Download - Základy ekonometrie
Základy ekonometrie
Cvičení 227. září 2010
Metodologický postup
1. Specifikace modelu2. Odhad parametrů (tj. kvantifikace)3. Verifikace4. Využití
1. Specifikace modelu
určení proměnných určení vzájemných vazeb mezi
proměnnými formulace hypotéz – v podobě
algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic)
specifikace náhodných vlivů
2. Odhad parametrů
využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat
použití vhodné odhadové techniky
3. Verifikace aneb jak se odhadnutý model
shoduje s teorií a napozorovanými daty ekonomická (jestli proměnné modelu
mají správný směr a intenzitu) statistická (ověření přesnosti a
významnosti výsledků) ekonometrická (zda byly dodrženy
podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)
4. Využití
Kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje
Předpovědi (predikce, prognózy) Volba hospodářské politiky
analýza různých scénářů simulační experimenty
SPECIFIKACE MODELU1. Ekonomický model
Stanovení základní hypotézy (tj. které proměnné použijeme, jak budou působit, jejich intenzita, apod.)
Slovní vyjádření 2. Ekonomicko-matematický model
převedení slovního vyjádření do podoby jedné rovnice (jednorovnicový model) soustavy rovnic (vícerovnicový model)
3. Ekonometrický model zahrnutí faktoru nejistoty v podobě náhodné
složky
Druhy proměnných v modelu I Endogenní
tj. vysvětlované, závisle proměnné hodnoty jsou generovány systémem či
modelem Exogenní
tj. vysvětlující, nezávisle proměnné působí na zkoumaný systém, samy
systémem nejsou ovlivňovány jejich hodnoty jsou determinovány mimo
systém
Zpožděná endogenní
Druhy proměnných v modelu II
Nezpožděné endogenní proměnné vždy v roli vysvětlovaných proměnných
Predeterminované proměnné všechny exogenní proměnné zpožděné endogenní proměnné
Spotřebat = β1 + β2 Příjemt + β3 Spotřebat-1
PredeterminovanéNezpožděná endogenní
Matematický tvar Jednorovnicový model Vícerovnicový model zcela nebo
zdánlivě nezávislých rovnic každou rovnici lze zkoumat buď odděleně nebo
jako vícerozměrný regresní model Simultánní model
nezpožděné endogenní proměnné jak v roli vysvětlovaných, tak vysvětlujících
lze odhadovat jen všechny rovnice najednou
Simultánní model
Analytický tvar
ekonometrie pracuje s ekonometrickými funkcemi buď lineární v parametrech (cca 90%) nebo nelineární, které lze zlinearizovat
logaritmickou či semilogaritmickou transformací (zbývajících cca 10%) např. Cobb-Douglasova produkční funkce logistická křivka
Funkce lineární v parametrech
Funkce nelineární v parametrech
• např. funkce mocninné
• důležitou roli hraje, zda lze funkce zlinearizovat či nikoliv
• nejčastějším způsobem linearizace je
logaritmická transformace
Konstrukce modelu
3 fáze:
i. specifikaceii. kvantifikace (tj. naplnění modelu daty)iii. verifikace
i. ekonomickáii. statistickáiii. ekonometrická
Klasický lineární regresní model (KLRM) obecný model (maticový zápis):
Y = Xβ + u
X – matice (n x (k+1)) pozorování exogenních
(resp. predeterminovaných) proměnných (vč.
úrovňové konstanty)Y – vektor (n x 1) endogenních proměnnýchβ – vektor ((k+1) x 1) parametrůparametrůu – náhodná složka, o které předpokládáme, že má
normální rozdělení N(0,σ2)k - počet vysvětlujících proměnnýchk+1 – počet odhadovaných parametrů
Zápis KLRM po složkách
Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + …βk XK + u
- za předpokladu: n > k(k – počet vysvětlujících proměnných)
- odhadnout koeficienty β – tj. určit b (resp. β^ - tj. odhady β)
Abstraktní X konkrétní model
klasický LRM: Y = βX + u(pracuje s úrovňovou konstantou)
model „naplníme“ daty (tj. provedeme kvantifikaci modelu)=> Y = Xb + e
kde Y jsou napozorované hodnoty, e jsou rezidua
=> kde jsou vyrovnané hodnoty, rezidua jsou 0
Rezidua X náhodná složka
rezidua = rozdíl mezi napozorovanými a vyrovnanými hodnotami:
náhodná složka – rozdíl mezi napozorovanými hodnotami a jejich střední hodnotou:u = Y – E(Y)
Platí: náhodná složka → kvantifikace → reziduum
Bodová odhadová funkce b
vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální
součet čtverců reziduí: eTe
b … ∑ eTe → min
(podmínka pro výpočet odhadové funkce metodou nejmenších čtverců – tj. ordinary least squares)
Bodová odhadová funkce b
b … ∑ eTe → min
? Kdy je funkce minimální ?1. derivace funkce je nulová2. derivace funkce je kladná
Odhad koeficientů β Metoda nejmenších čtverců –
nejznámější technika funkční předpis odhadové funkce:
b = (XTX)-1XTY … bodová odhad.fce- poskytuje odhady:
- nestranné (resp. nevychýlené)- vydatné
bT = (b0, b1, b2,… bk)
Nestrannost odhadu
ß
f(b)
Nestrannost
b
Vydatnost odhadu
ß
f(b)
Vydatnost
b
Velký výběr
počet pozorování n ≥ 30 Konzistentní – bodový odhad b je
konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému=populačnímu parametru
Asymptoticky nestranný – je to slabší vlastnost, (pokud je odhad asymptoticky nestranný tak je i konzistentní)
Asymptotická vydatnost – rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce
Příklad
Yi = (5, 4, 6, 4, 3)
Xi = (3, 2, 3, 2, 3)
Yi = β1 + β2 Xi + ui, i = 1, 2, ... 5
Stanovte odhad parametrů β1 a β2, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální
Napište odhadnutou regresní rovinu Vypočítejte vyrovnané hodnoty Vypočítejte rezidua ei
Graf – skutečná pozorování
Graf – regresní přímka
Skutečné hodnoty vs. vyrovnané