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離散数学 I 第 7回関数（2）：全射・単射・全単射

荒木徹

電子情報理工学科

2019年度

荒木徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 7 回 2019 年度 1 / 22

前回の演習

演習 1

任意の集合 A,B，任意の関数 f : A → B，任意の部分集合 X ,X ′ ⊆ Aに対して，

f (X ∩ X ′) ⊆ f (X ) ∩ f (X ′)

が成り立つことを証明せよ．

証明．

b ∈ f (X ∩ X ′)と仮定する．

定義より，ある要素 a ∈ X ∩ X ′が存在して，f (a) = bとなる．

a ∈ X ∩ X ′であるので，a ∈ X かつ a ∈ X ′である．

a ∈ X であるので，f (a) ∈ f (X )がいえる．

同様に a ∈ X ′であるので，f (a) ∈ f (X ′)がいえる．

b = f (a)であるので，b ∈ f (X ) ∩ f (X ′)である．


続き

また，任意の部分集合 X ,X ′ ⊆ Aに対して，

f (X ) ∩ f (X ′) ⊆ f (X ∩ X ′)

は成り立つか？

解答．この命題は成り立たない．反例を示す．

A = {1, 2, 3}, B = {a, b}とし，関数 f : A → B を以下のように定義する．

f (1) = a, f (2) = b, f (3) = a.

X = {1, 2}, X ′ = {2, 3}とすると，X ∩ X ′ = {2}であるので，

f (X ) = {a, b}, f (X ′) = {a, b}, f (X ∩ X ′) = {b}

となるので，f (X ) ∩ f (X ′) ̸⊆ f (X ∩ X ′)である．


演習 2

A = {1, 2, 3, 4, 5}とし，関数 f : A → Aを，以下のように定義する．

f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 4, f (5) = 4.

f ◦ f = f であることを確かめよ．また g ◦ f = f かつ f ◦ g = f となる関数 g : A → Aを見つけよ．ただし g ̸= f かつ g ̸= idAであること．

(f ◦ f )(1) = f (f (1)) = f (2) = 2 = f (1)

(f ◦ f )(2) = f (f (2)) = f (2) = 2

(f ◦ f )(3) = f (f (3)) = f (4) = 4 = f (3)

(f ◦ f )(4) = f (f (4)) = f (4) = 4

(f ◦ f )(5) = f (f (4)) = f (4) = 4 = f (5)

g : A → Aは，例えば以下の関数．

g(1) = 2, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 5.


中間試験について

内容

6月 5日（水） 12:50～14:00（70分間） J3教室にて

40点満点

中間試験 40点＋期末試験 60点＝ 100点

成績 S：90点以上，A：80点以上，B：70点以上，C：60点以上

講義で話したことが理解できていれば，6割は取れる問題を出します

4割くらいは，初めて見る問題が出ます．自力で解決してください．


大事なポイント

証明とは「自分が示したい数学的事実を，正しく相手に伝えるため

に書く」もの

書いてあることが（荒木が）理解できるかどうか

論理的に誤りがないかどうか

証明を進めるための根拠を示しているかどうか

やってはいけないこと

読めない字を書く（雑，字が小さすぎる，など）

「自分が分かるのだから，ちゃんと書かなくてもみんな分かるはず」


全射とは

全射（surjection）

関数 f : X → Y が全射であるとは，以下を満たすこと

任意の y ∈ Y に対して，ある x ∈ X が存在して f (x) = y となる．


例題 1

次の関数 f : R → Rが，全射であるかどうかを示せ．f (x) = 3x + 1

f (x) = x2

ポイント

定義に立ち戻る．


思い出そう

「～が存在する」を証明するには，「具体的な要素が」「考えている性

質を満たす」ことを示す

反証するには，命題の逆を証明すること


証明．f (x) = 3x + 1とする．

任意の実数 b ∈ Rを考える．a = (b − 1)/3とする．このとき a ∈ Rである．f (a) = 3 · (b − 1)/3 + 1 = bとなる．

よって，任意の bに対して，ある aが存在して f (a) = bを満たす．

以上より，f (x) = 3x + 1は全射である．

f (x) = x2は全射ではない．

何を証明する？

ある b ∈ Rが存在して，任意の a ∈ Rに対して f (a) ̸= bとなる．

−1 ∈ Rを考える．任意の a ∈ Rに対して，a2 ≥ 0である．よって a2 ̸= −1．

したがって，任意の a ∈ Rに対して，f (a) ̸= −1である．


単射とは

単射（injection）

関数 f : X → Y が単射であるとは，以下を満たすこと

任意の x , x ′ ∈ X に対して，f (x) = f (x ′)ならば x = x ′である．

または「任意の x , x ′ ∈ X に対して，x ̸= x ′ならば f (x) ̸= f (x ′)である」


例題 2

次の関数 f : R → Rが，単射であるかどうかを示せ．f (x) = 3x + 1

f (x) = x2

ポイント

定義に立ち戻る．


証明．f (x) = 3x + 1とする．

任意の a, a′ ∈ Rを考える．f (a) = f (a′)と仮定する．すなわち 3a+ 1 = 3a′ + 1．

したがって a = a′である．

よって f (x) = 3x + 1は単射である．


（証明つづき）f (x) = x2は単射ではない．

何を証明するか？

ある a, a′ ∈ X が存在して，f (a) = f (a′)であるが，a ̸= a′である．

a = 1，a′ = −1を考える．

このとき f (a) = 12 = 1，f (a′) = (−1)2 = 1であるので，f (a) = f (a′)．

しかし a ̸= a′である．

したがって f (x) = x2は単射ではない．

おまけ

「新幹線の指定席」は全射？単射？

「あみだくじ」は全射？単射？


全射と単射

全射

関数 f : X → Y が全射であるとする．

任意の y ∈ Y に対して，f (x) = y となる要素 x ∈ X が少なくとも 1個存在する．（1個以上）

Range f = Y である．

X ,Y がどちらも有限集合ならば，|X | ≥ |Y |である．

単射

関数 f : X → Y が単射であるとする．

任意の y ∈ Y に対して，f (x) = y となる要素 x ∈ X が高々1個存在する．（0個か 1個）

X ,Y がどちらも有限集合ならば，|X | ≤ |Y |である．


全単射とは

全単射（bijection）

関数 f : X → Y が，全射であり，かつ単射であるとき，全単射であるという．

集合の濃度（23ページ）

有限集合 X と Y の間に全単射が存在するdef⇐⇒ |X | = |Y |である．


置換

置換（permutation）（22ページ）

Aを有限集合とする．Aから Aへの全単射 f をA上の置換という．A上の置換 f を，特に次のように表記する．

f =

(1 2 3 · · · n − 1 n

f (1) f (2) f (3) · · · f (n − 1) f (n)

)

例．A = {1, 2, 3, 4}とする．A上の置換

f =

(1 2 3 42 3 1 4

)は，以下と同じ．

f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 1, f (4) = 4.


関数の合成と全射・単射

関数の合成と全射

任意の関数 f : X → Y と g : Y → Z を考える．f , g が全射なら，g ◦ f : X → Z は全射である．

ポイント：全射の定義


証明．


関数の合成と単射

f : X → Y と g : Y → Z が単射ならば，g ◦ f : X → Z は単射である．

ポイント：単射の定義


証明．


関数の合成と全射・単射

関数の合成

f : X → Y，g : Y → Z とする．

f , g が全射ならば，g ◦ f : X → Z は全射である．

f , g が単射ならば，g ◦ f : X → Z は単射である．

f , g が全単射ならば，g ◦ f : X → Z は全単射である．


逆関数とは

逆関数（inverse function）

関数 f : X → Y の逆関数とは，f −1 : Y → X であり，任意の x ∈ X，y ∈ Y に対して，f (x) = y と f −1(y) = xが同値であるもののことである．

逆関数の存在

逆関数 f −1は，f が全単射であるときのみ定義できる．


例題

例

Rから Rへの関数 f (x) = 3x + 1は全単射である．f の逆関数はf −1(y) = (y − 1)/3である．

例題

f : {1, 2, 3} → {2, 4, 8}を f (n) = 2nとし，g : {2, 4, 8} → {1, 2, 3}をg(n) = ⌈n/3⌉とする．f と g は互いに逆関数であることを示せ．


逆関数の性質

逆関数の合成

f : X → Y を全単射とする．このとき，

f −1 : Y → X は全単射である．

f ◦ f −1 = idX，f −1 ◦ f = idY．

証明．

任意の x ∈ X を考え，f (x) = y とする．このとき，x = f −1(y)である．したがって f −1は全射である．

y , y ′ ∈ Y に対して f −1(y) = f −1(y ′) = aであったとする．定義より，f (a) = y かつ f (a) = y ′が成り立つので，y = y ′である．したがって，f −1は単射である．

以上より，f −1は全単射である．


今日の演習

演習 1

空でない集合 X ,Y ,Z に対して，関数 f : X → Y と g : Y → Z を考える．合成関数 g ◦ f : X → Z が全単射であると仮定する．

1 f は単射であることを証明せよ．

2 g は全射であることを証明せよ．

3 f も g も全単射ではないが，g ◦ f が全単射となる例を示せ．


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