dsp 2556 6

รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษิูตานนท ์

ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส ์

DSP 6 The Fast Fourier Transform (FFT)

การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว

CESdSP DSP6-1 EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย

• นศ รูจ้กัความหมายของ การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (Fast Fourier Transform :FFT) และผลการแปลงจากสญัญาณในโดเมนเวลา

• นศ เขา้ใจกระบวนการลดความซบัซอ้นดว้ยเทคนิก FFT



DFT คาํนวณช้า... เพราะการคูณของเลขเชงิซ้อน

• จากเรือ่งของ DFT

• สงัเกตวา่ แตล่ะคา่ของ X(k) นัน้ ตอ้งทาํการคณูจาํนวนเชงิซอ้น • ถงึ N คา่ คอื x(0) ถงึ x(N-1) • และ ถา้ตอ้งการ X(k), โดยที ่k=0 ถงึ N-1 ก็ตอ้งคณูจาํนวน

เชงิซอ้น อกี N คร ัง้ กลายเป็น NxN หรือ N2 • ซึง่เป็นการกนิกาํลงังานของโปรเซสเซอร์อยา่งมาก !!!

1

0( ) ( ) , 0,1,..., 1

Nnk

Nn

X k x n W k N−

== = −∑

โดย

เลขเชิงซ้อน



จาํนวนการคูณและบวกเลขจริงต่อ การคูณเลขเชงิซ้อนหน่ึงครัง้

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ).( ) ( )a jb a jb a a b b j b a a b+ + = − + +

ตวัอยา่ง

วธิทีาํ

1 1 2 2 1 1( ).( )a jb a jb c jd+ + = +

จงหาจาํนวนการคณูและบวก สาํหรบัการเลขเชงิซอ้นขา้งลา่ง

มกีารบวกสามครัง้

มกีารคณู ส่ีครัง้

1 1

2 2

X a jbY a jb

= += +

XY โดยที ่



จาํนวนการคูณเลขเชิงซ้อนสาํหรับ 2-point DFT

0 02 20 1

2 2

(0) (0)(1) (1)

X xW WX xW W

=

กรณี N=2

0 02 20 1

2 2

(0) (0) (1)(1) (0) (1)

X x W x WX x W x W

= +

= +มีการคณูเลขเชิงซ้อน 4 ครัง้



2 ครัง้

2 รอบ

คณู

จาํนวนการคูณเลขเชิงซ้อนสาํหรับ 4-point DFT

0 0 0 0

4 4 4 40 1 2 3

4 4 4 40 2 4 6

4 4 4 40 3 6 9

4 4 4 4

(0) (0)(1) (1)(2) (2)(3) (3)

X xW W W WX xW W W WX xW W W WX xW W W W

=

0 0 0 04 4 4 40 1 2 3

4 4 4 40 2 4 6

4 4 4 40 3 6 9

4 4 4 4

(0) (0) (1) (2) (3)(1) (0) (1) (2) (3)(2) (0) (1) (2) (3)(3) (0) (1) (2) (3)

X x W x W x W x WX x W x W x W x WX x W x W x W x WX x W x W x W x W

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +มีการคณูเลขเชิงซ้อน 16 ครัง้

กรณี N=4



4 ครัง้

4 รอบ

คณู

วธีิลดจาํนวนการคูณเลขเชิงซ้อน

ลองมาดวูา่กรณี N=2 เราได ้

22N W= →

10. 1.

2 2 20

( ) ( ) (0) (1) , 0,1nk k k

nX k x n W x W x W k

=

= = + =∑นัน่คอื

เราได ้

021

2

(0) (0).1 (1)(1) (0).1 (1)

X x x WX x x W

= +

= +



วธีิลดจาํนวนการคูณเลขเชิงซ้อน (ต่อ)

(0) (0) (1)(1) (0) (1)

X x xX x x

= += −

โดยการคาํนวณ WN ไวก้่อน จะทาํใหล้ดการคณูเลขลง

ซึง่อาจจะทาํใหไ้มม่กีารคณูเลขเชงิซอ้นเลย!!!

021

2

11

WW

=

= −

แต่เน่ืองจาก

ซึง่เป็นเลขจาํนวนจรงิ ดงันัน้

หรอื



The Fast Fourier Transform (FFT) เร็ว...เพราะการสลับลาํดบัข้อมูล

• FFT เป็นชือ่เรียกโดยรวมๆของ อลักอรธิมึใดๆ ทีม่กีารแปลง DFT อยา่งเร็ว

• วธิ“ีแบง่แยกแลว้ปกครอง (Divide and conquer)” ก็เป็นหน่ึงวธิทีีจ่ะลดจาํนวนการคณูเลขเชงิซอ้นลง

• เราใช ้การลดทอนทางเวลา (Decimation in time) หรือ DIT กบั N สญัญาณโดเมนเวลา โดยที ่N เป็นเลขกาํลงัของ 2 หรือเรียกวา่ Radix-2 ดงันัน้ชือ่เต็มเรียกวา่ Radix-2 DIT-FFT



x(n) for 4-point DFT (N=4)

x(0) x(1) x(2) x(3)

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com


DSP6-10

n=0,1,2,3




DSP6-11

x(0) x(2) x(1) x(3)

x(2n) x(2n+1)

= เลขคู ่(Even) = เลขคี ่(Odd)

n=0,1



DSP6-12

3

40

.0 .1 .2 .34 4 4 4

( ) ( ) , 0,1,3, 4

(0) (1) (2) (3)

kn

nk k k k

X k x n W k

x W x W x W x W=

= =

= + + +

∑

= เลขคู ่(Even) = เลขคี ่(Odd)

3

40

1 1

4 40 0

.0 .2 .1 .34 4 4 4

( ) ( ) , 0,1,3, 4

(2 ) (2 1)

(0) (2) (1) (3)

kn

n

kn kn

n n

k k k k

X k x n W k

x n W x n W

x W x W x W x W

=

= =

= =

= + +

= + + +

∑

∑ ∑

จดัเรียงข้อมูล



DSP6-13

.0 .2 .1 .34 4 4 4( ) (0) (2) (1) (3)k k k kX k x W x W x W x W= + + +



DSP6-14

.3 .(2 1) .24 4 4 4k k k kW W W W+= =

.22

k kN NW W=

2 .2 . .2 2 ..2 4 24 2

4 2

kk kk kW e e e W

ππ π−− −

= = = =



DSP6-15

.0 .2 .1 .0 .24 4 4 4 4( ) (0) (2) [ (1) (3) ]k k k k kX k x W x W W x W x W= + + +



DSP6-16

.0 .1 .1 .0 .12 2 4 2 2( ) (0) (2) [ (1) (3) ]k k k k kX k x W x W W x W x W= + + +

1

1 20

( ) (2 ) , 0,1, 2,3kn

nX k x n W k

=

= =∑1

2 20

( ) (2 1) , 0,1, 2,3kn

nX k x n W k

=

= + =∑

ผลการแปลง DFT X(k) , k=0,1,2,3



DSP6-17

01 4 2

11 4 2

21 4 2

31 4 2

(0) (0) (0)(1) (1) (1)(2) (2) (2)(3) (3) (3)

X X W XX X W XX X W XX X W X

= +

= +

= +

= +



DSP6-18

21 4 2

2.0 2.12 2

(2) (2) (2)(0) (2)

X X W Xx W x W

= +

= +

2 02 2

NN NW W=

0.2

2 .( 2). 2 . . 2 .( 2).( 2). 2 2 2

2 21n

N

k N n k n N nk N n kN N N

N NW

W e e e Wπ π π− + − −

+

= =

= = =



DSP6-19

2 .(0 2). 2 .0. 2 .2.2. 02 2 2

2 21

2 .(1 2). 2 .1. 2 .2.3. 12 2 2

2 21

n n nn

N

n n nn

N

W e e e W

W e e e W

π π π

π π π

− + − −

=

− + − −

=

= = =

= = =

01 4 2

11 4 2

21 4 2

31 4 2

(0) (0) (0)(1) (1) (1)(2) (0) (0)(3) (1) (1)


= +

= +

= +

= +

ผลการแปลง DFT X(k) , k=0,1,2,3 (ลดรูป)



DSP6-20

• เป็นชือ่เรียก ของ กราฟการไหลของสญัญาณ (signal flow graph) โดยหน่ึง บตัเตอร์ฟลาย มกีารคณูเลขเชงิซอ้น สอง คร ัง้

บตัเตอร์ฟลาย Butterfly

1

1

(0)x

(1)x

(0)X

(1)X

Note: จรงิๆแลว้แมว้า่ =1 สว่น = -1, เป็นเลขจรงิ แต่ตอนน้ีเราจะ

นบัไปก่อนวา่เป็นเลขเชงิซอ้น

02 1W =

12 1W = −

12W0

2W



หา 01 4 2(0) (0) (0)X X W X= +

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04W

หมายเหตุ: ลกูศรทีไ่มเ่ขยีนคา่กาํกบัไว ้จะเทา่กบัการคณูดว้ย “1”

การรวม (Recomposition)



หา 11 4 2(1) (1) (1)X X W X= +

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04W

14W

การรวม (Recomposition) CESdSP DSP6-23 EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หา

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W =

2 21 4 2 1 4 2(2) (2) (2) (0) (0)X X W X X W X= + = +

14W

24W




หา

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W =

14W

24W

34W

3 31 4 2 1 4 2(3) (3) (3) (1) (1)X X W X X W X= + = +




ผลลพัท์ทา้ยสดุคอื 4-point DIT-FFT

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W =

14W

24W

34W

1

04W

24W

1

04W

24W

2-point DFT x 2 CESdSP DSP6-26 EEET0485 Digital Signal Processing




x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)



DSP6-27




DSP6-28

x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7)

x(2n) x(2n+1)

8-point DIT-FFT 28 4

88 2 2j j

N W e e jπ π− −

= → = = −

7

80

0. 1. 2. 3.8 8 8 8

4. 5. 6. 7.8 8 8 8

( ) ( ) , 0,...,7

(0) (1) (2) (3)(4) (5) (6) (7)

nk

nk k k k

k k k k

X k x n W k

x W x W x W x Wx W x W x W x W

=

= =

= + + +

+ + + +

∑

0. 2. 4. 6.8 8 8 81. 3. 5. 7.

8 8 8 8

( ) (0) (2) (4) (6)(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k

X k x W x W x W x Wx W x W x W x W

= + + +

+ + + +

จดัรปูแบบใหม ่



8-point DIT-FFT (ต่อ)

22 .2

2 2/ 2

j NjN

N NW e e W

ππ

= = =จาก

0. 2. 4. 6.8 8 8 8

1. 0. 2. 4. 6.8 8 8 8 8

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

= + + +

+ + + +

0. 2. 3.4 4 4 4

1. 0. 2. 3.8 4 4 4 4

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

= + + +

+ + + +

สงัเกตวา่ เหลอืเพยีงการคาํนวณสาํหรบั 4-point DFT เทา่นัน้

1( )X k

2 ( )X k



ลดรูปลงได้อีกไหม?

1 1( ) ( 4)X k X k= + 2 2( ) ( 4)X k X k= +

01 8 2

11 8 2

21 8 2

31 8 2

(0) (0) (0)(1) (1) (1)(2) (2) (2)(3) (3) (3)


= +

= +

= +

= +

41 8 2

51 8 2

61 8 2

71 8 2

(4) (0) (0)(5) (1) (1)(6) (2) (2)(7) (3) (3)


= +

= +

= +

= +

ไดใ้ชป้ระโยชน์จากความเป็นคาบของสญัญาณ



8-point บตัเตอร์ฟลาย (0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

08W

18W

28W

38W

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X

4-point

DFT

4-point

DFT

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

1(0)X

48W

58W

68W

78W




แต่เรายังลดรูปได้อีก 1.

1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k= + =0. 2. 3.

1 4 4 4 40. 2. 3.

4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.4 4 4 4 4

( ) (0) (2) (4) (6)(0) (4) (2) (6)

(0) (4) (2) (6)

k k k k

k k k k

k k k k k


x W x W W x W x W

= + + +

= + + +

= + + +

2-point DFT 1 ( )aX k 1 ( )bX k

2-point DFT

จาก สมการ 8-point DFT ทีถ่กูลดลงเหลอื 4-point DFTx2

ซึง่กค็อื การแบ่ง 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2



แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFT

สาํหรับ x(0),x(2),x(4) และ x(6)

(0)x

(2)x 4-point

DFT (4)x

(6)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

1(0)X(0)x

(4)x

1(0)X

1(1)X

1(2)X

1(3)X

1 0

4 1W =

14W

24W

34W

1 0

4W

24W

04W

24W

(2)x

(6)x



สาํหรบั x(1),x(3),x(5) และ x(7)

1.1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k= + =

0. 2. 3.2 4 4 4 4

0. 2. 3.4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.4 4 4 4 4

( ) (1) (3) (5) (7)(1) (5) (3) (7)

(1) (5) (3) (7)

k k k k

k k k k

k k k k k


x W x W W x W x W

= + + +

= + + +

= + + +

2-point DFT 2 ( )aX k 2 ( )bX k

2-point DFT

ซึง่กค็อื การแบ่ง 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2



แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFT สาํหรับ x(1),x(3),x(5) และ x(7)

(1)x

(3)x 4-point

DFT (5)x

(7)x

(1)x

(5)x

1 0

4 1W =

14W

24W

34W

1 0

4W

24W

04W

24W

(3)x

(7)x

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X



DIT-FFT สาํหรับ N=8 (0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)x

(2)x

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

08W

48W

08W

48W

08W

48W

08W

48W

28W

08W

48W

68W

28W

08W

48W

68W

18W

08W

28W

38W

48W

58W

68W

78W

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X



สรุป 8-point DFT แตกตวัออกได้จนเหลือ 2-point

DFT

8-point DFT

4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT

2-point DFT + W4k x 2-point DFT 2-point DFT + W4

k x 2-point DFT



กรณี 8-point DIT-FFT (0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

1(0)X

ตวัรวม

8-point DFT (Recomposition to

8-point DFT)

2 point DFT−

2 point DFT−

2 point DFT−

2 point DFT−

ตวัรวม

4-point DFT

ตวัรวม

4-point DFT

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X



กรณี N-point DIT-FFT 2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 2N

/ 2N

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 2N

/ 2N

N



ทาํไม FFT ใช้การคาํนวณเพยีง N log2N ?

2

2RN

=

เมือ่เราให ้R เป็น จาํนวนขัน้ (stage) ท่ีมีการรวม เราจะไดว้า่

2 2 2log log 2 log 2RN − =

2

2

log 1log 1

N RR N

− == −

จงึได ้

สาํหรบั 4–point DFT, R=1

สาํหรบั 8–point DFT, R=2



จาํนวนขัน้การรวม (R)

4

2

2

4-point DFT

จาํนวนครัง้

การรวม (R)= 1

8

4

4

2

2

2

2

8-point DFT

จาํนวนครัง้

การรวม (R)= 1 2



จาํนวนบตัเตอร์ฟลายต่อคอลัมน์ (B)

4 2

2

4-point DFT

8

4

4

2

2

2

2

8-point DFT

จาํนวนคอลมัน์ 2 จาํนวน

บตัเตอรฟ์ลาย (B)= 4 4 4

จาํนวนบตัเตอร ์

ฟลาย (B)= 2 2

จาํนวนคอลมัน์ 3



จาํนวนการคูณเลขเชิงซ้อน

2

2

( / 2) log 2(log )

N NN N

= × ×=

= จ.น.บตัเตอรฟ์ลายต่อคอลมัน์X จ.น.คอลมัน์ X มีการคณู 2 ครัง้ต่อบตั

เตอรฟ์ลาย



เปรียบเทยีบจาํนวนครัง้การคูณเลขเชิงซ้อน ของ DFT และ FFT

เราลดการคาํนวณ จาก เหลอื 2N 2logN NN DFT

N2 FFT

(N log2N) 2 4 8 :

256 512

1,024

4 16 64 :

65,536 262,144

1,048,576

2 8 24 :

2,048 4,608

10,240 CESdSP DSP6-45 EEET0485 Digital Signal Processing


ปรับปรุงบตัเตอร์ฟลาย

r

NW

/ 2r NNW +

-1 r

NW

เราทราบว่า /2 1NNW

จาก

ดงันัน้

ทาํใหเ้หลอื จ.น.การคณูเลขเชงิซอ้นเป็น (N/2)log2N

r= เลขใดๆ

1



1

1 1

-1 -1

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X14W

1 1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

1

1 1

-1

1 1

-1

1

1

04W

เหลือจ.น. การคณูเลขเชิงซ้อนเพียง (N/2)log2N= 4

บตัเตอร์ฟลาย 4-point DFT ที่ถูกลดรูป



สรุป

• FFT ก็คอื DFT แตเ่ป็นการสลบัตาํแหน่งขอ้มลูและเทคนิกการรวมสญัญาณ เพือ่ยอ่ยใหจ้าํนวนการแปลงลดรูปลง วธิกีารน้ี เรียกวา่ Decimation in Time (DIT) และเรียก การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็วน้ีวา่ DIT-FFT

• การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (FFT) แบบจะทาํใหเ้หลือการคณูเลขเชงิซอ้นเหลือเพียง Nlog2N คร ัง้ จาก N2 คร ัง้ เมือ่ใช ้DFT

• หรืออาจจะลดการคณูเลขเชงิซอ้นลงไดอ้กีเป็น (N/2) log2N หากใชก้ารปรบัปรุงบตัเตอร์ฟลาย



dsp 2556 6

Documents