UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIALIZADA
ESCOLA DE MÚSICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MÚSICA
DENIS NASCIMENTO DA SILVA
SOM DA CIÊNCIA:
O NÚMERO DE OURO COMO TEMA TRANSDICIPLINAR
EM ARTES, MATEMÁTICA, HISTÓRIA E BIOLOGIA
NATAL
2010
DENIS NASCIMENTO DA SILVA
SOM DA CIÊNCIA:
O NÚMERO DE OURO COMO TEMA TRANSDICIPLINAR
EM ARTES, MATEMÁTICA, HISTÓRIA E BIOLOGIA
Monografia apresentada à Unidade Acadêmica
Especializada em Música da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte, como requisito parcial
para obtenção do título de Licenciado em Música.
Orientador: Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva
NATAL
2010
Catalogação da Publicação na Fonte
UFRN – Biblioteca Setorial de Música “Pe. Jaime Diniz”
S586s Silva, Denis Nascimento da Silva
Som da Ciência: O Número de Ouro como tema transdisciplinar
em Artes, Matemática, História e Biologia / Denis Nascimento da Silva. –
Natal, RN, 2010.
49 f.: il.
Orientador: Alexandre Reche e Silva.
Monografia (Graduação) – Escola de Música, Universidade Federal do
Rio Grande do Norte, 2010.
1. Música e Educação. 2. Número de Ouro. 3. Música e Ciência. 4.
Transdisciplinaridade. I. Silva, Alexandre Reche. I. Título.
RN/BS/EMUFRN CDU 78:37
DENIS NASCIMENTO DA SILVA
SOM DA CIÊNCIA:
O NÚMERO DE OURO COMO TEMA TRANSDICIPLINAR
EM ARTES, MATEMÁTICA, HISTÓRIA E BIOLOGIA
Monografia apresentada à Unidade Acadêmica
Especializada em Música da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte, como requisito parcial
para obtenção do título de Licenciado em Música.
Orientador: Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva
Aprovado em: _____ / _____ / _____
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva
Orientador
__________________________________________________
Profa. Dra. Valéria Lázaro de Carvalho
1º Examinador
__________________________________________________
Prof. Dr. Jean Joubert Freitas Mendes
2º Examinador
Natal, 1º de dezembro de 2010.
Dedico esta obra a uma pessoa que teve contribuição
fundamental em grandes conquistas que obtive no presente ano.
Esta é mais uma conquista, Ivonilde. E dedico a você!
AGRADECIMENTOS
A Deus, o mais transdisciplinar de todos os seres. O tema transversal presente em todas
as áreas da minha vida.
A minha família, em especial aos meus pais, pela compreensão e apoio frente a uma
decisão de renúncia de uma profissão clássica e promissora, para partir em busca de um sonho.
Aos amigos presentes e ausentes, mas que na realidade são presentes para minha vida.
Aos professores, colegas e funcionários que de alguma maneira contribuíram com
minha formação acadêmica.
Finalmente, mas não por último, ao meu professor orientador Alexandre Reche pela
contribuição, disponibilidade e por me confiar um trabalho tão meticuloso, importante e de
responsabilidade.
RESUMO
O Número de Ouro é encontrado em vários assuntos da Música. Ele ainda apresenta uma série de
aplicações em diversas áreas do conhecimento como Matemática, Letras, Biologia, bem como em
outras Artes (Pintura, Arquitetura etc.). Por isso, ele foi escolhido como fio condutor, partindo do
cenário da Música e conectando-se com outras disciplinas. O presente trabalho elaborou um
conjunto de aulas, material didático transdisciplinar, apresentando o tema do Número de Ouro, sob
o enfoque das disciplinas Matemática, História e Biologia. As aulas foram ministradas por mim, em
duas turmas de estudantes do 2º ano do ensino médio da Escola Estadual Professor Francisco de
Assis Dias Ribeiro, no município de Santa Cruz - RN. Os resultados da experiência pedagógica
foram positivos, uma vez que através de instrumento de sondagem, aplicado nas turmas, pudemos
coletar dados que nos mostraram a contribuição transdisciplinar enquanto estratégia didático-
pedagógica no processo de facilitação da aprendizagem, tornando-a mais significativa.
Palavras-chave: Transdisciplinaridade, Número de Ouro, Música e Ciência.
ABSTRACT
The Golden Number is found in various issues of Music. He still has a number of applications in
several areas as Mathematics, Literature, Biology, as well as in other arts (painting, architecture,
etc.) Therefore, he was chosen as a guide, leaving the scene of music and connecting with other
disciplines. This study developed a set of lessons, teaching material transdisciplinary, introducing
the number of golden under the focus of the disciplines mathematics, history and biology. The
lessons were given by me in two classes of students of 2nd year high school of the State School
Professor Francisco de Assis Dias Ribeiro, the city of Santa Cruz - RN. The teaching experience
results were positive, once through the survey instrument used in classrooms we collect data that
showed the transdisciplinary contribution as didactic and pedagogic strategy in the learning
facilitating process, making it most significant.
Keywords: Transdisciplinarity, Golden Number, Music and Science.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1 – Violino de Stradivarius .................................................................................. 18
FIGURA 2 – Palheta de Saxofone de Jody Espina ............................................................. 19
FIGURA 3 – Instituto de Gravação de Detroit ................................................................... 19
FIGURA 4 – Templo grego Paternon ................................................................................. 21
FIGURA 5 – Relação entre o Retângulo Áureo e a Série de Fibonacci ............................. 24
FIGURA 6 – A Razão Áurea na canção Tatuagem ............................................................ 26
FIGURA 7 – Obra Composição com vermelho, amarelo e azul de Mondrian ................... 28
FIGURA 7b – Visualização de Retângulos Áureos na obra de Mondrian .......................... 28
FIGURA 8 – Pirâmides de Gizé ........................................................................................ 29
FIGURA 8b – Visualização da Razão Áurea n pirâmide de Quéops .................................. 30
FIGURA 9 – A Razão Áurea presente no Paternon .......................................................... 30
FIGURA 10 – A Razão Áurea presente na Estrela Pentagonal .......................................... 31
GRÁFICO 1 – A Sequência de Fibonacci e o problema dos coelhos ................................. 32
FIGURA 11 – A Razão Áurea na obra Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci ........... 33
FIGURA 12 – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano .................................. 34
FIGURA 12b – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano ................................ 34
FIGURA 12c – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano ................................ 35
FIGURA 13 – Proporção Áurea presente na Obra Monalisa .............................................. 35
FIGURA 14 – Razão Áurea utilizada no Projeto de Notre Dame ...................................... 36
FIGURA 15 – O Número de Ouro em dimensões do Edifício das Nações Unidas ........... 36
FIGURA 16 – Visualização das notas de uma oitava musical no teclado .......................... 37
FIGURA 17 – Obra A última ceia de Leonardo Da Vinci .................................................. 39
FIGURA 18 – A Razão de Ouro presente no dedo indicador ............................................. 39
FIGURA 19 – A Razão de Ouro em dimensões do braço humano ..................................... 40
FIGURA 20 – O Número de Ouro presente no Nautilus .................................................... 40
FIGURA 20b – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus ............ 41
FIGURA 20c – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus ............ 42
FIGURA 21 – A Série de Fibonacci no crescimento da planta Achillea ptarmica ............. 42
FIGURA 22 – Instrumento de Sondagem ........................................................................... 45
GRÁFICO 2 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 46
GRÁFICO 3 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 47
GRÁFICO 4 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 47
GRÁFICO 5 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 48
GRÁFICO 6 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 49
LISTA DE TABELAS
1. Sequência de Fibonacci convergindo para o Número de Ouro ............................... 23
2. Frequências musicais e a Série de Fibonacci .......................................................... 38
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................... 13
METODOLOGIA ................................................................................................ 15
CAPÍTULO 1 - MINISTRAÇÕES DAS AULAS ............................................ 17
1.1 MÚSICA E MATEMÁTICA .............................................................. 18
1.2 MÚSICA E HISTÓRIA ...................................................................... 25
1.3 MÚSICA E BIOLOGIA ..................................................................... 37
CAPÍTULO 2 - SONDAGEM ............................................................................ 44
2.1 ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM ............... 44
2.2 APLICAÇÃO DO INSTRUMENTO DE SONDAGEM ................... 44
CAPÍTULO 3 - RESULTADOS ......................................................................... 46
3.1 ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS .......................................... 46
CAPÍTULO 4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................... 50
4.1 CONTRIBUIÇÕES .......................................................................... 50
4.2 PERSPECTIVAS .............................................................................. 50
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 51
13
INTRODUÇÃO
Os temas transversais são visualizados, no âmbito pedagógico, como importantes
ferramentas na realização de abordagens educativas que facilitem um diálogo transdisciplinar
entre as áreas de conhecimento. Nessa perspectiva, o Número de Ouro, por ser um tema que
nos oferece tal possibilidade se mostrou, de acordo a experiência em sala de aula e com a
visualização dos resultados, uma importante estratégia didático-pedagógica, uma vez que
proporcionou ao alunado uma fruição das idéias das trasdisciplinaridade.
A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção
dourada é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega φ
(phi) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um
número que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de:
seção áurea, razão áurea, razão de ouro, proporção em extrema razão,
divisão de extrema razão ou áurea excelência. (LIVIO, 2006)
O Número de Ouro é encontrado em várias aplicações da Música. As frequências
musicais, como afirma Meisner1 (2010), são baseadas segundo as relações da sequência de
Fibonacci2. Meisner (2010) relata também que as composições musicais muitas vezes
refletem os números de Fibonacci, em seu processo de estruturação - posicionamento de
climax. O Número de Ouro e a sequência de Fibonacci são também utilizados na construção
de violinos (luthieria) e até mesmo na concepção de fio de alto-falantes de alta qualidade.
Na verdade, o tema encontra uma série de aplicações em diversas áreas do
conhecimento como Matemática, Letras, Biologia, bem como em outras Artes (Pintura,
Arquitetura etc.).
Portanto esse tema transversal foi escolhido para servir de fio condutor, partindo
do cenário da Música e conectando-se com outras disciplinas. Com isso esperamos ter
contribuído com a facilitação da aprendizagem nas turmas submetidas a tal experiência
pedagógica, tornando-a mais significativa ao ter se observado um tema em contextos
múltiplos e sob os enfoques de várias disciplinas.
1 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).
2 Matemático italiano que viveu na idade média e ficou conhecido pela descorberta da série que levou seu
nome (ver pag. 22).
14
Justificativa
Apesar do uso do termo 'transdisciplinaridade', a matéria continua desafiando
educadores. Esse tipo de abordagem pedagógica ainda enseja aplicações práticas de forma
planejada e metodológica. O cenário disciplinar atual continua demandando alternativas para
ministrações de conteúdos estanques e pouco conectados entre si. Nesse sentido, a presente
proposta visou instaurar uma via de conexão transdisciplinar na forma de um conjunto de
medidas que reajam ao referido cenário.
Objetivos
Geral
Apresentar o tema do Número de Ouro, partindo do contexto da Música em
conexão com outras disciplinas. A proposta é mostrar aos professores e alunos da Escola onde
foi realizado o trabalho de pesquisa as idéias da transdisciplinaridade como importante
estratégia para o desenvolvimento de um aprendizado significativo.
Específico
Pesquisar e Programar conteúdos transdisciplinares ao tema do Número de Ouro,
Ministrar aulas em cada disciplina
Elaborar e aplicar instrumento de sondagem
Disponibilizar informações do processo
15
METOLOGIA
PESQUISA DE MATERIAL PARA CADA DISCIPLINA
Foi realizada pesquisa de material da abordagem do Número de Ouro nos cenários
das Artes (com ênfase para Música), Matemática, História e Biologia, visualizando as
conexões de tais disciplinas pela temática do Número Áureo. Na Música, os exemplos
abordados foram sobre o projeto acústico de estúdios musicais, fabricação de instrumentos
musicais, presença da razão áurea em composição musical, observou-se a presença do
Número de Ouro e da série de Fibonacci nas escalas musicais, bem como de sua relação com
as freqüências musicais.
Em outras artes, tais como a pintura e arquitetura, abordaram-se exemplos da razão
áurea na visualização das dimensões do projeto arquitetônico do templo grego Paternon3 e a
presença do Número de Ouro e da série de Fibonacci em obras de Leonardo Da Vinci e
Mondrian4.
Na Matemática, houve a demonstração da definição algébrica do Número de Ouro,
estudo da sequência de Fibonacci e sua relação com o Número de Ouro, a construção do
retângulo de ouro e percepção da sua relação com a série de Fibonacci.
No âmbito da História, apresentaram-se exemplos do Número de Ouro presente no
processo de construções históricas. Na antiguidade, foi observada a relação áurea presente nas
Pirâmides do Egito e no templo grego Paternon, bem como na geometria da estrela pentagonal
da escola pitagórica. Na Renascença, os exemplos coletados foram acerca do Humanismo e
Antropocentrismo - na figura de Leonardo Da Vinci - e suas relações com o Número de Ouro.
No cenário da Biologia, os exemplos da presença do Número de Ouro foram
observados a partir das relações áureas presentes no corpo humano. Visualizou-se também a
presença da razão de ouro no molusco Nautilus5, bem como no processo de crescimento
3 Templo grego construído no séc. V a.C.
4 Pintor holandês modernista que integrou o movimento artístico denominado Neoplasticismo.
5 Moslusco da classe cephalopoda.
16
quantitativo de ramos de algumas plantas. O exemplo apresentado foi o da planta Achillea
ptarmica.6
ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
Os conteúdos programáticos de cada disciplina foram elaborados de forma que
pudessem versar sobre assuntos do programa pedagógico da escola na qual foram realizadas
as ministrações das aulas, de forma a contribuir com uma luz ao aprendizado significativo.
ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM
A elaboração de instrumento de sondagem foi objetivada pelo fato de se querer
levantar dados que possibilitassem demonstrar estatisticamente um resultado do nível de
viabilidade e importância da transdisciplinaridade na educação regular básica.
MINISTRAÇÕES DAS AULAS
As aulas foram ministradas por mim – concluinte de Licenciatura em Música da
UFRN – em duas turmas de estudantes do Ensino médio da Escola Estadual Prof. Francisco
de Assis Dias Ribeiro, no município de Santa Cruz – RN. As aulas foram ministradas em três
disciplinas do 2º ano do ensino médio, com duração de 50 min. cada.
APLICAÇÃO DA SONDAGEM
A aplicação da sondagem foi realizada em forma de questionário escrito entregues
no final das realizações das aulas em cada turma. O questionário era composto de seis
questões nas quais quatro delas eram objetivas e duas subjetivas.
ELABORAÇÃO DE RELATÓRIO DA EXPERIÊNCIA
Após o levantamento de dados de pesquisa do referente projeto, foi realizado o
presente relatório de experiência que é o meu trabalho de conclusão de curso.
6 Espécie de planta em que seus galhos crescem segundo a sequência de Fibonacci (ver pag. 41).
17
CAPÍTULO 1 – MINISTRAÇÕES DAS AULAS
Na sociedade contemporânea percebe-se a tão destacada presença das
multiplicidades e especificidades das coisas. Em um mundo cada vez mais globalizado o
progressivo acúmulo de conhecimento pela humanidade passou a demandar uma maior
especialização do saber. Em sala de aula a realidade é semelhante, porém, visualizada em uma
esfera menor. Em uma ótica geral, essa especialização se faz necessário. Todavia, é preciso
que haja uma comunicação entre áreas de conhecimento, fazendo com que as separações
disciplinares passem a abraçar idéias transdisciplinares.
A transdisciplinaridade não objetiva substituir os atuais modelos de ensino, mas
complementá-los com uma postura que preza pelo favorecimento de um diálogo entre as áreas
de conhecimento. A proposta transdisciplinar busca oferecer ao alunado um diálogo entre
áreas de conhecimento.
Não é incomum, o alunado se achar em uma situação em que não entenda o
porquê de se estudar determinado assunto. Principalmente, quando não percebe uma
contextualização ou contribuição desse assunto no seu dia-a-dia. Como considera Guerreiro
(2003) “nossas escolas são um fardo com pressão da avaliação quase sempre estimulando a
competição entre os alunos [...]”. A proposta transdisciplinar também visa favorecer um elo
de conexão entre os assuntos estudados em sala de aula com o conhecimento de mundo dos
alunos. Ademais, essa proposta sugere ao alunado uma nova ótica e um outro tratamento em
relação ao objeto de conhecimento.
Nesse capitulo, se relatará os conteúdos das aulas ministradas por mim na Escola
Estadual Prof. Francisco de Assis Dias Ribeiro. As aulas primavam pela transdisciplinaridade,
abordando o tema Número de Ouro, partindo sempre do cenário da Música (com referência a
outras Artes) em conexão com as disciplinas Matemática, História e Biologia.
18
1.1 MÚSICA E MATEMÁTICA
O Número de Ouro na Acústica
A razão áurea possibilita uma acústica superior, se comparada com outras razões.
Acredita-se que os gregos a usava para alcançar uma sonoridade esteticamente idealizada por
eles.
O Número de Ouro oferece também, desempenho e acústica excelentes na
concepção de instrumentos musicais. Stradivarius7, por exemplo, usou a seção áurea no
projeto de violinos. Segundo Meisner (2010), tal instrumento é procurado centenas de anos
depois devido à excelente qualidade sonora.
FIGURA 1 – Violino de Stravidarius
Fonte: MEISNER, 2010
Jody Espina8 aplicou o Número de Ouro na concepção do seu saxofone. Dessa
forma, todas as medidas foram analisadas com foco no número áureo. Isto inclui o
comprimento do furo, a largura das paredes da palheta, largura do bico, a profundidade do
furo na frente, entre outros. Esse raciocínio promoveu a ampliação da quantidade de
harmônicos no som, e, portanto, a projeção do bocal. Além disso, há de fato uma eliminação
da estridência irritante característicos de alguns saxofones.
7 Luthier italiano que viveu entre 1648 a 1737. Foi o idealizador do violino que recebeu seu nome.
8 Fundador e presidente da empresa Jody Jazz Saxofone. Conhecido pela idealização das boquilhas para
saxofone e clarinete que levam seu nome.
19
FIGURA 2 – Boquilha de saxofone de Jody Espina
Fonte: MEISNER, 2010
“Os resultados foram surpreendentes, com os artistas dizendo que é mais
brilhante, mais intenso, e mais fácil de tocar do que mesmo as melhores boquilhas que já
haviam experimentado antes.” (MEISNER, 2010).9
O Instituto de gravação de Detroit construiu um "Golden Section Studio“ –
estúdio baseado na razão de ouro. Relata-se que o resultado do uso da Seção Dourada na
construção de tal estúdio é de fato surpreendente. Percebe-se um salto de qualidade em
relação às freqüências. “A voz tem praticamente as mesmas freqüências presentes quando se
fala em qualquer parte da sala.” MEISNER (2010). O layout do estúdio é mostrado a seguir:
FIGURA 3 – Instituto de gravação de Detroit
Fonte: MEISNER, 2010
9 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).
20
A Razão Áurea é aplicada em diversas situações e abordagens nos cenários de
áreas de conhecimento. Nesse trabalho visualizamos sua abordagem contextualizada nos
bojos das disciplinas Artes, Matemática, História, e Biologia, tendo a Música como mola
propulsora nos diálogos entre tais disciplinas.
Definição do Número de Ouro10
Durante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e
harmoniosa maneira de se dividir um objeto. Também devem se ter perguntado qual é a
relação entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo.
Cerca de 300 anos antes de Cristo, Euclides, encontrou geometricamente a forma
de se fazer essa divisão harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “Seção Áurea”.
Observe agora como foi que Euclides definiu tal divisão:
Tem-se um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes: AC e
CB. Supõe-se que AC > CB.
Euclides descobriu que essa divisão mais harmoniosa à vista ocorre quando a
razão entre o segmento todo e a parte maior, é a mesma que existe entre a parte
maior e a menor:
Essa forma de se dividir um segmento constituiu-se na base para a arte e a
arquitetura grega:
10 As informações deste tópico foram extraídas da primorosa apresentação do Prof. Llydio Pereira de Sá (UERJ -
USS), intitulada “A Magia da Matemática” (Sá, s/d). Ela foi escolhida por ser uma importante contribuição ao
nosso trabalho, haja vista sua didática: ilustrativa e de comunicação direta. Ademais, ela me foi de grande
auxílio na preparação e ministração desta aula. Alguns exemplos foram acrescentados e/ou substituídos (ver
fontes) por possuírem detalhes ainda mais elucidativos que no original.
CB
AC=
AC
AB
21
FIGURA 4 – Templo grego Paternon
Fonte: MEISNER, 2010
Para determinação do Número de Ouro usou-se a definição de Euclides,
associada a uma equação do segundo grau.
Figura 5 – Visualização da Razão Áurea em um segmento de reta
Dessa forma, representa-se o segmento AB e as partes da divisão da seguinte
forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. Em que CB = b é o segmento menor dessa
divisão.
Pela definição de Euclides, tem-se:
22
A equação da direita mostra que a = bφ, o que pode ser substituído na parte
esquerda, resultando em:
Cancelando b em ambos os lados, tem-se:
Multiplicando ambos os lados por φ, resulta:
Finalmente, subtraindo φ2 de ambos os membros da equação e multiplicando
todas as parcelas por − 1, encontra-se:
φ2 − φ − 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma
Em que a = 1, b = -1 e c = -1.
Agora, basta resolver essa equação do 2º grau pela Fórmula de Bháskara:
Substituindo os valores, tem-se:
Resolvendo a equação, tem-se:
Soluções:
23
Assim, chega-se ao valor de φ:
Sequência de Fibonacci:
Fibonacci foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático
europeu depois da decadência helênica. É considerado por alguns como o mais talentoso
matemático ocidental da idade média. E ficou conhecido pela descoberta da sequência que
levou seu nome e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.
“O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de
Fibonacci, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores. Essa
divisão converge para o número áureo.”(LIVIO, 2006 p. 336). Pode-se ver um exemplo dessa
convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu sétimo termo (1, 1, 2,
3, 5, 8, 13):
TABELA 1 – Sequência de Fibonacci convergindo para o Número de Ouro
Fonte: MEISNER, 2010 (com detalhes nossos)
24
Construção do Retângulo de Ouro
Um retângulo de ouro é simplesmente um retângulo cuja razão entre o lado maior
e o lado menor é o Número de Ouro.
Retângulo Áureo e Série de Fibonacci
Como foi visto, a série de Fibonacci corresponde a uma sequência numérica em
que cada termo é obtido pela soma dos dois termos imediatamente anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, ...). Observe agora essa sequência inscrita no retângulo áureo.
FIGURA 5 – Relação entre o Retângulo Áureo e a Série de Fibonacci
Fonte: WIKIPÉDIA, 2010 (composição nossa)
Conclusão:
Vimos a presença da razão áurea em diversas situações como: em projeto de
estúdio musical, nas dimensões do Paternon, bem como na fabricação de
instrumentos musicais;
Demonstramos também a definição matemática do Número de Ouro;
Conhecemos a sequência de Fibonacci e sua relação com o Número de Ouro;
Aprendemos a construir o “retângulo de ouro” e percebemos sua relação com a
série de fibonacci.
25
1.2 MÚSICA E HISTÓRIA
A segunda aula ministrada foi a aula de Música e História. As abordagens foram
realizadas de forma interativa com os alunos. Com bastantes discussões em sala de aula sobre
a temática do Número de Ouro. Houve apresentação áudio-visual da canção “Tatuagem” que
serviu como mola propulsora para se debater o assunto do Número de Ouro também em
diálogo com a arte plástica partindo para o cenário dos processos de construção histórica.
O número de ouro é frequentemente encontrado em composições musicais.
Como exemplo, o clímax é muitas vezes encontrado em cerca de 61,8% da
canção, ao contrário do meio ou no final da mesma. Nesse sentido, em uma
música de 100 compassos, isso ocorreria nas proximidades do compasso 62.
(MEISNER, 2010)11
A canção “Tatuagem” dos compositores Chico Buarque e Ruy Guerra expressa
bem essa razão:
11 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).
26
FIGURA 6 - A Razão Áurea na canção “Tatuagem”
Fonte: HOLANDA; GUERRA, 1973 (com detalhes ilustrativos nossos)
27
Recordando a relação de Ouro:
Assim, observa-se:
Tais resultados obtidos são aproximações do Número de Ouro.
Número de Ouro em outras artes
Muitos foram os artistas que deram novas representações ao real, mas Mondrian,
no caso das artes plásticas, foi para além deles. Ele começou a formular as suas próprias
teorias estéticas. Ao seu estilo e princípios artísticos chamou de Neoplasticismo12
.
Mondrian abordou um ideal estético que o destacou como artista em sua época.
Foi a procura constante da harmonia e da beleza que o levou ao encontro da matemática e a
conseqüente inserção das concepções da razão de ouro em suas obras.
Mondrian descobriu o famoso Número de Ouro e com ele chegou ao retângulo de
ouro. Partilhou da idéia de Da Vinci de que a arte deveria ser sinônima de beleza e
movimento contínuo, por isso ambos utilizaram o retângulo de ouro.
12 Movimento artístico de vanguarda liderado por Piet Mondrian, relacionado com a arte abstrata.
28
FIGURA 7 – Imagem da obra Composição com vermelho, amarelo e azul de Piet
Mondrian, 1921
Fonte: LOCHER, 1994
• O retângulo de ouro na área hachurada:
FIGURA 7b – Visualização de retângulos áureos na obra composição com Vermelho, amarelo
e azul de Mondrian
Fonte: LOCHER, 1994 (com detalhes nossos)
29
O Número de Ouro e sua relação com o processo de construções históricas
Enquanto a proporção conhecida como o Número de Ouro sempre existiu em
matemática e no universo físico, não se sabe exatamente quando foi descoberta e aplicada
pela humanidade.
O Número de Ouro na antiguidade
• As Pirâmides de Gizé
FIGURA 8 – Pirâmides de Gizé
Fonte: WIKIPÉDIA, 2010.
Sobre as Pirâmides de Gizé:
• Primeira posição na lista das sete maravilhas do mundo antigo
• Localizadas na cidade de Mênfis, no Egito
• Foram construídas como tumbas reais para os reis Quéops, Quéfren, e Miquerinos -
pai, filho e neto
• Os egípcios acreditavam que, enterrando seu rei numa pirâmide, ele se elevaria e se
juntaria ao sol, tomando o seu lugar de direito com os deuses.
A Razão áurea nas Pirâmides de Gizé
No Egito, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a Razão de
Ouro. A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual
ao Número de Ouro:
30
FIGURA 8b – Visualização da Razão Áurea na Pirâmide de Quéops
Fonte: RIBEIRO, 2009
O Paternon:
• Construído entre 447 e 433 a.C;
• O arquiteto encarregado pela obra foi Phidias13
, que teve a preocupação de realizar
uma obra bela e harmoniosa fundamentada na razão áurea;
• A designação adotada para o Número de Ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a
letra grega φ.
O Número de Ouro presente no Paternon:
FIGURA 9 – A razão Áurea presente no Paternon
Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda nossa)
13 Famoso escultor da Grécia Antiga idealizador do Paternon.
31
Os pitagóricos e a estrela pentagonal
“Segundo os pitagóricos, a essência, que é o princípio fundamental que forma
todas as coisas é o número. O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama [...]”
(SPINELLI, 2003)
• Os Pitagóricos e o Número de Ouro na construção da estrela pentagonal:
FIGURA 10 – A Razão Áurea na estrela pentagonal
Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda e detalhes nossos)
“Os pitagóricos14
não conseguiram exprimir como quociente entre dois números
inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado e o lado do pentágono
regular inscritos numa circunferência.” (EDUC, 2010). Dessa forma, quando chegaram a essa
conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isso era muito contrário a toda a lógica que
conheciam e defendiam. Assim, classificaram o Número de Ouro como “irracional”.
O Número de Ouro na Renascença
No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da igreja e
universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo e outra com uma finalidade
mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores à qual pertencia Fibonacci.
14 Seguidores da escola filosófica e matemática de Pitágoras
32
• A contribuição de fibonacci
A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está relacionada com a
solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de
números de Fibonacci.
No século XIII os povos europeus ainda usavam a numeração romana nos seus
cálculos e contagens. Fibonacci foi quem mais contribuiu para a transição para o sistema
numérico indo-arábico que ainda hoje é utilizado.
Na obra Liber Abaci Fibonacci explica como usar a numeração árabe e como efetuar
cálculos com ela. Surgem alguns problemas, um dos quais é o célebre “Problema dos
coelhos". Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano,
supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado?
Sequência de Fibonacci:
GRÁFICO 1 – A sequência de Fibonacci e o “problema dos coelhos”
Fonte: RIBEIRO, 2010
A Contribuição de Leonardo Da Vinci
Uma contribuição que não pode se deixar de referir foi a contribuição de
Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus
conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garantia de uma
perfeição, beleza e harmonia únicas.
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Da Vinci representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco
sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus
conhecimentos de matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte.
Homem Vitruviano e o retângulo de ouro:
FIGURA 11 – A Razão Áurea na obra Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci
Fonte: RIBEIRO, 2010
A razão entre a distância do umbigo aos pés e a distância da cabeça ao umbigo
está na proporção áurea. Da mesma forma, a razão entre a altura do homem e a distância do
umbigo aos pés também representa o Número de Ouro.
O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos - braços abertos
perpendicularmente ao corpo - em dois segmentos que, da mesma forma, também estão na
razão áurea.
34
FIGURA 12 – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano
Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nossos)
FIGURA 12b – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano
Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nossos)
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FIGURA 12c – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano
Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nosso)
O Número de Ouro presente na obra Mona Lisa
A Mona Lisa, apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais:
(a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro;
(b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido
também é de Ouro;
(c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro
FIGURA 13 – Proporção Áurea na obra Mona Lisa (1503-1507)
Fonte: LARIIH E GOOIS, 2009
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“A Razão áurea também foi usada no projeto de Notre Dame, em Paris,
construída entre os séc. XII E XIV:” (MEISNER, 2010)
FIGURA 14 – Razão Áurea utilizada no projeto de Notre Dame
Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda nossa)
Edifício das Nações Unidas e a Razão Áurea
“No edifício das Nações Unidas, a largura do edifício em comparação com a
altura de cada dez andares é uma Razão Áurea.”(MEISNER, 2010)15
FIGURA 15 - O Número de Ouro em dimensões do edifício das Nações Unidas
Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda nossa)
15 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).
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Conclusão:
• Diagnosticamos a presença da razão áurea em uma composição musical;
• Observamos também sua presença nas artes plásticas;
• Contextualizamos a razão áurea no processo de construções históricas.
1.3 MÚSICA E BIOLOGIA
Música e a série de Fibonacci
“As escalas musicais são baseadas em números de Fibonacci:” (MEISNER, 2010)16
:
FIGURA 16 – visualização das notas de uma oitava musical no teclado
Fonte: MEISNER, 2010
• São 13 notas no intervalo de uma oitava
• A escala é composta de 8 (oito) notas, cuja 5ª e 3ª notas criam a base de todos os
acordes, e baseiam-se em intervalos de 2ª (maior e menor). Todos esses número fazem
parte da série de Fibonacci.
Meisner (2010) afirma que as freqüências musicais são baseadas em relações de
Fibonacci.
16 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).
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• Notas na escala da música ocidental são baseados em harmônicos naturais que são
criadas por razões de freqüências.
• Razões encontradas nos sete primeiros números da série de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5,
8) estão relacionadas às freqüências de notas musicais.
TABELA 2 – Freqüências musicais e a série de Fibonacci
NÚMEROS DE
FIBONACCI
FREQUÊNCIA
CALCULADA (Hz)
NOTA NA
ESCALA
INTERVALO
MUSICAL
1 X 440 : 1 440 A FUNDAMENTAL
2 X 440 : 1 880 A OITAVA JUSTA
2 X 440 : 3 293.33 D QUARTA JUSTA
2 X 440 : 5 176 F
QUINTA
AUMENTADA
3 X 440 : 2 660 E QUINTA
3 X 440 : 5 264 C TERÇA MENOR
3 X 440 : 8 165 E QUINTA
5 X 440 : 2 1,100.00 C# TERÇA
5 X 440 : 3 733.33 F# SEXTA
5 X 440 : 8 275 C# TERÇA
8 X 440 : 3 1,173.33 D QUARTA
8 X 440 : 5 704 F
QUINTA
AUMENTADA
Fonte: MEISNER, 2010 (com detalhes nossos)
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Ainda no cenário das artes, realizou-se uma concisa abordagem do Número de
Ouro em uma obra clássica do artista Leonardo Da Vinci.
A Razão de Ouro e Leonardo Da Vinci
• O número de ouro em uma das obras mais famosas do artista: “A última ceia”.
A Secção de Ouro foi amplamente utilizado por Leonardo Da Vinci. Note
como todas as dimensões-chave da sala e do quadro de Da Vinci "A Última
Ceia" foram baseadas na seção áurea, que era conhecido no período do
renascimento como A Proporção Divina. (MEISNER, 2010)17
FIGURA 17 – Obra “A última ceia” de Leonardo Da Vinci
Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda nossa)
O Número de Ouro no corpo humano
• Veja um exemplo da razão áurea presente no dedo indicador:
FIGURA 18 – A Razão de Ouro presente no dedo indicador
Fonte: MEISNER, 2010
17 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês)
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Como relata Meisner (2010), “cada seção do dedo indicador, da ponta para a base
do punho, é maior do que a anterior obedecendo à série de Fibonacci.”
Curiosamente, o corpo humano também tem duas mãos, cada uma com cinco
dedos, dos quais oito deles são compostos por três partes e dois deles por duas partes. Todos
esses números fazem parte da série de Fibonacci.
• Segundo Meisner (2010), a relação do antebraço para a mão é o Número de Ouro:
FIGURA 19 – A Razão de Ouro em dimensões do braço humano
Fonte: MEISNER, 2010
O Número de Ouro presente no Nautilus
FIGURA 20 – O Número de Ouro presente no Nautilus
Fonte: WIKIPÉDIA, 2010 (com detalhes nossos)
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Nautilus, Série de Fibonacci e Retângulo de Ouro:
FIGURA 20b – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus
Fonte: WIKIPÉDIA, 2010
• Anexando dois quadrados com lado = 1, obtêm-se um retângulo 2x1, sendo o lado
maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores
• Anexando outro quadrado com lado = 2 (o maior lado do retângulo 2x1) obtém-se um
retângulo 3x2
• Continua-se a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos
retângulos obtidos no passo anterior
• A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13,... que é a sequência de
Fibonacci.
• A Sequência de Fibonacci
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FIGURA 20c – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus
Fonte: HUNTLEY, 1985
Com as concordâncias dessas curvas, obtem-se um espiral como a do Nautilus marinho.
A Série de Fibonacci no crescimento de plantas:
“Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos,
suponha-se que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois
meses ara produzir o seu primeiro broto.” (MENDES, 2OO7, p. 53). Tal crescimento em
níveis sucessivo de ramos é demonstrado na figura a seguir:
FIGURA 21 – A Série de Fibonacci no crescimento da planta Achillea ptarmica
Fonte: MEISNER, 2010
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Conclusão:
• Observamos a presença do Número de Ouro e da série de Fibonacci nas escalas
musicais;
• Compreendemos a utilização do número áureo nas frequências musicais;
• Vimos também a razão de ouro nas artes plásticas;
• Relacionamos a razão áurea com o corpo humano;
• Por fim, discutimos exemplos da razão áurea e série de Fibonacci em animais e
vegetais.
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CAPÍTULO 2 - SONDAGEM
Nesse capítulo você verá todo o processo de elaboração do instrumento de
sondagem aplicado durante a realização das ministrações das aulas aqui relatadas.
Discutiremos o objetivo do mesmo, bem como a análise dos seus resultados.
2.1 ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM
A finalidade da elaboração do instrumento de sondagem reside no fato de que,
uma vez que se lance uma proposta pedagógica que ainda não é uma realidade no cenário do
ensino básico na grande maioria das escolas brasileiras, se faz necessário uma coleta de dados
que fundamente uma perspectiva teórica transdisciplinar uma vez já abraçada pelos
envolvidos no projeto que permeou tal trabalho. Sendo assim, foi desenvolvido um
questionário que funcionou como instrumento de sondagem no processo de obtenção do
resultado final das referidas aulas ministradas.
O instrumento de sondagem se constituía de seis questões. Sendo quatro delas
objetivas e duas subjetivas. As questões objetivas contribuíram para a coleta de dados que por
sua vez foram utilizadas para elaboração de gráficos. As outras duas questões de nível
subjetivo serviram de coleta de informações que pudessem contribuir para um melhoramento
no processo de aplicação das aulas de tal natureza, uma vez que trazia a reflexão do alunado
frente à proposta apresentada.
2.2 APLICAÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE SONDAGEM
A fase de aplicação dos instrumentos de sondagem foi realizada ao término das
realizações das aulas em cada turma. Todavia nem todos os alunos se submeteram à aplicação
do questionário. Alguns questionaram se o mesmo contabilizaria pontuação em seu boletim
escolar, uma vez que a importância para esses em se submeter a um processo avaliativo está
intrinsecamente atrelado a contribuição que o mesmo trará em suas médias ao final do
bimestre.
Apesar disso, a maioria dos alunos das duas turmas em que a pesquisa foi
realizada se propôs a responder tal questionário. A maioria dos alunos das duas turmas
demonstrava interesse sobre a temática em discussão. Cabe salientar que a forma como
ministrei as aulas foi de uma estratégia que prezasse pela atuação do alunado enquanto ser
construidor de conhecimento significativo. Nesse sentido a temática transdisciplinar de
45
conteúdos foi amplamente discutida em sala de aula. Veja, na figura a seguir, o questionário
que funcionou como instrumento de sondagem:
FIGURA 22 – Instrumento de Sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
46
CAPÍTULO 3 - RESULTADOS
Os resultados obtidos, com base na coleta de dados, vieram a respaldar as
expectativas teórico-educacionais uma vez esperadas por nós. Apesar de não ter sido tão
abrangente em relação à quantidade de alunos que se submeteram a responder o questionário,
a amostragem estatística obtida pode ser considerada bem representativa no sentido de servir
como um dado que possa representar um contingente maior de alunos – em vista de um
considerável contraste entre os resultados.
3.1 A NÁLISE DOS DADOS COLETADOS
Os gráficos abaixo representam os resultados obtidos após a aplicação do
instrumento de sondagem.
1. O tema Número de Ouro tratado de maneira transdisciplinar possibilitou:
GRÁFICO 2 – Resultado pós-sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
A partir desse gráfico percebe-se que cerca de 54,8% dos alunos – mais da metade
da turma – se identificaram com a abordagem transdisciplinar frente a uma concepção
pedagógica tradicional.
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2. O tema Número de Ouro é mais bem assimilado sob uma ótica:
GRÁFICO 3 – Resultado pós-sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
Este gráfico deixa bem claro a viabilidade de uma abordagem transdisciplinar de
conteúdos frente a um estudo de ciência de maneira puramente abstrata e, consequentemente,
desestimulante.
3. Os exemplos sobre a presença da Razão Áurea no contexto das disciplinas
Música, Matemática, História e Biologia nos faz perceber que:
GRÁFICO 4 – Resultado pós-sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
48
No gráfico acima, percebe-se claramente, a inclinação da grande maioria dos
alunos (96,7%) pela pedagogia transdisciplinar de conteúdos.
4. Em sua opinião, esse tipo de abordagem transdisciplinar é:
GRÁFICO 5 – Resultado pós-sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
No referido gráfico, mais uma vez, as respostas da maioria dos alunos estão em
consonância com a proposta da transdisciplinaridade como ferramenta fundamental para o
aprendizado significativo.
5. Sabe-se que exames vestibulares e o próprio ENEM18
vêm utilizando na
elaboração de suas provas uma abordagem transdisciplinar, com inserções de
"temáticas transversais". Em sua opinião, um vestibular estruturado segundo
uma concepção apoiada na transdisciplinaridade trará efeitos:
18 Exame Nacional de Ensino Médio
49
GRÁFICO 6 – Resultado pós-sondagem
Fonte: Dados de campo, 2010
Com as respostas acima, nota-se que os alunos perceberam a importante
contribuição da pedagogia transdisciplinar de conteúdos enquanto ferramenta colaboradora
para a facilitação do aprendizado significativo.
50
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.1 CONTRIBUIÇÕES
1. Série de aulas (material didático transdiciplinar preparado com recursos multimídia)
2. Instrumentos de sondagem (questionários)
3. Relato da experiência
4.2 PERSPECTIVAS
Tal trabalho nos dá uma luz para uma contínua discussão sobre estratégias
pedagógicas que prezem pela formação no aluno de um aprendizado significativo e que tenha
real contribuição em seu conhecimento de mundo. O modelo de ensino transdisciplinar, nesse
sentido, tem por finalidade contribuir com tal conquista, complementando (e não substituindo
ou descartando) os modelos vigentes de ensino.
O trabalho realizado por nós, com o intuito de propagar conhecimentos sobre a
aplicação da abordagem transdisciplinar de conteúdos, será disponibilizado na web, com as
informações de todo processo que nos levou a elaboração de tal documento. Além disso, tal
experiência servirá como roteiro para possíveis aplicações em outras abordagens pedagógicas
que tratem sobre a temática da transdisciplinaridade.
51
BIBLIOGRAFIA
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