运动型问题综合性较强，涉及三角形、四边形、函数、圆等知识．在中考命题中一般设置为压轴题．解决的一般思路是化动为静，数形结合．分析此类题时要明确运动的起始点、运动方向和过程、终点，最后结合所求问题程.

如图所示，点 A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙ A、⊙ B的半径均为 1 cm，⊙ A以每秒 2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也在不断增大，其半径 r(cm)与时间 t(秒)之间的关系式为 r＝1＋t(t≥0)，当点 A出发后________秒两圆相切．

【点拨】本题重点考查在整个运动过程中，两圆有几次相切的情况．分析好运动过程，就能迎刃而解．

【解答】两圆相切可分为如下四种情况： (1)当两圆第一次外切时，由题意可得 11－2t＝1＋1＋t，t＝3； (2)当两圆第一次内切时，由题意可得

11－2t＝1＋t－1，t＝113；

(3)当两圆第二次内切时，由题意可得 2t－11＝1＋t－1，t＝11； (4)当两圆第二次外切时，由题意可得 2t－11＝1＋t＋1，t＝13.

所以当点 A出发后 3秒、113秒、11秒、13秒两圆相切．

机器人“ 海宝” 在某圆形区域表演“ 按指令行走” ，如图所示，“ 海宝” 从圆心O出发，先沿北偏西 67.4°方向行走 13米至点 A处，再沿正南方向行走 14米至点 B处，最后沿正 东方向行走至点 C处，点 B、C都在⊙ O上．

(1)求弦 BC的长； (2)求⊙ O的半径长．

(本题参考数据：sin67.4°≈ 1213，cos67.4°≈ 5

13，tan67.4°≈ 125 )

【点拨】根据方向角确定平行线是解题的关键，在圆中与弦有关的计算一般要考虑垂径定理．

【解答】(1)如图，过点 O作 OD⊥AB，

则∠A＝∠AON＝67.4°. 在 Rt△ AOD中，OA＝13，

∴ AD＝OA·cos∠A＝13× 513＝5，

OD＝OA·sin∠A＝13× 1213＝12.

又∵ AB⊥BC，OE⊥BC， ∴ AB∥ OE，BE＝OD＝12， ∴ BC＝2BE＝24(米)． (2)如图，连结 OB，由题意 OE＝DB＝AB－AD＝14－5＝9. ∴ 在 Rt△ BOE中， OB＝ OE2＋BE2＝ 92＋122＝ 225＝15(米)． 即⊙ O的半径长为 15米．

1．如图，夜晚，小亮从点 A经过路灯 C的正下方沿直线走到点 B，他的影长 y随他与点 A之间的距离 x的变化而变化，那么表示 y与 x之间函数关系的图象大致为( )

解析：根据中心投影的性质，小亮的影长 y随 x增大逐渐变小再逐渐变大，且 y是 x的一次函数．

答案：A

2．如图，点 A、B、C、D为⊙ O的四等分点，动点 P从圆心 O出发，沿 O→ C→ D→ O的路线做匀速运动．设运动时间为 t秒，∠APB的度数为 y度，则下列图象中表示 y与 t之间函数关系最恰当的是( )

解析：当点 P在 O点时，∠APB＝90°；当点 P在 OC上运动时，∠APB从 90°逐渐减小到 45°；当点 P在弧 CD上运动时，∠APB＝45°为定值；当点 P在 DO上运动时，∠APB从45°逐渐增加到 90°.

答案：C

3．如图，点 G、D、C在直线 a上，点 E、F、A、B在直线 b上，且 a∥ b，Rt△ GEF从如图所示的位置出发，沿直线 b向右匀速运动，直到 EG与 BC重合，运动过程中 Rt△ GEF与矩形 ABCD重合部分的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是( )

解析：点 F在 AB上时，若设 AF＝t，GF交 AD于点 M，并设 AM＝mt，则 S 重合＝12mt2

是关于 t的二次函数；当 EF在 AB上时，S 重合＝S△ EFG不变；当 F在 AB的延长线上时，同理可得 S 重合也是关于 t的二次函数，所以可确定 B项正确．

答案：B

4．如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，E是 BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝4 2，∠C＝45°，点 P是 BC边上一动点，设 PB的长为 x.

(1)当 x的值为________时，以点 P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形． (2)当 x的值为________时，以点 P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形． (3)点 P在 BC边上运动的过程中，以 P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说

明理由．

解：(1)3或 8 (2)1或 11 (3)由(2)知，当 BP＝1 或 11 时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形是平行四边形．当

BP＝1时，PE＝5，过点 D作 DF⊥BC于 F，∵ CD＝4 2，∠C＝45°，∴ DF＝FC＝4. ∴ EF＝2.在 Rt△ DEF中，DE＝ EF2＋DF2＝2 5≠ PE， ∴ 此时以 P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形． 当 BP＝11时，EP＝5.在 Rt△ DFP中，DP＝ FP2＋DF2＝ 32＋42＝5＝EP.此时以 P、A、

D、E为顶点的四边形是菱形．所以在点 P的运动过程中，以 P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

5．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的两边分别在 x轴和 y轴上，OA＝8 2 cm，OC＝8 cm，现有两动点 P、Q分别从 O、C两点同时出发，P在线段 OA上沿 OA方向以每秒 2 cm的速度匀速运动，Q在线段 CO上沿 CO方向以每秒 1 cm的速度匀速运动．设运动时间为 t秒．

(1)用 t的式子表示△ OPQ的面积 S； (2)求证：四边形 OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

(3)当△ OPQ与△ PAB和△ QPB相似时，抛物线 y＝14x2＋bx＋c经过 B、P两点，过线段

BP上一动点M作 y轴的平行线交抛物线于 N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形 OPBQ分成两部分的面积之比．

(1)解：∵ CQ＝t，OP＝ 2t，CO＝8，∴ OQ＝8－t，

∴ S△ OPQ＝12(8－t)· 2t＝－

22 t2＋4 2t(0<t<8)．

(2)证明：∵ S 四边形OPBQ＝S 矩形ABCO－S△ PAB－S△ CBQ＝8× 8 2－12× 8× (8 2－ 2t)－

12× 8 2

t＝32 2(cm2)， ∴ 四边形 OPBQ的面积是一个定值，且等于 32 2 cm2.

(3)解：当△ OPQ与△ QPB相似时，△ QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°. 又∵ BQ与 AO不平行，∴ ∠QPO不可能等于∠PQB， ∠APB不可能等于∠PBQ. ∴ 根据相似三角形的对应关系只能是△ OPQ∽ △ PBQ∽△ ABP，

∴ 8－t8 2－ 2t

＝2t

8 ，解得 t＝4(t＝8舍去)．

经检验，t＝4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)，此时 P(4 2，0)．

∵ B(8 2，8)且抛物线 y＝14x2＋bx＋c经过 B、P两点，

∴ 抛物线的解析式是 y＝14x2－2 2x＋8，直线 BP是 y＝ 2x－8.

设M(m， 2m－8)、N(m，14m2－2 2m＋8)，

∵ M在 BP上运动，∴ 4 2≤ m≤ 8 2.

∵ y1＝14x2－2 2x＋8与 y2＝ 2x－8交于 P、B两点且抛物线的顶点是 P，

∴ 当 4 2≤ m≤ 8 2时，y1<y2，∴ |MN|＝－14(m－6 2)2＋2，

∴ 当 m＝6 2时，线段MN的长有最大值是 2.

此时M(6 2，4)．又直线 BQ是 y＝2

2 x＋4，

设MN与 BQ交于 H点，则易得 H(6 2，7)．

∴ S△ BHM＝12× 3× 2 2＝3 2，

∴ S△ BHM∶ S 五边形QOPMH＝3 2∶ (32 2－3 2)＝3∶ 29. ∴ 当线段MN的长取最大值时两部分面积之比是 3∶ 29.