Válasz függvény

Romhányi Judit2006. 10. 26.

PhD. I. evf. Elméleti Fizika Tanszék

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2

Bevezetés

2D és 3D szemcsés rendszereken alkalmazott lokális

perturbációra adott választ vizsgáljuk.

Kísérleti bizonyíték, arra, hogy • a struktúra,• a rendezetlenség,• az anizotrópia,• a súrlódás,

jelentősen befolyásolja a választ.

3

Az erők terjedése a szemcsés anyagokban még megoldatlan probléma. Egyik oka:

Rendezetlenség.

Geometriai eredetű

• bi-diszperz rendszer

• ötszög alakú szemcsék (2D)

Kontaktus erők rendezetlensége

•Kontaktusok redundanciája

•súrlódás Azonos makroszkopikus körülmények közt elvégzett kísérlet eltérő válasz a perturbációra. Motivált a statisztikus fizikai megközelítés.

• Számos, azonos körülmények között elvégzett kísérlet átlagát tekintjük.

4

Elméleti modellek az erő propagálásának jellemzésére, mind a rács, mind a kontínuum tartományban:

• Kontínuum jellegű leírásnál pl.:

• A klasszikus elasztikus modell

• Elliptikus parciális diff egyenletet (PDE) jósol a rugalmassági küszöb alatt

• és hiperbolikusa fölötte.

• A q modell parabolikus PDE megoldást javasol,

• OSL modell megoldása hiperbolikus PDE-t ad.

• Rácsmodellek esetén:

• Rendezett esetre hullámegyenlet jellegű megoldást,

• Gyenge rendezetlenség mellett diffúziós egyenleteket,

• Erős rendezetlenségre pedig elliptikus PDE-t jósolnak.

5

Kísérlet: lokálisan erő alkalmazása után a rendszer válaszának vizsgálata.

Először 2D-s rendszerekkel foglalkozunk:

1. Mono-diszperz korongok rendezett, háromszög rácsba rendezve

2. Bi-diszperz korongokból álló minta, a rendezetlenség különböző fokaival.

3. Derékszögű rácsba rendezett korongok különböző súrlódási eh.kal.

4. Ötszög alakú szemcsék (teljesen rendezetlen eset)

5. Tetszőleges irányú alkalmazott erő hatása

6. Nyírás utáni válasz vizsgálata.

6

A kísérlet bemutatásaFoto-elasztikus mérés: alapja: a szemcsék feszültség által

indukált kettős törése lehetővé teszi 2D-ban a belső szerkezet vizsgálatát.

Elrendezés:

1. Két függőleges plexilap közé pakolt szemcsék

2. A függőlegestől ~2°-kal eltérő lapra helyezett szemcsék.

polarizátorok közé tesszük, majd átvilágítjuk és egy 640480-as felbontású digitális kamerával lefotózzuk.

7

A nyomás alatt álló szemcsén mérve a transzmissziós intenzitást képet kaphatunk a bennük levő erők

(feszültségek) eloszlásáról.

Az erő mérése: Az intenzitás az (x,y) pozícióban:

ahol I0 a beeső intenzitás, t a minta vastagsága, C optikai együttható, a hullámhossz.

F növelésével a fekete-fehér sávok sűrűsödnek, ennek alapján F merhető.

8

Az erő kalibrálása:

Először G2 (i,j)-t határozzuk meg (i,j) pozícióra, majd az N pixellel lefedett egy (v. több) szemcsére négyzet átlagot számolunk:

9

A fekete-fehér sávok sűrűsödésével nő <G2> is, ennek kihasználásával kalibrálunk:

1. Ismert erőket alkalmazva mérjük <G2>-et.

2. Egységes súlyokat alkalmazva mérünk.

10

Az eljárás:

1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkülfeltérképezzük a szemcsék helyét.

2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.

3. Kép: polarizátorok + terhelés

4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás meghatározása.

A 3.Kép - 2.Kép = a lok. perturbáció okozta feszültség változás. ~G2

11

Statisztikus megközelítés:

megvalósítás különböző képet eredményez még rendezett szerkezetű minta esetén is. (súrlódások és kontaktusok a preparáció mikroszkopikus részleteiben rejlik).

Számos, azonos körülmények közt végzett kísérlet átlagos viselkedés

legyen az (x,y) pozícióban a feszültség, az n-dik megvalósítás esetén.

Átlagolás:

• átlagolása n-re.

• Durva-szemcsés átlagolás.

12

Az egyes megvalósítások közti fluktuációt

jellemzi. Var = rms2 (x,y).

(a) átlagos válasz

(b) rms(x,y)

Hasonló jelleg összefüggés keresése:

(i,j)-re.

13

Kísérleti eredmények:4-féle elrendezés, az erők terjedését befolyásoló tényezőknek megfelelően:

• Rendezetlen szerkezetű minta

• Derékszögű pakolás (rendezett) és a súrlódás szerepe

• Nem merőleges irányú erők hatása

• Nyírt rendszer válasza

14

Rendezetlenség szerepe: ~ bidiszprez rendszer válasza

Random kontaktus erők ()Geometriai rendezetlenség

A rendezetlenség (poli-diszperzitás) mértékének kontrolált változtatása:

w(a) : az a korong –átmérő eloszlása.

Bevezetjük az A mennyiséget :

,ahol az m-dik momentum:

A =1 től való eltérés ~ a rendezetlenség mértéke

A =1 felel meg a teljesen rendezett, monodiszperz rendszernek

15

Bidiszperz rendszert vizsgálunk: a1 és a2 átmérőjű szemcsékből rendre N1 és N2 db van. Ekkor

R=a1/a2

ni=Ni/N , (i=1,2)

N= N1 + N2

,ahol

Másik út a rendezetlenség jellemzéséhez:

A szemcse-szemcse auto-korrelációs fv. kiszámolása:A: a rsz. Területe

rij a távolság i és j rész között

,és i, j 1-től N1 ill. N2-ig fut

Különböző szemcsék közt:

16

(a) Hexagonálisan pakolt mono- diszperz korongok auto-korrelációs fv.-e.

(b), (c) és (d):

auto-korrelációs fv. A=0,993, A=0,988 és

A=0,965 esetén. Az auto korrelációs fv. itt gyorsan lecsökken a háttér 1 értékére.

17

rendezetlenség -re emlékeztető jelleg.

Bi-diszperz rendszerek lokális gerjesztésre adott válaszai. A 1 rendezett rendszer ~ két csúcs jellegű válasz, rendezetlenség növelésével a 2 csúcs összeolvad.

18

Derékszögben pakolt korongok vizsgálata különböző mellett.

meghatározása: 2 korongot összeragasztva ( gördülés) lecsúsztatunk egy az ugyanebből az anyagból készült lejtőn.

1=0,94 ; korongok bevonása teflon szalaggal 2=0,48.

Ez a pakolási módszer csökkenti a kontakt erők véletlen jellegét.

( kontaktus szerepet játszik a stabilitásban. A kontaktus háló jól definiált, a kontaktus erő sehol sem 0.)

19

Különböző súrlódás mellett adott válasz. Nagyobb súrlódásnál a válasz fv. viszonylag hamarabb kiszélesedik.

20

Tetszőleges irányú erők hatására adott válasz:Kétféle elrendezés: (50g terhelés)

• -ekből álló rendezetlen rendszer ( = 90°, 60°, 45° és 30°)

• Hexagonális rácsba rendezett korongok ( = 90°, 75°, 60°, 45°, 30° és 15°)

Normális irányú erő esetére belátható, hogy a teljesen rendetlen rsz. úgy viselkedik, mint az elasztikus anyagok. Elasztikus anyagra alkalmazva a irányú erőt, a feszültség-tenzor elemei:

Koordináta transzformáció z-tengely F irányába esik, ezzel pl.

21

22

23

24

A következő kísérletben mono-diszperz korongok háromszög rácsára alkalmazunk irányú erőt.

= 90°-ra az ismert válasz, hogy az erők a 2 rácsvektor irányában terjednek. (a)

= 70°-nál a jobb – bal szimmetria megtörik, de még mindig a rácsvektorok irányában terjednek az erők. (b)

= 60° , az erő az egyik rácsvektor irányába mutat. (c)

25

= 45°, 30° és 15° esetekben

•az egyik irány a kitűntetett rácsvektor iránya,

•a másik pedig ~ 62,5° pozitív irányban a függőleges tengelyhez képest

~ az a másod-szomszéd rácsvektor, amelynek iránya közelebb esik az alkalmazott erő irányához.

26

Nyírt rendszer vizsgálata:• -alakú szemcsék,

• (a függőlegessel bezárt) szögű nyírások.

• Felületre merőleges erő alkalmazása.

1. Felvétel: az alkalmazott terhelés és a polarizátorok nélkül feltérképezzük a szemcsék helyét.

2. Kép: a polarizátorok alkalmazása mellett készül a terhelés nélkül foto-elasztikus háttér.

3. Kép: polarizátorok + terhelés

4. Foto: Ismét polarizátorok és terhelés nélküli felvételesetleges szemcse elmozdulás.

: az a szög, amelynek irányában a rendszernek a legtöbb kontaktusa van. (): eo.

27

() összehasonlítása nyírás előtti és nyírás utáni esetben

Kvantitatív kép a nyírás köszönhető geometriai érintkezési struktúra megváltozásáról. (adatok szemcsére és 50 mérésre vannak átlagolva)

A szerkezetbeli változás nem olyan szembetűnő, mint az az erő-csatornákban.

Megfigyelés: erő-csatornák 45°-os szögben szeretnek állni.

28

Magyarázat:

~ 5°-os nyírás kifejezhető, mint egy /2 szögű forgatás és egy összenyomás 45°-os irány mentén, valamint széthúzás az erre merőleges irányban.

Az összenyomás irányában megnőnek a kontaktus erők, és ez erős aszimmetriához vezet a feszültség hálóban.

Az erő korreláció a kitűntetett irányban hosszú távúak, és a korrelációs függvények hatványfüggvény jellegűek, -0,81 –es exponenssel.

29

3D-s kísérlet:

Dobozba zárt szemcsés anyag esetén a lokális terhelés hatására a doboz alján kialakuló feszültség eloszlását vizsgálták.

Elrendezés:

A homok vékony (~ 100 m) fémes membránra kerül, ennek deformálódását mérték. A P dugattyú ált. kifejtett terhelés M=5g-nak felel meg, A=1cm2 területen.

Mérés 2 különböző méretű és alakú homok keverékén: d1~1mm, d2~300 m.

A lock-in erősítővel (x=0-ban) mért válasz amplitúdót ábrázoljuk ezután az alkalmazott erő-moduláció amplitúdójának (F) fv-ében. Mozgatva az erőt kifejtő dugattyút, zz(x) feltérképezhető a doboz alján.

30

A válasz erő irányú, centrális jelleget mutat. (mint bi-diszperz 2Dben.) A w fél érték szélesség

lineárisan nő a mélység függvényében, és a meredekség anyag függetlenÖsszevetve az egyetlen

rendelkezésre álló elméleti eredménnyel:

(3D fél-végtelen.)

31

Kísérlet összefoglalása:

Rendezett rendszer:

rács-szimmetria megjelenése a válaszban.

F

F

rács

rács

Rendezetlen rendszer:

kontínuum jelleg ~ elasztikus anyagokhoz hasonló viselkedés.

F F

-ek+

Kis skála ~ szemcse mérete.Hiperbolikus fv.ek

Nagy skála ~ kontínuum leírás

Súrlódás rendezetlen jelleg

?

32

Numerikus eredmények:

2D-s szimuláció különböző rácstípusokra (háromszög és derékszögű)

• Mono-diszperz és

• Poli-diszperz korongokkal.

A kísérlet menete:

1. Kontaktusok nélküli kiinduló konfiguráció létrehozása

2. Relaxáció gravitációs térben

3. Merőleges irányú terhelés alkalmazása

4. Újabb relaxáció

33

Mono-diszperz korongok háromszög rácsba rendezve:

A külső erő növelésével átmenet történik az 1 csúccsal jellemzett profilból a 2 csúcsosba. Az átmenethez tartozó erő növekszik növelésével.

Az alk. külső erő (Fext) alatt (x=0) mért válasz Fext fv-ében.

Kis Fext mellett lineáris válasz.

Lineáristól való eltérés oka a külső erő miatti csúszás, ill. a kontaktusok csökkenése.

34

Kis külső erő mellett a kontaktus háló változatlan, a válasz elasztikus jellegű. Növelve Fext-t horizontális kontaktusok szűnnek meg csepp alakban. A csepp mérete Fext –el arányosa nő, és -vel arányosan csökken.

= 0 esetben a csepp alakú tartomány erősen anizotrop.

Ha a csepp nem éri el az aljátnyomáseloszlás 1 csúcsú.

Ha eléri (Fext elég nagy) két csúcs látható a válaszban.

35

0 esetben effektív kapcsolat marad a csepp belsejében is.A rendszer sokkal izotropabbnak látszik, mint =0-nál.

Elég kis -re a rendszerben csúszások léphetnek fel két csúcsú válasz jelenik meg. Ha nagy, a nyomáseloszlást alsó lapon 1 csúcs fogja jellemezni.

36

Köszönöm a figyelmet!

Felhasznált irodalom:

G. Reydellet & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 86 No. 15. (2001)

G. Reydellet, L. Vanel & E. Clément: Phys. Rev. Lett. Vol. 87 No. 3 (2001)

J. Geng, G. Reydellet, E. Clément & R.P. Behringer: Physica D, 182 274-303 (2003)

C. Goldenberg & I. Goldhirsch: Nature, Vol. 435 (2005)