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UNIVERSIDAD NACIONAL SIGLOXX
Vicerrectorado-Direccin General Acadmica Programa de Educacin aDistancia
LICENCIATURA PARA MAESTROS NORMALISTAS POR LAMODALIDAD
A D I S T A N C IA
MDULO XV: TRIGONOMETRA
MENCION :
MATEMTICAS
TERCERSEMESTRE
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J. L.Siani
M.Zeballos
Q.
Trigonometra
J. L.SianiLicenciado en EconomaMagister en EducacinSuperior Profesor de
MatemticasCatedrtico de
Estadstica
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de la U. P.E. A.
M.Zeballos
Q.Egresada de Cs de la EducacinAyudante de Ctedra de la
U. P. E. A.Profesora de
Matemticas
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Mgs. Prof. Jos Luis Siani Ticona Prof. Mery Zeballos Quispe
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Por:
Trigonometra
Jos L. SianiTicona
Licenciado enEconoma Master enEducacin Superior
Catedrtico deEstadstica y
Economa en la U. P.E. A. Profesor de
Matemticas
MeryZeballosQuispeEgresada de Ciencias de la EducacinAyudante de Ctedra en la
U. P. E. A.Profesora deMatemticas
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La Paz Bolivia2011
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UNIDAD 1 Funciones Trigonomtricas
OMPETENCIAS DE LA
Al concluir la unidad 1 el educador (estudiante del mdulo XV):
Analiza y define funciones trigonomtricas fundamentales en el crculo
trigonomtrico o unitario;
Relaciona y deriva funciones trigonomtricas complementarias con lneas
trigonomtricas;
Conoce y grafica funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante en la resolucin de problemas.
1.
En las figuras que se exponen: Cmo se puede calcular la altura y el ancho?
Si se desea medir el ancho de un ro inaccesible, la altura de un rbol enorme, un
edificio, un cerro, etc., la bincha o cinta mtrica sera insuficiente; pero, si aplicamos
geometra y las relaciones trigonomtricas, la solucin no sera tan compleja, en este ymuchos problemas siempre se emplearn tringulos para su resolucin, en base a sus
seis elementos. As, entonces la trigonometra:
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Trigonometra
Es la parte de la Matemtica que trata de
la resolucin de tringulos por medio del clculo.
Segn que los tringulos que se consideren sean rectilneos o esfricos, laTrigonometra se divide en trigonometra plana o rectilnea y trigonometra esfrica. No
obstante; en ste mdulo solo estudiaremos la trigonometra plana o rectilnea.
Por qu tringulos? Porque son los bloques bsicos de construccin paracualquier figura rectilnea que se pueda construir. El cuadrado, el pentgono u otro
polgono puede dividirse en tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un
ngulo hacia los otros. Para topografiar una tierra los topgrafos la dividen en tringulos
y marcan cada ngulo con un "punto de referencia", que hoy en da es, a menudo, unaplaca de latn redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que
ponen sus varillas y teodolitos
Entonces, podemos decir que la Geometra nos ensea a
construir, con los tres datos, tringulos que contienen
incgnitas. La trigonometra nos ensear, en cambio, acalcular los valores de esas incgnitas
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+ +
X
+
l
1.1. ngulo Desde el Punto deVista Trigonomtrico
La nocin de ngulo estudiada en geometra no es suficiente para los usos de la
trigonometra, en la que podemos tratar con ngulos positivos y negativos, de cualquier
magnitud. Un nuevo concepto de ngulo puede formarse como sigue:
1.1.1. o
Los ngulos se consideran en trigonometra como engendrados por una semirrecta
mvil al girar alrededor de su origen, que se supone fijo.
X
0
l1
2
As por ejemplo la semirrecta OXde las figuras anteriores giran alrededor del punto fijo
O, mantenindose siempre en el mismo plano, al pasar de la posicin inicial OXa otra
posicin cualquiera OX, describe el nguloXOX.
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O O
X
1 giro completo +
2giros completos +
Ahora bien, la semirrecta mvil puede pasar del lado origen al lado libre, ya sea
directamente o despus de haber dado un giro completo; o tambin despus de
efectuar cierto nmero de giros completos. Si designamos porel ngulo que pasa
de la posicin OXa la OXtendremos:
3 giros completos +
n giros completos +
1.1.2. Signos ds
Al describir un ngulo, la semirrecta mvil puede girar en dos sentidos opuestos. As en
la figura se tiene:
positivo
l2
negativo
l1
Donde uno de esos dos sentidos, es el
indicado por la flecha; el otro es el
contrario. De los dos sentidos, uno se
elige como positivo y el opuesto como
negativo. Por convencionalismos paraaplicaciones prcticas adoptamos el que
es contrario al movimiento de las agujas
del reloj (el positivo)
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1.1.3. Medida
Medir un ngulo Es compararlo con otro ngulo que se toma por unidad de medida,
hallando al efecto la razn del primero al segundo. Medir un arco de circunferencia
Es compararlo con otro arco, de la misma circunferencia o de otra igual, que se elige
como unidad, hallando al efecto la razn del primero al segundo.
En Trigonometra se emplean tres clases de unidades, que dan lugar a tres sistemas
distintos: el sexagesimal, el centesimal, y el circular.
1.1.3.1. Sistema
La unidad de arco en este sistema es el grado sexagesimal, que es el arco equivalente
a la 360 ava parte de la circunferencia. A su vez el grado se divide en 60 minutos y
cada minuto en 60 segundos. Para fracciones menores que un segundo se emplean
dcimos y centsimos de segundo. Para indicar que un ngulo vale 26 grados, 18
minutos y 15 segundos con 75 centsimos de segundo, por ejemplo, se escribe: =
26 1815,75. En este sistema el ngulo recto vale 90. As, el sistema sexagesimal
es el ms empleado en la prctica.
1.1.3.2. Sistema
Este sistema, en el que cada unidad tiene 100 unidades del orden inmediato inferior,
fue ideado por Borda Juan Carlos (Geodesta francs 1733 1799). La unidad de arco
en el sistema de Borda es el grado centesimal, que es el arco equivalente a la 400
ava parte de la circunferencia. Cada grado centesimal se divide en 100
minutos centesimales. Para expresar que un ngulo vale 35 grados, 11 minutos, 75
segundos y 30 centsimos de segundo, centesimales, se suele escribir: = 35G 11 M
75S,30. Pero
observando que:
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11M
= 0G,11
75S
= 0M
,75 = 0G,0075
0S,30 = 0
M,0030 = 0
G,000030
Podemos escribir: = 35G
,117530 es decir, como en el sistema decimal de
numeracin. As, en ste sistema el ngulo recto vale, pues, 100 grados centesimales,
por lo cual dicho sistema slo est en uso en el ejrcito francs.
1.1.3.3. Sistema
Tambin denominado sistema circular, donde la unidad de arco en este sistema es el
radin, que es el arco cuya longitud es igual a la del radio.
El ngulo central que le corresponde se llama ngulo de un radin. El arco se
considera, como una longitudcualquiera, pero que no se mide en centmetros o metros
o pulgadas, etc., sino en radios de circunferencia. As, una circunferencia tiene, una
longitud expresada por la frmula C = 2 r. Pues bien, si se adopta la longitud
rcomo unidad de medida, se tendr: C = 2 radianes. Un arco de un cuadrante
tendr una longitud de2
radianes =4
radianes. Un ngulo recto vale, por lo tanto,
2
en este sistema,
ngulos de un radin, o sea,2
3.14159 ......
2radianes = 1.57079.
radianes; (algo ms de radin y medio).El sistema circular (radinico) es empleado en
las cuestiones de carcter terico, porque ofrece la ventaja de simplificar la notacin.
As, es frecuente en las demostraciones, la aplicacin de las igualdades siguientes:
Circunferencia = 2 ;3
de circunferencia4
=32
Semi circunferencia = ; Un nmero entero k
Un cuadrante =
de circunferencias = 2 k = 2 k 2
En todas estas igualdades, los segundos miembros representan longitudes expresadas
en radios.
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Para convertir una medida de ngulo de un sistema a otro, se puede disponer delas equivalencias:
90 90 = 100G = / 2 radG
100G 180 = 200 = rad
/ 2 rad
180
200G
0 rad
270300
G
3 / 2 rad
270 = 300G
=3 / 2 rad
EJERCIC
[A] A cuntos grados centesimales, equivalen 45 grados sexagesimales?
100 45G90 45=100 45 G
90
= 50 G
[B] A cuntos grados sexagesimales equivalen 39 grados centesimales?
100 39 G = 90 39
90
39
100
= 35.1
[C] Reducir 120 a radianes
180 120 = 120radianes 120
2
6.2832
= 2.0944 radianes180 3 3
[D] Reducir 3.25 radianes a grados, minutos y segundos sexagesimales.
3.25radianes
= 180 3.25 3.25 radianes =180 3.25
=585
3.1416 18612 ' 39
" - 10 -
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[E] Reducir 125G, 50 a radianes
200 125 G ,50 =
125.50radianes
125.50 radianes 200
=3.1416 125.50
radianes
=1.9704200
radianes.
[F] Convertir el ngulo 77 17 47 a fraccin de grado:
7717'47 " 77+17 '
+60
47"
360077+0.28+ 0.013 77293
[G] Convertir el ngulo de la forma de fraccin de grado 77.852, a la forma de grado,
minuto y segundo.
77.852 0.852 60 = 51.12 0.12 60 = 7.2 77 51'7"
1.2. Circunferencia
(-1,0)
Y (0,1)
y r = 1
x
M
(x , y)
(1,0)
X
Se llama crculo trigonomtrico a todo crculo
que tenga porradio la unidad de longitudy en el
cual se hayan fijado un sentido positivo para los
arcos de su circunferencia. Como se dijo; en la
praxis el sentido positivo de los ngulos es
aqul que es contrario al del movimiento de las
agujas del reloj, por lo que se hace el mismo
(0,-1) convenio en lo referente a los arcos.
La ecuacin del crculo trigonomtrico cuyo centro coincide con el origen de
coordenadas es:
x2 + y2 = 1
Al variar el ngulo , desde 0 hasta 360, el punto (x,y) describe una circunferencia y
la medida del M, (x,y) vara en el primer cuadrante, desde 1 hasta 0, pasando por todos
los valores intermedios; en el segundo cuadrante desde 0 hasta -1; en el tercer
cuadrante, desde -1 hasta 0 y en el cuarto cuadrante desde 0 hasta 1, siempre de
manera continua generando los puntos (1,0); (0,1); (-1,0) y (0,-1)
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La posicin de stos puntos determinan los ngulos centrales de 0, /2, 3/2 y 2
rad, correspondientes a 0, 90, 180, 270 y 360 del sistema sexagesimal.
1.2.1. Funciones
Se denominan funciones Trigonomtricas aquellas que
reciben nombres particulares de: SENO, COSENO,
TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE,
y se indican en forma abreviada del siguiente modo: sen
,
cos , tg , cotg , sec , cosec respectivamente.
En la circunferencia unitaria el punto P = (x,y)
muestra que, x es la distancia del punto
(x,y) al eje Y; e y es la distancia del punto
(x,y) al eje X. Unificando el punto P con el
origen de coordenadas y el semieje Xpositivo se forma el ngulo .
Y
1
cos
P=(x , y)
sen (1,0)
X
As, el elemento x se denomina coseno del ngulo ; el elemento y se denomina
seno del ngulo . Por tanto:
x=cos;
y=sen
Con las relaciones de segmentos definidos, se pueden obtener otras razones que son:
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TABLA No1
Tangente Es la razn entre la ordenada y la abscisa tg=y /x
Cotangente Es la razn entre la abscisa y la ordenada cotg =x /y
Secante Es la razn entre el radio vector y la abscisa se c =1/xCosecante Es la razn entre el radio vector y la ordenada cosec =1/y
Esto implica que las funciones trigonomtricas seno y coseno son primarias o
fundamentales, mientras que la tangente es una relacin entre stas. La funciones
trigonomtricas cotangente, secante y cosecante son funciones inversas de las tres
anteriores.
1.2.2. Relaciones TrigonomtricasFundamentales Entre la
s
Se denominan funciones gonomtricas porque la variable
independiente es un ngulo. As, las funciones
trigonomtricas son un caso particular de funciones
gonomtricas.
Del acpite anterior, como tg=y /x
tenemos el teorema: la tangente de un ngulo
es igual al cociente del seno por el coseno de dicho ngulo.
tg=sen cos
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EJERCIC
[A] El seno de un ngulo vale 0.8 y el coseno 0.6 Cunto vale la tangente?
tg=sen cos
0.8
0.6=1.33.
Ahora deduzcamos otra identidad trigonomtrica as, si tg=y /x
puede ser expresado
como tg= 1x /y
y esto es: tg=1
Cos/seny el denominador es la cotangente de un
ngulo que es igual al cociente del coseno por el seno de dicho ngulo tenemos:
Cotg =cos sen
De esto deducimos el teorema: la tangente de un ngulo es igual a la inversa de la
cotangente y sta, a su vez, es igual a la inversa de la tangente.
tg =1
cotg; cot= 1
tg
EJERCIC
[A] El seno de un ngulo es igual a 0.8 y el coseno a 0.6 Cunto vale la cotangente?
Cotg =cos sen
0.60.8
=0.75
Otro teorema que se infiere de la relacin se c =1/x
nos dice que la secante de un
ngulo es igual a la inversa del coseno de dicho ngulo por lo que tambin se
concluye que el coseno de un ngulo es igual a la inversa de la secante del
mismo ngulo
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sec =1
cos; cos= 1
sec
EJERCIC[A] El coseno de un ngulo es igual a 0.5 Cunto vale la secante?
Sec =1
cos
1= 2
0.5Tambin, de la relacin cosec =1/y obtenemos el teorema la cosecante de un
ngulo es igual a la inversa del seno de dicho ngulo, as mismo el seno es la
inversa de la cosecante
cosec =1
;sen
sen =1
cosec
EJERCIC
[A] Siendo el seno de un ngulo igual a 0.7071 Cunto vale la cosecante?
Cosec =1
sen
1
0.7071= 1.4142
Finalmente, consideremos inicialmente la ecuacin del crculo trigonomtrico.
x2 + y2 = 1 Cabe sealar que sta ecuacin tambin puede ser especificada a
travs del Teorema de Pitgoras el cual seala que En todo tringulo rectngulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Como
sabemos que la hipotenusa en el crculo es la unidad esto es 12
= x2
+ y2
.Como xrepresenta el coseno e y el seno tenemos la ecuacin pitagrica: La cual nos provee
el teorema: La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ngulo
es igual a la unidad
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22
sen2 + cos2 =1
De esto podramos obtener dividiendo porx2 e y2 otras identidades pitagricas;
primeramente dividamos porx2
:
x2
y2
1 y2
1 y 1 + = 1 + = 1+
= que provee:x
2x
2x
2x
2x
2x x
1+tan2
= sec2
Efectuando la divisin entre y2:
x2
y2
1 x2 2
1 x 2
1 + = 2 2 2
+ 1 =2 2
+1= ya que x/y es lay y y y y y y
cotangente y 1/y es la cosecante, obtenemos:
1+ cot2 =cosec2
Las relaciones anteriores derivadas de cinco teoremas;en
trigonometra, reciben el nombre de frmulasfundamentales. Ya que nos posibilitarn computar
algunas otras funciones trigonomtricas, cuyo
clculo
demostraremosposteriormente.
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cosecante
seno
tangente
1.2.3. Relaciones Derivadas ConLneas Trigonomtrica
s
Como de un teorema se deriva un corolario, a guisa de ejemplo podramos deducir un
corolario de las relaciones pitagricas que relacionen el seno y el coseno de un ngulo
lo que nos permitira cuantificar el seno en funcin del coseno y viceversa. Despejando
nos queda:
sen = 1 cos2 tambin cos = 1sen2
As, disponiendo de lneas trigonomtricas si tomamos un arco PT = a, el cual
pertenece a un crculo trigonomtrico (O,P) y sea el ngulo central, podemos aseverar
que; el argumento puede ser considerado como ngulo o como arco, indistintamente.
Por lo que; as como las funciones trigonomtricas de ngulos se denominan
funciones goniomtricas, las funciones trigonomtricas de arcos se denominan
funciones
circulares. As tenemos el crculo trigonomtrico:
Y
S cotangente R
Q
P
secante
Las lneas
trigonomtricas
son delimitadas
como:
O cosenoM
M T X
PM = sen
OM = cos
QT = tan
RS = cot
OQ = sec
OR = cosec
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El radio vector, la abscisa y la ordenada de un punto perteneciente al lado libre de un
ngulo forman un tringulo rectngulo OPMen el que el radio vector es la hipotenusa
por lo que; podemos designar los segmentos usando los siguientes nombres:
OP = Hipotenusa
OM = Cateto adyacente a
MP = Cateto opuesto a
Y definimos la funcin trigonomtrica seno para el tringulo rectngulo OPMde la
manera siguiente:
Sen =Cateto Opuesto
Hipotenusa
Ya que el radio vector unitario coincide con la hipotenusa tenemos:
sen2 + cos2
1
=1sen=P
1 cos2
1 cos2
Por lo que: sen = 1 cos2
O cos
M
La funcin trigonomtrica del seno en base al tringulo rectngulo OTQconsidera
al radio vector unitario con el segmento OT:
QYa que en ste caso la secante es la
hipotenusa tenemos la identidad
fundamental:1+tan2
tan
1+tan2
= sec2
como:
O 1 T
sen=
sec=
tan
1+tan2
Obtenemos el seno que viene a ser:
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1+tan2
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Determinemos el seno en base a la cotangente de las lneas trigonomtricas, paraello; copiemos el triangulo volcado OSR del crculo trigonomtrico cuyo radio vector
unitario es el segmento OS.
.cot
S R
En este escenario la hipotenusa es la
cosecante entonces:
1
1+ cot2 1+ cot2
=cosec2 como.
O
viene a ser: sen=1
1+ cot2
cosec= 1+ cot2 as el seno
El seno en base a la secante requiere del tringulo rectngulo OTQdonde la
secante en ste caso coincide con la hipotenusa.
QYa que 1+tan
2
= sec2
secsec
2 1
entonces: tan= sec2 1
as, el seno es:
2
O 1 T sen=sec 1
sec
El seno en base a la cosecante debe ser hallado con el tringulo ORS cuya
hipotenusa es la cosecante y el radio vector unitario es OU.
S cos ec2 1 R
Ya que 1+ cot2 =cosec2 despejando
1
cosec la cotangente cot= cosec2 1 elloposibilita el logro del seno en funcin de la
Ocosecante
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sen =1
cosec
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Prosiguiendo de la misma manera para el coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante disponiendo de:
cos =Cateto
Adyacente
Hipotenusa
tg=
CatetoOpuesto
CatetoAdyacente
Cotg =Cateto
Adyacente
CatetoOpuesto
Sec =
Hipotenusa
CatetoAdyacentecosec=
Hipotenusa
CatetoOpuesto
Determinamos la siguiente tabla de relaciones trigonomtricas derivadas.
TABLA No
2
Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec
Sen 1 cos2 tg1+tg
2
1
1+cotg2
sec2
1 sec
1
cosec
Cos 1sen2
1
1+tg2
cotg1+cotg
2
1
sec cosec
21cosec
Tg sen1sen
2
1 cos2 cos
1
cotg sec2 1
1
cosec21
Cotg 1sen2sen
cos21 cos
1
tg1
sec2 1
cosec21
Sec 1
1sen2
1
cos 1+tg2
1+ cotg2cotg
cosec
cosec21
Cosec 1
sen 1
1 cos2 1+tg
2
1+cotg2sec
sec2 1
EJERCIC
[A] El seno de un ngulo vale 0.8. Cunto vale el coseno?. La frmula que expresa el
coseno en funcin del seno es:
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(rad)
(grados)Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec
6
30
Aplicando
1 cos2 =2
1
3 =
13
=4
4 3=
4
1=
4
=1
2
Valor
Aleatorio
3
2
Aplicando
1 cos2 =cos
Como
1
1 cos2
= 2
Tenemos:
1
2
3=
2
1=3
Racionaliz.
1 3 =3 3
=3
3
Aplicandocos
1 cos2 =
Tenemos:
3
21
=
2
= 3
Aplicando
1=
cos
Tenemos:
1=
3
2
=2
3
Racionaliz.
2 3 =
3 3
2 3
= 3
Aplicando
1=
1 cos2
Tenemos:
1=
1
2
=2
cos = 1sen2
10.82
1 0.64 0.36 0.6
Luego, al valor0.8del seno de un ngulo corresponde un valor del coseno que puede
ser + 0.6 bien 0.6.
[B] Cuantificar los ngulos: sen 30 y cos 45 disponiendo de la tabla diseada
anteriormente.
Para la cuantificacin del sen 30primeramente debemos asignar un valor aleatorio por
ejemplo3
al coseno del ngulo , elegimos las funciones de la columna que2
pertenecen a la funcin coseno determinadas en nuestra tabla y luego procedemos con
los clculos algebraicos. As tenemos:
TABLA No
3
2
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-
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(rad)
(grados)Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec
4
45
Aplicando
tg =
1 +tg2
Como
tg =1
Tenemos:
1
2=
1+(1)
1=
1+1
=1
2
Racionaliz.
1
2
=2 2
=2
2
Aplicando
1=
1+tg2
Como
1+tg2 = 2
Tenemos:
1=
2
Racionaliz.
1
2=
2 2
=2
2
Valor
Aleatorio
1
Aplicando
1 =tg
Como
tg =1
Tenemos:
1=1
=1
Aplicando2
Como
1+tg2 = 2
Tenemos:
= 2
Aplicando
1 +tg2=
tg
Como
1+tg2 = 2
Tenemos:
2=
1
= 2
Para la cuantificacin del cos 45. Como en el caso anterior, asignemos un valor
aleatorio por ejemplo de 1 a la tangente del ngulo , y elijamos las funciones de la
columna que pertenecen a la funcin tangente determinadas en nuestra tabla para
luego proceder con clculos algebraicos.
TABLA No4
1 +tg =
12.3.1. Regla
Sobre la base del ejemplo de aplicacin anterior y como los valores de las funcionestrigonomtricas de 0, 30, 45, 60, 90 y 180 son de frecuente aplicacin, deben
tenerse presentes en la memoria; por ende, las resumimos en la siguiente tabla de
valores, no sin antes aclarar que si el lector desea cuantificarlas, debe proceder como
se hizo con el ejemplo de aplicacin precedente:
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TABLA No5
Funcin 0 30 45 60 90 180
Sen 0 12
22
32
1 0
Cos 13
2
2
2
1
20 1
Tg 03
31 3
No
Existe0
CotgNo
Existe3 1
3
30
No
Existe
Sec 12 3
32 2
No
Existe 1
CosecNo
Existe2 2
2 3
31
No
Existe
No obstante para recordar los valores del seno de 0, 30, 45, 60 y 90 se debe
recurrir a la mitad de la raz cuadrada de cada uno de los nmeros naturales de 0 a 4.
TABLA No
6
0 30 45 60 90
0 1 2 3 4
Sen 0
0
2
Sen 30
1
2
Sen 45
2
2
Sen60
3
2
Sen 90
4
2
Los valores del coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 estn dados, respectivamente, por la
mitad de la raz cuadrada de cada uno de los nmeros naturales escritos, en orden
inverso, de 4 a 0. As:
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3 3
3 3
TABLA No7
0 30 45 60 90
4 3 2 1 0
cos 0
4
2
cos 30
3
2
cos 45
2
2
cos 60
1
2
cos 90
0
2
EJERCIC
[A] Resolver (tg60 +tg30 ) tg45 =5x + 24x
Si (tg60 +tg30 ) tg45 =5x + 2
3+
3
1 =5x + 2
2 3 + 3
=5x +2
4x 2 4x 2 4x
2x(2 3 + 3) = 5x + 2 2x(2 3 + 3) 5x = 2 2x(3
3) 5x = 2 6x
3 5x =2
x(6 3 5) = 2 x =6
2
35
es menester racionalizar por lo que:
x = 2 2 6 3+ 5 12 3+10 12 3+10 12 3+10 x =12 3+106 35 6 35 6 3+5 (6 3)2 52 36(3)
25108 25 83
[B] Demuestra las siguientes igualdades:
a) 1 + tg230 = Sec2 30
1+
2
2 =2
1+
3=
4(3)
9 + 3=
12
12=
4
4=
4
9 9 9 9 9 3 3 3
b) tg 60 x cotg 240 = 1
33
=13
9=1
3=1 1 =1
3 3
c) 2 sen 30 x cos 30 = sen 60
2 1 3 = 3 1 3 = 3 3 = 3 2 2 2 2 2 2 2
[C] Computa sen260 + cotg30
sec 30 cos60
-
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3+ 3
2
2 3 + 33+ 4 3
Ahora =sen
60 + cotg30=
2 4 4 9+ 12 3
racionalizando
sec 30cos60
2 31
3 23
1 3 4 3
3 3
9+12
3
3
3(9+12
3)9 3 + 12 ( 3)2
9
3 + 12 (3)
9 3 +36
4 3 3 4( 3)2 4(3) 12 12
9 3 +3612
9( 3 +4)
12
3( 3 + 4)
3
4
3 +12
4
1.2.4. Signos de las Funciones Trigonomtricas
Ya sabemos que, dado un ngulo y determinados en l, el radio vector y la abscisa y
ordenada correspondientes, stas pueden ser positivas o negativas segn sea el
cuadrante en que se encuentre el radio vector, as tenemos:
El radio vector es siempre positivo.
La abscisa es positiva en el primero y cuarto cuadrante y negativa en el segundo
y tercer cuadrante.
La ordenada es positiva en el primero y segundo cuadrante y negativa en eltercero y cuarto cuadrante.
En resumen, los signos que corresponden a las funciones trigonomtricas de los
ngulos de los diferentes cuadrantes son los contenidos en el cuadro siguiente:
TABLA No
6
Cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
Primero + + + + + +
Segundo + +
Tercero + +
Cuarto + +
-
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En lo expuesto anteriormente podemos observar que:
El signo del seno es el mismo que el de la ordenada.
El signo del coseno es el mismo que el de la abscisa.
La tangente y la cotangente son positivas cuando la ordenada y la abscisa tienenigual signo y son negativas en caso contrario.
Estas observaciones y los
diagramas que ves facilitan, enla praxis la determinacin del
signo.
Seno y Cosecante Coseno y Secante
+ + +
+
Tangente y Cotangente
+
+
Ahora bien, como los catetos son menores que la hipotenusa, resulta que:
El valor absoluto del seno o del coseno de un ngulo no puede ser nunca mayorque la unidad.
Los valores absolutos de la secante y de la cosecante de un ngulo no puedenser nunca menores que la unidad.
Los valores absolutos de la tangente y de la cotangente de un ngulo puedenvariar desde 0 a .
1.3. Grfica de las FuncionesTrigonomtricas
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to
to x
ondientes
ectivamente
PeriodicidadSe dice que una funcin es peridica si su valor noaltera
al aumentar o disminuir el argumento en una
cierta cantidad constante o en un mltiplo cualquiera de
sta. La menor cantidad que puede ser agregada a
cualquier valor del argumento sin que la funcin vare,
recibe el nombre
de periodo.
1.3.1.
Para representar la funcin y = sen x
Se traza una circunferencia y por su centro
dos perpendiculares. Se dividen los
cuadrantes en ngulos de 30 cada uno. Se traza unasemirrecta horizontal a lo largo de la hoja (representa la
La funcin seno esperidica y tiene porperiodo 360 o su iguala
2
circunferencia rectificada) y se divide en partes iguales. Cada pun
representa los ngulos de 0, 30, 60, .hasta 360 del argumen
sobre el eje de las abscisas, y tomemos como ordenadas corresp
a esas abscisas los valores 0.00; 0.50; 0.87, etc., del seno, resp .
TABLA No8
x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 315 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 7/ 4 2
y Sen 0 0.5 0.87 1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.71 0
- 27 -
-
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Como se dijo anteriormente el signo del seno es positivo en el 1 y 2 cuadrantes y
negativo en el 3 y 4 cuadrantes, tendremos que las variaciones son las indicadas en el
grafico siguiente:
90 1
120 60
150 300 180 110 240 270 300 330
180
210 330
240 300
270 1
30 60 90 120 150
La curva obtenida recibe el nombre de sinusoide. En ella puede observarse todo lo que
dijimos al trazar de las variaciones del seno, as como tambin que el periodo de la
funcin es 2 . Efectivamente, a partir de 360 la curva adquiere la misma forma que a
partir de 0.
En sntesis, las grficas de las funcionestrigonomtricas generales, pueden obtenerse,escribindolas como:
y =A sen (Bx +C)A: Amplitud (valor mximo)B: Frecuencia (ciclos 2 Rad)C: Fase (ngulo de inicio: - C)
EJERCIC
1. Representar grficamente las funciones trigonomtricas.
[A] y = 4 sen2 x 4
En este caso:
A = 4 (implica que el valor mximo que
alcanza es: 4 y el valor mnimo es 4)
B = 2 (implica que se tendr 2 ondas 0 /2 3/2 2
completas cada 2 rad.,sobre X)
C = 0 (implica que el inicio de la primera
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onda ser en 0) 4
[B] y = sen(x/2) 1
Donde:
A = 1, B = y C = 0
0 /2 3/2 2
1.3.2.
La funcin coseno esperidica siendo superiodo 360 o su iguala
2
En la representacin grfica de la funcin y = cos x
como en el caso anterior, se divide una
circunferencia en ngulos de 30 cada uno, perocomenzando esta vez en 270, y as sucesivamente. No obstante como
sabemos que el signo del coseno es positivo en el primer cuadrante, negativo
en el segundo y tercero y positivo en el cuarto, tenemos que el coseno vara en
la forma indicada por la tabla y el grfico diseados para la ocasin.
TABLA No9
x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2
y Cos 1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.5 0 0.5 0.87 1
Esta tabla nos proveer el grafico de la funcin coseno.
0 1
30 330
60 300
90 270
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
120 240
150 210
180 1
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La curva obtenida recibe el nombre de cosinusoide. Ella pone de manifiesto que el
periodo es 360 pues, a partir de 360, la curva adquiere la misma forma que a partir de
0.
EJERCIC
1.Representar grficamente las funciones trigonomtricas.
[A] y = 3+ cos x
1
Donde: 0
A = 1 /2 3/2 2
B = 1 (1 ciclo hasta 2) 1
C = 3 (debemos descender 3 posiciones
hacia abajo a partir de 1). 2
3
[B] y = 2 cos x 2
Donde:
A = 2 1
B = 1 (un ciclo completo hasta 2)
C = 0 (parte a la altura de cero) 0 /2 3/2 2
1
2
[C] y =1/2 cos x
Donde: 1
A = 1/2
B = 1 (un ciclo completo hasta 2)C = 0 (parte a la altura de cero) /2 3/2 2
1
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1.3.3.
En la expresin grfica de la funcin y = tan x
para el valor 0 sta asume
valor 0, y a medida que aumenta el ngulo la
tangente alcanza valores tendientes al infinito (para
valores
La tangente es una funcinperidica siendo su periodo
igual a 180 o
prximos a 90) no siendo posible dar el valor de la tangente para dicho
ngulo. Para ngulos superiores a 90 la tangente es negativa y en valor
absoluto muy grande y decrece hasta hacerse 0 para 180, pero como es
negativa: crece. As, para ngulos superiores a 180 la tangente es positiva y
se repiten los valores que en el primer cuadrante; por tanto obtenemos:
TABLA No10
x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2
y Tg 0 0.58 1.73 -1.73 -0.58 0 0.58 1.73 -1.73 -0.58 0
La tabla de la funcin tangente cuya grafica es:
70
60
30
030 60 70 90 120 1 50 180 210 240 270 300 330 360
330
280
300
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La curva obtenida se llama tangentoide. En ella observamos que crece siempre, pese a
pasar de valores positivos a negativos; esto, solo es posible cuando la funcin es
discontinua.
1.3.4.
La cotangente es una
funcin peridica, siendosu periodo igual a 180
o
En el caso de la representacin grfica de la funcin
y = cotg x. La cotangente decrece siempre, a pesar de
que pasa de valores negativos a positivos. Esto se explica
porque la funcin cotangente es discontinua, presentando la
discontinuidad cada 180 a partir de 0.
No obstante, su representacin grfica no ofrece mayores dificultades. As,
la grfica obtenida o curva representativa de la funcin se denomina
cotangentoie, cuyos puntos expresamos en la tabla:
TABLA No11
x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2
y Cotg 1.73 0.58 0 -0.58 -1.73 1.73 0.58 0 -0.58 -1.73
Por tanto la tabla muestra la cotangentoide:
0
30 330
60
300
90 270
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
120
240
150 210
180
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1.3.5.
Al decir de la funcin y = sec xsta nunca adquiere
valores comprendidos entre (+ 1) y ( 1); pasa por un
mnimo (+1) para el valor cero del argumento y por
La secante es una funcinperidica cuyo periodo es
360 o su igual 2
un mximo ( 1) para el valor y presenta una discontinuidad en los 90 y
en los 270.
La representacin grfica de la funcin secante es una curva denominada
secantoide cuyo grfico proviene de la tabla:
TABLA No12
x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2
Y Sec 1 1.15 2 -2 -1.15 -1 -1.15 -2 2 1.15 1
Entonces obtenemos:
Y
1
540 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 540 X
1
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1.3.6.
La cosecante es unafuncin peridica, cuyo
periodo es 360 o su igual2
La cosecante y = cosec xno adquiere nunca valores comprendidos entre (+
1) y ( 1); pasa por un mnimo (+ 1) para el valor / 2 del argumento, por un
mximo ( 1) para el valor 3 / 2 y presenta una discontinuidad en los 180 y
en los 360 .
La representacin grfica de la funcin cosecante es una curva llamada
cosecantoide, cuya tabla y grafico manifestamos:
TABLA No13
X Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2
Y Cotg 2 1.15 1 1.15 2 -2 -1.15 -1 -1.15 -2
En base a la tabla precedente procedemos a graficar el cosecantoide:
Y
1
540 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 540 X
1
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Recapitula ahora acerca de todo lo escudriado anteriormente con la ayuda del cuadro
para recordar.
PARA RECORDAR
La trigonometra es la parte de la Matemtica que trata de la resolucin
de tringulos por medio del clculo.
Los ngulos se consideran en trigonometra como engendrados por una
semirrecta mvil al girar alrededor de su origen, que se supone fijo.
Se llama crculo trigonomtrico a todo crculo que tenga por radio la
unidad de longitudy en el cual se hayan fijado un sentido positivo para
los arcos de su circunferencia.
Medir un ngulo es compararlo con otro ngulo que se toma por unidad
de medida, hallando al efecto la razn del primero al segundo.
Una vez que hiciste memoria acerca de la teora de exponentes, es menester que
pases a otra etapa para que aprendas o pienses mucho mejor.
REFLEXIONA SOBRE EL TEMAPor qu es menester estudiar siempre los
tringulos? Cul es tu opinin al respecto?
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3
GLOSARIO
RAZN : La razn es la comparacin por cociente de dos magnitudes de la mismaespecieCOFUNCIONES: Son funciones complemenarias
RECTILNEOS O ESFRICOS: Que tienen forma de recta o circunferencia.
A C T I V I D A D E SObserva stos ejercicios. Luego, halla sus resultados
[A] Hallar: los valores de sen 15 ; cos 315 ; cosec 240
[B] Representa grficamente las funciones siguientes:
a) y = sen 2x b) y = cos x/3 c) y = cos
e) y = sec 2x f) y = csc x/2
x + 4
d) y = sen 2x 1 3
[C] Dado sen x = calcular 2tgx
; si cos = calcular
2tg
1 senx 2 1tg2
[D] Completa las relaciones trigonomtricas que faltan incluyendo el ngulo.
sen cos tg cotg sec cosec
5
sen cos tg cotg sec cosec
5 /12
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UNIDAD 2 Funciones Trigonomtricas deDiferentes ngulos
OMPETENCIAS DE LA
Al concluir la unidad 2 el educador (estudiante del mdulo XV):
Reduce y aplica funciones trigonomtricas al primer cuadrante en la resolucin
de problemas con ngulos complementarios, suplementarios y coterminales;
Define y utiliza funciones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes;
Demuestra y aplica la suma y diferencia de frmulas para evaluar las funciones
trigonomtricas de la suma y resta de dos ngulos e
Transforma y define sumas y deferencias de ngulos a producto.
2. Reduccin de Funciones Trigonomtricas alPrimer Cuadrante
El problema de la reduccin de una funcin trigonomtrica o ngulo al primer cuadranteconsiste en lo siguiente:
Dado un ngulo cualquiera, y una vez determinado elsigno
que corresponde a cada una de sus funcionestrigonomtricas, encontrar un ngulo positivo y menor
que un cuadrante, cuyasfunciones
trigonomtricassean iguales en valor absoluto a las
del ngulo dado.
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Este problema, cuya solucin siempre es posible, se presenta muy frecuentemente en
la praxis, porque, las tablas como la anterior (Tabla No 5) no contienen ms ngulos
que los del primer cuadrante. Se resuelve aplicando las siguientes consideraciones:
El ngulo dado est comprendido entre 90 y 180 (segundo cuadrante);
El ngulo dado est comprendido entre 180 y 270 (tercer cuadrante);
El ngulo dado est comprendido entre 270 y 360 (cuarto cuadrante);
El ngulo dado es mayor que 360 y
El ngulo dado es negativo.
2.1. Funciones Trigonomtricas dengulos Complementarios
Dos ngulos son complementarios si su suma es 90 .Dos ngulos son suplementarios si su suma es 180.Un ngulo coterminal se encuentra sumando o restando
360 en el sistema sexagesimal o 2en el circular.
As el complemento de es: 90 en el sistema sexagesimal, en el sistema
+ = /2. Se verifican las igualdades:
sen (90)
= cos
cosec (90)
= sec
cos (90)
=sen
sec (90)
= cosec
tg(90)
=cotg
cotg(90)
=tg
Las relaciones nos manifiestan: Que en ngulos complementarios y en los que
difieren en 90, las funciones del uno son respectivamente iguales a las
cofunciones del otro, en valor absoluto.
EJERCIC
Cuantificar las funciones trigonomtricas de los ngulos complementarios.
[A] sen 30= cos 60 disponiendo de la tabla No 5 para el valor y tabla No 6 para el
signo tenemos:
sen 30 =1 / 2 cos 60 =1 / 2
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[B] tan (9030 ) = cot 30 disponiendo de las tablas No 5 y No 6 tenemos:
tan 60 = 3 cot 30 = 3
2.1.1. Funciones Trigonomtricas para
Cuando dos ngulos son suplementarios, uno o cualquiera de ellos se denomina
suplemento del otro. Sean y dos ngulos suplementarios; entonces, de acuerdo con
la definicin en el sistema sexagesimal, tendremos que:
+ =180
=180 y =180
+ = en el sistema circular. Estas igualdades muestran que: Si un ngulo es
menor que 180 o , su suplemento es positivo. Si un ngulo es mayor que
180 o , su suplemento es negativo. De estas aseveraciones se obtienen las
relaciones:
sen (180)
=sen
cosec (180)
= cosec
cos (180)
= cos
sec (180)
= sec
tg(180)
=tg
cotg(180
)=cotg
Lo que nos dice que: Las funciones trigonomtricas de dos ngulos
suplementarios son iguales en valor absoluto pero de signo contrario, con
excepcin de los de los senos y de las cosecantes que son iguales en valor
absoluto y en signo.
EJERCIC
Reducir al primer cuadrante los siguientes ngulos.
[A] El ngulo 135.Respecto a ste ngulo, podramos aseverar que el ngulo del primer cuadrante cuyas
funciones trigonomtricas son iguales en valor absoluto, a las del ngulo 135, es: 45
ya que =180
18045 =45 en cuanto al signo, se lo determina de acuerdo
con las reglas respectivas, luego:
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signo + (2 cuadrante)sen 135 =
sen135 =sen 45+sen 45 buscando ste ngulo en tabla No 5
tenemos sen 45 =2
cuyo signo es positivo segn tabla No 62
signo (2 cuadrante)cos 135 =
cos135 = cos 45 cos 45
buscando ste ngulo en tabla No 5
tenemos cos 45 = 2
siendo el signo negativo (ver tabla No 6).2
signo (2 cuadrante)tan 135 =
tan135
= tan 45 tan 45
1 (ver tablas 5 y 6).
[B] El ngulo 210. El ngulo del primer cuadrante ser 210 180 =30
sen 210
signo
=
(3 cuadrante)sen 30 =
1
sen 210
=sen 30 2
cos 210 signo
=(3 cuadrante) 3
cos 30 = cos 210
= cos 30 2
tan 210
signo +=
(3 cuadrante) 3+ tan 30
tan 210 = tan 30 3
[C] El ngulo 22/3. El ngulo del primer cuadrante ser:
22
71
+ 4.22
2
=
3
sen 22
3
=sen 2
3 3 3
=sen 3 3 3
cos 22
= cos 2= cos
3 3 3
tan 22 =tan 2= tan
3 3 3
2.1.2. Funciones Trigonomtricas de
Un ngulo coterminal, como se dijo se encuentra sumando o restando 360 en el
sistema sexagesimal o 2 en el circular. As tenemos que 490 y 130 son coterminales
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porque 490 - 360 = 130. En general, dos ngulos y son coterminales si:
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= n360 = (2)n
Al mismo tiempo, ste tipo de ngulos nos permiten evaluar funciones trigonomtricas
para cualquier ngulo.
Sea un ngulo situado en el origen de (X,Y) r
coordenadas cuyo lado terminal est definido
por el punto (x, y) fuera del origen.
La longitud del radio vector puede ser obtenida
Con el teorema de Pitgoras:
r= X2 +Y2
2.1.2.1. Funciones Trigonomtricas de
Se dice que dos ngulos son opuestos o simtricos cuando tienen igual valor absoluto y
signo contrario, se verifica que: dado el ngulo su opuesto es
sen ()
=sen
cosec ()
= cosec
cos ()
= cos
sec ()
= sec
tg()
=tg
cotg()
=cotg
Observando estas igualdades podemos decir que:
Las funciones trigonomtricas de dos ngulos opuestos o simtricos son iguales
en valor absoluto y de signo contrario, con excepcin del coseno y la secante
que son iguales en valor absoluto y en signo.
EJERCIC
[A] El ngulo 300. El ngulo del primer cuadrante ser 300 360 =60
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sen 300 signo
=sen(60 ) =(4 cuadrante) 3
sen 60 =sen (60 ) =sen 60 2
signo + (4 cuadrante) 1cos 300
= cos(60 ) =cos(60 ) = cos 60
2
signo (4 cuadrante)tan 300
= tan( 60) =tan (60 ) = tan 60
tan 60 3
[B] Sea el punto ( 4,3) el punto del lado Terminal del ngulo . Encuentre el seno,
coseno y tangente de .
Cuantificando la longitud del lado terminal
Con x = - 4, e y = 3
(-4,3) 3
r= (4)2
+ 32 25 = 5 -4Con stos valores de r, x e y, podemos escribir:
sen =y
=3
; cos=x
= 4
=4
; tan =y
=3
=3
r 5 r 5 5 x 4 4
[C] Dado el punto ( - 5, - 12), terminal del ngulo , hallar el ngulo de referencia y el
valor de las funciones trigonomtricas de .
Ya que el punto est en el tercer cuadrante, cuantifiquemos el lado terminal con x = - 5
e y = - 12.
r= (5)2 + (12)2
25+ 144
169 =13 (r siempre es positivo).
Las funciones trigonomtricas son:
sen =y
= 12
=12
; cos=x
= 5
=5
; tan =y
= 12
=12
r 13 13 r 13 13 x 5 5
Despejando para saber cual es su valor:
sen=12 =invsen12 =67.38013505 Angulo
13
13
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cos= 5
13=invcos
5 = 112.6198649
13
ngulo de
referencia
tan=12 =invtan12 = 67.38013505 (-5,-12)
5 5 Para cuantificar el ngulo de referencia solo consideraremos los valores positivos de x e
y ( cuando el ngulo no est en el primer cuadrante o sea negativo, entonces se suma
360 para hallar un ngulo coterminal que ser positivo). As:
=invsen12 = 67.38013505 13
=invcos 5 = 67.38013505 13
=invtan12 = 67.38013505 5
Como el punto est en el III cuadrante, entonces de = 180, se obtiene = +
180, es decir = 67.38013505 + 180 = 247.3801351 que es el ngulo buscado.
[D] El ngulo 800. El ngulo del primer cuadrante ser:
880=880+3360 =200 200 180 =20
signo (1 cuadrante) sen (880 )
cos (880)
tan (880)
=sen 200 =sen (20 )=
= cos 200= cos 20
= tan 200=+ tan 20
sen 20sen 20
Para calcular el ngulo de referencia = inv sen (y/x) con x>0 ey> 0, determinar el cuadrante en el que est el lado terminal,luego utilizar: = 180 - si est en el II cuadrante.
= 180 + si est en el III cuadrante. = 360 - si est en el IV cuadrante.
2.2. Anlisis TrigonomtricoPara realizar un anlisis trigonomtrico debemos definir previamente las funciones
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trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos.- 43 -
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El seno de la suma de dos ngulos es igual al producto del seno del pri
2.2.1. Funciones Trigonomtricas de laSuma y Diferencia de Dos ngulos
mero por e l
coseno del segundo ms el producto del coseno del primero por el seno del segundo
sen (+) = sencos + cos sen
Por lo que la diferencia ser:
sen () = sen cos cos sen
El coseno de la suma de dos ngulos es igual al producto del coseno del primero por el
coseno del segundo menos el producto del seno del primero por el seno del segundo.
cos (+) = coscos sen sen
Por lo que la diferencia ser:
cos () = cos cos +sen sen
La tangente de la suma y diferencia de dos ngulos es:
tan (+) =tg+tg
; tan () =tgtg
1tg tg 1+tg
tg
Cotangente de la suma y diferencia de dos ngulos posee las siguientes definiciones:
cotg (+) =cotg cotg1
; cotg () =cotg cotg+1
cotg + cotg cotg cotg
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2.2.2. FuncionesTri onomtricas de n ulo
Este tipo de funciones trata de la multiplicacin de arcos, el cual consiste en: Conocidas
las funciones trigonomtricas de un arco, hallar las de un arco mltiplo. Es decir; una
vez que se conocen las funciones trigonomtricas de la suma de dos ngulos, se
pueden determinar las definiciones del ngulo doble igualando = . As por ejemplo:
El Seno del duplo de un ngulo dado, siendo el arco dado, ser:
sen (+) = sencos + cos sen pero ya que = entonces,
sen (+) = sencos + cos sen ello nos provee la definicin,
sen 2 = 2sen cos
El coseno del duplo de un arco dado, siendo el arco ser:
cos (+) = coscos sen sen igualando = tenemos:
cos (+) = coscos sen sen desde luego que esto es:
cos 2 =cos 2 sen 2
Para la tangente del duplo de un arco dado, siendo el arco por definicin de tan 2
ser:
tan (+) =tg+tg
si igualamos = conseguimos,1tg tg
tan (+) =tg+tg
esto implica obtener una nueva definicin.1tg tg
tg 2 =2 tg
1tg 2
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2
Finalmente la cotangente del duplo de un arco dado puede ser obtenida previa
igualacin de = como:
cotg(+) =cotg cotg1
cot
g
(+)=
cotg cotg1
cotg+ cotg cotg+ cotg
Entonces:
cotg 2 =cotg 1
2 cotg
2.2.3. FuncionesTambin denominadas funciones trigonomtricas del triple de un arco dado, entre las
que tenemos, las funciones del sen, cos, tg, cotg. Sintetizamos stas funciones en la
tabla No 14.
TABLA No14
Seno del triple de un ngulo dado sen 3 =3sen cos2 sen 3
Coseno del triple de un arco dado cos 3 = cos 33sen 2cos
Tangente del triple de un arco dado3 tg tg3
tan 3 =1 3 tg2
Cotangente del triple de un arco dado cotg3 3 cotgcotg3 =
3 cotg2 1
2.2.4. Funciones del
- 46 -
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Tambin denominadas funciones trigonomtricas del cuadruplo de un arco dado, las
cuales se derivan considerando las funciones relativas al arco duplo, entre las que
tenemos, las funciones del sen, cos que sintetizamos en la tabla No 15.
TABLA No
15
Seno del cuadruplo de un arco
dadosen 4 = 4sen cos3 4sen 3cos
Coseno del cuadruplo de un arco
dadocos 4 = cos 46 cos 2sen 2+sen 4
2.2.5. Funciones
Estas funciones son obtenidas aplicando las frmulas relativas al arco duplo, as
tenemos las funciones de arco medio del: sen, cos, tg. Entonces la funcin de arco
medio del seno es:
sen
=2
1cos2
Siendo el arco dado, la definicin de cos /2ser:
cos
=2
1+cos2
Finalmente la funcin de arco medio de la tangente es:
tg
=2
1 cos1+ cos
2.2.6. Transformaciones de Sumas y Diferencias aProducto
Generalmente se deben transformar en productos (multiplicacin) expresiones donde
figuran sumas o restas las cuales no son directamente calculables por logaritmos,
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cuando las sumas o diferencias indicadas estn constituidas por funciones
trigonomtricas. Entonces; para transformar en producto la suma o diferencia de dos
senos operamos:
sen (+) = sencos + cos sen
sen () = sen cos cos sen
Sumemos y restemos entre si ambas igualdades
sen (+)+sen()=
2sencos
sen (+)sen()=
2 cos sen
Reemplazando + porp y - porq entonces:
sen p+sen q = 2sencos
sen p sen q = 2 cossen Por otro lado resolviendo el sistema de ecuaciones
+ = p
= q 2= p +q =p +q2
= p q2
Luego, la suma de senos es igual a dos seno de la semisuma coseno de la semi
diferencia:
sen p + sen q =2senp+q
cos
p q2 2
La diferencia de senos es igual a dos seno de la semi diferencia coseno de la semi
suma.
senp sen q =2sen
pqcos
p +q
2 2
Para transformar en producto la suma o diferencia de dos cosenos operamos de
manera similar al caso de los senos.
cos (+) = coscos sen sen
cos () = cos cos +sen sen
Sumando y restando entre si ambas igualdades
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cos (+)+cos ()=
2 coscos
cos (+)cos ()=
2sen sen
Ello, desde luego posibilita que obtengamos.
cos p+cosq=2 coscos
cos p cos q =2sensen
Por tanto, la suma de cosenos es igual a dos coseno de la semisuma, coseno de la
semi diferencia:
cosp + cos q =2 cosp +q
cosp q
2 2
La diferencia de cosenos es igual a menos dos seno de la semi suma, seno de la
semi diferencia.
cosp cos q =2senp+q
sen2
pq2
La transformacin en producto de la suma o diferencia de dos tangentes se define
como:
tgp + tg q =sen(p +q)
tgp tg q =sen(p q)
cosp cosq
cosp cosq
La transformacin en producto de la suma o diferencia de dos cotangentes es:
cotgp + cotg q =sen(p +q)
cotgp cotg q =sen(p q)
sen p sen q sen p sen q
Transformando en producto la suma o diferencia de dos secantes tenemos:
2cosp+q
cosp
q2
sen
p+qsen
pq
-
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secp + secq= 2 2cosp cosq
secp secq= 2 2cosp cosq
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Para transformar en producto la suma o diferencia de dos cosecantes utilizamos
2senp +q
cosp q
2sen
p qcos
p +q
cosecp + cosec q= 2 2sen p sen q
cosecp cosec q= 2 2sen p sen q
Recapitula ahora acerca de todo lo escudriado anteriormente con la ayuda del cuadro
para recordar.
PARA RECORDAR
Para realizar un anlisis trigonomtrico debemos definir previamente lasfunciones trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos.
Operaciones con ngulo doble consiste en que una vez que se conocen
las funciones trigonomtricas de la suma de dos ngulos, se pueden
determinar las definiciones del ngulo doble igualando = .
Las funciones del cuadruplo de un ngulo, tambin denominadas
funciones trigonomtricas del cuadruplo de un arco dado, se derivan
considerando las funciones relativas al arco duplo.
Una vez que hiciste memoria acerca de la teora de exponentes, es menester que
pases a otra etapa para que aprendas o pienses mucho mejor.
REFLEXIONA SOBRE EL TEMAPor qu es necesario tratar el tema de la
reduccin de un ngulo al primer cuadrante?
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A C T I V I D A D E SObserva stos ejercicios. Luego, halla sus resultados
[A] i) Simplifica (sen + cos )2 ; ii) (1 secx) (1 + sec )
iii) Simplifica y desarrollacosA
+senA
senA cosA
[B] Factoriza y simplifica i) tg2csc2tg2
ii) sen 3x cos3x
iii)cosec
4x 1
cotg2x
iv)tg+tgcotg2
1 +tg2
[C] Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes en trminos de cos
i) secsen tg ii) cot2
csc2
sec
iii) cot tgsen2
2sencot
[D] Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes en trminos de sen
i) senseccotg cos2
ii)(1cos)(cos+1)
iii)sec
2tg2
cosec cosec 2
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UNIDAD 3 Identidades y EcuacionesTrigonomtricas
OMPETENCIAS DE LA
Al concluir la unidad 3 el educador (estudiante del mdulo XV):
Comprende y utiliza las identidades para simplificar expresiones que contengan
funciones trigonomtricas;
Resuelve y aplica la resolucin de tringulos rectngulos a problemas de la vida
real;
Realiza clculos de distancias sin tener que medirlas directamente;
Usa la ley de senos para calcular lados y ngulos de un tringulo oblicungulo.
3. Identidades y Ecuaciones
Ecuacin Trigonomtrica
Es una igualdad que contiene una o ms funcionestrigonomtricas de ngulos desconocidos, y que no
se verifica ms que para ciertos y determinados
valores
de dichos ngulos.
EJEMPL
Sea la igualdad sen x = 1
No se verifica para x = 0 porque sen 0 1, sino que sen 0 = 0. Tampoco se verifica
para x = 30 ni para 45, 60 , etc., se verifica en cambio parax = 90, puesto que
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sen 90 = 1. La igualdadsen x = 1, es, pues, una ecuacin de la que una de las races es
x = 90.
As, las ecuaciones trigonomtricas con una incgnita admiten un nmero infinitode races, porque si un ngulo, x = , es una de las races, tambin lo son todos los
ngulos congruentes con el respecto del mdulo 2.
3.1. Identidades
Identidades Trigonomtricas
Son igualdades, establecidas entre dos expresiones
trigonomtricas, que se satisfacen para cualquier
valor de los ngulos que en ellas figuran como
argumentos.
Son identidades trigonomtricas las frmulas fundamentales expresadas anteriormente,
puesto que ellas son vlidas para cualquier valor del ngulo argumento. Tambin son
las igualdades cuyos dos miembros son una misma expresin trigonomtrica, tales
como:sen = sen ; cos tg = cos tg ; etc.
Hay identidades que no parecen tales a primera vista, por tener sus dos miembros
distinta forma. En esos casos se las pone en evidencia reduciendo sus dos miembros a
una misma expresin trigonomtrica, para lo cual se hacen las situaciones permitidas
por las relaciones fundamentales o se efectan las operaciones indicadas en cada uno
de los miembros.
Verificar una identidad trigonomtrica significa, reducir sus dos miembros a una misma
expresin.
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3
EJEMPL
[A] Verificar la identidad:1
1sen2
1
=1cosec
21
Transformando el primer miembro, se tiene:
1
cos2
1
1 1
= 1 1
cos2
1
1 sen2
= 1 1
cos2
1
cos2
= 1 prosiguiendo,
sen2 sen
2sen
2
1
cos2
sen2cos
2
1sen2= 1
cos2
= 1 cos2 =1
cos2
1 =1
[B] Verificar la identidad:
1
1sen 1
1+sen = 2 sec2
1+sen+1sen
(1sen ) (1+sen )
= 21
cos2
2
1sen 2
=2
cos2
2
=cos
2 2
cos2
3.1.1. DemostracinA continuacin demostremos algunas identidades trigonomtricas disponiendo de las
relaciones fundamentales y derivadas en trigonometra.
EJERCIC
[A] Demostrar: Cos (2A) =Cos2 ASen2A
cos (2A) =cos(A+A) cosA cosA senA senA cos2 Asen2A
[B] Demostrar: tan (3A) =3 tanA tan A
1
3 tan
2
A
tanA+ tanA
2 tanA+ tanA(1tan2 A)
tan(3A)=tan(2A+A)tan(2A)tanA
1 tan2A 1 tan
2A
1tan(2A) tanA
12 tan
A tanA 1tan2
A2tan2 A
2 tanA + tanA tan 3A
1 3 tan
2
A
3 tanA tan
3A
1 3
tan2A
-
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1tan2 A 1tan2 A
A +B A B [C] Demostrar: senA +senB =2sen cos si tenemos que: a + b = A; a b=B 2 2
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2 2
22
1
1
Resolviendo el sistema:a +b =A
a b =Btenemos:
2 a =A +B a =A +B
2adems si tenemos a b =B
A +Bb =B
2
A +Bb =B
2
A +BB =b b =
2
A Bluego:
2
sen(a +b) =sena cosb + cos asen
b sen (ab)=senacosb cosasen b
sen(a +b) +sen (a b) = 2sen acosb
sumando ambas ecuaciones obtenemos:
Ya que a + b = A; a b = B adems a = A +B2
y b =A B
2luego se demuestra que:
A +B
A B
senA +senB =2sen cos 2 2
[D] Demostrar: tanA tanB =sen (AB)cos AcosB
tanA tanB =sen A
sen B
senAcosB cos A sen B
tanA tanB =sen (A B)
cos A cosB cos AcosB
cos A cosB
[E] Demostrar: cosA
=2
1+ cos A
2
siendo que cos 2a = 2 cos2 a 1 si tenemos: a = A/2
cos2A
=2cos2
A12cos2
A A=1+ cos A cos =
1+cosA
2
2
2 2 2
[F] Demostrar:sec
2x 1+
cot x cosec x 1=(1+cotx) (1senx cosx)
sec2x(1+ cot2
x)cosecx cosec
2x
1 1 cos
2x
2
1 1
cos x+
sen x sen x=1+
cos x(1sen x cosx)
1 1+
cos2x 1
2
sen x
2
cos2x
sen 2x
sen x sen x
1 cos 2
x2
1 sen 2x2 2
+ cos x+
sen x cos x sen x=
sen x cosx(1 sen x cosx)
-
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1 sen 2x + cos2 x
sen2x sen x
cos
2x
sen
2x sen
2x
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sen2x
cos2x
1cos
2
x+senx
cos2
xsen2
x
1
sen x sen 2xcosx + cosx sen cos 2
x=senx
cos2x sen
2x sen
2x
sen 4xcos2x
cos2x
cos 2x+senx
sen 2xcos2
xsen2x
sen x sen 2xcos x + cos x senx(1sen 2x)=
senx
sen2x+ cos
2x
cosx =sen x (1
cos
2x) cosx + cos x sen +sen 3x
senx senx
sen3x+cos3
x
sen x cosx(1cos2x) + cos x sen +sen 3x
=senx senx
sen3x +cos3
xsen x cosx+cos3x + cos x senx+sen 3x
=senx senx
sen3x+cos3
x
sen3x+cos3x
=
sen x
cotgx
senx
1+senx+
1senx =2cos[G] Demostrar
1senx 1+senx
ec x
cosx
1+senx+
1senx =2 cosec x cosx
(1+senx)2
+(1
senx)2
=2 cosec x
sen x 1senx
1+senx
sen x 1senx2
cos x 1+
senx +1
senx =2 cosec x
2 cosx=2 cosec x
2= 2 cosecx
sen x cos2x sen x cosx sen x
21
sen= 2 cosec x
x2 cosec x =2 cosecx
cos 4xsen 4x
=
4
[H] Demostrar:
-
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1 tg4x cos x
(cos 2x+sen 2x)(cos 2xsen 2x)= cos4 x
cos2xsen 2x
= cos4 xsen
4x
1cos
4x
cos4xsen4xcos
4x
-
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- 56 -
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4cos
4
x (cos2x sen 2x)
= cos4 x cos x (cos
2x sen 2x)
= cos4 x(cos
2x +sen 2x)(cos 2x sen 2x) cos 2x sen 2x
cos4x = cos4 x
3. 2. Resolucin deEcuaciones Trigonomtricas
Para resolver una ecuacin trigonomtrica con una incgnita se emplea, en general, el
mtodo siguiente:
1. Se adopta una de las funciones trigonomtricas del ngulo, que figuran en la
ecuacin, como incgnita auxiliar.
2. Se escriben todas las dems funciones trigonomtricas que contienen al ngulo
desconocido, en funcin de la que se eligi como incgnita auxiliar. De esta
manera la ecuacin trigonomtrica se habr convertido en una ecuacin
algebraica con una incgnita.
3. Se resuelve la ecuacin obtenida, por los procedimientos conocidos en lgebra.
Se obtiene as para la funcin elegida como incgnita auxiliar, un valor que ser
igual al de la misma funcin de un ngulo conocido.
4. El ngulo conocido ser una raz probable de la ecuacin.
5. Se verifica dicha raz en la ecuacin dada, desechndola si no satisface.
EJERCIC
1. Resolver las ecuaciones.
[A] sen x + cos x = 1
Elijamos como incgnita auxiliar a sen x, y escribamos la otra funcin, cos x, en funcin
del seno, con lo que obtendremos la ecuacin algebraica:
sen x 1 sen 2x = 1 en la que la incgnita es sen x.
Para resolver esta ecuacin algebraica aislemos el radical: 1 sen 2x = 1 sen x
elevando al cuadrado: 1sen x = 1 2senx +sen2
x
transponiendo
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2
1 1 =2senx +sen2x +sen2
xo bien 0 =2senx + 2sen2
x
lo que es una ecuacin
incompleta de segundo grado. Factorizando se tiene:
2sen2x 2senx = 0 2senx(senx 1) =0 Por lo que tenemos:
2senx(senx 1) = 0
2senx = 0 senx 1 =0
x = 0
y comosen 0 = 0 se tendr:
O sino senx 1 = 0 sen x =1 ya que sen 90 = 1 tendremos
x = 90
Verificando:
Para x = 0 se tiene la identidad sen 0 + cos 0 = 1 entonces 0 + 1 = 1 Es cierto!Para
x = 90 se tiene la identidad sen 90 + cos 90 = 1 entonces 1 + 0 = 1 Es cierto!Luego
la ecuacin admite las races = {0 , 90} a cada una de las cuales corresponde
un nmero infinito de races congruentes respecto a 2 .
1.Aplicando funciones inversas resolver:
[B] 3 tan2x + 1 = 10
3 tan2x = 9 tan2 x =
9tan2 x = 3 tanx
=3
3 x =arctan 3 =tan1 3 x =60
[C]5 arctan
3
x +1=6
5 arctan3 x + 1 = 6 arctan
3
x =6 1
arctan 35
x =13 x =tg13 x =1.56
x =(1.56 )3 x =3.78
[D] cotx tg
x =1
Luego
cos x
sen x= 1
cos x sen 2x= 1
cos2x= 1
2 cos2x= 1 2 cot 2x =1
senx cos x (sen x)(cosx) 1sen 2x
2
sen 2x
cot 2x =1
2x =arccot1
x =1arccot
1x =
1arctan 2 x = 31.72
2 2 2 2 2
2. Resolver las ecuaciones trigonomtricas
[E] Resolver: cotx 2
sen
2x = 1
-
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cosx2
sen2x = 1
cosx 2sen
2x
senx =1cosx 2sen
2x senx =sen x
sen x sen x
cosx senx = 2sen 2x
sen x cosx senx = 21[cos(2xx) cos(2x +x)]
2
cosx senx = cosx cos 3x senx
= cos3x
senx = cos3x
ya que:
cos
a=sen
2a
sen
x =sen 3xx = 3x 4x =
x =
2 2 2 8
sen 2x cos ecx[F] Resolver:
tgx cotgx secx = 1
2senxcosx1
tgx1 1
sen2x
cosecx tgxcotgx secx
tgx
=1senx
tgx
tgx cosx=1
2cos2
x1c o sxsenx
cosx
=12cos
2
x 1 =senx 2(1sen2x) 1senx =0
22sen2x1senx = 0 2sen2x+senx 1=0
senx = 1
1 4 2 (1)
2 2
1
3
4
por tanto se obtienen dos posibles
soluciones sen x = -1 ; sen x = de esto podemos deducir:
x =arcsen (1) x =arcsen 1
x =270
x =32
x =30
x =6
2
[G] Resolver:
-
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4sen2x tgx4sen2x3tgx+3=0
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3
4sen2x(tgx 1)3(tgx+1)= 0 (tgx 1)(4sen2x
3)=0
obtienen dos posibles soluciones las cuales son:
de esto se
tgx 1 = 0 tgx =1x =arctg(1) x =45
para la segunda alternativa
tenemos: 4sen2x3= 0 sen2x
=
3senx =
4
3
4desde luego que
existen dos soluciones:
x =arcsen 3
arcsen +3
4 4arcsen
3
4y estas soluciones son:
x = 60 v x = 300
[H] Resolver: 8sen6x+ 3cos2x +2 cos4x +1=0
8(sen2x)
3 + 3cos2x +2 cos4x + 1=0
1
8
cos 2x 2
+3cos 2x +2(12sen2 2x) +1=0
Siendo que: cos2A = 1 2sen2 A
(1
8
(1
8
cos(2
2
cos(2
8
x))
x))
3 + 3 cos 2x + 2(1 2(1 cos2 2x)) + 1 = 0
3 + 3 cos 2x + 2(1 2 + 2 cos2 2x) + 1 = 0
13 +3cos 2x + 3cos2 2x cos3 2x +3cos 2x +2(2 cos2 2x 1) +1=0
1+3 cos2 2x cos3 2x +4 cos2 2x 2 +1= 0 7 cos2 2x cos3 2x =0
cos2
2x(7 cos 2x) =0 cos2 2x = 0 7 cos 2x =0
cos 2x = 0 2x = arccos0 2x = 90 x =45
cos2x = 7 2x =arccos 7 1
-
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[I] Sea la ecuacin trigonomtrica: sen3x cosx sen x cos3x =
1
4
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EJERCIC
2
2
2
2 2
senx cosx(sen2x cos
2x) =
1senx cosx(sen2 x cos2 x) =
1
sen
2x 1cos 2x =
4 4 2 4
sen 2x cos
2x=
1
sen 2(2x)=
1
sen
4x=
1sen 4x = 1 (1)
2 4 2 2 4 4 4
sen 4x =1 4x =arcsen (1) 4x =32
x =38
3.2.1. Sistemas deEcuaciones Trigonomtricas
Para resolver un sistema de dos ecuaciones trigonomtricas con dos incgnitas se
utilizan los mismos principios de los sistemas de ecuaciones algebraicas.
[A] Resolver el sistema de ecuaciones:
x +y x +y 1cos cos =
2 2 2
cosx cosy =1
4
Realizando transformaciones en la primera ecuacin:
x +y x y 1 x +y +x y x +y x +y cos cos = cos + cos 2 2 2 2 2
+ + cos
x y xcos
y =
1cos
2x+cos
2y cos
x y xcos
y =
1[cosx +cosy]
2 2
2
1[cosx+cosy]
=2
1 cosx+ cosy =
2
2 cosx + cosy = 1
2
Luego el sistema de ecuaciones viene a ser:
cos xcos x
cosy =1
cosy =1
4
-
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Despejando cos x en la ecuacin (1) por lo que: cos x = 1 cos y
- 61 -
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Sustituyendo ste valor en la segunda ecuacin:
cosx cos y =1
(1 cos y)4
cos y =1
cos y 4
cos2y =
14 cos y 4cos2 y =
14
4 cos 2 y+4cos
y1=0 (1) 4 cos 2 y4cos
y+1= 0 (2 cosy 1)2 =0
2 cosy 1=0
2 cosy =1 cosy =1
2
y =arcos1
2y =
3
Sustituyendo el valor de y en cos x = 1 cos y
cos x =1 cos3
cos x =1 cos 60cosx =1 0.5 cos x = 0.5 x =arccos(0.5)
x =3
[B] Resolver el sistema de ecuaciones:
t
g
x+y =
x+tg
4
y =1
Realizando transformaciones en segunda ecuacin tenemos:
senx+
sen y=1
sen xcos y + cos xsen
y= 1 pero
cosx cos y cos x cos y
sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen (x +y)=1 pero: cosxcosy=
cos (x +y) +cos
(x
y)
cos xcos
sen
y
(x +y)=1
2sen
2
(x +y)= 1pero:x +y =
cos(x +y) +cos (x
y)
2
cos(x +y) +cos (x
y) 4
2sen4
= 12sen
=cos
+ cos(x y)
-
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cos4
+cos (xy) 4 4
cos(x y) =2sen4
cos4
ya que sen4
- 62 -
=cos
=2
4 2
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4
cos(x y) = 22
2
2cos(xy) =
22
2
2cos(xy) =
2 2 22
cos(x y) =2
x y2
= arccos2
2x y =
4
Conformando el nuevo sistema de ecuaciones tenemos:
x+y = xy = 4
+ 2 Luego, tenemos: 2x = + 2x =
4 4x =
4x =
8 4
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuacin:
x +y =
4 4+y =
y
4=
4 4
y = 0 y =2
[C] Resolver el sistema de ecuaciones:
2 coscos=1 tg+tg=2
Realizando operaciones en la segunda ecuacin:
sen+sen = 2 sencos+ cossen =2sencos+ cossen=2cos
sencos cos cos sen
sen(+) =2cos sen sen(+) = 1 + =arcsen 1 + =90
De ello podemos determinar que = 90 -
Reemplazando en ecuacin primera:
2cos(90) cos
=12(cos90cos+sen90 sen ) = 12(cos
sen ) =1
sen2 =12
=arcsen1 2 =90 =90
2
=45
De ello obtenemos el valor de alfa:
= 90 - 45 entonces = 45
- 63 -
-
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3. 3. Resolucin deTringulos Rectngulos
Resolver un tringulo es calcular los elementos desconocidosdel mismo en funcin de los que se conocen y que, para ello, esnecesario y suficiente conocer tres elementos, entre los cualesfigure, por lo menos, un lado.
Ahora bien, cuando se tratan de tringulos rectngulos, uno de los elementos, el ngulo
recto, es conocido a priori; luego para obtener los otros tres datos, bastar conocer
otros dos elementos que podrn ser dos lados o bien un lado y un ngulo agudo. Para
la resolucin de ste tipo de tringulos se hace uso de las siguientes relaciones antes
definidas:
B
b = a sen b = c tg
c = a sen c = b tg
a c b = a cos
c = a cos
b = c cot
90 c = b cot
G b A
Los tres lados de un tringulo rectngulo estn relacionados por el Teorema de
Pitgoras, el que posibilita escribir:
a=b2 + c2
- 64 -
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Sabemos que, en todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos,
empero, si el tringulo es rectngulo:
+ = 90
3. 3.1. Definicin de la
En las aplicaciones interesa especialmente el rea. Para un tringulo cualquiera, la
definicin general es:
S=base altura
2
3. 3.2. Casos
Cuando los datos son elementos principales del tringulo, los casos que pueden
presentarse son:
Resolver un tringulo rectngulo conociendo la hipotenusa y un ngulo agudo
EJERCIC
[A] Resolver el tringulo rectngulo cuyos elementos conocidos son: a = 216.75 m.
= 530749
Calculo de:
ac + = 90 = 90
por lo
queb
90 =8959'60''
=5307'49''
Entonces:
90=8959'60' '5307'49' '
= 3652'11''
- 65 -
-
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[B] Cul es la longitud de la sombra proyec
Clculo de b. usemos
cos =b
b =a cos a
b = 216.75 cos 5307'49'' b = 130.05 m.
Cmputo de c:
sen =c
c =a sen a
c = 216.75sen 5307'49' ' c = 173.4 m.
Clculo de la superficie:
S=base altura
b
c
2 2
130.05
173.42
22550 .
67
2
=11275 .34 m2
tada por un rbol de 120 m de altura
cuando el sol se elev 30 sobre el
horizonte?
tg30=120
x =120
x tg 30
x =120
x = 207.85 mtg30
[C] Desde la orilla de un ro, observamos la copa de un rbol situado en la otra orilla,bajo un ngulo de 60. Si nos retiramos 10 m de la orilla, el ngulo de observacin es
de 45. Calcular la altura del rbol y la anchura del ro.
tg60 =x
= 3y
x= 3y
tambin tangente de 45 ser:
tg45 =x
y + 10= 1 reemplazando el valor de x
- 66 -
-
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y 3=1y 3 =y + 10
y3 y = 10 y(
3 1)= 10 y =10
=13.66m
y+10por tanto la anchura del ro es 13.66 metros.
3 1
x= 3y
13.66
3 (13.66)(1.73) 23.66 m
Por tanto la altura del rbol es 23.66 metros.
Resolver un tringulo rectngulo dados un cateto y un ngulo agudo
EJERCIC
[A] Desde lo alto de un faro cuya altura sobre el nivel del mar es 38.4 m., el ngulo de
depresin de un yate es de 15. A qu distancia del faro est el yate?
15 Como tg = cateto opuesto / cateto adyacente
38.4tg15 =
38.4
d
d= 142.22 m.
d=38.4
tg15d =
38.4
0.27
15 El faro est a 142.22 m., del yate.
d
[B] Cul es la altura de una casa de estilo chino de 5 micro pisos si se extiende unabincha en sentido horizontal desde su base unos 8 m., formando un ngulo de 70,2
con el techo del micro piso quinto.
Ya que:
h cos=b
c c =
b
cosc =
8
cos70.2
c =8
0.34c = 23.53 m
70.2 sen =hc
h =c senh =23.53sen70.2
8 m h = 22.14 m.
Por tanto la casa de estilo chino posee una altura de 22.14 m.
- 67 -
-
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[C] Encontrar la altura de un rbol si el ngulo de elevacin de su extremo superior
crece desde 25 hasta 50 cuando un observador avanza 90 m., hacia el pie del rbol y
encontrar la distancia del observador en ese instante.
Del tringulo ADC obtenemos: tg25 =h
90 +xy del D
tringulo BDC tenemos tg50 =hx
de ac
despejamos x logrando x=h
tg50
que sustituimos en la primera ecuacin. 25 A
tg25 =h
90 +h
entonces: B C
tg25 =
tg50
h
90 tg50 +htg50
h tg50
90 tg50 +h
multiplicando tg25 (90 tg50 +h) =h tg 50
90 tg25 tg50 +h tg25 =h tg50 entonces 90 tg25 tg50 =h tg 50 h tg 25
90 tg25 tg50 =h (tg50 tg25)
despejando h tenemos:
h =90 tg 25 tg50
tg50 tg25
(90)(0.47)
(1.19)1.19 0.47
Luego: h =50.34
0.72
69.92 m.
Resolver un tringulo rectngulo dados un cateto y la hipotenusa
EJERCIC
[A] Si cos = 0.3 y 0 < < 90. Calcular: P = tg+ 3 sen
Realizando la conversin de un nmero decimal a un nmero racional o fraccionario:
0.3 = 3/10 luego cos = 3/10 = cat ady. / hipot = b / a. Computemos el lado cporPitgoras:
a c a2 =b2 +c2 c2 =a2 b2 c
=a
2 b2 c=
102 32
c = 100 9 c = 91
b
- 68 -
-
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Reemplazando en P = tg + 3 sen tenemos P=91
+391 10
91 + 9 91
por tanto P=10 91 +9 91
19 91
3 10 30
30 30
[B] Encontrar la base y la altura de un tringulo issceles cuyo ngulo del vrtice mide
65 y cuyos lados iguales miden 415 cm.
65 + + =180
65 + 2 = 180
= 115 / 2
= 57.5
57.5 57.5
b / 2 b / 2
Considerando un tringulo rectngulo:
Clculo de la altura: Clculo de la base:
sen 57.5 = h / 415 cos 57.5 = b/2/415
h = 415 sen 57.5 415 cos 57.5 = b/2
h 415 h = 350 2 x 415 cos 57.5 = b
b = 446
b/2
57.5
Resolver un tringulo rectngulo dados los dos catetos
EJERCIC
[A] Calcular el permetro del tringulo rectngulo; si cot = 12/5
Ya que cot=12
=catady
=b
calculando a por ela c
5 cat op c
Teorema de Pitgoras
a2 =b2 +c2
b a = c2 +b2 a =
- 69 -
122 + 52 a
=144 + 25 a =13
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2
= 2 1
2
M
Computando el permetro: P = a + b + c entonces P = 12 + 5 + 13 = 30m .
[B] Calculartg si:
a 2 10
2
3Inicialmente debemos reestructurar el tringulo de sta manera:
Luego hallemos el valor de
x2 10
x en el tringulo pequeo
aplicando el teorema de
2 Pitgoras: x2 =(2 10 )2 +32
x 3 Por tanto tenemos:
x2
=(2)
2( 10 )
2
+9
x
2
=(4)(10)
+9
x
2
=40
+9
x
=49
x
=7
En el tringulo mayor tenemos: tg=2 10
2 10
2 10
tg=10
x +3 7 + 3 10 5
[C] Si es un ngulo agudo y: tg=2cos45+tg
45
cosec45cotg45
hallarM = sen cos
Acudamos a la tabla No 5 de la regla Nemotcnica para obtener los valores del ngulo
de 45, y obtenemos:
2
+ 1
tg= 2 1
2 +1=
2 1cat op
cat adydel teorema de Pitgoras obtenemos:
x2 =( 2 + 1)2 +
(
2 1)2 entonces,
x2 +1
x2 =( 2 )2 +
2
2 +1+(
2 )2
2
2 +1
x2 = 2 +2 2 +1+ 2
22 + 1 as tenemos
21
x2 = 2 +1+ 2 + 1 x
=6 =a
Reemplazando estos valores en la propuesta M = sen cos
+ 2 1 (
2 )
2
12
-
7/22/2019 Trigonome Mate 3semestre
110/224
2 1
M =1
6 6 36 6 6
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Mgs. Prof. Jos Luis