dr. roberto carlos garcía gómez€¦ · establecimiento de los sistemas coordenados de las demás...

Dr. Roberto Carlos García Gómez

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} La cinemática del robot estudia el movimiento delmismo con respecto a un sistema de referencia.

} La cinemática se interesa por la descripción analítica delmovimiento espacial del robot como una funcióndel tiempo, y en particular por las relaciones entre laposición y la orientación de la herramienta del robotcon los valores que toman sus coordenadas de susarticulaciones.

} Existen dos problemas fundamentales a resolvercon respecto a la cinemática del robot:

Departamento de Metal-Mecánica / rcgg 2


} Cinemática Directa. Consiste en determinar laposición y orientación del extremo final delrobot con respecto al sistema de la base delrobot a partir de conocer los valores de lasarticulaciones y los parámetros geométricos.

} Cinemática Inversa. Resuelve la configuraciónque debe adoptar el robot para una posición yorientación conocidas del extremo.



Cinemática Directa (ángulos para encontrar posición):

Se conocea) La longitud de cada eslabón.

b) El ángulo de cada articulación.

Se busca La posición de cualquier punto (coordenadas con respecto a la base)

Cinemática directa

Cinemática inversa

Cinemática Inversa (posición para encontrar ángulos):Se conoce

a) La longitud de cada eslabón.b) La posición de cualquier punto (coordenadas con respecto a la base).

Se busca El ángulo de cada articulación necesitados para obtener la posición



El problema cinemático directo se reduce a encontrar lamatriz de transformación homogénea (T) que relacionela posición y orientación del extremo del robot respectoa su sistema de referencia fijo (base del robot). Lamatriz T está en función de los parámetros de lasarticulaciones el robot. Para un robot de n grados de libertadtenemos:

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �

� = � � � � , � � , � � , � � , � � , … � �Donde:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � á� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . → � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .

� , � , � → � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ó� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� , � , � → Á� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �



} Las funciones mencionadas pueden ser encontradas mediante métodos geométricos para el caso de robots de 2 grados de libertad (cada relación articulación-eslabón constituye un grado de libertad:

x = � � cos � � + � � cos � � + � �

y = � � sin � � + � � � � � � � + � �



Para robots de más de 2 grados de libertad es difícil aplicarmétodos geométricos para la solución de su cinemática directa.

A cada eslabón se le asocia un sistema coordenado yutilizando transformaciones homogéneas es posible representarlas rotaciones y traslaciones relativas entre los diferenteseslabones que componen el robot.

Siendo la matriz :

La matriz de transformación homogénea que representa laposición y orientación relativa entre los sistemas asociados ados eslabones consecutivos del robot.

Se puede representar de forma parcial o total la cadenacinemática que forma el robot:

� � � ��

A ��

= ∏ A � � ��

� � �



Encontrar la forma explícita de la función querelaciona el espacio de articulaciones del robot(dimensiones de los eslabones y girosrelativos) con el espacio cartesiano deposiciones/orientaciones.

� , � , � , � , � , � = � � � , � � , � � , � � , � � … , � �



} Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas

} S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot

� � = � . � �



En 1955 Denavit y Hartenberg propusieron un método matricialque permite establecer de manera sistemática un sistema decoordenadas. La representación de Denavit-Hartenberg (D-H)establece que seleccionándose adecuadamente los sistemas decoordenadas asociados a cada eslabón, será posible pasar deuno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas quedependen exclusivamente de las características geométricas deleslabón.

Reduciéndose al siguiente patrón de transformaciones quepermiten relacionar el sistema de referencia del elemento i conrespecto al sistema del elemento i-1:

Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi

Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di

Traslación a lo largo de Xi una distancia ai

Rotación alrededor del eje Xi un ángulo αi



Desarrollando la expresión:

� � � ��

= � � , � � ∙ � 0,0, � � ∙ � � � , 0,0 ∙ � � , � �

� � � ��

=

cos � � − sin � � 0 0sin � � cos � � 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 � �

0 0 0 1

1 0 0 � �

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 cos � � − sin � � 00 sin � � cos � � 00 0 0 1

Obtenemos la expresión general de DH, donde θi, di, ai, αi son los parámetros DH del eslabón i:

� � � ��

=

cos � � − sin � � cos � � sin � � sin � � � � cos � �

sin � � cos � � cos � � − sin � � cos � � � � sin � �

0 sin � � cos � � � �

0 0 0 1Departamento de Metal-Mecánica

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Para que la matriz Aii-1 relacione los sistemas coordenados Oi y

Oi-1 es necesario que los sistemas coordenados se determinenmediante los siguientes pasos:

1. Numerar y etiquetar el eslabón fijo (base) como O.2. Numerar y etiquetar los eslabones móviles desde 1 hasta n

eslabón móvil.3. Localizar y numerar el eje de cada articulación y etiquetarla

comenzando desde z0 hasta zn-1. Si la articulación es rotativa,el eje será su propio eje de giro. Si la articulación esprismática, el eje será a lo largo del cual se produce eldesplazamiento.

Establecimiento del sistema coordenado de la base:

4. Establecer el sistema coordenado de la base estableciendo elorigen como O0 en cualquier punto del eje z0. arbitrariamenteestablecer los ejes x0 y y0 respetando la regla de la manoderecha.



Establecimiento de los sistemas coordenados de las demásarticulaciones:

5. Localizar el origen Oi

a. En la intersección del eje zi con la línea normal común a laintersección de zi y zi-1.

b. En la intersección de zi y zi-1, si es que zi y zi-1 se intersectan.

c. En la articulación i, si zi y zi-1 son paralelos.

6. Establecer xi:

a. A lo largo de la línea normal común entre los ejes zi y zi-1 quepasan por Oi.

b. En la dirección normal al plano formado por zi y zi-1, si es queestos dos ejes se intersectan.

7. Establecer yi de acuerdo a la regla de la mano derecha.



Establecimiento de los sistemas coordenados de laherramienta:

8. Localizar el sistema coordenado n-ésimo en el extremo delrobot. Si es una articulación rotacional, establecer zn a lolargo de la dirección zn-1 y establecer el origen On de lamanera que más convenga a lo largo de zn, preferente enel centro de la pinza o la punta de cualquierherramienta que el robot tenga montada.

9. Establecer xn y yn de acuerdo a la regla de la manoderecha. Si la herramienta es una pinza, es comúnestablecer el eje yn entre los “dedos” de la pinza y xn seráortonormal a zn y yn.



Obtener las matrices de transformación homogéneas

10. Crear una tabla con los parámetros D-H de los eslabones:

Eslabón i θi di ai αi



Donde:

θi = Es el ángulo formado por los ejes xi-1 y xi medido en unplano perpendicular a zi-1utilizando la regla de la mano derecha.Este es un parámetro variable en articulaciones rotatorias.

di = Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen Oi-1hasta la intersección del eje xi con el eje zi-1. Este es un parámetrovariable en articulaciones prismáticas.

ai = Para articulacionesrotatorias: es la distancia a lo largo del eje xi desde el origen Oi hasta laintersección del eje zi con el eje zi-1.prismáticas: es la distancia más corta entre los ejes

αi = Es el ángulo formado por los ejes zi y zi-1 medido en un planoperpendicular al eje xi utilizando la regla de la mano derecha.



11. Realizar la matriz D-H de transformación homogéneaAii-1 para cada eslabón de acuerdo a los datos de latabla del punto anterior.

12. Obtener la matriz de transformación que relacione elsistema coordenado de la base con el sistemacoordenado del extremo del robot, resultando en laposición y la orientación del sistema coordenado de laherramienta expresado en coordenadas de la base.

T=A ��

= ∏ A � � ��

� � �



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