trigonome mate 3semestre

7/22/2019 Trigonome Mate 3semestre

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UNIVERSIDAD NACIONAL SIGLOXX

Vicerrectorado-Direccin General Acadmica Programa de Educacin aDistancia

LICENCIATURA PARA MAESTROS NORMALISTAS POR LAMODALIDAD

A D I S T A N C IA

MDULO XV: TRIGONOMETRA

MENCION :

MATEMTICAS

TERCERSEMESTRE


2/224

J. L.Siani

M.Zeballos

Q.

Trigonometra

J. L.SianiLicenciado en EconomaMagister en EducacinSuperior Profesor de

MatemticasCatedrtico de

Estadstica


3/224

de la U. P.E. A.

M.Zeballos

Q.Egresada de Cs de la EducacinAyudante de Ctedra de la

U. P. E. A.Profesora de

Matemticas

- 2 -

Mgs. Prof. Jos Luis Siani Ticona Prof. Mery Zeballos Quispe


4/224

Por:

Trigonometra

Jos L. SianiTicona

Licenciado enEconoma Master enEducacin Superior

Catedrtico deEstadstica y

Economa en la U. P.E. A. Profesor de

Matemticas

MeryZeballosQuispeEgresada de Ciencias de la EducacinAyudante de Ctedra en la

U. P. E. A.Profesora deMatemticas


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La Paz Bolivia2011

- 3 -



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UNIDAD 1 Funciones Trigonomtricas

OMPETENCIAS DE LA

Al concluir la unidad 1 el educador (estudiante del mdulo XV):

Analiza y define funciones trigonomtricas fundamentales en el crculo

trigonomtrico o unitario;

Relaciona y deriva funciones trigonomtricas complementarias con lneas

trigonomtricas;

Conoce y grafica funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y

cosecante en la resolucin de problemas.

1.

En las figuras que se exponen: Cmo se puede calcular la altura y el ancho?

Si se desea medir el ancho de un ro inaccesible, la altura de un rbol enorme, un

edificio, un cerro, etc., la bincha o cinta mtrica sera insuficiente; pero, si aplicamos

geometra y las relaciones trigonomtricas, la solucin no sera tan compleja, en este ymuchos problemas siempre se emplearn tringulos para su resolucin, en base a sus

seis elementos. As, entonces la trigonometra:

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Trigonometra

Es la parte de la Matemtica que trata de

la resolucin de tringulos por medio del clculo.

Segn que los tringulos que se consideren sean rectilneos o esfricos, laTrigonometra se divide en trigonometra plana o rectilnea y trigonometra esfrica. No

obstante; en ste mdulo solo estudiaremos la trigonometra plana o rectilnea.

Por qu tringulos? Porque son los bloques bsicos de construccin paracualquier figura rectilnea que se pueda construir. El cuadrado, el pentgono u otro

polgono puede dividirse en tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un

ngulo hacia los otros. Para topografiar una tierra los topgrafos la dividen en tringulos

y marcan cada ngulo con un "punto de referencia", que hoy en da es, a menudo, unaplaca de latn redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que

ponen sus varillas y teodolitos

Entonces, podemos decir que la Geometra nos ensea a

construir, con los tres datos, tringulos que contienen

incgnitas. La trigonometra nos ensear, en cambio, acalcular los valores de esas incgnitas

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+ +

X

+

l

1.1. ngulo Desde el Punto deVista Trigonomtrico

La nocin de ngulo estudiada en geometra no es suficiente para los usos de la

trigonometra, en la que podemos tratar con ngulos positivos y negativos, de cualquier

magnitud. Un nuevo concepto de ngulo puede formarse como sigue:

1.1.1. o

Los ngulos se consideran en trigonometra como engendrados por una semirrecta

mvil al girar alrededor de su origen, que se supone fijo.

X

0

l1

2

As por ejemplo la semirrecta OXde las figuras anteriores giran alrededor del punto fijo

O, mantenindose siempre en el mismo plano, al pasar de la posicin inicial OXa otra

posicin cualquiera OX, describe el nguloXOX.

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O O

X

1 giro completo +

2giros completos +

Ahora bien, la semirrecta mvil puede pasar del lado origen al lado libre, ya sea

directamente o despus de haber dado un giro completo; o tambin despus de

efectuar cierto nmero de giros completos. Si designamos porel ngulo que pasa

de la posicin OXa la OXtendremos:

3 giros completos +

n giros completos +

1.1.2. Signos ds

Al describir un ngulo, la semirrecta mvil puede girar en dos sentidos opuestos. As en

la figura se tiene:

positivo

l2

negativo

l1

Donde uno de esos dos sentidos, es el

indicado por la flecha; el otro es el

contrario. De los dos sentidos, uno se

elige como positivo y el opuesto como

negativo. Por convencionalismos paraaplicaciones prcticas adoptamos el que

es contrario al movimiento de las agujas

del reloj (el positivo)

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1.1.3. Medida

Medir un ngulo Es compararlo con otro ngulo que se toma por unidad de medida,

hallando al efecto la razn del primero al segundo. Medir un arco de circunferencia

Es compararlo con otro arco, de la misma circunferencia o de otra igual, que se elige

como unidad, hallando al efecto la razn del primero al segundo.

En Trigonometra se emplean tres clases de unidades, que dan lugar a tres sistemas

distintos: el sexagesimal, el centesimal, y el circular.

1.1.3.1. Sistema

La unidad de arco en este sistema es el grado sexagesimal, que es el arco equivalente

a la 360 ava parte de la circunferencia. A su vez el grado se divide en 60 minutos y

cada minuto en 60 segundos. Para fracciones menores que un segundo se emplean

dcimos y centsimos de segundo. Para indicar que un ngulo vale 26 grados, 18

minutos y 15 segundos con 75 centsimos de segundo, por ejemplo, se escribe: =

26 1815,75. En este sistema el ngulo recto vale 90. As, el sistema sexagesimal

es el ms empleado en la prctica.

1.1.3.2. Sistema

Este sistema, en el que cada unidad tiene 100 unidades del orden inmediato inferior,

fue ideado por Borda Juan Carlos (Geodesta francs 1733 1799). La unidad de arco

en el sistema de Borda es el grado centesimal, que es el arco equivalente a la 400

ava parte de la circunferencia. Cada grado centesimal se divide en 100

minutos centesimales. Para expresar que un ngulo vale 35 grados, 11 minutos, 75

segundos y 30 centsimos de segundo, centesimales, se suele escribir: = 35G 11 M

75S,30. Pero

observando que:

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11M

= 0G,11

75S

= 0M

,75 = 0G,0075

0S,30 = 0

M,0030 = 0

G,000030

Podemos escribir: = 35G

,117530 es decir, como en el sistema decimal de

numeracin. As, en ste sistema el ngulo recto vale, pues, 100 grados centesimales,

por lo cual dicho sistema slo est en uso en el ejrcito francs.

1.1.3.3. Sistema

Tambin denominado sistema circular, donde la unidad de arco en este sistema es el

radin, que es el arco cuya longitud es igual a la del radio.

El ngulo central que le corresponde se llama ngulo de un radin. El arco se

considera, como una longitudcualquiera, pero que no se mide en centmetros o metros

o pulgadas, etc., sino en radios de circunferencia. As, una circunferencia tiene, una

longitud expresada por la frmula C = 2 r. Pues bien, si se adopta la longitud

rcomo unidad de medida, se tendr: C = 2 radianes. Un arco de un cuadrante

tendr una longitud de2

radianes =4

radianes. Un ngulo recto vale, por lo tanto,

2

en este sistema,

ngulos de un radin, o sea,2

3.14159 ......

2radianes = 1.57079.

radianes; (algo ms de radin y medio).El sistema circular (radinico) es empleado en

las cuestiones de carcter terico, porque ofrece la ventaja de simplificar la notacin.

As, es frecuente en las demostraciones, la aplicacin de las igualdades siguientes:

Circunferencia = 2 ;3

de circunferencia4

=32

Semi circunferencia = ; Un nmero entero k

Un cuadrante =

de circunferencias = 2 k = 2 k 2

En todas estas igualdades, los segundos miembros representan longitudes expresadas

en radios.

- 9 -



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Para convertir una medida de ngulo de un sistema a otro, se puede disponer delas equivalencias:

90 90 = 100G = / 2 radG

100G 180 = 200 = rad

/ 2 rad

180

200G

0 rad

270300

G

3 / 2 rad

270 = 300G

=3 / 2 rad

EJERCIC

[A] A cuntos grados centesimales, equivalen 45 grados sexagesimales?

100 45G90 45=100 45 G

90

= 50 G

[B] A cuntos grados sexagesimales equivalen 39 grados centesimales?

100 39 G = 90 39

90

39

100

= 35.1

[C] Reducir 120 a radianes

180 120 = 120radianes 120

2

6.2832

= 2.0944 radianes180 3 3

[D] Reducir 3.25 radianes a grados, minutos y segundos sexagesimales.

3.25radianes

= 180 3.25 3.25 radianes =180 3.25

=585

3.1416 18612 ' 39

" - 10 -


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[E] Reducir 125G, 50 a radianes

200 125 G ,50 =

125.50radianes

125.50 radianes 200

=3.1416 125.50

radianes

=1.9704200

radianes.

[F] Convertir el ngulo 77 17 47 a fraccin de grado:

7717'47 " 77+17 '

+60

47"

360077+0.28+ 0.013 77293

[G] Convertir el ngulo de la forma de fraccin de grado 77.852, a la forma de grado,

minuto y segundo.

77.852 0.852 60 = 51.12 0.12 60 = 7.2 77 51'7"

1.2. Circunferencia

(-1,0)

Y (0,1)

y r = 1

x

M

(x , y)

(1,0)

X

Se llama crculo trigonomtrico a todo crculo

que tenga porradio la unidad de longitudy en el

cual se hayan fijado un sentido positivo para los

arcos de su circunferencia. Como se dijo; en la

praxis el sentido positivo de los ngulos es

aqul que es contrario al del movimiento de las

agujas del reloj, por lo que se hace el mismo

(0,-1) convenio en lo referente a los arcos.

La ecuacin del crculo trigonomtrico cuyo centro coincide con el origen de

coordenadas es:

x2 + y2 = 1

Al variar el ngulo , desde 0 hasta 360, el punto (x,y) describe una circunferencia y

la medida del M, (x,y) vara en el primer cuadrante, desde 1 hasta 0, pasando por todos

los valores intermedios; en el segundo cuadrante desde 0 hasta -1; en el tercer

cuadrante, desde -1 hasta 0 y en el cuarto cuadrante desde 0 hasta 1, siempre de

manera continua generando los puntos (1,0); (0,1); (-1,0) y (0,-1)


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- 11 -



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La posicin de stos puntos determinan los ngulos centrales de 0, /2, 3/2 y 2

rad, correspondientes a 0, 90, 180, 270 y 360 del sistema sexagesimal.

1.2.1. Funciones

Se denominan funciones Trigonomtricas aquellas que

reciben nombres particulares de: SENO, COSENO,

TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE,

y se indican en forma abreviada del siguiente modo: sen

,

cos , tg , cotg , sec , cosec respectivamente.

En la circunferencia unitaria el punto P = (x,y)

muestra que, x es la distancia del punto

(x,y) al eje Y; e y es la distancia del punto

(x,y) al eje X. Unificando el punto P con el

origen de coordenadas y el semieje Xpositivo se forma el ngulo .

Y

1

cos

P=(x , y)

sen (1,0)

X

As, el elemento x se denomina coseno del ngulo ; el elemento y se denomina

seno del ngulo . Por tanto:

x=cos;

y=sen

Con las relaciones de segmentos definidos, se pueden obtener otras razones que son:


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- 12 -



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TABLA No1

Tangente Es la razn entre la ordenada y la abscisa tg=y /x

Cotangente Es la razn entre la abscisa y la ordenada cotg =x /y

Secante Es la razn entre el radio vector y la abscisa se c =1/xCosecante Es la razn entre el radio vector y la ordenada cosec =1/y

Esto implica que las funciones trigonomtricas seno y coseno son primarias o

fundamentales, mientras que la tangente es una relacin entre stas. La funciones

trigonomtricas cotangente, secante y cosecante son funciones inversas de las tres

anteriores.

1.2.2. Relaciones TrigonomtricasFundamentales Entre la

s

Se denominan funciones gonomtricas porque la variable

independiente es un ngulo. As, las funciones

trigonomtricas son un caso particular de funciones

gonomtricas.

Del acpite anterior, como tg=y /x

tenemos el teorema: la tangente de un ngulo

es igual al cociente del seno por el coseno de dicho ngulo.

tg=sen cos


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- 13 -



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EJERCIC

[A] El seno de un ngulo vale 0.8 y el coseno 0.6 Cunto vale la tangente?

tg=sen cos

0.8

0.6=1.33.

Ahora deduzcamos otra identidad trigonomtrica as, si tg=y /x

puede ser expresado

como tg= 1x /y

y esto es: tg=1

Cos/seny el denominador es la cotangente de un

ngulo que es igual al cociente del coseno por el seno de dicho ngulo tenemos:

Cotg =cos sen

De esto deducimos el teorema: la tangente de un ngulo es igual a la inversa de la

cotangente y sta, a su vez, es igual a la inversa de la tangente.

tg =1

cotg; cot= 1

tg

EJERCIC

[A] El seno de un ngulo es igual a 0.8 y el coseno a 0.6 Cunto vale la cotangente?

Cotg =cos sen

0.60.8

=0.75

Otro teorema que se infiere de la relacin se c =1/x

nos dice que la secante de un

ngulo es igual a la inversa del coseno de dicho ngulo por lo que tambin se

concluye que el coseno de un ngulo es igual a la inversa de la secante del

mismo ngulo

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sec =1

cos; cos= 1

sec

EJERCIC[A] El coseno de un ngulo es igual a 0.5 Cunto vale la secante?

Sec =1

cos

1= 2

0.5Tambin, de la relacin cosec =1/y obtenemos el teorema la cosecante de un

ngulo es igual a la inversa del seno de dicho ngulo, as mismo el seno es la

inversa de la cosecante

cosec =1

;sen

sen =1

cosec

EJERCIC

[A] Siendo el seno de un ngulo igual a 0.7071 Cunto vale la cosecante?

Cosec =1

sen

1

0.7071= 1.4142

Finalmente, consideremos inicialmente la ecuacin del crculo trigonomtrico.

x2 + y2 = 1 Cabe sealar que sta ecuacin tambin puede ser especificada a

travs del Teorema de Pitgoras el cual seala que En todo tringulo rectngulo, el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Como

sabemos que la hipotenusa en el crculo es la unidad esto es 12

= x2

+ y2

.Como xrepresenta el coseno e y el seno tenemos la ecuacin pitagrica: La cual nos provee

el teorema: La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ngulo

es igual a la unidad

- 15 -



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22

sen2 + cos2 =1

De esto podramos obtener dividiendo porx2 e y2 otras identidades pitagricas;

primeramente dividamos porx2

:

x2

y2

1 y2

1 y 1 + = 1 + = 1+

= que provee:x

2x

2x

2x

2x

2x x

1+tan2

= sec2

Efectuando la divisin entre y2:

x2

y2

1 x2 2

1 x 2

1 + = 2 2 2

+ 1 =2 2

+1= ya que x/y es lay y y y y y y

cotangente y 1/y es la cosecante, obtenemos:

1+ cot2 =cosec2

Las relaciones anteriores derivadas de cinco teoremas;en

trigonometra, reciben el nombre de frmulasfundamentales. Ya que nos posibilitarn computar

algunas otras funciones trigonomtricas, cuyo

clculo

demostraremosposteriormente.


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cosecante

seno

tangente

1.2.3. Relaciones Derivadas ConLneas Trigonomtrica

s

Como de un teorema se deriva un corolario, a guisa de ejemplo podramos deducir un

corolario de las relaciones pitagricas que relacionen el seno y el coseno de un ngulo

lo que nos permitira cuantificar el seno en funcin del coseno y viceversa. Despejando

nos queda:

sen = 1 cos2 tambin cos = 1sen2

As, disponiendo de lneas trigonomtricas si tomamos un arco PT = a, el cual

pertenece a un crculo trigonomtrico (O,P) y sea el ngulo central, podemos aseverar

que; el argumento puede ser considerado como ngulo o como arco, indistintamente.

Por lo que; as como las funciones trigonomtricas de ngulos se denominan

funciones goniomtricas, las funciones trigonomtricas de arcos se denominan

funciones

circulares. As tenemos el crculo trigonomtrico:

Y

S cotangente R

Q

P

secante

Las lneas

trigonomtricas

son delimitadas

como:

O cosenoM

M T X

PM = sen

OM = cos

QT = tan

RS = cot

OQ = sec

OR = cosec

- 17 -



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El radio vector, la abscisa y la ordenada de un punto perteneciente al lado libre de un

ngulo forman un tringulo rectngulo OPMen el que el radio vector es la hipotenusa

por lo que; podemos designar los segmentos usando los siguientes nombres:

OP = Hipotenusa

OM = Cateto adyacente a

MP = Cateto opuesto a

Y definimos la funcin trigonomtrica seno para el tringulo rectngulo OPMde la

manera siguiente:

Sen =Cateto Opuesto

Hipotenusa

Ya que el radio vector unitario coincide con la hipotenusa tenemos:

sen2 + cos2

1

=1sen=P

1 cos2

1 cos2

Por lo que: sen = 1 cos2

O cos

M

La funcin trigonomtrica del seno en base al tringulo rectngulo OTQconsidera

al radio vector unitario con el segmento OT:

QYa que en ste caso la secante es la

hipotenusa tenemos la identidad

fundamental:1+tan2

tan

1+tan2

= sec2

como:

O 1 T

sen=

sec=

tan

1+tan2

Obtenemos el seno que viene a ser:

- 18 -

1+tan2



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Determinemos el seno en base a la cotangente de las lneas trigonomtricas, paraello; copiemos el triangulo volcado OSR del crculo trigonomtrico cuyo radio vector

unitario es el segmento OS.

.cot

S R

En este escenario la hipotenusa es la

cosecante entonces:

1

1+ cot2 1+ cot2

=cosec2 como.

O

viene a ser: sen=1

1+ cot2

cosec= 1+ cot2 as el seno

El seno en base a la secante requiere del tringulo rectngulo OTQdonde la

secante en ste caso coincide con la hipotenusa.

QYa que 1+tan

2

= sec2

secsec

2 1

entonces: tan= sec2 1

as, el seno es:

2

O 1 T sen=sec 1

sec

El seno en base a la cosecante debe ser hallado con el tringulo ORS cuya

hipotenusa es la cosecante y el radio vector unitario es OU.

S cos ec2 1 R

Ya que 1+ cot2 =cosec2 despejando

1

cosec la cotangente cot= cosec2 1 elloposibilita el logro del seno en funcin de la

Ocosecante

- 19 -

sen =1

cosec


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28/224

Prosiguiendo de la misma manera para el coseno, tangente, cotangente, secante y

cosecante disponiendo de:

cos =Cateto

Adyacente

Hipotenusa

tg=

CatetoOpuesto

CatetoAdyacente

Cotg =Cateto

Adyacente

CatetoOpuesto

Sec =

Hipotenusa

CatetoAdyacentecosec=

Hipotenusa

CatetoOpuesto

Determinamos la siguiente tabla de relaciones trigonomtricas derivadas.

TABLA No

2

Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

Sen 1 cos2 tg1+tg

2

1

1+cotg2

sec2

1 sec

1

cosec

Cos 1sen2

1

1+tg2

cotg1+cotg

2

1

sec cosec

21cosec

Tg sen1sen

2

1 cos2 cos

1

cotg sec2 1

1

cosec21

Cotg 1sen2sen

cos21 cos

1

tg1

sec2 1

cosec21

Sec 1

1sen2

1

cos 1+tg2

1+ cotg2cotg

cosec

cosec21

Cosec 1

sen 1

1 cos2 1+tg

2

1+cotg2sec

sec2 1

EJERCIC

[A] El seno de un ngulo vale 0.8. Cunto vale el coseno?. La frmula que expresa el

coseno en funcin del seno es:


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- 20 -



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(rad)

(grados)Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

6

30

Aplicando

1 cos2 =2

1

3 =

13

=4

4 3=

4

1=

4

=1

2

Valor

Aleatorio

3

2

Aplicando

1 cos2 =cos

Como

1

1 cos2

= 2

Tenemos:

1

2

3=

2

1=3

Racionaliz.

1 3 =3 3

=3

3

Aplicandocos

1 cos2 =

Tenemos:

3

21

=

2

= 3

Aplicando

1=

cos

Tenemos:

1=

3

2

=2

3

Racionaliz.

2 3 =

3 3

2 3

= 3

Aplicando

1=

1 cos2

Tenemos:

1=

1

2

=2

cos = 1sen2

10.82

1 0.64 0.36 0.6

Luego, al valor0.8del seno de un ngulo corresponde un valor del coseno que puede

ser + 0.6 bien 0.6.

[B] Cuantificar los ngulos: sen 30 y cos 45 disponiendo de la tabla diseada

anteriormente.

Para la cuantificacin del sen 30primeramente debemos asignar un valor aleatorio por

ejemplo3

al coseno del ngulo , elegimos las funciones de la columna que2

pertenecen a la funcin coseno determinadas en nuestra tabla y luego procedemos con

los clculos algebraicos. As tenemos:

TABLA No

3

2

- 21 -


31/224



32/224

(rad)

(grados)Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

4

45

Aplicando

tg =

1 +tg2

Como

tg =1

Tenemos:

1

2=

1+(1)

1=

1+1

=1

2

Racionaliz.

1

2

=2 2

=2

2

Aplicando

1=

1+tg2

Como

1+tg2 = 2

Tenemos:

1=

2

Racionaliz.

1

2=

2 2

=2

2

Valor

Aleatorio

1

Aplicando

1 =tg

Como

tg =1

Tenemos:

1=1

=1

Aplicando2

Como

1+tg2 = 2

Tenemos:

= 2

Aplicando

1 +tg2=

tg

Como

1+tg2 = 2

Tenemos:

2=

1

= 2

Para la cuantificacin del cos 45. Como en el caso anterior, asignemos un valor

aleatorio por ejemplo de 1 a la tangente del ngulo , y elijamos las funciones de la

columna que pertenecen a la funcin tangente determinadas en nuestra tabla para

luego proceder con clculos algebraicos.

TABLA No4

1 +tg =

12.3.1. Regla

Sobre la base del ejemplo de aplicacin anterior y como los valores de las funcionestrigonomtricas de 0, 30, 45, 60, 90 y 180 son de frecuente aplicacin, deben

tenerse presentes en la memoria; por ende, las resumimos en la siguiente tabla de

valores, no sin antes aclarar que si el lector desea cuantificarlas, debe proceder como

se hizo con el ejemplo de aplicacin precedente:

- 22 -



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TABLA No5

Funcin 0 30 45 60 90 180

Sen 0 12

22

32

1 0

Cos 13

2

2

2

1

20 1

Tg 03

31 3

No

Existe0

CotgNo

Existe3 1

3

30

No

Existe

Sec 12 3

32 2

No

Existe 1

CosecNo

Existe2 2

2 3

31

No

Existe

No obstante para recordar los valores del seno de 0, 30, 45, 60 y 90 se debe

recurrir a la mitad de la raz cuadrada de cada uno de los nmeros naturales de 0 a 4.

TABLA No

6

0 30 45 60 90

0 1 2 3 4

Sen 0

0

2

Sen 30

1

2

Sen 45

2

2

Sen60

3

2

Sen 90

4

2

Los valores del coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 estn dados, respectivamente, por la

mitad de la raz cuadrada de cada uno de los nmeros naturales escritos, en orden

inverso, de 4 a 0. As:

- 23 -



34/224

3 3

3 3

TABLA No7

0 30 45 60 90

4 3 2 1 0

cos 0

4

2

cos 30

3

2

cos 45

2

2

cos 60

1

2

cos 90

0

2

EJERCIC

[A] Resolver (tg60 +tg30 ) tg45 =5x + 24x

Si (tg60 +tg30 ) tg45 =5x + 2

3+

3

1 =5x + 2

2 3 + 3

=5x +2

4x 2 4x 2 4x

2x(2 3 + 3) = 5x + 2 2x(2 3 + 3) 5x = 2 2x(3

3) 5x = 2 6x

3 5x =2

x(6 3 5) = 2 x =6

2

35

es menester racionalizar por lo que:

x = 2 2 6 3+ 5 12 3+10 12 3+10 12 3+10 x =12 3+106 35 6 35 6 3+5 (6 3)2 52 36(3)

25108 25 83

[B] Demuestra las siguientes igualdades:

a) 1 + tg230 = Sec2 30

1+

2

2 =2

1+

3=

4(3)

9 + 3=

12

12=

4

4=

4

9 9 9 9 9 3 3 3

b) tg 60 x cotg 240 = 1

33

=13

9=1

3=1 1 =1

3 3

c) 2 sen 30 x cos 30 = sen 60

2 1 3 = 3 1 3 = 3 3 = 3 2 2 2 2 2 2 2

[C] Computa sen260 + cotg30

sec 30 cos60


35/224

- 24 -



36/224

3+ 3

2

2 3 + 33+ 4 3

Ahora =sen

60 + cotg30=

2 4 4 9+ 12 3

racionalizando

sec 30cos60

2 31

3 23

1 3 4 3

3 3

9+12

3

3

3(9+12

3)9 3 + 12 ( 3)2

9

3 + 12 (3)

9 3 +36

4 3 3 4( 3)2 4(3) 12 12

9 3 +3612

9( 3 +4)

12

3( 3 + 4)

3

4

3 +12

4

1.2.4. Signos de las Funciones Trigonomtricas

Ya sabemos que, dado un ngulo y determinados en l, el radio vector y la abscisa y

ordenada correspondientes, stas pueden ser positivas o negativas segn sea el

cuadrante en que se encuentre el radio vector, as tenemos:

El radio vector es siempre positivo.

La abscisa es positiva en el primero y cuarto cuadrante y negativa en el segundo

y tercer cuadrante.

La ordenada es positiva en el primero y segundo cuadrante y negativa en eltercero y cuarto cuadrante.

En resumen, los signos que corresponden a las funciones trigonomtricas de los

ngulos de los diferentes cuadrantes son los contenidos en el cuadro siguiente:

TABLA No

6

Cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Primero + + + + + +

Segundo + +

Tercero + +

Cuarto + +


37/224

- 25 -



38/224

En lo expuesto anteriormente podemos observar que:

El signo del seno es el mismo que el de la ordenada.

El signo del coseno es el mismo que el de la abscisa.

La tangente y la cotangente son positivas cuando la ordenada y la abscisa tienenigual signo y son negativas en caso contrario.

Estas observaciones y los

diagramas que ves facilitan, enla praxis la determinacin del

signo.

Seno y Cosecante Coseno y Secante

+ + +

+

Tangente y Cotangente

+

+

Ahora bien, como los catetos son menores que la hipotenusa, resulta que:

El valor absoluto del seno o del coseno de un ngulo no puede ser nunca mayorque la unidad.

Los valores absolutos de la secante y de la cosecante de un ngulo no puedenser nunca menores que la unidad.

Los valores absolutos de la tangente y de la cotangente de un ngulo puedenvariar desde 0 a .

1.3. Grfica de las FuncionesTrigonomtricas

- 26 -



39/224

to

to x

ondientes

ectivamente

PeriodicidadSe dice que una funcin es peridica si su valor noaltera

al aumentar o disminuir el argumento en una

cierta cantidad constante o en un mltiplo cualquiera de

sta. La menor cantidad que puede ser agregada a

cualquier valor del argumento sin que la funcin vare,

recibe el nombre

de periodo.

1.3.1.

Para representar la funcin y = sen x

Se traza una circunferencia y por su centro

dos perpendiculares. Se dividen los

cuadrantes en ngulos de 30 cada uno. Se traza unasemirrecta horizontal a lo largo de la hoja (representa la

La funcin seno esperidica y tiene porperiodo 360 o su iguala

2

circunferencia rectificada) y se divide en partes iguales. Cada pun

representa los ngulos de 0, 30, 60, .hasta 360 del argumen

sobre el eje de las abscisas, y tomemos como ordenadas corresp

a esas abscisas los valores 0.00; 0.50; 0.87, etc., del seno, resp .

TABLA No8

x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 315 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 7/ 4 2

y Sen 0 0.5 0.87 1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.71 0

- 27 -


40/224



41/224

Como se dijo anteriormente el signo del seno es positivo en el 1 y 2 cuadrantes y

negativo en el 3 y 4 cuadrantes, tendremos que las variaciones son las indicadas en el

grafico siguiente:

90 1

120 60

150 300 180 110 240 270 300 330

180

210 330

240 300

270 1

30 60 90 120 150

La curva obtenida recibe el nombre de sinusoide. En ella puede observarse todo lo que

dijimos al trazar de las variaciones del seno, as como tambin que el periodo de la

funcin es 2 . Efectivamente, a partir de 360 la curva adquiere la misma forma que a

partir de 0.

En sntesis, las grficas de las funcionestrigonomtricas generales, pueden obtenerse,escribindolas como:

y =A sen (Bx +C)A: Amplitud (valor mximo)B: Frecuencia (ciclos 2 Rad)C: Fase (ngulo de inicio: - C)

EJERCIC

1. Representar grficamente las funciones trigonomtricas.

[A] y = 4 sen2 x 4

En este caso:

A = 4 (implica que el valor mximo que

alcanza es: 4 y el valor mnimo es 4)

B = 2 (implica que se tendr 2 ondas 0 /2 3/2 2

completas cada 2 rad.,sobre X)

C = 0 (implica que el inicio de la primera

- 28 -



42/224

onda ser en 0) 4

[B] y = sen(x/2) 1

Donde:

A = 1, B = y C = 0

0 /2 3/2 2

1.3.2.

La funcin coseno esperidica siendo superiodo 360 o su iguala

2

En la representacin grfica de la funcin y = cos x

como en el caso anterior, se divide una

circunferencia en ngulos de 30 cada uno, perocomenzando esta vez en 270, y as sucesivamente. No obstante como

sabemos que el signo del coseno es positivo en el primer cuadrante, negativo

en el segundo y tercero y positivo en el cuarto, tenemos que el coseno vara en

la forma indicada por la tabla y el grfico diseados para la ocasin.

TABLA No9

x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2

y Cos 1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.5 0 0.5 0.87 1

Esta tabla nos proveer el grafico de la funcin coseno.

0 1

30 330

60 300

90 270

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

120 240

150 210

180 1

- 29 -



43/224

La curva obtenida recibe el nombre de cosinusoide. Ella pone de manifiesto que el

periodo es 360 pues, a partir de 360, la curva adquiere la misma forma que a partir de

0.

EJERCIC

1.Representar grficamente las funciones trigonomtricas.

[A] y = 3+ cos x

1

Donde: 0

A = 1 /2 3/2 2

B = 1 (1 ciclo hasta 2) 1

C = 3 (debemos descender 3 posiciones

hacia abajo a partir de 1). 2

3

[B] y = 2 cos x 2

Donde:

A = 2 1

B = 1 (un ciclo completo hasta 2)

C = 0 (parte a la altura de cero) 0 /2 3/2 2

1

2

[C] y =1/2 cos x

Donde: 1

A = 1/2

B = 1 (un ciclo completo hasta 2)C = 0 (parte a la altura de cero) /2 3/2 2

1

- 30 -



44/224

1.3.3.

En la expresin grfica de la funcin y = tan x

para el valor 0 sta asume

valor 0, y a medida que aumenta el ngulo la

tangente alcanza valores tendientes al infinito (para

valores

La tangente es una funcinperidica siendo su periodo

igual a 180 o

prximos a 90) no siendo posible dar el valor de la tangente para dicho

ngulo. Para ngulos superiores a 90 la tangente es negativa y en valor

absoluto muy grande y decrece hasta hacerse 0 para 180, pero como es

negativa: crece. As, para ngulos superiores a 180 la tangente es positiva y

se repiten los valores que en el primer cuadrante; por tanto obtenemos:

TABLA No10

x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2

y Tg 0 0.58 1.73 -1.73 -0.58 0 0.58 1.73 -1.73 -0.58 0

La tabla de la funcin tangente cuya grafica es:

70

60

30

030 60 70 90 120 1 50 180 210 240 270 300 330 360

330

280

300

- 31 -



45/224

La curva obtenida se llama tangentoide. En ella observamos que crece siempre, pese a

pasar de valores positivos a negativos; esto, solo es posible cuando la funcin es

discontinua.

1.3.4.

La cotangente es una

funcin peridica, siendosu periodo igual a 180

o

En el caso de la representacin grfica de la funcin

y = cotg x. La cotangente decrece siempre, a pesar de

que pasa de valores negativos a positivos. Esto se explica

porque la funcin cotangente es discontinua, presentando la

discontinuidad cada 180 a partir de 0.

No obstante, su representacin grfica no ofrece mayores dificultades. As,

la grfica obtenida o curva representativa de la funcin se denomina

cotangentoie, cuyos puntos expresamos en la tabla:

TABLA No11

x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2

y Cotg 1.73 0.58 0 -0.58 -1.73 1.73 0.58 0 -0.58 -1.73

Por tanto la tabla muestra la cotangentoide:

0

30 330

60

300

90 270

30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

120

240

150 210

180

- 32 -



46/224

1.3.5.

Al decir de la funcin y = sec xsta nunca adquiere

valores comprendidos entre (+ 1) y ( 1); pasa por un

mnimo (+1) para el valor cero del argumento y por

La secante es una funcinperidica cuyo periodo es

360 o su igual 2

un mximo ( 1) para el valor y presenta una discontinuidad en los 90 y

en los 270.

La representacin grfica de la funcin secante es una curva denominada

secantoide cuyo grfico proviene de la tabla:

TABLA No12

x Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2

Y Sec 1 1.15 2 -2 -1.15 -1 -1.15 -2 2 1.15 1

Entonces obtenemos:

Y

1

540 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 540 X

1

- 33 -



47/224

1.3.6.

La cosecante es unafuncin peridica, cuyo

periodo es 360 o su igual2

La cosecante y = cosec xno adquiere nunca valores comprendidos entre (+

1) y ( 1); pasa por un mnimo (+ 1) para el valor / 2 del argumento, por un

mximo ( 1) para el valor 3 / 2 y presenta una discontinuidad en los 180 y

en los 360 .

La representacin grfica de la funcin cosecante es una curva llamada

cosecantoide, cuya tabla y grafico manifestamos:

TABLA No13

X Deg 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Rad 0 /6 /3 /2 2/ 3 5/ 6 7/ 6 4/ 3 3/ 2 5/ 3 11/ 6 2

Y Cotg 2 1.15 1 1.15 2 -2 -1.15 -1 -1.15 -2

En base a la tabla precedente procedemos a graficar el cosecantoide:

Y

1

540 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 540 X

1

- 34 -



48/224

Recapitula ahora acerca de todo lo escudriado anteriormente con la ayuda del cuadro

para recordar.

PARA RECORDAR

La trigonometra es la parte de la Matemtica que trata de la resolucin

de tringulos por medio del clculo.

Los ngulos se consideran en trigonometra como engendrados por una

semirrecta mvil al girar alrededor de su origen, que se supone fijo.

Se llama crculo trigonomtrico a todo crculo que tenga por radio la

unidad de longitudy en el cual se hayan fijado un sentido positivo para

los arcos de su circunferencia.

Medir un ngulo es compararlo con otro ngulo que se toma por unidad

de medida, hallando al efecto la razn del primero al segundo.

Una vez que hiciste memoria acerca de la teora de exponentes, es menester que

pases a otra etapa para que aprendas o pienses mucho mejor.

REFLEXIONA SOBRE EL TEMAPor qu es menester estudiar siempre los

tringulos? Cul es tu opinin al respecto?

- 35 -



49/224

3

GLOSARIO

RAZN : La razn es la comparacin por cociente de dos magnitudes de la mismaespecieCOFUNCIONES: Son funciones complemenarias

RECTILNEOS O ESFRICOS: Que tienen forma de recta o circunferencia.

A C T I V I D A D E SObserva stos ejercicios. Luego, halla sus resultados

[A] Hallar: los valores de sen 15 ; cos 315 ; cosec 240

[B] Representa grficamente las funciones siguientes:

a) y = sen 2x b) y = cos x/3 c) y = cos

e) y = sec 2x f) y = csc x/2

x + 4

d) y = sen 2x 1 3

[C] Dado sen x = calcular 2tgx

; si cos = calcular

2tg

1 senx 2 1tg2

[D] Completa las relaciones trigonomtricas que faltan incluyendo el ngulo.

sen cos tg cotg sec cosec

5

sen cos tg cotg sec cosec

5 /12

- 36 -



50/224

UNIDAD 2 Funciones Trigonomtricas deDiferentes ngulos

OMPETENCIAS DE LA


Reduce y aplica funciones trigonomtricas al primer cuadrante en la resolucin

de problemas con ngulos complementarios, suplementarios y coterminales;

Define y utiliza funciones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes;

Demuestra y aplica la suma y diferencia de frmulas para evaluar las funciones

trigonomtricas de la suma y resta de dos ngulos e

Transforma y define sumas y deferencias de ngulos a producto.

2. Reduccin de Funciones Trigonomtricas alPrimer Cuadrante

El problema de la reduccin de una funcin trigonomtrica o ngulo al primer cuadranteconsiste en lo siguiente:

Dado un ngulo cualquiera, y una vez determinado elsigno

que corresponde a cada una de sus funcionestrigonomtricas, encontrar un ngulo positivo y menor

que un cuadrante, cuyasfunciones

trigonomtricassean iguales en valor absoluto a las

del ngulo dado.


51/224

- 37 -



52/224

Este problema, cuya solucin siempre es posible, se presenta muy frecuentemente en

la praxis, porque, las tablas como la anterior (Tabla No 5) no contienen ms ngulos

que los del primer cuadrante. Se resuelve aplicando las siguientes consideraciones:

El ngulo dado est comprendido entre 90 y 180 (segundo cuadrante);

El ngulo dado est comprendido entre 180 y 270 (tercer cuadrante);

El ngulo dado est comprendido entre 270 y 360 (cuarto cuadrante);

El ngulo dado es mayor que 360 y

El ngulo dado es negativo.

2.1. Funciones Trigonomtricas dengulos Complementarios

Dos ngulos son complementarios si su suma es 90 .Dos ngulos son suplementarios si su suma es 180.Un ngulo coterminal se encuentra sumando o restando

360 en el sistema sexagesimal o 2en el circular.

As el complemento de es: 90 en el sistema sexagesimal, en el sistema

+ = /2. Se verifican las igualdades:

sen (90)

= cos

cosec (90)

= sec

cos (90)

=sen

sec (90)

= cosec

tg(90)

=cotg

cotg(90)

=tg

Las relaciones nos manifiestan: Que en ngulos complementarios y en los que

difieren en 90, las funciones del uno son respectivamente iguales a las

cofunciones del otro, en valor absoluto.

EJERCIC

Cuantificar las funciones trigonomtricas de los ngulos complementarios.

[A] sen 30= cos 60 disponiendo de la tabla No 5 para el valor y tabla No 6 para el

signo tenemos:

sen 30 =1 / 2 cos 60 =1 / 2


53/224

- 38 -



54/224

[B] tan (9030 ) = cot 30 disponiendo de las tablas No 5 y No 6 tenemos:

tan 60 = 3 cot 30 = 3

2.1.1. Funciones Trigonomtricas para

Cuando dos ngulos son suplementarios, uno o cualquiera de ellos se denomina

suplemento del otro. Sean y dos ngulos suplementarios; entonces, de acuerdo con

la definicin en el sistema sexagesimal, tendremos que:

+ =180

=180 y =180

+ = en el sistema circular. Estas igualdades muestran que: Si un ngulo es

menor que 180 o , su suplemento es positivo. Si un ngulo es mayor que

180 o , su suplemento es negativo. De estas aseveraciones se obtienen las

relaciones:

sen (180)

=sen

cosec (180)

= cosec

cos (180)

= cos

sec (180)

= sec

tg(180)

=tg

cotg(180

)=cotg

Lo que nos dice que: Las funciones trigonomtricas de dos ngulos

suplementarios son iguales en valor absoluto pero de signo contrario, con

excepcin de los de los senos y de las cosecantes que son iguales en valor

absoluto y en signo.

EJERCIC

Reducir al primer cuadrante los siguientes ngulos.

[A] El ngulo 135.Respecto a ste ngulo, podramos aseverar que el ngulo del primer cuadrante cuyas

funciones trigonomtricas son iguales en valor absoluto, a las del ngulo 135, es: 45

ya que =180

18045 =45 en cuanto al signo, se lo determina de acuerdo

con las reglas respectivas, luego:


55/224

- 39 -



56/224

signo + (2 cuadrante)sen 135 =

sen135 =sen 45+sen 45 buscando ste ngulo en tabla No 5

tenemos sen 45 =2

cuyo signo es positivo segn tabla No 62

signo (2 cuadrante)cos 135 =

cos135 = cos 45 cos 45

buscando ste ngulo en tabla No 5

tenemos cos 45 = 2

siendo el signo negativo (ver tabla No 6).2

signo (2 cuadrante)tan 135 =

tan135

= tan 45 tan 45

1 (ver tablas 5 y 6).

[B] El ngulo 210. El ngulo del primer cuadrante ser 210 180 =30

sen 210

signo

=

(3 cuadrante)sen 30 =

1

sen 210

=sen 30 2

cos 210 signo

=(3 cuadrante) 3

cos 30 = cos 210

= cos 30 2

tan 210

signo +=

(3 cuadrante) 3+ tan 30

tan 210 = tan 30 3

[C] El ngulo 22/3. El ngulo del primer cuadrante ser:

22

71

+ 4.22

2

=

3

sen 22

3

=sen 2

3 3 3

=sen 3 3 3

cos 22

= cos 2= cos

3 3 3

tan 22 =tan 2= tan

3 3 3

2.1.2. Funciones Trigonomtricas de

Un ngulo coterminal, como se dijo se encuentra sumando o restando 360 en el

sistema sexagesimal o 2 en el circular. As tenemos que 490 y 130 son coterminales


57/224

porque 490 - 360 = 130. En general, dos ngulos y son coterminales si:

- 40 -



58/224

= n360 = (2)n

Al mismo tiempo, ste tipo de ngulos nos permiten evaluar funciones trigonomtricas

para cualquier ngulo.

Sea un ngulo situado en el origen de (X,Y) r

coordenadas cuyo lado terminal est definido

por el punto (x, y) fuera del origen.

La longitud del radio vector puede ser obtenida

Con el teorema de Pitgoras:

r= X2 +Y2

2.1.2.1. Funciones Trigonomtricas de

Se dice que dos ngulos son opuestos o simtricos cuando tienen igual valor absoluto y

signo contrario, se verifica que: dado el ngulo su opuesto es

sen ()

=sen

cosec ()

= cosec

cos ()

= cos

sec ()

= sec

tg()

=tg

cotg()

=cotg

Observando estas igualdades podemos decir que:

Las funciones trigonomtricas de dos ngulos opuestos o simtricos son iguales

en valor absoluto y de signo contrario, con excepcin del coseno y la secante

que son iguales en valor absoluto y en signo.

EJERCIC

[A] El ngulo 300. El ngulo del primer cuadrante ser 300 360 =60


59/224

- 41 -



60/224

sen 300 signo

=sen(60 ) =(4 cuadrante) 3

sen 60 =sen (60 ) =sen 60 2

signo + (4 cuadrante) 1cos 300

= cos(60 ) =cos(60 ) = cos 60

2

signo (4 cuadrante)tan 300

= tan( 60) =tan (60 ) = tan 60

tan 60 3

[B] Sea el punto ( 4,3) el punto del lado Terminal del ngulo . Encuentre el seno,

coseno y tangente de .

Cuantificando la longitud del lado terminal

Con x = - 4, e y = 3

(-4,3) 3

r= (4)2

+ 32 25 = 5 -4Con stos valores de r, x e y, podemos escribir:

sen =y

=3

; cos=x

= 4

=4

; tan =y

=3

=3

r 5 r 5 5 x 4 4

[C] Dado el punto ( - 5, - 12), terminal del ngulo , hallar el ngulo de referencia y el

valor de las funciones trigonomtricas de .

Ya que el punto est en el tercer cuadrante, cuantifiquemos el lado terminal con x = - 5

e y = - 12.

r= (5)2 + (12)2

25+ 144

169 =13 (r siempre es positivo).

Las funciones trigonomtricas son:

sen =y

= 12

=12

; cos=x

= 5

=5

; tan =y

= 12

=12

r 13 13 r 13 13 x 5 5

Despejando para saber cual es su valor:

sen=12 =invsen12 =67.38013505 Angulo

13

13

- 42 -


61/224



62/224

cos= 5

13=invcos

5 = 112.6198649

13

ngulo de

referencia

tan=12 =invtan12 = 67.38013505 (-5,-12)

5 5 Para cuantificar el ngulo de referencia solo consideraremos los valores positivos de x e

y ( cuando el ngulo no est en el primer cuadrante o sea negativo, entonces se suma

360 para hallar un ngulo coterminal que ser positivo). As:

=invsen12 = 67.38013505 13

=invcos 5 = 67.38013505 13

=invtan12 = 67.38013505 5

Como el punto est en el III cuadrante, entonces de = 180, se obtiene = +

180, es decir = 67.38013505 + 180 = 247.3801351 que es el ngulo buscado.

[D] El ngulo 800. El ngulo del primer cuadrante ser:

880=880+3360 =200 200 180 =20

signo (1 cuadrante) sen (880 )

cos (880)

tan (880)

=sen 200 =sen (20 )=

= cos 200= cos 20

= tan 200=+ tan 20

sen 20sen 20

Para calcular el ngulo de referencia = inv sen (y/x) con x>0 ey> 0, determinar el cuadrante en el que est el lado terminal,luego utilizar: = 180 - si est en el II cuadrante.

= 180 + si est en el III cuadrante. = 360 - si est en el IV cuadrante.

2.2. Anlisis TrigonomtricoPara realizar un anlisis trigonomtrico debemos definir previamente las funciones


63/224

trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos.- 43 -



64/224

El seno de la suma de dos ngulos es igual al producto del seno del pri

2.2.1. Funciones Trigonomtricas de laSuma y Diferencia de Dos ngulos

mero por e l

coseno del segundo ms el producto del coseno del primero por el seno del segundo

sen (+) = sencos + cos sen

Por lo que la diferencia ser:

sen () = sen cos cos sen

El coseno de la suma de dos ngulos es igual al producto del coseno del primero por el

coseno del segundo menos el producto del seno del primero por el seno del segundo.

cos (+) = coscos sen sen

Por lo que la diferencia ser:

cos () = cos cos +sen sen

La tangente de la suma y diferencia de dos ngulos es:

tan (+) =tg+tg

; tan () =tgtg

1tg tg 1+tg

tg

Cotangente de la suma y diferencia de dos ngulos posee las siguientes definiciones:

cotg (+) =cotg cotg1

; cotg () =cotg cotg+1

cotg + cotg cotg cotg

- 44 -



65/224

2.2.2. FuncionesTri onomtricas de n ulo

Este tipo de funciones trata de la multiplicacin de arcos, el cual consiste en: Conocidas

las funciones trigonomtricas de un arco, hallar las de un arco mltiplo. Es decir; una

vez que se conocen las funciones trigonomtricas de la suma de dos ngulos, se

pueden determinar las definiciones del ngulo doble igualando = . As por ejemplo:

El Seno del duplo de un ngulo dado, siendo el arco dado, ser:

sen (+) = sencos + cos sen pero ya que = entonces,

sen (+) = sencos + cos sen ello nos provee la definicin,

sen 2 = 2sen cos

El coseno del duplo de un arco dado, siendo el arco ser:

cos (+) = coscos sen sen igualando = tenemos:

cos (+) = coscos sen sen desde luego que esto es:

cos 2 =cos 2 sen 2

Para la tangente del duplo de un arco dado, siendo el arco por definicin de tan 2

ser:

tan (+) =tg+tg

si igualamos = conseguimos,1tg tg

tan (+) =tg+tg

esto implica obtener una nueva definicin.1tg tg

tg 2 =2 tg

1tg 2

- 45 -



66/224

2

Finalmente la cotangente del duplo de un arco dado puede ser obtenida previa

igualacin de = como:

cotg(+) =cotg cotg1

cot

g

(+)=

cotg cotg1

cotg+ cotg cotg+ cotg

Entonces:

cotg 2 =cotg 1

2 cotg

2.2.3. FuncionesTambin denominadas funciones trigonomtricas del triple de un arco dado, entre las

que tenemos, las funciones del sen, cos, tg, cotg. Sintetizamos stas funciones en la

tabla No 14.

TABLA No14

Seno del triple de un ngulo dado sen 3 =3sen cos2 sen 3

Coseno del triple de un arco dado cos 3 = cos 33sen 2cos

Tangente del triple de un arco dado3 tg tg3

tan 3 =1 3 tg2

Cotangente del triple de un arco dado cotg3 3 cotgcotg3 =

3 cotg2 1

2.2.4. Funciones del

- 46 -


67/224



68/224

Tambin denominadas funciones trigonomtricas del cuadruplo de un arco dado, las

cuales se derivan considerando las funciones relativas al arco duplo, entre las que

tenemos, las funciones del sen, cos que sintetizamos en la tabla No 15.

TABLA No

15

Seno del cuadruplo de un arco

dadosen 4 = 4sen cos3 4sen 3cos

Coseno del cuadruplo de un arco

dadocos 4 = cos 46 cos 2sen 2+sen 4

2.2.5. Funciones

Estas funciones son obtenidas aplicando las frmulas relativas al arco duplo, as

tenemos las funciones de arco medio del: sen, cos, tg. Entonces la funcin de arco

medio del seno es:

sen

=2

1cos2

Siendo el arco dado, la definicin de cos /2ser:

cos

=2

1+cos2

Finalmente la funcin de arco medio de la tangente es:

tg

=2

1 cos1+ cos

2.2.6. Transformaciones de Sumas y Diferencias aProducto

Generalmente se deben transformar en productos (multiplicacin) expresiones donde

figuran sumas o restas las cuales no son directamente calculables por logaritmos,

- 47 -


69/224



70/224

cuando las sumas o diferencias indicadas estn constituidas por funciones

trigonomtricas. Entonces; para transformar en producto la suma o diferencia de dos

senos operamos:

sen (+) = sencos + cos sen

sen () = sen cos cos sen

Sumemos y restemos entre si ambas igualdades

sen (+)+sen()=

2sencos

sen (+)sen()=

2 cos sen

Reemplazando + porp y - porq entonces:

sen p+sen q = 2sencos

sen p sen q = 2 cossen Por otro lado resolviendo el sistema de ecuaciones

+ = p

= q 2= p +q =p +q2

= p q2

Luego, la suma de senos es igual a dos seno de la semisuma coseno de la semi

diferencia:

sen p + sen q =2senp+q

cos

p q2 2

La diferencia de senos es igual a dos seno de la semi diferencia coseno de la semi

suma.

senp sen q =2sen

pqcos

p +q

2 2

Para transformar en producto la suma o diferencia de dos cosenos operamos de

manera similar al caso de los senos.

cos (+) = coscos sen sen

cos () = cos cos +sen sen

Sumando y restando entre si ambas igualdades


71/224

- 48 -



72/224

cos (+)+cos ()=

2 coscos

cos (+)cos ()=

2sen sen

Ello, desde luego posibilita que obtengamos.

cos p+cosq=2 coscos

cos p cos q =2sensen

Por tanto, la suma de cosenos es igual a dos coseno de la semisuma, coseno de la

semi diferencia:

cosp + cos q =2 cosp +q

cosp q

2 2

La diferencia de cosenos es igual a menos dos seno de la semi suma, seno de la

semi diferencia.

cosp cos q =2senp+q

sen2

pq2

La transformacin en producto de la suma o diferencia de dos tangentes se define

como:

tgp + tg q =sen(p +q)

tgp tg q =sen(p q)

cosp cosq

cosp cosq

La transformacin en producto de la suma o diferencia de dos cotangentes es:

cotgp + cotg q =sen(p +q)

cotgp cotg q =sen(p q)

sen p sen q sen p sen q

Transformando en producto la suma o diferencia de dos secantes tenemos:

2cosp+q

cosp

q2

sen

p+qsen

pq


73/224

secp + secq= 2 2cosp cosq

secp secq= 2 2cosp cosq

- 49 -



74/224

Para transformar en producto la suma o diferencia de dos cosecantes utilizamos

2senp +q

cosp q

2sen

p qcos

p +q

cosecp + cosec q= 2 2sen p sen q

cosecp cosec q= 2 2sen p sen q

Recapitula ahora acerca de todo lo escudriado anteriormente con la ayuda del cuadro

para recordar.

PARA RECORDAR

Para realizar un anlisis trigonomtrico debemos definir previamente lasfunciones trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos.

Operaciones con ngulo doble consiste en que una vez que se conocen

las funciones trigonomtricas de la suma de dos ngulos, se pueden

determinar las definiciones del ngulo doble igualando = .

Las funciones del cuadruplo de un ngulo, tambin denominadas

funciones trigonomtricas del cuadruplo de un arco dado, se derivan

considerando las funciones relativas al arco duplo.

Una vez que hiciste memoria acerca de la teora de exponentes, es menester que

pases a otra etapa para que aprendas o pienses mucho mejor.

REFLEXIONA SOBRE EL TEMAPor qu es necesario tratar el tema de la

reduccin de un ngulo al primer cuadrante?

- 50 -



75/224

A C T I V I D A D E SObserva stos ejercicios. Luego, halla sus resultados

[A] i) Simplifica (sen + cos )2 ; ii) (1 secx) (1 + sec )

iii) Simplifica y desarrollacosA

+senA

senA cosA

[B] Factoriza y simplifica i) tg2csc2tg2

ii) sen 3x cos3x

iii)cosec

4x 1

cotg2x

iv)tg+tgcotg2

1 +tg2

[C] Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes en trminos de cos

i) secsen tg ii) cot2

csc2

sec

iii) cot tgsen2

2sencot

[D] Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes en trminos de sen

i) senseccotg cos2

ii)(1cos)(cos+1)

iii)sec

2tg2

cosec cosec 2


76/224

- 51 -



77/224

UNIDAD 3 Identidades y EcuacionesTrigonomtricas

OMPETENCIAS DE LA


Comprende y utiliza las identidades para simplificar expresiones que contengan

funciones trigonomtricas;

Resuelve y aplica la resolucin de tringulos rectngulos a problemas de la vida

real;

Realiza clculos de distancias sin tener que medirlas directamente;

Usa la ley de senos para calcular lados y ngulos de un tringulo oblicungulo.

3. Identidades y Ecuaciones

Ecuacin Trigonomtrica

Es una igualdad que contiene una o ms funcionestrigonomtricas de ngulos desconocidos, y que no

se verifica ms que para ciertos y determinados

valores

de dichos ngulos.

EJEMPL

Sea la igualdad sen x = 1

No se verifica para x = 0 porque sen 0 1, sino que sen 0 = 0. Tampoco se verifica

para x = 30 ni para 45, 60 , etc., se verifica en cambio parax = 90, puesto que

- 52 -



78/224

sen 90 = 1. La igualdadsen x = 1, es, pues, una ecuacin de la que una de las races es

x = 90.

As, las ecuaciones trigonomtricas con una incgnita admiten un nmero infinitode races, porque si un ngulo, x = , es una de las races, tambin lo son todos los

ngulos congruentes con el respecto del mdulo 2.

3.1. Identidades

Identidades Trigonomtricas

Son igualdades, establecidas entre dos expresiones

trigonomtricas, que se satisfacen para cualquier

valor de los ngulos que en ellas figuran como

argumentos.

Son identidades trigonomtricas las frmulas fundamentales expresadas anteriormente,

puesto que ellas son vlidas para cualquier valor del ngulo argumento. Tambin son

las igualdades cuyos dos miembros son una misma expresin trigonomtrica, tales

como:sen = sen ; cos tg = cos tg ; etc.

Hay identidades que no parecen tales a primera vista, por tener sus dos miembros

distinta forma. En esos casos se las pone en evidencia reduciendo sus dos miembros a

una misma expresin trigonomtrica, para lo cual se hacen las situaciones permitidas

por las relaciones fundamentales o se efectan las operaciones indicadas en cada uno

de los miembros.

Verificar una identidad trigonomtrica significa, reducir sus dos miembros a una misma

expresin.

- 53 -



79/224

3

EJEMPL

[A] Verificar la identidad:1

1sen2

1

=1cosec

21

Transformando el primer miembro, se tiene:

1

cos2

1

1 1

= 1 1

cos2

1

1 sen2

= 1 1

cos2

1

cos2

= 1 prosiguiendo,

sen2 sen

2sen

2

1

cos2

sen2cos

2

1sen2= 1

cos2

= 1 cos2 =1

cos2

1 =1

[B] Verificar la identidad:

1

1sen 1

1+sen = 2 sec2

1+sen+1sen

(1sen ) (1+sen )

= 21

cos2

2

1sen 2

=2

cos2

2

=cos

2 2

cos2

3.1.1. DemostracinA continuacin demostremos algunas identidades trigonomtricas disponiendo de las

relaciones fundamentales y derivadas en trigonometra.

EJERCIC

[A] Demostrar: Cos (2A) =Cos2 ASen2A

cos (2A) =cos(A+A) cosA cosA senA senA cos2 Asen2A

[B] Demostrar: tan (3A) =3 tanA tan A

1

3 tan

2

A

tanA+ tanA

2 tanA+ tanA(1tan2 A)

tan(3A)=tan(2A+A)tan(2A)tanA

1 tan2A 1 tan

2A

1tan(2A) tanA

12 tan

A tanA 1tan2

A2tan2 A

2 tanA + tanA tan 3A

1 3 tan

2

A

3 tanA tan

3A

1 3

tan2A


80/224

1tan2 A 1tan2 A

A +B A B [C] Demostrar: senA +senB =2sen cos si tenemos que: a + b = A; a b=B 2 2

- 54 -



81/224

2 2

22

1

1

Resolviendo el sistema:a +b =A

a b =Btenemos:

2 a =A +B a =A +B

2adems si tenemos a b =B

A +Bb =B

2

A +Bb =B

2

A +BB =b b =

2

A Bluego:

2

sen(a +b) =sena cosb + cos asen

b sen (ab)=senacosb cosasen b

sen(a +b) +sen (a b) = 2sen acosb

sumando ambas ecuaciones obtenemos:

Ya que a + b = A; a b = B adems a = A +B2

y b =A B

2luego se demuestra que:

A +B

A B

senA +senB =2sen cos 2 2

[D] Demostrar: tanA tanB =sen (AB)cos AcosB

tanA tanB =sen A

sen B

senAcosB cos A sen B

tanA tanB =sen (A B)

cos A cosB cos AcosB

cos A cosB

[E] Demostrar: cosA

=2

1+ cos A

2

siendo que cos 2a = 2 cos2 a 1 si tenemos: a = A/2

cos2A

=2cos2

A12cos2

A A=1+ cos A cos =

1+cosA

2

2

2 2 2

[F] Demostrar:sec

2x 1+

cot x cosec x 1=(1+cotx) (1senx cosx)

sec2x(1+ cot2

x)cosecx cosec

2x

1 1 cos

2x

2

1 1

cos x+

sen x sen x=1+

cos x(1sen x cosx)

1 1+

cos2x 1

2

sen x

2

cos2x

sen 2x

sen x sen x

1 cos 2

x2

1 sen 2x2 2

+ cos x+

sen x cos x sen x=

sen x cosx(1 sen x cosx)


82/224

1 sen 2x + cos2 x

sen2x sen x

cos

2x

sen

2x sen

2x

- 55 -



83/224

sen2x

cos2x

1cos

2

x+senx

cos2

xsen2

x

1

sen x sen 2xcosx + cosx sen cos 2

x=senx

cos2x sen

2x sen

2x

sen 4xcos2x

cos2x

cos 2x+senx

sen 2xcos2

xsen2x

sen x sen 2xcos x + cos x senx(1sen 2x)=

senx

sen2x+ cos

2x

cosx =sen x (1

cos

2x) cosx + cos x sen +sen 3x

senx senx

sen3x+cos3

x

sen x cosx(1cos2x) + cos x sen +sen 3x

=senx senx

sen3x +cos3

xsen x cosx+cos3x + cos x senx+sen 3x

=senx senx

sen3x+cos3

x

sen3x+cos3x

=

sen x

cotgx

senx

1+senx+

1senx =2cos[G] Demostrar

1senx 1+senx

ec x

cosx

1+senx+

1senx =2 cosec x cosx

(1+senx)2

+(1

senx)2

=2 cosec x

sen x 1senx

1+senx

sen x 1senx2

cos x 1+

senx +1

senx =2 cosec x

2 cosx=2 cosec x

2= 2 cosecx

sen x cos2x sen x cosx sen x

21

sen= 2 cosec x

x2 cosec x =2 cosecx

cos 4xsen 4x

=

4

[H] Demostrar:


84/224

1 tg4x cos x

(cos 2x+sen 2x)(cos 2xsen 2x)= cos4 x

cos2xsen 2x

= cos4 xsen

4x

1cos

4x

cos4xsen4xcos

4x


85/224

- 56 -



86/224

4cos

4

x (cos2x sen 2x)

= cos4 x cos x (cos

2x sen 2x)

= cos4 x(cos

2x +sen 2x)(cos 2x sen 2x) cos 2x sen 2x

cos4x = cos4 x

3. 2. Resolucin deEcuaciones Trigonomtricas

Para resolver una ecuacin trigonomtrica con una incgnita se emplea, en general, el

mtodo siguiente:

1. Se adopta una de las funciones trigonomtricas del ngulo, que figuran en la

ecuacin, como incgnita auxiliar.

2. Se escriben todas las dems funciones trigonomtricas que contienen al ngulo

desconocido, en funcin de la que se eligi como incgnita auxiliar. De esta

manera la ecuacin trigonomtrica se habr convertido en una ecuacin

algebraica con una incgnita.

3. Se resuelve la ecuacin obtenida, por los procedimientos conocidos en lgebra.

Se obtiene as para la funcin elegida como incgnita auxiliar, un valor que ser

igual al de la misma funcin de un ngulo conocido.

4. El ngulo conocido ser una raz probable de la ecuacin.

5. Se verifica dicha raz en la ecuacin dada, desechndola si no satisface.

EJERCIC

1. Resolver las ecuaciones.

[A] sen x + cos x = 1

Elijamos como incgnita auxiliar a sen x, y escribamos la otra funcin, cos x, en funcin

del seno, con lo que obtendremos la ecuacin algebraica:

sen x 1 sen 2x = 1 en la que la incgnita es sen x.

Para resolver esta ecuacin algebraica aislemos el radical: 1 sen 2x = 1 sen x

elevando al cuadrado: 1sen x = 1 2senx +sen2

x

transponiendo

- 57 -



87/224

2

1 1 =2senx +sen2x +sen2

xo bien 0 =2senx + 2sen2

x

lo que es una ecuacin

incompleta de segundo grado. Factorizando se tiene:

2sen2x 2senx = 0 2senx(senx 1) =0 Por lo que tenemos:

2senx(senx 1) = 0

2senx = 0 senx 1 =0

x = 0

y comosen 0 = 0 se tendr:

O sino senx 1 = 0 sen x =1 ya que sen 90 = 1 tendremos

x = 90

Verificando:

Para x = 0 se tiene la identidad sen 0 + cos 0 = 1 entonces 0 + 1 = 1 Es cierto!Para

x = 90 se tiene la identidad sen 90 + cos 90 = 1 entonces 1 + 0 = 1 Es cierto!Luego

la ecuacin admite las races = {0 , 90} a cada una de las cuales corresponde

un nmero infinito de races congruentes respecto a 2 .

1.Aplicando funciones inversas resolver:

[B] 3 tan2x + 1 = 10

3 tan2x = 9 tan2 x =

9tan2 x = 3 tanx

=3

3 x =arctan 3 =tan1 3 x =60

[C]5 arctan

3

x +1=6

5 arctan3 x + 1 = 6 arctan

3

x =6 1

arctan 35

x =13 x =tg13 x =1.56

x =(1.56 )3 x =3.78

[D] cotx tg

x =1

Luego

cos x

sen x= 1

cos x sen 2x= 1

cos2x= 1

2 cos2x= 1 2 cot 2x =1

senx cos x (sen x)(cosx) 1sen 2x

2

sen 2x

cot 2x =1

2x =arccot1

x =1arccot

1x =

1arctan 2 x = 31.72

2 2 2 2 2

2. Resolver las ecuaciones trigonomtricas

[E] Resolver: cotx 2

sen

2x = 1


88/224

- 58 -



89/224

cosx2

sen2x = 1

cosx 2sen

2x

senx =1cosx 2sen

2x senx =sen x

sen x sen x

cosx senx = 2sen 2x

sen x cosx senx = 21[cos(2xx) cos(2x +x)]

2

cosx senx = cosx cos 3x senx

= cos3x

senx = cos3x

ya que:

cos

a=sen

2a

sen

x =sen 3xx = 3x 4x =

x =

2 2 2 8

sen 2x cos ecx[F] Resolver:

tgx cotgx secx = 1

2senxcosx1

tgx1 1

sen2x

cosecx tgxcotgx secx

tgx

=1senx

tgx

tgx cosx=1

2cos2

x1c o sxsenx

cosx

=12cos

2

x 1 =senx 2(1sen2x) 1senx =0

22sen2x1senx = 0 2sen2x+senx 1=0

senx = 1

1 4 2 (1)

2 2

1

3

4

por tanto se obtienen dos posibles

soluciones sen x = -1 ; sen x = de esto podemos deducir:

x =arcsen (1) x =arcsen 1

x =270

x =32

x =30

x =6

2

[G] Resolver:


90/224

4sen2x tgx4sen2x3tgx+3=0

- 59 -



91/224

3

4sen2x(tgx 1)3(tgx+1)= 0 (tgx 1)(4sen2x

3)=0

obtienen dos posibles soluciones las cuales son:

de esto se

tgx 1 = 0 tgx =1x =arctg(1) x =45

para la segunda alternativa

tenemos: 4sen2x3= 0 sen2x

=

3senx =

4

3

4desde luego que

existen dos soluciones:

x =arcsen 3

arcsen +3

4 4arcsen

3

4y estas soluciones son:

x = 60 v x = 300

[H] Resolver: 8sen6x+ 3cos2x +2 cos4x +1=0

8(sen2x)

3 + 3cos2x +2 cos4x + 1=0

1

8

cos 2x 2

+3cos 2x +2(12sen2 2x) +1=0

Siendo que: cos2A = 1 2sen2 A

(1

8

(1

8

cos(2

2

cos(2

8

x))

x))

3 + 3 cos 2x + 2(1 2(1 cos2 2x)) + 1 = 0

3 + 3 cos 2x + 2(1 2 + 2 cos2 2x) + 1 = 0

13 +3cos 2x + 3cos2 2x cos3 2x +3cos 2x +2(2 cos2 2x 1) +1=0

1+3 cos2 2x cos3 2x +4 cos2 2x 2 +1= 0 7 cos2 2x cos3 2x =0

cos2

2x(7 cos 2x) =0 cos2 2x = 0 7 cos 2x =0

cos 2x = 0 2x = arccos0 2x = 90 x =45

cos2x = 7 2x =arccos 7 1


92/224

[I] Sea la ecuacin trigonomtrica: sen3x cosx sen x cos3x =

1

4

- 60 -



93/224

EJERCIC

2

2

2

2 2

senx cosx(sen2x cos

2x) =

1senx cosx(sen2 x cos2 x) =

1

sen

2x 1cos 2x =

4 4 2 4

sen 2x cos

2x=

1

sen 2(2x)=

1

sen

4x=

1sen 4x = 1 (1)

2 4 2 2 4 4 4

sen 4x =1 4x =arcsen (1) 4x =32

x =38

3.2.1. Sistemas deEcuaciones Trigonomtricas

Para resolver un sistema de dos ecuaciones trigonomtricas con dos incgnitas se

utilizan los mismos principios de los sistemas de ecuaciones algebraicas.

[A] Resolver el sistema de ecuaciones:

x +y x +y 1cos cos =

2 2 2

cosx cosy =1

4

Realizando transformaciones en la primera ecuacin:

x +y x y 1 x +y +x y x +y x +y cos cos = cos + cos 2 2 2 2 2

+ + cos

x y xcos

y =

1cos

2x+cos

2y cos

x y xcos

y =

1[cosx +cosy]

2 2

2

1[cosx+cosy]

=2

1 cosx+ cosy =

2

2 cosx + cosy = 1

2

Luego el sistema de ecuaciones viene a ser:

cos xcos x

cosy =1

cosy =1

4


94/224

Despejando cos x en la ecuacin (1) por lo que: cos x = 1 cos y

- 61 -



95/224

Sustituyendo ste valor en la segunda ecuacin:

cosx cos y =1

(1 cos y)4

cos y =1

cos y 4

cos2y =

14 cos y 4cos2 y =

14

4 cos 2 y+4cos

y1=0 (1) 4 cos 2 y4cos

y+1= 0 (2 cosy 1)2 =0

2 cosy 1=0

2 cosy =1 cosy =1

2

y =arcos1

2y =

3

Sustituyendo el valor de y en cos x = 1 cos y

cos x =1 cos3

cos x =1 cos 60cosx =1 0.5 cos x = 0.5 x =arccos(0.5)

x =3

[B] Resolver el sistema de ecuaciones:

t

g

x+y =

x+tg

4

y =1

Realizando transformaciones en segunda ecuacin tenemos:

senx+

sen y=1

sen xcos y + cos xsen

y= 1 pero

cosx cos y cos x cos y

sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y

sen (x +y)=1 pero: cosxcosy=

cos (x +y) +cos

(x

y)

cos xcos

sen

y

(x +y)=1

2sen

2

(x +y)= 1pero:x +y =

cos(x +y) +cos (x

y)

2

cos(x +y) +cos (x

y) 4

2sen4

= 12sen

=cos

+ cos(x y)


96/224

cos4

+cos (xy) 4 4

cos(x y) =2sen4

cos4

ya que sen4

- 62 -

=cos

=2

4 2



97/224

4

cos(x y) = 22

2

2cos(xy) =

22

2

2cos(xy) =

2 2 22

cos(x y) =2

x y2

= arccos2

2x y =

4

Conformando el nuevo sistema de ecuaciones tenemos:

x+y = xy = 4

+ 2 Luego, tenemos: 2x = + 2x =

4 4x =

4x =

8 4

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuacin:

x +y =

4 4+y =

y

4=

4 4

y = 0 y =2

[C] Resolver el sistema de ecuaciones:

2 coscos=1 tg+tg=2

Realizando operaciones en la segunda ecuacin:

sen+sen = 2 sencos+ cossen =2sencos+ cossen=2cos

sencos cos cos sen

sen(+) =2cos sen sen(+) = 1 + =arcsen 1 + =90

De ello podemos determinar que = 90 -

Reemplazando en ecuacin primera:

2cos(90) cos

=12(cos90cos+sen90 sen ) = 12(cos

sen ) =1

sen2 =12

=arcsen1 2 =90 =90

2

=45

De ello obtenemos el valor de alfa:

= 90 - 45 entonces = 45

- 63 -


98/224



99/224

3. 3. Resolucin deTringulos Rectngulos

Resolver un tringulo es calcular los elementos desconocidosdel mismo en funcin de los que se conocen y que, para ello, esnecesario y suficiente conocer tres elementos, entre los cualesfigure, por lo menos, un lado.

Ahora bien, cuando se tratan de tringulos rectngulos, uno de los elementos, el ngulo

recto, es conocido a priori; luego para obtener los otros tres datos, bastar conocer

otros dos elementos que podrn ser dos lados o bien un lado y un ngulo agudo. Para

la resolucin de ste tipo de tringulos se hace uso de las siguientes relaciones antes

definidas:

B

b = a sen b = c tg

c = a sen c = b tg

a c b = a cos

c = a cos

b = c cot

90 c = b cot

G b A

Los tres lados de un tringulo rectngulo estn relacionados por el Teorema de

Pitgoras, el que posibilita escribir:

a=b2 + c2

- 64 -



100/224

Sabemos que, en todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos,

empero, si el tringulo es rectngulo:

+ = 90

3. 3.1. Definicin de la

En las aplicaciones interesa especialmente el rea. Para un tringulo cualquiera, la

definicin general es:

S=base altura

2

3. 3.2. Casos

Cuando los datos son elementos principales del tringulo, los casos que pueden

presentarse son:

Resolver un tringulo rectngulo conociendo la hipotenusa y un ngulo agudo

EJERCIC

[A] Resolver el tringulo rectngulo cuyos elementos conocidos son: a = 216.75 m.

= 530749

Calculo de:

ac + = 90 = 90

por lo

queb

90 =8959'60''

=5307'49''

Entonces:

90=8959'60' '5307'49' '

= 3652'11''

- 65 -


101/224



102/224

[B] Cul es la longitud de la sombra proyec

Clculo de b. usemos

cos =b

b =a cos a

b = 216.75 cos 5307'49'' b = 130.05 m.

Cmputo de c:

sen =c

c =a sen a

c = 216.75sen 5307'49' ' c = 173.4 m.

Clculo de la superficie:

S=base altura

b

c

2 2

130.05

173.42

22550 .

67

2

=11275 .34 m2

tada por un rbol de 120 m de altura

cuando el sol se elev 30 sobre el

horizonte?

tg30=120

x =120

x tg 30

x =120

x = 207.85 mtg30

[C] Desde la orilla de un ro, observamos la copa de un rbol situado en la otra orilla,bajo un ngulo de 60. Si nos retiramos 10 m de la orilla, el ngulo de observacin es

de 45. Calcular la altura del rbol y la anchura del ro.

tg60 =x

= 3y

x= 3y

tambin tangente de 45 ser:

tg45 =x

y + 10= 1 reemplazando el valor de x

- 66 -


103/224



104/224

y 3=1y 3 =y + 10

y3 y = 10 y(

3 1)= 10 y =10

=13.66m

y+10por tanto la anchura del ro es 13.66 metros.

3 1

x= 3y

13.66

3 (13.66)(1.73) 23.66 m

Por tanto la altura del rbol es 23.66 metros.

Resolver un tringulo rectngulo dados un cateto y un ngulo agudo

EJERCIC

[A] Desde lo alto de un faro cuya altura sobre el nivel del mar es 38.4 m., el ngulo de

depresin de un yate es de 15. A qu distancia del faro est el yate?

15 Como tg = cateto opuesto / cateto adyacente

38.4tg15 =

38.4

d

d= 142.22 m.

d=38.4

tg15d =

38.4

0.27

15 El faro est a 142.22 m., del yate.

d

[B] Cul es la altura de una casa de estilo chino de 5 micro pisos si se extiende unabincha en sentido horizontal desde su base unos 8 m., formando un ngulo de 70,2

con el techo del micro piso quinto.

Ya que:

h cos=b

c c =

b

cosc =

8

cos70.2

c =8

0.34c = 23.53 m

70.2 sen =hc

h =c senh =23.53sen70.2

8 m h = 22.14 m.

Por tanto la casa de estilo chino posee una altura de 22.14 m.

- 67 -


105/224



106/224

[C] Encontrar la altura de un rbol si el ngulo de elevacin de su extremo superior

crece desde 25 hasta 50 cuando un observador avanza 90 m., hacia el pie del rbol y

encontrar la distancia del observador en ese instante.

Del tringulo ADC obtenemos: tg25 =h

90 +xy del D

tringulo BDC tenemos tg50 =hx

de ac

despejamos x logrando x=h

tg50

que sustituimos en la primera ecuacin. 25 A

tg25 =h

90 +h

entonces: B C

tg25 =

tg50

h

90 tg50 +htg50

h tg50

90 tg50 +h

multiplicando tg25 (90 tg50 +h) =h tg 50

90 tg25 tg50 +h tg25 =h tg50 entonces 90 tg25 tg50 =h tg 50 h tg 25

90 tg25 tg50 =h (tg50 tg25)

despejando h tenemos:

h =90 tg 25 tg50

tg50 tg25

(90)(0.47)

(1.19)1.19 0.47

Luego: h =50.34

0.72

69.92 m.

Resolver un tringulo rectngulo dados un cateto y la hipotenusa

EJERCIC

[A] Si cos = 0.3 y 0 < < 90. Calcular: P = tg+ 3 sen

Realizando la conversin de un nmero decimal a un nmero racional o fraccionario:

0.3 = 3/10 luego cos = 3/10 = cat ady. / hipot = b / a. Computemos el lado cporPitgoras:

a c a2 =b2 +c2 c2 =a2 b2 c

=a

2 b2 c=

102 32

c = 100 9 c = 91

b

- 68 -


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108/224

Reemplazando en P = tg + 3 sen tenemos P=91

+391 10

91 + 9 91

por tanto P=10 91 +9 91

19 91

3 10 30

30 30

[B] Encontrar la base y la altura de un tringulo issceles cuyo ngulo del vrtice mide

65 y cuyos lados iguales miden 415 cm.

65 + + =180

65 + 2 = 180

= 115 / 2

= 57.5

57.5 57.5

b / 2 b / 2

Considerando un tringulo rectngulo:

Clculo de la altura: Clculo de la base:

sen 57.5 = h / 415 cos 57.5 = b/2/415

h = 415 sen 57.5 415 cos 57.5 = b/2

h 415 h = 350 2 x 415 cos 57.5 = b

b = 446

b/2

57.5

Resolver un tringulo rectngulo dados los dos catetos

EJERCIC

[A] Calcular el permetro del tringulo rectngulo; si cot = 12/5

Ya que cot=12

=catady

=b

calculando a por ela c

5 cat op c

Teorema de Pitgoras

a2 =b2 +c2

b a = c2 +b2 a =

- 69 -

122 + 52 a

=144 + 25 a =13



109/224

2

= 2 1

2

M

Computando el permetro: P = a + b + c entonces P = 12 + 5 + 13 = 30m .

[B] Calculartg si:

a 2 10

2

3Inicialmente debemos reestructurar el tringulo de sta manera:

Luego hallemos el valor de

x2 10

x en el tringulo pequeo

aplicando el teorema de

2 Pitgoras: x2 =(2 10 )2 +32

x 3 Por tanto tenemos:

x2

=(2)

2( 10 )

2

+9

x

2

=(4)(10)

+9

x

2

=40

+9

x

=49

x

=7

En el tringulo mayor tenemos: tg=2 10

2 10

2 10

tg=10

x +3 7 + 3 10 5

[C] Si es un ngulo agudo y: tg=2cos45+tg

45

cosec45cotg45

hallarM = sen cos

Acudamos a la tabla No 5 de la regla Nemotcnica para obtener los valores del ngulo

de 45, y obtenemos:

2

+ 1

tg= 2 1

2 +1=

2 1cat op

cat adydel teorema de Pitgoras obtenemos:

x2 =( 2 + 1)2 +

(

2 1)2 entonces,

x2 +1

x2 =( 2 )2 +

2

2 +1+(

2 )2

2

2 +1

x2 = 2 +2 2 +1+ 2

22 + 1 as tenemos

21

x2 = 2 +1+ 2 + 1 x

=6 =a

Reemplazando estos valores en la propuesta M = sen cos

+ 2 1 (

2 )

2

12


110/224

2 1

M =1

6 6 36 6 6

- 70 -

Mgs. Prof. Jos Luis

trigonome mate 3semestre

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