Materia: Matemática de Octavo

Tema: Factorización de un polinomio – Suma o diferencia de

cubos

El volumen de un prisma rectangular es . ¿Cuáles son las longitudes de los lados del prisma?

Marco teórico

Ya aprendiste cómo factorizar diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado. Aquí, vamos a ampliar este conocimiento para ciertos tipos de polinomios. El primero será la suma

de cubos. La suma de cubos es lo que parece, la suma de dos números cúbicos ó . Usaremos el principio de volumen para encontrar la factorización de éste polinomio.

Investigación: Factorizar una suma de cubos

1. Gráficamente una suma de cubos se ve así:

O bien, podemos poner uno encima del otro.

2. Recordemos que la fórmula para el volumen es “alto x ancho x profundidad”. Encuentra el volumen de la suma de estos dos cubos.

3. Vamos a encontrar el volumen de una manera diferente. Usemos la segunda imagen de arriba. Vamos a añadir líneas imaginarias para que estos dos cubos se vean como un gran prisma. Luego, calculamos el volumen del prisma.

4. Resta la parte imaginaria en la parte superior. En la imagen son prisma 1 y prisma 2.

5. Extrae todos los factores comunes que están dentro de los corchetes.

6. Ten en cuenta que ambos términos tienen un factor común . Extráelo y así eliminas los corchetes.

7. Amplía el segundo factor.

En el último paso se encontró que factorizado es . Esta es la fórmula de factorización para una suma de cubos. Ejemplo A

Factoriza .

Solución: En primer lugar, determinemos si se trata de una suma de cubos. Un número

cúbico tiene una raíz cúbica. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 porque

. , y así sucesivamente.

Aplicando la fórmula que encontramos tenemos:

Por lo tanto, . El segundo factor no se puede factorizar más por lo que esa es nuestra respuesta final.

Investigación: Factorizar una diferencia de cubos

1. Gráficamente, la diferencia de cubos se ve así:

Imagínate que el cubo más pequeño se extrae del cubo más grande.

2. Recordemos que la fórmula para el volumen es “alto x ancho x profundidad”. Encuentra el volumen de la diferencia entre estos dos cubos.

3. Vamos a encontrar el volumen de una manera diferente. Usando la imagen, usaremos líneas imaginarias para que la imagen se divida en tres. Halla el volumen del prisma 1, del prisma 2 y del prisma 3.

4. Suma todos los volúmenes para encontrar el volumen total.

5. Saca todos los factores comunes y simplifica.

En el último paso se encontró que se factoriza como . Esta es la fórmula de factorización para una diferencia de cubos. Ejemplo B

Factoriza .

Solución: En primer lugar, extrae los factores comunes.

Lo que está dentro de los paréntesis es una diferencia de cubos. Utiliza la fórmula que encontramos.

Problema dado al principio

Necesitamos factorizar .

En primer lugar, extrae los factores comunes.

Lo que está dentro de los paréntesis es una diferencia de cubos. Utiliza la fórmula que conoces para factorizarla.

Por lo tanto, las longitudes de los lados del prisma rectangular son , ,

y .

Ejercicios resueltos

Factoriza las siguientes sumas o diferencias de cubos.

1.

2.

3.

Respuestas

1. Esto es una diferencia de cubos, utilizando la fórmula:

2. Saca el 3 como factor común y luego utiliza la fórmula para una suma de cubos.

3. Factoriza utilizando la fórmula para una diferencia de cubos.

Palabras clave

Fórmula de factorización para una suma de cubos

Fórmula de factorización para una diferencia de cubos

Ejercicios

Factoriza los siguientes polinomios.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.