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Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz"
Apostila de Cálculo
Roseli Aparecida LeandroCristian Villegas
Everton Batista da Rocha
PiracicabaEstado de São Paulo
2012
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Conteúdo
1 Revisão de conceitos básicos 11.1 Um pouco sobre notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 O binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 O triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Funções 52.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Monotonicidade e Paridade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Classificação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Inversão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8.1 Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8.2 Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8.3 Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8.5 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8.6 FunçãoLogarÍtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.7 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.8 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Limite e continuidade 153.1 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Assíntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.1 Continuidade em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7.2 Continuidade em um Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
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ii
4 Derivada 214.1 A Derivada de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.2 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 Derivada de Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.4 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.5 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Aplicações de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas . . . 254.2.5 Concavidade e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.7 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Estudo Completo de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Fórmulas de Taylor e Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Integração 295.1 A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Regra da Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz) . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Funções Beta e Gama 336.1 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1.1 Fórmula de Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2.2 Função Gama para n < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Função Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.1 Definições Recorrentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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Lista de Figuras
2.1 Representação de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gráfico da função f(x) =
√x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa . . 82.4 Gráfico da função f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Gráfico da função f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Gráfico da função f(x) = loga(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10 XXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11 Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
iii
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1
Revisão de conceitos básicos
Neste primeiro capítulo será feita uma pequena revisão de conceitos básicos necessários parao prosseguimento da disciplina.
1.1 Um pouco sobre notação
Simbologia Significado
∧ e∨ ou| tal que∃ existe@ não existe∀ qualquer que seja∅ conjunto vazio∈ pertence6∈ não pertence⊃ contém6⊃ não contém⊂ está contido6⊂ não está contido
1.2 Conjuntos numéricos
N Conjunto dos números naturaisZ Conjunto dos números inteirosQ Conjunto dos números racionaisI Conjunto dos números irracionaisR Conjunto dos números reais
em que
1. N = {0, 1, 2, 3, ...}.
2. Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
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2
3. Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0} .
4. R = (−∞,+∞).
1.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais
R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}R− = {x ∈ R | x ≤ 0}R∗
+ = {x ∈ R | x > 0}R∗
−= {x ∈ R | x < 0}
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
1.4 FatoraçãoDefinição 1.4.1. Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais parcelas num produto dedois ou mais fatores.
1o caso: Fator comum
ax+ bx = x(a+ b)
2o caso: Agrupamento
ax+ bx+ ay + by = x(a+ b) + y(a+ b) = (a+ b)(x+ y)
3o caso: Diferença de quadrados
a2 − b2 = (a+ b)(a− b)
4o caso: Quadrado perfeito
a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)2
a2 − 2ab+ b2 = (a− b)(a− b) = (a− b)2
5o caso: Soma e diferença de cubos
a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
6o caso: Cubo perfeito
a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b) = (a+ b)3
a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = (a− b)(a− b)(a− b) = (a− b)3
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3
7o caso: Trinômio do 2o grau
ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2)
em que r1 e r2 são as raízes da equação ax2 + bx+ c = 0.
8o caso: Um artifício
a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1− a2 =
(a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1− a)
1.4.1 O binômio de Newton
O desenvolvimento do binômio (1+x)n está entre os primeiros problemas estudados e ligadosÀAnálise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos “Elementos de Euclides”,
em torno de 300 a.C. O “Triângulo de Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China,por volta do ano 1300, e antes disso pelos hindus e árabes. O nome coeficiente binomialfoi introduzido mais tarde por Michael Stifel (1486?-1567), que mostrou, em torno de 1550,como calcular (1 + x)n a partir do desenvolvimento de (1 + x)n−1. Sabemos também queo matemático árabe Al-Karaji,fins do século X, conhecia a lei de formação dos elementos dotriângulo de Pascal. Portanto, você pode observar que nem Isaac Newton nem Blaise Pascalapareceram na história até o momento. De fato, o binômio de Newton não foi objeto de estudode Newton.
A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)n.Desenvolvendo o binômio (x+ y)n, n ∈ N, encontramos:
(x+ y)n =n∑
k=0
(
n
k
)
xn−kyk
em que(
n
k
)
=n!
k!(n− k)!,
é chamado coeficiente binomial. Observe que n! = n× (n− 1)× . . .× 3× 2× 1 e 0! = 1. Todapotência da forma (x + y)n , com x, y ∈ R e n ∈ N, é conhecido como binômio de Newton.O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você jáestudou no ensino fundamental. Você aprendeu que:
(x+ y)0 = 1 1 termo(x+ y)1 = 1x+ 1y 2 termos(x+ y)2 = 1x+ 2xy + 1y 3 termos(x+ y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 4 termos
Um dos processos para determinar (x+ y)4 é efetuar o produto (x+ y)3 e (x+ y) que vocêjá conhece e sabe que dá muita “mão de obra”. E se continuar aumentando o expoente dobinômio. Como fica? Em casos como (x + y)7, (2x − y)5 , (x + 2)10, (x − y)n e tantos outros,vamos recorrer à análise combinatória.
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4
1.4.2 O triângulo de Pascal
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade dotriângulo de Pascal: O triângulo de Pascal.
(
n− 1
k − 1
)
+
(
n− 1
k
)
=
(
n
k
)
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que osdescreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui noséculo XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.
11 11 2 11 3 3 1· · · · · ·
(
n0
) (
n1
)
. . .(
nn−1
) (
nn
)
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Capítulo 2
Funções
2.1 Conceitos BásicosDefinição 2.1.1. Seja A e B dois conjuntos, A 6= ∅, B 6= ∅. Uma função definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. Notação:y = f(x).
Esquematicamente:
f : A → B
x 7→ y = f(x)
Figura 2.1: Representação de uma função
Definição 2.1.2. O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B contra-domíniode f e o conjunto I = {y ∈ B|y = f(x), x ∈ A} imagem da função f , também denotado porf(A). Observe que I ⊂ B. Neste material o conjunto B será o conjunto dos números reais.
Observação 2.1.1. Quando não se especificar o domínio de uma dada função, subentende-seque ele seja o conjunto de todos os reais para os quais seja possível definir a função. Assim, odomínio da função f(x) = 1
x−2 é D = {x ∈ R|x 6= 2}, salvo menção contrária.
2.2 Gráfico de uma FunçãoDefinição 2.2.1. Seja f : A → B. O gráfico de f é o conjunto G(f) = {(x, y) ∈ A × B|y =f(x)}, em que A×B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}.
Observação 2.2.1. Como, por definição, a todo x do domínio da função corresponde um únicovalor de y, nenhuma reta vertical pode interceptar o gráfico da função em mais de um ponto.
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Figura 2.2: Gráfico da função f(x) =√x− 1
Exemplo 2.2.1. Seja f(x) =√x− 1. O domínio de f são todos os reais maiores ou iguais a
1, ou seja, D = {x ∈ R|x ≥ 1}. A imagem de f é I = {y ∈ R|y ≥ 0}. Um esboço do gráfico def é dado por:
2.3 Monotonicidade e Paridade de FunçõesDefinição 2.3.1. A função f : A → R é dita
1. estritamente crescente se x < y ⇒ f(x) < f(y) ∀ x, y ∈ A.
2. estritamente decrescente se x < y ⇒ f(x) > f(y) ∀ x, y ∈ A.
3. crescente se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀ x, y ∈ A.
4. decrescente se x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀ x, y ∈ A.
Se uma função f é crescente ou decrescente em A, diz-se que ela é monótona em A.
Definição 2.3.2. Diz-se que f : A → R é uma função par se as seguintes condições estiveremsatisfeitas:
1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.
2. f(−x) = f(x), ∀ x ∈ A.
Observação 2.3.1. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
Definição 2.3.3. Diz-se que f : A → R é uma função ímpar se as seguintes condições estive-rem satisfeitas:
1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.
2. f(−x) = −f(x), ∀ x ∈ A.
Observação 2.3.2. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistemacartesiano.
2.4 Composição de funçõesDefinição 2.4.1. Sejam f : A → B e g : B → C. A função composta de g com f , indicadag ◦ f , é uma função h : A → C dada por h(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.
Observação 2.4.1. Para a existência da função composta não é essencial que o domínio de g
seja todo B, e sim apenas que contenha a imagem de f . Assim, o domínio de g◦f é o conjuntode todos os elementos de x do domínio de f tais que f(x) esteja no domínio de g.
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7
2.5 Álgebra de FunçõesDefinição 2.5.1. Sejam f e g duas funções, D a intersecção não vazia de seus domínios, e λ
um número real. Então:
1. a soma de f e g, indicada por (f + g), é a função definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x),∀x ∈ D.
2. a diferença de f e g, indicada por (f−g), é a função definida por (f−g)(x) = f(x)−g(x),∀x ∈ D.
3. o produto de f por g, indicado por (f×g), é a função definida por (f×g)(x) = f(x)×g(x),∀x ∈ D.
4. o quociente de f por g, indicado por(
f
g
)
, é a função definida por(
f
g
)
(x) =f(x)
g(x),
∀x ∈ D.
5. o produto de λ por f , indicado por (λf), é a função definida por (λf)(x) = λf(x), ∀ ∈ D.
2.6 Classificação de FunçõesDefinição 2.6.1. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é injetora se:
x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) x, y ∈ A.
Consequência 2.6.1. Como consequência da definição pode-se dizer que uma função éinjetora se:
f(x) = f(y) ⇒ x = y x, y ∈ A.
Diz-se neste caso que se estabelece uma correspondência um a um entre o domínio e a imagemde f .
Definição 2.6.2. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é sobrejetora se f(A) = B, ouseja, para cada y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que, y = f(x).
Definição 2.6.3. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é bijetora se for injetora esobrejetora, isto é, se para cada y ∈ B existir um único ponto x ∈ A tal que y = f(x). Diz-seque estabelece-se uma correspondência um a um entre o domínio e o contradomínio de f .
2.7 Inversão de FunçõesDefinição 2.7.1. Diz-se que f : A → B é inversível se existir g : B → A, tal que g ◦ f = IA,isto é, (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ A e f ◦ g = IB, isto é, (f ◦ g)(x) = x ∀x ∈ B. A função g échamada função inversa de f e é indicada por f−1.
Observação 2.7.1. Observar que
1. Uma função f : A → B é inversível se, e somente se, f é bijetora.
2. Se f : A → B é uma função bijetora, então o domínio e o contra-domínio de f são,respectivamente, o contra-domínio e o domínio de f−1.
3. Os gráficos de f e f−1 são curvas simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpa-res, ou seja, em relação a reta y = x.
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8
Exemplo 2.7.1. Considere a função f , definida por f(x) = x2 + 5x − 7 considerando-se queo domínio de f é R e que o contra-domínio de f é R, tem-se que f é não-inversível. Porém,considerando-se, restrições do domínio pode-se tornar a função injetora, e considerando-serestrições do contra-domínio pode-se torná-la sobrejetora. Veja, algumas possíveis restriçõespara o domínio e contra-domínio:
Restrições de domínio e Contra-domínio
Domínio Contra-Domínio
(−∞, xv) (yv,∞)(−∞, xv] [yv,∞)[xv,∞) [yv,∞)(xv,∞) (yv,∞)
A Figura 2.3 apresenta o gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x − 7 com suarespectiva inversa e a reta bissetriz do 1o e 3o quadrantes. Observe o gráfico da restrição coma respectiva inversa exibidos com a mesma cor. No Capítulo ??? você poderá visualizar oscomandos MAPLE utilizados para a exibição do gráfico apresentado na Figura 2.3.
Figura 2.3: Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa
2.8 Funções BásicasPor convenção o contra-domínio de todas as funções é R.
2.8.1 Função Constante
São funções definidas por f(x) = b com b ∈ R. Seu domínio é R é I={c}.
2.8.2 Função Afim
São funções definidas por f(x) = ax + b com a, b ∈ R, a 6= 0. Seu domínio é R e imagem,I = R.
Observação 2.8.1. Observar que:
1. A função afim tem como gráfico uma reta.
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9
Figura 2.4: Gráfico da função f(x) = 1
2. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b) e o eixo das abscissas no ponto(−b
a, 0
)
.
3. Pode-se mostrar que a tangente do ângulo α formando entre a reta e o eixo é igual àconstante a.
4. Se b = 0 a função é denonimada função linear.
Figura 2.5: Gráfico da função f(x) = x− 1
2.8.3 Função Quadrática
É toda função da forma f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Observação 2.8.2. Observar que:
1. Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
2. A parábola que representa a função f(x) = ax2 + bx + c tem concavidade para cimaquando a > 0, e a concavidade para baixo quando a < 0.
3. O vértice da parábola tem coordenadas V(
− b
2a,−∆
4a
)
, em que ∆ = b2 − 4ac
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4. As abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x, se existirem, são dadaspor:
x =−b±
√∆
2a, em que ∆ = b2 − 4ac.
Posições características da parábola no plano cartesiano são dadas por:
1. a > 0 e ∆ > 0
2. a > 0 e ∆ = 0
3. a > 0 e ∆ < 0
4. a < 0 e ∆ > 0
5. a < 0 e ∆ = 0
6. a < 0 e ∆ < 0
Figura 2.6: Gráfico da função f(x) = x− 1
2.8.4 Função Modular
É a função f(x) = |x| ={
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
2.8.5 Função Exponencial
É toda função do tipo f(x) = ax (a > 0, a 6= 1).
Observação 2.8.3. Observar que:
1. O gráfico de uma função exponencial é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
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11
Figura 2.7: Gráfico da função f(x) = x− 1
2. Para resolver as funções exponenciais vale-se da relação:
ax = ay ⇒ x = y
3. Pela primeira observação da função exponencial, tem-se as seguintes relações que auxi-liam na resolução de inequações exponenciais:
Se a > 1 , ax < ay ⇔ x < y
Se 0 < a < 1 , ax < ay ⇔ x > y
Figura 2.8: Gráfico da função f(x) = ax
2.8.6 Função Logarítmica
A função logarítmica, definida em R∗
+, é dada por: f(x) = loga x, a > 0 e a 6= 1, se e só se,af(x) = x.
Observação 2.8.4. Observar que:
1. A função logarítmica é a inversa da função exponencial.
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2. As propriedades da função logarítmica, sendo a > 0, b > 0 e b 6= 1, c > 0 e α ∈ R, são:
(a) logb(ac) = logb a+ logb c
(b) logb
(a
c
)
= logb a− logb c
(c) logb(aα) = α logb a
(d) logb a =loge a
loge b
3. O gráfico é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
4. Para a resolução de equações logarítmicas, usa-se a relação seguinte:
(a) Se f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0 e a 6= 1, então loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x)
Figura 2.9: Gráfico da função f(x) = loga(x)
Observação 2.8.5. Observar que:
1. Para a resolução de inequações logarítmicas, usa-se as relações seguintes:
(a) Se a > 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x)
(b) Se 0 < a < 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) < g(x)
2.8.7 Funções Trigonométricas
Definição 2.8.1. Denomina-se de circunferência trigonométrica a circunferência de centro naorigem do plano cartesiano, de raio unitário e cujos arcos tem origem no ponto A(1, 0), comsentido anti-horário positivo.
Definição 2.8.2. Considere na circunferência trigonométrica um arco de medida x, com ori-gem em A e extremidade em P . Então, por definição:
1. seno de x é a ordenada do ponto P
2. cosseno de x é a abscissa do ponto P
3. tangente de x é a ordenada do ponto T , interesecção da reta OP com o eixo tangente àcircunferência pelo ponto A.
Definição 2.8.3. Define-se as principais funções trigonométricas da seguinte forma:
1. Função seno: f : R → R, f(x) = senx
2. Função cosseno: f : R → R, f(x) = cosx
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Figura 2.10: XXX
3. Função tangente: f : R−{π
2+ hπ, h ∈ Z
}
→ R, f(x) = tg x
As outras funções trigonométricas são definidas pelas relações
cotg x =cosx
senx=
1
tg x, secx =
1
cosx, cosecx =
1
senx
Observação 2.8.6. Observar que:
1. Da definição, conclui-se que a imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [−1, 1] ea imagem da função tangente é R.
2. A função cosseno (e, portanto, secante) é par, enquanto as funções seno (⇒ cossecante)e tangente (⇒ cotangente) são ímpares.
3. As funções seno, cosseno, tangente são periódicas, de período 2π, 2π e π respectiva-mente.
4. As principais relações trigonométricas:
(a) sen 2x+ cos2 x = 1
(b) 1 + tg 2x = sec2 x
(c) 1 + cot2 x = cosec 2x
(d) sen (x± y) = senx cos y ± sin y cosx
(e) cos(x± y) = cosx cos y ± senxsen y
(f) tg (x± y) =tg x± tg y
1∓ tg xtg y
(g) sen 2x = 2senx cosx
(h) cos 2x = cos2 x− sen 2x
(i) tg 2x =2tg x
1− tg 2x
(j) sen p± sen q = 2sen
(
p± q
2
)
cos
(
p∓ q
2
)
(k) cos p± cos q = 2 cos
(
p+ q
2
)
cos
(
p− q
2
)
(l) cos p− cos q = −2sen
(
p+ q
2
)
cos
(
p− q
2
)
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Figura 2.11: Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x)
2.8.8 Funções Trigonométricas Inversas
Seja a função f : R → R, definida por f(x) = senx. A fim de definir sua função inversa énecessário fazer a seguinte restrição, com o intuito de torná-la bijetora:
f :[
−π
2,π
2
]
→ [−1, 1]
f(x) = senx
Assim, pode-se definir a função inversa.
f−1 : [−1, 1] →[
−π
2,π
2
]
y = arcsenx (⇔ sin y = x)
Trabalhando da mesma forma com as outras funções trigonométricas, tem-se:
1. Função Arcoseno: f : [−1, 1] →[
−π
2,π
2
]
, f(x) = arcsenx
2. Função Arco-cosseno: f : [−1, 1] → [0, π], f(x) = arccosx
3. Função Arco-tangente: f : R →(
−π
2,π
2
)
, f(x) = arctg x
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Capítulo 3
Limite e continuidade
3.1 Definição de LimiteDefinição 3.1.1. Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possi-velmente no próprio a) e seja L um número real. Então,
limx→a
f(x) = L
se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ.Em outras palavras, a definição acima diz que f(x) pode tornar-se tão próximo de L quanto
se deseja, escolhendo-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
Teorema 3.1.1. (de unicidade) Se limx→a
= L1 e limx→a
= L2, então L1 = L2.
3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções
Propriedade 3.1.1. Se m e b são constantes quaisquer, então: (Se m e b são constantesquaisquer, então:)
limx→a
(mx+ b) = ma+ b
Consequência 3.1.1. Se c é uma constante, então,
limx→a
c = c
Consequência 3.1.2.
limx→a
x = a
Propriedade 3.1.2. Se limx→a
f(x) = L e limx→a
g(x) = M , então
limx→a
[f(x)± g(x)] = limx→a
f(x)± limx→a
g(x) = L±M.
Consequência 3.1.3. Se limx→a
f1(x) = L1, limx→a
f2(x) = L2, · · · , limx→a
fn(x) = Ln, então,
limx→a
[f1(x)± f2(x)± · · · fn(x)] = L1 ± L2 ± · · ·Ln
Propriedade 3.1.3. Se limx→a
f(x) = L e limx→a
g(x) = M , então
limx→a
[f(x)× g(x)] = limx→a
f(x)× limx→a
g(x) = L×M
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Consequência 3.1.4. Se limx→a
f1(x) = L1, limx→a
f2(x) = L2, · · · , limx→a
fn(x) = Ln, então,
limx→a
[f1(x)× f2(x)× · · · fn(x)] = L1 × L2 × · · ·Ln
Consequência 3.1.5. Se limx→a
f(x) = L e n for inteiro positivo qualquer, então
limx→a
[f(x)]n =[
limx→a
f(x)]n
= Ln
Propriedade 3.1.4. Se limx→a
f(x) = L e limx→a
g(x) = M e M 6= 0, então
limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a
f(x)
limx→a
g(x)=
L
M
Propriedade 3.1.5. Se limx→a
f(x)n = L, então,
limx→a
f(x)n =[
limx→a
f(x)]n
= Ln
Se L ≥ 0 e n for um inteiro qualquer positivo, ou se L ≤ 0 e n for um inteiro positivo ímparqualquer.
Propriedade 3.1.6. Se g é uma função tal que g(x) = f(x) é válido para todos os valores dex pertencentes a algum intervalo ao redor de a, exceto x = a, então lim
x→ag(x) = lim
x→af(x), se os
limites existirem.
3.2 Limites LateraisDefinição 3.2.1. Seja f definida em um intervalo (a, c). Então, o limite de f(x) quando x
tende à a pela direita será L, escrito limx→a+
f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0
tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.
Definição 3.2.2. Seja f definida em um intervalo (d, a). Então, o limite de f(x) quando x
tende à a pela esquerda será L, escrito limx→a−
f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0
tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.
Teorema 3.2.1. limx→a
f(x) é igual a L se e somente se limx→a+
f(x) e limx→a−
f(x) existirem e ambos
forem iguais a L
3.3 Limites no InfinitoA seguir uma definição de limites no infinito
Definição 3.3.1. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (a,+∞). Diz-seque lim
x→+∞
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número positivo N tal que |f(x) − L)| < ε
sempre que x > N .
Definição 3.3.2. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (−∞, a). Diz-seque lim
x→−∞
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número negativo N tal que |f(x)− L)| < ε
sempre que x < N .
Teorema 3.3.1. Se r é um inteiro positivo qualquer, então,
limx→+∞
1
xr= 0 e lim
x→−∞
1
xr= 0.
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Observação 3.3.1. As propriedades de limite de funções permanecem inalteradas quandox → a é substituído por “x → +∞"ou “x → −∞".
3.4 Limites InfinitosDefinição 3.4.1. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente nopróprio a. Diz-se que lim
x→af(x) = +∞, se para qualquer N > 0 existir um δ > 0 tal que
f(x) > N sempre que 0 < |x− a| < δ.
Definição 3.4.2. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente nopróprio a. Diz-se que lim
x→af(x) = −∞, se para qualquer N < 0 existir um δ > 0 tal que
f(x) < N sempre que 0 < |x−a| < δ. Observação análoga pode ser feita para limx→a
f(x) = −∞.
Desta forma, tem-se:
Observação 3.4.1. Podemos observar que
1. Definições semelhantes podem ser feitas ao se trocar, “x → a" por “x → a+"ou “x → a−".
Observação 3.4.2. Podemos observar que
1. Limites infinitos no infinito podem ser considerados. Existem definições formais paracada um dos seguintes limites:
limx→+∞
f(x) = +∞
limx→+∞
f(x) = −∞
limx→+∞
f(x) = −∞
limx→−∞
f(x) = −∞
3.4.1 Propriedades
Propriedade 3.4.1. Se limx→a
f(x) = ±∞ e limx→a
g(x) = c, c constante qualquer, então,
1. limx→a
[f(x) + g(x)] = ±∞
2. Se c > 0, então limx→a
[f(x)× g(x)] = ±∞
3. Se c < 0, então limx→a
[f(x) + g(x)] = ∓∞
4. limx→a
g(x)
f(x)= 0
Propriedade 3.4.2. Se limx→a
f(x) = 0 e limx→a
g(x) = c, c constante não nula, então,
1. Se c > 0 e se f(x) → 0 através de valores positivos de f(x), então limx→a
g(x)
f(x)= +∞
2. Se c > 0 e se f(x) → 0 através de valores negativos de f(x), então limx→a
g(x)
f(x)= −∞
3. Se c < 0 e se f(x) → 0 através de valores positivos de f(x), então limx→a
g(x)
f(x)= −∞
4. Se c < 0 e se f(x) → 0 através de valores negativos de f(x), então limx→a
g(x)
f(x)= +∞
Observação 3.4.3. As propriedades (3.4.1) e (3.4.2) anteriores continuam válidas se “x →a"for substituído por “x → a+", “x → a−", “x → +∞"ou “x → −∞".
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3.5 Assíntotas Verticais e HorizontaisDefinição 3.5.1. Diz-se que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical do gráfico da funçãof se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
1. limx→a+
f(x) = +∞
2. limx→a+
f(x) = −∞
3. limx→a−
f(x) = +∞
4. limx→a−
f(x) = −∞
Definição 3.5.2. Diz-se que a reta vertical y = b é uma assíntota horizontal do gráfico dafunção f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
1. limx→+∞
f(x) = b
2. limx→−∞
f(x) = b
3.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de FunçõesTeorema 3.6.1. (Teorema da Conservação do Sinal)Se lim
x→af(x) existe e se lim
x→af(x) = b 6= 0, então existe um intervalo aberto contínuo contendo a
tal que f(x) tem o mesmo sinal de b para todo x 6= a deste intervalo.
Teorema 3.6.2. (Teorema da Comparação)Suponha que f e g estejam definidas em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivel-mente em a. Suponha, também, que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I, x 6= a. Então, se existirem lim
x→af(x)
e limx→a
g(x), então limx→a
f(x) ≤ limx→a
g(x).
Observação 3.6.1. Podemos observar que
1. Se lim f(x) = +∞ e f(x) ≤ g(x), então lim g(x) = +∞ (vale para x → a, x → +∞ ex → −∞).
2. Se lim g(x) = −∞ e f(x) ≤ g(x), então lim f(x) = −∞ (vale para x → a, x → +∞ ex → −∞).
Teorema 3.6.3. (Teorema do Confronto ou do “Sanduíche")Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmenteem a, e se lim
x→af(x) = lim
x→ah(x) = L, então lim
x→ag(x) = L.
Observação 3.6.2. O teorema anterior continua válido se “x → a" for substituído por “x →+∞" ou “x → −∞".
Teorema 3.6.4. (1o Limite Fundamental)
limx→0
senx
x= 1
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Teorema 3.6.5. (2o Limite Fundamental)
limx→−∞
(
1 +1
x
)x
= e
limx→∞
(
1 +1
x
)x
= e
em que e = 2, 71828 · · · (irracional).
3.7 Continuidade
3.7.1 Continuidade em um ponto
Definição 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as três condiçõesseguintes:
1. existe f(a)
2. existe limx→a
f(x)
3. limx→a
f(x) = f(a)
Observação 3.7.1. Podemos observar que
1. Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, diz-se que a função f édescontínua em a.
2. Como a noção de continuidade envolve o fato de que limx→a
f(x) = f(a), tem-se então o
seguinte teorema:
Teorema 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se f for definida em um intervaloaberto contendo a e se para qualquer ε > 0 existe um ε > 0 tal que |f(x) − f(a)| < ε sempreque |x− a| < δ.
Propriedade 3.7.1. Se f e g são duas funções contínuas em a, então:
1. f + g é contínua em a
2. f − g é contínua em a
3. f × g é contínua em a
4.f
gé contínua em a, desde que g(a) 6= 0
Propriedade 3.7.2. Uma função polinomial é contínua em todo a ∈ R.
Propriedade 3.7.3. Uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) é contínuaem todo ponto do seu domínio.
Propriedade 3.7.4. As funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas são contínuas emtodos os pontos dos seus domínios.
Propriedade 3.7.5. Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f ◦ g é contínua em a.
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3.7.2 Continuidade em um Intervalo
Definição 3.7.2. Diz-se que uma função f é contínua em um intervalo aberto se f é contínuaem todos os pontos deste intervalo.
Definição 3.7.3. Uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b] se f é contínua nointervalo aberto (a, b) e f satisfaz
limx→a+
f(x) = f(a) e limx→b−
f(x) = f(b).
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Capítulo 4
Derivada
4.1 A Derivada de uma Função
Definição 4.1.1. A derivada de uma função f , indicada f′
é uma função definida por:
f′
(x) = lim∆x→0
=f(x+∆x)− f(x)
∆x= lim
∆x→0
∆y
∆x,
se esse limite existir e for finito.
Observação 4.1.1. Se f é definida por y = f(x), sua derivada pode ser indicada por,
f′
(x) = y′
=dy
dx= Dxy.
Definição 4.1.2. Uma função f é diferenciável em x1 se f′
(x1) existir. Uma função é diferen-ciável se for diferenciável em todo ponto do seu domínio.
Definição 4.1.3. Se a função f está definida em x1, então a derivada à direita em x1 é definidapor:
f′
+(x1) = lim∆x→0+
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
caso o limite exista. De maneira análoga se define f′
−(x1), a derivada à esqueda de f em x1:
f′
−(x1) = lim
∆x→0−
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
Observação 4.1.2. Como consequência do teorema da existência de limite, pode-se afirmarque a derivada de f
′
(x1) existe e tem o menor valor A se e somente se ambas as derivadasf
′
−(x1) e f
′
+(x1) existirem e tem o valor comum A.
Teorema 4.1.1. Se uma função f é diferenciável em x1, então f é contínua em x1.
Observação 4.1.3. Podemos observar que
1. A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções contínuas que não são dife-renciáveis.
2. Como consequência do teorema, pode-se dizer que se f não é contínua em x1, então f
não é diferenciável em x1.
21
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22
4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação
Teorema 4.1.2. Se f(x) = c, ∀x, c constante qualquer, então f′
(x) = 0.
Teorema 4.1.3. Se f(x) = xn, n inteiro positivo qualquer, então f′
(x) = nxn−1.
Teorema 4.1.4. Se f uma função e c uma constante. Se g é uma função definida por g(x) =cf(x), então, se f
′
(x) existe, g′
(x) = cf′
(x).
Teorema 4.1.5. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x) + v(x), então f′
(x) =u
′
(x) + v′
(x), desde que u′
(x) e v′
(x) existam (ou seja, a derivada da soma é a soma dasderivadas).
Observação 4.1.4. Podemos observar que
1. Costuma-se escrever (u+ v)′
= u′
+ v′
2. O resultado pode ser estendido a qualquer número finito de funções.
Teorema 4.1.6. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x).v(x), então f′
(x) =u
′
(x).v(x) + u(x).v′
(x), desde que u′
(x) e v′
(x) existam.
Observação 4.1.5. Costuma-se escrever (uv)′
= u′
v + uv′
Teorema 4.1.7. Se f é uma função, f(x) 6= 0, então,(
1
f(x)
)′
= − f′
(x)
[f(x)]2, desde que f
′
(x)
exista.
Teorema 4.1.8. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) =u(x)
v(x), em que v(x) 6= 0, então,
f′
(x) =u
′
(x).v(x)− u(x).v′
(x)
[v(x)]2, desde que u
′
(x) e v′
(x) existam.
Observação 4.1.6. Costuma-se escrever(u
v
)′
= u′
v + uv′
=u
′
.v − u.v′
v2.
4.1.2 A Regra da Cadeia
Teorema 4.1.9. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadasdy
due
du
dxexistem, então a função
composta y = f(g(x)) tem derivada dada por,
dy
dx=
dy
du× du
dx,
ou seja, f′
(x) = f′
(u).g′
(x).
Observação 4.1.7. O teorema se estende para a composta de um número finito de funções.
4.1.3 Derivada de Funções Básicas
Teorema 4.1.10. Suponha que f seja contínua e monótona sobre um intervalo I e seja y =f(x). Se f é diferenciável e f
′
(x) 6= 0 para todo x em I, então a derivada da função inversax = f−1(y) é dada por:
dx
dy=
1
dy
dx
Teorema 4.1.11. Ver tabela de derivadas!
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23
4.1.4 Derivadas de Ordem Superior
Se f′
é a derivada de uma função f , f′
também é uma função de x, chamada primeira derivadade f . A derivada de f
′
, se existir, é chamada segunda derivada de f , denotada por,
y′′
= f′′
(x) = D2xy =
d2y
dx2.
Generalizando, a n-ésima derivada da função f é a derivada da (n − 1)-ésima derivada de f .Indica-se por,
y(n) = f (n)(x) = Dnx(y) =
dn(y)
dxn
4.1.5 A Diferencial
Definição 4.1.4. Se y = f(x), então a diferencial de y, demonstrada por dy, é dada por,dy = f
′
(x)∆x, em que x está no domínio de f′
e ∆x é um incremento arbitrário em x.
Ao se trabalhar com a função y = x, tem-se y′
= 1 e, consequentemente, dy = dx = ∆x,ou seja, dx = ∆x. Tem-se então a seguinte definição:
Definição 4.1.5. Seja y = f(x), então a diferencial de x, denotada por dx, é dada por, dx =∆x. Pode-se então escrever, dy = fxdx.
Observação 4.1.8. Podemos observar que
1. Da última relação segue-se que
dy
dx= f
′
(x),
isto é, f′
(x) pode ser visto como uma razão diferencial de uma função pela diferencialda variável independente.
2. Como dy = ∆y, quando ∆x = dx é suficientemente pequeno, conclui-se que a dife-rencial de y, dy, é o incremento de y, ∆y, são aproximadamente iguais quando dx ésuficientemente pequeno.
e tem-se as seguintes fórmulas diferencias:
1. d(c) = 0
2. d(cu) = cdu
3. d(u+ v) = du+ dv
4. d(uv) = udv + vdu
5. d(u
v
)
=vdu− udv
v2
6. d(un) = nun−1du
7. d(xn) = nxn−1dx
em que u e v são funções de x diferenciáveis, c é constante e n é um expoente racional.
Definição 4.1.6. Seja y = f(x), então a diferencial de ordem n é a diferencial da diferencialde ordem n− 1, ou seja,
dny = f (n)(x)dxn.
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4.2 Aplicações de DerivadaTeorema 4.2.1. (ROLLE -1652/1719)Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e que f(a) = f(b) = K. Então, existirá pelomenos um ponto x̄ tal que f
′
(x̄) = 0.
Teorema 4.2.2. (Cauchy)Sejam f(x) e g(x) contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b) com g(x) 6= 0 em (a, b). Existirá,então, pelo menos um ponto x̄ ∈ (a, b) tal que,
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=
f′
(x̄)
g′(x̄)
.
Teorema 4.2.3. (Lagrange)Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá x̄ ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) =f
′
(x̄)(b− a).
4.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes
Pelo fato de a primeira derivada poder ser interpretada como a tangente do ângulo de tan-gência de uma reta a uma curva no ponto dado por (a, f(a)), ela poderá ser utilizada para aanálise da taxa de crescimento de uma função.
Teorema 4.2.4. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b).
1. Se f′
(x) > 0 para x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b]
2. Se f′
(x) < 0 para x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b]
4.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos
Definição 4.2.1. O ponto c do domínio de uma função f é dito ponto crítico de f se uma dasseguintes condições for satisfeita:
1. f′
(c) existe e é zero.
2. f′
(c) não existe.
Definição 4.2.2. Seja f definida num intervalo I e c0 um ponto em I.
1. f(c0) é máximo absoluto em I se f(x) ≤ f(c0), x ∈ I
2. f(c0) é mínimo absoluto em I se f(x) ≥ f(c0), x ∈ I
Observação 4.2.1. Podemos observar que
1. Casos em que c0 é dito ponto de máximo absoluto e ponto de mínimo absoluto em I,respectivamente.
2. O conceito de máximo e mínimo absolutos são relativos a um dado intervalo.
Teorema 4.2.5. Se uma função é contínua num intervalo fechado [a, b] então f admite seumáximo e seu mínimo pelo menos uma vez em [a, b].
Observação 4.2.2. A prova deste teorema remonta na própria conceituação de números reaiscomo um corpo ordenado completo, assunto de topologia dos reais que transcende os objetivosmais aplicados deste curso.
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25
4.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos
Definição 4.2.3. Seja c um ponto no domínio da função f
1. f(c) é máximo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal quef(x) ≤ f(c), ∀x ∈ (a, b)
2. f(c) é mínimo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal quef(x) ≥ f(c), ∀x ∈ (a, b)
Observação 4.2.3. Podemos observar que
1. Pela definição acima, dado um intervalo I, a função f poderá ter vários máximos emínimos relativos, mas apenas um máximo e um mínimo absoluto, quando os tiver.
2. Algumas vezes os extremos relativos (máximos ou mínimos relativos) poderão coincidircom os extremos relativos.
Teorema 4.2.6. Se uma função é derivável em c e tem um extremo local nesse ponto, entãof
′
(c) = 0.
4.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas
Teorema 4.2.7. Seja c um valor crítico de f em (a, b). Seja ademais f contínua em [a, b] ederivável em (a, b), exceto, possivelmente, em c.
1. Se f′
(x) > 0 para a < x < c e f′
(x) < 0 para c < x < b, então f(x) é máximo relativoem c.
2. Se f′
(x) < 0 para a < x < c e f′
(x) > 0 para c < x < b, então f(x) é mínimo relativoem c.
4.2.5 Concavidade e a segunda derivada
Teorema 4.2.8. Seja f uma função e c um ponto de seu domínio em que f′′
(c) exista.
1. Se f′′
(c) > 0, então f(x) é côncava para cima.
2. Se f′′
(c) < 0, então f(x) é côncava para baixo.
Definição 4.2.4. Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f , contínua e derivável em (a, b) contendoc é dito ponto de inflexão se uma das condições abaixo fica satisfeita:
1. Para a < x < c, f′
(x) é crescente e para c < x < b, f′
(x) é decrescente.
2. Para a < x < c, f′
(x) é decrescente e para c < x < b, f′
(x) é crescente.
4.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada
Teorema 4.2.9. Seja f derivável num intervalo (a, b) contendo c e que f′
(c) = 0. Então,
1. Se f′′
(c) < 0, então f tem um máximo local em c.
2. Se f′′
(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.
Teorema 4.2.10. Seja f(x) derivável até a terceira ordem e suponha que f′′
(c) = 0. Então, sef
′′′
(c) 6= 0, o ponto (c, f(c)) será um ponto de inflexão.
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4.2.7 Regras de L’Hospital
Teorema 4.2.11. Se para x = a a fraçãof(x)
g(x)admite forma indeterminada
0
0mas
f′
(x)
g′(x)
não
é indeterminada nesse ponto, então
limx→a
f′
(x)
g′(x)
= limx→a
f(x)
g(x)
se o primeiro limite existir.
Teorema 4.2.12. Sef(x)
g(x)admite forma indeterminada
∞∞ quando x tende para a (finito ou
não), então,
limx→a
f′
(x)
g′(x)
= limx→a
f(x)
g(x)
se o primeiro limite existir.
Observação 4.2.4. A demonstração deste teorema é mais complicada pelo fato das funçõesserem ilimitadas.
4.3 Estudo Completo de uma funçãoA construção do gráfico de uma função é um dos objetivos importantes do estudo de derivada.Os elementos necessários para tal fim constam do roteiro a seguir:
1. Determinação do domínio.
2. Determinação das intersecções com os eixos, quando possível.
3. Determinação dos limites nos extremos do domínio e de possíveis assíntotas.
4. Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) epossíveis assíntotas.
5. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e de possíveis pontos demáximo e mínimo.
6. Determinação dos intervalos em que a função é côncava para cima ou para baixo e depossíveis pontos de inflexão.
7. Esboçar o gráfico de f(x).
4.4 Fórmulas de Taylor e MaclaurinSeja f uma função e n um número inteiro positivo, tal que a derivada fn+1(x) exista para todox em um intervalo I. Se a e x são números distintos em I. Então existe um número z entre a ex tal que:
f(x) = f(a) +f
′
(a)
1!(x− a) +
f′′
(a)
2!(x− a)2 + · · ·+
+fn(a)
n!(x− a)n +
fn+1(z)
n+ 1!(x− a)n+1
A soma dos n + 1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominadoPolinômio de Taylor (Px(n)) de grau n de f no ponto a.
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A fórmula de Maclaurin é um caso especial de Taylor quando a = 0, ou seja,
f(x) = f(0) +f
′
(0)
1!x+
f′′
(0)
2!x2 + · · ·+
+fn(0)
n!xn +
fn+1(z)
n+ 1!(x− a)n+1
Observação 4.4.1. Para mais detalhes veja LASKOSKI, G.T., Fórmulas de Taylor e Maclaurin
(Cálculo Diferencial e Integral I), UTFPR, Curitiba, 2007.
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Capítulo 5
Integração
5.1 A Integral IndefinidaDefinição 5.1.1. A função F (x) é chamada antiderivada da função f(x) no intervalo [a, b] seF
′
(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].
Observação 5.1.1. É fácil verificar que se, para uma dada função f(x) existe uma antideri-vada, então esta antiderivada não é única.
Teorema 5.1.1. Se F é uma função tal que F′
(x) = 0 para todos os valores de x no intervalo[a, b], então F é constante em I.
Teorema 5.1.2. Se F e G são duas funções tais que F′
(x) = G′
(x) para todos os valores dex no intervalo [a, b], então existe uma constante C tal que F (x) = G(x) + C para todo x em[a, b].
Teorema 5.1.3. Se F (x) é uma antiderivada qualquer de f(x) em um intervalo [a, b], então aantiderivada mais geral de f em [a, b] é dada por
F (x) + C (5.1)
em que C é uma constante arbitrária e toda antiderivada de f(x) em [a, b] pode ser obtida de5.1 atribuindo valores específicos a C.
Definição 5.1.2. Seja a função F (x) uma antiderivada de f(x), então a expressão F′
(x) + C
é a integral indefinida da função f(x) e é denotada pelo símbolo∫
f(x)dx.
Observação 5.1.2. Podemos observar que
1. Uma integral indefinida é uma família de funções y = F (x) + C
2. Da definição 5.1.2 segue que:
(a)(∫
f(x)dx
)′
= (F (x) + C)′
= F′
(x) = f(x)
(b) d
(∫
f(x)dx
)
= f(x)dx
(c)∫
dF (x) =
∫
f(x)dx = F (x) + C
3. Tabela Básica
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30
Teorema 5.1.4.∫
[f1(x) + f2(x)] dx =
∫
f1(x)dx+
∫
f2(x)dx
Teorema 5.1.5.∫
af(x)dx = a
∫
f(x)dx, a constante.
Teorema 5.1.6. Se∫
f(x)dx = F (x) + C, então∫
f(ax+ b)dx =1
aF (ax+ b) + C
5.1.1 Regra da Substituição
Definição 5.1.3. Se u = g(x) for uma diferencial cuja imagem é um intervalo I e f forcontínua em I, então
∫
f(g(x))g′
(x)dx =
∫
f(u)du
Observação 5.1.3. Podemos observar que
1. Observe regra da substituição para a integração utiliza-se do artifício da regra da cadeiapara diferenciação, assim tem-se a observação a seguir:
(a) A regra da substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após ossinais de integrais como se fossem diferenciais.
5.1.2 Integração por Partes
Teorema 5.1.7. Sejam u = u(x) e v = v(x) duas funções diferenciáveis. Então∫
u(x)v′
(x)dx = u(x)v(x)−∫
v(x)uxdx
Observação 5.1.4. Como du = u′
(x)dx e dv = v′
xdx, a expressão acima pode ser escrita emsua forma mais conhecida
∫
udv = uv −∫
vdu
5.2 A Integral DefinidaDefinição 5.2.1. Se f é uma função contínua definida por a ≤ x ≤ b, divide-se o intervalo [a, b]
em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x =b− a
n. Seja x0(= a), x1, x2, · · · , xn(= b) e
extremos desses intervalos e suponha escolher-se os pontos amostrais x∗1, x∗
2, · · · , x∗n, nessessubintervalos de tal forma que x∗i está no i-ésimo intervalo [xi−1, xi]. Então a integral definidade f é
∫ b
a
f(x)dx = limx→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x
5.2.1 Propriedades
Teorema 5.2.1. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,
então Kf também é integrável em [a, b] e∫ b
a
Kf(x)dx = K
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.2. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também
integrável no intervalo [a, b] e∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx.
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31
Teorema 5.2.3. Se f é uma função integrável em [a, b] e se f(x) ≥ 0 para todos os valores de
x em [a, b], então∫ b
a
f(x)dx ≥ 0
Observação 5.2.1. O Teorema 5.2.3 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,por definição!
Teorema 5.2.4. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b] e se f(x) ≤ g(x) é válido
para todos os valores de x no intervalo [a, b], então∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
a
g(x)dx.
Observação 5.2.2. O Teorema 5.2.4 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,por definição!
Teorema 5.2.5. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,
então Kf também é integrável em [a, b] e∫ b
a
Kf(x)dx = K
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.6. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também
integrável no intervalo [a, b] e∫ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx.
Teorema 5.2.7. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] então |f | também o será e∣
∣
∣
∣
∫ b
a
f(x)dx
∣
∣
∣
∣
<
∫ b
a
f(x)dx.
Teorema 5.2.8. Para quaisquer três número a, b e c a igualdade∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +∫ b
c
f(x)dx é verdadeira, se as integrais existirem.
Observação 5.2.3. O Teorema 5.2.8 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,por definição!
Teorema 5.2.9. (Teorema do Valor Médio Para Integrais)Suponha que f seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Então, existe um número c em
[a, b] tal que∫ b
a
f(x)dx = (b− a)f(c).
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz)Teorema 5.3.1. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que a é umnúmero fixo neste intervalo. Define-se a função g com domínio [b, c] por
g(x) =
∫
f(t)dt ∀ x ∈ [a, b]
Teorema 5.3.2. Se F (x) é uma antiderivada da função contínua f(x), então vale,∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Observação 5.3.1. Podemos observar que
1. É comum adotar-se a notação
F (b)− F (a) = F (x)|ba = [F (x)]ba.
2. Quando se utiliza alguma técnica de integração (parte ou substituição) deve-se atentaraos limites de integração.
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32
5.4 Integrais Impróprias
Definição 5.4.1. Se existe um limite finito limb→+∞
∫ b
a
f(x)dx então este limite é chamado a in-
tegral imprópria da função f(x) no intervalo [a,+∞) e é denotado pelo símbolo∫ +∞
a
f(x)dx.
Então, por definição,∫ +∞
a
f(x)dx = limb→+∞
∫ b
a
f(x)dx. Neste caso, é dito que a integral
imprópria∫ +∞
a
f(x)dx converge. Em caso contrário, ela é dita divergente.
Similarmente, define-se as integrais impróprias de outros intervalos infinitos:∫ +∞
−∞
f(x)dx = lima→−∞
∫b
af(x)dx
∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Teorema 5.4.1. Se para todo x(x ≥ a) a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) é válida e se∫ +∞
a
g(x)dx converge, então∫ +∞
a
f(x) também converge e∫ +∞
a
f(x)dx ≤∫ +∞
a
g(x)dx.
Teorema 5.4.2. Se para todo x(x ≥ a) é válida a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) e se∫ +∞
a
g(x)dx diverge, então∫ +∞
a
f(x) também diverge.
Teorema 5.4.3. Se a integral∫ +∞
a
|f(x)|dx converge, então a integral∫ +∞
a
f(x)dx também
converge.
Definição 5.4.2. Suponha a função f definida no intervalo (a, b] e integrável em todo intervalo
da forma [a+ c, b]. Então, por definição,∫ b
a
f(x)dx = limc→0+
∫ b
a+c
f(x)dx.
Se limc→0+
∫ b
a+c
f(x)dx existe e é finito, diz-se que a integral imprópria∫ b
a
f(x)dx é conver-
gente; caso contrário, ela é dita divergente.
De forma análoga,∫ b
a
f(x)dx = limc→0+
∫ b−c
a
f(x)dx no caso em que f(b) não é definido e∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx no caso em que f(c) não é definido, a < c < b.
Teorema 5.4.4. Se no intervalo [a, c] as funções f(x) e g(x) não são definidas em c e em todos
os pontos do intervalo é válida a desigualdade g(x) ≥ f(x) ≥ 0, e∫ c
a
g(x)dx converge, então∫ c
a
f(x)dx também converge.
Teorema 5.4.5. Sejam f(x) e g(x) funções não definidas em c do intervalo [a, c]. Se é válida
a desigualdade f(x) ≥ g(x) ≥ 0, e∫ c
a
g(x)dx diverge, então∫ c
a
f(x)dx também diverge.
Teorema 5.4.6. Seja f(x) definida em [a, c], descontínua apenas no ponto c. Se a integral
imprópria∫ c
a
|f(x)|dx converge, então∫ c
a
f(x)dx também converge.
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Capítulo 6
Funções Beta e Gama
6.1 Função GamaDefinição 6.1.1. Definida pelo matemático Leonard Euler, a função gama representada porΓ(n), é definida por:
Γ(n) =
∫ +∞
0xn−1e−xdx
Γ(n) é uma função convergente quando n > 0.
6.1.1 Fórmula de Recorrência
Seja
Γ(n+ 1) = nΓ(n)
Esta expressão pode determinar Γ(n) para todo n > 0. Em particular, se n é um número inteiropositivo, então:
Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n! (n = 1, 2, 3, · · · ).
A função gama generaliza a função fatorial.
6.2 Função Gama
6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1
Para 0 < n < 1, obtém-se a relação dos complementos dada por:
Γ(n)Γ(1− n) =π
sennπ
n =1
2⇒ Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
)
=π
senπ
2
= π
[
Γ
(
1
2
)]2
= π ⇒ Γ
(
1
2
)
=√π
Então:
Γ
(
1
2
)
=√
(π)
Γ
(
3
2
)
=
(
3
2− 1
)
Γ
(
1
2
)
=1
2
√
(π) =
√
(π)
2
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6.2.2 Função Gama para n < 0
Da relação de recorrência Γ(n+1) = nΓ(n), que toma Γ(n) como definição para n > 0, pode-segeneralizar a função gama para n < 0, isolando Γ(n):
Γ(n) =Γ(n+ 1)
n
Então:
Γ
(
−1
2
)
=
Γ
(
−1
2+ 1
)
−1
2
=
Γ
(
1
2
)
−1
2
=
√π
(
−1
2
) = −2√π
Observação 6.2.1. A função1
Γ(n)está definida para todo n ∈ R e se anula nos pontos
· · · ,−2,−1, 0, pois Γ(n) é infinita. Em outras palavras, a singularidade que a função teria
nos pontos pode ser removida colocando o valor da função como sendo 0. f(n) =1
Γ(n).
6.3 Função BetaDefinição 6.3.1. Seja
B(m,n) =
∫ 1
0xm−1(1− x)n−1dx
B(m,n) é uma função convergente quando m > 0 e n > 0.
6.3.1 Definições Recorrentes:
1. Propriedade Comutativa
B(m,n) = B(n,m)
2. Cálculo Direto
B(m,n) =(n− 1)!
Πn−1i=0 (m+ i)
3. Função Beta em relação à função Gama
B(m,n) =Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)
4. Relação dos Complementos: se m+ n = 1, com 0 < n < 1 ⇒ m = 1− n, então:
B(m,n) = B(1− n,m) =Γ(1− n)Γ(n)
Γ(1− n+ n)= Γ(1− n)Γ(n) =
π
sennπ