Toky v sieťach a optimalizácia osadzovacieho automatu

Katarína Cechlárová (Košice)

Tamás Fleiner (Budapest)

Katarína Cechlárová2

SMT technológia obrovský pokrok v porovnaní s manuálnym osadzovaním

Katarína Cechlárová3

Schéma osadzovacieho automatuPohyblivý Pohyblivý

pás – pás – premiestni premiestni

DPS do DPS do pracovnej pracovnej

pozíciepozície

Osadzovacia Osadzovacia hlavica: 4 hlavica: 4 vákuové vákuové tryskytrysky

Zásobníky Zásobníky na malé na malé

súčiastkysúčiastky

Zásobníky Zásobníky na na

integrované integrované obvodyobvody

CCD CCD kamerakamera

Katarína Cechlárová4

Rôzne typy zásobníkov

Katarína Cechlárová5

Zásobník na integrované obvody a DPS v pracovnej pozícii

Katarína Cechlárová6

Osadzovacia hlava s vákuovými tryskami

Katarína Cechlárová7

Optimalizácia osadzovacieho automatu zahŕňa optimálny výber• typov trysiek

• priradenia trysiek na pozície v osadzovacej hlave

• priradenia súčiastok do zásobníkov

• postupnosti osadzovaných súčiastok

• viacero vzájomne súvisiacich problémov, z nich sú mnohé ťažké už samy o sebe

Katarína Cechlárová8

Predpokladáme• priradenie súčiastok do zásobníkov je dané• priradenie trysiek na pozície v osadzovacej

hlave je danéOsadzovací cyklus:• každá tryska naberie jednu (alebo žiadnu)

súčiastku• hlava prejde ponad CCD kameru• hlava uloží súčiastky na ich pozície na DPSChceme optimalizovať:• počet osadzovacích cyklov = nečinné trysky

Katarína Cechlárová9

Organizácia osadzovacieho cyklu

Katarína Cechlárová10

Lepšia organizácia toho istého osadzovacieho cyklu

Katarína Cechlárová11

Model toku v sieti na minimalizáciu počtu osadzovacích cyklov

s

kapacita hrany (s,i):

počet súčiastok

typu i

kapacita

hrany (j,t):

hrana (i, j): ak tryska j vie

nabrať súčiastku typu

i

typy súčiastok

trysky

t

Katarína Cechlárová12

Interpretácia toku

s

tok na (s,i): je rovný

kapacite = všetky

súčiastky boli osadené

tok na (j,t): počet súč. osadených tryskou j

tok na (i, j): počet súč. typu

i osadených tryskou j

t

Veľkosť toku = počet

súčiastok

počet osadz. cyklov=

maximum tokov po

hranách (j,t)

Katarína Cechlárová13

Dané: • sieť N=(V,E,s,t,b) • predpísaná veľkosť toku v• množina hrán FE (sledované hrany) Tok x:E R v sieti N je • prípustný, ak x(e) b(e) pre každú hranu eE• prijateľný ak je prípustný, celočíselný a má

veľkosť v Cena toku x: });(max{)( Feexxc

Problém toku so sledovanými hranami

Katarína Cechlárová14

Parametrický prístup k toku so sledovanými hranami• N(): kapacity hrán v F položíme rovné • Optimálna cena toku = minimálne také,

že v N() existuje tok veľkosti v• Aplikácie parametrického toku:

– rozvrhovacie problémy (Chen 1994, Serafini 1996)

– problém eliminácie baseballového tímu (Gusfield a Martel 1992)

– problém výberu (Brumelle, Granot, Liu 1995)

Katarína Cechlárová15

Algoritmus (Newtonov)

• postupne zvyšuj hodnotu parametra, kým úloha nebude mať prípustné riešenie– nelineárne zlomkové programovanie (Dinkelbach 1967)– zlomková kombinatorická optimalizácia (Radzik 1992)

V našom prípade• postupne zvyšuj kapacity sledovaných hrán a

hľadaj maximálny tok v sieti N(): – veľkosť toku bude rásť, kým sa dosiahne v– koľko zväčšení cieľovej kapacity bude potrebných?

Katarína Cechlárová16

Terminológia a označenie

• v(N)=veľkosť maximálneho prípustného toku v N• s-t rez +(X): množina hrán, opúšťajúcich

množinu XV takú, že sX,tX• kapacita rezu +(X): súčet kapacít jeho hrán• Veta o maximálnom toku a minimálnom reze

(Ford a Fulkerson 1956): Veľkosť ľubovoľného prípustného toku nie je väčšia ako kapacita ľubovoľného s-t rezu. Navyše, veľkosť maximálneho toku je rovná minimálnej kapacite rezu.

Katarína Cechlárová17

Rezy v parametrizovanej sieti Sieť N(): kapacity hrán v F položíme rovné v(): maximálna veľkosť prípustného toku v N()

P(): množina všetkých rezov min. kapacity v N()

kapacita rezu +(X) v N():

))((.))(())(( * XXbXb

kkapacitapacita a nesledo-vaných nesledo-vaných

hránhrán

počet sledo-počet sledo-vaných hránvaných hrán

Katarína Cechlárová18

O koľko je nutné zvýšiť cieľovú kapacitu?Veta 1. Nech je také, že v()<v. Potom• Ak existuje v N() rez, neobsahujúci žiadnu

sledovanú hranu, tak v N neexistuje žiaden prijateľný tok.

• Ak každý minimálny rez v N() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu a ak v N existuje prijateľný tok, tak

PXX

Xbvopt

;max

*

Katarína Cechlárová19

Veta 2. Nech je také, že N()<v a nech každý rez

v P() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu. Nech +(X) je ľubovoľný rez minimálnej kapacity v N(). Položme

X

Xbv

*~

~i

vvii~

)(

.~

vkapacityminimálnejrezkaždýpretak

~Ak

NYXYvviii

PotomPotom

Katarína Cechlárová20

Zložitosť algoritmu.

Veta 3. Na nájdenie optimálneho prijateľného toku v individuálnej úlohe (N,F,v) alebo získanie certifikátu, že žiaden prijateľný tok neexistuje, stačí O(q) výpočtov maximálneho toku.

Goldberg-Tarjanov algoritmus: O(pq log(p2/q)Gallo,Grigoriades,Tarjan (1989), McCormick(1997):O(pq log(p2/q) krokov stačí na celý algoritmus(špeciálne prípady: bipartitne siete, sledované len

hrany incidujúce s t, stromová štruktúra)Otázka: Je možná taká istá zložitosť všeobecne?

Katarína Cechlárová21

Príklad siete: v=20

Katarína Cechlárová22

Sieť pre 0=0

44

44

44

8

2

420*

1

X

Xbv

Katarína Cechlárová23

N(1) pre 2=8 11

1

920*

2

X

Xbv

88

88

88

8899

44

44

55 33 88

33

55

55

55

22

Katarína Cechlárová24

N(2) pre 2=11

1111

1111

1111

1111

99

44

44

66 44 1111

33

33

33

55

22

MinimMinimálny rez neobsahuje álny rez neobsahuje sledované hrany, veľkosť sledované hrany, veľkosť tokutoku=18 =18 neex. prijateľný neex. prijateľný toktok