universidade federal do rio grande do norte … · 1º examinador _____ prof. dr. jean joubert...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

UNIDADE ACADÊMICA ESPECIALIZADA

ESCOLA DE MÚSICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MÚSICA

DENIS NASCIMENTO DA SILVA

SOM DA CIÊNCIA:

O NÚMERO DE OURO COMO TEMA TRANSDICIPLINAR

EM ARTES, MATEMÁTICA, HISTÓRIA E BIOLOGIA

NATAL

2010


SOM DA CIÊNCIA:



Monografia apresentada à Unidade Acadêmica

Especializada em Música da Universidade Federal

do Rio Grande do Norte, como requisito parcial

para obtenção do título de Licenciado em Música.

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva

NATAL

2010

Catalogação da Publicação na Fonte

UFRN – Biblioteca Setorial de Música “Pe. Jaime Diniz”

S586s Silva, Denis Nascimento da Silva

Som da Ciência: O Número de Ouro como tema transdisciplinar

em Artes, Matemática, História e Biologia / Denis Nascimento da Silva. –

Natal, RN, 2010.

49 f.: il.

Orientador: Alexandre Reche e Silva.

Monografia (Graduação) – Escola de Música, Universidade Federal do

Rio Grande do Norte, 2010.

1. Música e Educação. 2. Número de Ouro. 3. Música e Ciência. 4.

Transdisciplinaridade. I. Silva, Alexandre Reche. I. Título.

RN/BS/EMUFRN CDU 78:37


SOM DA CIÊNCIA:



Monografia apresentada à Unidade Acadêmica

Especializada em Música da Universidade Federal

do Rio Grande do Norte, como requisito parcial

para obtenção do título de Licenciado em Música.

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva

Aprovado em: _____ / _____ / _____

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________

Prof. Dr. Alexandre Reche e Silva

Orientador

__________________________________________________

Profa. Dra. Valéria Lázaro de Carvalho

1º Examinador

__________________________________________________

Prof. Dr. Jean Joubert Freitas Mendes

2º Examinador

Natal, 1º de dezembro de 2010.

Dedico esta obra a uma pessoa que teve contribuição

fundamental em grandes conquistas que obtive no presente ano.

Esta é mais uma conquista, Ivonilde. E dedico a você!

AGRADECIMENTOS

A Deus, o mais transdisciplinar de todos os seres. O tema transversal presente em todas

as áreas da minha vida.

A minha família, em especial aos meus pais, pela compreensão e apoio frente a uma

decisão de renúncia de uma profissão clássica e promissora, para partir em busca de um sonho.

Aos amigos presentes e ausentes, mas que na realidade são presentes para minha vida.

Aos professores, colegas e funcionários que de alguma maneira contribuíram com

minha formação acadêmica.

Finalmente, mas não por último, ao meu professor orientador Alexandre Reche pela

contribuição, disponibilidade e por me confiar um trabalho tão meticuloso, importante e de

responsabilidade.

“A mente que se abre a uma nova idéia jamais

voltará ao seu tamanho original.”

Albert Einstein

RESUMO

O Número de Ouro é encontrado em vários assuntos da Música. Ele ainda apresenta uma série de

aplicações em diversas áreas do conhecimento como Matemática, Letras, Biologia, bem como em

outras Artes (Pintura, Arquitetura etc.). Por isso, ele foi escolhido como fio condutor, partindo do

cenário da Música e conectando-se com outras disciplinas. O presente trabalho elaborou um

conjunto de aulas, material didático transdisciplinar, apresentando o tema do Número de Ouro, sob

o enfoque das disciplinas Matemática, História e Biologia. As aulas foram ministradas por mim, em

duas turmas de estudantes do 2º ano do ensino médio da Escola Estadual Professor Francisco de

Assis Dias Ribeiro, no município de Santa Cruz - RN. Os resultados da experiência pedagógica

foram positivos, uma vez que através de instrumento de sondagem, aplicado nas turmas, pudemos

coletar dados que nos mostraram a contribuição transdisciplinar enquanto estratégia didático-

pedagógica no processo de facilitação da aprendizagem, tornando-a mais significativa.

Palavras-chave: Transdisciplinaridade, Número de Ouro, Música e Ciência.

ABSTRACT

The Golden Number is found in various issues of Music. He still has a number of applications in

several areas as Mathematics, Literature, Biology, as well as in other arts (painting, architecture,

etc.) Therefore, he was chosen as a guide, leaving the scene of music and connecting with other

disciplines. This study developed a set of lessons, teaching material transdisciplinary, introducing

the number of golden under the focus of the disciplines mathematics, history and biology. The

lessons were given by me in two classes of students of 2nd year high school of the State School

Professor Francisco de Assis Dias Ribeiro, the city of Santa Cruz - RN. The teaching experience

results were positive, once through the survey instrument used in classrooms we collect data that

showed the transdisciplinary contribution as didactic and pedagogic strategy in the learning

facilitating process, making it most significant.

Keywords: Transdisciplinarity, Golden Number, Music and Science.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIGURA 1 – Violino de Stradivarius .................................................................................. 18

FIGURA 2 – Palheta de Saxofone de Jody Espina ............................................................. 19

FIGURA 3 – Instituto de Gravação de Detroit ................................................................... 19

FIGURA 4 – Templo grego Paternon ................................................................................. 21

FIGURA 5 – Relação entre o Retângulo Áureo e a Série de Fibonacci ............................. 24

FIGURA 6 – A Razão Áurea na canção Tatuagem ............................................................ 26

FIGURA 7 – Obra Composição com vermelho, amarelo e azul de Mondrian ................... 28

FIGURA 7b – Visualização de Retângulos Áureos na obra de Mondrian .......................... 28

FIGURA 8 – Pirâmides de Gizé ........................................................................................ 29

FIGURA 8b – Visualização da Razão Áurea n pirâmide de Quéops .................................. 30

FIGURA 9 – A Razão Áurea presente no Paternon .......................................................... 30

FIGURA 10 – A Razão Áurea presente na Estrela Pentagonal .......................................... 31

GRÁFICO 1 – A Sequência de Fibonacci e o problema dos coelhos ................................. 32

FIGURA 11 – A Razão Áurea na obra Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci ........... 33

FIGURA 12 – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano .................................. 34

FIGURA 12b – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano ................................ 34

FIGURA 12c – O Retângulo Áureo presente no Homem Vitruviano ................................ 35

FIGURA 13 – Proporção Áurea presente na Obra Monalisa .............................................. 35

FIGURA 14 – Razão Áurea utilizada no Projeto de Notre Dame ...................................... 36

FIGURA 15 – O Número de Ouro em dimensões do Edifício das Nações Unidas ........... 36

FIGURA 16 – Visualização das notas de uma oitava musical no teclado .......................... 37

FIGURA 17 – Obra A última ceia de Leonardo Da Vinci .................................................. 39

FIGURA 18 – A Razão de Ouro presente no dedo indicador ............................................. 39

FIGURA 19 – A Razão de Ouro em dimensões do braço humano ..................................... 40

FIGURA 20 – O Número de Ouro presente no Nautilus .................................................... 40

FIGURA 20b – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus ............ 41

FIGURA 20c – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus ............ 42

FIGURA 21 – A Série de Fibonacci no crescimento da planta Achillea ptarmica ............. 42

FIGURA 22 – Instrumento de Sondagem ........................................................................... 45

GRÁFICO 2 – Resultado pós-sondagem ........................................................................... 46





LISTA DE TABELAS

1. Sequência de Fibonacci convergindo para o Número de Ouro ............................... 23

2. Frequências musicais e a Série de Fibonacci .......................................................... 38

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .................................................................................................... 13

METODOLOGIA ................................................................................................ 15

CAPÍTULO 1 - MINISTRAÇÕES DAS AULAS ............................................ 17

1.1 MÚSICA E MATEMÁTICA .............................................................. 18

1.2 MÚSICA E HISTÓRIA ...................................................................... 25

1.3 MÚSICA E BIOLOGIA ..................................................................... 37

CAPÍTULO 2 - SONDAGEM ............................................................................ 44

2.1 ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM ............... 44

2.2 APLICAÇÃO DO INSTRUMENTO DE SONDAGEM ................... 44

CAPÍTULO 3 - RESULTADOS ......................................................................... 46

3.1 ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS .......................................... 46

CAPÍTULO 4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................... 50

4.1 CONTRIBUIÇÕES .......................................................................... 50

4.2 PERSPECTIVAS .............................................................................. 50

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 51

13

INTRODUÇÃO

Os temas transversais são visualizados, no âmbito pedagógico, como importantes

ferramentas na realização de abordagens educativas que facilitem um diálogo transdisciplinar

entre as áreas de conhecimento. Nessa perspectiva, o Número de Ouro, por ser um tema que

nos oferece tal possibilidade se mostrou, de acordo a experiência em sala de aula e com a

visualização dos resultados, uma importante estratégia didático-pedagógica, uma vez que

proporcionou ao alunado uma fruição das idéias das trasdisciplinaridade.

A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção

dourada é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega φ

(phi) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um

número que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de:

seção áurea, razão áurea, razão de ouro, proporção em extrema razão,

divisão de extrema razão ou áurea excelência. (LIVIO, 2006)

O Número de Ouro é encontrado em várias aplicações da Música. As frequências

musicais, como afirma Meisner1 (2010), são baseadas segundo as relações da sequência de

Fibonacci2. Meisner (2010) relata também que as composições musicais muitas vezes

refletem os números de Fibonacci, em seu processo de estruturação - posicionamento de

climax. O Número de Ouro e a sequência de Fibonacci são também utilizados na construção

de violinos (luthieria) e até mesmo na concepção de fio de alto-falantes de alta qualidade.

Na verdade, o tema encontra uma série de aplicações em diversas áreas do

conhecimento como Matemática, Letras, Biologia, bem como em outras Artes (Pintura,

Arquitetura etc.).

Portanto esse tema transversal foi escolhido para servir de fio condutor, partindo

do cenário da Música e conectando-se com outras disciplinas. Com isso esperamos ter

contribuído com a facilitação da aprendizagem nas turmas submetidas a tal experiência

pedagógica, tornando-a mais significativa ao ter se observado um tema em contextos

múltiplos e sob os enfoques de várias disciplinas.

1 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês).

2 Matemático italiano que viveu na idade média e ficou conhecido pela descorberta da série que levou seu

nome (ver pag. 22).

14

Justificativa

Apesar do uso do termo 'transdisciplinaridade', a matéria continua desafiando

educadores. Esse tipo de abordagem pedagógica ainda enseja aplicações práticas de forma

planejada e metodológica. O cenário disciplinar atual continua demandando alternativas para

ministrações de conteúdos estanques e pouco conectados entre si. Nesse sentido, a presente

proposta visou instaurar uma via de conexão transdisciplinar na forma de um conjunto de

medidas que reajam ao referido cenário.

Objetivos

Geral

Apresentar o tema do Número de Ouro, partindo do contexto da Música em

conexão com outras disciplinas. A proposta é mostrar aos professores e alunos da Escola onde

foi realizado o trabalho de pesquisa as idéias da transdisciplinaridade como importante

estratégia para o desenvolvimento de um aprendizado significativo.

Específico

Pesquisar e Programar conteúdos transdisciplinares ao tema do Número de Ouro,

Ministrar aulas em cada disciplina

Elaborar e aplicar instrumento de sondagem

Disponibilizar informações do processo

15

METOLOGIA

PESQUISA DE MATERIAL PARA CADA DISCIPLINA

Foi realizada pesquisa de material da abordagem do Número de Ouro nos cenários

das Artes (com ênfase para Música), Matemática, História e Biologia, visualizando as

conexões de tais disciplinas pela temática do Número Áureo. Na Música, os exemplos

abordados foram sobre o projeto acústico de estúdios musicais, fabricação de instrumentos

musicais, presença da razão áurea em composição musical, observou-se a presença do

Número de Ouro e da série de Fibonacci nas escalas musicais, bem como de sua relação com

as freqüências musicais.

Em outras artes, tais como a pintura e arquitetura, abordaram-se exemplos da razão

áurea na visualização das dimensões do projeto arquitetônico do templo grego Paternon3 e a

presença do Número de Ouro e da série de Fibonacci em obras de Leonardo Da Vinci e

Mondrian4.

Na Matemática, houve a demonstração da definição algébrica do Número de Ouro,

estudo da sequência de Fibonacci e sua relação com o Número de Ouro, a construção do

retângulo de ouro e percepção da sua relação com a série de Fibonacci.

No âmbito da História, apresentaram-se exemplos do Número de Ouro presente no

processo de construções históricas. Na antiguidade, foi observada a relação áurea presente nas

Pirâmides do Egito e no templo grego Paternon, bem como na geometria da estrela pentagonal

da escola pitagórica. Na Renascença, os exemplos coletados foram acerca do Humanismo e

Antropocentrismo - na figura de Leonardo Da Vinci - e suas relações com o Número de Ouro.

No cenário da Biologia, os exemplos da presença do Número de Ouro foram

observados a partir das relações áureas presentes no corpo humano. Visualizou-se também a

presença da razão de ouro no molusco Nautilus5, bem como no processo de crescimento

3 Templo grego construído no séc. V a.C.

4 Pintor holandês modernista que integrou o movimento artístico denominado Neoplasticismo.

5 Moslusco da classe cephalopoda.

16

quantitativo de ramos de algumas plantas. O exemplo apresentado foi o da planta Achillea

ptarmica.6

ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

Os conteúdos programáticos de cada disciplina foram elaborados de forma que

pudessem versar sobre assuntos do programa pedagógico da escola na qual foram realizadas

as ministrações das aulas, de forma a contribuir com uma luz ao aprendizado significativo.

ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM

A elaboração de instrumento de sondagem foi objetivada pelo fato de se querer

levantar dados que possibilitassem demonstrar estatisticamente um resultado do nível de

viabilidade e importância da transdisciplinaridade na educação regular básica.

MINISTRAÇÕES DAS AULAS

As aulas foram ministradas por mim – concluinte de Licenciatura em Música da

UFRN – em duas turmas de estudantes do Ensino médio da Escola Estadual Prof. Francisco

de Assis Dias Ribeiro, no município de Santa Cruz – RN. As aulas foram ministradas em três

disciplinas do 2º ano do ensino médio, com duração de 50 min. cada.

APLICAÇÃO DA SONDAGEM

A aplicação da sondagem foi realizada em forma de questionário escrito entregues

no final das realizações das aulas em cada turma. O questionário era composto de seis

questões nas quais quatro delas eram objetivas e duas subjetivas.

ELABORAÇÃO DE RELATÓRIO DA EXPERIÊNCIA

Após o levantamento de dados de pesquisa do referente projeto, foi realizado o

presente relatório de experiência que é o meu trabalho de conclusão de curso.

6 Espécie de planta em que seus galhos crescem segundo a sequência de Fibonacci (ver pag. 41).

17

CAPÍTULO 1 – MINISTRAÇÕES DAS AULAS

Na sociedade contemporânea percebe-se a tão destacada presença das

multiplicidades e especificidades das coisas. Em um mundo cada vez mais globalizado o

progressivo acúmulo de conhecimento pela humanidade passou a demandar uma maior

especialização do saber. Em sala de aula a realidade é semelhante, porém, visualizada em uma

esfera menor. Em uma ótica geral, essa especialização se faz necessário. Todavia, é preciso

que haja uma comunicação entre áreas de conhecimento, fazendo com que as separações

disciplinares passem a abraçar idéias transdisciplinares.

A transdisciplinaridade não objetiva substituir os atuais modelos de ensino, mas

complementá-los com uma postura que preza pelo favorecimento de um diálogo entre as áreas

de conhecimento. A proposta transdisciplinar busca oferecer ao alunado um diálogo entre

áreas de conhecimento.

Não é incomum, o alunado se achar em uma situação em que não entenda o

porquê de se estudar determinado assunto. Principalmente, quando não percebe uma

contextualização ou contribuição desse assunto no seu dia-a-dia. Como considera Guerreiro

(2003) “nossas escolas são um fardo com pressão da avaliação quase sempre estimulando a

competição entre os alunos [...]”. A proposta transdisciplinar também visa favorecer um elo

de conexão entre os assuntos estudados em sala de aula com o conhecimento de mundo dos

alunos. Ademais, essa proposta sugere ao alunado uma nova ótica e um outro tratamento em

relação ao objeto de conhecimento.

Nesse capitulo, se relatará os conteúdos das aulas ministradas por mim na Escola

Estadual Prof. Francisco de Assis Dias Ribeiro. As aulas primavam pela transdisciplinaridade,

abordando o tema Número de Ouro, partindo sempre do cenário da Música (com referência a

outras Artes) em conexão com as disciplinas Matemática, História e Biologia.

18

1.1 MÚSICA E MATEMÁTICA

O Número de Ouro na Acústica

A razão áurea possibilita uma acústica superior, se comparada com outras razões.

Acredita-se que os gregos a usava para alcançar uma sonoridade esteticamente idealizada por

eles.

O Número de Ouro oferece também, desempenho e acústica excelentes na

concepção de instrumentos musicais. Stradivarius7, por exemplo, usou a seção áurea no

projeto de violinos. Segundo Meisner (2010), tal instrumento é procurado centenas de anos

depois devido à excelente qualidade sonora.

FIGURA 1 – Violino de Stravidarius

Fonte: MEISNER, 2010

Jody Espina8 aplicou o Número de Ouro na concepção do seu saxofone. Dessa

forma, todas as medidas foram analisadas com foco no número áureo. Isto inclui o

comprimento do furo, a largura das paredes da palheta, largura do bico, a profundidade do

furo na frente, entre outros. Esse raciocínio promoveu a ampliação da quantidade de

harmônicos no som, e, portanto, a projeção do bocal. Além disso, há de fato uma eliminação

da estridência irritante característicos de alguns saxofones.

7 Luthier italiano que viveu entre 1648 a 1737. Foi o idealizador do violino que recebeu seu nome.

8 Fundador e presidente da empresa Jody Jazz Saxofone. Conhecido pela idealização das boquilhas para

saxofone e clarinete que levam seu nome.

19

FIGURA 2 – Boquilha de saxofone de Jody Espina


“Os resultados foram surpreendentes, com os artistas dizendo que é mais

brilhante, mais intenso, e mais fácil de tocar do que mesmo as melhores boquilhas que já

haviam experimentado antes.” (MEISNER, 2010).9

O Instituto de gravação de Detroit construiu um "Golden Section Studio“ –

estúdio baseado na razão de ouro. Relata-se que o resultado do uso da Seção Dourada na

construção de tal estúdio é de fato surpreendente. Percebe-se um salto de qualidade em

relação às freqüências. “A voz tem praticamente as mesmas freqüências presentes quando se

fala em qualquer parte da sala.” MEISNER (2010). O layout do estúdio é mostrado a seguir:

FIGURA 3 – Instituto de gravação de Detroit



20

A Razão Áurea é aplicada em diversas situações e abordagens nos cenários de

áreas de conhecimento. Nesse trabalho visualizamos sua abordagem contextualizada nos

bojos das disciplinas Artes, Matemática, História, e Biologia, tendo a Música como mola

propulsora nos diálogos entre tais disciplinas.

Definição do Número de Ouro10

Durante muito tempo os artistas devem se ter perguntado qual era a mais perfeita e

harmoniosa maneira de se dividir um objeto. Também devem se ter perguntado qual é a

relação entre as partes que constituem um objeto para que ele seja considerado belo.

Cerca de 300 anos antes de Cristo, Euclides, encontrou geometricamente a forma

de se fazer essa divisão harmônica e agradável à vista. Ele a chamou de “Seção Áurea”.

Observe agora como foi que Euclides definiu tal divisão:

Tem-se um segmento AB que foi dividido, pelo ponto C, em duas partes: AC e

CB. Supõe-se que AC > CB.

Euclides descobriu que essa divisão mais harmoniosa à vista ocorre quando a

razão entre o segmento todo e a parte maior, é a mesma que existe entre a parte

maior e a menor:

Essa forma de se dividir um segmento constituiu-se na base para a arte e a

arquitetura grega:

10 As informações deste tópico foram extraídas da primorosa apresentação do Prof. Llydio Pereira de Sá (UERJ -

USS), intitulada “A Magia da Matemática” (Sá, s/d). Ela foi escolhida por ser uma importante contribuição ao

nosso trabalho, haja vista sua didática: ilustrativa e de comunicação direta. Ademais, ela me foi de grande

auxílio na preparação e ministração desta aula. Alguns exemplos foram acrescentados e/ou substituídos (ver

fontes) por possuírem detalhes ainda mais elucidativos que no original.

CB

AC=

AC

AB

21

FIGURA 4 – Templo grego Paternon


Para determinação do Número de Ouro usou-se a definição de Euclides,

associada a uma equação do segundo grau.

Figura 5 – Visualização da Razão Áurea em um segmento de reta

Dessa forma, representa-se o segmento AB e as partes da divisão da seguinte

forma: AC = a, CB = b, AB = a + b. Em que CB = b é o segmento menor dessa

divisão.

Pela definição de Euclides, tem-se:

22

A equação da direita mostra que a = bφ, o que pode ser substituído na parte

esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, tem-se:

Multiplicando ambos os lados por φ, resulta:

Finalmente, subtraindo φ2 de ambos os membros da equação e multiplicando

todas as parcelas por − 1, encontra-se:

φ2 − φ − 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma

Em que a = 1, b = -1 e c = -1.

Agora, basta resolver essa equação do 2º grau pela Fórmula de Bháskara:

Substituindo os valores, tem-se:

Resolvendo a equação, tem-se:

Soluções:

23

Assim, chega-se ao valor de φ:

Sequência de Fibonacci:

Fibonacci foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático

europeu depois da decadência helênica. É considerado por alguns como o mais talentoso

matemático ocidental da idade média. E ficou conhecido pela descoberta da sequência que

levou seu nome e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.

“O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de

Fibonacci, na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores. Essa

divisão converge para o número áureo.”(LIVIO, 2006 p. 336). Pode-se ver um exemplo dessa

convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu sétimo termo (1, 1, 2,

3, 5, 8, 13):

TABELA 1 – Sequência de Fibonacci convergindo para o Número de Ouro

Fonte: MEISNER, 2010 (com detalhes nossos)

24

Construção do Retângulo de Ouro

Um retângulo de ouro é simplesmente um retângulo cuja razão entre o lado maior

e o lado menor é o Número de Ouro.

Retângulo Áureo e Série de Fibonacci

Como foi visto, a série de Fibonacci corresponde a uma sequência numérica em

que cada termo é obtido pela soma dos dois termos imediatamente anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, 89, ...). Observe agora essa sequência inscrita no retângulo áureo.

FIGURA 5 – Relação entre o Retângulo Áureo e a Série de Fibonacci

Fonte: WIKIPÉDIA, 2010 (composição nossa)

Conclusão:

Vimos a presença da razão áurea em diversas situações como: em projeto de

estúdio musical, nas dimensões do Paternon, bem como na fabricação de

instrumentos musicais;

Demonstramos também a definição matemática do Número de Ouro;

Conhecemos a sequência de Fibonacci e sua relação com o Número de Ouro;

Aprendemos a construir o “retângulo de ouro” e percebemos sua relação com a

série de fibonacci.

25

1.2 MÚSICA E HISTÓRIA

A segunda aula ministrada foi a aula de Música e História. As abordagens foram

realizadas de forma interativa com os alunos. Com bastantes discussões em sala de aula sobre

a temática do Número de Ouro. Houve apresentação áudio-visual da canção “Tatuagem” que

serviu como mola propulsora para se debater o assunto do Número de Ouro também em

diálogo com a arte plástica partindo para o cenário dos processos de construção histórica.

O número de ouro é frequentemente encontrado em composições musicais.

Como exemplo, o clímax é muitas vezes encontrado em cerca de 61,8% da

canção, ao contrário do meio ou no final da mesma. Nesse sentido, em uma

música de 100 compassos, isso ocorreria nas proximidades do compasso 62.

(MEISNER, 2010)11

A canção “Tatuagem” dos compositores Chico Buarque e Ruy Guerra expressa

bem essa razão:


26

FIGURA 6 - A Razão Áurea na canção “Tatuagem”

Fonte: HOLANDA; GUERRA, 1973 (com detalhes ilustrativos nossos)

27

Recordando a relação de Ouro:

Assim, observa-se:

Tais resultados obtidos são aproximações do Número de Ouro.

Número de Ouro em outras artes

Muitos foram os artistas que deram novas representações ao real, mas Mondrian,

no caso das artes plásticas, foi para além deles. Ele começou a formular as suas próprias

teorias estéticas. Ao seu estilo e princípios artísticos chamou de Neoplasticismo12

.

Mondrian abordou um ideal estético que o destacou como artista em sua época.

Foi a procura constante da harmonia e da beleza que o levou ao encontro da matemática e a

conseqüente inserção das concepções da razão de ouro em suas obras.

Mondrian descobriu o famoso Número de Ouro e com ele chegou ao retângulo de

ouro. Partilhou da idéia de Da Vinci de que a arte deveria ser sinônima de beleza e

movimento contínuo, por isso ambos utilizaram o retângulo de ouro.

12 Movimento artístico de vanguarda liderado por Piet Mondrian, relacionado com a arte abstrata.

28

FIGURA 7 – Imagem da obra Composição com vermelho, amarelo e azul de Piet

Mondrian, 1921

Fonte: LOCHER, 1994

• O retângulo de ouro na área hachurada:

FIGURA 7b – Visualização de retângulos áureos na obra composição com Vermelho, amarelo

e azul de Mondrian

Fonte: LOCHER, 1994 (com detalhes nossos)

29

O Número de Ouro e sua relação com o processo de construções históricas

Enquanto a proporção conhecida como o Número de Ouro sempre existiu em

matemática e no universo físico, não se sabe exatamente quando foi descoberta e aplicada

pela humanidade.

O Número de Ouro na antiguidade

• As Pirâmides de Gizé

FIGURA 8 – Pirâmides de Gizé

Fonte: WIKIPÉDIA, 2010.

Sobre as Pirâmides de Gizé:

• Primeira posição na lista das sete maravilhas do mundo antigo

• Localizadas na cidade de Mênfis, no Egito

• Foram construídas como tumbas reais para os reis Quéops, Quéfren, e Miquerinos -

pai, filho e neto

• Os egípcios acreditavam que, enterrando seu rei numa pirâmide, ele se elevaria e se

juntaria ao sol, tomando o seu lugar de direito com os deuses.

A Razão áurea nas Pirâmides de Gizé

No Egito, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a Razão de

Ouro. A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual

ao Número de Ouro:

30

FIGURA 8b – Visualização da Razão Áurea na Pirâmide de Quéops

Fonte: RIBEIRO, 2009

O Paternon:

• Construído entre 447 e 433 a.C;

• O arquiteto encarregado pela obra foi Phidias13

, que teve a preocupação de realizar

uma obra bela e harmoniosa fundamentada na razão áurea;

• A designação adotada para o Número de Ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a

letra grega φ.

O Número de Ouro presente no Paternon:

FIGURA 9 – A razão Áurea presente no Paternon

Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda nossa)

13 Famoso escultor da Grécia Antiga idealizador do Paternon.

31

Os pitagóricos e a estrela pentagonal

“Segundo os pitagóricos, a essência, que é o princípio fundamental que forma

todas as coisas é o número. O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama [...]”

(SPINELLI, 2003)

• Os Pitagóricos e o Número de Ouro na construção da estrela pentagonal:

FIGURA 10 – A Razão Áurea na estrela pentagonal

Fonte: MEISNER, 2010 (com legenda e detalhes nossos)

“Os pitagóricos14

não conseguiram exprimir como quociente entre dois números

inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado e o lado do pentágono

regular inscritos numa circunferência.” (EDUC, 2010). Dessa forma, quando chegaram a essa

conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isso era muito contrário a toda a lógica que

conheciam e defendiam. Assim, classificaram o Número de Ouro como “irracional”.

O Número de Ouro na Renascença

No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da igreja e

universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo e outra com uma finalidade

mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores à qual pertencia Fibonacci.

14 Seguidores da escola filosófica e matemática de Pitágoras

32

• A contribuição de fibonacci

A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está relacionada com a

solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de

números de Fibonacci.

No século XIII os povos europeus ainda usavam a numeração romana nos seus

cálculos e contagens. Fibonacci foi quem mais contribuiu para a transição para o sistema

numérico indo-arábico que ainda hoje é utilizado.

Na obra Liber Abaci Fibonacci explica como usar a numeração árabe e como efetuar

cálculos com ela. Surgem alguns problemas, um dos quais é o célebre “Problema dos

coelhos". Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano,

supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado?

Sequência de Fibonacci:

GRÁFICO 1 – A sequência de Fibonacci e o “problema dos coelhos”


A Contribuição de Leonardo Da Vinci

Uma contribuição que não pode se deixar de referir foi a contribuição de

Leonardo Da Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus

conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garantia de uma

perfeição, beleza e harmonia únicas.

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Da Vinci representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco

sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus

conhecimentos de matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte.

Homem Vitruviano e o retângulo de ouro:

FIGURA 11 – A Razão Áurea na obra Homem Vitruviano de Leonardo Da Vinci


A razão entre a distância do umbigo aos pés e a distância da cabeça ao umbigo

está na proporção áurea. Da mesma forma, a razão entre a altura do homem e a distância do

umbigo aos pés também representa o Número de Ouro.

O ombro divide a distância entre as extremidades dos dedos - braços abertos

perpendicularmente ao corpo - em dois segmentos que, da mesma forma, também estão na

razão áurea.

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FIGURA 12 – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano

Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nossos)

FIGURA 12b – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano

Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nossos)

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FIGURA 12c – O Retângulo Áureo no Homem Vitruviano

Fonte: RIBEIRO, 2010 (com detalhes nosso)

O Número de Ouro presente na obra Mona Lisa

A Mona Lisa, apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais:

(a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro;

(b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido

também é de Ouro;

(c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro

FIGURA 13 – Proporção Áurea na obra Mona Lisa (1503-1507)

Fonte: LARIIH E GOOIS, 2009

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“A Razão áurea também foi usada no projeto de Notre Dame, em Paris,

construída entre os séc. XII E XIV:” (MEISNER, 2010)

FIGURA 14 – Razão Áurea utilizada no projeto de Notre Dame


Edifício das Nações Unidas e a Razão Áurea

“No edifício das Nações Unidas, a largura do edifício em comparação com a

altura de cada dez andares é uma Razão Áurea.”(MEISNER, 2010)15

FIGURA 15 - O Número de Ouro em dimensões do edifício das Nações Unidas



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Conclusão:

• Diagnosticamos a presença da razão áurea em uma composição musical;

• Observamos também sua presença nas artes plásticas;

• Contextualizamos a razão áurea no processo de construções históricas.

1.3 MÚSICA E BIOLOGIA

Música e a série de Fibonacci

“As escalas musicais são baseadas em números de Fibonacci:” (MEISNER, 2010)16

:

FIGURA 16 – visualização das notas de uma oitava musical no teclado


• São 13 notas no intervalo de uma oitava

• A escala é composta de 8 (oito) notas, cuja 5ª e 3ª notas criam a base de todos os

acordes, e baseiam-se em intervalos de 2ª (maior e menor). Todos esses número fazem

parte da série de Fibonacci.

Meisner (2010) afirma que as freqüências musicais são baseadas em relações de

Fibonacci.


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• Notas na escala da música ocidental são baseados em harmônicos naturais que são

criadas por razões de freqüências.

• Razões encontradas nos sete primeiros números da série de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5,

8) estão relacionadas às freqüências de notas musicais.

TABELA 2 – Freqüências musicais e a série de Fibonacci

NÚMEROS DE

FIBONACCI

FREQUÊNCIA

CALCULADA (Hz)

NOTA NA

ESCALA

INTERVALO

MUSICAL

1 X 440 : 1 440 A FUNDAMENTAL

2 X 440 : 1 880 A OITAVA JUSTA

2 X 440 : 3 293.33 D QUARTA JUSTA

2 X 440 : 5 176 F

QUINTA

AUMENTADA

3 X 440 : 2 660 E QUINTA

3 X 440 : 5 264 C TERÇA MENOR

3 X 440 : 8 165 E QUINTA

5 X 440 : 2 1,100.00 C# TERÇA

5 X 440 : 3 733.33 F# SEXTA

5 X 440 : 8 275 C# TERÇA

8 X 440 : 3 1,173.33 D QUARTA

8 X 440 : 5 704 F

QUINTA

AUMENTADA

Fonte: MEISNER, 2010 (com detalhes nossos)

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Ainda no cenário das artes, realizou-se uma concisa abordagem do Número de

Ouro em uma obra clássica do artista Leonardo Da Vinci.

A Razão de Ouro e Leonardo Da Vinci

• O número de ouro em uma das obras mais famosas do artista: “A última ceia”.

A Secção de Ouro foi amplamente utilizado por Leonardo Da Vinci. Note

como todas as dimensões-chave da sala e do quadro de Da Vinci "A Última

Ceia" foram baseadas na seção áurea, que era conhecido no período do

renascimento como A Proporção Divina. (MEISNER, 2010)17

FIGURA 17 – Obra “A última ceia” de Leonardo Da Vinci


O Número de Ouro no corpo humano

• Veja um exemplo da razão áurea presente no dedo indicador:

FIGURA 18 – A Razão de Ouro presente no dedo indicador


17 Citação traduzida por nós (a língua original é o inglês)

40

Como relata Meisner (2010), “cada seção do dedo indicador, da ponta para a base

do punho, é maior do que a anterior obedecendo à série de Fibonacci.”

Curiosamente, o corpo humano também tem duas mãos, cada uma com cinco

dedos, dos quais oito deles são compostos por três partes e dois deles por duas partes. Todos

esses números fazem parte da série de Fibonacci.

• Segundo Meisner (2010), a relação do antebraço para a mão é o Número de Ouro:

FIGURA 19 – A Razão de Ouro em dimensões do braço humano


O Número de Ouro presente no Nautilus

FIGURA 20 – O Número de Ouro presente no Nautilus

Fonte: WIKIPÉDIA, 2010 (com detalhes nossos)

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Nautilus, Série de Fibonacci e Retângulo de Ouro:

FIGURA 20b – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus

Fonte: WIKIPÉDIA, 2010

• Anexando dois quadrados com lado = 1, obtêm-se um retângulo 2x1, sendo o lado

maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores

• Anexando outro quadrado com lado = 2 (o maior lado do retângulo 2x1) obtém-se um

retângulo 3x2

• Continua-se a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos

retângulos obtidos no passo anterior

• A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13,... que é a sequência de

Fibonacci.

• A Sequência de Fibonacci

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FIGURA 20c – O Número de Ouro e a Série de Fibonacci presentes no Nautilus

Fonte: HUNTLEY, 1985

Com as concordâncias dessas curvas, obtem-se um espiral como a do Nautilus marinho.

A Série de Fibonacci no crescimento de plantas:

“Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos,

suponha-se que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois

meses ara produzir o seu primeiro broto.” (MENDES, 2OO7, p. 53). Tal crescimento em

níveis sucessivo de ramos é demonstrado na figura a seguir:

FIGURA 21 – A Série de Fibonacci no crescimento da planta Achillea ptarmica


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Conclusão:

• Observamos a presença do Número de Ouro e da série de Fibonacci nas escalas

musicais;

• Compreendemos a utilização do número áureo nas frequências musicais;

• Vimos também a razão de ouro nas artes plásticas;

• Relacionamos a razão áurea com o corpo humano;

• Por fim, discutimos exemplos da razão áurea e série de Fibonacci em animais e

vegetais.

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CAPÍTULO 2 - SONDAGEM

Nesse capítulo você verá todo o processo de elaboração do instrumento de

sondagem aplicado durante a realização das ministrações das aulas aqui relatadas.

Discutiremos o objetivo do mesmo, bem como a análise dos seus resultados.

2.1 ELABORAÇÃO DE INSTRUMENTO DE SONDAGEM

A finalidade da elaboração do instrumento de sondagem reside no fato de que,

uma vez que se lance uma proposta pedagógica que ainda não é uma realidade no cenário do

ensino básico na grande maioria das escolas brasileiras, se faz necessário uma coleta de dados

que fundamente uma perspectiva teórica transdisciplinar uma vez já abraçada pelos

envolvidos no projeto que permeou tal trabalho. Sendo assim, foi desenvolvido um

questionário que funcionou como instrumento de sondagem no processo de obtenção do

resultado final das referidas aulas ministradas.

O instrumento de sondagem se constituía de seis questões. Sendo quatro delas

objetivas e duas subjetivas. As questões objetivas contribuíram para a coleta de dados que por

sua vez foram utilizadas para elaboração de gráficos. As outras duas questões de nível

subjetivo serviram de coleta de informações que pudessem contribuir para um melhoramento

no processo de aplicação das aulas de tal natureza, uma vez que trazia a reflexão do alunado

frente à proposta apresentada.

2.2 APLICAÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE SONDAGEM

A fase de aplicação dos instrumentos de sondagem foi realizada ao término das

realizações das aulas em cada turma. Todavia nem todos os alunos se submeteram à aplicação

do questionário. Alguns questionaram se o mesmo contabilizaria pontuação em seu boletim

escolar, uma vez que a importância para esses em se submeter a um processo avaliativo está

intrinsecamente atrelado a contribuição que o mesmo trará em suas médias ao final do

bimestre.

Apesar disso, a maioria dos alunos das duas turmas em que a pesquisa foi

realizada se propôs a responder tal questionário. A maioria dos alunos das duas turmas

demonstrava interesse sobre a temática em discussão. Cabe salientar que a forma como

ministrei as aulas foi de uma estratégia que prezasse pela atuação do alunado enquanto ser

construidor de conhecimento significativo. Nesse sentido a temática transdisciplinar de

45

conteúdos foi amplamente discutida em sala de aula. Veja, na figura a seguir, o questionário

que funcionou como instrumento de sondagem:

FIGURA 22 – Instrumento de Sondagem

Fonte: Dados de campo, 2010

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CAPÍTULO 3 - RESULTADOS

Os resultados obtidos, com base na coleta de dados, vieram a respaldar as

expectativas teórico-educacionais uma vez esperadas por nós. Apesar de não ter sido tão

abrangente em relação à quantidade de alunos que se submeteram a responder o questionário,

a amostragem estatística obtida pode ser considerada bem representativa no sentido de servir

como um dado que possa representar um contingente maior de alunos – em vista de um

considerável contraste entre os resultados.

3.1 A NÁLISE DOS DADOS COLETADOS

Os gráficos abaixo representam os resultados obtidos após a aplicação do

instrumento de sondagem.

1. O tema Número de Ouro tratado de maneira transdisciplinar possibilitou:

GRÁFICO 2 – Resultado pós-sondagem


A partir desse gráfico percebe-se que cerca de 54,8% dos alunos – mais da metade

da turma – se identificaram com a abordagem transdisciplinar frente a uma concepção

pedagógica tradicional.

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2. O tema Número de Ouro é mais bem assimilado sob uma ótica:



Este gráfico deixa bem claro a viabilidade de uma abordagem transdisciplinar de

conteúdos frente a um estudo de ciência de maneira puramente abstrata e, consequentemente,

desestimulante.

3. Os exemplos sobre a presença da Razão Áurea no contexto das disciplinas

Música, Matemática, História e Biologia nos faz perceber que:



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No gráfico acima, percebe-se claramente, a inclinação da grande maioria dos

alunos (96,7%) pela pedagogia transdisciplinar de conteúdos.

4. Em sua opinião, esse tipo de abordagem transdisciplinar é:



No referido gráfico, mais uma vez, as respostas da maioria dos alunos estão em

consonância com a proposta da transdisciplinaridade como ferramenta fundamental para o

aprendizado significativo.

5. Sabe-se que exames vestibulares e o próprio ENEM18

vêm utilizando na

elaboração de suas provas uma abordagem transdisciplinar, com inserções de

"temáticas transversais". Em sua opinião, um vestibular estruturado segundo

uma concepção apoiada na transdisciplinaridade trará efeitos:

18 Exame Nacional de Ensino Médio

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Com as respostas acima, nota-se que os alunos perceberam a importante

contribuição da pedagogia transdisciplinar de conteúdos enquanto ferramenta colaboradora

para a facilitação do aprendizado significativo.

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4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

4.1 CONTRIBUIÇÕES

1. Série de aulas (material didático transdiciplinar preparado com recursos multimídia)

2. Instrumentos de sondagem (questionários)

3. Relato da experiência

4.2 PERSPECTIVAS

Tal trabalho nos dá uma luz para uma contínua discussão sobre estratégias

pedagógicas que prezem pela formação no aluno de um aprendizado significativo e que tenha

real contribuição em seu conhecimento de mundo. O modelo de ensino transdisciplinar, nesse

sentido, tem por finalidade contribuir com tal conquista, complementando (e não substituindo

ou descartando) os modelos vigentes de ensino.

O trabalho realizado por nós, com o intuito de propagar conhecimentos sobre a

aplicação da abordagem transdisciplinar de conteúdos, será disponibilizado na web, com as

informações de todo processo que nos levou a elaboração de tal documento. Além disso, tal

experiência servirá como roteiro para possíveis aplicações em outras abordagens pedagógicas

que tratem sobre a temática da transdisciplinaridade.

51

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