1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

7th Lecture / 7. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Markleinmarklein@uni-kassel.de

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

2

1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

3

2zn

xE

1

2zn

1

2zn

3

2zn

2zn 1zn zn 1zn

1

2tn

yH tn

3

2zn

xE

1

2zn

1

2zn

3

2zn 1

2tn

Time plane / Zeitebene

Interleaving of the Ex and Hy field components in space and time in the 1-D FDTD formulation / Überlappung der Ex- und Hy-Feldkomponente in der 1D-FDTD-Formulierung im Raum und in

der Zeit

3

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Normalization / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Normierung

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n ny y x x y

n n n n n n n n n nx x y y x

t tH H E E J

z

t tE E H H J

z

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n ny y x x y

n n n n n n n n n nx x y y x

H H t E E tJ

E E t H H t J

ref refref ref

ref ref

ref ref ref ref ref 0

ref

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ref ref

ˆ

ˆ

ˆ

x x

y y

x xt t t t t t

c c

z x z c c c

E E E

EH H H H

c

ref ref ref refref ref

ref ref ref

refee e ref e ref ref

ref

ref refmm m ref m ref ref

ref ref ref

xx

xx

EE E

Z

J J J J Et

EJ J J J H

t t c

4

1-D FDTD – Staggered Grid in Space – Global Node Numbering / 1D-FDTD – Versetztes Gitter im Raum – Globale Knotennummerierung

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE

( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE

( , )z tn nyH

2

z2

z

1zn 3

2zn

( 3 / 2, 1/ 2)z tn nxE

( 1,, )z tn nyH

2

z2

z3

2zn 2zn 1zn

( 2, )z tn nyH

( 1, )z tn nyH

( 3 / 2, 1/ 2)z tn nxE

2

z

2

z2

z

zn1

2zn 1

2zn

( 1, )tn nxE ( , )tn n

xE

( , )tn nyH

2

z2

z

1zn 3

2zn

( 1, )tn nxE

( 1, )tn nyH

2

z2

z3

2zn 2zn 1zn

( 2, )tn nyH ( 1, )tn n

yH

( 2, )tn nxE

2

z

z

z

5

1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Compute 1-D Faraday’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

Compute 1-D Ampère-Maxwell’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n

x x y yE E t H H

6

1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

Berechne die 1D-Faraday-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n

NeinNein JaJa

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n

Berechne die 1D-Ampère-Maxwell-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet::

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n

x x y yE E t H H

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ

7

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

Causality / Kausalitätm

e

e e0 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( ) ( ) ( ) 0

y y

x x

x

H z t J z t t

E z t J z t t

J z t K z z z f t t

(0, ) 0

( , ) 0x

x

E tt

E Z t

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

Z

0z z Z

( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t

m0 0

e0 0

01 1( , ) ( , ) ( , ) for / für

0

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

z ZH z t E z t J z t

t Tt z

E z t H z t J z tt z

8

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

Causality / Kausalität

0 0

( , ) ( , )m

( , ) ( , )e

( ) ( )( , ) ( )e e

0 1

0 1

1

z t z t

z t z t

z z zz t t

n n n ny y t

n n n nx x t

n n nn n nx x t

H J n

E J n

J K f n

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

Initial condition / Anfangsbedingung

Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /

Diskretes hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

z z z z

zZ zN

1zn z zn N

( , ) 0z tN nxE

(1, ) 0tnxE

( , ) ( , ),z t z tn n n nx yE H

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , )

1 for / für

1

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t

n n n n n n n n n n z zy y x x y

t t

n n n n n n n nx x y y

n NH H t E E tJ

n N

E E t H H

( 1/ 2, )e z tn nxt J

Discrete 1-D FDTD equations / Diskrete 1D-FDTD-Gleichungen

(2, )tnxE

(2, )tnyH

(1, ) 0tnyH

( , )z tN nyH

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

9

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

Excitation pulse: RC2(t) – Time Domain / Anregungsfunktion: RC2(t) – Zeitbereich

Excitation pulse: RC2(f) – Frequency Domain / Anregungsfunktion: RC(f) – Frequenzbereich

Mag

nti

ud

e |

RC

2(f

)| /

B

etr

ag

|R

C(f

)|A

mp

litu

de R

C2

(t)

/ A

mp

litu

de

RC

(t)

10

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

11

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

12

Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

Absorbing/open boundary condition / Absorbierende/offene Randbedingung

(1, ) (2, 2)

( , ) ( 1, 2)1

t t

z t z t

n nx x

t tN n N nx x

E En N

E E

0.5t For / Für

a plane wave needs two time steps, 2 nt , to travel over one grid cell with the size ∆z / braucht eine ebene Welle zwei Zeitschritte, 2 nt , um sich über eine Gitterzelle der Größe ∆z

auszubreiten

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung

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FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

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FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

15

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

16

FDTD Books / FDTD-Bücher

Taflove, A. (Editor): Advances in

Computational Electrodynamics: The

Finite-Difference Time-Domain Method.

Artech House, 1998.

Kunz, K. S., Luebbers, R. J.: The Finite Difference Time

Domain Method for Electromagnetics.

1993

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. 2nd

Editon, Artech House, Boston,

2000.

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-

Domain Method. Artech House, Boston,

1995.

17

FDTD Books / FDTD-Bücher

Sullivan, D. M.: Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method. IEEE Press, New

York, 2000.

18

End of Lecture 7 /Ende der 7. Vorlesung