dr.-ing. rené marklein - nft i - ws 06/07 - lecture 4 / vorlesung 4 1 numerical methods of...

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

4th Lecture / 4. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


FD Method – 1-D, 2-D, 3-D Grid System / FD-Methode – 1D-, 2D- und 3D-Gittersystem

1-D Node-Based Grid /1D knotenbasiertes Gitter


x x x x

Nodes with Assigned Field Quantities /Knoten mit zugeordneten Feldgrößen:

[V], [V/m], [A/m], [Vs/m] E H A

y

x



FD Method – Grid Size / FD-Methode - Gittergröße

min2

x

min

:

:

x

Spatial grid size / Räumliche Gittergröße

Minimal wavelength / Minimale Wellenlänge

Sampling Theorem in Space / Abtastkriterium im Raum

min

min min min

10, ,30

= , ,10 30

G Gx

xG

minmin

max

cf

min

max

:

:

c

f

Minimal phase velocity / Minimale Phasengeschwindigkeit

Maximal frequency / Maximale Frequenz

Sampling Resolution / Abtastauflösung

Rule of thumb / Daumenregel


FD Method – Stability Condition / FD-Methode - Stabilitätsbedingung

1 xtcD

1,2,3 :

:c

D Spatial dimension of the problem / Räumliche Dimension des Problems

Maximal Energy Propagation Velocity / Maximale Energieausbreitungsgeschwindigkeit

Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit–

CFL-Bedingung

CFL: Courant, Friedrichs, Lewy / CFL: Courant, Friedrichs, Lewy /

Courant, R., K. Friedrichs und H. Lewy: Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, Vol. 100, S. 32-74, 1928. / Courant, R., K. Friedrichs, and H. Lewy: On the partial differential equations of mathematical physics. IBM Journal, pp. 215-324, March 1967.

max

max

max

1-D / 1D: 1

1 12-D / 2D: 0.7072 2

1 13-D / 3D: 0.5773 3

xt t tc

xt t tcxt t tc

ref

ref

: tttxtc

Courant number /

Courant - Zahl

http://domino.research.ibm.com/tchjr/journalindex.nsf/a3807c5b4823c53f85256561006324be/769774a3c9f3685f85256bfa00683f8a?OpenDocument


FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung

refref ref

ref

ref

ref

ref2

ref ref ref ref

ref

refee e ref e ref ref

ref

ˆ

ˆ

x x

xx

xt t t t

c

z x zc c c

c

E E E

J J J J Et

ref

ref

ref

Reference cell width in m / Referenz-Zellenweite in mReference propagation velocity in m/s / Referenz-Ausbreitungsgeschwindigkeit in m/sReference permittivity in As/Vm / Referenz-Permi

xc

ref

ttivität in As/VmReference electric field strength in V/m / Elektrische Referenz-Feldstärke in V/mE


FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung

2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2

0 0 0 e ref e e2( ) ˆ ˆ2 2( )

z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x

tE E E c E E E c tJ J Jz

2 222 2 ref0 ref2 2

ref2

2 ref

ref2ref 2

ref2

( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

t ttc cz x

xt

cc

x

t

ref

ref 00 0

ref 0

ref

1=

1 V/m

z x

c c

E

2 2 ref0 0 e ref ref ref ref ref

refc tJ c t t E

t

t

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2e e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x xE E E t E E E t J J

With / Mit


FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung

2 2

0 e2 2 20

01( , ) ( , ) ( , ) for / für0x x xz Z

E z t E z t J z tt Ttz c t

1-D wave equation / 1D Wellengleichung

Causality / Kausalitäte

e e0 0 0

( , ) ( , ) 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) 0

x x

x

E z t J z t tJ z t K z z z f t t

(0, ) 0( , ) 0x

x

E tt

E Z t

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

Z

0z z Z

( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t


FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung

Normalized 1-D FD wave equation / Normierte 1D FD Wellengleichung

(Causality / Kausalität)

0 0

( , ) ( , )e( ) ( )( , ) ( )

e e

0 1

1

z t z t

z z zz t t

n n n nx x t

n n nn n nx x t

E J n

J K f n

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary condition / Randbedingung

Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /

Diskretes hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2

( , ) ( , 1)e e

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 for / für1

ˆ ˆ

z t z t z t z t z t z t

z t z t

z zn n n n n n n n n n n nx x x x x x

t t

n n n nx x

n NE E E t E E E

n N

t J J

z z z z

zZ zN

1zn z zn N

( , ) 0z tN nxE (1, ) 0tn

xE ( , )z tn nxE


FD Method – 1D FD Wave Equation – Flow Chart / FD-Methode – 1D FD-Wellengleichung - Flussdiagramm

( , ) ( , 1) ( , 2) ( 1, 1) ( 1, 1)2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( )z t z t z t z t z tn n n n n n n n n nx x x x xE t E E t E E

( , ) ( , ) ( , 1) ( , 2)e e

ˆ ˆ ˆ ˆz t z t z t z tn n n n n n n nx x x xE E t J J

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

For all nz : 1-D FD wave equation / 1D FD Wellengleichung

For all nz : Excitation / Anregung

No

Yes


FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density

Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss

0

0

0

0

00 0

( , )

00

1( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , )

y

y x

t

y x xt t

H z t

t

y xt t

H z t E z tt z

H z t E z t E z t dtz z

H z t E z t dtz

em

em

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )z x y

t t tS z t E z t H z t

S R E R ×H R

0

0

0

0

0 0

00

0 00

0 00

1 , ,2 2 2

1( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ,2

( , ) ,2

x x

t t

y y xt t

t t

y xt t

t

y x

t tE z z t E z z tz

H z t H z t E z t dtz

tH z t E z t dtz

t tH z t E z tz

Applying the mid-point rule / Wende die Mittelpunktsregel

an




0 0 00

1 1( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x x

t t tH z t H z t E z z t E z z tz

ref

ref 00 0

ref 0

ref

1=

1 V/m

z x

c c

E

ref ref0

0

ref ref 0

ref

ref refref ref refref ref ref ref

ref ref ref ref ref2ref

em zem z em ref em ref ref refref

ˆ

ˆ

ˆ

x x

y y

zt t t t

cc c c

E E E

E EH H H H E E

c Z

ES S S S E H

Z

ref refref ref 0 ref 0 0

ref refref ref

ref0 ref 0 0

ref refref ref

1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

1 1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

y y x x

y y x x

t z t tE H z t E H z t E E z z t E z z t

z c

t z t tH z t H z t E E z z t E z z tz cE

0 0 0

refref ref

1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x xt t tH z t H z t E z z t E z z t

c




( , ) ( , 1) ( 1, ) ( 1, )ˆ ˆ ˆ ˆ

2z t z t z t z tn n n n n n n n

y y x xtH H E E

0 0 0refref ref

0 0 0

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

y y x x

y y x x

t t tH z t H z t E z z t E z z tc

t t tH z t H z t E z z t E z z t

em

em

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )z x y

t t tS z t E z t H z t

S R E R ×H R

( , ) ( , ) ( , )em

ˆ ˆ ˆz t z t z tn n n n n ny y xS H E


FD Method – 1D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel

00 0

0

2( 1) 1 cos cos 2 0( ) 2

0 else / sonstn

n

RC

f nt f t t nT Tf t n f

Raised cosine pulse with n cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit n Zyklen

2

0 0 00

1 21 cos cos 2 0 22( )

0 else / sonstRC

f t f t t T Tff t

Raised cosine pulse with 2 cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit 2 Zyklen

Time / Zeit t

00

1fT

00

2T

Frequency / Frequenz

Circular Frequency / Kreisfrequenz

02T T

0T

2( )RCf t


FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel

0e 0 RC2 RC2

0( , ) ( ) ( , )x x

z zJ z z t f t E z t f t

c

Electric current density excitation: broadband pulse / Elektrische Stromdichteanregegung: breitbandiger Impuls

RC2

1

1

e m 1

( , )

( , )

( , )

x

y

z

f t

E z t

H z t

S z t

Snap

shot

s / S

chna

ppsc

hüss

e

Source point / Quellpunkt

xE xE

yH yH

emzS emzS


End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung

dr.-ing. rené marklein - nft i - ws 06/07 - lecture 4 / vorlesung 4 1 numerical methods of...

Documents