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Dudas o sugerencias sobre este sistema: [email protected] © 2018 Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades, Hecho en México, Comité Organizador
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EMBOBINATE CON HELMHOLTZ
RESUMEN
En este trabajo se realiza un estudio experimental del campo magnético generado
por bobinas de Helmholtz y el efecto que produce en un par de imanes de neodimio
con geometría cilíndrica. Para la construcción de las bobinas se utilizó alambre de
Cu esmaltado que fue enrollado en tubos de PVC. Se construyeron bobinas de dos
radios diferentes con 20, 30 y 40 espiras cada una. El montaje experimental
consistió en suspender el par de imanes con la ayuda de un hilo entre las bobinas
que se encontraban separadas una distancia igual al radio de estas. Posteriormente,
se conectó un circuito eléctrico en serie para hacer circular una corriente eléctrica
por las bobinas usando una fuente de voltaje variable de 18V y de esta forma
generar un campo magnético. Con la ayuda de un multímetro conectado en serie al
circuito se midió la corriente eléctrica mientras que el periodo de oscilación del
péndulo magnético construido con el par de imanes se midió con un cronometro. De
los resultados se observó que, al incrementar la corriente en el circuito el periodo
de oscilación del péndulo magnético disminuye potencialmente. También, el periodo
de oscilación del péndulo magnético depende del número de espiras de las bobinas,
del momento de inercia del par de imanes y de su momento magnético. Sin
embargo, se demostró que la relación entre el campo magnético en la región de
estudio y el generado en el centro de cada bobina es una constante 𝑘 que no
depende de la configuración de las bobinas ni de las características de los imanes.
Como una consecuencia del estudio realizado se determinó experimentalmente la
componente horizontal de la intensidad del campo magnético terrestre en la Cuidad
de México. El valor encontrado fue de 29 ± 2 𝜇𝑇, lo cual concuerda con el valor
reportado en la literatura. Con la realización de este proyecto se logró una mejor
comprensión de algunos conceptos del electromagnetismo contrastando los
resultados experimentales con la aplicación de un modelo que describe el fenómeno
observado.
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INTRODUCCIÓN
El electromagnetismo es una de las ramas de la física sumamente interesantes e
importante, ya que sin lugar a duda el desarrollo científico y tecnológico de la
humanidad no hubiese sido posible sin él. Un experimento que fue fundamental para
el desarrollo del electromagnetismo fue el encontrar una relación entre electricidad
y magnetismo y nos estamos refiriendo al experimento de Hans Christian Oersted,
en el cual se observó que al hacer circular una corriente eléctrica por un alambre
conductor se generaba un campo magnético que hacía mover la manecilla de una
brújula [1-3].
Uno de los objetivos de este trabajo es estudiar la interacción del campo magnético
generado por una corriente eléctrica que circula por un par de bobinas y la
interacción con un par de imanes de neodimio colocado entre el centro de estas.
Por ello, a continuación, se describirá de manera breve algunos conceptos que se
ocuparan en este trabajo.
Campo magnético en una bobina circular
El campo magnético generado por una bobina de 𝑁 espiras circulares de radio 𝑟 en
el centro O de la bobina dependerá de la corriente 𝑖 que circule por ella, ver Fig.1(a).
La expresión matemática se puede deducir aplicando la ley Biot-Savart [1]:
𝐵𝑂 =𝜇0𝑁𝑖
2𝑅⋯ (1)
En donde 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 𝑁
𝐴2 es la permeabilidad magnetica del vacio. La intensidad
del campo magnetico no es uniforme a la largo del eje de la bobina, sino que decrece
conforme se va alejando del centro de la bobina. Para conseguir que el campo
magnetico sea aproximadamente uniforme se utiliza uno de los montajes
experimentales mas empleados, las bobinas de Helmholtz. La idea consiste en
hacer circular una corriente electrica por las bobinas del mismo radio y coaxiales
situadas en planos paralelos, separados una distancia igual al radio de las espiras,
ver Fig. 1(b).
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Fig. 1. (a) Direccion de las lineas de campo magnetico generado cuando circula una
corriente en una bobina circular. (b) Bobinas de Helmholtz.
Si se quiere conocer la intensidad del campo magnetico que generan en las bobinas
de Helmholtz en un punto distinto a O, por ejemplo en C, ver Fig. 1(b), se puede
suponer que el campo magnetico en este nuevo punto seguirá siendo directamente
proporcional al número total 𝑁 de espiras de las dos bobinas (𝑁/2 en cada una) y a
la corriente 𝑖 que circula por ellas, como se muestra en la Ecu. (1). Sin embargo,
debido a que el punto C se encuentra a una distancia 𝑟 del centro de las bobinas es
de esperar que la intensidad del campo magnetico en este punto 𝐵𝐶 sea inferior al
que se tiene en el centro de una única bobina de 𝑁 espiras, es decir:
𝐵𝐶 = 𝑘𝐵𝑂 ⋯ (2)
donde 𝑘 es una constante menor que la unidad. Uno de los objetivos particulares
de este proyecto es determinar experimentalmente el valor de 𝑘 con diferentes
configuraciones de bobinas e imanes.
Una pregunta interesante que se planteo al inicar este proyecto fue: ¿Qué sucede
si colocamos un par de imanes en la region en la cual el campo magnetico es
uniforme? Pues resulto que los imanes comenzaban a oscilar comprobando de
manera cualitativa el experimento de Oersted. Para explicar este fenomeno de
manera cuantitativa a continuacion se describen de manera breve algunos
conceptos que se emplearan en este trabajo.
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Péndulo de torsión magnético
Una brújula se puede construir al suspender un par de imanes con un hilo. En la
posición de equilibrio la brújula marcara la dirección N-S del campo magnético
terrestre cuando no existe la presencia de algún otro campo magnético. Sin
embargo, cuando el sistema es perturbado por un campo magnético, la brújula
comenzara a oscilar en torno a la dirección de equilibrio. Este sistema oscilante
constituye un péndulo de torsión. El par de fuerzas que tiende a llevar la brújula a
su orientación de equilibrio se debe a la interacción entre el campo magnético de la
Tierra (componente horizontal), BT, y el momento magnético de la brújula.
Despreciando el pequeño efecto recuperador debido a la torsión del hilo, existen
trabajos en donde se demuestra que el periodo T de pequeñas oscilaciones
torsionales de la brújula es [4,5]:
𝑇 = 2𝜋√𝐼
𝑚𝐵⋯ (3)
Donde I es el momento de inercia de la brújula, 𝑚 es el momento magnético del par
de imanes y 𝐵 el campo magnético resultante. Si la brújula es un cilindro recto de
masa M, longitud L y radio 𝑅, que gira respecto a un eje perpendicular al eje principal
de simetría por el punto medio (como es nuestro caso), el momento de inercia viene
expresado por [1]:
𝐼 =𝑀𝑅2
4+
𝑀𝐿2
12⋯ (4)
Si las bobinas de Helmholtz se orientan con su eje en la dirección del campo
magnético terrestre 𝐵𝑇 (componente horizontal), y la brújula se coloca en el centro
de las bobinas, lo imanes estarán sometidos a un campo magnético resultante que
viene dado por:
𝐵 = 𝐵𝑇 + 𝐵𝐶 ⋯ (5)
5
Momento magnético de un par de imanes
Para determinar el momento magnético de un par de imanes se puede utilizar la
aproximación dipolar. Esta consiste en determinar el campo magnético producido
por los imanes en un punto de su eje de simetría, su módulo puede expresarse, en
puntos alejados frente al tamaño del imán con la siguiente expresión [6]:
𝐵𝑚 =𝜇0
2𝜋
𝑚
𝑑3⋯ (6)
Donde 𝑚 es el llamado momento magnético del imán, que caracteriza su "potencia"
y 𝑑 es la distancia al centro del imán.
Campo magnético terrestre
El campo magnético terrestre es invisible para el ojo humano, sin embargo, es y ha
sido de gran utilidad para la existencia de la misma tierra y por supuesto de la
humanidad [7]. Por poner algunos ejemplos, si el campo magnético terrestre
desapareciera, no habría vida en el planeta como la conocemos hoy en día y la vida
en este a lo mejor únicamente se hubiera desarrollado en el agua y de una manera
diferente a la que conocemos [7,8]. También, habría consecuencias en el material
genético de los humanos si el campo magnético terrestre desapareciera de repente.
Los satélites fallarían debido a las turbulencias electromagnéticas y las
comunicaciones en el planeta tierra se caerían [9]. Además, el campo magnético
terrestre sirve como una capa protectora a las radiaciones, de la energía magnética
enormemente poderosa que proviene de la actividad de las manchas y erupciones
solares. Esto ha sido fotografiado como gigantescos bucles de fuego, algunos de
160,000 km de alto [10]. De no ser por los cinturones de Van Allen, las zonas de
radiación que rodean la Tierra y que se conectan con el campo magnético del
planeta, la energía del Sol, literalmente nos freiría [8].
Sin lugar a duda por todo lo descrito anteriormente resulta apasionante realizar
investigación sobre este tema, sin embargo, ¿Cuáles han sido los avances durante
la historia acerca de la investigación del campo magnético terrestre?
Actualmente existen diferentes teorías del cómo se genera el campo magnético
terrestre, en primera aproximación, podría ser considerado al que formaría un
6
gigantesco imán de barra que hubiese sido colocado dentro de esta. Sin embargo,
mediciones precisas revelan un campo magnético que es mucho más complicado.
En la literatura se ha reportado que el campo magnético terrestre no solo depende
del magnetismo de la tierra sino también del llamado viento solar, el cual podría ser
explicado como un flujo de partículas cargadas que vienen del Sol [8]. Sin embargo,
aún no se sabe con certeza a que se debe el magnetismo de la tierra. Con respecto
a lo anterior se han propuesto teorías que mencionan que el origen del campo
magnético terrestre se debe a que en el interior de la tierra hay metales fundidos y
que, debido a la rotación terrestre y otros factores, se forman en ellos grandes
corrientes eléctricas, por lo que éstas podrían ser las causantes del campo
magnético de la tierra [7].
OBJETIVO GENERAL DEL PROYECTO.
• Construir un montaje experimental con bobinas de Helmholtz de diferente
radio y número de espiras, con la finalidad de realizar un estudio del campo
magnético que se genera en su zona central cuando se hace circular una
corriente eléctrica y los efectos producidos en un par de imanes de neodimio
cilíndricos con diferente momento de inercia y momento magnético.
OBJETIVOS PARTICULARES DEL PROYECTO.
• Determinar experimentalmente el momento magnético del par de imanes de
neodimio.
• Determinar experimentalmente la componente horizontal del campo
magnético terrestre y contrastar el resultado con el reportado en la literatura.
• Aplicar teoría de propagación de errores para tener una mejor certeza en las
mediciones.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
¿De qué factores depende la interacción del campo magnético inducido por bobinas
de Helmholtz con un par de imanes de neodimio cilíndricos colocados en el centro
7
de estas? ¿Al realizar un estudio experimental con bobinas de Helmholtz se podrá
determinar la intensidad del campo magnético terrestre?
PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS
• Al circular una corriente eléctrica por un par de bobinas se genera un campo
magnético que al interactuar con un par de imanes produce oscilación que
depende de la intensidad de corriente eléctrica.
• Existe una constante 𝑘 que relaciona la intensidad del campo magnético
producido por un par de bobinas en su centro y el generado en un punto
situado en el centro de estas. Dicha constante no depende de la geometría y
numero de espiras de la bobina ni del momento de inercia y magnéticos de
un par de imanes de neodimio situados en dicho punto
• La determinación experimental de la intensidad del campo magnético
terrestre es independiente de las características de la bobina e imanes
utilizadas en el experimento.
DESARROLLO EXPERIMENTAL
Construcción de las bobinas de Helmholtz
Para la construcción de las bobinas de Helmholtz se utilizó alambre esmaltado de
Cobre y tubos de PVC con diámetros internos de 4in (~11.0 𝑐𝑚) y 6 in (~15.4 𝑐𝑚).
Se cortaron con una segueta segmentos cilíndricos del tubo de PVC con un espesor
de aproximadamente 10 cm. Posteriormente, se colocó cinta adhesiva doble cara
en la superficie exterior de los tubos, esto con la finalidad de facilitar el embobinado
de las espiras. Para lograr que las espiras estén bien apretadas una a otras se
colocaron sujetadores de platicos alrededor de la circunferencia. Una vez que se
terminó el embobinado se dejar libres aproximadamente 10 cm de alambre para las
conexiones. Después, las bobinas se fijan a una base de madera separadas a una
distancia igual a su radio (entre los planos centrales de los dos embobinados). Lo
explicado anteriormente se muestra en la Fig. 2(a).
8
Montaje del dispositivo experimental.
Se construyo un soporte de madera para suspender un par de imanes cilíndricos de
neodimio. Los imanes se unen longitudinalmente quedando sujetos con un hilo de
algodón, de tal manera que haga la función de una brújula, ver Fig. 2(b). Después,
se ajusta la altura de los imanes de tal manera que quede en la parte central de las
bobinas. Para lograr esto se construyó un disco con cartón del mismo radio de las
bobinas y en el centro del disco se realizó una perforación para poder observar que
los imanes queden aproximadamente en la posición descrita anteriormente. Es
importante que los imanes queden en posición horizontal, aunque es inevitable que
el imán quede un poco inclinado respecto a la horizontal, ya que el campo local
también tiene componente vertical. Se orientan las bobinas de forma que su eje de
simetría coincida con el eje de los imanes. Por otra parte, se debe evitar en lo posible
corrientes de aire que desestabilice el péndulo magnético construido con los imanes
y materiales magnéticos (como estructuras de hierro) que generen un campo
magnético externo ya que esto puede afectar en las mediciones.
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Fig 2. (a) bobinas construidas con diferente diámetro y numero de espiras. (b)
brújula (par de imanes) suspendida del soporte de madera. (c) conexión del
circuito en serie con la fuente de voltaje variable.
Se conecta un circuito en serie a una fuente de voltaje de 18V a los extremos del
alambre de Cu con ayuda de cables caimán-caimán. Para medir los valores de
corriente eléctrica en el circuito se conecta un multímetro en serie, ver Fig.2(c).
Posteriormente, se hace circular corriente eléctrica 𝑖 a través de las bobinas de tal
forma que los imanes comiencen a oscilar como consecuencia del campo
magnético. Con un cronometro se mide el tiempo que tarda el péndulo en dar 20
oscilaciones, de tal manera que el periodo 𝑇 es el tiempo medido dividido entre el
número de oscilaciones. Para cada valor de corriente se mide el periodo de
oscilación. Se cambia el sentido de la corriente eléctrica cambiando la polaridad de
los cables en la fuente de voltaje, de tal forma que se tendrán corriente con signo
positivo y negativo. El número de mediciones estará en dependencia del periodo de
oscilación que se pueda medir.
10
Medición experimental del momento magnético de los imanes
Debido a que no se contaba con el dato del momento magnético de los imanes se
recurrió al uso de la aplicación Gauss Meter. Esta aplicación es de uso libre y se
puede descargar en el celular, ver Fig. 3. La idea es medir los cambios en la
intensidad del campo magnético conforme se van acercando el par de imanes al
celular. Para ello se utilizó un riel de aluminio con escala (accesorio del banco
óptico) en el cual en una base se colocó el celular con la aplicación funcionando y
en el otro extremo el par de imanes, ver Fig. 2 (parte inferior). Se midieron diferentes
valores de la intensidad del campo magnético conforme la distancia fue variando.
Es importante mencionar que no en todos los celulares se puede instalar la
aplicación. En nuestro caso se utilizó un Sansumg Galaxy S4.
Determinación del momento de inercia de los imanes.
Para determinar el momento de inercia del par de imanes se midió su longitud y
diámetro con un calibrador vernier digital, mientras que la masa con una balanza
digital. Posteriormente, se calculó el momento de inercia con la Ecu. (4).
Las incertidumbres en las mediciones directas se tomaron como la mínima escala
del instrumento de medición [11,12]. Para el multímetro 0.1mA o 0.01A, cronometro
0.01s, calibrador vernier digital 0.01 mm, balanza digital 0.1 gr, magnetómetro 0.1𝜇𝑇
y escala en el riel de aluminio 0.1 cm. Para las incertidumbres en las mediciones
indirectas se aplicó la teoría de propagación de errores. En los anexos de este
trabajo se presentan los cálculos. Es importante mencionar que se realizaron una
serie de experimento de tal forma que este sea reproducible, por tanto, los valores
reportados son un promedio de diferentes experimentos controlados (una vez
encontradas las condiciones y lugar en donde se llevaron a cabo las mediciones).
11
Fig. 3. Imagen que muestra los imanes que se utilizaron en este trabajo, la aplicación instalada
en el celular para medir la intensidad del campo magnético (Gauss Meter) y el riel en donde
se variaron las distancias imanes-sensor de celular.
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ANÁLISIS, DISCUSIÓN E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Determinación del momento de inercia del par de imanes
En la tabla 1 se muestran los resultados de las mediciones de la longitud, radio y
masa del par de imanes, así como el cálculo del momento de inercia de los dos
imanes que se utilizaron en el proyecto. En el Anexo 1 se muestran los cálculos
para obtener la incertidumbre en el momento de inercia. Por otra parte, es
importante mencionar que las mediciones se reportaran como fueron medidas con
los instrumentos de medición, sin embargo, los resultados se reportaran en el
Sistema Internacional de Unidades (SI).
Tabla 1. Resultados de las mediciones de la masa y dimensiones del par de imanes así
como el cálculo del momento de inercia.
𝑰𝒎𝒂𝒏𝒆𝒔 𝑳 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝒎𝒎) 𝒓 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝒎𝒎) 𝑴 ± 𝟎. 𝟏(𝒈𝒓) 𝑰 ± 𝟎. 𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟕(𝑲𝒈 ∙ 𝒎𝟐)
1 45.92 1.99 4.7 8.3
2 19.58 2.50 2.9 97.1
Determinación del momento magnético de los imanes
En las tablas 2 y 3 se muestran los resultados de las mediciones de la intensidad
del campo magnético con respecto a la distancia, para el imán 1 y 2,
respectivamente.
En las Fig.4 se representan los datos mostrado en las tablas anteriores. Se puede
observar que la magnitud del campo magnético incrementa potencialmente
Tabla 2. Resultado de las mediciones del campo magnético 𝑩𝒎 con la aplicación
Gauss meter y la distancia del centro de los imanes 1.
𝑩𝒎 ± 𝟎. 𝟏(𝝁𝑻) 𝒅 ± 𝟎. 𝟏(𝒄𝒎) 𝟏/𝒅𝟑(𝟏/𝒎𝟑)
27.1 16.0 244
31.4 15.0 296
34.9 14.0 364
42.1 13.0 455
53.5 12.0 579
60.8 11.5 658
70.6 11.0 751
82.1 10.5 864
96.1 10.0 1000
113.4 9.5 1166
134.6 9.0 1372
159.6 8.5 1628
Tabla 3. Resultado de las mediciones del
campo magnético 𝑩𝒎 con la aplicación
Gauss meter y la distancia del centro de los
imanes 2.
𝑩𝒎 ± 𝟎. 𝟏(𝝁𝑻) 𝒅 ± 𝟎. 𝟏(𝒄𝒎) 𝟏/𝒅𝟑(𝟏/𝒎𝟑)
26.2 14.7 314
28.4 13.7 388
29.2 13.2 434
31.3 12.7 488
34.0 12.2 550
37.5 11.7 624
42.1 11.2 711
48.1 10.7 816
55.8 10.2 942
64.1 9.7 1095
76.1 9.2 1284
90.5 8.7 1518
109.3 8.2 1813
131.9 7.7 2190
162.2 7.2 2679
198.1 6.7 3325
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De acuerdo con la interpretación de la Ecu. (6) se tiene que el valor del momento
magnético se puede determinar mediante la siguiente expresión:
𝑚 =2𝜋𝑝
𝜇0⋯ (7)
Fig. 4. Curva de 𝒅 𝒗𝒔𝑩𝒎 para los imanes,
en la cual se puede observar que el
campo magnético incrementa
potencialmente conforme la distancia
disminuye.
Para determinar el momento magnético
se aplicará la aproximación del dipolo
magnético, ver Ecu. (6). Para ello se
linealizarán las curvas potenciales
realizando un cambio de variable. En la
Fig. 5 se presenta una gráfica 1/𝑑3 𝑣𝑠
𝐵𝑚, la cual sigue un comportamiento
lineal. El cálculo en la incertidumbre de
1/𝑑3 se muestra en el Anexo 2. Se
realizo un ajuste por el método de
mínimos cuadrados para obtener el valor
de la pendiente, que se denotara como 𝑝.
Fig.5. Grafica de 𝟏/𝒅𝟑 𝒗𝒔 𝑩𝒎, la cual muestra
un comportamiento lineal. El ajuste se realizó
con el método de mínimos cuadrados.
En la tabla 4 se presentan los
resultados del ajuste y los
resultados del momento magnético
para ambos imanes. Se obtuvo un
momento magnético mayor para los
imanes 1, lo cual indica que son más
“potentes” que los imanes 2. Si
consideramos que los imanes están
hechos del mismo material, la
diferencia en el momento magnético
podría ser explicado la diferencia en
sus dimensiones, ver tabla 1.
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Tabla 4. Resultados del ajuste por el método de mínimos cuadros para las pendientes de las
rectas de 𝟏/𝒅𝟑 𝒗𝒔 𝑩𝒎, incertidumbre en el valor de la pendiente 𝜹𝒑, coeficiente de correlación
𝑹𝟐, así como el cálculo del momento magnético de los imanes.
𝑰𝒎𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒑 × 𝟏𝟎−𝟖(𝑻 ∙ 𝒎𝟑) 𝜹𝒑 × 𝟏𝟎−𝟗(𝑻 ∙ 𝒎𝟑) 𝑹𝟐 𝒎 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝑨 ∙ 𝒎𝟐)
1 9.79 1.2 0.998 0.48
2 5.88 0.7 0.998 0.29
Antes de continuar nos realizamos la siguiente pregunta ¿Cómo saber si la
aplicación está midiendo correctamente la intensidad del campo magnético
terrestre? La aplicación la utilizamos como un recurso “forzoso” ya que no
contábamos con un magnetómetro para determinar el momento magnético de los
imanes. Es importante mencionar que antes de usar esta aplicación es necesario
calibrarla al campo magnético terrestre cuando no hay interacción con otro tipo de
campos magnéticos externos. Afortunadamente la respuesta a la pregunta anterior
no la proporciono los resultados posteriores.
Determinación del campo magnético terrestre y la constante 𝒌
En las tablas 5-7 se muestran los resultados de las mediciones de la corriente
eléctrica con respecto al periodo de oscilación del péndulo de torsión para las
bobinas 1 (𝑟 = 5.5 𝑐𝑚 ) de 20, 30 y 40 espiras, respectivamente. Los resultados de
las mediciones corresponden a los imanes 1, ver tabla 1.
En la Fig.6 se presentan gráficas de 𝒊 𝒗𝒔 𝑻, en la cual se puede observar un
decremento potencial del periodo de oscilación conforme la corriente eléctrica
incrementa. Se presentan algunas diferencias en cuanto a la mínima corriente, por
ejemplo, para la bobina de 20 espiras a una corriente menor a -159.2 mA el par de
imanes comienza a girar y parece volverse loco. Mientras que para las bobinas de
30 y 40 espiras el fenómeno descrito se presenta para corrientes por debajo de -
108.9 y -77.9 mA, respectivamente. Este fenómeno se podría explicar de la
siguiente forma: Al inicio el par de imanes se orienta en la dirección y sentido del
campo magnético terrestre. Cuando la corriente es positiva la componente del
campo magnético 𝐵𝐶 tiene el mismo sentido que el campo magnético terrestre 𝐵𝑇,
pero cuando la corriente es negativa los campos antes mencionados tienen sentidos
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opuestos. Mientras 𝐵𝑇 > 𝐵𝐶, el campo total sigue llevando el sentido de 𝐵𝑇 (esta es
la región de corrientes negativas en la que se ha medido). Pero para una corriente
negativa suficientemente intensa 𝐵𝐶 superará a 𝐵𝑇 y el campo resultante tendrá
sentido inverso, por lo que la brújula girará 180º y se orientará, en equilibrio, en
sentido opuesto a la inicial. Cuando el campo total es muy débil, el movimiento de
la brújula está influido apreciablemente por el momento de torsión del hilo del que
cuelga. Por ejemplo, si el hilo está inicialmente retorcido, la brújula empieza a girar
y parece volverse loca.
Tabla 5. Resultados de las mediciones de corriente vs
periodo cuando se experimentó con la BOBINA DE 20
espiras y los imanes 1. Así como el cálculo de 𝟏/𝑻𝟐
para linealización de la curva potencial.
𝑰 ± 𝟎. 𝟏(𝒎𝑨) 𝑻 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝒔) 𝟏
𝑻𝟐± 𝟎. 𝟎𝟎𝟏(𝟏/𝒔𝟐)
-159.2 7.88 0.016
-152.0 5.38 0.034
-135.8 3.34 0.089
-109.5 2.50 0.160
-83.4 2.07 0.233
-64.3 1.88 0.282
-43.1 1.73 0.334
-19.0 1.59 0.395
-8.9 1.52 0.432
18.1 1.44 0.482
54.1 1.31 0.582
92.5 1.21 0.683
Tabla 6. Resultados de las mediciones de corriente
vs periodo cuando se experimentó con la BOBINA
DE 30 espiras y los imanes 1. Así como el cálculo de
𝟏/𝑻𝟐 para linealización de la curva potencial.
𝑰 ± 𝟎. 𝟏(𝒎𝑨) 𝑻 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝒔) 𝟏
𝑻𝟐± 𝟎. 𝟎𝟎𝟏(𝟏/𝒔𝟐)
-108.9 5.29 0.035
-102.4 3.77 0.070
-81.2 2.66 0.141
-62.7 2.19 0.208
-41.5 1.86 0.289
-24.2 1.68 0.354
-5.8 1.53 0.427
29.7 1.34 0.556
39.4 1.30 0.591
71.4 1.18 0.718
100.1 1.12 0.797
139.2 1.01 0.980
Tabla 7. Resultados de las mediciones de corriente vs
periodo cuando se experimentó con la BOBINA DE 40
espiras y los imanes 1. Así como el cálculo de 𝟏/𝑻𝟐
para linealización de la curva potencial.
𝑰 ± 𝟎. 𝟏(𝒎𝑨) 𝑻 ± 𝟎. 𝟎𝟏(𝒔) 𝟏
𝑻𝟐± 𝟎. 𝟎𝟎𝟏(𝟏/𝒔𝟐)
-77.3 3.24 0.095
-63.2 2.76 0.131
-42.6 2.03 0.242
-17.8 1.75 0.326
17.5 1.38 0.525
50.2 1.21 0.683
75.5 1.12 0.797
106.3 1.02 0.961
131.9 0.96 1.085
168.3 0.89 1.262
191.5 0.85 1.384
Fig. 6. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝑻 para las Bobinas 1
de 20, 30 y 40 espiras y los imanes 1.
16
Para analizar el comportamiento potencial entre la corriente eléctrica y el periodo de
oscilación se aplica el modelo descrito anteriormente. De la Ecu. (3) se puede
expresar el periodo de oscilación en términos del campo magnético resultante sobre
el par de imanes como:
𝐵 =4𝜋2𝐼
𝑚
1
𝑇2⋯ (7)
Si se toma en cuenta el campo magnético 𝐵𝐶 generado por la corriente eléctrica que
circula por el par de bobinas, la cual viene expresada por la Ecu. (1) y (2), se tiene:
𝐵𝐶 = 𝑘𝜇0𝑁
2𝑟𝑖 ⋯ (8)
Sustituyendo las Ecu. (7) y (8) en la Ecu.(5) se llega a:
4𝜋2𝐼
𝑚
1
𝑇2= 𝑘
𝜇0𝑁
2𝑟𝑖 + 𝐵𝑇
Reordenando términos:
1
𝑇2=
𝑘𝜇0𝑁𝑚
8𝜋2𝑟𝐼𝑖 +
𝑚
4𝜋2𝐼𝐵𝑇 ⋯ (9)
De tal forma que se puede explicar el comportamiento potencial del periodo de
oscilación con respecto a la corriente eléctrica, en base al modelo empleado. Por lo
tanto, se puede deducir que:
1. La gráfica de 1/𝑇2 𝑣𝑠 𝑖 será una línea recta.
2. Con la determinación de la pendiente (que se denotará como 𝑎) de la recta
1/𝑇2 𝑣𝑠 𝑖 por medio de un ajuste por el método de mínimos cuadrados y la
interpretación de la Ecu. (9) se puede determinar el valor de la constante 𝑘
mediante la siguiente expresión:
𝑘 =8𝜋2𝑟𝐼𝑎
𝜇0𝑁𝑚⋯ (10)
3. Con la ordenada al origen (que se denotara como 𝑏) de la recta 1/𝑇2 𝑣𝑠 𝑖 se
puede obtener la intensidad del campo magnético terrestre por medio de:
𝐵𝑇 =4𝜋2𝐼𝑏
𝑚⋯ (11)
17
En la Fig 7 se muestra el comportamiento lineal de la grafica 1/𝑇2 𝑣𝑠 𝑖. Mediante el
ajuste por el método de mínimos cuadrado se obtuvo el valor de la pendiente 𝑎 y la
ordenada al origen 𝑏. En la tabla 8 se presentan los resultados de los valores
obtenidos del ajuste. El coeficiente de correlación 𝑅2 fue cercano a la unidad, lo cual
demuestra que los datos experimentales se ajustan al modelo propuesto. Al realizar
la sustitución de los datos conocidos en las en las Ecus. (10) y (11) se obtiene los
valores de la constante 𝑘 y el campo magnético terrestre 𝐵𝑇.
Tabla 8. Resultados de los valores calculados de la pendiente y ordenada al origen de las
rectas 𝒊 𝒗𝒔 𝟏/𝑻𝟐 y obtención de la constante 𝒌 y campo magnético terrestre 𝑩𝑻. Estos datos
corresponden a las Bobinas 1 con los imanes 1 y 2.
𝑰𝒎á𝒏 𝑵 𝒂 (𝟏/𝑨𝒔𝟐) 𝒃 (𝟏/𝒔𝟐) 𝑹𝟐 𝒌 𝑩𝑻(𝝁𝑻)
1 20 2.61 0.44 0.998 0.780 30.37
2 20 13.2 2.09 0.998 0.763 27.64
1 30 3.75 0.44 0.999 0.747 30.38
2 30 19.23 2.02 0.995 0.742 26.72
1 40 4.85 0.44 0.998 0.725 30.23
2 40 24.52 2.11 0.993 0.709 27.91
Fig. 7. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝟏/𝑻𝟐 en se puede
observar un comportamiento lineal
cuando se trabajo con las bobinas 1 e
imanes 1
Se puede observar que el valor de la
ordenada al origen es independiente del
número de espiras en la bobina, y por
ende la magnitud horizontal del campo
magnético terrestres también lo es. El
valor experimental de 𝐵𝑇 se encuentra
entre 27𝜇𝑇 y 30𝜇𝑇 lo que coincide en la
literatura [7,9]. Con respecto a la
pendiente 𝑎 se determinó que tiende a
incrementar conforme el número de
espiras aumenta. Sin embargo, el valor de
la constante 𝑘 se mantiene sin cambios
apreciables.
18
En la literatura [1] se determina una expresión para el campo magnético generado
por una bobina circular fuera de su centro y a una distancia perpendicular a su plano.
Dicha expresión es la siguiente:
𝐵 =𝜇0𝑖𝑟2
2(𝑟2 + 𝑧2)3/2⋯ (12)
En donde 𝑟 es el radio de la bobina. Si calculamos el campo magnético en el centro
de la bobina, entonces 𝑧 = 0, y la Ecu. (12) queda:
𝐵0 =𝜇0𝑖
2𝑟⋯ (13)
Que corresponde a la Ecu. (1) con 𝑁 = 1. Si se determina el campo magnético a
una distancia igual a 𝑟/2 de las bobinas (como es nuestro caso),por lo tanto:
𝐵𝐶 =𝜇0𝑖𝑟2
2 (𝑟2 + (𝑟2)
2
)3/2
=𝜇0𝑖
2 (54)
3/2⋯ (14)
De la Ecu. (2) se tiene que el valor teórico de la constante 𝑘 es:
𝑘 =𝐵𝐶
𝐵0=
8
√53= 0.71
Lo cual concuerda con el valor determinado experimental. De la explicación anterior
se puede observar que el valor de la constante 𝑘 es independiente de las
características de la bobina y de los imanes.
Para comprobar el modelo anterior con la experimentación se utilizaron los imanes
2 como péndulo magnético. En las Fig. 8 (𝑖 𝑣𝑠 𝑇) y 9 (𝑖 𝑣𝑠 1/𝑇2) se representan los
datos experimentales de las mediciones, correspondiente a las bobinas 1 para los
imanes 2.
19
Para el caso de estos imanes se observo que el periodo de oscilación disminuyo
comparado con lo reportado con los imanes 1. El resultado en el valor de la
pendiente y ordenada al origen cambio en comparación de los imanes 1, ver tabla
8. Esto se puede explicar debido al momento de inercia y momento magnético de
los imanes 2 difiere de los imanes 1, lo cual a su vez está estrechamente relacionado
con el periodo de oscilación según la Ecu. (3). También, hubo un incremento en la
incertidumbre de la medición del periodo, debido a una mayor margen de error al
medir periodo de menor magnitud. El cálculo en la incertidumbre en 𝑇−2 se
determinó de manera similar a 𝑑−3, ver Anexo 2. Sin embargo, no se tiene una
variación apreciable en el valor de la constante 𝑘 y el campo magnético terrestre 𝐵𝑇
como era de esperarse.
Para el caso de las bobinas 2 (𝑟 = 7.7 𝑐𝑚) se presentaron resultados similares en
cuanto al valor de la constante 𝑘 y 𝐵𝑇, ver tabla 10. Lo cual verifica la hipótesis
planteada en este trabajo. Sin embargo, se observaron algunas diferencias: 1) la
corriente eléctrica necesaria para que el péndulo magnético oscilara fue de mayor
magnitud, esto es razonable porque el diámetro de las bobinas 2 es mayor que las
Fig. 8. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝑻 para la Bobinas 1 de
20, 30 y 40 espiras y los imanes 2
Fig. 9. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝟏/𝑻𝟐 en se puede
observar un comportamiento lineal cuando se
trabajo con las bobinas 1 e imanes 1
20
bobinas 1, en donde la corriente fue del orden de mA. También, se obtuvieron
complicación al medir utilizando las bobinas 2 de 30 y 40 espiras, ya que en algunas
ocasiones los imanes se atraían hacia las espiras de la bobina, por la que se
obtuvieron pocas mediciones, debido a estas complicaciones. En las Fig. 10 y 11
se muestra la representación de los datos experimentales para las bobinas 2 con
los imanes 1 y la linealización de las curvas potenciales, respectivamente. Para el
caso de los imanes 2 se complicó aún más la medición, debido probablemente al
momento de inercia y al momento magnético de estos. Se obtuvieron muy pocos
datos, en donde se apreciaba una tendencia, como en los otros casos. Sin embargo,
con estos resultados se puede afirmar que se cumplieron las hipótesis planteadas
en este proyecto. De los resultados mostrados en las tablas 8 y 9 se determinó un
promedio con su respectiva desviación estándar para el valor de la constante 𝑘 y el
campo magnético terrestre, obteniendo lo siguiente [11,12]: 𝑘 = 0.74 ± 0.03 y 𝐵𝑇 =
29 ± 2𝜇𝑇
CONCLUSIONES
Fig. 10. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝑻 para la Bobinas 2 de
20 y 30 espiras y los imanes 1.
Fig. 11. Grafica de 𝒊 𝒗𝒔 𝟏/𝑻𝟐 en se puede
observar un comportamiento lineal cuando se
trabajo con las bobinas 2 e imanes 1
21
Tabla 10. Resultados de los valores calculados de la pendiente y ordenada al origen de las
rectas 𝒊 𝒗𝒔 𝟏/𝑻𝟐 y obtención de la constante 𝒌 y campo magnético terrestre 𝑩𝑻. Estos datos
corresponden a las Bobinas 2 con los imanes 1 y 2.
𝑰𝒎á𝒏 𝑵 𝒂 (𝟏/𝑨𝒔𝟐) 𝒃 (𝟏/𝒔𝟐) 𝑹𝟐 𝒌 𝑩𝑻(𝝁𝑻)
1 20 1.87 0.53 0.998 0.71 31.2
1 30 2.81 0.47 0.986 0.71 29.4
1 40 4.15 0.41 0.988 0.79 28.7
CONCLUSIONES
En este trabajo se realizo un estudio experimental del campo generado por bobinas
de Helmholtz y la interacción de un par de imanes de neodimios con estructura
cilíndrica. Se demostró que la relación entre el campo magnético generado en el
centro de las bobinas con el producido entre el par de estas es independiente del
radio de las bobinas y del número de espiras. Se lograron contrastar modelos
teóricos con la experimentación. Como una consecuencia de este estudio se
determinó experimentalmente la componente horizontal del campo magnético
terrestre. Finalmente, se logró una mejor compresión de algunos conceptos de
electromagnetismo mediante el observar, inferencia, realización de diseños
experimentales, análisis de datos experimentales, planteamiento de modelo, entre
otros, por lo que esta experiencia resulto sumamente gratificante.
22
REFERENCIAS
[1] Resnick, R., & Halliday, D. (2002). Física (vol. 2). México: CECSA.
[2] Sears F, Zemansky M, Young H. and Freedman R (2006). Física
Universitaria. California : Pearson Education.
[3] Giancoli, Douglas. (2009). Física 2: principio con aplicaciones, 6ª edición.
México: Pearson Educación.
[4] Salvador Gil, Eduardo Rodríguez. (2001). Física Re-Creativa. Buenos
Aires: Prentice Hall.
[5] Sosa M et.al.(2003). A tangent magnetometer to mesure the earth
magnetic field. Revista Mexicana de Física. 49 (4). 379-383.
[6] García-Montoya F. (1999). Investigación sobre algunos aspectos del
campo magnético terrestre. implicaciones didácticas. Enseñanza de las
Ciencias de la Tierra. 7.2, 121-130.
[7] Cox A, Dalrymple GB, Doell RR.(1967). Reversal of the Earth´s Magnetic
Field. Scientific American, II, 44-54
[8] J Páez, M Jimenez. (1995). Historias del Campo Geomagnético de Costa
Rica. Ciencia y Tecnología, (19)1-2, 53-78.
[9] J Páez, M Jimenez. (1995). Historias del Campo Geomagnético de Costa
Rica. Ciencia y Tecnología, (19)1-2, 53-78.
[10] Dan MacIsaac. (2007). Latitude, longitude, g and Earth's Magnetic field
components for your classroom:. The Physics Teacher, 45(58), 58.
[11] Berta Oda Moda. (2013). Introducción al análisis grafico de datos
experimentales. México: Facultad de Ciencias UNAM.
[12] S. Pérez, C. Schürrer, G. Stutz.. (2011). Trabajos de Física. Análisis de
Datos e Incertidumbres en Física Experimental. Argentina: FaMAF
ANEXO 1
Calculo de la incertidumbre para el momento de inercia del par de imanes.
La ecuación que se utilizó para determinar el momento de inercia es:
I =MR2
4+
ML2
12⋯ (1𝑎)
Por lo tanto, la incertidumbre del momento de inercia viene dada por:
δ(I) = δ (MR2
4+
ML2
12) ⋯ (1𝑏)
De acuerdo a la teoría de propagación de errores para la suma, producto y una variable a una
potencia se tiene:
Aplicando las ecuaciones anteriores a la Ecu. (1b) se tiene:
𝛿(𝐼) = √(1
16𝛿2(MR2) +
1
144𝛿2(ML2) +
1
24𝛿(MR2)𝛿(ML2)) ⋯ (1𝑐)
Se consideraron los errores de las mediciones como la mínima escala que puede medir el
instrumento, es decir:
𝛿(𝑀) = 0.1 𝑔𝑟 = 1 × 10−4 𝑘𝑔
𝛿(𝑅) = 0.01 𝑚𝑚 = 1 × 10−5 𝑚
𝛿(𝐿) = 0.01 𝑚𝑚 = 1 × 10−5 𝑚
Tomando los valores promedios de la longitud, radio y masa del par de imanes se tiene:
𝑰𝒎𝒂𝒏𝒆𝒔 �̅�𝒙𝟏𝟎−𝟐(𝒎) �̅� × 𝟏𝟎−𝟑(𝒎) �̅� × 𝟏𝟎−𝟑(𝒈𝒓)
1 4.592 1.99 4.7
2 1.958 2.50 2.9
Realizando los cálculos se tiene:
𝑰𝒎𝒂𝒏𝒆𝒔 𝜹𝟐 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗(𝐌𝐑𝟐) 𝜹𝟐 × 𝟏𝟎−𝟏𝟒(𝐌𝐋𝟐) 𝜹 × 𝟏𝟎−𝟏𝟎(𝐌𝐑𝟐) 𝜹 × 𝟏𝟎−𝟕(𝐌𝐋𝟐) 𝜹 × 𝟏𝟎−𝟖(𝑰)
1 3.21 4.61 5.67 2.14 1.89
2 5.95 15.59 7.71 39.48 46.42
Producto entre dos
variables
Si, 𝑥ҧ = ±𝑎�̅�𝑣ҧ
Entonces:
𝛿𝑥2
𝑥ҧ2≈
𝛿𝑢2
�̅�2+
𝛿𝑣2
𝑣ҧ2+
2𝛿𝑢𝑣2
�̅�𝑣ҧ⋯ (𝐈. 𝟐)
Variable dependiente
elevada a una potencia:
Si, 𝑥ҧ = 𝑎�̅�±𝑏
Entonces:
𝛿𝑥
𝑥ҧ= 𝑏
𝛿𝑢
�̅�⋯ (𝐈. 𝟑)
Suma de dos variables
Si, 𝑥ҧ = 𝑎�̅� + 𝑏𝑣ҧ
Entonces:
𝛿𝑥2 = 𝑎2𝛿𝑢
2 + 𝑏2𝛿𝑣2 + 2𝑎𝑏𝛿𝑢𝑣
2 ⋯ (𝐈. 𝟏)
ANEXO 2
Calculo de la incertidumbre en el momento magnético de los imanes
La incertidumbre en 1/𝑑3 se puede determinar utilizando la Ecu. (I.3), entonces se obtiene:
𝛿𝑑−3 = 𝑑−3̅̅ ̅̅ ̅3𝛿𝑑
𝑑ҧ
En donde 𝛿𝑑 = 0.001 𝑚. En la tabla I.1 y I.2 se muestran los resultados de los cálculos.
Como se puede observar el valor de la incertidumbre incrementa conforme la distancia de separación
es mas pequeña. El error en la incertidumbre del momento magnético depende directamente en el
error en la pendiente, considerando que la constante de permeabilidad y 𝜋 no presentan error
apreciable. Del ajuste en el programa Origin Pro 8 se encontró un error de 0.0012𝜇𝑇/𝑚3 y
0.0007𝜇𝑇/𝑚3. Utilizando la Ecu. (7) se tiene un error en el momento magnético de: 𝛿𝑚 = 0.006𝐴𝑚2
y 𝛿𝑚 = 0.003𝐴𝑚2, para el imán 1 y 2 respectivamente.
Tabla I.1. Resultados de la incertidumbre
𝜹𝒅−𝟑 para el imán 1.
�̅�(𝒎) 𝒅−𝟑̅̅ ̅̅ ̅(𝟏/𝒎𝟑) 𝜹𝒅−𝟑(𝟏/𝒎𝟑)
0.16 244.140625 2.28881836
0.15 296.296296 2.96296296
0.14 364.431487 3.90462307
0.13 455.166136 5.25191695
0.12 578.703704 7.2337963
0.115 657.516232 8.57629868
0.11 751.314801 10.2452018
0.105 863.837599 12.3405371
0.1 1000 15
0.095 1166.35078 18.4160649
0.09 1371.74211 22.8623685
0.085 1628.33299 28.7352881
0.08 1953.125 36.6210938
Tabla I.2. Resultados de la incertidumbre
𝜹𝒅−𝟑 para el imán 2.
�̅�(𝒎) 𝒅−𝟑̅̅ ̅̅ ̅(𝟏/𝒎𝟑) 𝜹𝒅−𝟑(𝟏/𝒎𝟑)
0.147 314.80962 3.212343066
0.137 388.900318 4.258032681
0.132 434.788658 4.940780204
0.127 488.189953 5.766023064
0.122 550.706887 6.77098632
0.117 624.370556 8.004750723
0.112 711.780248 9.532771176
0.107 816.297877 11.44342818
0.102 942.322335 13.85768139
0.097 1095.68268 16.94354662
0.092 1284.21139 20.93822921
0.087 1518.59597 26.18268908
0.082 1813.67072 33.1769035
0.077 2190.42216 42.67056156
0.072 2679.18381 55.81632945
0.067 3324.87706 74.43754618