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Drehachse und Drehwinkel
Jede Drehung Q im R3 besitzt eine Drehachse, d.h. lasst einenEinheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einenWinkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.
Bezuglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v ,w besitzt Q dieMatrixdarstellung
Q =
1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ
.
Insbesondere gilt fur den Drehwinkel
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) .
Drehachse und Drehwinkel 1-1
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Drehachse und Drehwinkel
Jede Drehung Q im R3 besitzt eine Drehachse, d.h. lasst einenEinheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einenWinkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.
Bezuglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v ,w besitzt Q dieMatrixdarstellung
Q =
1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ
.
Insbesondere gilt fur den Drehwinkel
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) .
Drehachse und Drehwinkel 1-2
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Drehachse und Drehwinkel
Jede Drehung Q im R3 besitzt eine Drehachse, d.h. lasst einenEinheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einenWinkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.
Bezuglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v ,w besitzt Q dieMatrixdarstellung
Q =
1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ
.
Insbesondere gilt fur den Drehwinkel
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) .
Drehachse und Drehwinkel 1-3
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Beweis:
Orthogonalitat der Drehmatrix Q =⇒
Q−1 = Qt , | det Q| = 1
|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,denn bei geeigneter Numerierung
λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1
oderλi ∈ {−1, 1}
Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1
Drehachse und Drehwinkel 2-1
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Beweis:
Orthogonalitat der Drehmatrix Q =⇒
Q−1 = Qt , | det Q| = 1
|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,
denn bei geeigneter Numerierung
λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1
oderλi ∈ {−1, 1}
Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1
Drehachse und Drehwinkel 2-2
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Beweis:
Orthogonalitat der Drehmatrix Q =⇒
Q−1 = Qt , | det Q| = 1
|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,denn bei geeigneter Numerierung
λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1
oderλi ∈ {−1, 1}
Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1
Drehachse und Drehwinkel 2-3
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Beweis:
Orthogonalitat der Drehmatrix Q =⇒
Q−1 = Qt , | det Q| = 1
|λi | = 1 und λ1λ2λ3 = det Q = 1 =⇒ ∃ Eigenwert λ = 1,denn bei geeigneter Numerierung
λ1 = λ2 , λ1λ2 = 1
oderλi ∈ {−1, 1}
Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1
Drehachse und Drehwinkel 2-4
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orthonormales Rechtssystem u, v ,w
Qu = u
Qv = αv + βw
Qw = γv + δw
Qv ,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonalerMatrizen:
x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u
Matrixform obiger Gleichungen
Q(u, v ,w︸ ︷︷ ︸P
) = (u, v ,w)
1 0 00 α γ0 β δ
︸ ︷︷ ︸
Q
Drehachse und Drehwinkel 2-5
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orthonormales Rechtssystem u, v ,w
Qu = u
Qv = αv + βw
Qw = γv + δw
Qv ,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonalerMatrizen:
x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u
Matrixform obiger Gleichungen
Q(u, v ,w︸ ︷︷ ︸P
) = (u, v ,w)
1 0 00 α γ0 β δ
︸ ︷︷ ︸
Q
Drehachse und Drehwinkel 2-6
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orthonormales Rechtssystem u, v ,w
Qu = u
Qv = αv + βw
Qw = γv + δw
Qv ,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonalerMatrizen:
x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u
Matrixform obiger Gleichungen
Q(u, v ,w︸ ︷︷ ︸P
) = (u, v ,w)
1 0 00 α γ0 β δ
︸ ︷︷ ︸
Q
Drehachse und Drehwinkel 2-7
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orthonormales Rechtssystem u, v ,w
Qu = u
Qv = αv + βw
Qw = γv + δw
Qv ,Qw haben keine u-Komponente, wegen der Winkeltreue orthogonalerMatrizen:
x ⊥ u =⇒ Qx ⊥ Qu = u
Matrixform obiger Gleichungen
Q(u, v ,w︸ ︷︷ ︸P
) = (u, v ,w)
1 0 00 α γ0 β δ
︸ ︷︷ ︸
Q
Drehachse und Drehwinkel 2-8
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Q = P−1QP orthogonal mit det Q = detQ = 1 =⇒(α γβ δ
)=
(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
)
Invarianz der Spur unter Ahnlichkeitstransformationen:
SpurQ = Spur Q = 1 + 2 cosϕ
Drehachse und Drehwinkel 2-9
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Q = P−1QP orthogonal mit det Q = detQ = 1 =⇒(α γβ δ
)=
(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
)Invarianz der Spur unter Ahnlichkeitstransformationen:
SpurQ = Spur Q = 1 + 2 cosϕ
Drehachse und Drehwinkel 2-10
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Beispiel:
Die Matrix
Q =1
2
1 −√2 1√
2 0 −√2
1√2 1
ist eine Drehmatrix, denn
QtQ =1
4
4 0 00 4 00 0 4
= E ⇔ Qt = Q−1
und
detQ =1
8det
1 −√2 1√
2 0 −√2
1√2 1
= +1
Drehachse und Drehwinkel 3-1
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(i) Drehachse:
Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1
1
2
−1 −√2 1√
2 −2 −√2
1√2 −1
︸ ︷︷ ︸
Q−E
u1u2u3
=
000
=⇒ u =
√2/20√2/2
(ii) Drehwinkel:
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) =
1
2(1− 1) = 0
=⇒ ϕ = ±π2
Drehachse und Drehwinkel 3-2
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(i) Drehachse:Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1
1
2
−1 −√2 1√
2 −2 −√2
1√2 −1
︸ ︷︷ ︸
Q−E
u1u2u3
=
000
=⇒ u =
√2/20√2/2
(ii) Drehwinkel:
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) =
1
2(1− 1) = 0
=⇒ ϕ = ±π2
Drehachse und Drehwinkel 3-3
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(i) Drehachse:Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1
1
2
−1 −√2 1√
2 −2 −√2
1√2 −1
︸ ︷︷ ︸
Q−E
u1u2u3
=
000
=⇒ u =
√2/20√2/2
(ii) Drehwinkel:
cosϕ =1
2(SpurQ − 1)
=1
2(1− 1) = 0
=⇒ ϕ = ±π2
Drehachse und Drehwinkel 3-4
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(i) Drehachse:Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1
1
2
−1 −√2 1√
2 −2 −√2
1√2 −1
︸ ︷︷ ︸
Q−E
u1u2u3
=
000
=⇒ u =
√2/20√2/2
(ii) Drehwinkel:
cosϕ =1
2(SpurQ − 1) =
1
2(1− 1) = 0
=⇒ ϕ = ±π2
Drehachse und Drehwinkel 3-5
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(iii) Orientierung:
Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-6
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(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-7
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(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw)
= sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-8
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(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-9
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(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-10
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(iii) Orientierung:Das Vorzeichen von ϕ hangt von der Orientierung der Drehachsenrichtungu ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v ,w} bestimmt werden:
w tQv = w t(cosϕv + sinϕw) = sinϕ
wahle als Rechtssystem
u =
√2/20√2/2
, u ⊥ v =
010
, w = u × v =
−√2/20√2/2
Bilden des Produktes w tQv
sinϕ = (−√2/2, 0,
√2/2)
−√2/20√2/2
︸ ︷︷ ︸
Qv
= 1 ,
d.h. ϕ = π2
Drehachse und Drehwinkel 3-11