optimálna cena toku = minimálne také,
že v N() existuje tok veľkosti v• Aplikácie parametrického toku:
– rozvrhovacie problémy (Chen 1994, Serafini 1996)
– problém eliminácie baseballového tímu (Gusfield a Martel 1992)
– problém výberu (Brumelle, Granot, Liu 1995)
Katarína Cechlárová15
Algoritmus (Newtonov)
• postupne zvyšuj hodnotu parametra, kým úloha nebude mať prípustné riešenie– nelineárne zlomkové programovanie (Dinkelbach 1967)– zlomková kombinatorická optimalizácia (Radzik 1992)
V našom prípade• postupne zvyšuj kapacity sledovaných hrán a
hľadaj maximálny tok v sieti N(): – veľkosť toku bude rásť, kým sa dosiahne v– koľko zväčšení cieľovej kapacity bude potrebných?
Katarína Cechlárová16
Terminológia a označenie
• v(N)=veľkosť maximálneho prípustného toku v N• s-t rez +(X): množina hrán, opúšťajúcich
množinu XV takú, že sX,tX• kapacita rezu +(X): súčet kapacít jeho hrán• Veta o maximálnom toku a minimálnom reze
(Ford a Fulkerson 1956): Veľkosť ľubovoľného prípustného toku nie je väčšia ako kapacita ľubovoľného s-t rezu. Navyše, veľkosť maximálneho toku je rovná minimálnej kapacite rezu.
Katarína Cechlárová17
Rezy v parametrizovanej sieti Sieť N(): kapacity hrán v F položíme rovné v(): maximálna veľkosť prípustného toku v N()
P(): množina všetkých rezov min. kapacity v N()
kapacita rezu +(X) v N():
))((.))(())(( * XXbXb
kkapacitapacita a nesledo-vaných nesledo-vaných
hránhrán
počet sledo-počet sledo-vaných hránvaných hrán
Katarína Cechlárová18
O koľko je nutné zvýšiť cieľovú kapacitu?Veta 1. Nech je také, že v()<v. Potom• Ak existuje v N() rez, neobsahujúci žiadnu
sledovanú hranu, tak v N neexistuje žiaden prijateľný tok.
• Ak každý minimálny rez v N() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu a ak v N existuje prijateľný tok, tak
PXX
Xbvopt
;max
*
Katarína Cechlárová19
Veta 2. Nech je také, že N()<v a nech každý rez
v P() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu. Nech +(X) je ľubovoľný rez minimálnej kapacity v N(). Položme
X
Xbv
*~
~i
vvii~
)(
.~
vkapacityminimálnejrezkaždýpretak
~Ak
NYXYvviii
PotomPotom
Katarína Cechlárová20
Zložitosť algoritmu.
Veta 3. Na nájdenie optimálneho prijateľného toku v individuálnej úlohe (N,F,v) alebo získanie certifikátu, že žiaden prijateľný tok neexistuje, stačí O(q) výpočtov maximálneho toku.
Goldberg-Tarjanov algoritmus: O(pq log(p2/q)Gallo,Grigoriades,Tarjan (1989), McCormick(1997):O(pq log(p2/q) krokov stačí na celý algoritmus(špeciálne prípady: bipartitne siete, sledované len
hrany incidujúce s t, stromová štruktúra)Otázka: Je možná taká istá zložitosť všeobecne?
Katarína Cechlárová21
Príklad siete: v=20
Katarína Cechlárová22
Sieť pre 0=0
44
44
44
8
2
420*
1
X
Xbv
Katarína Cechlárová23
N(1) pre 2=8 11
1
920*
2
X
Xbv
88
88
88
8899
44
44
55 33 88
33
55
55
55
22
Katarína Cechlárová24
N(2) pre 2=11
1111
1111
1111
1111
99
44
44
66 44 1111
33
33
33
55
22
MinimMinimálny rez neobsahuje álny rez neobsahuje sledované hrany, veľkosť sledované hrany, veľkosť tokutoku=18 =18 neex. prijateľný neex. prijateľný toktok